Rancangan Bujur Sangkar Latin (RBSL)

  

PERCOBAAN SATU FAKTOR:

RANCANGAN BUJUR SANGKAR

LATIN (LATIN SQUARE DESIGN)

Arum H. Primandari, M.Sc.

  

Rancangan Bujur Sangkar Latin (RBSL)

• Pada kondisi-kondisi tertentu, keheterogenan unit percobaan tidak bisa dikendalikan hanya dengan satu sisi keragaman unit-unit percobaan.

  

Salah satu yang mampu mengendalikan keragaman lebih dari satu adalah

• RBSL.
• RAKL hanya mengendalikan keragaman dari satu arah, sementara RBSL

  mengendalikan keragaman dari dua arah (baris dan kolom) Kelebihan dan Kekurangan

• Kelebihan:
• mampu mengendalikan komponen keragaman unit
• – unit percobaan dari dua arah (arah baris dan arah kolom).
• Kekurangan:
• persyaratan RSBL sering dianggap kekurangan, yaitu bahwa jumlah ulangan harus sama dengan jumlah perlakuan.
• Untuk jumlah perlakuan yang lebih kecil dari 4 akan mengakibatkan jumlah db galat percobaan menjadi sangat kecil dengan konsekuensi bahwa galat percobaan akan menjadi besar.
• Akibat dari dua kekurangan sebelumnya, RBSL hanya digunakan untuk percobaan yang menggunakan 4
• – 8 perlakuan.
Syarat RBSL

• Jumlah perlakuan = jumlah baris = jumlah kolom
• Pengacakan, setiap perlakuan harus muncul sekali di setiap baris dan sekali di setiap kolom

  Pengacakan dan Denah Rancangan

• Kasus: suatu penelitian melibatkan 4 perlakuan (A, B, C, D)

  dimana penempatan perlakuan diacak berdasar posisi baris dan kolom.

• Oleh karena Jumlah perlakuan = jumlah baris = jumlah kolom,

  maka banyak unit percobaan adalah 4 x 4 = 16.
• Penempatan perlakuan harus memperhatikan aturan: setiap

  perlakuan hanya muncul sekali pada arah baris dan sekali pada

  arah kolom.
• Cara pengacakannya yaitu: 1.

  Tempatkan perlakuan pada arah diagonal secara acak.

  1 A C D B

  2 B A C D

  3 D B A C

  4 C D B A

  1

  2

  3

  4

  2. Acaklah penempatan baris

  2 A D B C

  3

  1

  4

  2

  1 C B A D

  4 D A C B

  3 B C D A

  3 D B A C

  4

  3

  2

  1

  1 A C D B

  4 C D B A

  2 B A C D

  3. Acaklah penempatan kolom Bagan percobaan akhir Tabulasi Data

  Model Linier

• Model linier untuk RBSL:

  i, j,k 1,2,...,r  = + ; , , = 1,2, … + + + _{iid 2} dengan

   N 0,  _ij  

  

Y : nilai pengamatan pada perlakuan ke-k dalam baris ke-i dan

ijk kolom ke-j μ: rataan umum

  : pengaruh baris ke-i α i

  : pengaruh kolom ke-j β j

  : pengaruh perlakuan ke-k τ k

  : pengaruh galat percobaan dari perlakuan ke-k pada baris ε ijk ke-i dan kolom ke-j Asumsi

• Asumsi untuk model tetap
• Asumsi untuk model acak

    ^{t r t iiid 2 i j k ijk} _{i 1 j 1 i 1}

  0, 0, 0 dan N 0,   

         

             ^{iid iid iid iiid 2 2 2 2 i j k ijk}

  N 0, , N 0, , N 0, dan N 0,   

         

  Hipotesis Model Tetap

• Hipotesis pengaruh perlakuan

         H : ...

  Tidak terdapat perbedaan pengaruh

  1 2 r

  perlakuan terhadap respon

  H :   0,(k  1,2,...,r) 1 k

  Minimal terdapat satu perbedaan pengaruh perlakuan terhadap respon

• Hipotesis pengaruh baris

         H : ...

  1 2 r H :   0,(i 1,2,...,r) 

  1 i

• Hipotesis pengaruh kolom

  H :     ...   

  1 2 r   

  H : 0,( j 1,2,...,r) 1 j

  

Hipotesis Model Acak

• Hipotesis pengaruh perlakuan
₂ H :

    ₂  H : ₁  

  

• Hipotesis pengaruh baris
₂ H :

    ₂  H : ₁  

  

• Hipotesis pengaruh kolom
₂ H :

    ₂  H : ₁  

   Perhitungan

2 Y

   FK

  

  2 r r r r

  2 JKT  Y  FK ijk

  

  i 1 j 1 k 1   

  2 r Y i

JKB   FK

  

  r i 1 

  2 r Y j

JKK   FK

  

  r j 1 

  2 r Y k

JKP   FK

  

  r k 1 

JKG  JKT JKB JKK    JKP

  Tabel Analisis Variansi

SV db JK KT F-hitung

Perlakuan r JKP KTP KTP/KTG

• – 1

  Baris r JKB KTB KTB/KTG

• – 1

  Kolom r JKK KTK KTK/KTG

• – 1 Galat (r JKG KTG
₂ – 1)(r – 2) Total
• – 1

  Uji Hipotesis, maka kriteria keputusan : H ditolak jika: F F  hitung ,r 1,(r 1)(r 2)     Efisiensi Relatif (ER) dari RBSL

• Tingkat efisiensi RBSL terhadap RAK:
₂

  db 1 db

  3  

  

   l   b  ˆ _b

  ER   ₂ db 3 db

  1   

  ˆ

   l   b  l dimana : derajat bebas galat dari RBSL, : derajat bebas

  ℓ galat dari RAK, ragam galat dari RBSL dan RAK: ₂ KTG

    ˆ _l r 1 KTK r 1 r 1 r 2 KTG

        _{2  }         

  ˆ _b r r 1 

   

• Misal ER = 5 berarti agar sensifitas RAK sama dengan RBSL

  maka ulangan dalam RAK sebanyak 5 kali dari banyak kolom

Efisiensi RBSL terhadap RAK
• Efisiensi RBSL terhadap RAK terdapat 2 ukuran: 1.

  Memperlakukan baris sebagai kelompok

• Dugaan KTG (RAK):

  f KTK f f KTG _{c  t e }   KTG(RAK)

   f f f _{c t e}  

  dengan: KTK dan KTG adalah kuadrat tengah kolom dan kuadrat tengah galat dari RBSL; f , f , f berturut-turut adalah derajat bebas untuk kolom, c t e perlakuan, dan galat dari RBSL.

2. Memperlakukan kolom sebagai kelompok

• Dugaan KTG (RAK) adalah:

  f KTB f f KTG _{r  t e }   KTG(RAK)

   f f f _{r t e}  

  dengan: KTB dan KTG adalah kuadrat tengah baris dan kuadrat tengah galat dari RBSL; f , f , f berturut-turut adalah derajat bebas untuk baris, r t e perlakuan, dan galat dari RBSL.

• dengan demikian, ER(RBSL terhadap RAK) dihitung berdasarkan

  formula:

  f 1 f

  3 KTG(RAK)  

   ^{1  2 }

  ER(RBSL terhadap RAK)  f 1 f

  3 KTG(RBSL)  

   ^{2  1 } dengan: f dalah db galat untuk RBSL dan f adalah db galat untuk RAK.

  1

  2 Data Hilang dalam RBSL

• Pendugaan data hilang:

  r B K P

  2G   

   

  Y  r 1 r 2

   

    

• dengan: r: banyaknya perlakuan.

  

B: total nilai pengamatan dari baris yang mengandung data hilang.

K: total nilai pengamatan dari kolom yang mengandung data hilang. P: total nilai pengamatan dari perlakuan yang mengandung data hilang.

  G: total seluruh pengamatan

  Bias

• Jumlah kuadrat perlakuan melalui analisis ragam akan berbias ke atas dengan besar bias:
₂ G B K r 1 P

     

     

  Bias  ₂ r 1 r 2

   

     Latihan

  > stripchart(nilai~waktu , method=“jitter”, pch=19, col=“blue”, xlab =“waktu”, ylab=“nilai”,vertical=TRUE) Pengulangan dari RBSL

• Salah satu kelemahan RBL berukuran kecil adalah bahwa

  rancangan itu hanya memiliki derajat bebas yang kecil, konsekuensinya tingkat ketelitian akan rendah.

• Misalkan: untuk RBSL 3 ×3 hanya memiliki db: (3-1)(3-2)=2
• Oleh karena itu, apabila kita menggunakan RBSL dalam ukuran

  kecil, sering dipertimbangkan untuk mengulang RBSL tersebut

  sehingga diperoleh db galat yang besar.
• Contoh: Kita melakukan percobaan pemberian makanan jenis A, B, dan

  C pada sapi. Dalam percobaan, kita menggunakan RBSL ukuran

  3 ×3, dengan menyiapkan 3 ekor sapi untuk dicobakan secara bergantian selama 3 periode waktu.

  Misalkan denah percobaannya adalah:

  1 A B C

  2 B C A

  3 C A B

  1

  2

  P eriode Untuk meningkatkan db galat, maka kita mengulang percobaan dengan RBL 3 ×3 itu sebanyak n kali, katakanlah sebanyak 3 atau 4 kali.

3 Sapi

  Periode Sapi

  6 C A B

  12 C A B

  11 B C A

  10 A B C

  9 B C A

  8 A B C

  7 C A B

  5 A B C

  1

  4 B C A

  3 C A B

  2 B C A

  1 A B C

  3

  2

  RBSL ukuran 3 ×3 RBSL ukuran 3 ×3 RBSL ukuran 3 ×3 RBSL ukuran 3 ×3

• Derajat bebas dari 4 buah RBSL 3 ×3:

  SV db

  Baris/ Periode dalam RBSL (Ulangan) nr

• – 1 = (4)(3) – 1 = 11 Kolom (sapi) r
• – 1 = 3 – 1 = 2 Perlakuan (makanan) r
• – 1 = 3 – 1 = 2 Galat

  (r

• – 1)(nr – 2) = (2)(10) = 20

  Total nr ²

• – 1 = 35
Perhitungan

  2 Y FK 

   2 nr r r r r

2 JKT Y FK

    ijkl

  

  i 1 j 1 k 1 l 1     r

  1 ^ 2 JK(RBSL) JK(ulangan) Y l FK

    

  2

  

  r l 1

  

  2 r r r Y

  1

  2 i l JKB(RBSL) Y l

    

  2

   

  r r i 1 l 1   l 1 

  2 r Y j

JKK FK

   

  

  nr j 1 

  2 r Y k

JKP FK

   

  

  nr k 1  Tabel Anava SV db JK KT F _{Baris/ Periode nr}

• – 1 ^{JK(RBSL) + JKB(RBSL) KTB} _{Kolom r}
• – 1 ^{JKK KTK} _{Perlakuan r}
• – 1 ^{JKP KTP KTP/KTG} _{Galat (r– 1)(nr – 2) ^{JKG KTG} Total nr}
2<
• – 1
^JKT
Referensi
• Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan, Tarsito, Bandung.
• Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I,

  Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPB Press, Bandung.

• Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis of

  th Experiments 5 Ed, John Wiley &amp; Sons, Inc., USA.