1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

Solusi Pengayaan Matematika
Edisi 10
Maret Pekan Ke-2, 2006
Nomor Soal: 91-100

91.

1

 x  y  11

Diberikan sistem persamaan 
. Tentukan nilai dari
xy
 x 2 y 2 ( x  y ) 2  61x 2 y 2  1

1 1
 .
x y

Solusi:

1
 x  y  11
xy
1  xy( x  y )  11xy
xy( x  y )  11xy  1

x 2 y 2 ( x  y)2  121x 2 y 2  22xy  1
61x 2 y 2  1  121x 2 y 2  22xy  1
60x 2 y 2  22xy  2  0
30x 2 y 2  11xy  1  0
(6 xy  1)(5 xy  1)  0
1
1
atau xy 
5
6
1
1
xy    x  y  11
6

xy
xy 

6  x  y  11
x y 5

xy 

1
1
  x  y  11
5
xy
5  x  y  11
x y6

1 
 1 1 x y 5
  30
6   

1
x y
xy
x  y  5

6
xy 

1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

1 
 1 1 x y 6
  30
5   
1
x y
xy
x  y  6

5

1 1
Jadi, nilai dari  adalah 30.
x y
xy 

92.

Diberikan a, b, c, dan d adalah bilangan-bilangan real sedemikian sehingga

 a 2  b2  1
 2
2
 c  d  1 . Buktikan bahwa ab  cd  0 .
ac  bd  0

Solusi:
ac  bd  0
ac  bd
a
d


b
c
a
d
Misalnya    k , maka a  bk dan d  ck .
b
c
a  bk  a 2  b2  1

(bk )2  b 2  1

b2 (k 2  1)  1
b2 

1
…. (1)
k 1
2

d  ck  c 2  d 2  1

c 2  (ck )2  1

c 2 (k 2  1)  1
c2 

1
…. (2)
k 1
2

Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh: b2  c 2
a  bk 

d  ck   ab  cd  (bk )b  c(ck )  b 2  c 2 k  (0)k  0 (qed)
b2  c2 




93.



Diberikan x, y, dan z adalah bilangan-bilangan positif yang memenuhi sistem
 x  y  13

persamaan  y 2  z 2  yz  25
 x 2  z 2  xz  144

Tentukanlah nilai z.

2 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

Solusi:
x  y  13  x  13  y
2

z  3z 2


y 2  z 2  yz  25   y   
 25 …. (1)
2
4

x  13  y  x 2  z 2  xz  144

13  y 2  z 2  (13  y) z  144
2


3z 2
z 

13

y



 144 …. (2)



2 
4


Dengan mengurangkan persamaan (1) dari (2), maka kita memperoleh:
2

2


z  
z

13   y  2    y  2   119
 





z 
z  
z 
z 


13   y  2    y  2  13   y  2    y  2   119

 
 

 



z 


1313  2 y    119
2




z  119

13  2 y   
2  13

y

z
1  119

 
 13
2
2  13


y

z 25

2 13

y

z 25
z  3z 2

  y  
 25
2 13
2
4


2

2

2
 25  3z
 25
  
4
 13 

625
3z 2
 25 
169
4
z2 

z

94.

4  3600 


3  169 

40
3
13

a 2  2bc  a

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan b 2  2ca  b .
c 2  2ab  c


3 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

Solusi:

a 2  2bc  a  a3  2abc  a 2 …. (1)
b2  2ca  b  b3  2abc  b2 …. (2)
c 2  2ab  c  c3  2abc  c2 …. (3)
Dari (1) – (2) diperololeh: a3  b3  a 2  b2


(a  b)a



(a  b) a 2  ab  b2  (a  b)(a  b)  0
2



 ab  b2  a  b  0

a  b  0 atau a 2  ab  b2  a  b  0
a  b atau a 2  ab  b2  a  b  0

Dari (1) – (3) diperololeh: a3  c3  a 2  c2


(a  c)a



(a  c) a 2  ac  c 2  (a  c)(a  c)  0
2



 ac  c 2  a  c  0

a  c  0 atau a 2  ac  c 2  a  c  0

a  c atau a 2  ac  c2  a  c  0
Dari uraian di atas, kita memperoleh a  b  c .
a 2  2bc  a
a2  2a 2  a
3a 2  a  0
a(3a  1)  0
a  0 atau 3a  1  0

a  0 (ditolak) atau a 

abc

95.

1
(diterima)
3

1
3

 1 1 1 
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  , ,  .
 3 3 3 
Tentukanlah
nilai
x,
y,
dan
z
dari
sistem
persamaan
 x( x  y )  z ( x  y )  a .... (1)

 y ( y  z )  x( y  z )  b .... (2) dengan a, b, dan c adalah bilangan bulat positif.
 z ( z  x)  y ( z  x)  c .... (3)


Solusi:
Hasil dari penjumlah persamaan (1) dan (2) adalah

x 2  2 xy  y 2  a  b

x  y  a  b …. (4)
4 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

Hasil dari penjumlahan persamaan (1) dan (3) adalah

y 2  2 yz  z 2  b  c

y  z  b  c …. (5)
Hasil dari penjumlahan persamaan (2) dan (3) adalah

x2  2 xz  z 2  a  c
x  z  a  c …. (6)
Hasil dari penjumlahan persamaan (4), (5), dan (6) adalah

2( x  y  z )  a  b  b  c  a  c
ab  bc  ac
…. (7)
2
Dari persamaan (4) dan (7) kita memperoleh:

x yz 

ab  z 

ab  bc  ac
2

 ab  bc  ac
2
Dari persamaan (5) dan (7) kita memperoleh:
z

x bc 

ab  bc  ac
2

ab  bc  ac
2
Dari persamaan (5) dan (7) kita memperoleh:
x

y ac 
y
96.

ab  bc  ac
2

ab  bc  ac
2

Tentukan

pasangan

 x, y , z 

yang

memenuhi

 x 1  y 1  z 1  9


xy  121


yz  81



Solusi:
xy  yz  81 121

xy 2 z 

1
96

x 1  y 1  z 1  9

5 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

sistem

persamaan

1 1 1
  9
x y z
yz  xz  xy
9
xyz
81  xz  121  9 xyz

1
1
1
1


 9
2
8 96 y
12
96 y
20
1
9


2
96 96 y
96 y
20 y 2  9 y  1  0

 4 y  1 5 y  1  0
y

1
1
y
4
5

1
12
1
1
1
1
1
5
x

 x


12 y 12  1 3
12 y 12  1 12
4
5
xy 

yz 
z

1
8

1
1
1
1
1
5

 z


8y 8 1 2
8y 8 1 8
4
5
1 1 1

 5 1 5

Jadi, pasangan  x, y, z  adalah  , ,  dan  , ,  .
3 4 2
 12 5 8 
97.

 xy  yz  5

Tentukan pasangan  x, y, z  yang memenuhi sistem persamaan  yz  xz  9
 xy  xz  8


Solusi:
 xy  yz  5....(1)

 yz  xz  9....(2)
 xy  xz  8....(3)


Jumlahkan ketiga persamaan tersebut sehingga diperoleh:
2 xy  2 yz  2 xz  22
xy  yz  xz  11 .... (4)

Dari persamaan (1) dan (4) diperoleh
xz  6....(5)

Dari persamaan (2) dan (4) diperoleh
6 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

xy  2....(6)

Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh
yz  3....(7)

Perkalian persamaan (5), (6), dan (7) adalah

 xyz 2  36
xyz  6
xyz  6 ....(8) atau xyz  6 ....(9)

Dari persamaan (8) dan (5) diperoleh y  1
Dari persamaan (8) dan (6) diperoleh z  3
Dari persamaan (8) dan (7) diperoleh x  2
Dari persamaan (9) dan (5) diperoleh y  1
Dari persamaan (9) dan (6) diperoleh z  3
Dari persamaan (9) dan (7) diperoleh x  2
Jadi, pasangan  x, y, z  adalah  2,1,3 dan  2, 1, 3 .
98.

Rata-rata aritmetika dari dua bilangan adalah 15 dan rata-rata geometrinya
adalah 12. Tentukan bilangan tersebut.
Solusi:
Misalnya bilangan tersebut adalah x dan y.
Rata-rata aritmetika

x y
 15
2

y  30  x .... (1)

Rata-rata gemetri

xy  12

xy  144 .... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
x  30  x   144

x 2  30 x  144  0

 x  24  x  6   0
x  24  x  6
y  6  y  24

99.

Jadi, bilangan-bilangan tersebut adalah 24 dan 6.
Jika bilangan dua angka dibagi dengan hasil kali angka-angkanya
menghasilkan 2 dan sisanya 5. Jika angka-angkanya dibalik dan bilangan ini
dibagi dengan jumlah angka-angkanya maka hasilnya 7 dan sisanya 3.
Tentukan bilangan tersebut.
Solusi:
Misalnya bilangan dua angka tersebut adalah xy.

7 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

10 x  y
5
 2
xy
x y
10x  y  2xy  5 .... (1)

10 y  x
3
 7
x y
x y
10 y  x  7  x  y   3

3 y  6x  3

y  2x  1 .... (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh
10 x  2 x  1  2 x  2 x  1  5

12 x  1  4 x 2  2 x  5
4 x 2  10 x  4  0
2 x2  5x  2  0

 x  2  2 x  1  0
x  2(diterima) atau x 

1
(ditolak)
2

x  2  y  2  2 1  5

Jadi, bilangan dua angka tersebut adalah 25.
100. Tentukan bilangan dua angka yang jika dibagi dengan jumlah angkaangkanya menghasilkan 5 dan sisanya 9, sedangkan jika dibagi dengan hasil
kali angka-angkanya menghasilkan 1 dan sisanya 18.
Solusi:
Misalnya bilangan dua angka tersebut adalah xy.
10 x  y
9
 5
x y
x y
10 x  y  5( x  y )  9

5x  4 y  9
5x  9
.... (1)
4
10 x  y
18
 1
xy
xy
y

10 x  y  xy  18 .... (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh
10 x 

5x  9
 5x  9 
 x
  18
4
 4 

40 x  5 x  9  5 x 2  9 x  72
5 x 2  54 x  81  0

8 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

 x  9  5 x  9   0
x  9(diterima) atau x 

x9 y

9
(ditolak)
5

59  9
9
4

Jadi, bilangan dua angka tersebut adalah 99.

9 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006