Contoh, Daerah Asal dan Daerah Nilai

  Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Vektor Fungsi Vektor _{KALKULUS II} [MA1124]

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 2} Definisi Definisi

  Definisi fungsi vektor

Fungsi vektor merupakan aturan yang mengkaitkan t

ε R dengan tepat satu vektor

  g(t) f(t), j ˆ

  (t) g(t) iˆ f(t) F = + = ²⁽³⁾ R (t) F

  ∈

  Notasi : F

  : R Æ R 2(3) t Æ atau h(t) g(t), f(t), k ˆ h(t) j ˆ

  (t) g(t) iˆ f(t) F = + + = t Æ dengan f(t), g(t), h(t) fungsi bernilai real

  3 r r

  j t i t F t

  D t R t f R ∈ ∈ = | ) (

  Daerah Hasil (R f ) { } _{f f}

  D D D t R t D ∩ ∩ ∈ ∈ = r

  } _{3 2 1} | _{f f f f}

  Daerah Asal (D f ) {

  1

  2

  3

  ˆ ) ( ) ( Misal

  ˆ ) ( ˆ ) (

  ⎜ ⎝ ⎛ = r k t f j t f i t f t f

  4. − − ⎟ ⎠ ⎞

  6 ˆ 2 ) ln (

  ˆ

  3 ^{1 2} −

  ˆ ) 3 (

  Nilai Nilai

  , ,

  Daerah Daerah

  Asal Asal dan dan

  Daerah Daerah

  1 ^{1 −} − + − =

  ˆ ( 2 ) .

  ˆ ) ) 1 ln( ( .

  Contoh F j t i t t

• =

  F k j t i t t

  ˆ ˆ sin ˆ

  ) cos ( 2.

  F j t i t t ˆ cos

• = r
• =

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 3} Contoh Contoh

  Contoh Contoh

  Tentukan D (daerah asal)! f

  −

  ˆ ˆ ¹

  2 ( 3 )

  F t = t − i t − j

• 1 . ( )

  1 f ( t ) =

  Misalkan f ( t ) = t − ₁ 2 dan ₂ t −

  3 ( )

  Diperoleh dan D = [ 2 , ∞ ) D = R −

  3 { } f f _{1 2} Sehingga

  D = t ∈ R t ∈ D ∩ D _F { } _{f f 1 2} = t ∈ R t ∈ [ 2 , ∞ ) ∩ R −

  3 {

  { } } = t ∈ [ 2 , ∞ ) − 3 = [ 2 , 3 ) ∪ ( 3 , ∞ )

  { { } } 7/6/2007

^{[MA 1124] 4} Contoh Contoh r

  ˆ ˆ ˆ 2. ( ) cos sin

  F t = + + t i t j k f ( t ) = cos t f ( t ) = sin t dan f ( t ) =

  1 Misalkan , _{1 2 3} Diperoleh , dan

  D = R D R = D R = f f _{1 2 f 3} Sehingga

  D = t ∈ R t ∈ D ∩ D ∩ D _F { f f f } _{1 2 3} = t ∈ R t ∈ R ∩ R ∩ R = R

  { } r

  1 ˆ ˆ 3. ( ) ln(

  2 −

  1 ) cos F t = t i t j + +

  − ¹ = ² + f ( t ) ln( t 1 ) f ( t ) = cos t

  Misalkan dan _{1 2} D = [ − 1 , 1 ] Diperoleh dan D = R

_f

f ₁

²

Sehingga

  ₁

_{[MA 1124]}

₂

₅

D = t ∈ R t ∈ D ∩ D = t ∈ R t ∈ R ∩ − 1 , 1 = [ − 1 , 1 ] 7/6/2007 F { } { [ ] } f f

  7/6/2007

^{[MA 1124]}

⁶ Contoh Contoh j t i t

  2 ) ln ( ₁ − t t f − =

  { }

  { } _{2 F 1 f f} D D t R t D ∩ ∈ ∈ =

  D Sehingga

  ) , ( ₁ ∞ = f

  D Diperoleh dan

  2 −∞ = f

  dan ] ( 6 ,

  ( 6 ) ₂

  ⎝ ⎛ = t t f

  F t

  Misalkan ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  =

  ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎠ ⎞

  4 − −

  2 ) ln ( .

  6 ˆ

  ˆ

  ] ( 6 , ) , ( −∞ ∩ ∞ ∈ ∈ = t R t ] ( 6 , =

  = r

  ˆ ˆ ) 4 (

  1 ) ( 4. ²

  4

  ˆ ˆ

  j t i t t f

  = r

  3. + −

  1 ) (

  j t i t t f

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 7} Latihan Latihan

  ) ( 2. ² − − − = r

  4 ˆ

  ˆ

  j t i t t f

  ) 4 ( ( 1. + − = r

  ˆ ˆ )

  (daerah asal)! j t i t t f

  Tentukan D f

• −

Grafik Fungsi Bernilai Vektor Grafik Fungsi Bernilai Vektor

  Misalkan y

  ˆ ˆ

  f t = f t i f t j

• ( ) ( ) ( )

  1

  2 c D =[a,b] r f r f (a) f (t) f (b)

  [ ] a ≤t≤b x

  Æ ujung-ujung Jika t berubah sepanjang [a,b] f ( t )

menjelajah lengkungan (kurva) C dengan arah tertentu

  ) f (a disebut titik pangkal lengkungan C

  (b ) f disebut titik ujung lengkungan C

  ( ) ( ) Jika f a = f b _7/6/2007 Æ kurva C disebut kurva tertutup _{[MA 1124] 8} Grafik fungsi vektor Grafik fungsi vektor

  

Grafik fungsi bernilai vektor berupa lengkungan/kurva

2(3) di R dengan arah tertentu Cara menggambar grafik fungsi vektor

  

1. Tentukan persamaan parameter dari lengkungan C

  2. Kemudian eliminasi parameter t dan gambarkan (Gambar kartesius kurva)

  3. Tentukan arahnya 7/6/2007 ^{[MA 1124] 9}

• ⎟ ⎠ ⎞

  ˆ 2 )

  2 ( = = j F

  π

  ) , 3 ( ˆ

  ( 3 ) − = − = i F

  π

  ) ( 2 ,

  2

  ( 3 ) = = i F )

  3 ( − = − = j F

  π

  ) , 3 ( ˆ 3 )

  F 2 ( = = i

  π

  3

  2

  ( 2 , ˆ 2 )

  ) , 3 ( ˆ

  x y C

  2 t + sin

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 10} Contoh Contoh

  Gambarkan grafik fungsi dibawah ini: π

  2 ; ˆ sin

  2 ˆ ( 3 ) . cos

  1 ≤ ≤ + =

  F t j t i t t Persamaan parameter x = 3 cos t y = 2 sin t

  Ö Ö x/3 = cos t y/2 = sin t cos

  2 t = 1

  (ellips)

  1

  2

  3 ^{2 2} =

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛

  ⎜ ⎝ ⎛

  y x Arahnya

• 3
• 2

  Contoh Contoh

  r ˆ ˆ

  4 ) i t j ; ≤ t ≤

• 2. F ( t ) = ( t −

  4 Persamaan parameter

• x

  4

  y = x = t – 4 t = x+4 Ö ² x = y −

  4

  (parabola) t y = Arahnya y

  ˆ

  F ( ) = −

  4 i = ( − 4 , )

  2

  ˆ

  F (

  4 ) = j 2 = ( , 2 )

  C

• 4

  x 7/6/2007

^{[MA 1124]}

¹¹

Contoh

  a y

  C x

  a

  − = ⇒ − − =

  ( ) ^{2 2 2 2 2} x a y x a y

  2 ² − t a

  ) ( 3. ^{2 2} r

  ≤ ≤ − − + − = ; ˆ ˆ

  F a t a j t a i t t

  ) ( a i a a F − = − =

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 12} Contoh

  ) , ( ˆ

  F a j a = =

  ) , ( ˆ ) (

  ) ( a i a a F = = −

  ) , ( ˆ

  Arahnya (lingkaran)

  = +

  Persamaan parameter x = – t y = ^{2 2 2} a y x

• –a

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 13} Latihan Latihan

  3 2 ; ˆ

  F t j t i t t

  ≤ ≤ − − =

  1 ( 4 ) 3.

  2 ˆ

  3 ; ˆ

  F t j t i t t t ( )

  4 ² ≤ ≤ − − + + =

  3 ˆ ( 2 ) .

  ( ) ( )

  Gambarkan grafik fungsi dibawah ini:

  r

  F t j t i t t

  ) ( 1. ² ≤ ≤ − − − =

  4 ˆ

  2 2 ; ˆ

  F t j t i t t

  2 ² ≤ ≤ − + − =

  2 2 ; ˆ ˆ ( 4 ) .

  r

  3

  3 Persamaan Parameter di R Persamaan Parameter di R

  Persamaannya adalah sebagai berikut: x = f (t) ; y = f (t) ; z = f (t) , t ε I

  1

  2

  3 Contoh:

  r ˆ

  ˆ ˆ

  Æx = cos t; y = sin t; z = t , t ε R

  1. F ( t ) = cos t i sin t j t k + +

  z P(x,y,z) r

  P =(x ,y ,z ) w r r w v x _7/6/2007 y _{[MA 1124] 14}

• v t w w = + r r
• =
• = + = + =

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 15} Garis Garis

  ( ( ljt ljt

  ) )

  Garis adalah himpunan semua titik P sehingga v t w w r r r

  = garis dengan sejajar yang vektor v r P v t P r

  =

Jika w =<x, y, z> dan w =<x ,y ,z > serta v = <a,b,c>

maka persamaan garis dalam bentuk parameter ditulis sebagai berikut

  c t z z b t y y a t x x

  Sedangkan persamaan simetrinya adalah c b a

  − z z y y x x =

  − =

  − Contoh Contoh

  

1. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui

titik (1, 2, 3) dan sejajar dengan vektor <-1, 2, 3> Jawab: Persamaan simetri garis tersebut adalah x = 1 – t y = 2 + 2 t z = 3 + 3 t

  

2. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui

titik (2, -3, -1) dan (5, -1, -4) Jawab: vektor yang sejajar dengan garis tersebut:

  r

  v =<5 – 2, –1 + 3, –4 + 1> = <3, 2, –3> Pilih titik (x , y , z ) = (2, –3, –1)

maka persamaan parameter garis tersebut adalah

_7/6/2007 x = 2 + 3t , y = –3 + 2t , z = – 1 – 3t _{[MA 1124] 16}

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 17} Latihan Latihan

  1. Carilah persamaan parameter dari garis yang melalui pasangan titik yang diberikan:

  a. (1, -2, 3), (4 , 5, 6)

  b. (2, -1, 5), (7, -2, 3)

  c. (4, 2, 3), (6, 2, -1)

  

2. Tuliskan persamaan parameter dan persamaan simetri

untuk garis yang melalui yang diberikan dan sejajar

terhadap vektor yang diberikan a. (4, -6, 3), <-2, 1, 5>

  b. (-1, 3, 2), <4, 2, -1>

  c. (2, 5, -4), <-3, 4, 2>

  Ekivalen Ekivalen

  Fungsi r r r r g ( t ) dan f ( t ) disebut ekivalen jika g ( t ) dan f ( t ) menjelajahi suatu lengkungan C yang sama dengan arah yang sama.

  Contoh r f ( t ) = + a cos t iˆ a sin t jˆ , ≤ t ≤ π r _{2 2} g ( t ) = − + t iˆ a − t jˆ , − a ≤ t ≤ a r r g ( t ) f ( t ) dan ekivalen

  Norm

  r r _{1 2} + = + Misalkan f ( t ) f ( t ) iˆ f ( t ) jˆ f ( t ) kˆ maka norm dari f ( t ) adalah ₃ r _{2 2 2} f ( t ) = f ( t ) f ( t ) f ( t )

_7/6/2007 ( ) ( ) ( ) _{1 [MA 1124]}

₂

_{3 18}
• = r

  ˆ ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ

  ˆ ) ( ) ( ˆ ) ( ) (

  ( ) ( ) ( ) k t g t f c j t g t f c i t g t f c t g t f c

  α adalah sudut antara dua vektor tersebut ( )

  ) ( ) ( _{2 1} ^{2 1} _{3 1} ^{3 1} ₃

₂

^{3 2} _{3 2 1 3 2 1}

  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ ˆ ˆ

  ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ ) ( ) (

  = + + = 1. k t g t g t f t f j t g t g t f t f i t g t g t f t f t g t g t g t f t f t f k j i t g x t f

  

) cos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (

_{3 3 2 2 1 1} t g t f t g t f t g t f t g t f t g t f r r r r

  dan α

  ˆ ) ( ) ( _{3 2 1}

  ˆ ) ( ˆ ) (

  ˆ ) ( ) ( _{3 2 1} + + = r Misalkan k t g j t g i t g t g

  ˆ ) ( ˆ ) (

• − = = r r 2.

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 19} Sifat Sifat k t f j t f i t f t f

  ˆ ) ( ) ( ) ( ) ( _{3 3 2 2 1 1} ± + ± + ± = ± r r 3. c =konstanta

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 20} Limit Limit

  Definisi ε δ δ ε

  < − → < − < ∋ > ∃ > ∀ → = →

  

L t f a t L t f

_{a t} ) ( ) ( lim r r

  L (t) f r

  L - (t) f r y x

  Ilustrasi ε

  ) ( a . a+ δ a- δ

• = r

  − → j t t t i t t _t

  ˆ ˆ sin . lim

  j e t i t t _{t t}

  ⎢⎣ ⎡

  ⎥⎦ ⎤

  →

  3 ² ₊

  ), ln ln( lim . t t t _t

  1 ₂ ^{2 2} ₃

  9 . lim

  3

  6 ˆ

  9

  ˆ

  −

  − − +

  ⎢ ⎣ ⎡

  ⎥ ⎦ ⎤

  Contoh: Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):

  → → →

  ˆ ) ( lim ) ( lim _{2 1}

  ˆ ) ( lim

  ( ) ( ) j t f i t f t f _{a t a t a t}

  2 (t) mempunyai limit di a. Dan

  1 (t) dan f

  , maka mempunyai limit di a ↔ f

  Misalkan ) (t f r

  ˆ ) ( ˆ ) ( ) ( _{2 1} + = r

• →

  7/6/2007

^{[MA 1124]}

²¹ Teorema Teorema j t f i t f t f

  2

  3 lim ˆ

• − =
• − =
• =
• →

  3

  3

  3 lim _{3 3} − + − +

  − → − → ( ) j t t i t _{t t}

  ˆ

  3

  2 lim ˆ 3 lim _{3 3}

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛

  − −

  ˆ

  − → − → j i

  6

  5 ˆ

  − 6 + = ⎥⎦ ⎤

  ⎢⎣ ⎡

  j e t i t t _{t t}

  ˆ ˆ sin . lim

  2

  j e t i

t

t _{t t t}

  ˆ lim ˆ sin lim

  → →

  i j i

  2

  3

  3

  6 ˆ

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 22} Contoh Contoh

  ( (

  Jawab Jawab

  

)

)

  ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎣ ⎡

  − − +

  −

  − → j t t t i t t _t

  ˆ

  9

  3

  ˆ

  9 . lim

  1 ₂ ^{2 2} ₃

  j t t t i t t _{t t}

  ˆ

  9

  6 lim ˆ

  3

  9 lim ₂ ² ₃ ² ₃ −

  − +

  − =

  − → − → ( )( ) ( )( ) ( )( ) j t t t t i t t t _{t t}

  ˆ ˆ ˆ = + =

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 23} Contoh Contoh

  ( (

  Jawab Jawab

  ) )

  ), ln ln( lim . t t t _t

  3 ² ₊

  → t t t

_{t t}

  ), ln lim ln( lim ² _{+ +}

  → →

  =

  karena (tidak ada) −∞ = ₊ →

  ) ln( lim ²

  t _t Jadi tidak ada t t t _t

  ), ln ln( lim ² ₊

  →

  →

  ⎢ ⎣ ⎡

  3 ^{/ 1} ₊

  1 , lim .

  t e ^t _t

  2 ₂ ²

  . lim

  1 ˆ sin

  2

  3

  ˆ

  ∞ → j t t t i t t _t

  −

  1 ² _{2 2} ⎥ ⎦ ⎤

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 24} Latihan Latihan

  2 . lim

  4

  6 ˆ

  2

  ˆ

  → j t t t i t t _t

  −

  − − +

  ⎢ ⎣ ⎡

  ⎥ ⎦ ⎤

  

Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada

beri alasan):
• −

  Kekontinuan Kekontinuan

  Definisi

  r _r r r a . f ( t ) ∈ D

  kontinu di a jika _f lim f ( t ) = f ( a ) _{t a} →

  r r b . f ( t )

  kontinu pada himpunan A ⊂ R jika f ( t ) kontinu di setiap titik pada A Teorema

  r

  Fungsi kontinu pada B ⊂

  D f ( t ) = f ( t ) iˆ f ( t ) jˆ f ( t ) kˆ _{1 2 3 f} ^r

  ↔ f (t), f (t) , f (t) kontinu pada B

  1

  2

  3 7/6/2007

^{[MA 1124]}

²⁵
• − + + + + + =
• − +
• − +

  →

  ) kˆ t ( ' f jˆ ) t ( ' f iˆ ) t ( ' f _{3 2 1} + + = ) kˆ t ( ' f jˆ ) t ( ' f iˆ ) t ( ' f ) t ( ' f _{3 2 1}

  → → →

  =

  ) t ( f ) h t ( f lim ^{3 3} _h ^{2 2} _h ^{1 1} _h − +

  ) t ( f ) h t ( f lim iˆ h

  ) t ( f ) h t ( f lim jˆ h

  ) t ( f ) h t ( f lim ^{3 3 2 2 1 1} _h kˆ h

  ) t ( f ) h t ( f iˆ h

  kˆ h ) t ( f ) h t ( f jˆ h

  =

  − +

  ⎢⎣ ⎡

  r ⎥⎦ ⎤

  →

  ) lim t ( ' f ^{3 2 1 3 2 1} _h

  h ) kˆ t ( f jˆ ) t ( f iˆ ) t ( f kˆ ) h t ( f jˆ ) h t ( f iˆ ) h t ( f

  ] [ ]

  Misalkan Definisi: [

  ) kˆ t ( f jˆ ) t ( f iˆ ) t ( f ) t ( f _{3 2 1} + + = r

• − +
• − +
• = r

  7/6/2007

^{[MA 1124]}

²⁶ Turunan Turunan

  Jadi

  Contoh Contoh

  r r r _{2 2 t 2}

  . Tentukan

  2 t 3 ) iˆ − e jˆ D f ( ) dan _t D f ( ) _t

  Jawab

  r r _{2 t}

  ˆ ˆ

• + i. = −

  D f ( t ) = f ' ( t )

  2 2 t

  3 2 i 2 e j _t ( ) _{2 t}

ˆ

ˆ

  8 t 12 i − 2 e j ( )

• =

  r

  ˆ ˆ D f = i − j _t ( )

  12

  2 ₂ r r _{2 t} ˆ ˆ

  D f ( t ) = f " ( t ) = 8 i − 4 e j ii. _{t 2} r ˆ ˆ

D f ( ) = t 8 i − 4 j

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 27}

• = r

  b. ) ( ' f r ) ( " f

  1 cos ¹

  17

  −

  =

  ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎠ ⎞

  1 =

  17

  = θ

  ) ( " ) ( ' ) ( " ). ( ' cos f f f f r r r r

  4

  ˆ ˆ

  = jˆ j i

  r

  4

  ˆ ˆ 2 cos

  − 2 + = j e i t ^t

  j e i t ^t ˆ ˆ 2 sin

  r

  a. ) ( ' t f r ) ( " t f

  Jawab

  ) ( " f r

  dan

  ) t ( " f r ) ( ' f antara sudut . b r

  dan

  ) t ( ' f . a r

  . Tentukan

  jˆ e iˆ t ) 2 cos t ( f ^t

• − =
• − =
• =

  7/6/2007

^{[MA 1124]}

²⁸ Contoh Contoh

  θ Ö

• = r

  ) ( ' t r r

  2 ˆ

  ˆ

  j t i t t r

  r

  −

  − + =

  ˆ ˆ ) ( ²

  ( ) j e i e e t r ^{t t t}

  b.

  a.

  ) ( " t r r

  dan

  r r

  7/6/2007

^{[MA 1124]}

²⁹ Latihan Latihan

  )] ( ' ). ( [ t r t r D _t

  Tentukan

  ˆ ) (

³

²

  j t i e t r ^t ˆ

) ln(

  r

  dan ) ( ² D f _t

  r

  ) ( f D _t

  Tentukan

  r

  − −

  ˆ 1 ln ˆ ˆ ) tan ( ^{2 2 1}

  ( ) k t j e t i t t f ^t

  ) tan ( ^{3 / 5} − = r Arti Geometris Arti Geometris r r

• f (t h) - f (t)

  z P D =[a,b] r f f (t) c r

• f (t

  h) [ ] a ≤ t ≤b

  O y r r

x

r r
• f ( t h ) − f ( t )

  searah dengan vektor f (t

• Vektor

  h) f (t) , h >

• r r h

  r

• − f ( t h ) f ( t ) = lim f ' ( t )

  Jika h Æ 0, maka _{h →} h

  Merupakan vektor singgung pada kurva C di titik P pada _r saat ∈ D t _f

  r f ' ( t ) _7/6/2007 Arti Geometris : Vektor Singgung _{[MA 1124] 30}

• =

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 31} Garis Garis

  Singgung Singgung

  D f =[a,b] ] [ a ≤t≤b

  ) (t f r ) (t ' f r c z y x O P

  Persamaan garis singgung pada kurva C pada titik P adalah ) t ( ' f t ) t ( f ) t ( x r r r

  atau <x, y, z>=<f

  1 (t ), f

  2 (t ), f

  3 (t ) >+t<f

  1 ’ (t ), f

  2 ’ (t ), f

  3 ’(t ) > Contoh Contoh

  r ˆ

  ˆ ˆ

  Diketahui f ( t ) = cos t i sin t j t k

• Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–1, 0, π).

  Jawab: t = waktu saat P tercapai, yaitu t = π r

  ˆ ˆ ˆ f ' ( t ) = − sin t i cos t j k + + r

  ˆ ˆ ˆ

  =< − > , 1 ,

  1

  f ' ( ) = i ( − + + 1 ) j k π r

  ˆ ˆ ˆ π π π + + f ( ) = ( − 1 ) i j k =< −

  1 , , >

  

Persamaan parameter garis singgung di titik P (–1, 0, π)

adalah x = –1, y = – t , z = π + t 7/6/2007 ^{[MA 1124] 32}

  3. Diketahui

  2. Diketahui ( )

  

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–2, –2).

  2 ( 2 ) ² − + − = r

  3 ˆ

  2

  ˆ

  ( ) j t i t t f

  ˆ ) sin ( ²

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 33} Latihan Latihan j t i t t f

  1 ˆ cos

  ˆ

  1. Diketahui ( ) k t j t e i t e t f ^{t t}

  Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 4).

  ( 3 ) + = r

  4 ˆ sin

  ˆ cos

• = r Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1).

  7/6/2007

^{[MA 1124]}

³⁴ Gerak Gerak

  Sepanjang Sepanjang

  Kurva Kurva

  Misalkan t menyatakan waktu dan P titik yang bergerak ditentukan oleh persamaan parameter x = f(t); y = g(t). maka menyatakan vektor posisi dari titik P.

  ) jˆ t ( g iˆ ) t ( f ) t ( r + = r Jika t berubah Æ ujung vektor bergerak sepanjang

  ) t ( r r lintasan titik P. Gerak ini dinamakan Gerak Sepanjang Kurva (Gerak Curvilinear)

• =

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 35} Definisi Definisi

  Contoh Contoh

  1. Kecepatan

  2. Percepatan ) jˆ t ( ' g iˆ ) t ( ' f ) t ( ' r ) t ( v + = = r r

  ) titik P adalah t ( v r

  ) di sebut laju titik P t ( v r

  ) jˆ t ( '' g iˆ ) t ( '' f ) t ( '' r ) t ( a + = = r r ) titik P t ( a r

  ) di sebut besar percepatan t ( a r pada saat t

  1. Gerak Linear ) q t ( h p ) t ( r r r r

  2. Gerak pada Lingkaran ) real fungsi t ( h ; tetap vektor q , p r r

  3. Gerak pada ellips , a jˆ t sin a iˆ t cos a ) t ( r

  > + = r , b a , jˆ t sin b iˆ t cos a ) t ( r

  > + = r

  4. Gerak pada heliks Lingkaran ) kˆ t b jˆ t sin a iˆ t cos a t ( r

  ω + ω + ω = r Contoh Gerak Sepanjang Kurva Contoh Gerak Sepanjang Kurva

  Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah x = 3 cos t dan y = 2 sin t (t = waktu) a. Gambarkan grafik lintasan P.

  b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan percepatan c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saat mana nilai itu dicapai

  7/6/2007

^{[MA 1124]}

³⁶
• ⎟ ⎠ ⎞

  x y .

  t r j t i t t a t r

  ( 3 ) ) ( "

  2 ˆ cos

  ) ( ˆ sin

  ( 3 ) ) ( '

  2 ˆ sin

  ˆ cos

  j t i t t v t r

  ( 3 ) + = r

  2 ˆ cos

  ˆ sin

  (t) v r j t i t t r

  P (t) a r

  2

  3

  y x (ellips)

  ⎜ ⎝ ⎛

  ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎠ ⎞

  3 ^{2 2} =

  2

  1

  2 t = 1

  2 t + sin

  Ö Ö x/3 = cos t y/2 = sin t cos

  a. Persamaan parameter x = 3 cos t y = 2 sin t

• 3
• 2
• − = = r r

  7/6/2007

^{[MA 1124]}

³⁷ Jawab Jawab

  r r r − = − − = = b.

• + + = + + =

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 38} Jawab Jawab

  ( (

  Lanjutan Lanjutan

  

)

)

t t t v ^{2 2}

  cos 4 sin ( 9 ) + = r

  ( ) t t t t t t ^{2 2 2 2 2 2} cos sin 4 sin

  5 cos 4 sin 4 sin

  5

  4 sin

  5 ² + = t

  

b. Laju maks = 3, dicapai saat sin t = ± 1, atau t = π/2, 3π/2

yaitu pada titik (0, ±2) Laju min = 2, dicapai saat sin t = 0, atau t = 0, π yaitu pada titik (±3, 0)

  Latihan Latihan

  Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah x = 4 cos t dan y = 3 sin t (t = waktu) a. Gambarkan grafik lintasan P.

  b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan percepatan c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saat mana nilai itu dicapai

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 39}

  Kelengkungan Kelengkungan r vektor posisi titik P.

  Andaikan a = + r ( t ) f ( t ) iˆ g ( t ) jˆ ≤t≤b, Panjang lintasan s dari P(a) ke P(t) adalah t t r

  2

  

2

s = f u g u du = r u du
• a

  ' ( ) ' ( ) ' ( ) ( ) ( )

  ∫ ∫

  a Laju titik yang bergerak itu adalah r ds r

  = r ' ( t ) = v ( t ) dt dt

  1 = r ds v ( t )

  7/6/2007

^{[MA 1124]}

⁴⁰

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 41} Kelengkungan Kelengkungan

  ( (

  Ljt Ljt

  ) ) Definisi. Vektor Singgung Satuan di P.

  Notasi ) didefinisikan sbb t ( T r

  Apabila P bergerak Æ ) t ( v ) t ( v

  ) t ( ' r ) t ( ' r ) t ( T r r r r r

  = = ) berubah arah t ( T r x o y disebut vektor kelengkungan di P ds T d r Kelengkungan ( Ljt ) Kelengkungan ( Ljt ) r d T

  Kelengkungan di P; κ (kappa). κ = ds

  Dengan aturan rantai diperoleh r r r r d T d T dt

  1 T ' ( t ) = = = T ' ( t ) r r ds dt ds v ( t ) v ( t ) r r T ' ( t ) d T κ = =

  Jadi r ds v ( t ) dan

  1 = disebut jari-jari kelengkungan

R κ

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 42}

  Contoh Contoh

  Tentukan kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari r

  3 ˆ ˆ

  π 1 . ( ) 8 cos 8 sin , r t = t i t j di t it ik P pada t =

• 3

  12 Jawab:

  r r

  ' ( ) = ( ) = − 24 cos sin ² 24 sin cos ²

• ˆ ˆ

  r t v t t t i t t j

  r

  24 cos sin sin cos ^{4 2 4 2}

• ( ) =

  v t t t t t

  = t t t t = t t ^{2 2 2} + 24 cos sin (cos sin ) 24 cos sin ² r r

  ( )

  v t

  ˆ ˆ

• ( ) = − cos sin

  T t = r t i t j

  ( )

  v t

  r ˆ ˆ

• T ' ( t ) = sin t i cos t j r

  ' ( )

  T t ² +

  sin t cos t ²

  1

  1 ( ) = = =

  κ t = r

  ( ) 24 cos sin 24 cos sin 12 sin

  2 _7/6/2007 v t t t t t t

_{[MA 1124]}

₄₃

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 44} Contoh Contoh

  12 (

  Jadi kelengkungan ( κ

  κ R (Jari-jari kelengkungan)

  6 1 = =

  π π π κ

  =

  ⎜ ⎝ ⎛

  = ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛

  = ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛

  = ⎟ ⎠ ⎞

  1 )

  ( ( lanjutan lanjutan

  12

  12 2 sin

  1

  12

  6 sin

  1

  12

  1 .

  2

  1

  6

  

)

)

  ) kurva diatas di t= π/12 adalah 1/6, Sedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah 6

• − + + = = r r

  3

  ( ) ( ) [

  ] T k j t t i t t t

  ˆ ˆ cos sin ˆ sin cos

  3

  1 ) ( '

  ( ) ( ) _{t t} e e t t t t t v T t t

  2

  2

  3 cos sin sin cos ) (

  ) ( ' ) ( ^{2 2} =

  = r r

  κ 2 ,

  ˆ ˆ cos ˆ

  ) sin ( .

  2 π

  1 = + − + + =

  3 1 sin cos 2 1 sin cos

  = + + = P t pada t it ik di k e j t e i t e t r ^{t t t} r

  t t t t e t v ^t

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 45} Contoh Contoh

  Jawab: ( ) ( )

k e j t e t e i t e t e t v t r

^{t t t t t}

  ˆ ˆ sin cos

  ˆ ) cos sin ( ) ( '

  ( ) ( )

  ) 1 sin cos sin cos ( ^{2 2} + − + + =

  r

  

e t t t t e

  ( ) ( ) [

  ] k j t t i t t t v t v T t

  ˆ ˆ sin cos

  ˆ cos sin

  3

  1 ) ( ) (

  ) (

• − + + = = r r r
t t<
• − − + − = r
• − =

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 46} Contoh Contoh

  2

  3 ²

  2

  2

  π − e

  2

  3

  ) kurva diatas di t= π/12 adalah , Sedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah ²

  (Jari-jari kelengkungan) Jadi kelengkungan ( κ

  π κ e R = =

  1 ²

  3

  2

  ( ( lanjutan lanjutan

  e e

  ⎜ ⎝ ⎛

  = = ⎟ ⎠ ⎞

  −

  π π π κ

  2

  2

  3

  2

  3

  2 ₂

  

)

)

  π e

P t pada t it ik di j t i t t r

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 47} Latihan Latihan

  r 9 ,

  = + + = P t pada t it ik di k t j t i t t r r

  4 π

  8 ˆ ( 8 ) . sin

  

4

ˆ cos

  ˆ

  r 6 ,

  = + + =

  5 π

  ) 3 sin ( .

  ˆ ˆ 3 cos ˆ

  2 = + =

  Tentukan vektor singgung satuan, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan di titik yang diberikan 2

,

  3

  4 ˆ ( 4 ) .

  1 , ˆ

  2

  r

  2 = − + =

  2

  1 ˆ ( 2 ) .

  ( ) 1 , ˆ

  

= + =

P t pada t it ik di j t e i t e t r ^{t t} r

  1 π

  ˆ cos ˆ ) sin ( .

P t pada t it ik di j t i t t r

P t pada t it ik di k t j t i t t r

  Teorema Teorema

  Andaikan x = f (t ) dan y = g (t ) adalah persamaan parameter kurva yang mulus. Maka

  ' " − ' "

  x y y x

  =

  κ _{2 2 3} ²

• x ' y '

  ( ) ( ) [ ]

  Khususnya, untuk kurva dengan persamaan y =g(x) , berlaku y "

  =

  κ

₂

_{3 2}

  1 '

• 7/6/2007
^{[MA 1124] 48}

  y ( )

  [ ]

• =
• t t
• −
• − = κ

  4

  2

  9

  6 _{2 3} = = _{2 3 2 2}

  2 cos

  9

  2 sin

  6 ) 2 (

• = κ

  ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎝ ⎛

  ⎛ = π π π

  κ

  4

  9

  [ ]

  6 ) (

  4

  [ ] ^{2 3 2 2} cos 9 sin

  = Sehingga

  6

  4

  [ ] ^{2 3 2 2} cos 9 sin

  6 t t

t t

  2 cos 6 sin

  ( ) ( ) [ ] ^{2 3 2 2 2 2} cos 3 sin

  [ ] ^{2 3 2 2} ' ' " ' " ' y x x y y x

  Kita peroleh ( ) ( )

  x = 2 cos t , y = 3 sin t pada titik t = 0 dan t = π/2 Jawab: x’ = –2 sin t y’ = 3 cos t x” = –2 cos t y” = –3 sin t

• ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

  7/6/2007 ^{[MA 1124] 49} Contoh Contoh

  3 =

  1

  Sehingga

  2

  1

  2

  ( ) ( ) [ ] ^{2 3 2} 1 .

  3 = =

  2 2 /

  5

  2

  5

  25

  =

  2

  1

  2

• x

  ( ) [ ] ^{2 3 2}

  y y

  1 "

  '

• = κ
• = κ

  ( ) [ ] ^{2 3 2}