UKURAN LOKASI (UKURAN PEMUSATAN)
UKURAN LOKASI
(UKURAN PEMUSATAN)
DYAH NIRMALA A.J., S.E., M.Si.
1
DEFINISI
• Ukuran kecenderungan memusat di
mana nilainya cenderung berada di
tengah-tengah sekelompok data.
• Ukuran lokasi ini sering disebut juga
dengan istilah central tendency atau
ukuran pemusatan atau rata-rata
(average)
2
Jenis-jenis rata-rata
(average)
• Rerata (mean)
• Nilai tengah (median)
• Nilai dengan frekuensi terbanyak
(modus)
3
RERATA / MEAN
4
Rerata Data Tunggal
•Rumus
untuk sampel:
Rumus untuk populasi:
Di mana:
5
Contoh Soal:
mahasiswa mengikuti mata
• Enam
kuliah statistik di semester sisipan, dan
masing-masing mendapatkan skor: 80,
70, 90, 50, 85, dan 65. Carilah
reratanya!
• Jawaban:
3
3
6
Rerata Data Kelompok
• Rumus untuk sampel:
• Rumus untuk populasi:
• Di mana
– dan rata-rata kelompok ke-i;
– dan banyaknya data kelompok ke-i
7
Contoh Soal
• Seorang pengusaha waralaba
mempunyai 15 lapak yang tersebar
di empat kota seperti tampak berikut
ini (dalam
juta rupiah):
Kota Jumlah
Rerata
Frekuensi
lapak
Yogya
Semara
ng
Surabay
a
/ jumlah
2
4
penghasil
an per
bulan
10
15
4
20
80
20
60
8
•
Langkah-langkah:
1.
9
Rerata Data
Kelompok Distribusi Frekuensi
•
Di mana:
10
Contoh Soal
• Berikut ini adalah tabel distribusi
frekuensi penduduk laki-laki
umur 50 tahun ke atas pada
sensus penduduk dari 35 kota di
sebuah propinsi (dalam ribuan).
• Cari reratanya!
11
TABEL DISTRIBUSI
FREKUENSI
Selang /
interval
kelas
Batas
kelas
Titik
tengah
kelas
5 – 17
4,5 –
17,5
17,5 –
30,5
30,5 –
43,5
43,5 –
56,5
56,5 –
11
18 – 30
31 – 43
44 – 56
57 – 69
Frekuen Frekuen
si
si
Kumulat
if
4
4
24
3
7
37
11
18
50
9
27
63
4
31
12
Jumlah
Interval
Penduduk
5 – 17
18 – 30
31 – 43
44 – 56
57 – 69
70 – 82
Titik
tengah
kelas
11
24
37
50
63
76
Frekuen
si
4
3
11
9
4
4
44
72
407
450
252
304
13
Jawaban Contoh Soal
•1.
2.
3.
4. rata-rata jumlah penduduk laki-laki
usia 50 tahun ke atas di tiap kota di
propinsi tersebut ada sebanyak
44.000 orang.
14
NILAI TENGAH / MEDIAN
15
Median Data Tunggal
•Rumus
Di mana:
16
Contoh Soal
•Data
Ganjil (n=ganjil)
65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, 50
Data diurutkan terlebih dahulu:
35, 40, 45, 50, 65, 70, 70, 80, 90
median terdapat pada data ke-5, yaitu
65
17
Contoh Soal
•Data
Genap (n=genap)
50, 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, 50
Data diurutkan terlebih dahulu:
35, 40, 45, 50, 50, 65, 70, 70, 80, 90
median terdapat pada data ke 5,5;
yaitu antara 50 dengan 65
18
Median Data Kelompok
Distribusi Frekuensi
•Rumus:
Di mana:
= median
= lebar kelas
= banyaknya data
= frekuensi pada kelas median
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
= batas bawah kelas median
19
Contoh Soal
Interval
Frekue
Jumlah
nsi
Pendudu
Batas
Frekue Kumula
k
Kelas
nsi
tif
5 – 17
4,5 – 17,5
4
4
17,5 –
18 – 30
30,5
3
7
30,5 –
31 – 43
43,5
11
18
43,5 –
44 – 56
56,5
9
27
20
Langkah-langkah menghitung
median:
•1. Mencari interval kelas yang
mengandung median dengan rumus
median terletak di interval kelas
31 – 43 (ke-3)
2. Batas bawah kelas median dan
lebar kelas untuk interval 31 – 43
yaitu:
21
Langkah-langkah menghitung
median:
•3.
4. nilai tengah jumlah penduduk lakilaki usia 50 tahun ke atas di tiap
kota di propinsi tersebut adalah
sebanyak 43.000 orang.
22
NILAI YANG PALING
SERING TERJADI / MODUS
23
Modus Data Tunggal
• Dari dua belas mahasiswa diambil
secara acak dan dicatat berapa kali
mereka nonton bioskop selama
liburan. Data yang diperoleh adalah:
2, 0, 3, 1, 2, 4, 2, 2, 5, 4, 1, 4. Dari
data tersebut modusnya adalah 2,
karena angka 2 paling banyak
muncul (sebanyak 4 kali)
24
Modus Data Kelompok
Distribusi Frekuensi
Rumus:
•
Di mana:
= modus / nilai yang paling sering muncul.
= Batas bawah kelas
= lebar kelas
= selisih frekuensi modus dengan frekuensi
sebelumnya
= selisih frekuensi modus dengan frekuensi
sesudahnya
25
Tabel Distribusi Frekuensi
Interval
Frekue
Jumlah
nsi
Pendudu
Batas
Frekue Kumula
k
Kelas
nsi
tif
5 – 17
4,5 – 17,5
4
4
17,5 –
18 – 30
30,5
3
7
30,5 –
31 – 43
43,5
11
18
43,5 –
44 – 56
56,5
9
27
26
Langkah-langkah menghitung
modus:
•1. Mencari frekuensi terbanyak dari
tabel distribusi frekuensi, yaitu
angka 11. Oleh karena itu modus
terletak di interval / baris ke-3 atau
(31 – 43).
2.
27
Langkah-langkah menghitung
modus:
•3.
4. modus dari tabel distribusi
frekuensi tersebut sebesar 40,9 41
28
Latihan Soal Satu
• Dari data di bawah ini, cari
mean, median, dan
modusnya.
a. 2, 2, 5, 7, 9, 9, 10, 10, 11, 12,
18
b. 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16
29
SOAL A
•Mean:
Median: 9
Modus: 2, 9 dan 10
30
SOAL B
•Mean:
Median: 10
Modus: tidak ada
31
Latihan Soal Dua
• Cari mean, median, modus dari tabel
distribusi frekuensi berikut ini:
Interval
Kelas
30
40
50
60
70
80
–
–
–
–
–
–
39
49
59
69
79
89
Titik
tengah
kelas
Frekuensi
4
6
8
12
9
7
32
interv
al
batas
29,530-39 39,5
39,540-49 49,5
49,550-59 59,5
59,560-69 69,5
69,570-79 79,5
79,580-89 89,5
10
nilai
tenga frek frek
h
.
kum
ti*f
34.5
4
4
138
44.5
6
10
267
54.5
8
18
436
64.5 12
30
me &
774 mo
74.5
9
39
670.5
84.5
7
46
46
591.5
2877
33
•
34
(UKURAN PEMUSATAN)
DYAH NIRMALA A.J., S.E., M.Si.
1
DEFINISI
• Ukuran kecenderungan memusat di
mana nilainya cenderung berada di
tengah-tengah sekelompok data.
• Ukuran lokasi ini sering disebut juga
dengan istilah central tendency atau
ukuran pemusatan atau rata-rata
(average)
2
Jenis-jenis rata-rata
(average)
• Rerata (mean)
• Nilai tengah (median)
• Nilai dengan frekuensi terbanyak
(modus)
3
RERATA / MEAN
4
Rerata Data Tunggal
•Rumus
untuk sampel:
Rumus untuk populasi:
Di mana:
5
Contoh Soal:
mahasiswa mengikuti mata
• Enam
kuliah statistik di semester sisipan, dan
masing-masing mendapatkan skor: 80,
70, 90, 50, 85, dan 65. Carilah
reratanya!
• Jawaban:
3
3
6
Rerata Data Kelompok
• Rumus untuk sampel:
• Rumus untuk populasi:
• Di mana
– dan rata-rata kelompok ke-i;
– dan banyaknya data kelompok ke-i
7
Contoh Soal
• Seorang pengusaha waralaba
mempunyai 15 lapak yang tersebar
di empat kota seperti tampak berikut
ini (dalam
juta rupiah):
Kota Jumlah
Rerata
Frekuensi
lapak
Yogya
Semara
ng
Surabay
a
/ jumlah
2
4
penghasil
an per
bulan
10
15
4
20
80
20
60
8
•
Langkah-langkah:
1.
9
Rerata Data
Kelompok Distribusi Frekuensi
•
Di mana:
10
Contoh Soal
• Berikut ini adalah tabel distribusi
frekuensi penduduk laki-laki
umur 50 tahun ke atas pada
sensus penduduk dari 35 kota di
sebuah propinsi (dalam ribuan).
• Cari reratanya!
11
TABEL DISTRIBUSI
FREKUENSI
Selang /
interval
kelas
Batas
kelas
Titik
tengah
kelas
5 – 17
4,5 –
17,5
17,5 –
30,5
30,5 –
43,5
43,5 –
56,5
56,5 –
11
18 – 30
31 – 43
44 – 56
57 – 69
Frekuen Frekuen
si
si
Kumulat
if
4
4
24
3
7
37
11
18
50
9
27
63
4
31
12
Jumlah
Interval
Penduduk
5 – 17
18 – 30
31 – 43
44 – 56
57 – 69
70 – 82
Titik
tengah
kelas
11
24
37
50
63
76
Frekuen
si
4
3
11
9
4
4
44
72
407
450
252
304
13
Jawaban Contoh Soal
•1.
2.
3.
4. rata-rata jumlah penduduk laki-laki
usia 50 tahun ke atas di tiap kota di
propinsi tersebut ada sebanyak
44.000 orang.
14
NILAI TENGAH / MEDIAN
15
Median Data Tunggal
•Rumus
Di mana:
16
Contoh Soal
•Data
Ganjil (n=ganjil)
65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, 50
Data diurutkan terlebih dahulu:
35, 40, 45, 50, 65, 70, 70, 80, 90
median terdapat pada data ke-5, yaitu
65
17
Contoh Soal
•Data
Genap (n=genap)
50, 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, 50
Data diurutkan terlebih dahulu:
35, 40, 45, 50, 50, 65, 70, 70, 80, 90
median terdapat pada data ke 5,5;
yaitu antara 50 dengan 65
18
Median Data Kelompok
Distribusi Frekuensi
•Rumus:
Di mana:
= median
= lebar kelas
= banyaknya data
= frekuensi pada kelas median
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
= batas bawah kelas median
19
Contoh Soal
Interval
Frekue
Jumlah
nsi
Pendudu
Batas
Frekue Kumula
k
Kelas
nsi
tif
5 – 17
4,5 – 17,5
4
4
17,5 –
18 – 30
30,5
3
7
30,5 –
31 – 43
43,5
11
18
43,5 –
44 – 56
56,5
9
27
20
Langkah-langkah menghitung
median:
•1. Mencari interval kelas yang
mengandung median dengan rumus
median terletak di interval kelas
31 – 43 (ke-3)
2. Batas bawah kelas median dan
lebar kelas untuk interval 31 – 43
yaitu:
21
Langkah-langkah menghitung
median:
•3.
4. nilai tengah jumlah penduduk lakilaki usia 50 tahun ke atas di tiap
kota di propinsi tersebut adalah
sebanyak 43.000 orang.
22
NILAI YANG PALING
SERING TERJADI / MODUS
23
Modus Data Tunggal
• Dari dua belas mahasiswa diambil
secara acak dan dicatat berapa kali
mereka nonton bioskop selama
liburan. Data yang diperoleh adalah:
2, 0, 3, 1, 2, 4, 2, 2, 5, 4, 1, 4. Dari
data tersebut modusnya adalah 2,
karena angka 2 paling banyak
muncul (sebanyak 4 kali)
24
Modus Data Kelompok
Distribusi Frekuensi
Rumus:
•
Di mana:
= modus / nilai yang paling sering muncul.
= Batas bawah kelas
= lebar kelas
= selisih frekuensi modus dengan frekuensi
sebelumnya
= selisih frekuensi modus dengan frekuensi
sesudahnya
25
Tabel Distribusi Frekuensi
Interval
Frekue
Jumlah
nsi
Pendudu
Batas
Frekue Kumula
k
Kelas
nsi
tif
5 – 17
4,5 – 17,5
4
4
17,5 –
18 – 30
30,5
3
7
30,5 –
31 – 43
43,5
11
18
43,5 –
44 – 56
56,5
9
27
26
Langkah-langkah menghitung
modus:
•1. Mencari frekuensi terbanyak dari
tabel distribusi frekuensi, yaitu
angka 11. Oleh karena itu modus
terletak di interval / baris ke-3 atau
(31 – 43).
2.
27
Langkah-langkah menghitung
modus:
•3.
4. modus dari tabel distribusi
frekuensi tersebut sebesar 40,9 41
28
Latihan Soal Satu
• Dari data di bawah ini, cari
mean, median, dan
modusnya.
a. 2, 2, 5, 7, 9, 9, 10, 10, 11, 12,
18
b. 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16
29
SOAL A
•Mean:
Median: 9
Modus: 2, 9 dan 10
30
SOAL B
•Mean:
Median: 10
Modus: tidak ada
31
Latihan Soal Dua
• Cari mean, median, modus dari tabel
distribusi frekuensi berikut ini:
Interval
Kelas
30
40
50
60
70
80
–
–
–
–
–
–
39
49
59
69
79
89
Titik
tengah
kelas
Frekuensi
4
6
8
12
9
7
32
interv
al
batas
29,530-39 39,5
39,540-49 49,5
49,550-59 59,5
59,560-69 69,5
69,570-79 79,5
79,580-89 89,5
10
nilai
tenga frek frek
h
.
kum
ti*f
34.5
4
4
138
44.5
6
10
267
54.5
8
18
436
64.5 12
30
me &
774 mo
74.5
9
39
670.5
84.5
7
46
46
591.5
2877
33
•
34