Persamaan Diferensial Orde II
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Pe r sa m a a n D ife r e n sia l Or de I I
PDB Orde
II PDB Orde
II Bent uk um um : y
″ + p(x)y′ + g(x)y = r(x)
p( x) , g( x) disebut koefisien j ika r( x) = 0, m aka
Persam aan Differensial diat as disebut hom ogen, sebaliknya disebut non hom ogen.
Persam aan Differensial Biasa linier orde dua hom ogen dengan koefisien konst an, m em iliki bent uk um um :
y ″+ ay′ + by = 0 dim ana a, b m erupakan konst ant a sebarang. Solusi Homogen Solusi Homogen
Diket ahui
y ″+ ay′ + by = 0 rx
Misalkan y= e
2 Persam aannya berubah m enj adi r + ar + b = 0, sebuah persam aan kuadrat .
Jadi kem ungkinan akarnya ada 3 yait u:
1. Akar real berbeda ( r ,r ; dim ana r ≠ r )
1
2
1
2 r1 x r2 x
Mem iliki solusi basis y = e dan y = e dan
1
2
m em punyai solusi um um
r1 x r2 x y = C e + C e
1
2 Solusi Homogen Solusi Homogen
2. Akar real kem bar ( r ,r ; dim ana r = r = r )
1
2
1
2 r x r x
Mem iliki solusi basis y = e dan y = x e dan
1
2
m em punyai solusi um um
r x r x y = C e + C x e
1
2
3.Akar kom pleks koj ugat e ( r = u + wi, r = u – wi)
1
2
ux
Mem iliki solusi basis y = e cos wx; dan
1 ux y = e sin wx dan m em punyai solusi um um
2 ux y = e ( C cos wx + C sin wx )
1
2 Contoh soal Contoh soal
1. y + 5y + 6y = 0 ″ ′
Persam aan karakt erist iknya: ( r + 2 ) ( r + 3 ) = 0
r = - 2 at au r = - 3
1
2
- - 2 x - 3x
m aka solusinya : y = C e + C e
1
2 2. y
″ + 6y′ + 9y = 0 Persam aan karakt erist iknya: ( r + 3 ) ( r + 3 ) = 0
r = r = - 3
1
2
- - 3x - 3x
m aka solusinya : y = C e + C x e
1
2 3. y
″ + 4y = 0
2 Persam aan karakt erist iknya: r + 4 = 0 ± − 4 . 1 .
4 2 i = ± r =
12
2
Latihan
Latihan
1. y’’ – 3y’- 4y= 0 2. y’’ – 9y= 0 3. y’’+ 4y= 0 4. y’’+ 2y’= 0 5. y’’ – 4y’+ 4y= 0 6. y’’ + 3y’ – 4y= 0 7. y’’+ 9y= 0 8. y’’+ y’ = 0 9. y’’ – 4y= 0, y= 4, y’= 0 bila x= 0 10. y’’ – 5y’+ 6y= 0, y= 1, y’= 0 bila x= 0
- y
Dim ana y
1. Met ode koefisien t ak t ent u
p
= solusi P D non hom ogen Menent ukan y
y p
= solusi P D hom ogen
h
p
Persamaan Persamaan
h
Solusi t ot al : y = y
dengan r( x) ≠ 0
y ″ + p(x)y′ + g(x)y = r(x)
Bent uk um um :
Differensial Differensial non non homogen homogen
2. Met ode variasi param et er
Metode Metode koefisien koefisien tak tak tentu tentu
pilihlah y
p
yang serupa dengan r( x) , lalu subst it usikan ke dalam persam aan.
r(x) y p r(x) = e mx y p = A e mx r(x) = X n y p = A n
X n + A n-1
X n-1 +…….+A 1 X + A r(x) = sin wx y p = A cos wx + B sin wx r(x) =cos wx y p = A cos wx + B sin wx r(x) = e ux sin wx y p = e ux (A cos wx + B sin wx ) R(x) =e ux cos wx y p = e ux (A cos wx + B sin wx )
Ct t : Solusi Parsial t idak boleh m uncul pada solusi hom ogennya.
Jika hal ini t erj adi, kalikan solusi khususnya dengan fakt or x at au x 2
sehingga t idak m em uat lagi solusi hom ogennya.
Contoh Contoh
- - x
1. y” – 3y’ + 2y = e Jawab:
Persam aan karakt erist iknya:
2 r – 3 r + 2 = 0
Ù ( r – 2) ( r – 1) = 0
Sehingga didapat r = 2 dan r = 1
1
2 2x x
Jadi solusi hom ogennya adalah y = C e + C e
h
1
2
- - x
Unt uk y dipilih y = A e
p p
- - x - x
y ’ = - A e
y ” = A e
p p Ù
Kem udian m asukan ke PD di at as:
- - x - x - x - x - x - x
A e + 3 A e + 2 A e = e
6 A e = e A = 1/ 6
Ù Ù
Jadi solusi um um PD di at as adalah
2x x - x y = C e + C e + 1/ 6 e
1
2 Contoh Contoh
2. y” – 3y’ + 2y = cos x Jawab:
Persam aan karakt erist iknya:
2
( r – 2) ( r – 1) = 0
r – 3 r + 2 = 0 Ù
Sehingga didapat r = 2 dan r = 1
1
2 2x x
Jadi solusi hom ogennya adalah y = C e + C e
h
1
2 Unt uk y dipilih y = A cos x + B sin x p p
y ’ = - A sinx + B cos x y ” = - A cos x – B sin x
pÙ p
Kem udian m asukan ke PD di at as:
( - A cos x – B sin x) –3( - A sin x + B cos x) + 2( A cos x + B sin x) = cos x ( - A- 3B+ 2A) cos x + ( - B+ 3A+ 2B) sin x= cos x Ù
( - 3B + A) cos x + ( 3A+ B) sin x= cos x - 3B + A = 1 dan 3A+ B= 0 Ù
Contoh (no. 2 Lanjutan ) Contoh (no. 2 Lanjutan )
Didapat A = 1/ 10 dan B = - 3/ 10
Jadi solusi um um PD di at as adalah
2x x
y = C e + C e + ( 1/ 10) cos x – ( 3/ 10) sin x
1
2
- - x
3. y” – 3y’ + 2y = e + cos x Jawab:
Dari cont oh 1 dan 2 didapat , solusi um um nya adalah
2x x - x
y = C e + C e + ( 1/ 6) e + ( 1/ 10) cos x – ( 3/ 10) sin x
1
2 Contoh Contoh x
4. y” – 3y’ + 2y = e , y( 0) = 1, y’( 0) = - 1 Jawab:
Persam aan karakt erist iknya:
2 r – 3 r + 2 = 0
Ù ( r – 2) ( r – 1) = 0
Sehingga didapat r = 2 dan r = 1
1
2 2x x
Jadi solusi hom ogennya adalah y = C e + C e
h
1
2 x
Unt uk y dipilih y = A x e
p p x x x x y ’ = A e + A x e y ” = 2A e + A x e p p
Ù
Kem udian m asukan ke PD di at as:
x x x x x x x x
2Ae + Axe – 3 ( Ae + Axe ) + 2 Axe = e
- A e = e
Ù
A = - 1
Ù 2x x x
Jadi solusi um um PD di at as adalah y = C e + C e – xe
1
2
- C
- – x e
- C
- C
- – e
- – xe
- C
- 2 e
- – x e
- + 2
x
y = – e 2x
= 2 Jadi solusi khusus PD di at as adalah
2
= - 1, dan C
1
Didapat C
x
x
x
e
2
2x
1
e
2 y’ = 2C
1
x Ö Ö 0= 2C
x
e
2
2x
e
1
2 y = C
1
Kit a punya y( 0) = 1 dan y’( 0) = - 1 1= C
Contoh Contoh
x
Latihan Latihan
1. y’’ – 3y’- 4y= 3x
2
2. y’’ – 9y= x+ 2 3. y’’ – 3y’ – 4y= e 2x
4. y’’+ 4y= 2 sin x 5. y’’ – 3y’- 4y= e
- - x
6. y’’+ 4y= 2 cos 2x 7. y’’+ 2y’= 3x
2
- + 2
- + 2
- + 3x
8. y’’ – 4y’+ 4y= e 2x
9. y’’ + 3y’ – 4y= 3x
2
10. y’’+ 9y= sin 3x+ e 2x
11. y’’+ y’ = e x
12. y’’ – 4y= 4 sin x, y= 4, y’= 0 bila x= 0 13. y’’ – 5y’+ 6y= 2e x
, y= 1, y’= 0 bila x= 0 Metode Variasi Parameter Metode Variasi Parameter
Met ode ini digunakan unt uk m em ecahkan persam aan- persam aan yang t idak dapat diselesaikan dengan m enggunakan m et ode koefisien t ak t ent u. Persam aan Differensial orde dua non hom ogen
y ″ + a y ′ + b y = r( x)
m em iliki solusi t ot al : y = y + y
h p
m isal y = u y + v y dim ana u = u( x) ; v = v( x)
p
1
2
m aka y = u y + u y ’ + v y ’ + v y
′ ′ ′ p
1
1
2
2
pilih u dan v sehingga :
u ′ y + v ′ y = 0 ……………….( * )
1
2 Metode Variasi Parameter Metode Variasi Parameter y ′ = u y ′ + v y ′ p
1
2 y ″ = u ′ y ′ + u y ″ + v ′ y ′ + vy ″ p
1
1
2
2 Subst it usikan y , y ’ , y
″ ke dalam persam aan awal
p p p
sehingga di dapat kan :
u ′ y ′ + u y ″ + v ′ y ′ + vy ″ + a ( u y ′ + v y ′ ) +
1
1
2
2
1
2 b ( u y + v y ) = r( x)
1
2 u ( y + a y + b y ) + v ( y + a y + b y ) + u y
″ ′ ″ ′ ′ ′
1
1
1
2
2
2
1
- + v ′ y ′ = r ( x)
2 u ′ y ′ + v ′ y ′ = r ( x) …………….( * * )
1
2
Metode Variasi Parameter
Metode Variasi Parameter
Elem inasi ( * ) dan ( * * ) di peroleh :
u ′ y + v ′ y = 0
1
2 u y + v y = r ( x)
′ ′ ′ ′
1
2
dengan at uran cram er diperoleh
y y 2 1 r ( x ) y ' 2 y r ( x ) y ' r ( x ) 2 1 y r ( x ) 1
= ⇒ = − u ' u dx v ' = ⇒ v = dx
∫ ∫ y y 1 2 W y y 1 2 W y ' y ' 1 2 y ' y ' 1 2 y y 1 2 Ket erangan: W = y y 1 ' ' 2 Contoh Contoh
1. y” + y = t an x Jawab:
Persam aan karakt erist iknya:
2 r + 1 = 0
Ù r = ± i
Jadi solusi hom ogennya adalah y = C cos x + C sin x
h
1
2 Unt uk y dipilih y = u y + v y dengan p p
1
2
y = cos x
y = sin x
1
1
2
1
2
2
2
y’ = - sin x = cos x+ sin x = 1
y’ = cos x
1
2 2
x sin − x x x 1 cos sin tan
= − x − x dx dx (sec cos )
= − = − dx u dx
= − ∫ ∫ ∫
∫ x cos cos x
1
- − =
- sin tan sec ln + − =
- − =
- − + =
- 9 = 0
Jadi solusi um um dari persam aan diferensial di at as
− + + − = ( ) x x x cos tan sec ln
( ) x x x x x x x y p cos sin cos sin cos tan sec ln
Sedangkan, Jadi solusi non hom ogen didapat
− cos =
= dx x sin x
∫ = dx x x v
1 tan cos ∫
dx x dx x cos sec
∫ ∫
) ) x x x
Lanjutan
Lanjutan
( (
Contoh Contoh
( ) C x x x x x C y cos tan sec ln sin cos 2 1
- v y
y’
W= y
1 y’
2
1 y’
2
= 3 cos
2
3x+ 3 sin
2
3x = 3
1
2
= - 3 sin 3x y’
2
= 3 cos 3x Sehingga diperoleh
∫ − = dx x x u
3 3 sec 3 sin 2
∫ − = dx x x
3 tan 3 sec
3
1 x
3 sec
9
= sin 3x
y
1 − =
1
Contoh Contoh
2. y” + 9y = sec
2 3x
Jawab: Persam aan karakt erist iknya:
Ù r
2
r = ± 3 i
Jadi solusi hom ogennya adalah y
h
= C
cos 3x + C
= cos 3x
2
sin 3x Unt uk y
p
dipilih y
p
= u y
1
2
dengan
y
1
- – y’
- =
1 3 cos 3 sec
- − =
9
1
Jadi solusi um um dari persam aan diferensial di at as
( ) x x x y p
3 sin 3 tan 3 sec ln
9
1
9
1
( ) C x x x x x C y
3 sin 3 tan 3 sec ln
9
1
9
9
3 sin 3 tan 3 sec ln
( ) x x x x x y p
Sedangkan, Jadi solusi non hom ogen didapat
Contoh Contoh
( (
Lanjutan
Lanjutan
) )
∫ = dx x x v
3 3 sec 3 cos 2
∫ = dx x 3 sec
3
1 x x
3 tan 3 sec ln
9
1
- − =
1 3 sin 3 cos 2 1
- − + =
1. y” + y = cosec x cot x 2. y” + y = cot x x e 3. y” – 3 y’ + 2y =
e
1 − 2 x e 4. y” + 4 y’ + 4 y =
- x
2 x 5. y” + 4 y = 3 cosec 2x
6. y” + 4 y = 3 cosec x 7. 4 y” + y = 2 sec (x/2) x e 8. y” – 2y’ + y =
1 x
- 2
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Pe n ggu n a a n PD Or de
I I Pe n ggu n a a n PD Or de
I I
Penerapan dalam Rangkaian Listrik
Penerapan dalam Rangkaian Listrik
Perhat ikan suat u rangkaian ( gam bar sam ping) dengan sebuah t ahanan ( R ohm ) , dan sebuah kum paran ( L Henry) dan sebuah kapasit or ( C farad) dalam rangkaian seri dengan sum ber gaya elekt rom ot if yang m enyediakan suat u volt ase
E( t ) volt pada saat t . Hukum Kirchhoff
unt uk kasus ini, m uat an Q pada kapasit or, diukur dalam coulom b, m em enuhi
2 d Q dQ
1
- L R Q = E t
( )
2 dt dt C
( (
Lanjutan Lanjutan
) ) dt dQ
I =
, diukur dalam am pere, m em enuhi Arus persam aan yang diperoleh dengan pendiferensialan persam aan di at as t erhadap t , yait u
( ) E t
I C dt dI R dt
I d L '
1
2
2 = + +
Contoh Contoh
Tent ukan m uat an Q dan arus I sebagai fungsi dari wakt u t dari suat u rangkaian RLC dengan R = 16 ohm , L = 0,02
- - 4
henry, C = 2 x 10 farad dan E = 12 Volt dengan diasum sikan saat awal arus dan m uat annya adalah nol ( pada wakt u saklar S dit ut up)
Ja w a b
Dari hukum kirchhoff, t ent ang rangkaian RLC didapat
12 At au bisa disederhanakan
16 Q ' 5000 Q = + + ,
- Q " 800 Q ' 250000 Q = 600
Contoh Contoh
Persam aan karakt erist iknya adalah 2
r 800 r 250000 = + +
Diperoleh akar – akar persam aannya :
r 400 300 i = − ±
Solusi hom ogen :
+
Q = e C cos 300 t C sin 300 t
− 400 t h ( 1 2 )
Dengan m enggunakan m et ode koefisien t ak t ent u, dengan m engam bil Q = A, di dapat
p − 3 Q = p 2 , 4 x
10
Jadi solusi um um nya adalah − 3 − 400 t=
Q 2 , 4 x 10 e C cos 300 t C sin 300 t
( 1 2 )
Rangkaian Rangkaian RLC RLC
3 −
−
= =I t 300 sin ( 2 ) ' ) ( 400
Q t e t t
Dengan pendiferensialan diperoleh dan Jadi solusi khususnya adalah
− = x C
2 −
10 4 ,
− = x C 3 1
10 2 ,
( )
2
3
Dengan m em asukkan syarat awal Q( 0) = 0 dan I ( 0) = 0 m aka diperoleh
− −
10 400 3
2
- − =
3 300 cos 4 , 2 4 ,
Q t t e
t 300 sin 2 ,[ ]
Latihan Latihan
1. Hit unglah kuat arus yang m engalir dalam suat u rangkaian RLC dengan nilai R = 100 ohm , L = 0,1
- - 3
henry, C = 10 farad yang dihubungkan dengan sum ber t egangan E( t ) = 155 sin 377 t dengan diasum sikan pada saat awal arus dan m uat annya adalah nol.
2. Tent ukan m uat an Q sebagai fungsi dari wakt u t yang
6
m engalir dalam suat u rangkaian RC dengan R = 10
- - 6
ohm , C = 10 farad dan sum ber t egangannya konst an dengan E = 1 Volt dan diasum sikan saat awal m uat annya adalah nol.
Latihan Latihan
3. Hit unglah m uat an dan kuat arus I yang m engalir dalam suat u rangkaian RLC dengan nilai R = 1000 ohm , L =
- 6
3,5 henry, C = 2 x 10 farad yang dihubungkan dengan sum ber t egangan E( t ) = 120 sin 377t dengan diasum sikan pada saat awal arus dan m uat annya adalah nol.
4. Tent ukan kuat arus I sebagai fungsi dari w akt u t yang
- 2
m engalir dalam suat u rangkaian LC dengan L = 10
- 7
Henry, C = 10 farad dan sum ber t egangannya konst an dengan E = 20 Volt dan diasum sikan saat awal m uat an dan arusnya adalah nol.