Persamaan Diferensial Orde I

  Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Pe r sa m a a n D ife r e n sia l Or de I

  Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial

  D e fin isi

  Persam aan diferensial adalah suat u persam aan yang m em uat sat u at au lebih t urunan fungsi yang t idak diket ahui. Jika persam aan diferensial m em iliki sat u peubah t ak bebas m aka disebut Persam aan Diferensial Biasa ( PDB) . Sedangkan j ika peubah bebasnya lebih dari sat u dinam akan Persam aan Diferensial Parsial.

  Persamaan Diferensial (2) Persamaan Diferensial (2)

  Persam aan diferensial biasa dikat akan linear, apabila persam aan diferensial t ersebut m em punyai peubah t ak bebas m aupun t urunannya bersifat linear. Bent uk um um PDBL orde- n adalah sebagai berikut

  n n- 1

  a ( x) y + a ( x) y + … + a ( x) y = f( x)

  n n- 1

  dengan a ( x) ( x) , a ( x) , … , a ( x) adalah ≠ 0 dan a

  n n n- 1 koefisien PD.

  Bila f( x) = 0 disebut PDBL Hom ogen, sebaliknya j ika t idak disebut PDBL t ak hom ogen.

  Orde PDB adalah t urunan t ert inggi yang t erlibat dalam PDB

  Contoh Contoh dt dN

  ( 1) = kN , N = N( t ) , orde 1 dim ana N peubah t ak bebas t peubah bebasnya

  ( 2) y ’ + 2 cos 2x = 0 , orde 1 dim ana y peubah t ak bebas x peubah bebasnya ( 3) y” + e

  x y’ + sin xy = e x

  sin x , orde 2

  x

  3 y” + cos 2x ( y’)

  3

  = x

  2 y

  2

  ( 4) , orde 2

  Solusi

Solusi

  Misal ada suat u persam aan diferensial dim ana y sebagai peubah t ak bebas yang bergant ung pada peubah bebas x at au suat u fungsi y = f ( x) disebut solusi PDB j ika fungsi y = f ( x) disubt it usikan ke PDB diperoleh persam aan ident it as. Solusi um um dan solusi khusus Jika fungsi y = f ( x) m em uat konst ant a sem barang m aka solusi disebut solusi um um , sebaliknya disebut

  solusi khusus.

  Contoh Contoh

  Æ ( 1) y = cos x + c solusi um um

  Persam aan Diferensial y’ + sin x = 0 Karena ( cos x + c) ’ + sin x = - sin x + sin x = 0

  Æ ( 2) y = cos x + 6 solusi khusus

  Persam aan Diferensial y’ + sin x = 0 Karena

  ( cos x + 6) ’ + sin x = - sin x + sin x = 0

  PDB Orde 1

PDB Orde 1

  PDB t erpisah PDB dengan koefisien fungsi hom ogen PDB Linier

  PDB PDB terpisah terpisah

  PDB yang dapat dit uliskan dalam bent uk : g( y) dy = f( x) dx disebut PDB t erpisah.

  Penyelesaian : int egralkan kedua ruas

  Con t oh : t ent ukan solusi um um PD

  (x ln x) y' = y , (y’=

  dx dy

  ) ₁

  y ^y e x − ³

  =

  , y(2) = 0 1.

  2.

  Contoh Contoh

  1. Jawab: ( x ln x) y' = y

  y dx dy x x

  = ln x x dx y dy ln =

  ∫ ∫ = x x dx y dy ln

• =

  ( ) c x y ln ln ln ln

  ( ) x c y

  = ln ln ln ( ) x c y ln

  =

  Jadi solusi um um PD t ersebut adalah

  ( ) = x c y ln

• =
• - y _y

  Diket ahui y( 2) = 0, sehingga

• = c
⁴ ) 2 (

  3

  4 1 − = → + = c c y' = x

  3

  e

  e x dx dy

  3 =

  − = ³ dx x e dy _y

  − ∫ ∫

  = dx x dy e ^y

  3

  4

• = c x e ^y
Latihan Latihan

  4

  4 x y

  4

  1 ln

  3

  ⎝ ⎛ − =

  ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  Jadi solusi khusus PD t ersebut adalah

  1 ln

  4

  ⎝ ⎛

  1 ln ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  4

  c x y ⁴

  ⎝ ⎛

  ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  2. Jawab:

  Contoh Contoh

  1

  Tent ukan solusi Persam aan diferensial dibawah ini _{2 2 3}

  dy x 1 + y ' = ( 2 y ) ( 1 x + + 2 x ) 1.

  5.

  = ₂ dx 1 − y _{2 2} dy 3 x + + 4 x

  2 2 ( 1 x ) ( + + y ' = 1 y ) , y ( ) = 2.

  6.

  = dx 2 ( y − ₂ 1 ) x dy y cos x

  = , y ( ) =

  1 y ' = 3.

  7.

  dx

  1 2 y y ( 1 x ) ^{3 2} _{2 2 x x} dy 4.

  8.

  1 dx

  y ' = 1 x y xy ( + + + + + 1 e ) e y = , y ( ) =

  Fungsi homogen Fungsi homogen

  Fungsi A( x,y) disebut fungsi hom ogen dengan deraj at n, j ika

  n

  A( kx,ky) = k A( x,y) ,

  k konst an sem barang

  Cont oh : Periksa apakah fungsi berikut hom ogen at au t idak !

  1. A( x,y) = x + y A( kx,ky) = kx + ky

  = k ( x + y) = k A( x,y) A( x,y) = x + y , fungsi hom ogen dengan deraj at 1

  2

  2. A( x,y) = x + xy

  2

  2

  2

  2

  = k ( x + xy) = k A( x,y)

  

PD dengan koefisien fungsi homogen

PD dengan koefisien fungsi homogen

  A ( x , y ) y ' =

  PDB yang dapat dit uliskan dalam bent uk

  B ( x , y )

  dengan A,B fungsi hom ogen dengan deraj at yang sam a disebut PDB dengan koefisien fungsi hom ogen.

  Penyelesaian : gunakan subt it usi y = ux, u = u( x) dengan

  y ' u x u = ' + dy du

• u

  = x

  dx dx

  dy = x du + u dx

• =
¹ 1.
• 1
• =
• = +
• =
• = ln
• = ln
• = ln

  Jadi solusi um um dari PD di at as adalah

  x c x x y Ù

  c x x y

  Ù Ù Ù Ù

  = x dx du c x u

  = ∫ ∫

  = Ù x dx du

  1 dx du x

  Ù Ù ( ) dx u dx u du x

  1 u dx dx u du x

  x y dx dy

  ⎜ ⎝ ⎛

  = ⎟ ⎠ ⎞

  x y x dx dy +

  Jawab: Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx

  x y x y

  Selesaikan solusi persam aan diferensial berikut

  Contoh Contoh

  x c x x y

• = ln
• ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝
• Ù Ù
• =
² Ù Ù c x u u du ln
• ²
• x dx u u du
₂ ( ) dx u u du
• =
• 1 ln ln = −
• −
• ∫ Ù

• +

  cx u u

  x dx u u du

  ⎝ ⎛

  1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  1

  

1

  cx du u u ln

  1 (

  =

  Ù ∫ ∫

  =

  2 ² + =

  Contoh Contoh 2.

  2 ² + = + u u dx dx u du x

  ( ) dx u u dx u du x

  2 = − − , y( 1) = 1

  2

  2 ² xy 2 y dx dy x

  ⎛ = ⇒ x y x y dx dy

  

⎝

⎛

  = ⎟ ⎠ ⎞

⎜

  2 x xy y dx dy +

  Jawab: Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx ^{2 2}

  ∫ Ù ( ) cx u u ln

• Ù Ù

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − =

  1 = c x x y

  2

  1

  1

  − =

  Ù c c

  Diket ahui y( 1) = 1, sehingga

  1 ² Ù

  − =

  cx cx y

  = ln ln ⎟⎟ ⎠ ⎞

  = − cx x y y

  =

  cx x y y

  ⎝ ⎛

  1 ln = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ln

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  1 ln = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ) ) cx x y

x

y ln

  (no.2 (no.2 lanjutan lanjutan

  Contoh Contoh

• Ù
² ) 1 ( cx cx
• Ù Ù

  2 ² Jadi solusi khusus PD di at as adalah Latihan Latihan

  Tent ukan solusi Persam aan diferensial dibawah ini _{2 2}

  dy x xy y + +

  2y dx – x dy = 0 1.

  5.

  = ₂ dx x

  2

  2 dy x 3 y dy

  4 x 3 y 6.

  2.

  = = − 2 xy dx

  2 x y + dx ² + dy y 2 xy dy

  4 y − 3 x 7.

  3.

  = ₂ = dx x dx

  2 x − y

• dy x 3 y = 4.

  dx x − y

  PDB Linier PDB Linier

  PDB yang dapat dit uliskan dalam bent uk : ₁

  y

• P(x) y = r(x) disebut PDB linier. Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan fa k t or in t e gr a l

  ( ) P x dx

  ∫ e

  Kem udian, kalikan kepada kedua ruas, sehingga diperoleh: _{P x dx ( )} P x dx

  ( ) P x dx

  ( ) 1 ∫ ∫

  ∫ e r(x)

  = e

  y e + P(x)y

  P ( x ) dx P x dx ( )

  

1

∫ ∫ ( ye ) e

  = r(x) I nt egralkan kedua ruas

  P ( x ) dx P ( x ) dx

  ∫ ∫ r(x) dx + c Solusi Umum PDB ye e

  =

  ∫

• 2

  2

  2

  2 '

  1 Ù x e y x

  = ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛

  1

  1 Ù c e y x x

  = −

  2

  1 Ù

  2

  2 x c e x y x

  Jadi solusi um um nya adalah

  2

  3

  x e y x y x

  2 x c e x y x

  x e x y x y

  Contoh Contoh

  Selesaikan persam aan diferensial dibaw ah ini 1. xy’ – 2y = x

  3

  e

  x

  Jawab:

  2

  , yait u:

  2 ' = −

  Sehingga diperoleh fakt or int egrasi: ( bagi kedua ruas dengan x)

  2 ln ln

  2

  2 ₂ − − −

  

= = =

∫ ⁻ x e e e ^{x x dx x}

  kalikan kedua ruas dengan x

• =
• =
• =
Contoh Contoh

  Selesaikan persam aan diferensial dibaw ah ini

  2

  2. y’ + y = ( x + 1) , y( 0) = 3 Jawab:

  Fakt or int egrasi dari PD di at as adalah: _dx

  1

_x

∫ e = e x

  kalikan kedua ruas dengan e , yait u:

  2 x x x x x

  2 e y ' e y = e x 1 e y = e x

+ + +

  ( )' ( 1 ) ( )

  Ù Ù

  x x 2 x x x e y = e x dx e y = x + + 1 e − 2 ( x 1 ) e dx

• 2

  ( 1 ) ( )

  Ù Ù

  ∫ ∫

  2 x x x x e y = x 1 e − 2 ( x 1 ) e 2 e c + + + +

  ( )

  2 x

  2 − −

  sehingga

  1

  2

  

1

  2 y = x − x ce y = x 1 ce

• x

  ( ) ( )

  Ù Contoh Contoh

  (no. 2 (no. 2

  Lanjutan Lanjutan

  ) )

  Diket ahui y( 0) = 3, sehingga

  2 = c

  3 Ù

• c =1

  Jadi solusi khusus PD di at as adalah ^x

• =

  e x y −

  2

  1 ² Latihan Latihan

  Selesaikan persam aan diferensial di baw ah ini:

  − x 1 . y ' y e

• 2 =

  2 = + − + 2 . ( x

  1 ) y ' y x

  1

• 3 . y ' y t an x = sec x

  2 2 y

• = + 4 . y ' x

  1 ( )

• x

  1

  2 = + 5 . y '

  2 y x 1 x −

• = =

  6 . xy

  1 x y e , y ( 1 ) ( )

  π ⎛ ⎞

• 7 . sin x y '

  2 y cos x = sin 2 x , y =

  2 ⎜ ⎟ 6 ⎝ ⎠

Trayektori Ortogonal Trayektori Ortogonal

  Masalah dalam TO ini adalah bagaim ana m endapat kan keluarga kurva yang ort ogonal at au t egak lurus t erhadap keluarga kurva lain. Cara unt uk m endapat kan t rayekt ori ort ogonal dari suat u kurva adalah sebagai berikut :

  Turunkan secara im plisit f( x,y) = c t erhadap x, nyat akan param et er c dalam x dan y.

  Karena t egak lurus m aka t rayeksi Ort ogonal ( TO) harus m em enuhi: ₁

  1 y = − Df ( x , y )

  Trayekt ori Ort ogonal dari f( x,y) = c, didapat kan dengan m encari solusi dari ₁

  1 y

  = − Df ( x , y ) Contoh Contoh

  2 Tent ukan t rayekt ori ort ogonal dari keluarga kurva y = cx

  Jawab: Langkah- langkah m enent ukan TO :

  2 y = y = cx c

  1. Tuliskan dalam bent uk

  2 x

  

2

y = cx yait u:

  Kem udian t urunkan

  y

⎛ ⎞ y

y ' = 2 cx y ' = 2 x y ' =

  2 x x

  2 ⎜ ⎟ Ù Ù

  ⎝ ⎠

  2. TO akan m em enuhi PD

  1 x

  1 y = − = − 2 y / x

  2 y Contoh Contoh

  ( ( lanjutan lanjutan

  2

  2 ellips c y x

  2

  2

  ) (

  adalah

  2 = cx y

  Jadi keluarga yang t egak lurus t erhadap parabola

  Ù Ù Ù

  Ù x y

  2 = cx y

  2

  2

  ) )

  2 c x y + − =

  − = xdx ydy

  2 − = ∫ ∫

  1 − = y x dx dy

  2

  ⇒ = + y x y

  2 ellips c y x

  2

  2

  ) (

  3. TO dari adalah solusi dari PD berikut :

  ⇒ = + Latihan Latihan

  Tent ukan solusi t rayekt ori ort ogonal dari keluarga kurva berikut :

  2

  2

  x y = c y = x c 4.

• 2
• 1.

  2

  2

  2

  2

  2 x − y = c 2.

  5.

  4 x + y = c 3. y = cx

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Pe n ggu n a a n PD Or de

  I Pe n ggu n a a n PD Or de

  I

  Penerapan dalam Rangkaian Listrik

Penerapan dalam Rangkaian Listrik

  Sesuai dengan Hukum Kirchhoff, rangkaian list rik sederhana ( gam bar sam ping) yang m engandung sebuah t ahanan sebesar R ohm dan sebuah kum paran sebesar L Henry dalam rangkaian seri dengan sum ber gaya elekt rom ot if ( sebuah bat erai at au generat or) yang m enyediakan suat u volt ase E( t ) volt pada saat t m em enuhi

  I ' t R I t E t = Dengan I adalah arus list rik dalam am pere.

• L

  ( ) ( ) ( )

Contoh Contoh

  Tent ukan arus I sebagai fungsi dari wakt u t dari suat u rangkaian RL dengan R = 6 ohm , L = 2 henry dan sebuah bat erai yang m enyediakan volt ase sebesar E = 12 Volt dan diasum sikan saat awal arusnya adalah nol ( I = 0 pada saat

  t = 0, j ika saklar S dit ut up) .

  Ja w a b

  Persam aan diferensialnya adalah At au bisa disederhanakan m enj adi

  12 6 ' 2 = + I

  I

• I 3 ' =

  

6

  I 1.

  − =

  3

  2 −

  2

  3

  I

  t e

  Kit a peroleh Syarat aw al, I = 0 pada saat t = 0, m em berikan C = –2 Sehingga,

  2 − −

  2

  3

  Contoh Contoh

  3

  I

  

C e C e e

  3 ( ) t t t

  t e

  Kem udian kedua ruas kalikan dengan fakt or int egrasi

  ) )

  Lanjutan Lanjutan

  ( (

• = + =

Contoh Contoh

  Dari cont oh sebelum nya bat erai digant i dengan generat or 2. arus bolak – balik dengan E = 12 sin 9t Volt dan diasum sikan saat awal arusnya adalah nol ( I = 0 pada saat

  t = 0, j ika saklar S dit ut up) .

  Ja w a b

  Persam aan diferensialnya adalah

  I '

• 2

  6 I 12 sin 9 t =

  At au bisa disederhanakan m enj adi

• I '

  3 I = 6 sin 9 t 3 t

  Kem udian kedua ruas kalikan dengan fakt or int egrasi

  e

  Kit a peroleh

  − 3 t 3 t I e 6 e sin 9 t dt

  = ( )

  ∫

• −
• =
• − =

  I

  1 −

  Syarat aw al, I = 0 pada saat t = 0, m em berikan

  C + − =

  5

  3

  5

  3 = C t

e t t

  3

  3 9 sin

  5

  3 9 cos

  5

  3 9 sin

  5

  1 −

  Sehingga,

  5

  5

  ⇔

  − C t Cos t Sin e e

  Contoh Contoh

  ( (

  Lanjutan Lanjutan

  ) )

  Dengan int egral parsial, didapat hasil int egralnya adalah

  ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  ⎝ ⎛

  I ^{t t}

  I ³ 9 cos

  9

  9

  

9

  3

  81

  9

  6 ³ ₃ Jadi, _t C e t t

• − =
Latihan Latihan

  Tent ukan arus I sebagai fungsi dari wakt u t dari suat u rangkaian RL dengan R = 10

  6

  ohm , L = 1 henry dan sebuah sum ber gaya elekt rom ot if yang m enyediakan volt ase sebesar E = 1 Volt dan diasum sikan saat aw al arusnya adalah nol ( I = 0 pada saat t = 0, j ika saklar S dit ut up) .

  1. Tent ukan arus I sebagai fungsi dari wakt u t dari suat u rangkaian RL dengan L = 3,5 Henry dan sebuah sum ber gaya elekt rom ot if yang m enyediakan volt ase sebesar

  E( t ) = 120 sin 377t Volt dan diasum sikan saat awal arusnya adalah nol ( I = 0 pada saat t = 0, j ika saklar S dit ut up) .

  2.

  Latihan Latihan

  Tent ukan arus I sebagai fungsi dari wakt u t dari suat u 3. rangkaian RL dengan R = 1000 ohm dan sebuah sum ber gaya elekt rom ot if yang m enyediakan volt ase sebesar

  E( t ) = 120 sin 377 t Volt dan diasum sikan saat awal

  arusnya adalah nol ( I = 0 pada saat t = 0, j ika saklar S dit ut up) .

  Tent ukan arus I sebagai fungsi dari wakt u t dari suat u 4. rangkaian RL dengan R = 1000 ohm , L = 3,5 henry dan sebuah sum ber gaya elekt rom ot if yang m enyediakan volt ase sebesar E( t ) = 120 sin 377t Volt dan diasum sikan saat awal arusnya adalah nol ( I = 0 pada saat t = 0, j ika saklar S dit ut up) .