Makalah matematika (3) Makalah matematika (3) Makalah matematika (3)

MATERI PELAJARAN MATEMATIKA
DI
S
U
S
U
N

OLEH :

ALMUNANDAR

KELAS : XII (TKJ)
PEL

: MATEMATIKA

SMK NEGERI 2 LANGSA
TAHUN PELAJARAN 2017-2018

PELUANG

1. Kaidah Pencacahan
Kaidah pencacahan adalah suatu ilmu yang berkaitan dengan menentukan

banyaknya cara suatu percobaan dapat terjadi. Menentukan banyakya cara suatu
percobaan dapat terjadi dilakukan dengan: aturan penjumlahan, aturan perkalian. a. Aturan
Penjumlahan
Jika ada sebanyak a benda pada himpunan pertama dan ada sebanyak b benda
pada himpuan kedua, dan kedua himpuan itu tidak beririsan, maka jumlah total
anggota di kedua himpuan adalah a + b.
Contoh : 1
Jika seseorang akan membeli sebuah sepeda motor di sebuah dealer. Di dealer itu
tersedia 5 jenis Honda, 3 jenis Yamaha, dan 2 jenis Suzuki. Dengan demikian orang
tersebut mempunyai pilihan sebanyak 5 + 3 + 2 = 10 jenis sepeda motor.
Contoh : 2
Ibu Alya seorang guru SMK. Ia mengajar kelas XII Akuntansi yang jumlahnya 40
siswa, kelas XII penjualan yang jumlahnya 42 siswa, kelas XII bisnis, yang
kumlahnya 45 siswa, maka jumlah siswa yang diajar Ibu Alya adalah 40 + 42 + 45 =
127 siswa. b. Aturan Perkalian
Pada aturan perkalian ini dapat diperinci menjadi dua, namun keduanya saling
melengkapi dan memperjelas. Kedua kaidah itu adalah menyebutkab kejadian

satu persatu dan aturan pemngisian tempat yang tersedia.
1) Menyebutkan kejadian satu persatu
Contoh : 1
Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar secara bersamaan. Berapa hasil
yang berlainan dapat terjadi ?
Penyelesaian :
Dengan diagram pohon diperoleh:

Hasil yang mungkin : G1, G2, G3,G4, G5, G6, A1, A2, A3, A4, A5, A6
Catatan :

G1 artinya uang menunjukkan gambar dan dadu menunjukkan

angka 1. Dengan demikian banyaknya cara hasil yang berkaitan
dapat terjadi adalah 12 cara. 2) Aturan pengisian tempat yang tersedia
Menentukan banyaknya cara suatu percobaan selalu dapat diselesaikan
dengan meyebutkan kejadian satu persatu. Akan tetapi, akan mengalami
kesulitan kejadiannya cukup banyak. Hal ini akan lebih cepat jika diselesaikan
dengan menggunakan aturan pengisian tempat yang tersedia atau dengan
mengalikan.

Contoh 1:
Alya mempunyai 5 baju dan 3 celana. Berapa cara Alya dapat memakai baju
dan celana?
Uang Hasil yang mungkin
G
Dadu
123456
A
123456
G1 G2 G3 G4 G5 G6 A1 A2 A3 A4 A5 A6
Peyelesaian :
Misalkan kelima baju itu B1, B2, B3, B4, B5 dan ketiga celana itu C1, C2, C3. Hasil
yang mungkin terjadi adalah….

Jadi banyaknya cara Alya dapat memakai baju da celana = 15 cara
Langkah diatas dapat diselesaikan dengan:
Baju

Celana

Jadi, ada 5 x 3 cara = 15 cara
Contoh 2:
Salma mempunyai 5 baju, 3 celana, 2 sepatu dan 4 topi. Tentukan berapa
cara
Salma dapat memakainya?
Baju

Celana

Sepatu

Topi

Jadi, ada 5 x 3 x 2 x 4 cara = 120 cara.
Secara umum dapat dirumuskan:
Contoh 3:
Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 6, berapa banyaknya bilangan yang
terdiri
dari 4 angka yang dapat disusun? a) tanpa pengulangan b) boleh berulang
Penyelesaian : a) Tanpa pengulangan

Empat angka berarti ribuan, sehingga diperlukan empat tempat
5 cara 3 cara
5 cara 3 cara 2 cara 4 cara
Bila tempat pertama dapat diisi n1 cara, tempat kedua dengan n2 cara,…,
tempat k dapat diisi nk cara, maka banyakya cara mengisi k tempat yang
tersedia adalah: n1x n2x…xnk cara.
Ribuan

Ratusan

Puluhan

Satuan

Angka nol (0) tidak mungkin menempati urutan pertama sehingga yang
mungkin angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 atau 6 cara dan tanpa pengulangan maka :

Jadi banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah: 6 x 6 x 5 x 4 = 720
bilangan b) Pengulangan
Angka nol tidak mungkin menempati urutan pertama sehingga ada 6 cara,

untuk urutan kedua dan seterusnya masing-masing tujuh cara sebab
semua angka memungkinkan karena berulang maka diperoleh:

Jadi banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah: 6 x 7 x 7 x 7 = 2058
bilangan
Contoh 4:
Tentukan banyaknya bilangan ganjil yang terdiri tiga angka yang disusun
dari
angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5. a) Angka tidak berulang b) Angka boleh
berulang
Penyelesaian: a) Angka tidak berulang

Bilangan yang disusun adalah bilangan ganjil, maka kotak satuan dapat
diisi
dengan angka 1, 3, dan 5 (3 cara)
6654
6777
433
Ada syarat angka tidak berulang, maka kotak ratusan bisa diisi dengan 4
cara (karena sudah diambil satu angka), dan kotak puluhan dapat diisi

dengan 3 cara. Jadi banyaknya bilangan = 4 x 3 x 3 bilangan
= 36 bilangan
b) Angka boleh berulang

Karena yang disusun bilangan ganjil, maka kotak satuan diisi dengan 3
cara
Angka boleh berulang, maka kotak ratusan dapat diisi angka 1, 2, 3, 4 dan
5
(5 cara) dan kotak puluhan juga 5 cara. Jadi banyaknya bilangan = 5 x 5 x
3 bilangan
= 75 bilangan
2. Permutasi
Permutasi dari sejumlah objek adalah susunan objek dalam urutan
berhingga a. Notasi Faktorial
Untuk masing-masing bilangan bulat positif n,
n! = � ∙ (� − 1) ∙ (� − 2) ∙ ∙ ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
Demikian juga, 0! = 1. b. Notasi nPr
Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan � ≤ �, banyaknya permutasi
dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu adalah

nPr =
�! (�−�)!

Contoh soal
Berapa banyaknya permutasi dari pengambilan 5 kartu pada 52 kartu?
Penyelesaian:
Banyaknya permutasi dari 52 kartu yang diambil 5 pada suatu waktu
adalah
52P5, atau
52!: (52−5)!

52! : (52 − 5)!=52 ∙ 51 ∙ 50 ∙ 49 ∙ 48 ∙ 47 ∙ 46⋯3 ∙ 2 ∙ 1 : 47 ∙ 46⋯3 ∙
2∙1
= 52 ∙ 51 ∙ 50 ∙ 49 ∙ 48 ∙ 47
= 311.875.200
Ada 311.875.200 permutasi dari pemilihan 5 kartu dari 52 kartu

c. Permutasi dengan Pengulangan
Untuk semua bilangan positif n dan r dengan � ≤ �, banyaknya permutasi
yang berbeda dari n objek, r diantaranya sama, adalah

Secara umum, jika ada r1 objek jenis pertama, r2 objek jenis kedua, dan
seterusnya, ada
�! :�1!�2! ⋯ permutasi dari n objek yang berbeda
Contoh soal
Berapa banyaknya permutasi yang berbeda dari kata MISSISSIPI?
Penyelesaian
Ada 11 huruf yaitu 4 huruf I, 4 huruf S, dan 2 huruf P. Sehingga, ada

Ada 34.650 permutasi yang berbeda dari kata MISSISSIPI
3. Kombinasi
Kombinasi adalah pemilihan objek tanpa memperhatikan urutannya. a.
Notasi ��� Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan � ≤ �, banyaknya
kombinasi n
objek yang diambil 4 objek pada suatu waktu adalah

PP
C

rr

rn rn  
Contoh Soal
Berapa banyaknya cara untuk memilih 3 siswa SMP dan 4 siswa SMA dari
sebuah sekolah kursus dengan 10 mahasiswa tingkat pertama, 15
mahasiswa
tingkat kedua, 18 siswa SMP, dan 20 siswa SMA untuk bernyanyi?
Penyelesaian

4. Peluang (Probabilitas).
a. Konsep dasar Peluang
Peluang (Probabilitas) merupakan suatu konsep matematika yang
digunakan
untuk melihat kemungkinan terjadinya sebuah kejadian. Beberapa istilah
yang
perlu diketahui dalam mempeajari konsep peluang adalah sebagai berikut:
1) Ruang sampel merupakan himpunan semua hasil yang mungkin dari
sebuah
percobaan
2) Titik sampel merupakan anggota yang ada pada ruang sampel
3) Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel

Peluang suatu kejadian dapat didefinisikan, Jika N adalah banyaknya titik
sampel pada
ruang sampel S suatu percobaan dan E merupakan suatu kejadian dengan
banyaknya n
pada percobaan tersebut, maka peluang kejadian E adalah P(E) =

��
b. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang suatu
kejadian.
1) Peluang suatu kejadian, jika � (�) = banyak kejadian �, maka peluang
kejadian � adalah :

Contoh soal: Sebuah kartu diambil dari setumpuk kartu remi. Berapa
peluang bahwa yang diambil itu kartu queen?
Penyelesaian:

2) Peluang komplemen suatu kejadian
Peluang komplemen dari suatu kejadian adalah peluang dari satu kejadian
yang berlawanan dengan suatu kejadian yang ada. Komplemen dari suatu
kejadian A merupakan himpunana dari seluruh kejadian yang bukan A.
complement dari suatu kejadian dapat ditulis dengan A’. Maka peluang
komplemen dituliskan sebagai berikut:
� (�′) = 1 − � (�)
Contoh soal: Apabila sebuah dadu bermata 6 dilempar, maka peluang
untuk
tidak mendapat sisi dadu 4 adalah
Penyelesaian :

3) Frekuensi harapan suatu kejadian
Frekuensi harapan suatu kejadian adalah hasil kali munculnya suatu
kejadian
dengan banyaknya percobaan yang dilakukan
�ℎ = � (�) × �
Contoh soal: Pada pelemparan sebuah koin, nilai peluang munculnya
gambar
adalah
1 :2 apabila pelemparan koin dilakukan sebanyak 30 kali maka harapan
munculnya gambar adalah…
Penyelesaian: �ℎ = � (�) × �
�ℎ =
1: 2× 30
�ℎ = 15 kali
Jadi harapan munculnya gambar dari 30 kali pelemparan dadu adalah 15
kali.
4) Peluang dua kejadian tidak saling lepas
Dua kejadian dikatakan tidak saling lepas jika kedua kejadian tersebut
dapat
terjadi secara bersamaan
� (�∪�) = � (�) + � (�) − � (� ∩ �)
Contoh soal: sebuah dadu sisi enam dilemparkan satu kali, berapakah
peluang

munculnya mata dadu angka genap dan angka yang habis dibagi
3?
Penyelesaian: Ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6}
Misal D merupakan kejadian munculnya angka dadu genap, dan
B munculnya angka dadu yang habis di bagi tiga maka:
� = {2,4,6} , � = {3,6} dan � ∩ � = {1},
Sehingga n(�) = 3, n(�) = 2, dan (� ∩ �) = 1
Maka:

5) Peluang dua kejadian saling lepas
Dua kejadian dikatakan saling lepas jika kedua kejadian tersebut tidak
dapat
terjadi secara bersamaan
� (�∪�) = � (�) + � (�)
Contoh soal: Misalnya ketika memilih bola secara acak dari keranjang
yang
berisi 3 bola biru, 2 bola hijau dan 5 bola merah, peluang
mendapat bola biru atau merah adalah

6) Peluang dua kejadian saling bebas
Kejadian A dan Kejadian B dikatakan kejadian saling bebas jika kejadian A
tidak dipengaruhi oleh kejadian B atau sebaliknya maka berlaku:
� (� ∩ �) = � (�) × � (�)
Contoh soal: Ada dua kotak yang masing – masing memuat bola
berwarna
merah dan putih kotak I memuat 5 merah dan 4 putih serta
kotak II memuat 6 merah dan 3 putih. Jika masing - masing
kotak diambil 2 bola sekaligus, tentukan peluang terambilya 1
merah dan 1 putih pada kotak I dan 2 merah pada kotak II!
Penyelesaian: Misal A adalah kejadian pada kotak I yaitu terambil 1M dan
1P,
akan diambil dua bola sekaligus dari kotak I yang terdiri dari 9
bola

Misal B adalah kejadian pada kotak II yaitu terambil 2M akan
diambil dua bola sekaligus dari kotak II yang terdiri dari 9 bola

Maka peluang masing - masing kotak diambil 2 bola sekaligus,
tentukan peluang terambilya 1 merah dan 1 putih pada kotak I
dan 2 merah pada kotak II merupakan kejadian saling bebas

sehingga berlaku

7) Peluang dua kejadian tidak saling bebas (disebut juga peluang
bersyarat)
Dua kejadian disebut kejadian bersyarat apabila terjadi atau tidak
terjadinya
kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B
atau
sebaliknya.
� (� ∩ �) = � (�) × � (�⎹�)
Contoh soal: sebuah dadu dilempar sekali tentukan peluang munculnya
mata
dadu genap dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima
terlebih dahulu
Penyelesaian: Misal A adalah kejadian munculnya mata dadu prima
Ruang sampel: s = {1,2,3,4,5,6}, sehinga �(�) = 6
A = {2,3,5}, sehingga �(�)= 3
Peluang kejadian A: �(�) = 3: 6=1 :2
Misal B adalah kejadian munculnnya mata dadu genap
B = {2,4,6), sehingga irisannya � ∩ � = {2}, dengan �(� ∩ �) = 1
Peluang kejadian �(� ∩ �) = �(�∩�) �(�)=1 : 6
Jadi, peluang munculnya mata dadu genap dengan syarat munculnya
kejadian
mata dadu prima lebih dahulu

Lingkaran
adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik
tertentu itu disebut pusat lingkaran, sedangkan jarak titik terhadap pusat lingkaran disebut jari-jari
lingkaran.
Gambar dibawah ini menunjukkan lingkaran dengan pusat P dan jari-jari r.

A.

Persamaan Lingkaran
1.

Persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari r
Pada lingkaran disamping jari-jari atau r = OP, OQ = x dan PQ = y.

Jarak dari O (0, 0) ke P (x, y) adalah.

Berdasarkan rumus Pythagoras

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari r adalah x2 + y2 = r2
Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari 5
Jawab :

2.

Persamaan lingkaran yang berpusat P (a, b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r dapat diperoleh dari
persamaan lingkaran
yang
berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r dengan menggunakan teori
pergeseran. Jika pusat (0, 0) bergeser (a, b) maka titik (x, y) bergeser ke (x + a, y + b).
Kita peroleh persamaan.

Persamaan lingkaran menjadi (x’– a)2 + (y’ – b)2 = r2
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r adalah (x- a)2 + (y – b)2 = r2
Contoh 1 :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 2) dan berjari-jari 4
Jawab :
Pusat (3, 2) maka a = 3 dan b = 2
Persamaan lingkaran (x- a)2 + (y – b)2 = r2
(x- 3)2 + (y – 2)2 = 42
(x- 3)2 + (y – 2)2 = 16
Contoh 2 :
Tentukan persamaan lingkaran berpusat di titik P(2, 3) yang melalui Q(5, -1)
Jawab :

Pusat (2, 3) maka a = 2 dan b = 3
Persamaan lingkaran (x- a)2 + (y – b)2 = r2
(x- 2)2 + (y – 3)2 = 252
B.

Bentuk umum persamaan lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r adalah
(x- a)2 + (y – b)2 = r2
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
x2+ y2 – 2ax – 2by + a2+ b2– r2 = 0 atau x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0

Jadi bentuk umum persamaan lingkaran x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0

Contoh :
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2+ y2 – 4x +2y – 20= 0
Jawab :
A = -4, B = 2, dan C = -20

B.

Kedudukan Titik dan Garis Pada Lingkaran

Kedudukan Titik Pada Lingkaran
Letak K (m,n) terhadap X2+Y2 +Ax + By +C= 0 , ditentukan oleh nilai kuasa titik tersebut
terhadap lingkaran
nilai kuasa K = m2+n2 +Am + Bn +C,


K0

di dalam lingkaran

pada lingkaran

di luar lingkaran

Contoh 1:
Tentukan kedudukan titik-titik berikut terhadap lingkaran X2+y2 -8x -10y +16 =0 dan
gambarlah
a. H(-3,9) b L(7,9), c M(10,5), d N(1,7)
Jawaban:
K = (-3)2+92 -8.(-3) -10.9 +16 = 40, K > 0, diluar lingkaran

a.

H(-3,9)

b.

L(7,9)

c.

M(10,5) K = (10)2+52 -8.(10) -10.5 +16 = 11, K > 0, diluar lingkaran

d.

N(1,7) K = 12+72 -8.(1) -10.7 +16 = -12, K < 0, didalam lingkaran

K = (7)2+92 -8.(7) -10.9 +16 = 0, K = 0, pada lingkaran

Contoh 2:
Diketahui sebuah lingkaran X2+y2 -2x +6y -15 =0 dan sebuah titik S(m,1), tentukan batas nilai
m agar
a.

titik S didalam lingkaran

b.

titik S diluar lingkaran

Jawaban:
S(m,1)

K = kuasa
= m2 +12 - 2m +6.1 - 15
= m2 - 2m - 8

a. Syarat di dalam lingkaran, K< 0 m2 -2m -8 (2h − a, b)
x=h
(3, 5) ----------> ( 2(10) − 3, 5) = (17, 5)
b) Terhadap garis y = 8
y=k
(a, b) ----------> (a, 2k − b)
y=k
(3, 5) ----------> ( 3, 2(8) − 5) = (3, 11)

7.) Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:
a) Terhadap garis y = x
b) Terhadap garis y = − x
Pembahasan
a) Terhadap garis y = x
y=x
(a, b) ----------> ( b, a)
y=x
(3, 5) ----------> (5, 3)
b) Terhadap garis y = − x
y=−x
(a, b) ----------> ( − b, − a)
y=−x
(3, 5) ----------> (− 5, − 3)

ROTASI / PERPUTARAN

rotasi

½



3/2 



matriks

0 -1
1 -0 

-1 0
1 -1 

0 -1
-1 0 

perubahan titik

perubahan fungsi

(x,y)(-y,x)

F(x,y) = 0F(y,-x) = 0

(x,y) (-x,-y)

F(x,y) = 0F(-x,-y) = 0

(x,y) (y,-x)

F(x,y) = 0 F(-y,x) = 0

cos -sin

(x,y)  (x cos - y sinq, x sin  + y cos )

sin cos 

F(x,y) = 0 F(x cos  + y sin , -x sin  + y cos ) = 0

Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)
Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:

+90° atau –270° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-



9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)
+270° atau –90° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat



A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)
+180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat



A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)
Berdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan sebagai berikut :
Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)

Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):

Contoh Soal :

1.) Vektor diputar terhadap titik asal O sebesar
searah jarum jam. Kemudian hasilnya
dicerminkan terhadap garis
, menghasilkan vektor . Jika
, maka matriks = …

A.

B.

C.

D.

E.

Jawab :
Matriks tranformasi untuk rotasi dengan pusat rotasi (0, 0) dan sudut putar

(searah jarum jam

Matriks tranformasi untuk Refleksi terhadap

ditransformasi berturut-turut oleh
dan
adalah matriks komposisi dari
dan

menjadi

dengan hubungan

, sehingga

Jawaban : B

3.) Titik P (6√2, 10√2) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45°
menghasilkan titik P'. Tentukan koordinat dari titik P'.
Pembahasan
Rotasi sebuah titik dengan sudut sebesar α

Sehingga:

Catatan:
sudut α positif → berlawanan arah jarum jam
sudut α negatif → searah jarum jam
DILATASI / PENSKALAAN

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi:


dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan
koordinat A2(1, 3), B2(1, 1), C2(2, 1)



dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan
koordinat A3(6, 18), B3(6, 6), C3(12, 6)

Untuk nilai k negatif, arah bayangan berlawanan dengan arah aslinya.
Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :
Dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala k

Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0):

Contoh soal:
1. Tentukan bayangan persegi panjang ABCD dengan
A(2,2) , B(-2,2) , C(-2,-2) dan D(2,-2)
jika dilakukan transformasi Dilatasi pusat O dan skala 3 adalah....
jawab :
Jadi hasilnya A'(6,6) , B'(-6,6) , C'(-6,-6) dan D'(6,-6)
2. Bayangan garis x - y - 3 = 0 oleh D(O,4) adalah.....
Jawab :
Transformasinya adalah Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan skala 4
dengan menghilangkan tanda aksen dan mengalikan dengan 4 maka
bayangan / peta / hasilnya adalah x - y - 12 = 0
Bagaimana jika mendilatasikan dengan pusat di suatu titik yang
bukan titik O(0,0) misal A(p,q) dan faktor skala k ....???
maka bentuk operasinya menjadi :
atau dapat ditulis :

k.(x-p) = x' - p dan k.(y-q) = y' - q
3. Bayangan titik W(2,6) oleh dilatasi dengan pusat (2,-1) dan faktor
skala -2 adalah ......
Jawab :
-2(2-2) = x' - 2 maka x' = 2
-2(6+1) = y' +1 maka y' = - 15
jadi bayangannya W'(2,-15)
4. Bayangan garis y = x - 3 karena dilatasi faktor skala 4
dengan pusat A(1,2) adalah .....
Jawab :

atau dapat ditulis menjadi
sehingga bayangannya adalah :
atau ditulis y = x + 15 atau x - y + 15 = 0

Transformasi dengan Matriks Transformasi Tertentu

KOMPOSISI TRANSFORMASI
merupakan gabungan dari beberapa transformasi. Misalnya kita mempunyai transformasi T1 akan
dilanjutkan ke T2 maka ditulis T2oT1.

Komposisi Khusus :
1. Dua pencerminan yang berurutan terhadap sumbu-sumbu yang sejajar

2. Dua pencerminan yang berurutan terhadap dua sumbu yang tegak lurus ekuivalen dengan rotasi
180º yang pusatnya adalah titik potong kedua sumbu tersebut.
3. Dua pencerminan terhadap dua sumbu yang berpotongan ekuivalen dengan rotasi dimana titik
pusat adalah titik potong kedua sumbu dan sudutnya adalah sudut antara kedua sumbu.
4. Dua rotasi berurutan terhadap pusat yang sama ekuivalen dengan rotasi dimana pusatnya sejauh
jumlah sudut keduanya.

LUAS HASIL TRANSFORMASI
Transformasi yang berupa translasi, refleksi, dan rotasi tidak mengubah luas suatu benda

Mencari luas segitiga ABC jika diketahui koordinat titik A, B, dan C nya, maka kita dapat gunakan
rumus :

Perhatikan contoh soal transformasi berikut ini.
Tentukanlah persamaan bayangan kurva y = x2 + 3x -4 jika dicerminkan terhadap sumbu X,
kemudian didilatasikan dengan faktor skala 2 dengan pusat dilatasi O(0, 0)
Penyelesaian :
cara 1 : cara langsung

cara 2 : menggunakan matriks

2.) Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh
matriks
kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah....
A. x + y − 3 = 0
B. x − y − 3 = 0
C. x + y + 3 = 0
D. 3x + y + 1 = 0
E. x + 3y + 1 = 0
(UN Matematika Tahun 2010 P04)
Pembahasan
Transformasi oleh
matriks
dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu x dengan
matriksnya

Gabungan dua transformasi:

Terlihat bahwa
y' = − y
y = − y'
x' = x
x' = x
x' = x
x = x'

+
+
−
+

2y
2(− y')
2y'
2y'

Jadi:
x = x' + 2y'
y = − y'
Masukkan ke persamaan awal
y=x+1
(− y') = (x' + 2y' ) + 1
x' + 3y' + 1 = 0
Sehingga bayangan kurva yang diminta adalah x + 3y + 1 = 0
3.)Koordinat bayangan titik P(6, 5) jika ditransformasikan oleh matriks

dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu X adalah....
A. (−11, 6)
B. (−6, 11)
C. (−5, 11)
D. (11, −5)
E. (11, −6)
Pembahasan
Titik A, dengan transformasi matriks

akan menghasilkan titik A', yang koordinatnya:

Dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X akan menghasilkan titik A'',

dimana titik A'' koordinatnya akan menjadi (11, −6), beda tanda minus saja pada
ordinat atau y nya. Bisa juga dengan mengalikan memakai matriks pencerminan
terhadap sumbu X.

Jadi A" koordinatnya adalah (11, −6)

4.) Lingkaran (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25 ditransformasikan oleh matriks

dilanjutkan oleh matriks

maka bayangan lingkaran itu adalah....
A. x2 + y2 + 6x − 4x − 12 = 0
B. x2 + y2 − 6x − 4x − 12 = 0
C. x2 + y2 − 4x − 6x − 12 = 0
D. x2 + y2 + 4x − 6x − 12 = 0
E. x2 + y2 + 4x + 6x − 12 = 0
Pembahasan
(x − 2)2 + (y + 3)2 = 25 adalah sebuah lingkaran yang berpusat di titik P (2, − 3)
dan berjari-jari r = √25 = 5. Ingat kembali topik persamaaan lingkaran.
Setelah diitransformasi, jari-jarinya tidak berubah, tetap r = 5, jadi cukup dengan
transformasi titik pusatnya, kemudian dipasang lagi di persamaan umum
lingkaran akan diperoleh hasilnya.
Titik P (2, − 3) oleh transformasi

akan menjadi P':

Titik P' ini oleh transformasi kedua

akan menjadi P" dengan koordinatnya tetap (3, 2). Kok tidak berubah, karena
matriks yang kedua ini adalah matriks identitas, jika untuk mengali hasilnya
tetap. Atau dihitung sajalah seperti ini:

Pusat lingkaran yang baru diperoleh adalah (3, 2) dengan jari-jari r = 5, hingga
persamaan lingkarannya menjadi: