A. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem persamaan linear B. Materi : 1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks 2. Determinan C. Indikator : 1. Mendefinisikan persamaan linear dan sistem persamaan linear 2. Mengenal berbagai bentuk matriks dan operasi dala
(Oleh: Winita Sulandari, M.Si) A.
Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem persamaan linear B. Materi : 1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks
2. Determinan C.
Indikator :
1. Mendefinisikan persamaan linear dan sistem
persamaan linear
2. Mengenal berbagai bentuk matriks dan operasi dalam matriks
3. Menyajikan sistem persamaan linear dalam bentuk matriks dan menyelesaikannya dengan operasi baris elementer 4. Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode eliminasi Gauss dan
Gauss-Jordan 5. Menentukan invers matriks menggunakan operasi baris elemanter
6. Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode invers matriks
7. Menentukan determinan dari suatu matriks 8.
Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan aturan Cramer.
Sistem Persamaan Linear Dan Matriks [ ] Semester ganjil 2011/2012
BAB 1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIK A. Pengantar Dalam bidang kimia, sistem persamaan linear dibutuhkan untuk menyelesaikan
perhitungan terkait dengan prinsip kesetimbangan kimia. Sebagai contohnya, pada proses
penyampuran toluene C H dan nitric acid HNO yang menghasilkan trinitrotoluene
7
8
3 C H O N . Berdasarkan persamaan kimia
7
5
6
3
+ +
7
8
3
7
5
6
3
2
↔
diperoleh beberapa persamaan linear7 untuk unsur C :
= 7
8 untuk unsur H
:
- = 5 + 2
untuk unsur N
:
= 3
3 untuk unsur O :
= 6 +
Keempat persamaan di atas di sebut dengan persamaan linear karena setiap variabelnya
mempunyai pangkat satu, dan bukan merupakan fungsi trigonometri, logaritma maupun
eksponensial. Himpunan dari beberapa persamaan linear yang jumlahnya berhingga disebut
dengan sistem persamaan linear.Secara umum suatu sistem sebarang dari m persamaan linear dengan n variabel (faktor yang tidak diketahui) dapat ditulis sebagai a x + a x + … + a x = b
11
1
12 2 1n n
1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = b
2
a x + a x + … + a x = b m1 1 m2 2 mn n m
Dengan a , a , …, a , …, a dan b , b , …,b merupakan konstanta, sedangkan x , x , …,
11 12 1n mn
1 2 n
1
2 x merupakan variabel yang dicari. n
Dalam bab ini, kita akan melihat bahwa untuk menyelesaikan suatu sistem
persamaan linear di atas, seluruh informasi yang dibutuhkan untuk memperoleh
penyelesaiannya terangkum dalam matriksa a a b 11 12 1n 1
a a a b 21 22 2n 2 a a a b m1 m2 mn m
Sistem Persamaan Linear Dan Matriks [ ] Semester ganjil 2011/2012
Dan penyelesaiannya dapat diperoleh dengan melakukan operasi yang sesuai terhadap
matriks ini. Metode yang digunakan adalah1. metode matriks yang diperbesar 2. metode eliminasi Gauss 3. metode invers matriks 4. aturan Cramer
Sebelum membahas lebih lanjut mengenai metode matriks yang diperbesar, eliminasi Gauss
dan invers matriks, terlebih dahulu kita bahas mengenai matriks. Untuk metode keempat
akan dibahas pada bab berikutnya, yaitu pada pembahasan determinan.B. Matriks
Matriks adalah suatu kumpulan data yang disusun menurut baris dan kolom dan
dituliskan di dalam tanda kurung [ ]. Bilangan-bilangan dalam matriks disebut dengan
entri/unsur. Berikut adalah contoh matriks a a a 11 12 1n
a a a 21 22 2n
A
a a a m1 m2 mn
Matriks A adalah matriks berukuran m x n, m menunjukkan banyaknya baris dan n
menunjukkan banyaknya kolom. Matriks A dapat juga dinotasikan dengan [a ] atau [a ].
ij mxn ijEntri yang terletak pada baris i dan kolom j pada matriks A dinyatakan sebagai a .
ij T
Transpose dari matriks A dinyatakan dengan dengan A didefinisikan sebagai matriks n x m
yang didapatkan dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari A; sehingga
TT
kolom pertama dari A adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari A adalah baris kedua
dari A, dan seterusnya, sehingga diperoleh a a a 11 21 m1
T a a a 12 22 m2
A a a a 1n 2n mn
Suatu matriks A dengan jumlah baris n dan jumlah kolom n disebut matriks
bujursangkar ordo n dan entri a , a , …, a disebut sebagai diagonal utama. Jika A
11 22 nn
adalah sebuah matriks bujursangkar maka trace dari A, yang dinyatakan sebagai tr(A),
didefinisikan sebagai jumlah entri-entri pada diagonal utama A.[ Sistem Persamaan Linear Dan Matriks ] Semester ganjil 2011/2012
3. Perkalian a.
ij ] maka (cA) ij
2
1 AB =
25
17
8
diperoleh dari b.
Jika A adalah matriks sebarang dan c adalah scalar sebarang, maka hasilkalinya cA adalah matriks yang diperoleh dari perkalian setiap entri pada matriks A dengan bilangan c. Matriks cA disebut sebagai kelipatan skalar dari
= c(A) ij
1
= ca ij .
4. Perkalian blok Jika A dan B dipartisi menjadi sejumlah submatriks misalnya A =
22 21 12 11 A A A A
dan B =
22 21 12 11 B B B B
maka AB dapat dinyatakan sebagai 2.1 + 4.2 + (-3).(-2) + 0.1
2
Terdapat beberapa operasi dalam matriks, yaitu 1. Penjumlahan Matriks jumlahan dari dua matriks A + B (A dan B mempunyai ukuran sama) adalah matriks dengan entri-entrinya merupakan jumlahan dari entri-entri A dengan entri- entri yang bersesuaian pada B.
1
2. Pengurangan (selisih) Selisih A – B (A dan B berukuran sama) adalah matriks yang diperoleh dengan
mengurangkan entri-entri pada A dengan entri-entri yang bersesuaian pada B.
Jika A adalah matriks mx r dan B adalah matriks r x n maka hasilkali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri pada baris i dan kolom j dari AB, pisahkanlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut dan kemudian jumlahkan hasil yang diperoleh. Contoh 1: A
3 x 4 =
5
6
3
3
4
2
9
2
1
1
dan B 4 x 1
=
A. Notasi : Jika A = [a
Sistem Persamaan Linear Dan Matriks [ ] Semester ganjil 2011/2012
A B A B A B A B 11 11 12 21 11 12 12 22
AB =
A B A B A B A B 21 11 22 21 21 12 22 22
dengan syarat ukuran-ukuran submatriks A dan B sedemikian rupa sehingga operasi- operasi yang disebutkan dapat dilakukan. Metode perkalian matriks yang dipartisi ini disebut sebagai perkalian blok.
C. Bentuk Matriks Dari Suatu Sistem Linear Perkalian matriks memiliki aplikasi penting dalam sistem persamaan linear.
Perhatikan sistem yang terdiri dari m persamaan linear dengan n faktor yang tidak diketahui
berikut ini. a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = b1 a x + a x x = b
21
1
22 2 + … + a 2n n
2
a x + a x + … + a x = b m1 1 m2 2 mn n m
Karena dua matriks adalah setara jika dan hanya jika entri-entri yang bersesuaian adalah
setara, maka kita dapat menukar m persamaan dalam sistem ini dengan persamaan matriks
tunggala x a x ... a x b 11 1 12 2 1n n 1
a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2
a x a x ... a x b m1 1 m2 2 mn mn m
Matriks m x 1 pada ruas kiri persamaan dapat ditulis sebagai hasilkali, sehingga kita
memperoleh a a a x b 11 12 1n 1 1
a a a x b 21 22 2n 2 2
a a a x b m1 m2 mn n m
Jika kita menyebut matriks-matriks di atas masing-masing sebagai A, x dan b, maka sistem
asli yang terdiri dari m dari persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui telah digantikan
dengan persamaan matriks tunggal berikut ini.Ax = b
Matriks A pada persamaan ini disebut matriks koefisien dari sistem tersebut. Matriks yang
diperbesar dari sistem tersebut diperoleh dengan menggabungkan b ke A sebagai kolom
terakhir, sehingga bentuk matriks yang diperbesar menjadiSistem Persamaan Linear Dan Matriks [ ] Semester ganjil 2011/2012
a a a b 11 12 1n 1 a a a b 21 22 2n 2
[A|b] =
a a a b m1 m2 mn m 1.
Metode Matriks Yang Diperbesar Suatu sistem persamaan linear yang terdiri dari m persamaan linear dengan n faktor
yang tidak diketahui dapat dipersingkat dengan hanya menuliskan deretan bilangan-
bilangan dalam jajaran empat persegi panjang:a a a b 11 12 1n 1
a a a b 21 22 2n 2 a a a b m1 m2 mn m
Ini disebut matriks yang diperbesar dari sistem tersebut.
Contoh 2: Matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan x + x + 2x = 9
1
2
3 2x + 4x - 3x = 1
1
2
3 3x + 6x - 5x = 0
1
2
3 adalah
1
1
2
9
2 4
3
1
3 6 5
Ketika menyusun suatu matriks yang diperbesar, faktor-faktor yang tidak diketahui harus
ditulis dengan urutan yang sama untuk setiap persamaan dan konstanta harus berada pada
bagian paling kanan.Metode dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah dengan
menggantikan sistem yang ada dengan suatu sistem baru yang memiliki himpunan solusi
yang sama tapi penyelesaiannya lebih mudah. Sistem baru ini biasanya diperoleh dengan
melalui beberapa langkah dengan cara menerapkan tiga jenis tipe operasi berikut untuk
mengeliminasi faktor-faktor yang tidak diketahui secara sistematis. 1. mengalikan persamaan dengan konstanta tak nol 2. menukarkan posisi dua persamaan 3. menambahkan kelipatan satu persamaan ke persamaan lainnya.Sistem Persamaan Linear Dan Matriks [ ] Semester ganjil 2011/2012
Contoh 3. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan melakukan operasi terhadap
persamaan dalam sistem. x + x + 2x = 91
2
3 2x + 4x - 3x = 1
1
2
3 3x + 6x - 5x = 0
1
2
3 Langkah-langkah yang diambil untuk menyelesaikan persamaan di atas adalah
1. tambahkan -2 kali persamaan petama ke persamaan kedua untuk memperoleh x + x + 2x = 9
1
2
3 2x - 7x = -17
2
3 3x 1 + 6x 2 - 5x 3 = 0 2. tambahkan -3 kali persamaan pertama ke persamaan ketiga untuk memperoleh x 1 + x 2 + 2x 3 = 9 2x
2 - 7x 3 = -17 3x - 11x = -27
2
3 3. kalikan persamaan kedua dengan ½ untuk memperoleh x + x + 2x = 9
1
2
3 x – 7/2x = -17/2
2
3 3x - 11x = -27
2
3 4. tambahkan -3 kali persamaan kedua ke persamaan ketiga untuk memperoleh x + x + 2x = 9
1
2
3 x – 7/2x = -17/2
2
3
- 1/2x 3 = -3/2 5. kalikan persamaan ketiga dengan -2 untuk memperoleh x
1 + x 2 + 2x 3 = 9 x 2 – 7/2x 3 = -17/2 x = 3
3 6. tambahkan -1 kali persamaan kedua ke persamaan pertama untuk memperoleh x + 11/2x = 35/2
1
3 x – 7/2x = -17/2
2
3 x = 3
3
7. tambahkan -11/2 kali persamaan ketiga ke persamaan pertama dan 7/2 kali persamaan
ketiga ke persamaan kedua untuk memperoleh x = 11 x = 2
2 x 3 = 3
Sistem Persamaan Linear Dan Matriks [ ] Semester ganjil 2011/2012 jadi diperoleh penyelesaian x = 1, x = 2, dan x = 3.
1
2
3 Selanjutnya akan kita bandingkan langkah-langkah di atas dengan menggunakan operasi baris elementer.
Karena baris-baris (urutan horizontal) dari matriks yang diperbesar bersesuaian dengan persamaan-persamaan dalam sistem yang berkaitan, operasi-operasi dalam persamaan di atas ini dengan operasi-operasi berikut pada baris-baris matriks yang diperbesar.
1. mengalikan baris dengan konstanta taknol 2. menukarkan posisi dua baris 3. menambahkan kelipatan satu baris ke baris lainnya.
Inilah yang disebut dengan operasi baris elementer.
Contoh 4. Menyelesaikan sistem yang sama dengan contoh sebelumnya dengan
melakukan operasi terhadap baris pada matriks yang diperbesar.Sistem persamaan linear terlebih dahulu disajikan dalam matriks yang diperbesar, yaitu
1
1
2
9
2 4
3
1
3 6
5
Langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan sistem di atas adalah 1. tambahkan -2 kali baris pertama ke baris kedua untuk memperoleh
1
1
2
9 2
7
17
3 6
5
2. tambahkan -3 kali baris pertama ke baris ketiga untuk memperoleh
1
1
2
9 2
7
17 3 11 27
3. kalikan baris kedua dengan ½ untuk memperoleh
1
1
2
9 1
7 / 2 17 /
2 3 11 27
4. tambahkan -3 kali baris kedua ke baris ketiga untuk memperoleh
Sistem Persamaan Linear Dan Matriks [ ] Semester ganjil 2011/2012
1
1
2
9 1
7 / 2 17 /
2
1 / 2 3 /
2
5. kalikan baris ketiga dengan -2 untuk memperoleh
1
1
2
9 1
7 / 2 17 /
2
1
3
6. tambahkan -1 kali baris kedua ke baris pertama untuk memperoleh
1 11 /
2 35 /
2
1 7 /
2 17 /
2
1
3
7. tambahkan -11/2 kali baris ketiga ke baris pertama dan 7/2 kali baris ketiga ke baris
kedua untuk memperoleh1
1
1
2
1 3
jadi diperoleh penyelesaian x 1 = 1, x 2 = 2, dan x 3 = 3.
D. Metode Eliminasi Gauss
Metode eliminasi Gauss adalah suatu prosedur yang didasarkan pada gagasan untuk
mereduksi matriks yang diperbesar dari suatu sistem menjadi matriks yang diperbesar lain
yang cukup sederhana sehingga penyelesaian sistem dapat diperoleh hanya dengan
melakukan inspeksi terhadap sistem tersebut. Pada contoh 4 suatu sistem linear dengan
faktor-faktor yang tidak diketahui x , x , dan x menggunakan reduksi matriks yang
1
2
3 diperbesar sehingga diperoleh
1
1
1
2
1 3
Atau dengan kata lain diperoleh penyelesaian x 1 = 1, x 2 = 2, dan x 3 = 3. Ini merupakan contoh matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi. Sifat-sifat dari matriks ini adalah
1. Jika satu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan 1 ini disebut 1 utama.
2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.
[ Sistem Persamaan Linear Dan Matriks ] Semester ganjil 2011/2012 3. jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.
1
b. persamaan terakhir dalam sistem persamaan yang bersesuaian adalah 0a + 0b + 0c = 1
a. sistem persamaan yang bersesuaian adalah a + 4d = -1 b + 2d = 6 c + 3d = 2 karena a, b, c bersesuaian dengan 1 utama pada matriks yang diperbesar maka ketiganya disebut sebagai variabel utama. Variabel-variabel yang bukan utama (dalam hal ini d) disebut sebagai variabel bebas. Dengan menyelesaikan variabel- variabel utama dalam bentuk variabel bebas akan diperoleh a = -1 – 4d b = 6 – 2d c = 2 - 3d dari bentuk persamaan-persamaan ini terlihat bahwa dapat kita tetapkan nilai sebarang untuk variabel bebas d, misalnya t, yang selanjutnya akan menentukan nilai variabel-variabel utama a, b, dan c. Jadi akan terdapat takterhingga banyaknya
penyelesaian dengan penyelesaian umumnya dinyatakan dalam rumus-rumus
a = -1 - 4t, b = 6 – 2t, c = 2 – 3t, dan d = t.1 Penyelesaian.
1
2
1
1 b.
4
1
4.
setiap kolom yang memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat-tempat lainnya.
2
6
1
3
2
a.
Contoh 5. Misalkan suatu matriks yang diperbesar dari suatu sistem persamaan linear telah
direduksi melalui operasi baris menjadi bentuk eselon baris tereduksi berikut ini. Selesaikan
sistem tersebut.
Matriks yang memiliki tiga sifat pertama di atas merupakan matriks dalam bentuk eselon
baris. Jadi matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi sudah pasti merupakan matriks
dalam bentuk eselon baris, tetapi tidak sebaliknya.
Karena persamaan ini tidak dapat dipenuhi, maka sistem ini tidak memiliki solusi.
Sistem Persamaan Linear Dan Matriks [ ] Semester ganjil 2011/2012
METODE ELIMINASI. Berikut adalah prosedur eliminasi tahap demi tahap yang dapat
digunakan untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi. Untuk memberi
gambaran supaya mudah dipahami kita ambil sebuah contoh, yaitu2
7
12
2 4
10
6
12
28
2 4
5 6 5
1 Langkah 1. Perhatikan kolom paling kiri yang tidak seluruhnya terdiri dari nol.
2
7
12
2
4
10
6
12
28
2
4
5
6
5 1
Langkah 2. Jika perlu, pertukarkan baris paling atas dengan baris lain untuk menempatkan
entri taknol pada puncak kolom yang kita peroleh pada langkah 1.2 4
10
6
12
28
2
7
12 B B
1
2
2 4
5 6 5 1
Langkah 3. Jika entri yang kini berada pada puncak kolom yang kita peroleh pada langkah
1 adalah a, kalikan baris pertama dengan 1/a sehingga terbentuk 1 utama.1 2
5
3
6
14
2
7 12 ½ B
1
2 4
5 6 5
1
Langkah 4. Tambahkan kelipatan yang sesuai dari baris paling atas ke baris-baris di
bawahnya sehingga semua entri di bawah 1 utama menjadi nol.1
2
5
3
6
14
2
7
12 B
3 – 2 B
1
5
17
29
Langkah 5. Sekarang tutuplah baris atas dari matriks dan mulailah lagi dengan langkah 1
pada submatriks yang tersisa. Lanjutkan langkah ini hingga seluruh matriks berada dalam
bentuk eselon baris.1 2
5
3
6
14
2
7
12 Tutup baris paling atas 5 17 29
kolom taknol paling kiri dalam submatriks
Sistem Persamaan Linear Dan Matriks [ ] Semester ganjil 2011/2012
1 2
5
3
6
14 1
7 / 2 6 -1/2 b
1
5
17
29
1 2
5
3
6
14 1
7 / 2 6 b
2 – 5 b
1
1 /
2
1
1
2
5
3
6
14
1
7 / 2 6 baris paling atas submatriks ditutup 1 /
2
1
kolom taknol paling kiri dalam submatriks baru
1 2
5
3
6
14
1 7 /
2 6 2b
1 2
Keseluruhan matriks kini berada dalam bentuk eselon baris. Untuk memperoleh bentuk
eselon baris tereduksi kita membutuhkan langkah tambahan berikut.
Langkah 6. Mulai dengan baris taknol terakhir dan bergerak ke atas, tambahkan kelipatan
yang sesuai dari tiap baris di atasnya untuk memperoleh nol di atas 1 utama.1 2
5
3
6
14
1
1 B
2 + 7/2 B
3
1
2
1 2
5
3
2
1
1 B
1 - 6 B
3
1
2
1
2
3
7
1
1 B
1 + 5 B
2
1
2 Matriks terakhir di atas berada dalam bentuk eselon baris tereduksi.
Langkah 1 – Langkah 5 menghasilkan matriks dalam bentuk eselon baris , prosedur
ini disebut dengan ELIMINASI GAUSS. Sedangkan prosedur sampai Langkah 6 menghasilkan
bentuk eselon baris tereduksi, disebut dengan ELIMINASI GAUSS-JORDAN.Contoh 6. Selesaikan dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan x 1 + 3x 2 – 3x 3 + 2x 5 = 0 2x
1 + 6x 2 – 5x 3 - 2x 4 + 4x
5 – 3x
6 = -1Sistem Persamaan Linear Dan Matriks [ ] Semester ganjil 2011/2012
5x + 10x + 15x = 5
3
4
6 2x + 6x + 8x + 4x + 18x = 0
1
2
4
5
6 Penyelesaian.
Matriks yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah
1 3
2
2
1 3
2
2 B
2 - 2B
1 2 6 5
2 4 3 1 1 2 3
1
5
10
15
5
5
10
15
5 B
4
1
- – 2B
2
6
8
4
18
6
4
8
18
6
1 3
2
2
1 3
2
2
B - 5B
3
2
1
2
3
1
1
2
3
1
- 1B
2
5
10
15 5 B
4
2
- – 4B
4
8
18
6
6
2
1 3
2
2
1 3
2
2
1
2
3
1
1
2
3
1
B 3 B 4 1/6 B
3
6 2
1 1 / 3
1 3
2
2
1
3
4
2
1
2
1
2
B – 3B B + 2B
2
3
1
2
1 1 /
3
1 1 /
3
Sistem persamaan yang bersesuaian adalah x 1 + 3x 2 + 4x 4 + 2x 5 = 0 x 3 + 2x 4 = 0 x
6 = 1/3 Dengan menyelesaikan variabel utama kita peroleh x = -3x - 4x - 2x
1
2
4
5 x = -2x
3
4 x = 1/3
6 Jika kita menetapkan r, s, dan t masing-masing untuk variabel-variabel bebas x , x , dan x
2
4
5 maka penyelesaian umumnya dinyatakan dalam rumus-rumus x = -3r - 4s – 2t, x = r, x = -2s, x = s, x = t, dan x = 1/3
1
2
3
4
5
6 SUBSTITUSI BALIK. Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear kadang-kadang
lebih dipilih penggunaan eliminasi Gauss untuk mengubah matriks yang diperbesar menjadi
bentuk eselon baris tanpa menyelesaikannya dengan tuntas hingga didapatkan bentuk
Sistem Persamaan Linear Dan Matriks [ ] Semester ganjil 2011/2012
eselon baris tereduksi. Jika langkah ini dipilih, selanjutnya sistem persamaan yang
bersesuaian dapat diselesaikan dengan metode yang disebut substitusi balik.Contoh 7. Bentuk eselon baris dari matrik yang diperbesar pada contoh 6 adalah
1 3
2
2
1
2
3
1
1 1 /
3
Untuk menyelesaikan sistem persamaan yang bersesuaian x 1 + 3x 2 - 2x 3 + 2x 5 = 0 x 3 + 2x 4 + 3x 6 = 1 x
6 = 1/3 langkah-langkah yang dilakukan adalah Langkah 1. Selesaikan persamaan-persamaan untuk variabel utama x = -3x + 2x - 2x
1
2
3
5 x = 1 - 2x - 3x
3
4
6 x = 1/3
6 Langkah 2. Mulai dari persamaan paling bawah dan bergerak ke atas, berturut-turut lakukan substitusi setiap persamaan ke dalam persamaan atasnya.
Substitusi x = 1/3 ke persamaan kedua menghasilkan
6 x = -3x + 2x - 2x
1
2
3
5 x 3 = - 2x
4 x 6 = 1/3 Substitusi x
3 = -2x 4 ke persamaan pertama menghasilkan x 1 = -3x 2 - 4x 4 - 2x
5 x = - 2x
3
4 x = 1/3
6 Langkah 3. Tetapkan nilai-nilai sebarang untuk variabel-variabel bebas jika ada.
Jika kita menetapkan r, s, dan t masing-masing untuk variabel-variabel bebas x , x , dan x
2
4
5 maka penyelesaian umumnya dinyatakan dalam rumus-rumus x = -3r - 4s – 2t, x = r, x = -2s, x = s, x = t, dan x = 1/3
1
2
3
4
5
6 Ini sesuai dengan penyelesaian pada contoh 6.
Sistem Persamaan Linear Dan Matriks [ ] Semester ganjil 2011/2012 E.
Metode Invers Matriks
Jika A adalah matriks bujursangkar, dan jika terdapat matriks B yang ukurannya
sama sedemikian rupa sehingga AB = BA = I, maka A disebut dapat dibalik (mempunyai invers) dan B disebut invers dari A. Jika matriks B tidak dapat didefinisikan, maka A dinyatakan sebagai matriks singular.1
4
Contoh matrik singular :
2 5 .
3 6
Sifat-sifat invers: 1.
Jika B dan C kedua-duanya adalah invers dari matriks A, maka B = C.
a b
2. dapat dibalik jika ad – bc 0, dan inversnya dapat dihitung Matriks A =
c d
sesuai dengan rumus
d b d
- b
- 1
ad bc ad - bc -
1
A = =
c a ad c a
- bc
ad bc ad bc - - 3.
Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dengan ukuran yang sama,
- 1 -1 -1 maka AB dapat dibalik dan (AB) = B A .
- 1
METODE MENENTUKAN A . Untuk mencari invers dari matriks A yang dapat dibalik, kita
harus mencari suatu urutan operasi baris elementer yang mereduksi A menjadi identitas dan
- 1 melakukan urutan operasi yang sama terhadap I untuk memperoleh A .
Contoh 8. Tentukan invers dari
1
2
3
2
5
3
1
8 Penyelesaian.
Matriks A direduksi menjadi matriks identitas melalui operasi-operasi baris dan secara
- 1
simultan melakukan operasi yang sama terhadap I untuk memperoleh A . Caranya adalah
matriks dengan bentuk [A|I]Matriks A (sisi kiri) direduksi menjadi I dengan menggunakan operasi-operasi baris sehingga
diperoleh- 1
[I|A ]
Sistem Persamaan Linear Dan Matriks [ ] Semester ganjil 2011/2012 Penghitungan yang dilakukan adalah sebagai berikut.
1
2
3 1
2
5
3
1
1
8
1
1
2
3 1 1 3
2
1 B 2 – 2B 1 dan B 3 – B
1
2 5
1
1
1
2
3
1
1
3
2
3
2
1 B + 2B
1
5
2
1
1
2
3 1
- B 1
3
2
1
3
1 5 2
1
1
2
14
6 3
1 13 5
3 B + 3B dan B – 3B
2
3
1
3
1 5 2
1 1
40
16 9 B – 2B
1 13 5
3
1
2
1 5 2
1 Jadi
40
16
9
- 1
A =
13 5
3 5 2 1
Suatu matriks A yang tidak dapat dibalik , tidak dapat direduksi menjadi matriks I
melalui operasi baris elementer. Dengan kata lain bentuk eselon baris tereduksi dari A
memiliki paling tidak satu baris bilangan nol. Jadi jika terdapat satu baris bilangan nol saja
pada sisi kiri maka dapat disimpulkan bahwa matriks tersebut tidak dapat dibalik dan
perhitungan dapat dihentikan Contoh 9. Dapatkan invers matriks1
6
4
A =
2
4
1
1
2 5
2
8
1
2
1
9
8
9
4
1
6
1 B 2 – 2B 1 dan B 3 + B
1
4
8
9
1
1
1
1
6
[ Sistem Persamaan Linear Dan Matriks ] Semester ganjil 2011/2012 Penyelesaian.
1
1
5
1
2
1
1
4
2
4
6
1 B
- B
1
- 1 b.
- 1 .
- 2x
- 3x
- 1
3
5
2
1
b =
x = A
40 Dengan demikian penyelesaian dari sistem ini adalah
16
9
13
5
3
5
5
13
1
3 = 2.
2 = -1 dan x
1 = 1, x
atau x
1
1
2
9
=
5
3
17
40
16
2
1
x
A =
1 + 5x 2 + 3x 3 = 3 x 1 + 8x 3 = 17 Penyelesaian. Dalam bentuk matriks sistem di atas dapat ditulis sebagai Ax = b di mana
3 = 5 2x
2
1
Contoh 10. Tentukan penyelesaian sistem linear berikut dengan menggunakan A
Jika A adalah suatu matriks n x n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks b, n x 1,
sistem persamaan Ax = b memiliki tepat satu solusi, yaitu x = APenyelesaian Sistem Linear Dengan Inversi Matriks.
2 Karena terdapat satu baris bilangan nol pada sisi kiri maka A tidak dapat dibalik (A tidak mempunyai invers).
3
1
8
1
5
2
=
A
5 Berdasarkan Contoh 8, invers dari matrik A adalah
3
17
b =
3 2 1 x x x
x =
1
2
3
3
- 1
Sistem Persamaan Linear Dan Matriks [ ] Semester ganjil 2011/2012
CATATAN : Ingat bahwa metode pada contoh di atas hanya berlaku pada sistem yang
memiliki persamaan sebanyak faktor yang tidak diketahui dan matriks koefiennya dapat
dibalik. Referensi: 1.Anton, H. and C. Rorres, 2005, Elementary Linear Algebra, 9 th ed, John Wiley & Sons, Inc.
2. http://en.wikibooks.org/wiki/Linear_Algebra/Solving_Linear_Sistems