Prosiding Seminar Sain, Edukasi & TI 2012 Ida S Amanto Agus S
DAFTAR ISI
Halaman
KelompokMatematika
PERBANDINGAN SEGIEMPAT LAMBERT PADA GEOMETRI EUCLID DAN NON-EUCLID 1-6 Anggun Novita Sari, Muslim Ansori dan Agus Sutrisno RuangTopologi , , , ,
7-14 Anwar Sidik, Muslim Ansori dan Amanto PENERAPAN GRAF DEBRUIJN PADA KONSTRUKSI GRAF EULERIAN 15-21 Fazrie Mulia , Wamiliana , dan Fitriani REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG BARISAN 22-27 Herlisa Anggraini , Muslim Ansori, Amanto ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM NORM PADA RUANG 28-33 HILBERT C[a, b] (STUDI KASUS : FUNGSI POLINOM DAN FUNGSI RASIONAL) Ida Safitri, Amanto, dan Agus Sutrisno AlgoritmaUntukMencariGrupAutomorfismaPada Graf Circulant 34-37 Vebriyan Agung , Ahmad Faisol, Amanto KEISOMORFISMAAN GEOMETRI AFFIN
38-41 Pratiwi Handayani, Muslim Ansori, Dorrah Aziz METODE PENGUKURAN SUDUT MES SEBAGAI KEBIJAKAN PENENTUAN 1 SYAWAL 42-44 Mardiyah Hayati , Tiryono, dan Dorrah KE-ISOMORFISMAAN GEOMETRI INSIDENSI
45-47 Marlina , Muslim Ansori dan Dorrah Aziz TRANSFORMASI MATRIKS PADA RUANG BARISAN 48-53 Nur Rohmah, Muslim Ansori dan Amanto KAJIAN ANALITIK GEOMETRI PADA GERAK MEKANIK POLISI TIDUR (POLDUR) UNTUK 54-56 PENGGERAK DINAMO Nurul Hidayah Marfiatin, Tiryono Ruby dan Agus Sutrisno
INTEGRAL RIEMAAN FUNGSI BERNILAI VEKTOR
57-63 Pita Rini, Dorrah Aziz, dan Amanto
ISOMORFISME BENTUK-BENTUK GRAF WRAPPED BUTTERFLY NETWORKS DAN GRAF 64-71
CYCLIC-CUBES
Ririn Septiana, Wamiliana, dan Fitriani Ring Armendariz
72-77 Tri Handono, Ahmad Faisol dan Fitriani PERKALIAN DAN AKAR KUADRAT UNTUK OPERATOR SELF-ADJOINT 78-81 Yuli Kartika, Muslim Ansori, Fitriani
Kelompok Statistika
APROKSIMASI DISTRIBUSI T-STUDENT TERHADAP GENERALIZED LAMBDA 82-85
DISTRIBUTION
(GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA Eflin Marsinta Uli, Warsono, dan Widiarti ANALISIS CADANGAN ASURANSI DENGAN METODE ZILLMER DAN NEW JERSEY 86-93 Eva fitrilia, Rudi Ruswandi, dan Widiarti PENDEKATAN DIDTRIBUSI GAMMATERHADAP GENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTION 94-97 (GLD)BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA Jihan Trimita Sari T, Warsono, dan Widiarti PERBANDINGAN ANALISIS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE KONVENSIONAL 98-103 DENGAN METODE ANOM Latusiania Oktamia, Netti Herawati, Eri Setiawan PENDUGAAN PARAMETER MODEL POISSON-GAMMA MENGGUNAKAN ALGORITMA EM 104-109
EXPECTATION MAXIMIZATION
( ) Nurashri Partasiwi, Dian Kurniasari dan Widiarti KAJIAN CADANGAN ASURANSIDENGAN METODE ZILLMER DAN METODE KANADA 110-115 RozaZelvia, Rudi Ruswandi dan Widiarti ANALISIS KOMPONEN RAGAM DATA HILANG PADA RANCANGAN CROSS-OVER 116-121 Sorta Sundy H. S, Mustofa Usman dan Dian Kurniasari PENDEKATAN DISTRIBUSI GOMPERTZ PADA CADANGAN ASURANSI JIWA UNTUK METODE 122-126 ZILLMER DAN ILLINOIS Mahfuz Hudori, Rudi Ruswandi dan Widiarti
ONE-STAGE TWO-STAGE CLUSTER SAMPLING
KAJIAN RELATIF BIASMETODE DAN 127-130
Rohman, Dian Kurniasar dan Widiarti PERBANDINGAN UJI HOMOGENITAS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE 131-136 KONVENSIONAL DENGAN METODE ANOMV Tika Wahyuni, Netti Herawati dan Eri Setiawan PENDEKATAN DISTRIBUSI KHI-KUADRAT TERHADAP GENERALIZED LAMBDA 137-140
DISTRIBUTION (GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA
Tiyas Yulita , Warsono dan Dian Kurniasari
Kelompok Kimia
TRANSESTERIFIKASI MINYAK SAWIT DENGAN METANOL DAN KATALIS HETEROGEN 141-147 BERBASIS SILIKA SEKAM PADI (MgO-SiO 2 ) EviRawati Sijabat, Wasinton Simanjuntak dan Kamisah D. Pandiangan EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING SEBAGAI INHIBITOR KERAK 148-153 KALSIUM KARBONAT (CaCO , 3 ) DENGAN METODE UNSEEDED EXPERIMENT Miftasani Suharso dan Buhani EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING WULUH SEBAGAI INHIBITOR 154-160 KERAK KALSIUM KARBONAT (CaCO , 3 ) DENGAN METODE SEEDED EXPERIMENT PutriFebriani Puspita Suharso dan Buhani
IDENTIFIKASI SENYAWA AKTIF DARI KULIT BUAH ASAM KERANJI ( Dalium indum) 161-168 SEBAGAI INHIBITORKOROSIBAJA LUNAK Dewi Kartika Sari, Ilim Wasinton dan Simanjuntak TransesterifikasiMinyakSawitdenganMetanoldanKatalisHeterogenBerbasis 169-175 SilikaSekamPadi(TiO 2 /SiO 2 ) Wanti Simanjuntak, Kamisah D. Pandiangan dan Wasinton Simanjuntak UJI PENDAHULUAN HIDROLISIS ONGGOK UNTUK MENGHASILKAN GULA REDUKSI 176-182
DENGAN BANTUAN ULTRASONIKASI SEBAGAI PRAPERLAKUAN Juwita Ratna Sari dan Wasinton Simanjuntak STUDI FORMULASI PATI SORGUM-GELATIN DAN KONSENTRASI PLASTICIZER DALAM 183-190 SINTESA BIOPLASTIK SERTA UJI BIODEGRADABLE DENGAN METODE FISIK Yesti Harryzona dan Yuli Darni
KelompokFisika
Pengaruh Variasi Suhu Pemanasan Dengan Pendinginan Secara Lambat Terhadap Uji 191-195
Bending Dan Struktur Mikro Pada Baja Pegas Daun AISI 5140
Adelina S.E Sianturi, Ediman Ginting dan Pulung Karo-Karo PengaruhKadarCaCO 3 terhadapPembentukanFaseBahanSuperkonduktorBSCCO-2212 196-201 denganDopingPb (BPSCCO-2212) Ameilda Larasati, Suprihatin dan Ediman GintingSuka Variasi Kadar CaCO 3 dalamPembentukanFaseBahanSuperkonduktor BSCCO-2223 dengan 202-207 Doping Pb (BPSCCO-2223) Fitri Afriani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka Sintesis Bahan Superkonduktor BSCCO-2223 Tanpa Doping Pb Pada Berbagai Kadar CaCO 3 208-212 Heni Handayani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka Pengaruh Variasi Waktu Penarikan dalam Pembuatan Lapisan Tipis TiO 2 dengan Metode 213-218 Pelapisan Celup Dian Yulia Sari dan Posman Manurung Pengaruh Suhu Sintering terhadap Karakteristik Struktur dan Mikrostruktur Komposit 219-225 Aluminosilikat 3Al 2 O 3 .2SiO 2 Berbahan Dasar Silika Sekam Padi
Fissilla Venia Wiranti dan Simon Sembiring Sintesisdan KarakterisasiTitaniaSilikadenganMetode Sol Gel 226-230 Revy Susi Maryanti dan Posman Manurung Uji Fotokatalis Bahan TiO yang ditambahdengan SiO padaZatWarnaMetilenBiru 231- 236 2 2 Violina Sitorus dan Posman Manurung
KARAKTERISTIK STRUKTUR DAN MIKROSTRUKTUR KOMPOSIT B 2 O 3 -SiO 2 BERBASIS 237-241 SILIKA SEKAM PADI DENGAN VARIASI SUHU KALSINASI Nur Hasanah, Suprihatin, dan Simon Sembiring RANCANG BANGUN DAN ANALISIS ALAT UKUR MASSA JENIS ZAT CAIR BERBASIS 242-247 MIKROKONTROLER ATMega8535 Prawoto, Arif Surtono, dan Gurum Ahmad Pauzi
ANALISIS BAWAH PERMUKAAN KELURAHAN TRIKORA KABUPATEN NGADA NTT 248-250 MENGGUNAKAN METODE GPR ( Ground Penetrating Radar ) DAN GEOLISTRIK , R. Wulandari Rustadi dan A. Zaenudin Analisis Fungsionalitas Na2CO3 Berbasis CO2 Hasil Pembakara Tempurung Kelapa 251-256 RizkySastia Ningrum, Simon Sembiring dan Wasinton Simanjuntak
ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM
NORM PADA RUANG HILBERT C[a, b]
(STUDI KASUS : FUNGSI POLINOM DAN FUNGSI RASIONAL)
Ida Safitri, Amanto, dan Agus Sutrisno
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung
Abstrak
Aproksimasi fungsi dalam proses komputasi sering digunakan hampir di semua bidang analisis numerik. Dua alasan utama penggunaan aproksimasi fungsi adalah untuk memberikan fungsi pendekatan yang efektif dan mendekati suatu fungsi yang rumit dengan fungsi yang lebih sederhana. Diberikan sebuah fungsi f, baik secara utuh ataupun hanya beberapa nilai di titik-titik tertentu saja, kita ingin memperoleh hampiran (aproksimasi) untuk f yang mempunyai bentuk tertentu (misalnya supaya lebih mudah dianalisis) dengan kesalahan yang dapat kita 1 x 2
kontrol. Misalnya kita hendak menghitung e dx , kita hampiri integrannya dengan polinom (suku banyak)
berderajat n (dengan n cukup besar). Masalah optimisasi khususnya aproksmasi fungsi terbaik yang tidak medapatkan solusi terbaik (ralat yang besar) dalam ruang fisis atau yang dikenal sebagai ruang real , dapat dipecahkan dengan sistem matematis yang sederhana, dengan membawa masalah aproksimasi tersebut ke ruang abstrak (berisi aksioma-aksioma) atau ruang vekor, khususnya pada ruang Hilbert C[a,b]. Masalah tersebut dikenal sebagai masalah minimum norm dalam ruang Hilbert C[a,b]. Dengan menggunakan konsep minimum norm akan diperoleh kesalahan optimal (galat) yang minimum.
Kata kunci: Aproksimasi, minimum norm, ruang Hilbert C[a,b], polinom, kesalahan optimal.
I. PENDAHULUAN Teorema proyeksi, terlebih dahulu akan
Optimisasi adalah suatu proses memaksimumkan diperkenalkan konsep ortogonalitas.atau meminimumkan suatu fungsi objektif yang memenuhi kendala tertentu. Masalah aproksimasi
Definisi 2.1.1 (Luenberger, 1969)
fungsi di atas dapat diselesaikan pada ruang X
Dalam suatu ruang pre-Hilbert X, vektor x,y
vektor, yaitu dengan metode optimisasi ruang
dikatakan ortogonal jika <x, y>= 0, dinotasikan
vektor. Ruang vektor yang digunakan adalah
dengan x y. Suatu vektor x dikatakan ortogonal
ruang Hilbert. Ruang Hilbert merupakan ruang S jika x s
dengan himpunan S, dinotasikan x
abstrak yang di dalamnya memuat perpaduan tiga S.
untuk setiap s konsep, yaitu Aljabar, Analisis dan Geometri.
Konsep geometri yang digunakan adalah Lemma berikut menunjukkan bahwa Teorema mengenai proyeksi, sebab ruang Hilbert dibangun Phytagorean dalam geometri bidang merupakan oleh konsep inner product (Berberian, 1961). akibat dari konsep ortogonalitas. Fungsi yang akan dicari aproksimasinya adalah fungsi-fungsi kontinu bernilai real yang terdefinisi
Lemma 2.1.1
pada [a,b] . Dalam pemecahan masalah ini, langkah penting yang harus dilakukan adalah Misalkan X suatu ruang Hilbert dan x, y
X. Jika
pemilihan basis yang bebas linear yang 2 2 2 y, maka
x x y x y
membangun ruang fungsi yang akan diaproksimasi dan penentuan kesalahan optimal atau ralat optimal dari aproksimasi yang diambil. Bukti : Basis ini tidak tunggal. Pemilihan basis yang 2 berbeda akan menghasilkan aproksimasi fungsi
x y x y , x y x , x x , y y , x y , y
yang sama dan juga kesalahan optimal yang sama. 2 2 2 2 = x y = x y .
II. LANDASAN TEORI
Teorema proyeksi merupakan prinsip dasar dalam
1 + <y 2 ,y n > 2 + ..............+ <y n , y n > n = <x, y n > Persamaan dalam koefisien i sebanyak n kali ini dikenal sebagai persamaan normal untuk masalah minimalisasi. Matriks n x n yang berhubungan dengan vektor y 1 , y 2 ,...,y n yaitu :
, i = 1, 2, ....., n yang meminimalkan n n y y y x ....... 2 2 1 1 .
Definisi 2.1.3 (Luenberger, 1969) Ruang vektor X dikatakan jumlahan langsung dari ruang bagian M dan N, jika setiap vektor x X dapat ditulis secara tunggal, dalam bentuk x = m
M dan n N, dinotasikan dengan X = M N.
Teorema 2.1.5
Jika M ruang bagian linear tertutup dari suatu ruang Hilbert H maka H = M
M dan M =
M
Definisi 2.1.4 (Luenberger, 1969) Misalkan y 1 ,y 2 ,......,y n basis dari M. Diberikan sebarang vektor x H dan akan dicari vektor m di M yang terdekat ke x. Jika vektor m dinyatakan dalam suku-suku dalam vektor y i sebagai : m o =
n i i i y 1
Maka masalah tersebut ekuivalen dengan menemukan skalar i
Menurut Teorema proyeksi, vektor minimal tunggal m adalah proyeksi ortogonal x pada M, atau vektor selisih x – m ortogonal terhadap setiap vektor y i .
=
Dengan demikian : , .......... 2 2 1 1 i n n y y y y x
untuk i = 1, 2, ...., n.
Atau <x, y 1 > - < 1 y 1 , y 1 > - < 2 y 2 , y 1 > - .............- < n y n , y 1 > = 0 <x, y 2 > - <
1 y 1 , y 2 > - <
2 y 2 , y 2 > - .............- <
n y n , y 2 > = 0
<x, y n > - <
1 y 1 , y n > - < 2 y 2 , y n > - .............- < n y n , y n > = 0 Atau <y 1 , y 1 >
1 + <y 2 , y 1 > 2 + .............+ <y n , y 1 > n = <x, y 1 > <y 1 ,y 2 >
1 + <y 2 ,y 2 > 2 + ..............+ <y n , y 2 > n = <x, y 2 > <y 1 ,y n >
S
S
Teorema 2.1.2 (Teorema Proyeksi di Ruang pre-Hilbert)
.
Misalkan X suatu ruang Pre-Hilbert, M suatu ruang bagian dari X dan x sebarang vektor di X. Jika ada vektor M m
, sedemikian hingga
M m m x m x o , , maka m tunggal.
Syarat perlu dan cukup M m , suatu vektor minimal tunggal di M adalah vektor selisih x – m ortogonal terhadap M.
Teorema 2.1.3 (Teorema Proyeksi Klasik)
Misalkan H ruang Hilbert dan M ruang bagian tertutup dari H, maka untuk sebarang vektor
H x , terdapat tunggal vektor M m
sedemikian hingga M m m x m x o , . Syarat perlu dan cukup M m ,suatu vektor minimal tunggal adalah vektor selisih x – m ortogonal terhadap ruang bagian M. Teorema proyeksi di atas akan ditetapkan untuk membangun sifat struktural tambahan dari suatu ruang Hilbert, antara lain adalah dalam sebarang ruang bagian tertutup dari ruang Hilbert, sebarang vektor dapat ditulis sebagai jumlahan dua vektor, satu vektor di ruang bagian tertutup dan vektor yang lain ortogonal terhadapnya.
Definisi 2.1.2 (Luenberger, 1969) Misalkan S suatu himpunan bagian dari ruang Pre-Hilbert. Himpunan semua vektor yang ortogonal terhadap S disebut komplemen ortogonal dari S dan dinotasikan dengan S
Teorema 2.1.4
S 4.
Misalkan S dan T himpunan bagian dari ruang Hilbert dan
S
,
T berturut-turut menyatakan
komplemen ortogonal dari S dan T maka : 1.
S adalah ruang bagian tertutup
2. S
S
3. Jika S T maka
T
- + n dengan m
a. Masalah Aproksimasi Terbaik Fungsi Polinomial
Langkah I
] , [ b a C
(1) Ruang vector X memenuhi ruang Hilbert
Langkah II Asumsi :
.
) ( ) ( ) ( , t t x dan dt t y t x y x
Diketahui ruang vektor X adalah ruang yang terdiri dari fungsi-fungsi kontinu bernilai riil pada [- 1, 2], dengan perkalian dalam yang didefinisikan dengan 2 2 1
berikut :
) ( ) ( ,
2 ) 1 , ( 2 t t t x . Dengan langkah-langkah
Akan dicari fungsi polinomial berderajat satu yang merupakan aproksimasi terbaik ke fungsi
Penyelesaian :
.
) ( ) ( ) ( , t t x dan dt t y t x y x
Misalkan X adalah ruang vektor yang terdiri dari fungsi-fungsi kontinu bernilai riil pada [-1, 2], dengan perkalian dalam yang didefinisikan dengan : 2 2 1
(2) Untuk setiap ] , [ , b a C y x adalah ruang Hilbert dengan dt t y t x y x b a
(3) Vektor-vektor yang mambangun polinomial berderajat satu adalah
III. HASIL DAN PEMBAHASAN
ct b t y ) ( 2
. Dan vektor yang dicari dapat dinyatakan sebagai
2 1 ) ( ) ( ,
ruang Hilbert dengan dt t y t x y x
, 1 [ C y x adalah 2 ,
. Masalah ini dapat diselesaikan dengan memberlakukannya sebagai masalah norm minimum di ruang Hilbert C[-1,2] sebab untuk setiap ]
dan
a t y ) ( 1
a t y ) ( 1
Masalah yang hanya bergantung pada vektor- vektor yang membangun polinomial bederajat satu :
Langkah IV Solusi :
2 ) 1 , ( 2 t t t x .
Akan dicari fungsi polynomial berderajat satu yang merupakan aproksimasi terbaik ke fungsi
Masalah :
dan ct b t y ) ( 2 Langkah III
- + <y 2 , y 1 > 2+ …….+ <y n , y 1 > n
= c 2
G = G(y 1 , y 2 ,......, y n ) =
Teorema 2.1.6
.......
n y n y y x
x x
Misalkan y 1 ,….., y n bebas linear dan jarak minimum vektor x ke ruang bagian M yang dibangun oleh y i , yaitu :
Teorema 2.1.7
Determinan Gram g = g(y 1 , y 2 ,…., y n ) 0 jika dan hanya jika y 1 , y 2 ,…., y n bebas linear.
Matriks ini adalah tranpose dari matriks koefisien normal.
2
disebut matriks Gram dari y 1 , y 2 , y 3 , ........, y n .
, .......... , , 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1
, ......... , , , ......... , ,
y y y y y y y y y y y y y y y y y y
n n n n n n
2
1
+ <y 2 , y 2 > 2 + …….+ <y n , y 2 > n
x o =
= c 1 <y 1 , y 2 > 1
<y 1 , y 1 > 1
persamaan :
memenuhi
dengan koefisien i
n i i i y 1
Misalkan x o mempunyai norm minimum, maka :
1 min maka,
<x 1 , y n > = c n .
N yang memenuhi : <x 1 , y 1 > = c 1 <x 1 , y 2 > = c 2
Misalkan H ruang Hilbert dan {y 1 ,…..,y n }vektor- vektor bebas linear di H. Di antara semua vektor x
Teorema 2.2.2
Misalkan M ruang bagian tertutup dari ruang Hilbert H, x suatu elemen tertentu di H dan variasi linier, V = x + M, maka terdapat tunggal vektor x di V dengan norm minimum dan x ortogonal dengan M.
Teorema 2.2.1
) ,...., , ( ) , ,..., , ( 2 1 2 1 2 n n y y y g x y y y g
ˆ y y x , masalah ini ekuivalen dengan
menemukan scalar 1
~ x x
3
2
3
3
3
3
3
15
4
1
2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 x y x y y y y y y y y y x x x y x y y x y y y y y x y y y y
, , , , , ,
, 1 , , , , , , , ,
(4.1) Kesalahan optimalnya atau minimumnya yaitu : 2 2
2
2
2
2
2
2
2 ˆ
6
3 ˆ
6
3 ˆ .
1 .
3
6
6
3
3
3
1 c a c a bc a
2
80 729
27
4
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 c b a c bc b ac ab ac ab a c b a c b c bc b ac ab a ac ab a
3
3
3
2
3
3
3
3
5
33
4
15
3
4
3
15
3
3
3
3
2
dan 2 yang
G y y
3 .( 3 ) , , ac ab dt ct b a y y y y
2
2 1 1 2 2 1
2 1 2 1 1 , 3 . a dt a a y y
Selanjutnya diperoleh :
, , , , , y x y x y y y y y y y y
2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 ,
atau
, ) , ( y x y x
2 1 2 2 2 2
i y y y x ,
meminimalkan 2 2 1 1 y y x .
Menurut Teorema proyeksi vektor minimal tunggal
x ˆ adalah proyeksi orthogonal x pada M (ruang
bagian dari ruang Hilbert) atau selisih x x ˆ orthogonal terhadap setiap vector
2 , 1 , 1 i y .
Dengan demikian , 2 2 1 1
untuk i = 1,2 Atau
2 1 2 1 2 1 ,
, , , 1 2 2 1 1 1 1 y y y y y x
atau 1 1 2 2 1 1 1
, , , y x y y y y , , , 2 2 2 2 1 1 2 y y y y y x 2 2 2 2 2 1 1 , , , y x y y y y
Dapat dibentuk :
3
3 2 3 1
3 3 ( 2 2 2 1 b c bc b ac ab
Dengan perhitungan diperoleh:
c dan c a ab ac
1
6
6
Jadi, diperoleh fungsi aproksimasi terbaik ke fungsi
3 ) 3 (
2 ) 1 , ( 2 t t t x
:
t c a b a ab ac
x
t c b c a ac acx
ct b c a c a ac acx
2
3
3 ).( 3 ) ( , c bc b dt ct b ct b y y
4
2 1 2 2
5
33 . , dt t t x x
2 1 2 1 1 , 3 . , a dt t a x y y x c b dt ct b t x y y x
15 .( 3 ) , , 2 1 2 2 2
15 3 )
Berdasarkan (2.1) diperoleh :
a ac ab a 3 )
2
3 ) 3 ( 3 ( 2 1 2
4
(4.2) Jadi jarak minimum adalah 2
63 ( 7 ) ( 7 ) ( 2 , 079 ) a ab ac a 1 2
1 729 2 2 2
2 a bc a c
2
80 63 511
2
2
27 2 2 ( 7 ) (
7 63 ) ( 2 , 079 )
7 ab ac b bc c b c
1
2 a c
2
3
4 Dengan perhitungan diperoleh:
b. Masalah Aproksimasi Terbaik Fungsi
2
2
2
2
2 Rasional 50 , 71 146 ,
84 4 , 02 , 082 a bc a c a b c
dan
1
2
3
3 49 220 , 5 c a b a c
Misalkan X adalah ruang vektor yang terdiri dari fungsi-fungsi kontinu bernilai riil pada [1,8], dengan perkalian dalam yang didefinisikan
Jadi, diperoleh fungsi aproksimasi terbaik ke dengan : 8 fungsi ( ) ,
1
1 8 : x t t
1 t
, ( ) ( ) ( ) x y x t y t dt dan x t .
1 t 2 2 2 2 2
50 , 71 a bc 146 , 84 a c 4 , 02 a b c , 082 x . a . b ct
ˆ 3 3 c
49 a b 220 , 5 a c Penyelesaian : 3 3 2 3 2
50 , 71 a bc 146 , 84 a c 4 , 02 a b c , 082 b x ˆ , 082 t 3 3
c 49 a b 220 , 5 a c
Akan dicari fungsi polinomial berderajat satu yang merupakan aproksimasi terbaik ke fungsi
1 ( ) ,
1
8 x t t . Dengan langkah-langkah
t
Kesalahan optimalnya atau minimumnya yaitu : berikut : 2 2 8
~ 2 x x , .
7 y y a a dt a 1 1
1 , , , y y y y x y 8
1
1
2
1
1 , , , y y y y x y
1
2
2
2
2
63 , , .( )
7 y y y y a b ct dt ab ac 1 2 2 1
, , , y x y x x x
1
2 1
2 , , y y y y
1
1
2
1 , , y y y y 8
1
2
2
2 2
511
2 , ,1 y x y x
, ( ).( )
7
63
1
2 y y b ct b ct dt b bc c 2 2
8 1
3
1
1
7 , . x x dt
8
63 t t 1
2
7
7 2 , 079 a ab ac a
8 2 63 511
1
2
2
7
7
63 2 , 079
7 ab ac b bc c b c
, , . ln 8 ( 2 , 079 ) x y y x a dt a a 1 1
2
3 1 t 7 2 , 079
2 , 079
7 a b c
8
63
2
7
7 a ab ac 8
2 63 511
1
2
2
7
7
63 , , .( ) ln
8 7 ( 2 , 079 ) 7 ab ac b bc c x y y x b ct dt b c b c 2 2
2
3 1 t 2 , 079 2 , 079
7
1 a b c
2
2 12 ,
7 a c
2
2
200 ,08 a c
, 063
Jadi jarak minimum adalah , 063
IV. KESIMPULAN
Masalah optimisasi khususnya aproksmasi fungsi terbaik yang tidak medapatkan solusi terbaik (ralat yang besar) dalam ruang fisis atau yang dikenal sebagai ruang real , dapat dipecahkan dengan sistem matematis yang sederhana, dengan masalah aproksimasi tersebut ke ruang abstrak (berisi aksioma-aksioma) atau ruang vekor, khususnya pada ruang Hilbert C[a,b]. Masalah tersebut dikenal sebagai masalah minimum norm dalam ruang Hilbert C[a,b]. Dengan menggunakan konsep minimum norm akan diperoleh kesalahan optimal (galat) yang minimum. Dalam penyelesaian masalah minimum norm dengan menggunakan ruang Hilbert C[a,b] maka fungsi aproksimasi tidak tergantung pada pemilihan basis, asalkan basis yang dipilih membangun ruang Hilber C[a, b].
DAFTAR PUSTAKA [1] Amanto, Suharsono, dan Waluyo, J.,2003.
Penyelesaian Masalah Minimum Norm dalam Ruang Hilbert L 2 [a,b]. Jurnal
Matematika, Aplikasi dan Pembelajarannya (JMAP), Vol 2, hal. 124
- – 131. [2] Atkinson, K. And Han, W., 2001. Theoretical
Numerical Analysis : A Functional
Analysis Framework. Springer Verlag,New York. [3] Berberian, SK., 1961. Introduction to Hilbert
Space, Academic Press, Inc., New York.
[4] Joko Waluyo, 2003. Penyelesaian Masalah
Minimum Norm Dalam Ruang Hilbert
C[a,b]. Skripsi, Jurusan Matematika FMIPA Unila. [5] Kreyzig, Erwin. 1978. Introductory Functional
Analysis with Applications. New York : John Willey.
[6] Luenberger, D.G., 1969. Optimization by
Vector Space Methods John Wiley and