Rangkaian Listrik II Teorema Mesh deng

RESUME RANGKAIAN LISTRIK II

Penerapan Teorema Mesh dalam Penyederhanaan Arus
Bolak – Balik serta Penyelesaian Matriks
(Minor, Kofaktordan Determinan)

Kelompok 6 :
Arief Rachman Rida A.
Cut Zarmayra Zahra
Fajar Muttaqin
Inggih Piany Syanita
Moh. Syamsul Nur
Reza Irhamsyah
Siti Mardiah
Yusup Fawzi Yahya

(5115122623)
(5115120353)
(5115122606)
(5115122568)
(5115122604)

(5115122572)
(5115122581)
(5115122591)

PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO REGULER 2012

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
JAKARTA
2013
Tujuan
1. Mahasiswa dapat menyederhanakan rangkaian dengan menggunakan analisis Mesh.

2. Mahasiswa dapat mengaplikasikan penggunaan teorema Mesh dalam menyelesaikan
soal rangkaian listrik.
3. Mahasiswa dapat memahami

pengertian

Minor

dan

Kofaktor

menerapkannya dalam mencari Determinan.
4. Mahasiswa dapat menggunakan perhitungan matriks dengan baik.

I.

PENDAHULUAN

serta

dapat

Suatu rangkaian yang terhubung secara seri maupun paralel yang telah kita
pelajari sebelumnya merupakan contoh rangkaian yang sederhana. Pada rangkaian
sederhana yang mengkombinasikan tahanan-tahanan atau sumber-sumber yang seri atau
paralel dapat kita analisis dengan menggunakan prinsip pembagian arus dan tegangan
sesuai hukum yang telah dipelajari yaitu Hukum Ohm dan Hukum Kirchoff.

Rangkaian-rangkaian sederhana tersebut merupakan suatu latihan pemahaman
dalam pemecahan masalah untuk menolong kita memahami hukum-hukum dasar yang
selanjutnya akan kita gunakan dalam rangkaian-rangkaian yang lebih sukar atau lebih
kompleks.
Dalam menyederhanakan analisis pada rangkaian yang lebih sukar diperlukan
suatu metode analisis yang lebih cocok dan mudah. Metode mesh dapat pula digunakan
untuk menyederhanakan rangkaian dalam arus bolak-balik

II.

TEOREMA MESH
Pada Rangkaian Listrik I kita telah mempelajari cara menyederhanakan rangkaian
dalam arus DC (searah) dengan menggunakan teorema Mesh. Kali ini kita akan mempelajari
cara menyederhanakan suatu rangkaian yang berada dalam arus AC (bolak-balik).
Pada dasarnya cara perhitungannya sama dengan perhitungan teorema Mesh pada arus
searah. Yang berbeda adalah, dalam penyederhanaan rangkaian arus bolak-balik, bukan hanya
resistor yang menjadi tahanannya namun juga terdapat induktansi dan kapasitansi. Sehingga
terlebih dahulu kita harus mencari impedansi (Z) dari tiap-tiap bagian.
Pada suatu rangkaian yang terlihat pada Gambar 1.1 dapat menggunakan analisis Mesh
untuk menyelesaikannya dengan menggunakan konsep arus mesh dan Hukum Tegangan

Kirchoff (Kirchoff Voltage Law/KVL).

Gambar 1.1 Rangkaian dengan analisis teorema Mesh

Langkah-langkah penyelesaian dengan teorema Mesh :
1. Tentukan impedansi (Z) dari setiap bagian rangkaian dan sumber tegangannya. Pada
rangkaian tersebut didapatkan tiga impedansi yaitu Z1, Z2, dan Z3.
 Z1 hanya terdiri dari induktor, sehingga impedansinya:
Z1 = 0 + j2
= +j2
 Z2 hanya terdiri dari kapasitor, sehingga impedansinya:
Z2 = 0 – j1
= -j
 Z3 hanya terdiri dari resistor, sehingga impedansinya:
Z3 = 4
 VA = 2 ∠ 00
 VB = 6 ∠ 00

2. Tentukan arah loop dan arusnya. Arah loop pada teorema Mesh sebaiknya searah jarum
jam. Apabila arah arus searah dengan arah loop, maka tandanya negatif (-), namun apabila

arah arus berlawanan dengan arah loop, maka tandanya positif (+)

Gambar 1.2. Menentukan arah arus, loop dan tegangan.

3. Tentukan arah dari masing-masing tegangan. Pada tegangan, apabila arahnya searah
dengan arah loop, maka tandanya (+), namun apabila tegangan berlawanan dengan arah
loop, maka tandanya negatif (-).
4. Kemudian buat persamaan tegangan masing-masing loop.

Gambar 1.3. Daerah loop 1

 Loop 1:
ΣV =0
VA – I1.Z1 – I1.Z3 + I2.Z3 = 0
2 ∠ 00 – I1.j2 – I1.(4) + I2.(4) = 0
2 ∠ 00 – (4+j2).I1 + 4I2 = 0
(4+j2).I1 – 4I2 = 2 ∠ 00 ................................................(1)

Gambar 1.4. Daerah loop 2

 Loop 2:
ΣV =0
-VB – I2 Z2 – I2 Z3 + I1 Z3 = 0
-VB – (Z2 + Z3).I2 + I1 Z3 = 0
-6 ∠ 00 – (-j+4).I2 + I1.(4) = 0
-6 ∠ 00 – (4-j).I2 + 4I1 = 0
4I1 – (4-j).I2 = 6 ∠ 00 .......................................................(2)

5. Setelah mendapatkan kedua persamaannya, masukkan persamaaan tersebut ke dalam
matriks.

[

][ ] [

4+ j 2 −4 I 1 = 2 ∠ 0
−4 4− j I 2 −6 ∠ 0

]

6. Untuk mencari I1, maka kolom pertama

sehingga matriksnya menjadi

[

[

4+ j 2 −4
−4 4− j

2∠ 0 −4
−6 ∠ 0 4− j

]

]

diganti dengan

[

2∠ 0
−6 ∠ 0

. Kemudian dibagi dengan bentuk

matriks awalnya.

I1 =

[

2+ j 0 −4
−6+ j 0 4− j

[

4+ j 2 −4
−4

4− j

]

]

Kemudian hitung determinan masing-masing matriks.
I1 =

2 ( 4− j )−(−6 ) (−4 )
( 4 + j 2 ) ( 4− j ) −16

]

Ingat, j2= 1

I1 =

−16− j 2
2

4 j− j 2

I1 =

−16− j 2
4 j+2

Lalu ubah ke bentuk polarnya.
I1 =

16,1 ∠−172,87
4,47 ∠63,43

I 1 =3,61∠123,70
7. Untuk mencari I2, maka kolom kedua

sehingga matriksnya menjadi

[

[

4+ j 2 −4
−4 4− j

4+ j 2 2∠ 0
−4 −6∠ 0

]

I2 =

4+ j 2 2+ j 0
−4 −6+ j 0

[

4 + j 2 −4
−4
4− j

]

]

Kemudian hitung determinan masing-masing matriks.
I2 =

−6 ( 4 + j 2 )−(−4 ) ( 2 )
( 4+ j2 )( 4− j )−16

I2 =

−16− j 16
4 j− j22

I2 =

22, 6 ∠45
4,47 ∠63,43

I 2 =5,06∠−18,43

diganti dengan

[

2∠0
−6 ∠ 0

]

. Kemudian dibagi dengan bentuk

matriks awalnya.

[

]

Cara Kedua
Cara kedua dalam analisis Mesh ini adalah dengan membuat daerah loop 2 satu
rangkaian penuh seperti pada gambar 1. .berbeda dengan cara yang pertama yaitu daerah
loop 1 dan loop 2 dibagi menjadi dua bagian yang sama.

Gambar 1.5. Cara kedua menggambarkan loop

Langkah-langkah penyelesaiannya sama dengan cara pertama dari nomor 1-3, yang
berbeda adalah dalam penghitungan persamaan loop 2. Persamaan pada loop 1 sama
dengan cara sebelumnya.
 Loop 1:
ΣV =0
VA – I1.Z1 – I1.Z3 + I2.Z3 = 0
2 ∠ 00 – I1.j2 – I1.(4) + I2.(4) = 0
2 ∠ 00 – (4+j2).I1 + 4I2 = 0
(4+j2).I1 – 4I2 = 2 ∠ 00 ................................................(1)

 Loop 2:
ΣV =0
VA - VB – I2 Z1 – I2 Z2 + I1 Z1 = 0
VA - VB – (Z1 + Z2).I2 + I1 Z1 = 0
2 ∠ 00 - 6 ∠ 00 – (j2 - j).I2 + I1.(j2) = 0
-6 ∠ 00 – (4-j).I2 + 4I1 = 0
4I1 – (4-j).I2 = 6 ∠ 00 .......................................................(2)

Setelah mendapatkan kedua persamaannya, masukkan persamaaan tersebut ke dalam
matriks. Lalu hitung I1 dan I2 nya dengan cara sama seperti cara sebelumnya.

[

][ ] [

4+ j 2 −4 I 1 = 2 ∠ 0
−4 4− j I 2 −6 ∠ 0

]

Contoh Soal 2:
Perhatikan gambar rangkaian di bawah ini.

Gambar 1.6. Contoh soal rangkaian analisis Mesh

Tentukanlah berapa besar I1 dan I2 pada rangkaian tersebut!
Jawab:
Langkah-langkahnya adalah:
a. Tentukan impedansi (Z) dari setiap bagian rangkaian dan sumber tegangannya.
 Z1 = 1 + j2
 Z2 = 4 – j8
 Z3 = j6
 VA = 8 ∠ 200
 VB = 10 ∠ 00
b. Tentukan arah loop, arus dan tegangannya.

Gambar 1.7. Arah loop, arus dan tegangan pada analisis Mesh

c. Kemudian buat persamaan tegangan masing-masing loop.
 Loop 1:
ΣV =0

VA + VB – I1 . Z1 – I1 . Z2 + I2 . Z2 = 0
VA + VB – I1(Z1 + Z2) + I2 . Z2 = 0
8 ∠ 200 + 10 ∠ 00 - (5-j6).I1 + (4-j8) I2 = 0
(5-j6).I1 - (4-j8) I2 = 8 ∠ 200 + 10 ∠ 00 ...................(1)

 Loop 2:
ΣV =0
-VB – I2 Z2 – I2 Z3 + I1 Z2 = 0
- VB – (Z2 + Z3).I2 + I1 Z2 = 0
(4-j2).I2 - I1.(4-j8) = – 10 ∠ 00 .........................................(2)

Masukkan ke dalam persamaan matriks:

[

][ ] [

5− j6 −(4− j8) I 1
= 8 ∠ 200 +1 0 ∠ 0 0
– 10 ∠ 0 0
4− j 8
4− j 2
I2

]

Mencari I1:

I1 =

[

8∠20 0 + 10 ∠ 0 0 −(4− j8)
– 10 ∠ 0 0
4− j2

[

5− j 6 −( 4− j 8)
4− j8
4− j 2

]

]

Kemudian hitung determinan masing-masing matriks.
I1 =

42− j 69,20
56 + j 30

I1 =

80,95 ∠ - 58,74
63,53 ∠ 28,18

I 1 =1,27∠ -86,92

III.

PENYEDERHANAAN DENGAN DETERMINAN MATRIKS

Matriks adalah suatu susunan dari banjar (array) bilangan-bilangan dalam bentuk segi
empat, dengan jumlah baris sebanyak m dan jumlah kolom sebanyak n dan dinotasikan
sebagai A = (aij)mxn; I = 1,…,m; dan j = 1,…,n serta a ij adalah elemen dari matriks A pada baris
ke-I kolom ke-j.

Gambar 3.1. Matriks A

Minor dan Kofaktor
Minor aij yang dinyatakan dengan Mij adalah determinan submatriks setelah baris ke-I
dan kolom ke-j dihilangkan dari [A].
Contoh :
Minor dari a13 adalah M13, baris pertama dan kolom ketiga dihilangkan sehingga

M13

[

][

a 1.1 a1.2 a1.3
a
a
¿ a 2.1 a2.2 a2.3 = 2.1 2.2
a3.1 a3.2
a 3.1 a3.2 a3.3

]

Kofaktor
Kofaktor entri aij dinyatakan oleh cij adalah bilangan (-1)i+j . Mij , dimana Mij adalah
minor dari aij. Pangkat dari kofaktor adalah penjumlahan dari posisi baris (i) dan kolom (j)
satu elemen dalam sebuah matriks. Apabila besar pangkatnya ganjil, maka minornya bernilai
negatif (-). Apabila besar pangkatnya genap, maka minornya bernilai positif (+). Kofaktor
dilambangkan dengan

Δ .

Contoh :
Δ 23 = (-1)2+3 . M23 = - M23 , karena 2+3 = 5 (ganjil) maka minornya negatif.

Δ 31 = (-1)3+1 . M31 = + M31 , karena 3+1 = 4 (genap) maka minornya positif.
Determinan
Determinan dapat disimbolkan dengan detA ,

△ A atau

| A| . Untuk mencari

determinan orde tinggi bisa dengan menggunakan kofaktor minor dari matriks.
Contoh :

B=

[

0 3 2
−1 0 −1
2 4 3

]

Tentukan determinan dari matriks B!
Jawab :
Langkah-langkahnya adalah:
1. Tentukan baris atau kolom mana yang akan menjadi acuan kofaktor minornya.
B=

[

0 3 2
−1 0 −1
2 4 3

]

2. Hitung jumlah kofaktor minor dari baris kedua.
△ B = a21 .

△

21

+ a22 .

△

22

+ a23 .

△

23

= a21 . (-1)2+1 . M21 + a22 . (-1)2+2 . M22 + a23 . (-1)2+3 . M23
= - a21 . M21 + a22 . M22 - a23 . M23
= - (-1)

[ ]
3 2
4 3

+0

[ ]
0 2
2 3

- (-1)

[ ]
0 3
2 4

= (1) . (3.3- 2.4) + 1-. (0.4 – 3.2)
=1-6
= -5
Cara lain mencari determinan adalah dengan menambahkan dua kolom pertama pada
matriks tersebut disebelah kanan, kemudian mengalikannya secara diagonal.
Contoh :
B=

[

0 3 2
−1 0 −1
2 4 3

]

Tentukan determinan dari matriks B!
Jawab :

Langkah-langkahnya adalah:
1. Tambahkan dua kolom yang sama di sebelah kanan matriks.
Det B=

|

|

0 3 2 0 2
−1 0 −1 −1 0
2 4 3+ 2 + 4 +

-

-

-

2. Hitung determinan dengan mengalikan entri secara diagonal.
0.0.3 + 3.(-1).2 + 2.(-1).4 – 2.0.2 – 0.(-1).4 – 3.(-1).3
= -14 + 9
= -5
Hasilnya sama dengan cara pertama yaitu -5.

IV.
1.

SOAL DAN JAWABAN

Tentukanlah I1 dan I2pada rangkaian tersebut!
Jawab :
Diketahui :
VA = 4V
VB = 2V
Z1 = 2
Z2 = 1 + j0
Z3 = -j
a. Tentukan arah loop, arus, dan tegangannya

b. Persamaan loop
Loop 1
∑V = 0
VA – I1 ZI – I1 Z3 + I2 Z3 = 0
VA – I1 (Z1 + Z3) + I2 Z3 = 0
I1(Z1 + Z3) – I2 Z3 = VA
(2-j) I1 – (-j) I2 = 4 ∠ 0............ (1)
Loop 2

[

][ ] [

2− j
j I 1 = 4 ∠0
j
1+ j I 2 −2 ∠ 0

I1 =

I1 =
I1 =

|

|

4+ j0
j
−2+ j 0 1+ j

|

|

2− j
j
j
1+ j
( 4 ) ( 1+ j )−(−2)( j)
(2− j ) ( 1+ j )−( j)( j)
4+ j 4+ j2
2+ j− j 2− j 2

]

∑V = 0
-VB – I2 Z2 – I2 Z3 + I1 Z3 = 0
-VB – I2 (Z2 + Z3) + I1 Z3 = 0
I1 Z3 – I2(Z2 + Z3) = VB
(-j) I1 – (1+j) I2 = 2 ∠ 0...........
(2)

4+ j 6
2
2+ j−2 j
4+ j6
I1 =
4+ j
7,2∠ 56,30
I1 =
4,1∠ 14,03
I1 = 1,75 ∠ 42,27
2− j 4+ j 0
j
−2+ j 0
I2 =
2− j
j
j
1+ j
(−2 )( 2− j )−(4 )( j)
I2 =
(2− j ) ( 1+ j )−( j)( j)
−4+ j2− j 4
I2 =
2+ j− j 2− j 2
−4− j 2
I2 =
2
2+ j−2 j
−4− j 2
I2 =
4+ j
4,5 ∠ 26,56
I2 =
4,1 ∠ 14,03
I2 = 0,4 ∠ 12,53
I1 =

|

|

|

|

2.

Tentukanlah I1 pada rangkaian tersebut!
Jawab :
Diketahui :
V1 = 6 ∠ 10 V2 = 8 ∠ 20
Z1 = 1 + j
Z2 = 2 - j4
Z2 = j3

a. Tentukan arah loop, arus, dan tegangannya

b. Persamaan loop
Loop 1
∑V = 0
V1 – I1 ZI – I1 Z3+ I2 Z3 = 0
V1 – I1 (Z1 + Z3) + I2 Z3 = 0
I1 (Z1 + Z3) - I2 Z3 = V1
(1+j4) I1- (j3) I2 = 6 ∠ 10 .......... (1)
Loop 1
∑V = 0
V2 – I2 Z3 – I2 Z2+ I1 Z3 = 0
V2 – I2 (Z2 + Z3) + I1 Z3 = 0
I1 Z3- I2 (Z2 + Z3) = -V1
(j3) I1+ (2-j) I2 = -8 ∠ 20 ........... (2)

[

][ ]

1+ j 4 − j3 I 1 = 6 ∠ 10
j3
2− j I 2 −8 ∠ 20

I1 =

I1 =

|

|

6+ j
− j3
−7,5− j2,8 2− j

|

|

1+ j 4 − j 3
j3
2− j

(6 + j ) ( 2− j )−(−7,5− j 2,8)(− j 3)
( 1+ j 4 ) ( 2− j ) −( j 3)(− j 3)
2

I1 =

2

(12− j 4− j )−( j 22,5+ 8,4 j )

( 2+ j 7−4 j 2) −(−9 j2 )

7,4 j 2− j26,5+12
5 j 2+ j 7+2
4,6− j 26,5
I1 =
j 7−3
26,9 ∠−80,15
I1 =
7,6 ∠−66,8
26,9 ∠ 279,85
I1 =
7,6 ∠ 293,2
I1 = 3,54 ∠ -13,35
I1 =

I1 = 3,54

∠ 373,35

3. Tentukan M13 dari satu matriks A33 dengan elemen a11 = 4; a12 = 3; a13 = -1; a21 = 0;
a22 = 4; a23 = 1; a31 = -2; a32 = 0; dan a33 = 2 !
Jawab :

[

4 3 −1
A= 0 4 1
−2 0 2

]

M13 =

|

4. Tentukan kofaktor dari soal nomor 1 !

Jawab :
∆13=(−1)1 +3 M 13

5. Tentukan determinan dari soal nomor 1 !
Jawab :

|

0 4
−2 0

∆13=+ M 13

∆ A=a11 . ∆ 11 +a12 . ∆12+ a13 . ∆ 13
∆ A=a11 .(−1)1+1 M 11 + a12 .(−1)1+2 M 12 + a13 .(−1)1+3 M 13
∆ A=4 4 1 −3 0 1 −1 0 4
0 2
−2 2
−2 0
∆ A=4 ( 8 )−3 ( 2 )−1 ( 8 )
∆ A=18

| | |

| |

|

DAFTAR PUSTAKA

Kemmerly, Jack E.. Jr, William H. Hayt. 2005. Rangkaian Listrik. Jakarta: Erlangga.
Guntoro, Nanang Arif. 2013. Fisika Terapan. Jakarta: Rosda