Suplemen GeoAnalitik PersamaanNormal

SUPLEMEN KULIAH GEOMETRI ANALITIK

(Dengan Pendekatan Vektor)

Oleh:
Murdanu, M.Pd.

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2010

Persamaan Normal suatu Garis

g

f

(f

g)

(O

f)

R

O

f
x
y

g

f

g

O

f

a
b

vf

vg

u
w

; k parameter.
vf

vg

x

f

w

vf

k

0

y

w
u

vf

w

p

w
u

atau v f

; p param eter

u

u

R
f

g

g

g

R (x R , y R )
R

xR

a

yR

b

xR

f

p

yR

k

u

; k param eter......(1)

w
w

; p param eter.............(2)

u

ruas-kiri-(1) = ruas-kiri-(2)
w

a

u

b

p

pw
pu

ku

k

u
w

pw

b

pu

k (u

2

2

w )

k (u
au

bw

kw
2

u

a

w

b

a .........(3)
b ............(4)

ku

puw
2

ku
kw

puw

u (3) + w (4)

k

u

a

kw

w

p

2

2

ua
wb

w )

au

bw

k

au
2
(u

bw
2
w )

…..(5)

pw
pu

ku
kw

a
b

substitusi (5) ke (1)
xR

a

yR

b

au
2
(u

2

xR

w a
2
(u

w

dan y R

Jarak(O,g) = OR =

xR
2

xR

2

2

w a
2
(u

2

(w a

buw
2
w )

(u
2

yR

xR
xR
xR
xR

2

2

2

2

2

2

u b
2
(u

yR
yR
yR
yR

2

2

(u b

auw
2
w )

(u
2

(w a )

2

2

2

2

(w a )
2

(w a )
2

bw .w
2
w )

u b

w b
2
(u

(w a )

2

2

2

auw
2
w )

yR

0

2

2

auw )

2

2

w )

2abuw
(u

2

au
2
(u

2

b

w )

2

2

3
2

w )

2abuw
2

(u b )
2

(u b )

2

2

3

auw
2
w )

w a
2
(u

buw )

2

2

u a

u b
2
(u

2

0

au
buw
2
w )

bw .u
2
w )

2

buw
2
w )

2

au
2
(u

u

bw
2
w )

2

a

2

2

2

xR
2

(w a )

2

(u
2

(u b )

2

2

2

2

2abu w

(u

2

(auw )

2

(u

2

(auw )

2

(u

2

2

(u b )
2

w )
2

2

2

w )

2

2

3

2abu w

(auw )

2

2abuw

3

2

2

2abuw (u

3

2abu w

2

(buw )
w )

2

(auw )

2

(buw )
w )

2

2

2

2

3

(u
2

(auw )

w )

(u b )

2

2

2

2

2

(buw )

(buw )

w )
3

(u
2

2

3

2abu w

2

(buw )

2

yR

2abuw

2

2

2

w )

bw

2

w a
2
(u

2

buw
2
w )

2

auw
2
w )

u b
2
(u

x
y

Jarak titik P ( x P , y p ) terhadap g

a
b

k

u
w

; k parameter.

Analisa I (Secara Scientific):
1) P g
jarak (P, g ) 0
2) P g
jarak (P, g) d ; d>0

P
h, f h

g
f

j

g

Q

h, j g, f
j

S

g

f

R
h

f
P=j

h, Q = g

O

g

h, R = g

f, S = f

j

Analisa II (Secara Analitic):
PQ
yP yQ
1) g sb x
3)

g

sb

x, g

sb

jarak (P,g) = jarak (S,g)

2)

y

R

g

sb

j

g sb

y

PQ

xP

PQ = SR

xQ

x

P

PQ

g

jarak (P,g) = PQ
Q

O

Sb-x
R
g

Untuk kemungkinan ke 3)
x
y

g

a
b

u
w

k

; k parameter …..(1)
R ( aww bu , 0)

R (x R , yR )

u
w

vg

dan R P

RP

xP

xP

aw bu
w

wx P

aw
w

wx P

2

xR

yP

yR

2

xR
2

xP

yP

2

bu

aw

wyP

aw bu
w

dan y R

xP

aw bu
w

bu

2

aw )
0

aw bu
w

2

yP

2

2

wyP

2

2

2

2

c
d
vg

vh

c
d

yP

w

aw

vg

2

bu

(bu

yP

xP

w

wx P

h P h, h g , v h

u
w

aw

xR

0

2

2

w

h g

wx P

2

2

bu

yP

yR

uy

aw bu
w

xP

yP

wx

…… (1)
vh

0

0

u.c + w.d = 0
u.c = -w.d
w .d ……. (2)
u
u .c ……. (3)
w

c
d

substitusi (2) ke (1) diperoleh v h

c
d

w
u

substitusi (3) ke (1) diperoleh v h

c
d

c

w
u

Karena P h dan v h
h g

Q

Q

Q=g

g

h

h

xQ

a

yQ

b

xQ

xP

yQ

yP

h

x
y

.d

d
u
w

xP
yP

u

n

; k param eter......(4)

w
n

w
u

c.

.c

Q g dan Q h; Q ( x Q , y Q )

k

d.

; n param eter.....(5)

w
u

w
u

1
1
u
w

w
u
w
u

0 ……….(2)

h g

f h,O f

h g
f h

f

O f

f

j g

vj

P j

j

g

vf

x
y

m

w
u

vh
w
u

; m parameter ………… (6)

u
w

vg

x

xP

y

yP

u

p

S
S( x S , y S )

f

; p param eter.....(7 )

w

f

xS

w

yS

u

j
S

j

xS

xP

u

yS

yP

w

ruas-kiri (8) = ruas-kiri (9)

w
u

;

w

xP

u

u

yP

w

xP

w

u

xP

u

w

yP

u

w

yP

u

x P .......(11)

xP

u

w

yP

u

2

w )

uw
uw
(u

ux P

ux P

xP

u.

yS

yP

w.

u

2

ux P
u

2

2

w )

2

wyP
w

w

2

ux P

wyP

2

w

ux P

yS

yP

u
2

w xP
u

2

w

xP

u

u

yP

w

......(13)

2

xP

u yP

param eter

wyP

xS

2

,

ux P
wyP

u

2

wyP

2

ux P

u xP

;

y P ..........(12)

u
2
w

wyP

Substitusi (13) ke (9)

xS

w

..........(8)

param eter .........(9)

u

w

2

param eter

w

u (11) + w (12)
(u

;

2

2

u

2

u xP
w

w yP
2

2

wyP

u

2

w

w

uw y P

2

w

2

2

w yP

u.

yP

w.

2

w xP
u

uw x P

xP

ux P
u

w

2

u yP
2

2

u

uw y P

2

u

ux P

2

uw x P
w

2

2

wyP
w

2

wyP
w

2

………(14)
………(15)

R
R (x R , yR )

f

f

g
R

g

xR

w

yR

u

........(16)

xR

a

u

yR

b

w

........(17 )

ruas-kiri (16) = ruas-kiri (17)
w

a

u

w

u

a

u

b

w

u

w

b

w

u

u

a

w

w

b

u

2

2

w )

2

(u

au

2

2

w )

xR

a

au
2
(u

bw .u
2
w )

au

yR

b

au
2
(u

bw .w
2
w )

a

yR

b

2

bu

b

au
2
(u

2

2

aw
2
u
2

bw

bw .........(20)
2
w )

xR

au

w

au
bw

au
2
(u

Substitusi (20) ke (17)

u

a

b ........(1 9 )

u
2
w

bw

u

a ........(1 8)

w

uw
uw

u (18) + w (19)
(u

u

w

au
2
w
2

bw
2
(u

auw
2
w )

w
2

bw .u
2
w )

b

au
2
(u

bw .w
2
w )

buw …….. (21)
2
w

aw
2
u
2

bw

au
2
(u

u

bw
2
w )

buw

a

2

bu
2
(u

auw ……. (22)
2
w )

Perhitungan jarak
SR

xR

xS

2

yR

yS

…………. (23)

2

(21) – (14)
2

xR
xR

xS
xS

aw
2
u
(a

2

buw
2
w
x P )w

2

u

2

w xP
u
(b

2

uw y P
w

2

y P )uw

2

buw

2

2

w

aw

u

w xP
2

w

uw y P

2

………(24)

(22) – (15)
2

yR

yR

yS

yS

bu
2
(u

(b

2

auw
2
w )

y P )u

2

u

2

u yP
u

(a
w

2

uw x P
w

2

2

auw

2

x P )uw
2

bu

u

………(25)

u yP
2

w

2

uw x P

(24) (24)
xR

xS

(a

2

2

x P )w

2

(b

u

2

w

y P )uw

2

(a

xP) w

4

2

(b

2

yP) u w

2

2

u

2

2(a

y P )uw

3

2

2

w

x P )(b

…………….(26)
(25) (25)
yR

yS

(b

2

2

y P )u

2

(a

u

2

w

x P )uw

2

(b

yP) u

4

2

(a

2

x P )u w

2

u

2

2(a

w

3

x P )(b

y P )u w

2

2

………………(27)
(26) + (27)
2

(a

xP) w

xR

4

xS
2

(b

2

4

xP) w

2

2

w
2

(b

yR

2

yP ) u w
u

(a

2

2

yS

2(a

x P )(b

y P )uw

3

2

(b

yP) u

4

2

(a

2

2

2

2

2(a

x P )(b

3

y P )uw
u

2

2

(b

2

4

x P )u w

2

2

(a

3

x P )(b

y P )u w

2

2(a

x P )(b

2

2

w

yP) u

2

2(a

w

u

yP ) u w

2

x P )u w

ruas-kiri (4) = ruas-kiri (5)
u

xP

b

w

yP

ku

nw

xP

a

ku

nw

xP

a

ku

nw

xP

a

.......(6)

kw

nu

yP

b

kw

nu

yP

b

kw

nu

yP

b

.......(7 )

a

k

w

n

u

2

(8)

k u

2

ku

w

2

2

kw

u (x p

Baris-I dari (10)
a u

2

xQ

w

2

xQ

a

2

2

2

a)
w

w

2

xP

a

u

yP

b

w (yp

2

.........(8)

u (x p

k

a)
u

a)
u

a)

b)

b)

u (x p

u (x p

(uw )( y p

a)

w (yp
a
b

2

u xp
u

u (x p

a)

w

u (x P a )
w (yP b)

u

u
2

2

u (x p

xQ
aw

n.w .u
n.w .u

xQ
yQ

substitusi (9) ke (4)

n

w

ku
2
kw

(6) u + (7) w

u

k

2

w (yp
w

2

(uw )( y p

w (yp
w

b) u
w

2

w (yp

2

w

.u

u (x p

a

a)
u

b)

2

au

2

aw

2

2

u xp
u

b)

……. (11)

......(9)

…….. (10)

2

b)

b)

2

2

(uw )( y p
2

w

au

2

w

2

b)

2

(uw )( y p

b)

3

y P )u w

Baris-II dari (10)
b u

2

yQ
2

w

b

2

u
bu

2

2

w yp
u

2

w

b)
.w

2

(uw )( x p

b

b)

bu

2

bw

2

u
a)

w (yp

2

w

(uw )( x p

2

w

2

a)
u

w (yp

2

w

w (yp

2

a)

(uw )( x p

2

a)
u

(uw )( x p

yQ

yQ

u (x p

2

b)

2

a)

2

w yp

bw

2

w

………(12)

Perhitungan jarak(P,g)
(P Q )

xP

2

2

xP

xQ

xP

yP

aw

xP

2

xPu

xQ

2

a)
u

bu
yP

yQ

yP

yQ

yP

2

aw

2

u xP

u

2

w

2

(uw )( y P

b)

2

w
2

u

yPu

2

yPw

2

(uw )( x p

2

w
2

bu

u
(yP

yQ

b )u

2

u

w

(uw )( y P

yP u

a)

2

w

(uw )( x p

(x P

xQ )

w (x P

2

u

a)

4

(x P

xQ)

w (x P

2

a)

w

2

2

a)

2

w (x P

b)

2

2

(yP

(yP

yQ )

yQ )

2

2

u

2

(yP

2

b) u

4

(uw )( x p
2

u

2

w

2

aw

2

u

2

w

2

yPu

2

2

b)

2

w

3

2 uw ( x P

2

(uw )( y P
w

2

w yp

2

w

bu

2

(uw )( x p

(uw )( x p
w

(uw )( y P

2

2

2

(yP

a)

2

3

a)
w

2u w ( x p
2

w

2

b )u

2

b)

2

2

a )( y P

b)

……..(15)
2

2

(uw )( x p
2

w

a )( y P

b)

u

(uw ) ( x p

b)

b)

2

2

2

2

2

u

(uw )( y P

2

a)

2
2

u xP

bu

u

(uw ) ( y P

b )u

2

xPw

w

2

u

(yP

aw

………(14)

(uw )( y P

2

b)

yP

u

2

a)

2

2

2
2

w

u

(uw )( x p
2

2

2

yQ

2

w yp

2

xP

……..(13)

2

w yp

yP

2

xQ

xP u

b)

w

2

2

(uw )( y P
2

xPw

w (x P

xQ

2

u xP

2

atau (P Q ) 2

yQ

u

2

xP

2

xQ

2

a)

2

……….(16)

a)

a)

2

(P Q )

2

2

xP

xQ
4

(15)

(16)

w (x P

2

yP

a)

yQ

2

2

(uw ) ( y P
u

(yP

2

b) u

4

2

w

2

(uw ) ( x p

4

(15)

(16)

a)

2

(yP

2

b) u

4

15

2

b)

u

w (x P

2

(PQ )

2 uw ( x P

a )( y P

b)

2

2

a)
2

16
3

2

w

3

2u w (x p
2

(uw )

a )( y P

b)

(yP

b)

2

2

(x p

a)
u

2

2

w

2

2

2

2 uw (u

2

2

w )( x P

a )( y P

b)