Kelebihan dan Kekurangan Homotopy Analysis Method (HAM) dan Homotopy Perturbation Method (HPM) Muslim Ansori dan Suharsono S

  Pandang persamaan diferensial

  adalah parameter semu taknol, L adalah operator linear semu, ( , ) z h t adalah nilai penduga awal dari z(h,t) dan ( , ; ) h t p  adalah fungsi tak diketahui. Parameter h dan operator L di sini dipilih secara bebas. . Bilamana p  dan

  p  adalah embedding

     (2) di mana [0,1]

  (1 ) [ ( , ; ) ( , )] [ ( , ; )], p L h t p z h t ph N h t p  

  [z(h,t)] = 0, (1) Di mana N adalah operator taklinear, h dan t melambangkan peubah bebas, sementara z(h,t) adalah fungsi tak diketahui. Singkatnya, dengan mengabaikan syarat batas dan syarat awal, Liao [1] mengkonstruksi persamaan deformasi orde- nol

  N

  

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

Semirata 2013 FMIPA Unila |361

  Pada tahun 1998, He [11,12] memperkenalkan homotopy perturbation method (HPM), kemudian dikembangkan lagi [13,14]. Banyak lagi ilmuwan yang turut menerapkannya. Pada bagian selanjutnya akan dibicarakan kekurangan dan kelebihan masing-masing metode ini.

  

  Akhir- akhir ini banyak muncul peminat aplikasi teknik homotopy dalam memecahkan masalah taklinear. Alasan utama, kenyataannya adalah bahwa metose homotopy lebih mudah dugunakan dalam memecahkan masalah sulit. Pada tahun 1992, Liao [2] memperkenalkan homotopy analysis method (HAM) sebuah tenik mendapatkan solusi analitik persamaan taklinear tanpa menggunakan parameter kecil. Liao sukses menerapkan HAM untuk menghasilkan solusi analitik yang eksplisit, valid seragam dari persamaan Blasius [7] atau persamaan Falkner-Skan [9]. Teori homotopy menjadi perangkat matematika yang sangat berguna ketika sukses digabungkan dengan teori perturbasi [10].

  PENDAHULUAN

  Keywords: HAM, HPM, parameter semu, nilai penduga awal.

  Metode HAM dan HPM pada dasarnya adalah metode yang digunakan untuk

menyelesaikan persamaan diferensial taklinear yang didasarkan pada deret Taylor. Keduanya

memberikan hasil aproksimasi yang baik untuk beberapa suku tertentu. HAM tidak

memerlukan nilai penduga awal yang baik, berbeda dengan HPM. Juga HAM memiliki

parameter semu h, yang berfungsi untuk mengontrol daerah konvergensi deret.

  

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampug

Abstrak.

  

Kelebihan dan Kekurangan Homotopy Analysis Method (HAM)

dan Homotopy Perturbation Method (HPM)

Muslim Ansori dan Suharsono S

  parameter, h

TINJAUAN PUSTAKA

  Liao [1] memperkenalkan sebuah teknik analisis yang disebut Homotopy Analysis Method (HAM). Validitas dari HAM adalah tidak tergantung pada ada tidaknya parameter kecil dalam persamaan yang sedang diselesaikan. Liao berhasil menerapkan HAM untuk menyelesaikan masalah- masalah taklinear. Zedan dan Adrous [16] mereview secara ringkas teori tentang HAM dan HPM seperti di bawah ini.

   , 1 p maka masing

• – masing berlaku:

  

M. Adi Sidauruk dkk: Karakteristik Pendugaan Emperical Best Linear Unbiased

Prediction (EBLUP) Pada Pendugaan Area Kecil

  ( ) ( ) 0, A u f r r    (11) terhadap syarat batas

  

      

   

    (9)

  0,

  1 1,

  1 ^m

  m m

   

    

   

  (10) Di sisi lain, ide dasar Homotopy

  Perturbation Method adalah kombinasi dari teknik perturbasi klasik dan teknik homotopy, yang mengeliminasi pembatasan metode perturbasi tradisional. Teknik ini memiliki banyak keunggulan dari teknik perturbasi tradisional [13]. Untuk memahami ide dasar metode HPM dalam menyelsaikan persamaan differensial tak linear, pandang persamaan differensial taklinear berikut:

  , 0, u B u r n

  ( 1)! ^{m m m p m}

      

      

  (12) di mana A adalah operator diferensial umum, B adalah operator batas, f® adalah fungsi analitik yang diketahui dan  adalah batas dari domain Ω. Operator A dapat dibagi menjadi dua operator linear bagian, sebut L dan N. Karena itu persamaan (11) dapat ditulis menjadi

  ( ) ( ) ( ) L u N u f r    (13) Dengan teknik homotopy, dikonstruksi homotopy

   

  ( , ) : 0,1 V r p    (14) yang memenuhi    

  ( , ) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, [0,1], , H V p p L V L u p A V f r p r         (15)

  atau

   

  ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 H V p L V L u pL u p N V f r       (16) Di mana [0,1] p  adalah embedding parameter dan u adalah aproksimasi awal untuk (11) yang memenuhi syarat batas. Selanjutnya dari (14) dan (15) diperoleh

  ( , 0) ( ) ( ), H V L V L u   (17) ( ,1) ( ) ( ) H V A V f r   . (18)

  Dengan demikian, proses perubahan p dari nol ke 1 tak lain adalah perubahan ( , ) v r p dari ( ) u r ke ( ) u r . Dalam topologi, hal ini disebut deformasi. Dengan demikian ( ) ( ) L v L u  dan ( ) ( ) A v f r  adalah homotopik.

  Sesuai dengan HPM, kita dapat menggunakan parameter p sebagai parameter bernilai kecil, dan asumsikan bahwa solusi (14) dan (15) dapat ditulis sebagai deret pangkat dalam p: _{2 1 2} V

  h t p R z m p

  di mana _{1 1 1} 1 ( , ; ) ( ) ,

  ( , ;0) ( , ) h t z h t 

  

   dan ( , ;1) ( , ) h t z h t 

   . (3) Dengan demikian bilamana p bertambah dari 0 ke 1, solusi ( , ; ) h t p  bergerak dari nilai awal ( , ) z h t ke solusi z(h,t). Bila

  ( , ; )

   h t p diperluas dalam deret Taylor

  terhadap p, maka diperoleh ₁

  ( , ; ) ( , ) ( , ) , ^m _{m m} h t p z h t z h t p

  

     

  

  (4) di mana 1 ( , ; )

  ( , ) ! ^{m m p m}

  h t p z h t m p

  

   

       , (8)

   (5)

  Jika operator linear semu L, nilai penduga awal ( , ) z h t , dan parameter semu h dipilih dengan benar, deret (4) konvergen untuk p=1, sehingga diperoleh ₁

  ( , ) ( , ) ( , ) _{m m} z h t z h t z h t

     

  

  , (6) yang harus merupakan solusi dari persamaan taklinear awal [1].

  Bila h = -1, maka (2) menjadi (1 ) [ ( , ; ) ( , )] [ ( , ; )] 0, p L h t p z h t pN h t p

        (7)

  Bentuk ini banyak digunakan pada metode perturbasi homotopi. Dengan mendiferensialkan (2) m kali terhadap parameter p dan kemudian setting

  p = 0, lalu bagi dengan m!, selanjutnya

  diperoleh _{1 1}

  [ ( , ) ( , )] ( ) _{m m m m m} L z h t z h t h R z

  

  V pV p V     (19)

  

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

Semirata 2013 FMIPA Unila |363

  H(r,t) dan parameter semu h. bagaimanapun

  Dalam menyelesaikan persamaan evolusi, Liang and Jeffrey [18] menyimpulkan bahwa HPM menghasilkan deret yang divergen untuk semua x dan t, kecuali pada t = 0 ( di nilai awal ), yaitu radius konvergensi solusi HPM adalah nol. Karena itu HPM tidak memberikan hasil pendekatan yang bermanfaat, baik dalam hal deret konvergen atau deret asimtotik. Di sisi lain, metode HAM memberikan hasil solusi konvergen untuk nilai 0, 2

  He [10] juga mengakui bahwa HAM adalah metode deret Taylor yang diperumum, untuk mencari solusi deret takhingga dan daerah konvergensi menjadi lebih luas. Parameter homotopy h harus dipilih sesuai dengan radius konvergensi deret takhingga yang telah diperoleh. Sementara HPM adalah metode perturbasi baru, untuk mencari solusi asimtotik dengan 2 sampai 4 suku, tanpa memerlukan teori konvergensi.

  memilih nilai awal, operator linear semu dan fungsi semu. Berbeda dengan HPM, konvergensi solusi deret Liao bergantung kepada empat factor. Meskipun pemilihan nilai awal dan operator linear semu tidak cukup baik, asal rasional, hasilnya tetap bisa konvergen [2], sebab konvergensi pada HAM ditentukan oleh pemilihan nilai parameter h.

  Expression [2], yang sangat berguna untuk

  Sedangkan Liao [2], dengan menggunakan HAM suku ini tetap dipertahankan. Untuk mengeneralisasi suku ini, Liao menyediakan Rule of Solution

      .

   

  n n

  1 ⁿ _n

     (menurut He), padah tidak benar-benar sekuler sebab lim exp( ) 0,

  n

  untuk kasus khusus h = -1 dan ( , ) 1 H r t  , konvergensi solusi HPM hanya bergantung kepada dua factor, dan HPM tak dapat menyediakan cara lain untuk menjamin konvergensi. Inilah alasan mengapa pemilihan nilai awal dan operator semu harus dilakukan dengan baik [1], sementara rambu-rambu untuk menentukan pilihan tidak tersedia. Di sisi lain , pada HAM tidak disyaratkan seperti demikian. Akibat pengaruh pemilihan nilai awal pada HPM ini, untuk kasus masalah taklinear yang rumit, seperti penyelesaian persamaan Blasius and Falkner-Skan, He [13] mengabaikan suku sekuler exp( ) ⁿ

  Beberapa perbedaan HAM dan HPM dapat diungkapkan sebagai berikut. Konvergensi dari solusi deret Liao bergantung kepada empat factor, yaitu nilai awal, operator linear semu, fungsi semu

  Setting p=1 sehingga diperoleh solusi aproksimasi dari (11) _{1 2 1} lim _p

  HPM pada dasarnya merupakan kasus khusus dari HAM, yaitu bilamana h = -1 dan ( , ) 1 H r t  . Karena itu HAM secara logis pada prinsipnya memuat HPM [2, 10]. Selain itu HPM secara matematis merupakan perumuman dari deret Taylor, meskipun hanya perlu beberapa suku deret. Jadi jika pemilihan nilai awal dan operator linear semu dilakukan dengan benar, hanya perlu beberapa suku agar hasilnya cukup akurat.

  PEMBAHASAN

    haruslah lebih kecil daripada 1 sehingga deret konvergen.

  V 

  2. Norm dari ¹ L N

  Turunan kedua dari N(V) terhadap V haruslah kecin sebab parameter dapat menjadi besar, yaitu p→1.

  menyarankan: 1.

  A(V) . He [13] dan Cveticanin [17]

       (20) Deret (20) adalah konvergen, namun masih bergantung kepada operator taklinear

  V V 

  V V

  u

  1.4 h   .

• – 200 ( in Chinese)

  new Analytic Method for Nonlinear Problems without small parameters, in

  approximation solution for Blasius viscous flow problems. Int. J. Nonlinear

  The 3

  S J Liao, Homotopy Analysis Method, A

  Shanghai Mech. 18. (3) (1997(). 196

  kind of nonlinear analytical technique not depending on small parameters . J.

  Mech, 32 (5) (1997) 815 – 822. S J Liao, Homotopy Analysis Method, a

  solution of laminar viscous flow over a semi infinite flat plate. Comm. Nonlinear

  Sci Numer Simulat. 3.(2) (1998) 53 – 57. S J Liao. An Explicit, totally analytic

  Mech. 34 (1999) 759 - 778. S J Liao. A uniformly valid analysis

  International Conference on nonlinear Mechanics, Shanghai, 1998, pp. 829 – 833. S J Liao. An Explicit, totally analytic

  solution of two dimensional viscous flow over a semi infinite flat plate

  . J. Fluid Mech. 385 (1999) 101 – 128.

  S J Liao. A non-iterative numerical

  Berdasarkan dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa metode HAM lebih baik dan lebih mudah diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah taklinear. Metode HPM, di samping agak rumit, juga kurang akurat. Menurut penilaian Liao, HPM masih memuat beberapa kesalahan dan memerlukan dasar matematika yang rasional. Di samping itu pula, perlu diperumum dan diverifikasi untuk menyelesaikan masalah-masalah taklinear yang rumit.

  KESIMPULAN

  Pemilihan nilai h juga dapat dilakukan dengan tepat. Dibandingkan dengan metode dekomposisi dan solusi eksak, metode HAM merupakan metode yang sangat menjanjikan untuk mendapatkan pendekatan solusi analitik bagi masalah- masalah taklinear yang sangat rumit.

  Untuk masalah purely nonlinear fin-type, Chowdhury et al [15] menyimpulkan bahwa penggunaan HAM memberikan hasil yang lebih akurat dan perhitungan suku-sukunya lebih mudah dibandingkan dengan HPM.

  

M. Adi Sidauruk dkk: Karakteristik Pendugaan Emperical Best Linear Unbiased

Prediction (EBLUP) Pada Pendugaan Area Kecil

  rd

DAFTAR PUSTAKA

  technique which does not depend upon small parameters

  Boca Raton, 2003. S J Liao, A kind of approximate solution

  Introduction to Homotopy Analysis Method , Chapman &Hall/ CRC Press,

  S J Liao, Beyond Perturbation:

  Mechanics, English Edition, Vol. 19, No. 10,(1998) 957 – 962.

  new Analytic Method for Nonlinear Problems , Applied Mathematics and

  S J Liao, Homotopy Analysis Method: A

  approach for 2_D viscous flow prpblems governed by the Falkner-Skan equation .

  Int. J. Numer. Methods Fluids. 35 (5) (2001) 495 - 518. J H He, Comparison of Homotopy

  perturbation Methods and Homotopy Analysis Method , Appl. Math. Comput.

  156 (2004) 527 – 539. J H He. An approximate solution technique depending upon an artificial parameter .

  Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 3 (2) (1998) 92 – 97.

  J H He. Newton-like Iteration Method for solving algebraic equations . Comm.

• – II. An application in fluid mechanics, Int. J. Non-Linear

  Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 3 (2)

  

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

  (1998) 106 Application of the Homotopy – 109.

  Perturbation Method and the Homotopy J H He. Homotopy Perturbation Technique. Analysis Method to the Generalized

  Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 178

  Zakharoz Equations. Hindawi

  (3/4) (1999) 257 – 262.

  Publishing Corporation, Abstract and J H He. A Coupling Method of homotopy

  Applied Analysis, Vol 2012. Article ID

  technique and perturbation technique 561252, 19 pages. for nonlinear problems . Int. J. Nonlinear

  L. Cveticanin. Homotopy Perturbation Mech. 35 (1) (2000) 37 – 43.

  Method for pure nonlinear differential M. S. H. Chowdhury, I. Hashim, O. equations . Chaos, Soliton & fractals.

  Abdulaziz. Comparison of Homotopy Vol. 30 (2006) no. 5. 1221 – 1230.

  perturbation Methods andHomotopy

  S Liang and D.J. Jeffrey. Comparison of

  Analysis Method for purely nonlinear Homotopy analysis method and fin-type problems . Comm. In nonlinear homotopy perturbation method through

  science and Numerical Simulation. 14.

  an evolution equation . Comm

  (2009), 371 – 378.

  Nonlineaqr Sci Numer Simulat. 14

  H. A. Zedan and E. El Adrous, The (2009) 4057 – 4064.

  Semirata 2013 FMIPA Unila |365