MAKALAH ANALISIS DERET BERKALA METODE LE
MAKALAH ANALISIS DERET BERKALA METODE LEAST SQUARE
BAB I
PENGERTIAN ANALISIS DERET BERKALA
Data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk menggambarkan perkembangan
suatu kegiatan (perkembangan produksi, harga,hasil, penjaulan, jumlah penduduk,
jumlah kecelakaan, jumlah kejahatan, dsb)
Komponen Deret Berkala
Ada Empat Komponen Deret Berkala :
1 TREND yaitu gerakan yang berjangka panjang,lamban seolah-olah alun ombak dan
berkecenderungan menuju ke satu arah,arah menaik atau menurun.
2. VARIASI MUSIM,yaitu ayunan sekitar trend yang bersifat musiman serta kurang lebih
teratur.
3. VARIASI SIKLUS,yaitu ayunan trend yang berjangka lebih panjang dan agak lebih tidak
teratur.
4. VARIASI Yang Tidak Tetap (Irregular) yaitu gerakan yang tidak teratur sama sekali
Komponen Deret Berkala Sebagai Bentuk Perubahan:
Gerakan / variasi dari data berkala terdiri dari empat komponen, sebagai berikut:
1. Gerakkan trend jangka panjang atau long term movements or seculer trend (T),
yaitu
suatu
gerakan
yang
menunjukkan
arah
perkembangan
secara
umum
(kecenderungan menaik atau menurun) dan bertahan dalam jangka waktu yang
digunakan sebagai ukuran adalah 10 tahun ke atas.
2. Gerakan Siklis atau cyclical movements or variation adalah gerakan/variasi dalam
jangka sekitargaristrend.
3. Gerakan variasi musim atau seasonal movements or variation adalah gerakan
yang berayun naik dan turun, secara periodik disekitar garis trend yang memiliki waktu
gerak kurang dari 1 tahun, dapat dalam kwartal, minggu atau hari.
4. Gerakan variasi yang tidak teratur (irregular or random movements), yaitu gerakan
atau variasi yang sporadis sifatnya. Faktor yang dominan dalam gerakan ini adalah
faktor-faktor kebetulan misalnya perang, pemogokan, bencana alam, dll.
Ciri-Ciri Trend
1. Trend Sekuler
Perkembangan suatu kejadian, gejala atau variabel yang mengikuti “gerakan trend
sekuler” dapat disajikan dalam bentuk :
Persamaan trend, baik persamaan linear maupun persamaan non linear.
Gambar/grafik yang dikenal dengan garis/kurva trend, baik garis lurus maupun
melengkung.
a. Metode tangan bebas (freehand method)
Penentuan garis linear secara bebas adalah penentuan garis linear tanpa mengunakan
rumus matematis, dan garis trend yang dibuat secara bebas.
b. Metode setengah rata-rata (semi average method)
Prosedur pencarian nilai trend sebagai berikut :
Kelompokkan data menjadi dua kelompok dengan jumlah tahun dan jumlah deret
berkala yang sama.
Hitung semi total tiap kelompok dengan jalan menjumlahkan nilai deret berkala tiap
kelompok.
Carilah rata-rata hitung tiap kelompok untuk memperoleh setengah rata-rata (semi
average).
Untuk menentukan nilai trend linier untuk tahun-tahun tertentu dapat dirumuskan
sebagai berikut: Y ’ = a0 + bx
c. Metode Moving Average (Rata-rata Bergerak)
1. Rata-rata Bergerak Sederhana
Cara menghitung nilai rata – rata bergerak
Membagi data menjadi 2 bagian
Menghitung rata-rata kelompok. Kelompok 1 (K1) dan kelompok 2 (K2)
Menghitung perubahan trend dengan rumus:
b=
(tahun dasar K2 – tahun dasar K1)
(K2 – K1)
Merumuskan persamaan trend Y = a + bX
2. Rata-rata Bergerak Tertimbang
Umumnya timbangan yang digunakan bagi rata-rata bergerak ialah Koefisien Binomial.
Rata-rata bergerak per 3 tahun harus diberi koefisien 1, 2, 1 sebagai timbangannya.
Prosedur menghitung rata-rata bergerak tertimbang per 3 tahun sebagai berikut :
Jumlahkan data tersebut selama 3 tahun berturutturut secara tertimbang.
Bagilah hasil penjumlahan tersebut dengan factor pembagi 1+2+1 = 4. Hasilnya
diletakkan di tengahtengah tahun tersebut. Dan seterusnya sampai selesai
d. Metode kuadrat terkecil (least square method)
Metode ini paling sering digunakan untuk meramalkan Y, karena perhitungannya lebih
teliti
Persamaan garis trend yang akan dicari ialah_
Y ‘ = a0 +bx
dengan :
a0
Y) / n a = ( x2Yx) / b = (
Y ‘ = data berkala (time series) = taksiran nilai trend.
= nilai trend pada tahun dasar.
b
= rata-rata pertumbuhan nilai trend tiap tahun.
x
= variabel waktu (hari, minggu, bulan atau tahun).
Untuk melakukan penghitungan, maka diperlukan nilai tertentu pada variabel waktu (x)
sehingga jumlah nilai variabel waktu adalah nol atau Sx = 0.
Untuk n ganjil maka n = 2k + 1
X k+1 = 0
• Jarak antara dua waktu diberi nilai satu satuan.
• Di atas 0 diberi tanda negatif
• Dibawahnya diberi tanda positif.
Untuk n genap maka n = 2k
X ½ [k+(k+1)] = 0
• Jarak antara dua waktu diberi nilai dua satuan.
• Di atas 0 diberi tanda negative
• Dibawahnya diberi tanda positif.
e. Metode Kuadratis
Untuk jangka waktu pendek, kemungkinan trend tidak bersifat linear. Metode kuadratis
adalah contoh metode nonlinear.
Y = a + bX + cX2
Koefisien a, b, dan c dicari dengan rumus sebagai berikut:
a = (Y) (X4) – (X2Y) (X2)/ n (X4) - (X2)2
b = XY/X2
c = n(X2Y) – (X2 ) ( Y)/ n (X4) - (X2)2
f. Trend Eksponensial
Persamaan eksponensial dinyatakan dalam bentuk variabel waktu (X) dinyatakan
sebagai pangkat. Untuk mencari nilai a, dan b dari data Y dan X, digunakan rumus
sebagai berikut:
Y’ = a (1 + b)X
Ln Y’ = Ln a + X Ln (1+b)
Sehingga a = anti ln (LnY)/n
b = anti ln (X. LnY) - 1
(X)2
BAB II
MENGHITUNG DATA BERKALA DENGAN METODE LEAST SQUARE
(DATA ANGKA KEMATIAN RS.SYAMSUDIN S.H )
A. Angka Kematian RS.Syamsudin S.H
B. Meramalkan Angka Tahun 2010 dengan Metode Least Square
1. Cara 1
Membuat persamaan garis trend dengan metode kuadrat terkecil
Dimana x Jarak antara dua waktu diberi nilai dua satuan (n genap)
Tahun
X
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
-7
-5
-3
-1
1
3
5
7
Jumlah ( )
Y
290
277
487
370
958
1.004
1.150
1.189
y = 5.725
a = y = 5.725 / 8 = 715,62
b = X1 Y1 =
12.797
2
X1
168
XY
-2.030
-1.385
-1.461
- 370
958
3.012
5.750
8.323
xy = 12.797
dimana n = 8
= 76,17
X2
49
25
9
1
1
9
25
49
x2 = 168
Maka persamaan trend linier secara Least Square method adalah
Y = a + bx,
dimana a = 715,62 dan
b = 76,17
Y = 715,62 + 76,17 X
Untuk meramalkan nilai y tahun 2010, nilai x menjadi = 9, masukan kedalam
persamaan diatas, sehingga
y = 715,62 + 76,17 (9) = 1.401,15
Jadi ramalan tahun 2010 = 1.401,15 jiwa (dibulatkan = 1.401)
2. Cara 2
Membuat persamaan garis trend dengan metode kuadrat terkecil
Tahun
X
Y
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
1
2
3
4
5
6
7
8
290
277
487
370
958
1.004
1.150
1.189
Jumlah ( ) x= 36
Mencari
XY
290
554
1.461
1.480
4.790
6.024
8.050
9.512
y = 5.725
xy = 32.161
X = X1 / n = 36 / 8 = 4,5
Y = Y1 / n = 5.725 / 8 = 715,62
Maka persamaan trend linier secara Least Square method adalah
Y = a + bx,
dimana a = Y - b X = 715,62 – 152,345 (4,5) = 30,068
b = n ( X1 Y1) - ( X1)( Y1) = 8 (32.161) – (36 x 5.725)
n ( X12) – ( X1)2
1.632 – 1.296
=
152,345
Persamaan menjadi
Y = 30,068 + 152,345 X
Untuk meramalkan nilai y tahun 2010, nilai x menjadi = 9, masukan kedalam
persamaan diatas, sehingga y = 30,068 + 152,345 (9)
(dibulatkan 1.401 )
= 1.401,173
Ternyata setelah dihitung dengan menggunakan dua cara, hasilnya sama, Angka
Ramalan Tahun 2010 adalah 1.401 Jiwa.
BAB III
KESIMPULAN
Pendekatan yang diberikan oleh metode Least Squares dalam data berkala
cukup baik untuk bisa menganalisis keterkaitan data yang ada Dalam kasus
penghitungan Angka Kematian di RS. Syamsudin S.H. Dari perbandingan Cara1 dan
Cara2, hasil yang didapat dari Metode Least Squares menunjukkan hasil yang sama,
itu menunjukkan bahwa metode least square merupakan metode yang lebih teliti
sehingga sering digunakan untuk menghitung data berkala.
DAFTAR PUSTAKA
Statistik (2000) kar. J. Supranto, jilid 1 Chap.9 edisi keenam, halaman 213 – 232
Statistika, Teori dan Aplikasi (2001), Bab. 06 kar. Wayan Koster, edisi pertama, halaman
134 – 173
KATA PENGANTAR
Terucap puji dan syukur kehadirat Allah SWT, karena atas perkenan-Nya,
penyusunan makalah ini dapat kami selesaikan tepat pada waktunya. Penyusunan
makalah ini di maksudkan untuk membantu kami dalam proses pembelajaran,
khususnya dalam memenuhi syarat untuk mengikuti Ujian Akhir Semester (UAS).
Besar harapan kami semoga hasil makalah ini dapat memberikan manfaat yang
besar baik untuk kami maupun orang lain.Untuk itu kami mengucapkan terima kasih
kepada dosen kami yang telah membimbing kami dan kepada semua pihak yang telah
memberikan bantuan kepada kami dalam penyusunan makalah ini, walaupun demikian
kami menyadari bahwa makalah ini tidak lepas dari kekurangan dan keterbatasan kami
sebagai penyusun.
Penyusun berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi kita
semua. Amin.
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ................................................................................. i
DAFTAR ISI .............................................................................................. ii
BAB I PENGERTIAN DAN ANALISIS DERET BERKALA...................... 1
Komponen Deret Berkala........................................................................... 1
Ciri-ciri Trend.............................................................................................. 2
BAB II MENGHITUNG DATA BERKALA (Metode Least Square)........... 6
1. Cara 1................................................................................................... 6
2. Cara2.................................................................................................... 7
BAB III PENUTUP..................................................................................... 9
Kesimpulan................................................................................................. 9
DAFTAR PUSTAKA.................................................................................. 10
BAB I
PENGERTIAN ANALISIS DERET BERKALA
Data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk menggambarkan perkembangan
suatu kegiatan (perkembangan produksi, harga,hasil, penjaulan, jumlah penduduk,
jumlah kecelakaan, jumlah kejahatan, dsb)
Komponen Deret Berkala
Ada Empat Komponen Deret Berkala :
1 TREND yaitu gerakan yang berjangka panjang,lamban seolah-olah alun ombak dan
berkecenderungan menuju ke satu arah,arah menaik atau menurun.
2. VARIASI MUSIM,yaitu ayunan sekitar trend yang bersifat musiman serta kurang lebih
teratur.
3. VARIASI SIKLUS,yaitu ayunan trend yang berjangka lebih panjang dan agak lebih tidak
teratur.
4. VARIASI Yang Tidak Tetap (Irregular) yaitu gerakan yang tidak teratur sama sekali
Komponen Deret Berkala Sebagai Bentuk Perubahan:
Gerakan / variasi dari data berkala terdiri dari empat komponen, sebagai berikut:
1. Gerakkan trend jangka panjang atau long term movements or seculer trend (T),
yaitu
suatu
gerakan
yang
menunjukkan
arah
perkembangan
secara
umum
(kecenderungan menaik atau menurun) dan bertahan dalam jangka waktu yang
digunakan sebagai ukuran adalah 10 tahun ke atas.
2. Gerakan Siklis atau cyclical movements or variation adalah gerakan/variasi dalam
jangka sekitargaristrend.
3. Gerakan variasi musim atau seasonal movements or variation adalah gerakan
yang berayun naik dan turun, secara periodik disekitar garis trend yang memiliki waktu
gerak kurang dari 1 tahun, dapat dalam kwartal, minggu atau hari.
4. Gerakan variasi yang tidak teratur (irregular or random movements), yaitu gerakan
atau variasi yang sporadis sifatnya. Faktor yang dominan dalam gerakan ini adalah
faktor-faktor kebetulan misalnya perang, pemogokan, bencana alam, dll.
Ciri-Ciri Trend
1. Trend Sekuler
Perkembangan suatu kejadian, gejala atau variabel yang mengikuti “gerakan trend
sekuler” dapat disajikan dalam bentuk :
Persamaan trend, baik persamaan linear maupun persamaan non linear.
Gambar/grafik yang dikenal dengan garis/kurva trend, baik garis lurus maupun
melengkung.
a. Metode tangan bebas (freehand method)
Penentuan garis linear secara bebas adalah penentuan garis linear tanpa mengunakan
rumus matematis, dan garis trend yang dibuat secara bebas.
b. Metode setengah rata-rata (semi average method)
Prosedur pencarian nilai trend sebagai berikut :
Kelompokkan data menjadi dua kelompok dengan jumlah tahun dan jumlah deret
berkala yang sama.
Hitung semi total tiap kelompok dengan jalan menjumlahkan nilai deret berkala tiap
kelompok.
Carilah rata-rata hitung tiap kelompok untuk memperoleh setengah rata-rata (semi
average).
Untuk menentukan nilai trend linier untuk tahun-tahun tertentu dapat dirumuskan
sebagai berikut: Y ’ = a0 + bx
c. Metode Moving Average (Rata-rata Bergerak)
1. Rata-rata Bergerak Sederhana
Cara menghitung nilai rata – rata bergerak
Membagi data menjadi 2 bagian
Menghitung rata-rata kelompok. Kelompok 1 (K1) dan kelompok 2 (K2)
Menghitung perubahan trend dengan rumus:
b=
(tahun dasar K2 – tahun dasar K1)
(K2 – K1)
Merumuskan persamaan trend Y = a + bX
2. Rata-rata Bergerak Tertimbang
Umumnya timbangan yang digunakan bagi rata-rata bergerak ialah Koefisien Binomial.
Rata-rata bergerak per 3 tahun harus diberi koefisien 1, 2, 1 sebagai timbangannya.
Prosedur menghitung rata-rata bergerak tertimbang per 3 tahun sebagai berikut :
Jumlahkan data tersebut selama 3 tahun berturutturut secara tertimbang.
Bagilah hasil penjumlahan tersebut dengan factor pembagi 1+2+1 = 4. Hasilnya
diletakkan di tengahtengah tahun tersebut. Dan seterusnya sampai selesai
d. Metode kuadrat terkecil (least square method)
Metode ini paling sering digunakan untuk meramalkan Y, karena perhitungannya lebih
teliti
Persamaan garis trend yang akan dicari ialah_
Y ‘ = a0 +bx
dengan :
a0
Y) / n a = ( x2Yx) / b = (
Y ‘ = data berkala (time series) = taksiran nilai trend.
= nilai trend pada tahun dasar.
b
= rata-rata pertumbuhan nilai trend tiap tahun.
x
= variabel waktu (hari, minggu, bulan atau tahun).
Untuk melakukan penghitungan, maka diperlukan nilai tertentu pada variabel waktu (x)
sehingga jumlah nilai variabel waktu adalah nol atau Sx = 0.
Untuk n ganjil maka n = 2k + 1
X k+1 = 0
• Jarak antara dua waktu diberi nilai satu satuan.
• Di atas 0 diberi tanda negatif
• Dibawahnya diberi tanda positif.
Untuk n genap maka n = 2k
X ½ [k+(k+1)] = 0
• Jarak antara dua waktu diberi nilai dua satuan.
• Di atas 0 diberi tanda negative
• Dibawahnya diberi tanda positif.
e. Metode Kuadratis
Untuk jangka waktu pendek, kemungkinan trend tidak bersifat linear. Metode kuadratis
adalah contoh metode nonlinear.
Y = a + bX + cX2
Koefisien a, b, dan c dicari dengan rumus sebagai berikut:
a = (Y) (X4) – (X2Y) (X2)/ n (X4) - (X2)2
b = XY/X2
c = n(X2Y) – (X2 ) ( Y)/ n (X4) - (X2)2
f. Trend Eksponensial
Persamaan eksponensial dinyatakan dalam bentuk variabel waktu (X) dinyatakan
sebagai pangkat. Untuk mencari nilai a, dan b dari data Y dan X, digunakan rumus
sebagai berikut:
Y’ = a (1 + b)X
Ln Y’ = Ln a + X Ln (1+b)
Sehingga a = anti ln (LnY)/n
b = anti ln (X. LnY) - 1
(X)2
BAB II
MENGHITUNG DATA BERKALA DENGAN METODE LEAST SQUARE
(DATA ANGKA KEMATIAN RS.SYAMSUDIN S.H )
A. Angka Kematian RS.Syamsudin S.H
B. Meramalkan Angka Tahun 2010 dengan Metode Least Square
1. Cara 1
Membuat persamaan garis trend dengan metode kuadrat terkecil
Dimana x Jarak antara dua waktu diberi nilai dua satuan (n genap)
Tahun
X
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
-7
-5
-3
-1
1
3
5
7
Jumlah ( )
Y
290
277
487
370
958
1.004
1.150
1.189
y = 5.725
a = y = 5.725 / 8 = 715,62
b = X1 Y1 =
12.797
2
X1
168
XY
-2.030
-1.385
-1.461
- 370
958
3.012
5.750
8.323
xy = 12.797
dimana n = 8
= 76,17
X2
49
25
9
1
1
9
25
49
x2 = 168
Maka persamaan trend linier secara Least Square method adalah
Y = a + bx,
dimana a = 715,62 dan
b = 76,17
Y = 715,62 + 76,17 X
Untuk meramalkan nilai y tahun 2010, nilai x menjadi = 9, masukan kedalam
persamaan diatas, sehingga
y = 715,62 + 76,17 (9) = 1.401,15
Jadi ramalan tahun 2010 = 1.401,15 jiwa (dibulatkan = 1.401)
2. Cara 2
Membuat persamaan garis trend dengan metode kuadrat terkecil
Tahun
X
Y
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
1
2
3
4
5
6
7
8
290
277
487
370
958
1.004
1.150
1.189
Jumlah ( ) x= 36
Mencari
XY
290
554
1.461
1.480
4.790
6.024
8.050
9.512
y = 5.725
xy = 32.161
X = X1 / n = 36 / 8 = 4,5
Y = Y1 / n = 5.725 / 8 = 715,62
Maka persamaan trend linier secara Least Square method adalah
Y = a + bx,
dimana a = Y - b X = 715,62 – 152,345 (4,5) = 30,068
b = n ( X1 Y1) - ( X1)( Y1) = 8 (32.161) – (36 x 5.725)
n ( X12) – ( X1)2
1.632 – 1.296
=
152,345
Persamaan menjadi
Y = 30,068 + 152,345 X
Untuk meramalkan nilai y tahun 2010, nilai x menjadi = 9, masukan kedalam
persamaan diatas, sehingga y = 30,068 + 152,345 (9)
(dibulatkan 1.401 )
= 1.401,173
Ternyata setelah dihitung dengan menggunakan dua cara, hasilnya sama, Angka
Ramalan Tahun 2010 adalah 1.401 Jiwa.
BAB III
KESIMPULAN
Pendekatan yang diberikan oleh metode Least Squares dalam data berkala
cukup baik untuk bisa menganalisis keterkaitan data yang ada Dalam kasus
penghitungan Angka Kematian di RS. Syamsudin S.H. Dari perbandingan Cara1 dan
Cara2, hasil yang didapat dari Metode Least Squares menunjukkan hasil yang sama,
itu menunjukkan bahwa metode least square merupakan metode yang lebih teliti
sehingga sering digunakan untuk menghitung data berkala.
DAFTAR PUSTAKA
Statistik (2000) kar. J. Supranto, jilid 1 Chap.9 edisi keenam, halaman 213 – 232
Statistika, Teori dan Aplikasi (2001), Bab. 06 kar. Wayan Koster, edisi pertama, halaman
134 – 173
KATA PENGANTAR
Terucap puji dan syukur kehadirat Allah SWT, karena atas perkenan-Nya,
penyusunan makalah ini dapat kami selesaikan tepat pada waktunya. Penyusunan
makalah ini di maksudkan untuk membantu kami dalam proses pembelajaran,
khususnya dalam memenuhi syarat untuk mengikuti Ujian Akhir Semester (UAS).
Besar harapan kami semoga hasil makalah ini dapat memberikan manfaat yang
besar baik untuk kami maupun orang lain.Untuk itu kami mengucapkan terima kasih
kepada dosen kami yang telah membimbing kami dan kepada semua pihak yang telah
memberikan bantuan kepada kami dalam penyusunan makalah ini, walaupun demikian
kami menyadari bahwa makalah ini tidak lepas dari kekurangan dan keterbatasan kami
sebagai penyusun.
Penyusun berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi kita
semua. Amin.
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ................................................................................. i
DAFTAR ISI .............................................................................................. ii
BAB I PENGERTIAN DAN ANALISIS DERET BERKALA...................... 1
Komponen Deret Berkala........................................................................... 1
Ciri-ciri Trend.............................................................................................. 2
BAB II MENGHITUNG DATA BERKALA (Metode Least Square)........... 6
1. Cara 1................................................................................................... 6
2. Cara2.................................................................................................... 7
BAB III PENUTUP..................................................................................... 9
Kesimpulan................................................................................................. 9
DAFTAR PUSTAKA.................................................................................. 10