KONSEP-KONSEP DASAR TEORI ANTRIAN Tujuan
OR2 Teknik Industri UAD
ANTRIAN
Sistem ekonomi dan dunia usaha (bisnis) sebagian besar beroperasi dengan
sumber daya
yang relatif terbatas. Sering terjadi orang-orang, barang-barang,
komponen-komponen atau kertas kerja harus menunggu untuk mendapatkan jasa
pelayanan. Garis-garis tunggu ini sering disebut dengan antrian (queues),
berkembang karena fasilitas pelayanan (server) adalah relatif mahal untuk memenuhi
permintaan pelayanan dan sangat terbatas. Jadi dapat dirumuskan suatu antrian ialah
suatu garis tuggu dari nasabah (satuan) yang memerlukan layanan dari satu atau lebih
pelayan (fasilitas pelayanan). Studi matematikal dari kejadian atau gejala garis
tunggu ini disebut teori antrian.
Dalam kehidupan sehari-hari, kejadian ini sering kita temukan, seperti dereta
mobil yang berhenti karena traffic light, antrian permitaan telepon pada suatu
switchboard, penonton pada gedung teater yang box office atau pada restoran
menunggu pesanan. Contoh lebih lnjut meliputi antrian pesawat-pesawat di lapangan
udara, kedatangan kapal disuatu pelabuhan, truk-truk yang menunggu muatan,
peralatan-perlatan yang menunggu diservis dan kedatangan pesanan pada gudang.
Teori antrian diciptakan dalam tahun 1909 oleh ahli matematik dan insinyru
berkebangsaan Denmark yang bernama A.K. Erlang. Dia mengembangkan model
antrian adalah untuk menentukan jumlah yang optimal dari fasilitas telephone
switching yang digunakan untuk melayani permintaan yang ada.
Contoh penggunaan teori antrian dalm kehidupan sehari-hari:
Situasi
Arrival/Demand
Servers
Service mechanism
Ruang praktek dokter
Pasien
Dokter dan suster
Perawatan kesehatan
Loket karcis theater
Penonton
Penjual karcis
Menjual tiket
Traffic Light
Mobil
Lampu
Pelabuhan
Kapal
Pekerja di kapal
Bongkar muat
Garasi/bengkel
Mobil
Mechanic
Memperbaiki mobil
Warung makan
Orang lapar
Pelayan
Memasakdan menyajikan
Airport
pesawat
Penjaga lapangan
Lalu lalang pesawat
traffic Lalu lalang
Bahan Kuliah Antrian 1-16
OR2 Teknik Industri UAD
KONSEP-KONSEP DASAR TEORI ANTRIAN
Tujuan
Tujuan dasar model-model antrian adalah untuk meminimumkan total dua
biaya, yaitu biaya languing penyediaan fasilitas pelayanan dan biaya tidak langsung
yang timbul karena para individu harus menunggu untuk dilayani. Bila suatu sistem
mempunyai fasilitas pelayanan lebih dari jumlah optimal, ini berarti membutuhkan
investasi modal yang berlebihan, tetapi bila jumlahnya kurang dari optimal hasilnya
adalah tertundanya pelayanan. Model antrian yang akan dibahas merupakan peralatan
penting untuk sistem pengelolaan yang menguntungkan dengan menghilangkan
antrian.
Input/Pelanggan
Sumber masukan dari suatu sistem antrian dapat terditi atas suatu populasi
orang, barang, komponen atau kertas kerja yang datang pada sistem unruk dilayani.
Bila populasi relatif besar sering dianggap bahwa hal itu merupakan besaran yang
tidak terbatas. Suatu populasi dinyatakan “besar” bila populasi tersebut besar
dibanding dengan kapasitas sistem pelayanan. Sebagai contoh, suatu masyarakat kecil
yang terdiri dari 10.000 orangmungkin akan menjadi suatu populasi yang tak terbatas
bagi sebuah pengecer tetapi mungkin tidak cukup besar bagi 100 shopping center
yang ada.
Pola Kedatangan untuk Sistem
Cara dengan mana individu-individu dari populasi memasuki sistem disebut
pola kedatangan (arrival patern). Individu-individu mungkin datang dengan tingkat
kedatangan (arrival rate) yang konstan ataupun acak/random yaitu berapa banyak
individu-individu per periode waktu. Tingkat kedatangan produk-produk yang
bergerak sepanjang lini perakitan produksi massa mungkin konstan, sedang tingkat
kedatangan telephon calls sangat sering mengikuti suatu distribusi probabilitas
Poisson.
Distribusi Probabilitas Poisson adalah salah satu dari pola-pola kedatangan
yang paling sering (umum) bila kedatangan-kedatangan didistribusikan secara
random. Hal ini terjadi karena distribusi poisson menggambarkan jumlah kedatangan
per unit waktu bila sejumlah besar variabel-variabel random mempengaruhi tingkat
kedatangan.
Bahan Kuliah Antrian 2-16
OR2 Teknik Industri UAD
Bila kedatangan individu individu mengikti suatu distribusi poisson, maka
waktu antar kedatangan atau interarrival time (waktu antara kedatangan setiap
individu) adalah random dan mengikuti suatu distribusi eksponensial (exponensial
distribution).
Bila individu-individu (komponen, produk, kertas kerja atau karyawan)
memasuki suatu siste, mereka mungkin memperagakan perilaku yang berbeda. Bila
individu tersebut adalah orang, dan antrian relatif panjang, dia mungkin
meninggalkan sistem. Perilaku seperti ini disebut penolakan (balking). Penolakan
akan sering terjadi bila kepanjangan antrian kelewat panjang.
Variasi yang mungkin lainnya dalam pola kedatangan adalah kedatangan dari
kelompok–kelompok individu. Bila lebih dari satu individu memasuki suatu sistem
seketika secara bersamaan, maka terjadi dengan apa yang tersebut bulk arrivals.
Fungsinya:
Komponen utamanya:
1. The arrival/input sistem
Total cost
2. Antrian tiu sendiri
Service cost
Waiting cost
3. Fasilitas pelayanan
input
pelanggan
antrian
Fasi
litas
Pelanggan yang
terlayani
Sistem antrian
Kepanjangan Antrian
Banyak sistem antrian dapat menampung
jumlah individu-individu yang
relatif besar, tetapi ada beberapa sistem yang mempunyai kapasitas yang terbatas.
Bila kapasitasantrian menjadi faktor pembatas besarnya jumlah individu yang dapat
dilayani dalam sistem secara nyata, berarti sistem mempunyai kepanjangan antrian
yang terbatas (finite), dan model antrian terbatas harus digunakan untuk menganalisa
sistem tersebut. Sebagai contoh sistem yang mungkin mempunyai antrian yang
terbatas adalah jumlah tempat psrkir atau station pelayanan atau jumlah tempat tidur
di rumah sakit. Secara umum model antrian terbatas lebih kompleks daripada sistem
antrian tak terbatas (infinite).
Disiplin Antrian
Disiplin antrian menunjukkan pedoman keputusan yang digunakan untuk
menyeleksi individu-individu yang memasuki antrian untuk dilayani terlebih dahulu
(prioritas). Ada 4 bentuk disiplin pelayanan yang biasa digunakan dalam praktek,
yaitu:
Bahan Kuliah Antrian 3-16
OR2 Teknik Industri UAD
a. FCFS (First-come First-serviced) atau FIFO (First-in First-out) artinya lebih dulu
datang atau sampai lebih dulu dilayani. Misalnya antri beli tiket bioskop.
b. LCFS (Last-come First-served) atau LIFO (Last-in First-out) aritnya yang tiba
terakhir yang lebih dahulu keluar. Misalnya sistem antrian dalam elevator (lift)
untuk lantai yang sama.
c. SIRO (Service in random order) artinya, panggilan didasarkan pada peluang
secara random, tidak soal siapa yang lebih dulu datang.
d. Prioritas, artinya prioritas pelayanan diberikan kepada mereka yang mempunyai
prioritas lebih tinggi dibandingkan mereka yang mempunyai prioritas lebih
rendah, meskipun yang terakhir ini kemungkinan sudah lebih dahulu tiba dalam
garis tunggu. Misalnya seseorang yang keadaan penyakitnya lebih parah
dibanding dengan orang lain dalam suatu tempat praktek dokter.
Tingkat Pelayanan
Waktu yang digunakan untuk melayani individu-individu dalam suatu sistem
disebut waktu pelayanan (service time). Waktu ini mungkin konstan, tetapi juga
sering acak (random). Bila waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial atau
distribusi acak, waktu pelayanan (yaiut unit/jam) akan mengikuti suatu distribusi
Poisson.
Keluar (Exit)
Sesudah seseorang (individu) telah selesai dilayani, dia keluar (exit) dari
sistem. Sesudah keluar, dia mungkin bergabung pada satu diantara kategori populasi.
Dia mungkin bergabung dengan populasi asal dan mempunyai probabilitas yang sama
untuk memasuki sistem kembali, atau dia mungkin bergabung dengan populasi lain
yang mempunyai probabilitas lebih kecil dalam hal kebutuhan pelayanan tersebut
kembali.
Ringkasan Karakteristik-karakteristik Penting Sistem Antrian
Berikut ini daftar karakteristik-karakteristik utama sistem antrian dengan
asumsi-asumsi yang paling umum:
Karakteristik-karakteristik Antrian
Asumsi-asumsi Umum
Sumber populasi
Tak terbatas atau terbatas
Pola kedatangan
Tingkat kedatangan Poisson
(waktu kedatangan eksponensial)
Kepanjangan antrian
Tak tebatas atau terbatas
Disiplin antrian
First-come First-served
Bahan Kuliah Antrian 4-16
OR2 Teknik Industri UAD
Karakteristik-karakteristik Antrian
Pola pelayanan
Asumsi-asumsi Umum
Tingkat pelayanan Poisson
(waktu pelayanan eksponensial)
Keluar
Langsung kembali ke populasi
SISTEM DAN STRUKTUR ANTRIAN
Banyak perbedaan sistem-sistem dan struktur-struktur antrian yang terdapat
dalam masyarakat yang semakin kompleks. Perbedaan-perbedaan dalam jumlah
antrian, fasilitas pelayanan dan hubungan-hubungan ysng terjadi dapat menghasilkan
bentuk/susunan yang bervariasi tidak terbatas.
Sistem-sistem Antrian
Pada umumnya, sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi sistem yang
berbeda-beda di mana teori antrian dan simulasi sering diterapkan secara
luas.
Klasifikasi menurut Hillier dan Lieberman adalah sebagai berikut:
1. Sistem pelayanan komersial.
2. Sistem pelayanan bisnis-industri.
3. Sistem pelayanan transportasi.
4. Sistem pelayanan sosial.
Sistem-sistem pelayanan sosial merupakan sistem-sistem pelayana yang
dikelola oleh kantor-kantor dan jawatan-jawatan lokal maupun nasional seperti kantor
tenaga kerja, kantor registrasi SIM dan STNK, kantor pos, rumah sakit, puskemas,
dan lain-lainnya.
Sistem pelayanan komersial merupakan aplikasi yang sangat luas dari modelmodel antrian seperti restoran, cafetaria, toko-toko, salon, supermarket dan lain-lain.
Sistem pelayanan bisnis-industri mencakup lini produksi, sistem materialhandling, sistem penggudangan dan sistem-sistem informasi komputer.
Struktur-strukutr Antrian
Atas dasar sifat proses pelayanannya, dapat diklasifikasikan fasilitas-fasilitas
pelayanan dalam susunan saluran atau channel (single atau multiple) dan phase
(single atau multiple)yang akan mebentuk suatu struktur antrian yang berbeda-beda.
Istilah saluran atau channel menunjukan juumlah jalur (tempat) untuk
memasuki sistem pelayanan, yang juga menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan.
Istilah phase berarti jumlah stasiun-stasiun pelayanan, di mana para langganan harus
melaluinya sebelum pelayanan dinyatakan lengkap. Ada 4 model struktur antrian
dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian:
Bahan Kuliah Antrian 5-16
OR2 Teknik Industri UAD
1. Single Channel-Single Phase
Sistem ini adalah sistem yang paling sederhana. Single Channel berarti
bahwa hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau ada satu
fasilitas pelayanan. Single Phase menunjukkan bahwa hanya ada satu stasiun
pelayanan atau sekumpulan
tunggal operasi
yang dilaksanakan. Setelah
menerima pelayanan, individu-individu keluar dari sistem.
Contoh untuk model struktur ini adalah seorang tukang cukur, seorang
pelayan toko, pembelian tiket kereta api antar k ota kecil yang dilayani oleh satu
loket dan sebagainya.
2. Single Channel-Multiphase
Istilah multiphase menunjukkan ada dua atau
lebih
pelayanan yang
dilaksanakan secara berurutan (dalam phase-phase). Sebagai contoh lini produksi
massa, pencucian mobil, tukang cat mobil dan sebagainya.
Fasilitas pelayanan
input
Single channel, single-stage
Multiple channel, single-stage
input
Single channel, multiple stage
input
input
Multiple channel, multiple stage
3. Multichannel-Single Phase
Sistem multichannel-single phase terjadi (ada) kapan saja dua atau lebih
fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal. Sebagai contoh model ini adalah
pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket pelayanan, potong rambut
oleh beberapa tukang potong dan sebagainya.
4. Multichannel- Multiphase
Setiap sistem-sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada
setiap tahap, sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani pada suatu waktu.
Sebagai contoh herregisrtasi para mahasiswa di universitas, pelayanan kepada
Bahan Kuliah Antrian 6-16
OR2 Teknik Industri UAD
pasien di rumah sakit mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai
pembayaran. Pada umumnya, jaringan ini terlalu kompleksd umtuk dianalisa
dengan teori andrian, mungkin simulasi lebih sering digunakan untuk
menganalisa sistem ini .
Selain empat model struktur antrian diatas sering terjadi struktur campuran
(mixed arrangements) yang merupakan campuran dari dua atau lebih struktur antrian
diatas. Misal toko–toko dengan beberapaa dengan pelayan (multichannel) namun
pembayarannya hanya pada seorang kasir (single channel).
MODEL – MODEL ANTRIAN
Pengelompokan Model–model Antrian
Dalam pengelompokan model–model antrian yang berbeda-beada akan
digunakan suatu notasi yang disebut Kendall’s Notation. Notasi ini sering
dipergunakan karena beberapa alasan. Pertama karena notasi tersebut merupakan alat
yang efisien untuk mengidentifikasi tidak hanya model-model antrian, tetappi juga
asumsi–asumsi yang harus dipenuhi. Kedua hampir semua buku (literature) yang
membahas teori antrian menggunakan notasi ini. Contoh model adalah model
M/M/1/I/I. Tanda pertama notasi selalu menunjukkan distribusi tingkat kedatangan.
Dalam hal ini, M menunjukkan tingkat kedatangan mengikuti suatu distribusi
probalitas Poisson.
Tanda
kedua
menunjukkan
distribusi
tingkat
pelayanan.
Lagi,
M
menunjukkan bahwa tingkat pelayanan mengikuti distribusi probalitas Pisson. Tanda
ketiga menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem. Model diatas adalah
model yang mempunyai fasilitas pelayanan tunggal.
Tanda keempat dan kelima ditambahkan untuk memnunjukkan apakah
sumber populasi dan kepanjangan antrian tak terbatas (I) atau terbatas (F).model
diatas baik sumber populasi dan kepanjangan antrian adalah tak terbatas.
Dengan tanda–tanda tersebut ditunjukkan empat model yang berbeda yang
akan dirumuskan dan dipecahkan dalam bagian ini yaitu:
Model 1:
M/M/1/I/I
Model 2:
M/M/S/I/I
Model 3:
M/M/1/I/F
Model 4:
M/M/S/F/I
Walaupun tidak ditunjukkan dalam notasi ini, seluruh model menganggap bahwa
disiplin antrian adalah first come first served.
Bahan Kuliah Antrian 7-16
OR2 Teknik Industri UAD
Notasi-notasi yang digunakan dalam penyajian model-model antrian
Notasi
Penjelasan
Ukuran
l
1/l
m
1/m
s
N
Tingkat kedatangan rata-rata
Unit/jam
Waktu antar kedatangan rata-rata
Jam/unit
Tingkat pelayanan rata-rata
Unit/jam
Waktu pelayanan rata-rata
Jam/unit
Deviasi standar tingkat pelayanan
Unit/jam
Jumlah individu dalam sistem pada suatu waktu
Unit
Jumlah individu rata-rata dalam antrian
Unit
Jumlah individu dalam sistem total (antrian dan fasilitas pelayanan)
Unit
Waktu rata-rata dalam antrian
jam
Waktu rata-rata dalam sistem total
Jam
Jumlah fasilitas pelayanan (channels)
Unit pelayanan
Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan
Ratio
nq
nt
tq
tt
S
P
Q
Pn
Po
Pw
cs
cw
Kepanjangan maksimum sistem (antrian dan ruang pelayanan)
Unit
Probabilitas jumlah n individu dalam sistem
Frekuensi relatif
Probabilitas tidak ada individu dalam sistem
Frekuensi relatif
Probabilitas menunggu dalam antrian
Frekuensi relatif
Biaya pelayanan per satuan waktu per fasilitas pelayanan
Rp/jam/server
Biaya untuk menunggu per satuan waktu per individu
Rp/jam/unit
ct
Biaya total = S cs +
Rp/jam
nt
cw
Model 1 M/M/1/I/I :
a. Banyaknya kedatangan ® Disribusi Poisson
b. Waktu antara kedatangan ® Ditribusi Eksponensial
Distribusi Poisson:
å
Distribusi Eksponensial:
e (λ T)
kedatangan (Px) =
- λT
λ
x!
mean = 1/l
x! = (x) (x-1) (x-2)...(3)(2)(1)
mean = l
2. Perilaku pelanggan
Unsur-unsur dari model anrian
1. Probabilitas yang antri
2. Probabilitas yang ada dalam sistem (kedatangan)
Bahan Kuliah Antrian 8-16
OR2 Teknik Industri UAD
3. Rata-rata unit dalam antrian
4. Rata-rata unit dalam sistem
5. Waktu rata-rata tiap unit yang dihabiskan dalam antrian
6. Waktu rata-rata tiap unit yang dihabiskan dalam sistem
7. Persentase waktu atau probabilitas dari unit yang harus menunggu
Single Channel
Asumsi:
1. Kedatangan sesuai dengan distribusi poisson
2. Kedatangan dari infinit populasi
3. Kedatangan dilayani dengan sistem FCFS
4. Rata-rata kedatangan konstan
5. Waktu pelayanan sesuai dengan distribusi Eksponensial
6. Rata-rata pelayanan konstan
7. Rata-rata pelayanan > rata-rata kedatangan
l = mean kedatangan/jumlah kedatangan yang diharapkan
m = mean pelayanan/jumlah konsumen yang diharapkan terlayani
Model antrian:
1. Probabilitas tidak ada yang menunggu
Po = (1 - l/m)
2. probabilitas ada n unit yang menunggu
Pn = (l/m)n Po
3. Jumlah unit yang diharapkan dalam sistem
L = l/(m-l)
4. Jumlah unit yang diharapkan dalam antrian
Lq = l2/m (m-l) ® l/m · L (l/m-l)
= L-l/m
l2/m (m-l)
5. Waktu menunggu yang diharapkan dalam sistem
W = 1/m-l = L/l
6. Waktu menunggu yang diharapkan dalam antrian
Wq = l/m (m-l) = Lq/l = W-1/m
7. Probabilitas unit yang datang harus menunggu
Pw = l/m
Lq = L-l/m = l Wq
L = Lq+l/m = l W
Wq = W-1/m = Lq/l
Bahan Kuliah Antrian 9-16
OR2 Teknik Industri UAD
W = Wq+1/m = L/l
Kasus:
Perusahaan pencucian mobil mempunyai fasilitas mencucikan mobil dan membuat
mobil menjadi cemerlang . Rata-rata pelayanan 12 mobil/hari dengan jam hari
kerja 8 jam. Rata-rata kedatangan setiap harinya 10 mobil yang memerlukan
pelayanan.
Pemilik perusahaan
ingin memperbesar labanya dengan memperbaiki sistem
kerjanya. Diasumsi sistem sebagai single channel, single-stage.
l = 10 mobil/hari
m = 12 mobil/hari
Jumlah unit yang diharapkan masuk sistem
L=
λ
10
= 5 mobil
μ - λ 12 - 10
Jumlah unit yang diharapkan dalam antrian
Lq =
λ
2
μ(μ - λ)
-
100
= 4,17 mobil
12(12 - 10)
Waktu yang diharapkan dalam sistem
W=
1
1
1
= hari = 4 jam
μ - λ 12 - 10 2
Waktu tunggu yang diharapkan dalam atrian
Wq =
λ
μ(μ - λ)
-
10
5
hari (3,33 jam)
=
12(12 - 10) 12
Probabilitas kedatangan harus menunggu
Pw =
λ 10
=
= 0,833
μ 12
Probabilitas tidak ada antrian
æ λ ö æ 10 ö
Po = çç1 - ÷÷ = ç1 - ÷ = 0,167
è μ ø è 12 ø
Bahan Kuliah Antrian 10-16
OR2 Teknik Industri UAD
Probabilitas ada n unit antri
Pn = (l/m)n Po
= (10/12)n . 0,167
Pn = l/m . Po = (10/12)n . 0,167
N
1
0,139
2
0,116
3
0,096
4
0,080
5
0,067
Seandainya jumlah kedatangan tiap periode tidak tetap, bervariasi l = 5,7,9,10,11,
maka:
l
Po
L
Lq
W
Wq
5
0,583
0,71
0,30
1,143
0,476
7
0,417
1,4
0,80
1,6
0,933
9
0,250
3
2,25
2,667
2
10
0,166
5
4,17
4
3,333
11
0,083
11
10,08
8
7,333
Biaya langsung ® biaya menunggu
Biaya total
Biaya tidak langsung ® biaya pelayanan
Untuk kasus di atas, seandainya diketahui biaya menunggu adalah $ 10/jam, maka
biaya menunggu hariannya:
= $ 10 . 33,33 jam/hari
= $333,3
Biaya untuk penyediaan adalah $ 10/jam atau $ 80/hari. Sehingga Total Biaya
harian :
Biaya menunggu + Biaya pelayanan
$ 333,33 + $ 80,00 = $ 413,33
Melihat hal ini kemudian dilakukan perubahan sistem dengan sistem yang seperti
menggunakan conveyor, sehingga diharapkan waktu pelayanan lebih cepat. Untuk ini
dikeluarkan biaya sebesar $ 100/hari sebagai biaya pengadaan sistem yang baru.
Dengan sistem baru ini, rata-rata unit yang bisa dilayani adalah 15 mobil/hari.
l = 10 mobil/hari
Bahan Kuliah Antrian 11-16
OR2 Teknik Industri UAD
m = 15 mobil/hari
L =
λ
10
=
= 2 mobil
μ - λ 15 - 10
λ2
10 × 10
Lq =
=
= 1,33 mobil
μ(μ - λ) 15(15 - 10)
W =
1
1
1
=
=
hari = 1,6 jam
μ - λ 15 - 10 5
Wq =
λ
10
2
=
=
hari = 1,067 jam
μ(μ - λ) 15(15 - 10) 15
Pw =
λ 10
=
= 0,667
μ 15
æ λ ö æ 10 ö
Po = çç1 - ÷÷ = ç1 - ÷ = 0,333
è μ ø è 15 ø
n
æλö
Pn = çç ÷÷ × Po
èμø
n
Pn = (l/m)n . Po = (10/15)n (0,33)
1
0,222
2
0,148
3
0,099
4
0,066
5
0,044
l = 10
m = 15
biaya menunggu harian:
$ 10 ´ 10,67 jam = $106,70
Biaya pelayanan harian = $ 80
Biaya pengadaan sistem yang baru = $ 100
Total biaya = $ 106,70 + $ 80 + $ 100 = $ 286,70
Multiple Channel
Asumsi
= asumsi Single Channel
l
= rata-rata keedatangan
m
= rata-rata pelayanan
s
= jumlah channel
Po =
1
én =s -1
êå
ê n =0
ë
(λ/μ ) + (λ/μ )
n
n!
s
s!
ù
1
ú
1 - (λ/sμ) ú
û
Bahan Kuliah Antrian 12-16
OR2 Teknik Industri UAD
(λ/μ) n
× Po
jika n ≤ s
n!
(λ/μ) n
Pn =
× Po
jika n > s
s! s n -1
( λ/μ)s × ( λ/μs) × Po
Lq =
s![1 - λ/μs]2
L = Lq +
Wq =
λ
μ
Lq
λ
W = Wq +
r =
L
λ
=
μ
λ
λ
= faktor utilitas atrian
μs
s
sμ
1 æλö
Pw = × çç ÷÷ ×
× Po
s! è μ ø s μ - λ
Contoh soal:
Pada kasus perusahaan pencucian mobil (kasus sebelumnya) jika kemudian
pemiliknya memilih alternatif lain, yaitu dengan menambah channel yang ada,
sehingga dua buah mobil bisa terlayani secara bersamaan.
l = 10 mobil
m = 12 mobil
s
Po =
=
=
= 2 channel
1
é n =1 (10/12)
ù
(10/12) 2
1
+
êå
n!
2!
1 - (10/24) úû
ë n =0
n
1
ù
é (10/12)
(10/12) (10/12) 2
1
+
+
×
ê 0!
1!
2!
1 - (10/24) úû
ë
0
1
1
1
=
[1 + 0,833 + (0,347 ×1,714)] 2,428
= 0,412
Pn =
n
Pn
1
0,343
2
0,143
3
0,060
Bahan Kuliah Antrian 13-16
OR2 Teknik Industri UAD
4
0,025
5
0,010
(10/12) 2 × (10/(12 × 20)) ( 0,412)
Lq =
(2!) (1 - 10 / 24) 2
=
(125/432) (0,412)
(98/144)
= 0,175 mobil
L = Lq +
Wq =
λ
10
= 1,01 mobil
= 0,175 +
μ
12
0,175
= 0,018 hari
10
= 0,144 jam
W = 0,018 +
1
12
= 0,101 hari
= 0,808 jam
r =
10
10
= =0,417
12 × 2 24
2
1 æ 10 ö
2 × 12
Pw =
×ç ÷ ×
2! è 12 ø 2 × 12 - 10
= 0,245
Bahan Kuliah Antrian 14-16
OR2 Teknik Industri UAD
Penambahan channel berarti:
1. Penambahan tenaga kerja
2. Penambahan satu alat baru (agar membentuk seperti conveyor)
3. Terjadi pengurangan waktu tunggu
Ketiga hal tersebut mempengaruhi biaya-biaya antrian sehingga biaya total untuk
sistem baru ini adalah:
1. Biaya menunggu:
= ($ 10/jam) . (0,144jam/hari) . (10 mobil)
= $ 14,40
2. Biaya pelayanan:
Jika 1 pekerja = $ 80/hari
Jika 2 pekerja = 2 . $ 80/hari
= $ 160/hari
3. Biaya pengadaan alat:
Untuk membeli 1 rangkaian alat = $ 100/hari
Karena membeli 2 buah, memperoleh potongan harga = $ 150/hari
Sehingga Total Biaya:
= $ 14,40 + $ 160 + $ 150
= $ 324,40
Ringkasan dari ketiga alternatif:
Single Channel
(m = 12)
Single Channel
(m = 15)
Multiple Channel
(s = 2, m = 12)
Po
0,166
0,333
0,142
Lq
4,17 mobil
1,33 mobil
0,175 mobil
L
5 mobil
2 mobil
1,01 mobil
Wq
3,33 jam
1,067 jam
0,144 jam
W
8 jam
1,4 jam
0,808 jam
Biaya menunggu
333,33
106,70
14,40
Biaya pelayanan
80
80
160
Biaya pengadaan
-
100
150
Total Biaya
413,33
286,70
324,40
Cost
Bahan Kuliah Antrian 15-16
OR2 Teknik Industri UAD
Soal
1. Sebuah transportasi sungai, rata-rata kedatangan sesuai dengan distribusi Poisson
yaitu 3 buah/jam. Alat tersebut bergerak kemudian kembali lagi rata-ratanya 15
menit.
2. Kedatangan truk disebuah suupermarket sesuai dengan distribusi Poisson, yaitu 4
truk/jam. Pekerja membongkar muat truk tersebut rata-ratanya 6 truk/jam
(sesuai dengan distribusi Eksponensial). Manajer supermarket tersebut berpikiran
untuk menambah satu orang pekerja lagi untuk mempercepat bongkar muat truk,
dengan harapan ada 12 truk/jam yang bisa dilayani. Biaya tenaga kerja/jam
untuk tiap pekerja adalah $ 10. Biaya menunggu bagi truk adalah $ 20/jam.
3. Apa yang harus dilakukan jika asumsi-asumsi yang digunakan dalam model
antrian tidak memenuhi ?
Bahan Kuliah Antrian 16-16
ANTRIAN
Sistem ekonomi dan dunia usaha (bisnis) sebagian besar beroperasi dengan
sumber daya
yang relatif terbatas. Sering terjadi orang-orang, barang-barang,
komponen-komponen atau kertas kerja harus menunggu untuk mendapatkan jasa
pelayanan. Garis-garis tunggu ini sering disebut dengan antrian (queues),
berkembang karena fasilitas pelayanan (server) adalah relatif mahal untuk memenuhi
permintaan pelayanan dan sangat terbatas. Jadi dapat dirumuskan suatu antrian ialah
suatu garis tuggu dari nasabah (satuan) yang memerlukan layanan dari satu atau lebih
pelayan (fasilitas pelayanan). Studi matematikal dari kejadian atau gejala garis
tunggu ini disebut teori antrian.
Dalam kehidupan sehari-hari, kejadian ini sering kita temukan, seperti dereta
mobil yang berhenti karena traffic light, antrian permitaan telepon pada suatu
switchboard, penonton pada gedung teater yang box office atau pada restoran
menunggu pesanan. Contoh lebih lnjut meliputi antrian pesawat-pesawat di lapangan
udara, kedatangan kapal disuatu pelabuhan, truk-truk yang menunggu muatan,
peralatan-perlatan yang menunggu diservis dan kedatangan pesanan pada gudang.
Teori antrian diciptakan dalam tahun 1909 oleh ahli matematik dan insinyru
berkebangsaan Denmark yang bernama A.K. Erlang. Dia mengembangkan model
antrian adalah untuk menentukan jumlah yang optimal dari fasilitas telephone
switching yang digunakan untuk melayani permintaan yang ada.
Contoh penggunaan teori antrian dalm kehidupan sehari-hari:
Situasi
Arrival/Demand
Servers
Service mechanism
Ruang praktek dokter
Pasien
Dokter dan suster
Perawatan kesehatan
Loket karcis theater
Penonton
Penjual karcis
Menjual tiket
Traffic Light
Mobil
Lampu
Pelabuhan
Kapal
Pekerja di kapal
Bongkar muat
Garasi/bengkel
Mobil
Mechanic
Memperbaiki mobil
Warung makan
Orang lapar
Pelayan
Memasakdan menyajikan
Airport
pesawat
Penjaga lapangan
Lalu lalang pesawat
traffic Lalu lalang
Bahan Kuliah Antrian 1-16
OR2 Teknik Industri UAD
KONSEP-KONSEP DASAR TEORI ANTRIAN
Tujuan
Tujuan dasar model-model antrian adalah untuk meminimumkan total dua
biaya, yaitu biaya languing penyediaan fasilitas pelayanan dan biaya tidak langsung
yang timbul karena para individu harus menunggu untuk dilayani. Bila suatu sistem
mempunyai fasilitas pelayanan lebih dari jumlah optimal, ini berarti membutuhkan
investasi modal yang berlebihan, tetapi bila jumlahnya kurang dari optimal hasilnya
adalah tertundanya pelayanan. Model antrian yang akan dibahas merupakan peralatan
penting untuk sistem pengelolaan yang menguntungkan dengan menghilangkan
antrian.
Input/Pelanggan
Sumber masukan dari suatu sistem antrian dapat terditi atas suatu populasi
orang, barang, komponen atau kertas kerja yang datang pada sistem unruk dilayani.
Bila populasi relatif besar sering dianggap bahwa hal itu merupakan besaran yang
tidak terbatas. Suatu populasi dinyatakan “besar” bila populasi tersebut besar
dibanding dengan kapasitas sistem pelayanan. Sebagai contoh, suatu masyarakat kecil
yang terdiri dari 10.000 orangmungkin akan menjadi suatu populasi yang tak terbatas
bagi sebuah pengecer tetapi mungkin tidak cukup besar bagi 100 shopping center
yang ada.
Pola Kedatangan untuk Sistem
Cara dengan mana individu-individu dari populasi memasuki sistem disebut
pola kedatangan (arrival patern). Individu-individu mungkin datang dengan tingkat
kedatangan (arrival rate) yang konstan ataupun acak/random yaitu berapa banyak
individu-individu per periode waktu. Tingkat kedatangan produk-produk yang
bergerak sepanjang lini perakitan produksi massa mungkin konstan, sedang tingkat
kedatangan telephon calls sangat sering mengikuti suatu distribusi probabilitas
Poisson.
Distribusi Probabilitas Poisson adalah salah satu dari pola-pola kedatangan
yang paling sering (umum) bila kedatangan-kedatangan didistribusikan secara
random. Hal ini terjadi karena distribusi poisson menggambarkan jumlah kedatangan
per unit waktu bila sejumlah besar variabel-variabel random mempengaruhi tingkat
kedatangan.
Bahan Kuliah Antrian 2-16
OR2 Teknik Industri UAD
Bila kedatangan individu individu mengikti suatu distribusi poisson, maka
waktu antar kedatangan atau interarrival time (waktu antara kedatangan setiap
individu) adalah random dan mengikuti suatu distribusi eksponensial (exponensial
distribution).
Bila individu-individu (komponen, produk, kertas kerja atau karyawan)
memasuki suatu siste, mereka mungkin memperagakan perilaku yang berbeda. Bila
individu tersebut adalah orang, dan antrian relatif panjang, dia mungkin
meninggalkan sistem. Perilaku seperti ini disebut penolakan (balking). Penolakan
akan sering terjadi bila kepanjangan antrian kelewat panjang.
Variasi yang mungkin lainnya dalam pola kedatangan adalah kedatangan dari
kelompok–kelompok individu. Bila lebih dari satu individu memasuki suatu sistem
seketika secara bersamaan, maka terjadi dengan apa yang tersebut bulk arrivals.
Fungsinya:
Komponen utamanya:
1. The arrival/input sistem
Total cost
2. Antrian tiu sendiri
Service cost
Waiting cost
3. Fasilitas pelayanan
input
pelanggan
antrian
Fasi
litas
Pelanggan yang
terlayani
Sistem antrian
Kepanjangan Antrian
Banyak sistem antrian dapat menampung
jumlah individu-individu yang
relatif besar, tetapi ada beberapa sistem yang mempunyai kapasitas yang terbatas.
Bila kapasitasantrian menjadi faktor pembatas besarnya jumlah individu yang dapat
dilayani dalam sistem secara nyata, berarti sistem mempunyai kepanjangan antrian
yang terbatas (finite), dan model antrian terbatas harus digunakan untuk menganalisa
sistem tersebut. Sebagai contoh sistem yang mungkin mempunyai antrian yang
terbatas adalah jumlah tempat psrkir atau station pelayanan atau jumlah tempat tidur
di rumah sakit. Secara umum model antrian terbatas lebih kompleks daripada sistem
antrian tak terbatas (infinite).
Disiplin Antrian
Disiplin antrian menunjukkan pedoman keputusan yang digunakan untuk
menyeleksi individu-individu yang memasuki antrian untuk dilayani terlebih dahulu
(prioritas). Ada 4 bentuk disiplin pelayanan yang biasa digunakan dalam praktek,
yaitu:
Bahan Kuliah Antrian 3-16
OR2 Teknik Industri UAD
a. FCFS (First-come First-serviced) atau FIFO (First-in First-out) artinya lebih dulu
datang atau sampai lebih dulu dilayani. Misalnya antri beli tiket bioskop.
b. LCFS (Last-come First-served) atau LIFO (Last-in First-out) aritnya yang tiba
terakhir yang lebih dahulu keluar. Misalnya sistem antrian dalam elevator (lift)
untuk lantai yang sama.
c. SIRO (Service in random order) artinya, panggilan didasarkan pada peluang
secara random, tidak soal siapa yang lebih dulu datang.
d. Prioritas, artinya prioritas pelayanan diberikan kepada mereka yang mempunyai
prioritas lebih tinggi dibandingkan mereka yang mempunyai prioritas lebih
rendah, meskipun yang terakhir ini kemungkinan sudah lebih dahulu tiba dalam
garis tunggu. Misalnya seseorang yang keadaan penyakitnya lebih parah
dibanding dengan orang lain dalam suatu tempat praktek dokter.
Tingkat Pelayanan
Waktu yang digunakan untuk melayani individu-individu dalam suatu sistem
disebut waktu pelayanan (service time). Waktu ini mungkin konstan, tetapi juga
sering acak (random). Bila waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial atau
distribusi acak, waktu pelayanan (yaiut unit/jam) akan mengikuti suatu distribusi
Poisson.
Keluar (Exit)
Sesudah seseorang (individu) telah selesai dilayani, dia keluar (exit) dari
sistem. Sesudah keluar, dia mungkin bergabung pada satu diantara kategori populasi.
Dia mungkin bergabung dengan populasi asal dan mempunyai probabilitas yang sama
untuk memasuki sistem kembali, atau dia mungkin bergabung dengan populasi lain
yang mempunyai probabilitas lebih kecil dalam hal kebutuhan pelayanan tersebut
kembali.
Ringkasan Karakteristik-karakteristik Penting Sistem Antrian
Berikut ini daftar karakteristik-karakteristik utama sistem antrian dengan
asumsi-asumsi yang paling umum:
Karakteristik-karakteristik Antrian
Asumsi-asumsi Umum
Sumber populasi
Tak terbatas atau terbatas
Pola kedatangan
Tingkat kedatangan Poisson
(waktu kedatangan eksponensial)
Kepanjangan antrian
Tak tebatas atau terbatas
Disiplin antrian
First-come First-served
Bahan Kuliah Antrian 4-16
OR2 Teknik Industri UAD
Karakteristik-karakteristik Antrian
Pola pelayanan
Asumsi-asumsi Umum
Tingkat pelayanan Poisson
(waktu pelayanan eksponensial)
Keluar
Langsung kembali ke populasi
SISTEM DAN STRUKTUR ANTRIAN
Banyak perbedaan sistem-sistem dan struktur-struktur antrian yang terdapat
dalam masyarakat yang semakin kompleks. Perbedaan-perbedaan dalam jumlah
antrian, fasilitas pelayanan dan hubungan-hubungan ysng terjadi dapat menghasilkan
bentuk/susunan yang bervariasi tidak terbatas.
Sistem-sistem Antrian
Pada umumnya, sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi sistem yang
berbeda-beda di mana teori antrian dan simulasi sering diterapkan secara
luas.
Klasifikasi menurut Hillier dan Lieberman adalah sebagai berikut:
1. Sistem pelayanan komersial.
2. Sistem pelayanan bisnis-industri.
3. Sistem pelayanan transportasi.
4. Sistem pelayanan sosial.
Sistem-sistem pelayanan sosial merupakan sistem-sistem pelayana yang
dikelola oleh kantor-kantor dan jawatan-jawatan lokal maupun nasional seperti kantor
tenaga kerja, kantor registrasi SIM dan STNK, kantor pos, rumah sakit, puskemas,
dan lain-lainnya.
Sistem pelayanan komersial merupakan aplikasi yang sangat luas dari modelmodel antrian seperti restoran, cafetaria, toko-toko, salon, supermarket dan lain-lain.
Sistem pelayanan bisnis-industri mencakup lini produksi, sistem materialhandling, sistem penggudangan dan sistem-sistem informasi komputer.
Struktur-strukutr Antrian
Atas dasar sifat proses pelayanannya, dapat diklasifikasikan fasilitas-fasilitas
pelayanan dalam susunan saluran atau channel (single atau multiple) dan phase
(single atau multiple)yang akan mebentuk suatu struktur antrian yang berbeda-beda.
Istilah saluran atau channel menunjukan juumlah jalur (tempat) untuk
memasuki sistem pelayanan, yang juga menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan.
Istilah phase berarti jumlah stasiun-stasiun pelayanan, di mana para langganan harus
melaluinya sebelum pelayanan dinyatakan lengkap. Ada 4 model struktur antrian
dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian:
Bahan Kuliah Antrian 5-16
OR2 Teknik Industri UAD
1. Single Channel-Single Phase
Sistem ini adalah sistem yang paling sederhana. Single Channel berarti
bahwa hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau ada satu
fasilitas pelayanan. Single Phase menunjukkan bahwa hanya ada satu stasiun
pelayanan atau sekumpulan
tunggal operasi
yang dilaksanakan. Setelah
menerima pelayanan, individu-individu keluar dari sistem.
Contoh untuk model struktur ini adalah seorang tukang cukur, seorang
pelayan toko, pembelian tiket kereta api antar k ota kecil yang dilayani oleh satu
loket dan sebagainya.
2. Single Channel-Multiphase
Istilah multiphase menunjukkan ada dua atau
lebih
pelayanan yang
dilaksanakan secara berurutan (dalam phase-phase). Sebagai contoh lini produksi
massa, pencucian mobil, tukang cat mobil dan sebagainya.
Fasilitas pelayanan
input
Single channel, single-stage
Multiple channel, single-stage
input
Single channel, multiple stage
input
input
Multiple channel, multiple stage
3. Multichannel-Single Phase
Sistem multichannel-single phase terjadi (ada) kapan saja dua atau lebih
fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal. Sebagai contoh model ini adalah
pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket pelayanan, potong rambut
oleh beberapa tukang potong dan sebagainya.
4. Multichannel- Multiphase
Setiap sistem-sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada
setiap tahap, sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani pada suatu waktu.
Sebagai contoh herregisrtasi para mahasiswa di universitas, pelayanan kepada
Bahan Kuliah Antrian 6-16
OR2 Teknik Industri UAD
pasien di rumah sakit mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai
pembayaran. Pada umumnya, jaringan ini terlalu kompleksd umtuk dianalisa
dengan teori andrian, mungkin simulasi lebih sering digunakan untuk
menganalisa sistem ini .
Selain empat model struktur antrian diatas sering terjadi struktur campuran
(mixed arrangements) yang merupakan campuran dari dua atau lebih struktur antrian
diatas. Misal toko–toko dengan beberapaa dengan pelayan (multichannel) namun
pembayarannya hanya pada seorang kasir (single channel).
MODEL – MODEL ANTRIAN
Pengelompokan Model–model Antrian
Dalam pengelompokan model–model antrian yang berbeda-beada akan
digunakan suatu notasi yang disebut Kendall’s Notation. Notasi ini sering
dipergunakan karena beberapa alasan. Pertama karena notasi tersebut merupakan alat
yang efisien untuk mengidentifikasi tidak hanya model-model antrian, tetappi juga
asumsi–asumsi yang harus dipenuhi. Kedua hampir semua buku (literature) yang
membahas teori antrian menggunakan notasi ini. Contoh model adalah model
M/M/1/I/I. Tanda pertama notasi selalu menunjukkan distribusi tingkat kedatangan.
Dalam hal ini, M menunjukkan tingkat kedatangan mengikuti suatu distribusi
probalitas Poisson.
Tanda
kedua
menunjukkan
distribusi
tingkat
pelayanan.
Lagi,
M
menunjukkan bahwa tingkat pelayanan mengikuti distribusi probalitas Pisson. Tanda
ketiga menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem. Model diatas adalah
model yang mempunyai fasilitas pelayanan tunggal.
Tanda keempat dan kelima ditambahkan untuk memnunjukkan apakah
sumber populasi dan kepanjangan antrian tak terbatas (I) atau terbatas (F).model
diatas baik sumber populasi dan kepanjangan antrian adalah tak terbatas.
Dengan tanda–tanda tersebut ditunjukkan empat model yang berbeda yang
akan dirumuskan dan dipecahkan dalam bagian ini yaitu:
Model 1:
M/M/1/I/I
Model 2:
M/M/S/I/I
Model 3:
M/M/1/I/F
Model 4:
M/M/S/F/I
Walaupun tidak ditunjukkan dalam notasi ini, seluruh model menganggap bahwa
disiplin antrian adalah first come first served.
Bahan Kuliah Antrian 7-16
OR2 Teknik Industri UAD
Notasi-notasi yang digunakan dalam penyajian model-model antrian
Notasi
Penjelasan
Ukuran
l
1/l
m
1/m
s
N
Tingkat kedatangan rata-rata
Unit/jam
Waktu antar kedatangan rata-rata
Jam/unit
Tingkat pelayanan rata-rata
Unit/jam
Waktu pelayanan rata-rata
Jam/unit
Deviasi standar tingkat pelayanan
Unit/jam
Jumlah individu dalam sistem pada suatu waktu
Unit
Jumlah individu rata-rata dalam antrian
Unit
Jumlah individu dalam sistem total (antrian dan fasilitas pelayanan)
Unit
Waktu rata-rata dalam antrian
jam
Waktu rata-rata dalam sistem total
Jam
Jumlah fasilitas pelayanan (channels)
Unit pelayanan
Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan
Ratio
nq
nt
tq
tt
S
P
Q
Pn
Po
Pw
cs
cw
Kepanjangan maksimum sistem (antrian dan ruang pelayanan)
Unit
Probabilitas jumlah n individu dalam sistem
Frekuensi relatif
Probabilitas tidak ada individu dalam sistem
Frekuensi relatif
Probabilitas menunggu dalam antrian
Frekuensi relatif
Biaya pelayanan per satuan waktu per fasilitas pelayanan
Rp/jam/server
Biaya untuk menunggu per satuan waktu per individu
Rp/jam/unit
ct
Biaya total = S cs +
Rp/jam
nt
cw
Model 1 M/M/1/I/I :
a. Banyaknya kedatangan ® Disribusi Poisson
b. Waktu antara kedatangan ® Ditribusi Eksponensial
Distribusi Poisson:
å
Distribusi Eksponensial:
e (λ T)
kedatangan (Px) =
- λT
λ
x!
mean = 1/l
x! = (x) (x-1) (x-2)...(3)(2)(1)
mean = l
2. Perilaku pelanggan
Unsur-unsur dari model anrian
1. Probabilitas yang antri
2. Probabilitas yang ada dalam sistem (kedatangan)
Bahan Kuliah Antrian 8-16
OR2 Teknik Industri UAD
3. Rata-rata unit dalam antrian
4. Rata-rata unit dalam sistem
5. Waktu rata-rata tiap unit yang dihabiskan dalam antrian
6. Waktu rata-rata tiap unit yang dihabiskan dalam sistem
7. Persentase waktu atau probabilitas dari unit yang harus menunggu
Single Channel
Asumsi:
1. Kedatangan sesuai dengan distribusi poisson
2. Kedatangan dari infinit populasi
3. Kedatangan dilayani dengan sistem FCFS
4. Rata-rata kedatangan konstan
5. Waktu pelayanan sesuai dengan distribusi Eksponensial
6. Rata-rata pelayanan konstan
7. Rata-rata pelayanan > rata-rata kedatangan
l = mean kedatangan/jumlah kedatangan yang diharapkan
m = mean pelayanan/jumlah konsumen yang diharapkan terlayani
Model antrian:
1. Probabilitas tidak ada yang menunggu
Po = (1 - l/m)
2. probabilitas ada n unit yang menunggu
Pn = (l/m)n Po
3. Jumlah unit yang diharapkan dalam sistem
L = l/(m-l)
4. Jumlah unit yang diharapkan dalam antrian
Lq = l2/m (m-l) ® l/m · L (l/m-l)
= L-l/m
l2/m (m-l)
5. Waktu menunggu yang diharapkan dalam sistem
W = 1/m-l = L/l
6. Waktu menunggu yang diharapkan dalam antrian
Wq = l/m (m-l) = Lq/l = W-1/m
7. Probabilitas unit yang datang harus menunggu
Pw = l/m
Lq = L-l/m = l Wq
L = Lq+l/m = l W
Wq = W-1/m = Lq/l
Bahan Kuliah Antrian 9-16
OR2 Teknik Industri UAD
W = Wq+1/m = L/l
Kasus:
Perusahaan pencucian mobil mempunyai fasilitas mencucikan mobil dan membuat
mobil menjadi cemerlang . Rata-rata pelayanan 12 mobil/hari dengan jam hari
kerja 8 jam. Rata-rata kedatangan setiap harinya 10 mobil yang memerlukan
pelayanan.
Pemilik perusahaan
ingin memperbesar labanya dengan memperbaiki sistem
kerjanya. Diasumsi sistem sebagai single channel, single-stage.
l = 10 mobil/hari
m = 12 mobil/hari
Jumlah unit yang diharapkan masuk sistem
L=
λ
10
= 5 mobil
μ - λ 12 - 10
Jumlah unit yang diharapkan dalam antrian
Lq =
λ
2
μ(μ - λ)
-
100
= 4,17 mobil
12(12 - 10)
Waktu yang diharapkan dalam sistem
W=
1
1
1
= hari = 4 jam
μ - λ 12 - 10 2
Waktu tunggu yang diharapkan dalam atrian
Wq =
λ
μ(μ - λ)
-
10
5
hari (3,33 jam)
=
12(12 - 10) 12
Probabilitas kedatangan harus menunggu
Pw =
λ 10
=
= 0,833
μ 12
Probabilitas tidak ada antrian
æ λ ö æ 10 ö
Po = çç1 - ÷÷ = ç1 - ÷ = 0,167
è μ ø è 12 ø
Bahan Kuliah Antrian 10-16
OR2 Teknik Industri UAD
Probabilitas ada n unit antri
Pn = (l/m)n Po
= (10/12)n . 0,167
Pn = l/m . Po = (10/12)n . 0,167
N
1
0,139
2
0,116
3
0,096
4
0,080
5
0,067
Seandainya jumlah kedatangan tiap periode tidak tetap, bervariasi l = 5,7,9,10,11,
maka:
l
Po
L
Lq
W
Wq
5
0,583
0,71
0,30
1,143
0,476
7
0,417
1,4
0,80
1,6
0,933
9
0,250
3
2,25
2,667
2
10
0,166
5
4,17
4
3,333
11
0,083
11
10,08
8
7,333
Biaya langsung ® biaya menunggu
Biaya total
Biaya tidak langsung ® biaya pelayanan
Untuk kasus di atas, seandainya diketahui biaya menunggu adalah $ 10/jam, maka
biaya menunggu hariannya:
= $ 10 . 33,33 jam/hari
= $333,3
Biaya untuk penyediaan adalah $ 10/jam atau $ 80/hari. Sehingga Total Biaya
harian :
Biaya menunggu + Biaya pelayanan
$ 333,33 + $ 80,00 = $ 413,33
Melihat hal ini kemudian dilakukan perubahan sistem dengan sistem yang seperti
menggunakan conveyor, sehingga diharapkan waktu pelayanan lebih cepat. Untuk ini
dikeluarkan biaya sebesar $ 100/hari sebagai biaya pengadaan sistem yang baru.
Dengan sistem baru ini, rata-rata unit yang bisa dilayani adalah 15 mobil/hari.
l = 10 mobil/hari
Bahan Kuliah Antrian 11-16
OR2 Teknik Industri UAD
m = 15 mobil/hari
L =
λ
10
=
= 2 mobil
μ - λ 15 - 10
λ2
10 × 10
Lq =
=
= 1,33 mobil
μ(μ - λ) 15(15 - 10)
W =
1
1
1
=
=
hari = 1,6 jam
μ - λ 15 - 10 5
Wq =
λ
10
2
=
=
hari = 1,067 jam
μ(μ - λ) 15(15 - 10) 15
Pw =
λ 10
=
= 0,667
μ 15
æ λ ö æ 10 ö
Po = çç1 - ÷÷ = ç1 - ÷ = 0,333
è μ ø è 15 ø
n
æλö
Pn = çç ÷÷ × Po
èμø
n
Pn = (l/m)n . Po = (10/15)n (0,33)
1
0,222
2
0,148
3
0,099
4
0,066
5
0,044
l = 10
m = 15
biaya menunggu harian:
$ 10 ´ 10,67 jam = $106,70
Biaya pelayanan harian = $ 80
Biaya pengadaan sistem yang baru = $ 100
Total biaya = $ 106,70 + $ 80 + $ 100 = $ 286,70
Multiple Channel
Asumsi
= asumsi Single Channel
l
= rata-rata keedatangan
m
= rata-rata pelayanan
s
= jumlah channel
Po =
1
én =s -1
êå
ê n =0
ë
(λ/μ ) + (λ/μ )
n
n!
s
s!
ù
1
ú
1 - (λ/sμ) ú
û
Bahan Kuliah Antrian 12-16
OR2 Teknik Industri UAD
(λ/μ) n
× Po
jika n ≤ s
n!
(λ/μ) n
Pn =
× Po
jika n > s
s! s n -1
( λ/μ)s × ( λ/μs) × Po
Lq =
s![1 - λ/μs]2
L = Lq +
Wq =
λ
μ
Lq
λ
W = Wq +
r =
L
λ
=
μ
λ
λ
= faktor utilitas atrian
μs
s
sμ
1 æλö
Pw = × çç ÷÷ ×
× Po
s! è μ ø s μ - λ
Contoh soal:
Pada kasus perusahaan pencucian mobil (kasus sebelumnya) jika kemudian
pemiliknya memilih alternatif lain, yaitu dengan menambah channel yang ada,
sehingga dua buah mobil bisa terlayani secara bersamaan.
l = 10 mobil
m = 12 mobil
s
Po =
=
=
= 2 channel
1
é n =1 (10/12)
ù
(10/12) 2
1
+
êå
n!
2!
1 - (10/24) úû
ë n =0
n
1
ù
é (10/12)
(10/12) (10/12) 2
1
+
+
×
ê 0!
1!
2!
1 - (10/24) úû
ë
0
1
1
1
=
[1 + 0,833 + (0,347 ×1,714)] 2,428
= 0,412
Pn =
n
Pn
1
0,343
2
0,143
3
0,060
Bahan Kuliah Antrian 13-16
OR2 Teknik Industri UAD
4
0,025
5
0,010
(10/12) 2 × (10/(12 × 20)) ( 0,412)
Lq =
(2!) (1 - 10 / 24) 2
=
(125/432) (0,412)
(98/144)
= 0,175 mobil
L = Lq +
Wq =
λ
10
= 1,01 mobil
= 0,175 +
μ
12
0,175
= 0,018 hari
10
= 0,144 jam
W = 0,018 +
1
12
= 0,101 hari
= 0,808 jam
r =
10
10
= =0,417
12 × 2 24
2
1 æ 10 ö
2 × 12
Pw =
×ç ÷ ×
2! è 12 ø 2 × 12 - 10
= 0,245
Bahan Kuliah Antrian 14-16
OR2 Teknik Industri UAD
Penambahan channel berarti:
1. Penambahan tenaga kerja
2. Penambahan satu alat baru (agar membentuk seperti conveyor)
3. Terjadi pengurangan waktu tunggu
Ketiga hal tersebut mempengaruhi biaya-biaya antrian sehingga biaya total untuk
sistem baru ini adalah:
1. Biaya menunggu:
= ($ 10/jam) . (0,144jam/hari) . (10 mobil)
= $ 14,40
2. Biaya pelayanan:
Jika 1 pekerja = $ 80/hari
Jika 2 pekerja = 2 . $ 80/hari
= $ 160/hari
3. Biaya pengadaan alat:
Untuk membeli 1 rangkaian alat = $ 100/hari
Karena membeli 2 buah, memperoleh potongan harga = $ 150/hari
Sehingga Total Biaya:
= $ 14,40 + $ 160 + $ 150
= $ 324,40
Ringkasan dari ketiga alternatif:
Single Channel
(m = 12)
Single Channel
(m = 15)
Multiple Channel
(s = 2, m = 12)
Po
0,166
0,333
0,142
Lq
4,17 mobil
1,33 mobil
0,175 mobil
L
5 mobil
2 mobil
1,01 mobil
Wq
3,33 jam
1,067 jam
0,144 jam
W
8 jam
1,4 jam
0,808 jam
Biaya menunggu
333,33
106,70
14,40
Biaya pelayanan
80
80
160
Biaya pengadaan
-
100
150
Total Biaya
413,33
286,70
324,40
Cost
Bahan Kuliah Antrian 15-16
OR2 Teknik Industri UAD
Soal
1. Sebuah transportasi sungai, rata-rata kedatangan sesuai dengan distribusi Poisson
yaitu 3 buah/jam. Alat tersebut bergerak kemudian kembali lagi rata-ratanya 15
menit.
2. Kedatangan truk disebuah suupermarket sesuai dengan distribusi Poisson, yaitu 4
truk/jam. Pekerja membongkar muat truk tersebut rata-ratanya 6 truk/jam
(sesuai dengan distribusi Eksponensial). Manajer supermarket tersebut berpikiran
untuk menambah satu orang pekerja lagi untuk mempercepat bongkar muat truk,
dengan harapan ada 12 truk/jam yang bisa dilayani. Biaya tenaga kerja/jam
untuk tiap pekerja adalah $ 10. Biaya menunggu bagi truk adalah $ 20/jam.
3. Apa yang harus dilakukan jika asumsi-asumsi yang digunakan dalam model
antrian tidak memenuhi ?
Bahan Kuliah Antrian 16-16