Makalah matematika (2) Makalah matematika (2) Makalah matematika (2)
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemukan persoalan yang apabila kita telusuri
ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam persamaan matematika
maka persoalan tersebut akan lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering
kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan
untuk mencari hubungan antara variabelnya. Bahkan dinegara maju sering ditemukan model
ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel
yang nilainya harus ditentukan.
Matriks pada dasarnya merupakan suatu alat yang cukup untuk memecahkan persoalan
tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang
mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya matrik ditemukan
untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linear, awal dari semua inilah matrik dianggap
sebagai sebuah permainan karena matrik dapat diaplikasikan, sedangkan studi selanjutnya ,
matrik digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matrik digunakan dalam
berbagai bidang seperti matematika.
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas permasalahannya sebagai berikut :
1. Apa pengertian atau definisi matrik serta pengertian determinan dan invers matriks ?
2. Apa saja jenis matriks ?
3. Bagaimana menyelesaikan masalah pada matriks ?
1.3
Tujuan Pembahasan
Berdasarkan uraian di atas kami menemukan permasalahan sebagai berikut:
1. Menjelaskan tentang pengertian dan definisi matriks serta pengertian determinan dan
invers matriks
2. Menjelaskan tentang jenis-jenis operasi matriks
3. Menjelaskan masalah pada matriks.
BAB II
ISI
A. PENGERTIAN, NOTASI DAN ORDO MATRIKS
Penegertian matriks dan notasi matriks
a. Beberapa pengertian tentang matriks :
1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau
dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang.
3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun dalam
bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.
Contoh matriks :
2
-5
3
2
4
1
2
3 4
2
1
1
0
1
2
3
a) Bilangan – bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks dinamakan unsure – unsure atau
elemen matriks. Baris sebuah matriks adalah susunan elemen – elemen yang mendatar
dalam matriks tersebut. Kolom sebuah matriks adalah susunan elemen – elemen yang
tegak dalam matriks tersebut.
b) Matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar dan elemenya dinyatakan dengan huruf
kecil. Jika A adalah sebuah matriks maka aij menyatakan elemen yang terdapat pada baris
ke-I dan kolom ke- j dari A dengan i=1, 2, 3,…..m dan j=1, 2, 3,……., n yang berarti
bahwa banyaknya baris m dan banyaknya kolom n.
Contoh :
A=
-1
-3
2
12
B=
-3
-4
C=
2 3 12 -1
Ukuran matriks
Jumlah baris
Jumlah kolom
2x2
2
2
2x1
2
1
1x4
1
4
Ordo matriks
a) Ordo suatu matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom yang terdapat dalam suatu
matriks. Jika matriks A mempunyai m baris dan n kolom maka ordo matriks A adalah m x
n dan ditulis Amxn.
Contoh : A= Banyaknya baris 2, banyaknya kolom 3. Jadi matriks A berordo 2 x 3, ditulis
A 2x3.
3 2 1
5 2 1
Banyaknya elemen suatu matriks sama dengan hasil kali banyak baris
dengan banyak kolom dari matriks yang bersangkutan. Banyaknya
elemen matriks A diatas adalah
2x3=6
Jika banyak elemen pada baris sama dngan banyak elemen pada kolom (baris =
kolom = n) maka matriks tersebut berordo n.
Pengertian beberapa matriks khusus
Matriks Persegi, Matriks Baris, Matriks Kolom, dan Matriks Diagonal
Matriks Persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya
kolom
Matriks Baris adalah matriks yang mempunyai satu baris atau berordo (mx1)
Matriks Kolom adalah matriks yang mempunyai satu kolom atau berordo (1xn)
Sedangkan matriks diagonal adalah matriks persegi dengan syarat :
a) Setiap elemen pada diagonal utama tidak semuanya nol.
b) Setiap elemen yang tiidak terletak pada diagonal utama adalah nol.
Contoh :
A=
( )
1 1 4
5 7 9
8 6 3
Keterangan:
() ( )
3
5
1
; B = (2 5 6 ) ; C =
;D=
5 0 0
0 9 0
0 0 4
A adalah matriks persegi
B adalah matriks baris
C adalah matriks kolom
D adalah matriks diagonal
Transpose suatu matriks
Transpose matriks A, ditulis A
t
adalah matriks yang elemen-elemennya diperoleh
dari elemen-elemen matriks A dengan mengubah elemen pada baris ke-m dan kolom
ke-n matriks A menjadi elemen pada baris ke-n dan kolom ke-m matriks A
t
.
Contoh :
A=
( )
1 2 5
4 4 6
5 7 5
( )
1 4 5
A=2 4 7
5 6 5
t
Kesamaan dua matriks
Dua matriks A dan B disebut sama, ditulis A = B, apabila memenuhi syarat :
a. berordo sama
b. elemen-elemen yang setelah sama artinya : (aij) = (bij)
B. PENJUMLAHAN MATRIK DAN PENGURANGAN MATRIK
1. Penjumlahan matriks dan syaratnya
Matriks A dan matriks B dapat dijumlahkan apabila dua matriks tersebut
seordo. Jumlah matriks A dan B ditulis A + B, adalah matriks C yang elemenelemennya diperoleh dari jumlah elemen- elemen matriks A dan matriks B yang
bersesuaian letak.
Amxn + Bmxn = Cmxn
2. Matriks Nol
cij = aij + bij
Matriks nol, disajikan dengan nol(0), adalah matriks yang semua elemennya
adalah nol(0)
3. Lawan Suatu Matriks
Matriks A dan B saling berlawanan, ditulis A = -B atau B = -A, apabila ordonya sama
dan setiap elemen yang seletak berlawanan.
4. Pengirangan Matriks
Dua buah matriks dapat dikurangkan apabila seordo. Selisih dua buah matriks A dan
B ditulis A – Badalah jumlah dari A dan –B jadi A – B = A + (-B)
5. Sifat Penjumlahan Matriks
Untuk matriks-matriks yang seordo berlaku :
a. A+B = B + A
d. A + (-A) = -A + A = 0
b. (A + B) + C = A + (B + C)
e. (A + B)’ = A’ + B’
c. A + 0 = 0 + A
6. Sifat Pengurangan Matriks
Untuk matriks-matriks yang seordo berlaku :
a. A – A = 0
b. A – 0 = A
c. (A – B)’ = A’ + B ‘
C. PERKALIAN BILANGAN RREAL(SKALAR) DENGAN MATRIKS
Jika k є R dan A adalah suatu matriks, maka kA adalah matriks yang setiap elemennya
diperoleh dengan mengalikan setiap elemen pada matriks A dengan k.
Sifat – sifat :
1. (k + l)A = kA + lA
6.(-1)A = -A
2. (k – l)A = kA – lA
7. 0A = 0
3. k(A + B) = kA + kB
8. k0 = 0
4. k(A – B) = kA – kB
9. (kl)A = k(lA)
5. 1A = A
D. PERKALIAN MATRIKS
1. Definisi
a. Amxp Bpxn = Cmxn
(dua buah matriks dapat dikalikan apabila banyaknya kolom pada matriks sebelah
kiri sama dengan banyaknya baris pada matriks sebelah kanan).
b. Jika A =
AB =
(
(
a 11 a12
a21 a22
. .. . .. ..
a m1 am 2
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
a1 p
a2 p
. .. .
amp
)
dan B = =
a 11 b11+ a12 b21 +.. .+a1 p b p1
a21 b11 +a 22 b 21+. ..+a2 p b p 1
. .. .
a m1 b11 +a m 2 b21 +.. .+amp b p 1
(
b 11 b12
b21 b22
. .. . .. ..
b m1 bm 2
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
b1 n
b2 n
. .. .
b pn
)
.. . .
a11 b1 n +a 12 b2 n +. ..+a1 p b pn
.. . .. a11 b1 n +a 12 b2 n +. ..+a1 p b pn
.. . . . .. .
.. . . am 1 b1 n +a m 2 b2 n +. ..+amp b pn
)
2. Matriks Satuan
Matrikd satuan dilambangkan dengan I, yaitu matriks persegi yang mempunyai sifat :
a. setiap elemen pada diagonal utama adalah 1
b. setiap elemen kecuali pada diagonal utama adalah 0
3. Perpangkatan Matriks
Aⁿ = AAA…A sebanyak n kali.
4. Sifat-sifat Perkalian Matriks
Untuk setiap matriks A, B dan Cyang dapat dijumlah/dikalikan dipenuhi :
a. pada umunya AB≠BA
b. (AB)C = A(BC)
c. A(B+C) = AB + AC
d. (B + C)A = BA + CA
e. K(AB) = (kA) = A(kB)
E. INVERS MATRIKS
1. Definisi
matriks A disebut invers(kebalikan) dari B apabila berlaku AB = BA = I, dimana I
adalah matriks satuan
2. Invers Matriks Berordo 2x2
Jika A =
1
a b
d −b
,makaA −1=
c d
det A −c a
( )
(
)
dimana detA = determinan A= ad-bc.
A
Jika
−1
ada, maka A disebut matriks non singular atau detA ≠0
−1
Jika A
tidak ada, maka A disebut matriks singular atau detA
3. Syarat Kesingularan
Invers matriks A ada apabila detA ≠ 0
4. Menentukan Invers Matriks selain Ordo 2 x 2
Menentukan invers matriks berordo 3x3, dengan menggunakan Adjoint matriks jika A
−1
adalah matriks non singular berordo 3x3, maka invers dari A
adalah
adjA
A−1 =
, dengan|A|=det er min anmatriksA
|A|
Untuk dapat menggunakan adjoint matriks, kita sebelimnya harus memahami tentang
minor, dan kofaktor
a. Jika elemen-elemen pada baris ke-I dank e-j dari matriks A berordo 3x3 dihapuskan
maka didapat matriks baru berordo 2x2, dengan deteminannya disebut minor.
Misalkan matriks A berordo 3x3
A=
(
a11 a 12 a13
a 21 a 22 a23
a 31 a 32 a33
)
Minor-minor dari matriks A adalah :
b.
a a
|M 11|=| 22 23|
a32 a33
a a
|M 21|=| 12 13|
a32 a33
a a
|M 12|=| 21 23|
a31 a33
a a
|M 22|=| 11 13|
a31 a33
a a
|M 13|=| 21 22|
a31 a33
a a
|M 23|=| 11 12|
a31 a32
Kofaktor
Kofaktor dari baris ke-I dan kolom ke-j dinyatakan dengan Aij, yang ditentukan
dengan rumus :
Aij =
i+ j
(−1) |Mij|
c. adjoint
misalkan A = (aij) suatu matriks persegi berordo nxn dan Aij adalah kifaktor dari aij
x
y
maka: Adjoint A = Adj A
=
(
A11
A 12
. ..
A1 n
A 21
A 22
. ..
A 2n
...
...
...
...
An1
An2
.. .
A nn
)
d. Determinan Mtriks berordo 3x3
A=
(
a11 a 12 a13
a 21 a 22 a23
a 31 a 32 a33
detA=
)
|A|=a11 a 22 a33 +a 12 a23 a31 +a13 a21 a32−a 31 a22 a13−a 32 a23 a11 −a33 a21 a12
F. SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Sistem persamaan linear dengan dua variable
a11
a21
a12
a22
x
y
b1
b2
b3
Diberikan
sistem
persamaan linear dua
variable
(SPLDV)
sebagai berikut
A
X
B
SPLDV di atas dapat diselsaikan dengan car invers matriks, determinan (aturan
Cramer), dan metode operasi baris elementer.
1. Menyelsaikan SPLDV mnggunakan cara invers matriks.
2. Menyelsaikan SPLDV menggunakan determinan (Aturan Cramer)
Didefinisikan determinan utama (D), yaitu determinan dari koefisien-koefisien x
dan y.
D=
a11 a12
A21 a22
Didefinisikan determinan variable x (Dx), yaitu determinan yang diperoleh dengan
menggantikan koefisien-koefisien variable x dari determinan utama dengan
bilangan-bilangan di ruas kanan.
Dx= b1 a12
b2 a22
Didefinisikan determinan variabel y
b1
b2
(Dy), yaitu determinan yang
diperoleh dengan menggantikan koefisien-koefisien variabel y dari determinan
utama dengan bilangan-bilangan di ruas kanan.
Dy= a 11 b1
a 21 b2
Nilai x dan y ditentukan dengan rumus: x = Dx dan y =Dy.
D
D
Banyaknya penyelsaian suatu SPL dapat dilihat dari nilai-nilai determinannya.
1) Jika D ≠ 0maka SPL mempunyai satu penyelsaian.
2) Jika D = 0, Dx ≠0, dan Dy ≠ 0 maka SPL tidak mempunyai penyelsaian.
3) Jika D = Dx = Dy = 0 maka SPL mempunyai tak berhingga penyelsaian.
Sistem persamaan linear dengan tiga variabel
Diberikan sistem persamaan linear dengan tiga variabel (SPLTV) berikut.
a11x + a12y + a13z = b1
a21x + a22y + a23z = b2
a31x + a32y + a33z = b3
BAB III
PENUTUP
3.1
Kesimpulan :
Pada dasarnya matriks sendiri merupakan susunan elemen-elemen yang berbentuk
persegi panjang yang di atur dalam baris dan kolom dan di batasi sebuah tanda kurung yang di
sebut matriks.
DAFTAR PUSTAKA
Twiet,whiet.2014.Makalah Matriks. http://wiettwiet.blogspot.com/2014/05/makalahmatriks.html
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemukan persoalan yang apabila kita telusuri
ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam persamaan matematika
maka persoalan tersebut akan lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering
kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan
untuk mencari hubungan antara variabelnya. Bahkan dinegara maju sering ditemukan model
ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel
yang nilainya harus ditentukan.
Matriks pada dasarnya merupakan suatu alat yang cukup untuk memecahkan persoalan
tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang
mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya matrik ditemukan
untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linear, awal dari semua inilah matrik dianggap
sebagai sebuah permainan karena matrik dapat diaplikasikan, sedangkan studi selanjutnya ,
matrik digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matrik digunakan dalam
berbagai bidang seperti matematika.
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas permasalahannya sebagai berikut :
1. Apa pengertian atau definisi matrik serta pengertian determinan dan invers matriks ?
2. Apa saja jenis matriks ?
3. Bagaimana menyelesaikan masalah pada matriks ?
1.3
Tujuan Pembahasan
Berdasarkan uraian di atas kami menemukan permasalahan sebagai berikut:
1. Menjelaskan tentang pengertian dan definisi matriks serta pengertian determinan dan
invers matriks
2. Menjelaskan tentang jenis-jenis operasi matriks
3. Menjelaskan masalah pada matriks.
BAB II
ISI
A. PENGERTIAN, NOTASI DAN ORDO MATRIKS
Penegertian matriks dan notasi matriks
a. Beberapa pengertian tentang matriks :
1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau
dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang.
3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun dalam
bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.
Contoh matriks :
2
-5
3
2
4
1
2
3 4
2
1
1
0
1
2
3
a) Bilangan – bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks dinamakan unsure – unsure atau
elemen matriks. Baris sebuah matriks adalah susunan elemen – elemen yang mendatar
dalam matriks tersebut. Kolom sebuah matriks adalah susunan elemen – elemen yang
tegak dalam matriks tersebut.
b) Matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar dan elemenya dinyatakan dengan huruf
kecil. Jika A adalah sebuah matriks maka aij menyatakan elemen yang terdapat pada baris
ke-I dan kolom ke- j dari A dengan i=1, 2, 3,…..m dan j=1, 2, 3,……., n yang berarti
bahwa banyaknya baris m dan banyaknya kolom n.
Contoh :
A=
-1
-3
2
12
B=
-3
-4
C=
2 3 12 -1
Ukuran matriks
Jumlah baris
Jumlah kolom
2x2
2
2
2x1
2
1
1x4
1
4
Ordo matriks
a) Ordo suatu matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom yang terdapat dalam suatu
matriks. Jika matriks A mempunyai m baris dan n kolom maka ordo matriks A adalah m x
n dan ditulis Amxn.
Contoh : A= Banyaknya baris 2, banyaknya kolom 3. Jadi matriks A berordo 2 x 3, ditulis
A 2x3.
3 2 1
5 2 1
Banyaknya elemen suatu matriks sama dengan hasil kali banyak baris
dengan banyak kolom dari matriks yang bersangkutan. Banyaknya
elemen matriks A diatas adalah
2x3=6
Jika banyak elemen pada baris sama dngan banyak elemen pada kolom (baris =
kolom = n) maka matriks tersebut berordo n.
Pengertian beberapa matriks khusus
Matriks Persegi, Matriks Baris, Matriks Kolom, dan Matriks Diagonal
Matriks Persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya
kolom
Matriks Baris adalah matriks yang mempunyai satu baris atau berordo (mx1)
Matriks Kolom adalah matriks yang mempunyai satu kolom atau berordo (1xn)
Sedangkan matriks diagonal adalah matriks persegi dengan syarat :
a) Setiap elemen pada diagonal utama tidak semuanya nol.
b) Setiap elemen yang tiidak terletak pada diagonal utama adalah nol.
Contoh :
A=
( )
1 1 4
5 7 9
8 6 3
Keterangan:
() ( )
3
5
1
; B = (2 5 6 ) ; C =
;D=
5 0 0
0 9 0
0 0 4
A adalah matriks persegi
B adalah matriks baris
C adalah matriks kolom
D adalah matriks diagonal
Transpose suatu matriks
Transpose matriks A, ditulis A
t
adalah matriks yang elemen-elemennya diperoleh
dari elemen-elemen matriks A dengan mengubah elemen pada baris ke-m dan kolom
ke-n matriks A menjadi elemen pada baris ke-n dan kolom ke-m matriks A
t
.
Contoh :
A=
( )
1 2 5
4 4 6
5 7 5
( )
1 4 5
A=2 4 7
5 6 5
t
Kesamaan dua matriks
Dua matriks A dan B disebut sama, ditulis A = B, apabila memenuhi syarat :
a. berordo sama
b. elemen-elemen yang setelah sama artinya : (aij) = (bij)
B. PENJUMLAHAN MATRIK DAN PENGURANGAN MATRIK
1. Penjumlahan matriks dan syaratnya
Matriks A dan matriks B dapat dijumlahkan apabila dua matriks tersebut
seordo. Jumlah matriks A dan B ditulis A + B, adalah matriks C yang elemenelemennya diperoleh dari jumlah elemen- elemen matriks A dan matriks B yang
bersesuaian letak.
Amxn + Bmxn = Cmxn
2. Matriks Nol
cij = aij + bij
Matriks nol, disajikan dengan nol(0), adalah matriks yang semua elemennya
adalah nol(0)
3. Lawan Suatu Matriks
Matriks A dan B saling berlawanan, ditulis A = -B atau B = -A, apabila ordonya sama
dan setiap elemen yang seletak berlawanan.
4. Pengirangan Matriks
Dua buah matriks dapat dikurangkan apabila seordo. Selisih dua buah matriks A dan
B ditulis A – Badalah jumlah dari A dan –B jadi A – B = A + (-B)
5. Sifat Penjumlahan Matriks
Untuk matriks-matriks yang seordo berlaku :
a. A+B = B + A
d. A + (-A) = -A + A = 0
b. (A + B) + C = A + (B + C)
e. (A + B)’ = A’ + B’
c. A + 0 = 0 + A
6. Sifat Pengurangan Matriks
Untuk matriks-matriks yang seordo berlaku :
a. A – A = 0
b. A – 0 = A
c. (A – B)’ = A’ + B ‘
C. PERKALIAN BILANGAN RREAL(SKALAR) DENGAN MATRIKS
Jika k є R dan A adalah suatu matriks, maka kA adalah matriks yang setiap elemennya
diperoleh dengan mengalikan setiap elemen pada matriks A dengan k.
Sifat – sifat :
1. (k + l)A = kA + lA
6.(-1)A = -A
2. (k – l)A = kA – lA
7. 0A = 0
3. k(A + B) = kA + kB
8. k0 = 0
4. k(A – B) = kA – kB
9. (kl)A = k(lA)
5. 1A = A
D. PERKALIAN MATRIKS
1. Definisi
a. Amxp Bpxn = Cmxn
(dua buah matriks dapat dikalikan apabila banyaknya kolom pada matriks sebelah
kiri sama dengan banyaknya baris pada matriks sebelah kanan).
b. Jika A =
AB =
(
(
a 11 a12
a21 a22
. .. . .. ..
a m1 am 2
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
a1 p
a2 p
. .. .
amp
)
dan B = =
a 11 b11+ a12 b21 +.. .+a1 p b p1
a21 b11 +a 22 b 21+. ..+a2 p b p 1
. .. .
a m1 b11 +a m 2 b21 +.. .+amp b p 1
(
b 11 b12
b21 b22
. .. . .. ..
b m1 bm 2
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
b1 n
b2 n
. .. .
b pn
)
.. . .
a11 b1 n +a 12 b2 n +. ..+a1 p b pn
.. . .. a11 b1 n +a 12 b2 n +. ..+a1 p b pn
.. . . . .. .
.. . . am 1 b1 n +a m 2 b2 n +. ..+amp b pn
)
2. Matriks Satuan
Matrikd satuan dilambangkan dengan I, yaitu matriks persegi yang mempunyai sifat :
a. setiap elemen pada diagonal utama adalah 1
b. setiap elemen kecuali pada diagonal utama adalah 0
3. Perpangkatan Matriks
Aⁿ = AAA…A sebanyak n kali.
4. Sifat-sifat Perkalian Matriks
Untuk setiap matriks A, B dan Cyang dapat dijumlah/dikalikan dipenuhi :
a. pada umunya AB≠BA
b. (AB)C = A(BC)
c. A(B+C) = AB + AC
d. (B + C)A = BA + CA
e. K(AB) = (kA) = A(kB)
E. INVERS MATRIKS
1. Definisi
matriks A disebut invers(kebalikan) dari B apabila berlaku AB = BA = I, dimana I
adalah matriks satuan
2. Invers Matriks Berordo 2x2
Jika A =
1
a b
d −b
,makaA −1=
c d
det A −c a
( )
(
)
dimana detA = determinan A= ad-bc.
A
Jika
−1
ada, maka A disebut matriks non singular atau detA ≠0
−1
Jika A
tidak ada, maka A disebut matriks singular atau detA
3. Syarat Kesingularan
Invers matriks A ada apabila detA ≠ 0
4. Menentukan Invers Matriks selain Ordo 2 x 2
Menentukan invers matriks berordo 3x3, dengan menggunakan Adjoint matriks jika A
−1
adalah matriks non singular berordo 3x3, maka invers dari A
adalah
adjA
A−1 =
, dengan|A|=det er min anmatriksA
|A|
Untuk dapat menggunakan adjoint matriks, kita sebelimnya harus memahami tentang
minor, dan kofaktor
a. Jika elemen-elemen pada baris ke-I dank e-j dari matriks A berordo 3x3 dihapuskan
maka didapat matriks baru berordo 2x2, dengan deteminannya disebut minor.
Misalkan matriks A berordo 3x3
A=
(
a11 a 12 a13
a 21 a 22 a23
a 31 a 32 a33
)
Minor-minor dari matriks A adalah :
b.
a a
|M 11|=| 22 23|
a32 a33
a a
|M 21|=| 12 13|
a32 a33
a a
|M 12|=| 21 23|
a31 a33
a a
|M 22|=| 11 13|
a31 a33
a a
|M 13|=| 21 22|
a31 a33
a a
|M 23|=| 11 12|
a31 a32
Kofaktor
Kofaktor dari baris ke-I dan kolom ke-j dinyatakan dengan Aij, yang ditentukan
dengan rumus :
Aij =
i+ j
(−1) |Mij|
c. adjoint
misalkan A = (aij) suatu matriks persegi berordo nxn dan Aij adalah kifaktor dari aij
x
y
maka: Adjoint A = Adj A
=
(
A11
A 12
. ..
A1 n
A 21
A 22
. ..
A 2n
...
...
...
...
An1
An2
.. .
A nn
)
d. Determinan Mtriks berordo 3x3
A=
(
a11 a 12 a13
a 21 a 22 a23
a 31 a 32 a33
detA=
)
|A|=a11 a 22 a33 +a 12 a23 a31 +a13 a21 a32−a 31 a22 a13−a 32 a23 a11 −a33 a21 a12
F. SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Sistem persamaan linear dengan dua variable
a11
a21
a12
a22
x
y
b1
b2
b3
Diberikan
sistem
persamaan linear dua
variable
(SPLDV)
sebagai berikut
A
X
B
SPLDV di atas dapat diselsaikan dengan car invers matriks, determinan (aturan
Cramer), dan metode operasi baris elementer.
1. Menyelsaikan SPLDV mnggunakan cara invers matriks.
2. Menyelsaikan SPLDV menggunakan determinan (Aturan Cramer)
Didefinisikan determinan utama (D), yaitu determinan dari koefisien-koefisien x
dan y.
D=
a11 a12
A21 a22
Didefinisikan determinan variable x (Dx), yaitu determinan yang diperoleh dengan
menggantikan koefisien-koefisien variable x dari determinan utama dengan
bilangan-bilangan di ruas kanan.
Dx= b1 a12
b2 a22
Didefinisikan determinan variabel y
b1
b2
(Dy), yaitu determinan yang
diperoleh dengan menggantikan koefisien-koefisien variabel y dari determinan
utama dengan bilangan-bilangan di ruas kanan.
Dy= a 11 b1
a 21 b2
Nilai x dan y ditentukan dengan rumus: x = Dx dan y =Dy.
D
D
Banyaknya penyelsaian suatu SPL dapat dilihat dari nilai-nilai determinannya.
1) Jika D ≠ 0maka SPL mempunyai satu penyelsaian.
2) Jika D = 0, Dx ≠0, dan Dy ≠ 0 maka SPL tidak mempunyai penyelsaian.
3) Jika D = Dx = Dy = 0 maka SPL mempunyai tak berhingga penyelsaian.
Sistem persamaan linear dengan tiga variabel
Diberikan sistem persamaan linear dengan tiga variabel (SPLTV) berikut.
a11x + a12y + a13z = b1
a21x + a22y + a23z = b2
a31x + a32y + a33z = b3
BAB III
PENUTUP
3.1
Kesimpulan :
Pada dasarnya matriks sendiri merupakan susunan elemen-elemen yang berbentuk
persegi panjang yang di atur dalam baris dan kolom dan di batasi sebuah tanda kurung yang di
sebut matriks.
DAFTAR PUSTAKA
Twiet,whiet.2014.Makalah Matriks. http://wiettwiet.blogspot.com/2014/05/makalahmatriks.html