Pemodelan Penyebaran Infeksi HIV pada Komunitas Injecting Drug Users (IDU)
PEMODELAN PENYEBARAN INFEKSI HIV PADA KOMUNITAS
INJECTING DRUG USERS (IDU)
SKRIPSI
HAMKA SUTRA
100803063
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
PEMODELAN PENYEBARAN INFEKSI HIV PADA KOMUNITAS
INJECTING DRUG USERS (IDU)
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai
gelar Sarjana Sains
HAMKA SUTRA
100803063
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
: Pemodelan Penyebaran Infeksi HIV pada Komunitas
Injecting Drug Users (IDU)
: Skripsi
: Hamka Sutra
: 100803063
: Sarjana (S1) Matematika
: Matematika
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, April 2014
Komisi Pembimbing
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Esther S. M. Nababan, M.sc.
NIP. 19610318 198711 2 001
Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D.
NIP. 19620901 198803 1 002
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D.
NIP. 19620901 198803 1 002
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PEMODELAN PENYEBARAN INFEKSI HIV PADA KOMUNITAS
INJECTING DRUG USERS (IDU)
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa kutipan
dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, April 2014
HAMKA SUTRA
100803063
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT Tuhan Yang Maha Pemurah dan
Maha Penyayang, atas semua kasih sayang dan limpahan karunia-Nya sehingga
penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Pemodelan
Penyebaran Infeksi HIV Pada Komunitas Injecting Drug Users (IDU).
Terimakasih penulis sampaikan kepada Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D. selaku
pembimbing 1 dan Dr. Esther S. M. Nababan, M.Sc. selaku pembimbing 2 yang telah
meluangkan waktunya selama penyusunan skripsi ini. Terimakasih kepada Prof. Dr.
Tulus, M.Si. Ph.D. dan Dr. Mardiningsih, M.Si. selaku Ketua Departemen dan
Sekretaris Departemen Matematika FMIPA-USU Medan, Dekan dan Pembantu Dekan
FMIPA USU, seluruh Staf dan Dosen Matematika FMIPA USU, pegawai FMIPA
USU dan rekan-rekan kuliah angkatan 2010 Matematika FMIPA USU. Akhirnya tidak
terlupakan ucapan terimakasih kepada Ayahanda Khairuman (Alm) dan Ibunda
Yulianis (Almh) serta saudara-saudari penulis Mazwanni, Elma Diana, Mizral, Ismar
Rosidi, Safrillah dan Litriyanni yang selama ini memberikan bantuan baik secara
materi maupun moral dan dorongan semangat yang diperlukan. Semoga Allah SWT
Tuhan Yang Maha Esa akan membalasnya.
Universitas Sumatera Utara
PEMODELAN PENYEBARAN INFEKSI HIV PADA KOMUNITAS
INJECTING DRUG USERS (IDU)
ABSTRAK
HIV (Human Immunodeficiency Virus) merupakan virus yang dapat menyebabkan
AIDS (Acquired Immune Deficiency Sindrome ) dan belum dapat disembuhkan.
Penularan infeksi HIV pada komunitas pecandu narkoba suntik (Injecting Drug Users
/ IDU) sangat rentan terjadi melalui mekanisme pertukaran jarum suntik. Pemodelan
penyebaran infeksi menggunakan asumsi bahwa pecandu yang sudah mengidap AIDS
ikut berbagi jarum suntik dalam kmonuitas IDU. Kekuatan infeksi sangat dipengaruhi
oleh mekanisme pertukaran jarum suntik dan untuk menganalisa perilaku penyebaran
infeksi pada komunitas IDU terlebih dahulu menentukan basic reprodution ratio ( )
dan dua titik kesetimbangan dari model yaitu titik kesetimabngan bebas infeksi dan
titik kesetimbangan epidemik. Kemudian ditentukan titik kestabilan dari titik
kesetimbangan bebas infeksi tersebut dengan menggunakan teorema kestabilan
Lyapunov. Kesimpulan dari penelitian menunjukkan bahwa jika
> 1 maka infeksi
HIV mewabah pada komunitas IDU dan sebaliknya jika
≤ 1 maka infeksi HIV
tidak mewabah pada komunitas IDU.
Kata Kunci : infeksi HIV, komunitas IDU, kekuatan infeksi, basic reproduction
ratio, titik kesetimbangan dan kestabilan.
Universitas Sumatera Utara
MODELS FOR TRANSMISSION OF HIV INFECTION IN INJECTING DRUG
USERS (IDU) COMMUNITY
ABSTRACT
HIV (Human Immunodeficiency Virus) is a virus that can cause AIDS (Acquired
Immune Deficiency Syndrome) and can not be cured. Transmission of HIV infection
in injecting drug addicts community (Injecting Drug Users / IDU) are vulnerable
happen through needle exchange mechanism. Modeling the spread of infection using
the assumption that addicts who already have AIDS participated in a community
syringe sharing IDU. Infection is strongly influenced by the strength of needle
exchange mechanism and to analyze the behavior of the spread of infection in the IDU
community first determine the basic reprodution ratio ( ) and two equilibrium points
of the model are free infection equilibrium and the equilibrium point of the epidemic.
Then, determined point stability of the free infection equilibrium point by using
Lyapunov stability theorem. Conclusions of the study indicate that if
> 1 then the
epidemic of HIV infection in the IDU community and otherwise if
≤ 1 then no
epidemic
of
HIV
infection
in
the
IDU
community.
Keywords :
HIV infection, IDU community, the strength of the infection, basic
reproduction ratio, the point of equilibrium and stability.
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
iv
v
vi
viii
ix
x
Persetujuan
Pernyataan
Penghargaan
Abstrak
Abstract
Daftar Isi
Daftar Tabel
Daftar Gambar
Daftar Lampiran
Bab 1. Pendahuluan
1.1. Latar Belakang
1.2. Perumusan Masalah
1.3. Batasan Masalah
1.4. Tujuan Penelitian
1.5. Kontribusi Penelitian
1.6. Metodologi Penelitian
1
3
3
3
4
4
Bab 2. Tinjauan Pustaka
2.1. Sistem Persamaan Diferensial
2.1.1. Sistem Persamaan Diferensial Linier
2.1.2. Sistem Persamaan Diferensial Nonlinier
2.2. Kesetimbangan dan Kestabilan
2.3. Peluang
2.3.1. Peluang Bersyarat
2.4. Distribusi Poisson
2.4.1. Proses Poisson
2.5. Basic Reproduction Ratio
6
7
7
7
12
12
13
15
16
Bab 3. Pemodelan Penyebaran Infeksi HIV pada komunitas Injecting Drug Users
(IDU).
3.1. Pembentukan Model
19
3.2. Kekuatan Infeksi
23
3.3. Analisis Kualitatif Model
29
3.4. Basic Reproduction Ratio
34
3.5. Kesetimbangan dan Kestabilan Model
35
3.5.1. Titik Kesetimbanga Bebas Infeksi
36
3.5.2. Titik Kesetimbanga Epidemik
37
3.5.3. Kestabilan Titik kesetimbangan
38
Universitas Sumatera Utara
Bab 4. Simulasi Pemodelan Penyebaran Infeksi HIV pada komunitas Injecting Drug
Users (IDU).
44
4.1. Simulasi 1 : Dinamika
4.2. Simulasi 2 : Potret Fase pada saat
1
49
4.3. Simulasi 3 : Potret Fase pada saat
>1
51
Bab 5. Kesimpulan dan Saran
5.1. Kesimpulan
5.2. Saran
55
56
Daftar Pustaka
57
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Tabel
3.1.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
Judul
Variabel dan parameter model
Nilai parameter pada simulasi 1
Penurunan
terhadap dalam persentase
terhadap dalam persentase
Kenaikan
Penurunan
terhadap dalam persentase
Nilai parameter pada simulasi 2
Nilai parameter pada simulasi 3
Halaman
21
44
45
47
48
49
51
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar
3.1.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
Judul
Halaman
Diagram penyebaran infeksi HIV pada komunitas IDU
Dinamika
pada populasi susceptible
Dinamika
pada populasi infectious
Dinamika
pada populasi pengidap AIDS
1
Jumlah populasi susceptibles terhadap waktu saat
1
Jumlah populasi infectious terhadap waktu saat
Jumlah populasi Pengidap AIDS terhadap waktu saat
1
Jumlah populasi susceptibles terhadap waktu saat
>1
Jumlah populasi infectious terhadap waktu saat
>1
Jumlah populasi Pengidap AIDS terhadap waktu saat
>1
21
45
46
48
50
50
51
52
53
53
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor
Lampiran
Judul
1.
Source Code Simulasi 1 : Dinamika
2.
Source Code Simulasi 2 : Potret Fase pada saat
3.
Source Code Simulasi 3 : Potret Fase saat
Halaman
58
1
1
60
62
Universitas Sumatera Utara
INJECTING DRUG USERS (IDU)
SKRIPSI
HAMKA SUTRA
100803063
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
PEMODELAN PENYEBARAN INFEKSI HIV PADA KOMUNITAS
INJECTING DRUG USERS (IDU)
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai
gelar Sarjana Sains
HAMKA SUTRA
100803063
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
: Pemodelan Penyebaran Infeksi HIV pada Komunitas
Injecting Drug Users (IDU)
: Skripsi
: Hamka Sutra
: 100803063
: Sarjana (S1) Matematika
: Matematika
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, April 2014
Komisi Pembimbing
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Esther S. M. Nababan, M.sc.
NIP. 19610318 198711 2 001
Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D.
NIP. 19620901 198803 1 002
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D.
NIP. 19620901 198803 1 002
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PEMODELAN PENYEBARAN INFEKSI HIV PADA KOMUNITAS
INJECTING DRUG USERS (IDU)
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa kutipan
dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, April 2014
HAMKA SUTRA
100803063
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT Tuhan Yang Maha Pemurah dan
Maha Penyayang, atas semua kasih sayang dan limpahan karunia-Nya sehingga
penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Pemodelan
Penyebaran Infeksi HIV Pada Komunitas Injecting Drug Users (IDU).
Terimakasih penulis sampaikan kepada Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D. selaku
pembimbing 1 dan Dr. Esther S. M. Nababan, M.Sc. selaku pembimbing 2 yang telah
meluangkan waktunya selama penyusunan skripsi ini. Terimakasih kepada Prof. Dr.
Tulus, M.Si. Ph.D. dan Dr. Mardiningsih, M.Si. selaku Ketua Departemen dan
Sekretaris Departemen Matematika FMIPA-USU Medan, Dekan dan Pembantu Dekan
FMIPA USU, seluruh Staf dan Dosen Matematika FMIPA USU, pegawai FMIPA
USU dan rekan-rekan kuliah angkatan 2010 Matematika FMIPA USU. Akhirnya tidak
terlupakan ucapan terimakasih kepada Ayahanda Khairuman (Alm) dan Ibunda
Yulianis (Almh) serta saudara-saudari penulis Mazwanni, Elma Diana, Mizral, Ismar
Rosidi, Safrillah dan Litriyanni yang selama ini memberikan bantuan baik secara
materi maupun moral dan dorongan semangat yang diperlukan. Semoga Allah SWT
Tuhan Yang Maha Esa akan membalasnya.
Universitas Sumatera Utara
PEMODELAN PENYEBARAN INFEKSI HIV PADA KOMUNITAS
INJECTING DRUG USERS (IDU)
ABSTRAK
HIV (Human Immunodeficiency Virus) merupakan virus yang dapat menyebabkan
AIDS (Acquired Immune Deficiency Sindrome ) dan belum dapat disembuhkan.
Penularan infeksi HIV pada komunitas pecandu narkoba suntik (Injecting Drug Users
/ IDU) sangat rentan terjadi melalui mekanisme pertukaran jarum suntik. Pemodelan
penyebaran infeksi menggunakan asumsi bahwa pecandu yang sudah mengidap AIDS
ikut berbagi jarum suntik dalam kmonuitas IDU. Kekuatan infeksi sangat dipengaruhi
oleh mekanisme pertukaran jarum suntik dan untuk menganalisa perilaku penyebaran
infeksi pada komunitas IDU terlebih dahulu menentukan basic reprodution ratio ( )
dan dua titik kesetimbangan dari model yaitu titik kesetimabngan bebas infeksi dan
titik kesetimbangan epidemik. Kemudian ditentukan titik kestabilan dari titik
kesetimbangan bebas infeksi tersebut dengan menggunakan teorema kestabilan
Lyapunov. Kesimpulan dari penelitian menunjukkan bahwa jika
> 1 maka infeksi
HIV mewabah pada komunitas IDU dan sebaliknya jika
≤ 1 maka infeksi HIV
tidak mewabah pada komunitas IDU.
Kata Kunci : infeksi HIV, komunitas IDU, kekuatan infeksi, basic reproduction
ratio, titik kesetimbangan dan kestabilan.
Universitas Sumatera Utara
MODELS FOR TRANSMISSION OF HIV INFECTION IN INJECTING DRUG
USERS (IDU) COMMUNITY
ABSTRACT
HIV (Human Immunodeficiency Virus) is a virus that can cause AIDS (Acquired
Immune Deficiency Syndrome) and can not be cured. Transmission of HIV infection
in injecting drug addicts community (Injecting Drug Users / IDU) are vulnerable
happen through needle exchange mechanism. Modeling the spread of infection using
the assumption that addicts who already have AIDS participated in a community
syringe sharing IDU. Infection is strongly influenced by the strength of needle
exchange mechanism and to analyze the behavior of the spread of infection in the IDU
community first determine the basic reprodution ratio ( ) and two equilibrium points
of the model are free infection equilibrium and the equilibrium point of the epidemic.
Then, determined point stability of the free infection equilibrium point by using
Lyapunov stability theorem. Conclusions of the study indicate that if
> 1 then the
epidemic of HIV infection in the IDU community and otherwise if
≤ 1 then no
epidemic
of
HIV
infection
in
the
IDU
community.
Keywords :
HIV infection, IDU community, the strength of the infection, basic
reproduction ratio, the point of equilibrium and stability.
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
iv
v
vi
viii
ix
x
Persetujuan
Pernyataan
Penghargaan
Abstrak
Abstract
Daftar Isi
Daftar Tabel
Daftar Gambar
Daftar Lampiran
Bab 1. Pendahuluan
1.1. Latar Belakang
1.2. Perumusan Masalah
1.3. Batasan Masalah
1.4. Tujuan Penelitian
1.5. Kontribusi Penelitian
1.6. Metodologi Penelitian
1
3
3
3
4
4
Bab 2. Tinjauan Pustaka
2.1. Sistem Persamaan Diferensial
2.1.1. Sistem Persamaan Diferensial Linier
2.1.2. Sistem Persamaan Diferensial Nonlinier
2.2. Kesetimbangan dan Kestabilan
2.3. Peluang
2.3.1. Peluang Bersyarat
2.4. Distribusi Poisson
2.4.1. Proses Poisson
2.5. Basic Reproduction Ratio
6
7
7
7
12
12
13
15
16
Bab 3. Pemodelan Penyebaran Infeksi HIV pada komunitas Injecting Drug Users
(IDU).
3.1. Pembentukan Model
19
3.2. Kekuatan Infeksi
23
3.3. Analisis Kualitatif Model
29
3.4. Basic Reproduction Ratio
34
3.5. Kesetimbangan dan Kestabilan Model
35
3.5.1. Titik Kesetimbanga Bebas Infeksi
36
3.5.2. Titik Kesetimbanga Epidemik
37
3.5.3. Kestabilan Titik kesetimbangan
38
Universitas Sumatera Utara
Bab 4. Simulasi Pemodelan Penyebaran Infeksi HIV pada komunitas Injecting Drug
Users (IDU).
44
4.1. Simulasi 1 : Dinamika
4.2. Simulasi 2 : Potret Fase pada saat
1
49
4.3. Simulasi 3 : Potret Fase pada saat
>1
51
Bab 5. Kesimpulan dan Saran
5.1. Kesimpulan
5.2. Saran
55
56
Daftar Pustaka
57
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Tabel
3.1.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
Judul
Variabel dan parameter model
Nilai parameter pada simulasi 1
Penurunan
terhadap dalam persentase
terhadap dalam persentase
Kenaikan
Penurunan
terhadap dalam persentase
Nilai parameter pada simulasi 2
Nilai parameter pada simulasi 3
Halaman
21
44
45
47
48
49
51
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar
3.1.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
Judul
Halaman
Diagram penyebaran infeksi HIV pada komunitas IDU
Dinamika
pada populasi susceptible
Dinamika
pada populasi infectious
Dinamika
pada populasi pengidap AIDS
1
Jumlah populasi susceptibles terhadap waktu saat
1
Jumlah populasi infectious terhadap waktu saat
Jumlah populasi Pengidap AIDS terhadap waktu saat
1
Jumlah populasi susceptibles terhadap waktu saat
>1
Jumlah populasi infectious terhadap waktu saat
>1
Jumlah populasi Pengidap AIDS terhadap waktu saat
>1
21
45
46
48
50
50
51
52
53
53
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor
Lampiran
Judul
1.
Source Code Simulasi 1 : Dinamika
2.
Source Code Simulasi 2 : Potret Fase pada saat
3.
Source Code Simulasi 3 : Potret Fase saat
Halaman
58
1
1
60
62
Universitas Sumatera Utara