Turunan dalam Ruang Dimensi n

URUNAN DALAM UANG

  IMENSI T R D -n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih

  Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang:

   secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata)

   secara aljabar (melalui rumus eksplisit)  secara visual (melalui grafik atau kurva ketinggian) Suatu fungsi dua variabel adalah suatu aturan yang memberikan sebuah bilangan riil unik pada masing-masing pasangan bilangan terurut bilangan riil (x,y) di dalam sebuah himpunan D ; dan bilangan riil unik tersebut dinyatakan oleh f (x,y). Himpunan D merupakan daerah asal (domain) dari f. Himpunan nilai yang digunakan f merupakan daerah hasil (range) dari f. Dengan kata lain,

  f x y x y D

  ( , ) | ( , ) 

   

  Jika z  f x y , maka x dan y merupakan variabel bebas (independent variables)

  ( , ) sementara z merupakan variabel tak bebas (dependent variable).

  Fungsi dua variabel tidak lain adalah fungsi yang daerah asalnya berupa himpunan

  2

  bagian dari dan daerah nilainya merupakan himpunan bagian dari ℝ

  ℝ. Perhatikan contoh berikut. >> Contoh 1 _{2 2} Misalkan f x y ( , )  9  x  y .

  a. f .

  (1, 2)

  Hitunglah b.

  Carilah daerah asal fungsi f.

  c.

  Carilah daerah hasil fungsi f. Jawab: _{2 2}

  f

  a. (1, 2)  9 1   2  4 

  2

  y

  b. Fungsi f tidak akan terdefinisi jika kurang dari 0. Jadi, _{2 2}

   f x y ( , ) 0 9  x  y 

  3 → _{2 2} 9  x  y  _{2 2}

  9  x  y _{2 2} x  y 

  9

• – 3

  x

  3 Dengan demikian, _{2 2} D  ( , ) | x y x  y  9 .

    _{2 2}

• – 3

  x  y 

  9

  2 ²

  c. Misalkan z  f x y ( , ) 

  9  x  y . Karena z merupakan akar kuadrat positif, maka z  . Dan, _{2 2 2 2} z  .

  9  x  y

  9

  9  x  y 

  3

  3 →

   → Jadi, daerah hasilnya adalah:

  z z f x y f x y

  | 0   3  ( , ) | 0  ( , ) 3  .

     

  Cara lain untuk meninjau perilaku suatu fungsi dua variabel adalah dengan meninjau grafik. Jika f adalah suatu fungsi dua variabel dengan daerah asal D, maka grafik f adalah himpunan

  3 semua titik (x,y,z) di sedemikian sehingga z = f (x,y) dan (x,y) berada di D.

  ℝ >> Contoh 2

     

  Sketsakan grafik fungsi z f x y ( , ) 6 3 x

2 y .

Jawab:

       

  Grafik f mempunyai persamaan z 6 3 x

  2 y atau 3 x 2 y z 6 yang menyatakan

  bidang. Bagian dari grafik ini terletak pada oktan pertama, yang disketsakan pada gambar berikut.

  z

  (0,0,6)

  y

  (0,3,0) (2,0,0)

  x

  >> Contoh 3 _{1 2 2} Sketsakan grafik fungsi z  36 9  x  ₃ 4 y .

  Jawab:

  z  . Jika kedua ruasnya dikuadratkan dan kemudian disederhanakan,

  Perhatikan bahwa _{2 2 2 2 2 2}

x y z

maka diperoleh

  9 x  4 y  9 z  36 atau    yang berbentuk elipsoida. Grafik

  1

  4

  9

  4 fungsinya adalah setengah bagian atas dari elipsoida, yang disketsakan pada gambar berikut. _{1 2 2}

  z x y  36 9   ₃

  4 Suatu sketsa yang berpadanan dengan grafik dari fungsi dua variabel z  f x y

  ( , )

  seringkali sukar dibuat dalam ruang dimensi-3, sehingga sketsa dalam ruang dimensi-2 dibuat. Setiap bidang horizontal z = c memotong permukaan pada suatu kurva. Proyeksi dari perpotongan ini pada bidang xy disebut sebagai suatu kurva ketinggian, dan koleksi dari kurva-kurva ketinggian tersebut disebut sebagai suatu peta kontur.

  Permukaan z = f (x,y) Bidang z

   = c Peta kontur dengan beberapa kurva ketinggian

  Kurva Ketinggian f

  (x,y) = c

  >> Contoh 4 _{1 2 2} Gambarkan peta kontur untuk permukaan yang mempunyai fungsi z  36 9  x  ₃ 4 y

  z    z 

  dengan z  ,

  1 , z 1,5 , z 1, 75 , dan

2 .

  Jawab: _{2 2 2 2} x y z Saat  , diperoleh

  9 x  4 y  36 atau   yang berbentuk elips.

  1

  4 ₂

  9 _{2 2 2} x y z Saat  , diperoleh

  1

  9 x  4 y  27 atau   yang berbentuk elips. ₂₇

  1

  3 _{2 4 2}

  

x y

_{2 2}

63 Saat z  1,5 , diperoleh x  y  atau   yang berbentuk elips.

  1

  9

  4 _{63 63}

  4 _{36 2 16 2 2 2} 135 x y z  1,75   yang berbentuk elips.

  1 Saat , diperoleh

  9 x  4 y  atau _{135 135 2 2}

  16 _{144 64} z

  2 x y Saat  , diperoleh 9  4  yang berbentuk titik. Berikut ini adalah beberapa contoh permukaan disertai dengan peta konturnya.

Suatu fungsi tiga variabel adalah aturan yang memberikan sebuah bilangan riil unik kepada

  3

  masing-masing rangkap-tiga terurut (x,y,z) di dalam daerah asal D ; dan bilangan riil ⊂ ℝ unik tersebut dinyatakan oleh f (x,y,z).

  Dengan kata lain,

  f x y z ( , , ) | ( , , ) x y z  D  

  Suatu fungsi n variabel adalah aturan yang memberikan sebuah bilangan riil unik kepada

  n

  masing-masing rangkap-n terurut ( , ,..., x x x ) di dalam daerah asal D ; dan bilangan _{1 2 n ⊂ ℝ} riil unik tersebut dinyatakan oleh f x x ( , ,..., x ) . _{1 2 n} Dengan kata lain,

  f x x x x x x D

  ( , ,..., ) | ( , ,..., )  _{n n}

   ^{1 2}

¹

^{2 } B.

   Turunan Parsial

  Jika f adalah fungsi dua variabel, katakanlah f (x,y), maka:  turunan parsial dari f terhadap x pada titik (a,b)

  f a (  h b , )  f a b ( , ) f a b _x ( , ) lim  _h  h

   turunan parsial dari f terhadap y pada titik (a,b)

  f a b ( ,   h ) f a b ( , ) f a b ( , ) lim  _{y h } h

  Notasi untuk turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel adalah sebagai berikut.

  

  Jika z f x y ( , ) , maka:

   f   z

   f x y ( , )  f   f x y ( , )  _{x x}  x  x  x

   f   z

   f ( , ) x y  f   f x y ( , )  _{y y}

   y  y  y Simbol  merupakan simbol untuk turunan parsial dalam matematika.

   Aturan untuk pencarian turunan parsial dari z f x y ( , ) adalah sebagai berikut. f , pandang y sebagai konstanta dan diferensialkan f x y ( , ) terhadap x.

   Untuk mencari x f , pandang x sebagai konstanta dan diferensialkan f x y ( , ) terhadap y.  Untuk mencari y >> Contoh 5 _{2 3}

  f f x y x y y

  Tentukan (1, 2) dan f (1, 2) jika ( , )   _{x y} 3 .

  Jawab: f x y ( , ) 2  xy ; sehingga f (1, 2) 2(1)(2) 4   . _{x x 2 2 2 2}

  f x y ( , )  x 

  9 y f (1, 2) (1)   9(2) 

  37 _{y y} ; sehingga . Pada turunan parsial tingkat tinggi, secara umum prosesnya sama dengan turunan parsial pertama (tingkat satu). Dalam turunan parsial kedua (tingkat dua), diperoleh:

  2 ²

    f  f  

      f  f

• f   f   _xx
_{2 yy}

      ²

  x x x y y y

       

    ₂   ₂

      f  f   f  f

   

• f   f   - _xy
_yx

     

  y x y x x y x y

            ₂  

  Jadi, dalam turunan parsial kedua, diperoleh ₃ 2  turunan parsial. Dalam turunan parsial

  4

  

  ketiga, diperoleh _n

  2 8 turunan parsial. Demikian seterusnya, sampai turunan parsial ke-n, diperoleh 2 turunan parsial.

  >> Contoh 6 _y   x _{3 2} Tentukan turunan parsial kedua dari f x y ( , )  xe  sin  x y .  

  y

    Jawab:

  f Tentukan terlebih dahulu dan f . _{y x y} 1   x y x   x _{2 2 3} f  e   x y f  xe   x y _{x y} cos 3 cos ₂

  2    

  y y y y

      ₂ 1   x ₂ ^{y x   x} 2 x   x ₃

  f   xy f  xe    x _{xx 2} sin 6 ; sin cos _{yy 4 3}

  2  

     

  y y y y y y _{y x   x}  

      1   x y x   x ₂ 1   x ₂

  f  e    x y f  e    x y _{xy 3} sin cos ₂ 6 ; sin cos _{yx 3 2}

  6        

  y y y y y y y y

          Perhatikan pada Contoh 6 bahwa f  f . Hal ini merupakan kasus khusus yang memiliki _{xy yx} kriteria sebagai berikut.

  Teorema 1 Teorema Clairaut

  Misalkan f dan f merupakan fungsi yang kontinu pada suatu himpunan buka S. Maka, _{xy yx} f f di setiap titik pada himpunan buka S. _{xy yx}  Andaikan f adalah suatu fungsi tiga variabel, f (x,y,z). Maka, turunan parsial f terhadap

  x di (a,b,c): f a (  h b c , , )  f a b c ( , , ) f a b c ( , , ) lim  _{x h } h

  Jadi, f a b c ( , , ) dapat diperoleh dengan memperlakukan y dan z sebagai konstanta dan _x mendiferensialkan f x y z terhadap x. Turunan parsial terhadap y dan z juga didefinisikan

  ( , , ) dengan cara yang serupa.

  >> Contoh 7 Tentukan f jika   . _xxyz f x y z ( , , ) sin(3 x yz ) Jawab:

  f  3cos(3 x  yz ) f   9sin(3 x  yz ) _{x xx} f   9 cos(3 z x  yz ) _xxy      f 9cos(3 x yz ) 9 yz sin(3 x yz ) _xxyz

C. Limit dan Kontinuitas Berikut ini adalah definisi formal dari limit fungsi dua variabel.

  _{( , )  ( , ) x y a b} lim f x y ( , )  berarti jika untuk setiap bilangan L   , terdapat   sedemikian sehingga f x y ( , )   bilamana L  x y adalah anggota dari domain D dan ₂ ( , )

₂

  ( , ) ( , ) x y  a b  atau   ( x a  )  ( y b  )  .

  >> Contoh 8 _{2 3 3 2} Hitunglah lim [ x y  x y  _{( , )  (1,2) x y} 3 x  2 ] y .

  Jawab: _{2 3 3 2 2 3 3 2 ( , ) x y  (1,2)} lim [ x y  x y  3 x  2 ] 1 2 y         1 2 3 1 2 2     8 4 3 4 

  11 Ada beberapa fungsi yang memerlukan penangan khusus. Perhatikan Contoh 9 berikut.

  >> Contoh 9 _{2 2}

  x  y Perlihatkan bahwa lim tidak ada. _{( , )  (0,0) x y 2 2} x y

   Jawab: _{2 2}

  x y

   Misalkan f x y ( , )  . Pertama, hampiri (0,0) sepanjang sumbu-x, yang berarti bahwa _{2 2}

  x  y _{2 2} x   . Maka, f x ( , 0)  

  1 untuk semua x  sehingga:

  y _{2 2} x  _{2 2}

x 

  lim  _{2 2}

  1 _{( ,0) x (0,0)} 

  

x 

x  . Maka,

  Selanjutnya, hampiri (0,0) sepanjang sumbu-y, yang berarti bahwa _{2 2}  y

  f y 

  (0, )    _{2 2} 1 untuk semua y sehingga:  y _{2 2}

   y _{(0, )  (0,0) y} lim   _{2 2}

  1 _{2 2}  y _{2 2}

  x y x y

    Karena f x y ( , )  memiliki dua limit yang berbeda, maka lim tidak ada. _{2 2 ( , ) x y  (0,0) 2 2}

  x  y x  y

  Fungsi polinomial dua variabel: _{m n i j}

  

f x y ( , )  c x y

_ij  

_i

_{1 j 1}

   

  Fungsi rasional dua variabel:

  p x y ( , ) 

f x y ( , )  ; q x y ( , )

q x y ( , )

  Teorema 2

  >> Jika f x y merupakan fungsi polinomial, maka:

  ( , ) _{( , ) x y  ( , ) a b} lim f x y ( , )  f a b ( , ) p x y ( , ) f x y

  >> Jika ( , )  dengan p x y ( , ) , q x y ( , ) adalah fungsi polinomial, maka:

  q x y ( , ) p x y ( , ) p a b ( , )  _{( , ) x y  ( , ) a b} lim  ; q a b ( , ) q x y ( , ) q a b ( , ) p x y L q x y

  >> Jika lim ( , )   dan lim ( , ) 0  , maka: _{( , )  ( , ) ( , )  ( , ) x y a b x y a b}

  p x y ( , ) _{( , ) ( , ) x y  a b} lim q x y ( , ) tidak ada.

  >> Contoh 10 _{2 2}

  x  y 

  1 Perlihatkan bahwa lim tidak ada. _{( , )  (0,0) x y 2 2}

  x  y

  Jawab: _{2 2 ( , )  (0,0) ( , )  (0,0) x y x y} lim p x y ( , )  lim [ x  y   1] 1 _{2 2 ( , )  (0,0) ( , )  (0,0) x y x y} lim q x y ( , )  lim [ x  y ] 0  _{2 2}

  x  y 

  1 Berdasarkan Teorema 2, maka dapat dikatakan bahwa lim tidak ada. _{( , )  (0,0) x y 2 2}

  x  y Selanjutnya akan dibahas mengenai fungsi kontinu.

  Fungsi dua variabel f x y disebut kontinu di (a,b) jika

  ( , ) _{( , ) x y  ( , ) a b} lim f x y ( , )  f a b ( , )

  Hal di atas mengartikan bahwa kekontinuan f x y ( , ) pada suatu titik (a,b) ditentukan oleh: (1) f x y ( , ) mempunyai nilai di (a,b), (2) f x y mempunyai limit di (a,b), dan

  ( , ) (3) di (a,b) sama dengan limitnya di (a,b). f x y ( , )

  nilai

  Teorema 3 (Fungsi Komposisi)

  Jika g suatu fungsi dua variabel yang kontinu di (a,b) dan f suatu fungsi satu variabel yang kontinu di g(a,b), maka fungsi komposisi f ∘ g yang didefinisikan oleh (f ∘ g)(x,y) = (f (g(x,y)) kontinu di (a,b).

  >> Contoh 11 _{3 2} Perlihatkan bahwa f x y ( , ) cos  x  4 xy  y adalah kontinu di setiap titik dari bidang.

   

  Jawab:

  3 ² Fungsi g x y ( , )  x  4 xy  y , yang merupakan suatu fungsi polinom, adalah kontinu di

  mana-mana. Demikian pula dengan f t  t kontinu di setiap bilangan t pada

  ( ) cos ℝ.

  Berdasarkan Teorema 3, dapat disimpulkan bahwa f (x,y) = (f (g(x,y)) kontinu di semua titik (x,y) pada bidang.

D. Keterdiferensialan

  Suatu fungsi f dikatakan dapat terdiferensialkan di jika terdapat suatu vektor sedemikian sehingga

  f (

• ) = f ( ) +  + | | ( ) dengan → 0 saat → .

  Jika vektor ada, maka sifatnya unik (tunggal). Vektor ini disebut sebagai vektor gradien f di dan dilambangkan ∇f ( ) [baca: grad f ]. Jadi, jika fungsi f terdiferensialkan di maka fungsi f memiliki gradien ∇f ( ) dan

  f (

• ) = f ( ) + ∇f ( )  + | | ( ) dengan → 0 saat → .

  Dari definisi di atas, dapat ditarik beberapa aspek, yaitu:

  

  1) f x ( ) merupakan suatu bilangan, sedangkan gradien Turunan

  ∇f ( ) merupakan suatu vektor. 2) ∇f ( )  merupakan hasil kali titik dari dua vektor.

3) Definisi tersebut memiliki arti pada sembarang dimensi.

  Teorema 4

  Jika f fungsi dua variabel terdiferensialkan di x y , maka turunan parsial pertama dari = ,

  f ada di

  dan  f

   f

  ( ( ∇f ( ) = ) + )

  

x  y



  Serupa dengan fungsi dua variabel, Jika g adalah fungsi tiga variabel yang terdiferensialkan di x y z , maka turunan parsial pertama dari g ada di = , , dan

  

g

 g   g

  ( ( ( ∇g ( ) = ) + ) + )

  

x  y z

 

  Teorema 5

  ∇ adalah suatu operator linier. Maka, (i)

  ∇ [f ( ) + g ( )] = ∇f ( ) + ∇g ( ) (ii)

  ∇ [ ∙ f ( )] = ∙ ∇f ( ) (iii)

  ∇ [f ( ) ∙ g ( )] = f ( ) ∙ ∇g ( ) + g ( ) ∙ ∇f ( )

  Teorema 6

  Jika f terdiferensialkan di , maka f kontinu di .

  >> Contoh 12

   Carilah f x y z ( , , ) x sin yz .

  ∇f jika Jawab:

  x y z , maka:

  = ( , , )

  

 f  f  f

  ( ( ( ∇f ( ) = ) + ) + )

  

 x  y  z

xz yz xy yz

sin yz cos cos

  ∇f ( ) = + + E.

   Turunan Berarah dan Gradien

  Untuk setiap vektor satuan , misalkan

• − ( ) = lim

  →0

  Limit ini, jika ada, disebut sebagai turunan berarah dari f di dalam pada arah .

  Teorema 7

  Misalkan f terdiferensialkan di . Maka, f memiliki suatu turunan berarah di pada arah dari suatu vektor satuan dan f (

  ) =  ∇f ( ) Jika f adalah fungsi dua variabel, maka Teorema 7 di atas menjadi f (x,y) = f x (x,y) + f y (x,y)

  1

  2 Jika f adalah fungsi tiga variabel, maka Teorema 7 di atas menjadi

  f (x,y,z) = f x (x,y,z) + f y (x,y,z) + f z (x,y,z)

  1

  

2

  3

  >> Contoh 13 _{2 3} Carilah turunan berarah fungsi f x y ( , )  x y 

  4 y di titik  dalam arah vektor (2, 1)

  = 2 + 5 . Jawab:

   Diketahui (2, 1) .

  =

  

  Langkah pertama, cari terlebih dahulu vektor gradien di (2, 1) , yaitu ∇ f (2, –1).

  

f  f



  ( ( ∇f ( ) = ) + )

  

 x  y

f  f

  

  ( ( ∇f ( , ) = , ) + , )

  

 x  y

₃

  ∇f ( , ) = ^{2 2}

• 2xy (3 x y  4)

  



  

4

  ∇f (2, –1) = + 8 Perhatikan bahwa bukanlah vektor satuan. Jadi, langkah selanjutnya adalah mencari vektor satuan dari .

  2

²

  | 2  5 

  29 | =

  2

  5 =

  = +

  29

  29 Berdasarkan Teorema 7, maka f ( ) =  ∇f ( )

  2

  5

  32

• 2, −1 =

   −4 + 8 =

  29

  29

  29 F.

   Aturan Rantai Teorema 8A (Aturan Rantai Kasus Pertama)

  Misalkan z  f x y adalah fungsi dari x dan y yang terdiferensiasi, dengan x  g t dan

  ( , ) ( )  y h t ( ) adalah fungsi yang terdiferensiasi dari t. Maka, dz  f dx  f dy

     

  dt  x dt  y dt

  Bentuk di atas juga dapat dituliskan sebagai berikut:

  dz  z dx  z dy

     

  dt  x dt  y dt

  >> Contoh 14 _{3 2} Diketahui z  x y dengan x  dan 2 t y  t . Tentukanlah dz/dt.

  Jawab:

  dz z dx z dy

    _{2 3 2 3 2 2 3 4}      3 x y     2 x 2 t 6 x y  2 x t  6(2 ) ( ) 2(2 ) ( ) t t  t t  40 t

  dt x dt y dt

   

  Teorema 8B (Aturan Rantai Kasus Kedua)

  Misalkan  adalah fungsi dari x dan y yang terdiferensiasi, dengan  dan

  z f x y ( , ) x g s t ( , )

   y h s t ( , ) adalah fungsi yang terdiferensiasi dari s dan t. Maka,

   z   z x   z y    

   s   x s   y s  z   z x   z y

       t   x t   y t

  >> Contoh 15 _{2 2}

  x  s  dan t    . z t

  Diketahui z  3 x  y dengan

  2 7 y

  5 st . Tentukanlah /

  Jawab:  z   z x   z y

       t   x t   y t

  x y s

   6 7 ( 2 ) 5      42 x  10 ys  42(2 s  7 ) 10(5 ) t  st s ₂

   84 s  294 t  50 s t

  Teorema 8 (Aturan Rantai Versi Umum)

  Misalkan u adalah fungsi dari n variabel antara x x , ,..., x yang terdiferensiasi, dengan _{1 2 n} masing-masing x adalah fungsi dari m variabel t t , ,... t . Maka, _{j 1 2 m}

  x x x  u  u   u   u  _{1 2 n}       ... 

   t  x  t  x  t  x  t _{i 1 i 2 i n i} untuk masing-masing i  m . 1, 2,...,

  >> Contoh 16 _{2 2 2} Jika w  x  y  z  xy dengan x  , y s t st   , dan z   . Tentukan s 2 t  w /  t Jawab:

   w  w  x  w  y  w  z      

   t  x  t  y  t   z t  x  y s  y  x   z

  (2 )( ) (2 )( 1) (2 )(2)  xs  ys  y   x z

  (2 ) (2 ) 4  2( ) st s   ( s t s )  2( s t   ) ( ) st  4( s  2 ) t

      _{2 2}

   2 s t    s ts _{2 2} 2 s    2 t st 4 s  8 t

  s t s st s t

   2   2  2 

  10 Teorema 9 (Teorema Fungsi Implisit) Misalkan  mendefinisikan secara implisit y sebagai suatu fungsi dalam x, maka

  F x y ( , ) dy  F /  x

   

  dx  F /  y 

  Misalkan F x y z ( , , ) 0 mendefinisikan secara implisit z sebagai suatu fungsi dalam x dan y, maka

   z  F /  x  z  F /  y

  ;  

     x  F /  z  y  F /  z

  >> Contoh 17 _{3 2 4}

  x x y y

  Tentukan dy dx / jika   10  . Jawab: _{3 2 4} Misalkan F x y ( , )  x  x y 

  10 y  . Maka, ₂ dy  F /  x

  3 x  2 xy     _{2 3}

  dx  F /  y x 

  40 y G.

   Bidang Singgung, Aproksimasi 

  Bidang singgung terhadap suatu permukaan S dengan kurva ketinggian F x y z ( , , ) k di titik P x y z ( , , ) dapat didefinisikan sebagai bidang yang melalui titik P dan memiliki vektor normal  F x y z ( , , ) . Persamaan bidang singgung ini dapat dituliskan sebagai berikut:

        F x y z ( , , )( x x ) F x y z ( , , )( y y ) F x y z ( , , )( z z ) 0 _{x y z}

   F x y z ( , , )

  Bidang singgung

  F (x, y, z) = k x y z , ,

  

  Garis normal terhadap suatu permukaan S dengan kurva ketinggian F x y z ( , , ) k di titik P adalah garis yang melalui titik P dan tegak lurus terhadap bidang singgung. Karena itu,

  F x y z

  arah garis normal diberikan oleh vektor gradien  ( , , ) , sehingga persamaan parametriknya adalah:

  x x y y z z

      

  F x y z ( , , ) F x y z ( , , ) F x y z ( , , ) _{x y z}

  >> Contoh 18 _{2 2 2} Cari persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan x  y 

  2 z  23 di titik (1,2,3).

  Jawab: _{2 2 2} Misalkan F x y z ( , , )  x  y 

  

2 z , dengan x  1, y  2, z 

3 .

   F x y z ( , , ) 2  x F x y z ( , , ) _{x y z} 2 y F x y z ( , , ) 4  z

   F (1, 2,3)  _{x y z}

2 F (1, 2,3)

  4 F (1, 2,3) 12 

  Persamaan bidang singgungnya adalah:

  F x y z x  x  F x y z y  y  F x y z z  z  _{x y z} ( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0      

  F (1, 2,3)( x 1) F (1, 2,3)( y 2) F (1, 2,3)( z 3) 0 _{x y z}       2( x 1) 4( y 2) 12( z 3) 0

  Dan, garis normalnya adalah:

  x  x y  y z  z

   

  F x y z ( , , ) F x y z ( , , ) F x y z ( , , ) _{x y z} x 

  1 y  2 z 

  3  

  F (1, 2,3) F (1, 2,3) F (1, 2,3) _{x y z} x  1 y  2 z 

  3  

  2

  4

  12 Misalkan z = f (x,y) dengan f suatu fungsi yang terdiferensialkan, dan misalkan dx dan dy berupa variabel-variabel. Diferensial dari variabel tak bebas, dz, disebut juga diferensial

  total dari f dan ditulis df x y ( , ) , didefinisikan oleh:

     dz df x y ( , ) f x y dx ( , ) f ( , ) x y dy _{x y} Pentingnya dz adalah dari kenyataan bahwa jika dx = ∆x dan dy = ∆y, masing-masing mewakili perubahan kecil dalam x dan y, maka dz akan berupa suatu aproksimasi yang baik terhadap

  ∆z, perubahan padanannya dalam z. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut ini.

  Bidang singgung Walaupun dz bukanlah merupakan suatu aproksimasi yang baik terhadap

  ∆z, dapat dilihat bahwa penghampiran ini akan semakin baik jika Δx dan Δy semakin kecil.

  >> Contoh 19 _{3 3}

  z f x y x xy y

  Diketahui  ( , ) 

  2   . Hitunglah

  Δz dan dz jika (x,y) berubah dari (2,1) ke (2,03, 0,98) . Jawab:

    z f (2, 03, 0,98)  f (2,1) _{3 3 3 3}  

   2(2, 03)  (2, 03)(0,98) (0,98)   2(2)  2(1) 1   

   0, 779062

    x     y    2,03 2 0,03 0,98 1 0,02 dz  f x y dx ( , )  f ( , ) x y dy _{x y 2 2}

   6 x  y   x x  3 y  y     _{2 2}

       6(2)  1 (0, 03)  2 3(1)  ( 0, 02)       0, 77

H. Maksimum dan Minimum

  Misalkan x y sebagai suatu titik variabel dan = ( , x y ) sebagai suatu titik

  ( , )

  = tetap pada ruang dimensi-2. (Hal berikut juga berlaku pada ruang dimensi-n.) Misalkan suatu titik di S, yaitu wilayah dari f.

  ) )

  (i) adalah nilai maksimum global

  Jika ( ≥ ( ) untuk semua di S, maka ( dari f pada S. (ii) ) ) adalah nilai minimum global dari f

  Jika ( ≤ ( ) untuk semua di S, maka ( pada S. (iii) ) adalah suatu nilai maksimum global atau minimum global, maka )

  Jika ( ( adalah nilai ekstrem global dari f pada S.

  Misalkan suatu titik di S, yaitu wilayah dari f.

  S

  Untuk (i) dan (ii) jika N .

   , dengan N merupakan suatu lingkungan dari (i) ) ) adalah nilai maksimum lokal dari f

  Jika ( ≥ ( ) untuk semua di S, maka ( pada S.

  ) ) (ii) adalah nilai minimum lokal dari f

  Jika ( ≤ ( ) untuk semua di S, maka ( pada S.

  ) )

  (iii) adalah suatu nilai maksimum lokal atau minimum lokal, maka Jika (

  ( adalah nilai ekstrem lokal dari f pada S. Gambar berikut memberikan tafsiran geometri dari kedua konsep di atas.

  maksimum lokal maksimum global minimum global S minimum lokal

  Teorema 10 (Teorema Keberadaan Maksimum-Minimum)

  Jika f kontinu pada suatu himpunan tertutup yang terbatas S, maka f mencapai suatu nilai maksimum (global) dan suatu minimum (global) dua-duanya di sana.

  Titik-titik kritis dari f pada S ada tiga jenis, yaitu: 1) titik-titik batas 2) disebut sebagai suatu titik stasioner jika adalah suatu titik titik-titik stasioner; dalam dari S dengan f terdiferensialkan dan ) =

  ∇f ( . Pada titik ini, bidang singgung akan mendatar. 3) disebut sebagai suatu titik singular jika adalah suatu titik dalam titik-titik singular; dari S dengan f tidak terdiferensialkan.

  Teorema 11 (Teorema Titik Kritis)

  Misalkan f didefinisikan pada suatu himpunan S yang mengandung . Jika f ( ) adalah suatu nilai ekstrem, maka haruslah berupa suatu titik kritis; yaitu, merupakan salah satu dari: a. suatu titik batas dari S, atau b. suatu titik stasioner dari f, atau c. suatu titik singular dari f.

  Teorema 12

  Jika f mempunyai maksimum atau minimum lokal di dan turunan parsial pertama dari f ada, maka f ( ) = 0 dan f ( ) = 0. _{x y} Perhatikan Teorema 12 di atas. Jika diketahui merupakan suatu titik maksimum atau minimum lokal dari f, maka nilai f ( ) dan f ( ) pastilah sama dengan 0. Namun, jika _{x y} diketahui f ( ) = 0 dan f ( ) = 0, hal ini tidak menjamin terdapat ekstrem lokal di titik _{x y} . Untuk lebih jelasnya, simak Contoh 20 dan Contoh 21 berikut ini. >> Contoh 20 _{2 2} y

  Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari f x y ( , )  x  2 x  .

  4 Jawab: _{2 2} y f x y ( , )  x  2 x  f x y  x 

  2 → ( , ) 2 x

  4

  y f ( , ) x y 

  → y

2 Selanjutnya, buatlah turunan parsial pertamanya sama dengan nol,

  f x y ( , )  _x 2 x   2 0  2 x  2  x 

  1

  y f x y ( , )    y  _y

  2 sehingga diperoleh satu-satunya titik kritis, yaitu (1,0). _{2 2} Perhatikan bahwa f (1, 0) 1   2(1)    .

  1

  4 Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, diperoleh: _{2 2} y f x y ( , )  x  2 x 

  4 _{2 2} y  x  2 x    1 1

  4 _{2 2} y x x   2   1 

  1 ₂

  4

₂

y  ( x  1)  

  1

  4

  ₂

  2  

  Karena ( x  1)  dan y  , maka didapat f x y ( , )

  1 untuk semua nilai x dan y. Jadi,

  4 f   adalah nilai minimum lokal sekaligus juga minimum global dari f.

  (1,0)

  1

  >> Contoh 21 _{2 2} Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari f x y ( , )  x  y .

  Jawab: _{2 2}

  f x y x y f x y x ( , )   ( , ) 

  2

  → x

  f x y   y ( , )

  2

  → y Selanjutnya, buatlah turunan parsial pertamanya sama dengan nol,

  f x y ( , ) 2  x   x  _x f x y ( , )   _y 2 y   y  sehingga diperoleh satu-satunya titik kritis, yaitu (0,0). Perhatikan bahwa titik (0,0) ini

  tidaklah memberikan keterangan mengenai suatu maksimum ataupun minimum dari f. Maka, _{2 2}

   f (0,0) tidak dapat menjadi nilai ekstrem untuk f sehingga f x y ( , )  x  y tidak

  memiliki nilai ekstrem. Dari Contoh 21 ini, titik (0,0) disebut sebagai titik pelana (saddle

  point ) dari f.

  Untuk itu, terdapat kriteria untuk menentukan apa yang terjadi di suatu titik stasioner.

  Teorema 13 (Uji Turunan Parsial Kedua)

  Diketahui bahwa f ( ) mempunyai turunan parsial kedua kontinu di suatu lingkungan dari

  , dan ) = ∇f ( . Misalkan, ₂ D = D ( ) = f ( )  f ( ) f ( )] _{xx yy xy} – [

  Maka, (a) D  dan f ( ) > 0, maka f ( ) adalah nilai minimum lokal.

  Jika xx (b) D  dan f ( ) < 0, maka f ( ) adalah nilai maksimum lokal.

  Jika xx

  D (c) ) bukanlah nilai ekstrem. Atau, merupakan titik pelana.

  Jika  , maka f ( D  , maka tidak dapat disimpulkan. (d)

  Jika Untuk mengingat rumus D, akan lebih mudah bila dituliskan sebagai determinan:

  f f _{xx xy 2} D   f f  f f  f f  ( f ) _{xx yy xy yx xx yy xy} f f _{yx yy}

  >> Contoh 22

     

  Carilah jarak terpendek dari titik (1,0, 2) ke bidang x

  2 y z 4 .

  Jawab:

  

  Jarak sebarang titik ( , , ) x y z ke titik (1,0, 2) adalah: _{2 2 2}

  d  ( x  1)  y   ( z 2) _{2 2 2} Karena    , maka    , sehingga d x y x y . x 2 y z 4 z 4 x 2 y  (  1)     (6 2 )

  Selanjutnya, nilai d dapat diminimumkan dengan persamaan yang lebih sederhana: _{2 2 2 2}

  d  f x y ( , ) (   x 1)  y    (6 x 2 ) y

  Lalu,

  f  2( x   1) 2(6   x 2 ) 4 y  x  _x 4 y  14 0          f _y 2 y 4(6 x 2 ) y 4 x 10 y 24 0

  Dengan proses eliminasi dari sistem persamaan:

   4 x  4 y  14 0 