PEMBAHASAN Ujian Tulis UM UGM 2017
∑ R e
π PEMBAHASAN
Ujian Tulis UM UGM 2017
Matematika DasarKode Naskah: 723 Disusun Oleh: Muhamad Abdul Rosid
Website:
Yogyakarta, Mei 2017
- 20
- 20
- 1
- √
- 1
2 )
= (
21
−
14
√
2 )( 2 +
√
2 )
2
·
7
·
2
=
7 (
3
−
2
−
4
1 )(
−
2
2
= (
16
−
4
√
2
10
−
√
2
)(
2
2
)
2 (
8
√
√
2 )( 2 +
4 !
2
)
2 =
4
·
2
− √
2
−
4r
2 !
2 =
2
−
√2
−
2
2 =
−
(
2 )
−
4
·
7
=
6 +
3
√
2
4
4 Dengan demikian,
√
2
−
4
4
=
2
− √
2
2
·
2
√
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
E. 1
Jawab:
r =
20
2
)
−
25
10
√
2
(
2
−
√2 = . . .
2
) =
√
1. Jika r
=
20
√
2
−
25
10
2
−
(
2
− √
2
)
, maka
(
4r
2
5
1
) ·
(
2
√
2
)(
2
−
√2
2
)
√
2
−
1
2
√
2
−
2
5
(
2
4
√
2
−
5
)
10
(
√
−
2
)(
2
−
√2
) = (
4
√
2
- √
- 5
- √
2
A.
log
= . . .
b !
−
√a
√
b
√
a +
√
2
4
- 2
2 log a
4, maka
) =
b
−
a
(
log
2
2. Jika
−
4
4 B.
- 4
- 2
- 2
- √
- √
- 2
- 2
2
2
4
log a 1 2
−
1
=
log a 1 2
4
−
1
=
1
4
2
log a
=
log a 1 2
4
) ! =
√
b
(
a
−
b
4
4
log
4
√
a
16
=
−
√
a
(
−
1980 > x
2 −
x
−
110 >
x
2 −
−
11
)(
x
) >
x >
11 Jadi kota tersebut mendatangkan ketela dari luar kota, mulai dari tahun ke-12 setelah 2017, yaitu tahun 2029
180x
180x
=
2
2
log a
−
4
4
3. Berdasarkan perkiraan kebutuhan ketela kota P pada x tahun setelah 2017 sebesar h ( x ) = 180x
Untuk mencukupi kebutuhannya, kota tersebut harus mendatangkan ketela dari luar kota mulai pada tahun . . . .
2
A. 2020
B. 2023
C. 2028
D. 2029
E. 2032
Jawab:
Kota tersebut mendatangkan ketela dari luar kota, ketika kebutuhan lebih besar dari produksi, yaitu 180x
4
b
√
(
(
a
−
b
) =
4, maka
a
2
−
b
) =
2
4 =
16. Kemudian,
log
2 Jawab: Jika
log
2
2
log a
4 C.
2
log a
−
2 D.
1
2
log a
2 E.
2
log a
−
4
2
√
=
√
a
b
a
− √
b
4
√
log
2
√
a
−
2
b
a +
√
=
a
b
√
a
− √
b !
4
√
log
2
√
a
− √
b +
2
- 540x + 1080 kuintal. Produk ketela kota tersebut pada tahun yang sama sebesar f ( x ) = 720x + 20880 kuintal.
- 540x + 1080 > 720x + 20880
+
10
4
4
2 4. Selisih akar-akar persamaan x a = 0 adalah 1. Selisih a dan + 2ax + adalah . . .
3
6
1 A.
2
2 B.
3
5 C.
6 D. 1
5 E.
3 Jawab:
√
D x x Selisih akar-akar persamaan kuadrat adalah , yaitu
| 1 − 2 | =
a
√
D x x
| 1 − 2 | =
a
√
2
b 4ac
− =
1 a
4
2
4a 4 a
− ·
3 1 =
1
16
2 =
4a a
1
−
3
16
2 =
4a a
1
− −
3
2 =
12a 16a
3
− −
)( + ( ) =
6a 1 2a
3
−
1
3
9
4
5 Jadi a dan a = = . Selisih a dengan adalah
= −
6
2
6
6
6
- y x
1
1
2
−
- = = ( ) 5. Jika x dan y memenuhi dan , maka nilai 8 x y adalah . . .
2x 3y
5 2 x y 2x y
−
A. 25
B. 20 C.
15
− D.
20
− E.
25
− Jawab:
Perhatikan bahwa,
1
2
=
- x y 2x y + −
- 2x y 2x + 2y = −
4x = y 8x = 2y
Kemudian,
- x y
1
− =
- 2x 3y
5
2
- = +
2x 2y 2x 3y
5
−
- = y
5 4x
−
5 = y y
- −
2y
5
= −
10y
25
= −
- 4
- 2
−
5p
2 −
2p
)(
p
(
2 >
−
p
2
p
4p +
2 −
2 ) 2p
2 > ( p +
p + 2 )
− (
2
4p +
2 −
2 ) 2p
) > (
)
2p + 1 ) > ( p + 2 )
=
E. 12
D. 10
C. 8
B. 6
2 A. 3
1
2 −2 −1
1
x y −2 −1
6x
7. Nilai minimum z
p
2
5
2 < p < 0 atau p >
−
Dengan menggunakan garis bilangan, maka diperoleh
) >
5
−
2p
(
2 ( p +
2 −
Jawab: Perhatikan gambar berikut ini. y garis III
2 > (
5
<
p
<
5 B. 0
2
A. p >
2 adalah . . . .
)
p
)
≥
1
−
p
)(
2p
(
6. Nilai p yang memenuhi pertidaksamaan
25
= −
Sehingga 8 ( x + y ) = 8x + 8y = 2y + 8y = 10y
2 C. p < 0 atau p
5
p
Jawab:
( 2p +
· (
2
) ·
2
2 ( p +
2 )
2 > ( p +
1 )
−
4 )( p
2 < p <
2 D.
−
2 E.
5
>
0 atau p
<
p
<
2
−
+
2+
2- 3y di daerah yang diarsir adalah . . .
= + + =
Persamaan garis I adalah 2x 2y 4 atau x y 2. Persamaan garis II adalah x 2y
2
− = −
- Persamaan garis III adalah 2x y
2 garis II − = −
2
4
2 Titik potong garis I dan II adalah titik , .
3
3
2 Titik potong garis I dan III adalah titik , .
3
3 Titik potong garis II dan III adalah titik ( 2, 2 ) x
1
2 −2 −1
- 6x 3y garis I
2
4
4
- ,
4 =
8 −1
3
3
4
2
= +
,
8
2
10 −2
3
3
( ) = +
2, 2
12
6
18 Jadi nilai minimum z adalah 8
8. Suku tengah deret aritmetika adalah 34. Jika suku pertamanya 4 dan suku ke-4 adalah 22, maka jumlah semua suku deret tersebut adalah . . .
A. 384
B. 374
C. 264
D. 228
E. 154
Jawab: = = = + = =
Diketahui a 4, dan U a 3b 22, maka 3b 18 atau b
6. Kemudian diperoleh,
4 = + ( )
U a n 1 b
n −
- = ( )
34
4 6 n
1
− = ( )
30 6 n
1
− =
n
1
5
−
n =
6 Karena suku tengahnya adalah suku ke-6, maka banyak suku deret tersebut adalah 11. Sehingga diperoleh, S = n U
n · t
S =
11 34 = 374
11 ·
9. Ani memasak di dapur. Dia memiliki 10 liter air. Setiap 40 menit dia menuangkan 10% airnya ke dalam panci masakan. Jika proses memasak membutuhkan waktu selama 3 jam, maka selesai masak, sisa air Ani sebanyak . . . ml.
A. 8100
B. 7290
C. 6561
D. 5904,9
E. 5314,41
Jawab: Perhatikan bahwa Ani mengambil air sebanyak 10% setiap 40 menit sekali.
Menit ke Yang diambil Sisa air 10000 40 1000 9000
80 900 8100 120 810 7290 160 729 6561 Pada menit ke-160 sisa air adalah 6561 ml. Pada menit ke-180, selisih waktu dengan pengambilan terakhir belum ada 40 menit, sehingga Ani tidak mengambil sisa airnya. Jadi air yang tersisa tetap 6561 ml.
10. Jika a memenuhi
T
2
a 3 a 5
20
1
−
T
= +
dengan A menyatakan transpose matriks A, maka
2
- 6a 1 0
2 a
5
− + a a = . . . .
A. 2
B. 12
C. 20
D. 30
E. 42
Jawab: T
2
a a 5
20
1
3
−
+ =
2
- 6a 1 0
2 a
5
−
a 5
20
2
−
= +
2
1 0 + 1 a
5
−
a
20 3 +
=
2
- a
5
2
2
- = + =
Jadi a a 20 dan 6a a
5. Sehingga diperoleh,
2
= +
6a a
5
- =
6a a
20
5
=
5a
25
=
a
5
2 = +
Dengan demikian a a
30 π
2
11. Jika 0 < x < 2π dan cot x 2 csc x
- 2 = 0, maka cos x = . . .
2 A.
1
−
1 B.
−
2 C. 0
1 D.
2 E. 1
Jawab: =
Misalkan sin x
a. Kemudian,
2
- = +
cot x 2 csc x
2
2
cos x
2
= + +
2
2
sin x sin x
2
2
1 sin x 2 sin x 2 sin x
−
- = +
2
2
2
sin x sin x sin x
2
2
1 a 2a 2a =
- −
2
= + +a 2a
1
( + + )( ) =
a 1 a
1
=
a 1 sin x π = −
- Selanjutnya, cos x sin x =
1
= −
2
12. A, B, C, D, dan E akan berfoto bersama. Peluang A dan B selalu berdampingan dan E selalu berada di ujung kanan adalah . . . .
2 A.
5
1 B.
5
1 C.
10
1 D.
20
1 E.
30 Jawab: Karena E selalu di kanan, berarti kita tinggal menyusun 4 orang lainnya, yaitu A,B, C dan D. Akan tetapi A dan B harus berdampingan, maka dianggap sebagai satu objek. Sehingga sekarang kita tinggal menyusun 3 objek. Banyaknya cara menyusun 3 objek tersebut adalah 3!, sedangkan menyusun A dan B adalah 2!. Dengan demikian peluang kejadian ini adalah
( )
n A
( ) =
P A n ( S ) 3!2!
=
5!
1
=
10
13. Suatu desa berpenduduk 5000 jiwa, terdiri atas kelompok berpendidikan terakhir SD, SMP, SMA dan Per- guruan Tinggi (PT). Perbandingan jumlah penduduk berpendidikan terakhir SD, SMP, dan SMA sebesar 2 : 6 : 4. Jika persentase penduduk berpendidikan PT sebesar 4% dari total penduduk desa, maka jumlah penduduk berpendidikan terakhir SD sebesar . . .
A. 2400
B. 2000
C. 1600
D. 1000
E. 800 Jawab:
Karena persentase penduduk berpendidikan PT sebesar 4%, maka persentase penduduk berpendidikan terakhir SD, SMP dan SMA adalah 96%. Sehingga persentase penduduk berpendidikan terakhir SD adalah
2
=
96% 16%
×
2
6
4 dan jumlah penduduk berpendidikan terakhir SD adalah 16 5000 = 800
×
100
3
2
x ( 2x 3x )
- = 14. lim . . . .
1 2 −
√
2 x →1 ( )
x 1 x
1
− − A.
1
−
B. 0
1 C.
D. 1
3 E.
2 Jawab: 3 3
2
( ) )(
2 2- x 2x 3x
1 x 2x 1 x
1
− {( − − )}
lim = lim
√ √
2 x x →1 ( x
1 ) x 1 + →1 ( x 1 )( x 1 ) x
1
− − − − 2 ✘✘✘ 3 ✘ 2 3 ( ) ( )
x 2x 1 x
1
− −
✘
=
lim 3 ✘✘✘
- x →1 ( x ) ( x ) 2
- x ( x )
- x
- 15. Jika f ( x
- = =
- p
- = f ( x
- x
- x
- 2x a
- x 2b
- 2b a f ( b
- b 2b
- 2 2b a
- =
- ax b ad bc
- cx d ( + cx
- x 2b 2 2b 4b
- ( )
- 2
- = +
- 4b 4b
- x
- 4
- 4
- 4
- 4
- 4
- 36
- U
- 2
- 3
- 2
- 3
- 24x +
- 78x −
+ a + b +
- c + d +
- b + c + d = 24.
- 2
- 2x =
+ 2x
−- 3
- y
1
1 2 3 − ( ) x 2x
1
−
=
lim
→1
1
1
1
·
=
2
1
2 + ) = , x 2 dan g ( x ) = x 1, maka semua nilai y = ( f g )( x ) yang mungkin untuk
6= ◦
x
2
− x 6 adalah . . . ≥
A. y
2
≥ B. 1 y
2 ≤ ≤
C. 0 < y
2
≤ D.
2 y <
− ≤
E. y <
2
− Jawab:
Misalkan x 2 p, maka x p
2. Dengan demikian
−
2
1
−
f ( p ) = p
2
2
− −
p
1
−
=
p
4
− = ( )( )
y f g x
◦ = f ( g ( x ))
1 )
1
1
−
=
1
3
−
x
=
x
3
−
6 Jika x = 6, maka y = = 2.
6
3
−
Jika x mendekati ∞, maka x
=
lim
1
x →∞ x
3
−
Jadi untuk x 6, nilai minimum y adalah 1 dan nilai maksimum y = 2, atau 1 y
2
≥ ≤ ≤
2
′
( ) = ( ) = (
16. Fungsi dengan persamaan f x memenuhi f 1 1 dan f b . Nilai b yang memenuhi
) = −
3 adalah . . . .
A.
1
−
4 B.
−
5 C.
−
3
1 D.
−
4
1 E.
2 Jawab:
2
( b
Karena f , maka
) = −
3
=
−✁3 ✁3b
2b 2b a
−
a 4b
= −
− ′
Ingat kembali, bahwa jika f ( x ) = , maka f ( x ) = . Sehingga jika a 4b, maka
= −
2
2 ) 2x 4b
− ( ) =
f x
1
· − (− ) · ′
( ) =
f x
2
x 2b 8b
=
2 ( + x 2b )
8b
′ ( ) =
f
1
( )
1 2b 8b
=
1
2
4b 1 + + 4b
2
4b 4b 1 8b
2
1 =
−
2 ( 2b
1 ) =
−
1
=
b
2
√
2
4 x
( x ) = = 17. Fungsi f mencapai minimum relatif di x . . . . −
3
5
5 A.
2
3 B.
2
2 C.
3
1 D.
2
2 E.
5
)
2 =
2
log
(
x
)(
26x
−
2
)
36x
2
4 = 26x
2
2x
−
6 10x
2 −
6x
log
(
log
3
2
2
log
(
6x
) =
2
(
2
x
) +
2
log
(
26x
−
2
)
52x + 10 = 5x
2 −
26x + 5 =
≤
log 128 = 7, sehingga bedanya adalah 2.
19. Diberikan bilangan asli a, b, c, d yang memenuhi 4
≤
a
≤
b
≤
6
c
log 32 = 5,
≤
d
≤
8. Rata-rata 4, a, b, 6, c, d, 8 adalah 6. Banyaknya susunan ( a, b, c, d ) yang mungkin adalah . . .
A. 24
B. 12
C. 9
D. 8
2
2
( 5x −
5 ,
1 )( x
−
5 ) = Jika x =
1
5 , maka barisan tersebut menjadi
2
log
16
2
log 8 = 3,
log
16
5 ,
2
log
16
5 , sehingga beda 0
Jika x = 5, maka barisan tersebut menjadi
2
1
U
2 =
x
2
−
1
5
=
x
3
√
2
√
−
1
5
1
5
=
x
3
x
2
x
) =
Jawab:
Fungsi f
( x )
akan minimum jika f
′ ( x ) =
0, yaitu f
(
x
1
3 2x
3 p x
2
−
1
5 x f
′ (
x
) =
1
√
2
2U
E. 5
2
log ( 26x
−
2 ) membentuk barisan aritmetika, maka beda barisan ter- sebut adalah . . .
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Jawab:
2
Karena membentuk barisan aritmetika, maka U
2 −
U
1 =
U
3 −
U
2
log ( 6x + 2 ) , dan
log ( x + 3 ) ,
5x
2 =
=
3 p x
2
25x
2 =
9x
2
16x
36 x
2
2 =
36
16 x =
6
4
=
3
2
18. Jika
E. 7
log ( x +
= x
8
log x
−1 x
log x
3 = x
log 2
) −
x
2
x
1 x x +
1
= −
log 2
x
3
) −
2
log ( x +
x
log
2
, maka y + 3x =
= 2 karena bilangan pokok logaritma tidak mungkin negatif.
1. Dengan demikian, 2x
= −
5 atau y
=
2
·
2, maka y
=
Jika x
2 ) = Kita pilih x
8
−
4 )( x
( x +
8 =
2
8 x
2
1 x x
=
5. Kemudian,
5
= 3.
b
a, b, c, d ) yang mungkin adalah 1. ( 4, 4, 8, 8 ) 2. ( 4, 5, 7, 8 ) 3. ( 4, 6, 6, 8 ) 4. ( 5, 5, 6, 8 ) 5. ( 4, 6, 7, 7 ) 6.
8, susunan (
≤
d
≤
c
≤
6
≤
≤
5, 5, 7, 7
a
≤
Kemudian karena 4
42, sehingga a
=
8
6
Karena rata-rata 7 bilangan itu harus 6, maka 4
Jawab:
(
) 7. (
2
= − 1, maka 2x + y = . . .
32 =
y+3x =
Karena 2
Jawab:
E. 9
D. 5
C. 3
B. 2
A. 1
log 2
5, 6, 6, 7
x
3
) −
2
log ( x +
y+3x = 32 dan x
20. Jika 2
) Jadi terdapat 8 susunan yang mungkin.
6, 6, 6, 6
) 8. (