9354 12416 1 PB

(1)

KODE SSRS (SUBSPACE SUBCODES OF REED-SOLOMON)

Afifatus Sholihah

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, e-mail: [email protected]

Agung Lukito

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, e-mail: [email protected]

Abstrak

Salah satu kelas kode siklik nonlinier adalah Kode SSRS (Subspace Subcodes of Reed-Solomon). Kode SSRS merupakan subset kode RS (Reed-Solomon) atas 2 yang semua komponen katakodenya berada di subruang (2 ) berdimensi . Kode SSRS tidak linier atas (2 ) tetapi linier atas (2). Banyaknya katakode di kode SSRS adalah 2 ℂ, _{, dengan} _ℂ_, _{adalah dimensi kode SSRS atas}

(2).

Kata kunci: Kode SSRS, kelas kode Reed-Solomon, dan kode nonbiner.

Abstract

One of class of nonlinear cyclic codes is SSRS (Subspace Subcodes of Reed-Solomon) codes. SSRS codes are a subset of RS (Reed-Solomon) codes over 2 whose components are all of the RS codewords that lie in -dimensional vector subspace of (2 ). They are not linear over (2 ) but linear over (2). The number of codewords in a SSRS code is 2 ℂ, , with ℂ, is the dimension of SSRS codes over (2).

Keywords: SSRS codes, class of Reed-Solomon codes, and nonbinary codes.

1. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

Kode RS (Reed-Solomon) adalah salah satu kode yang mampu mengoreksi banyak kesalahan (multiple error). Karena keunggulannya dalam mendeteksi dan mengoreksi kesalahan, maka kode RS ini banyak digunakan dalam sistem telekomunikasi.

Salah satu kelas kode RS adalah kode SSRS. Kode SSRS merupakan kode RS atas 2 yang semua komponennya berada pada subruang 2 . Misalkan adalah subruang 2 yang berdimensi , maka kode SSRS tidak linier atas 2 . Karena ketidaklinieran kode SSRS atas 2 , maka kode SRS merupakan salah satu kelas kode nonlinier.

Karena kode SSRS adalah kode nonlinier, maka untuk menghitung banyak katakode di kode SSRS kita harus mendaftar satu per satu katakode di kode SSRS. Jika nilai (panjang katakode) besar, maka kita akan kesulitan mendaftar katakode di kode SSRS, sehingga pada makalah ini dibahas bagaimana mengetahui banyaknya katakode di kode SSRS tanpa mendaftar katakode di kode SSRS satu per satu, yaitu menggunakan teorema yang

menyatakan dimensi biner kode SSRS yang penulis ambil dari jurnal Hattori Mayasuki, Robbert J. McEliece dan Gustave Solomon yang berjudul Subspace Subcodes of Reed-Solomon Codes.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas maka rumusan masalah dalam makalah ini adalah berapa banyak katakode di kode SSRS.

1.3 Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan penulisan makalah adalah mengetahui banyaknya katakode di kode SSRS.

1.4 Batasan Masalah

Pada makalah ini tidak dibahas dekoding kode SSRS dan kode SSRS yang dibahas adalah kode SSRS atas

2 . Larik yang dimaksud pada makalah ini adalah

array.

(2)

Adapun manfaat dari penulisan makalah ini antara lain:

a. Bagi penulis, sebagai tambahan informasi dan wawasan mengenai kode SSRS.

b. Bagi pengguna matematika, sebagai tambahan pengetahuan bidang matematika, khususnya bidang pengkodean.

1.6 Metode Penulisan

Metode yang digunakan di sini adalah metode kajian pustaka. Adapun langkah-langkah dalam penulisan makalah ini adalah :

a. Mengumpulkan informasi yang berhubungan dengan materi terkait serta membaca, memahami dan menelaah beberapa buku dan referensi lain, seperti jurnal ilmiah, hasil penelitian terdahulu, dan lain-lain. b. Menuliskannya ke dalam bentuk makalah.

2. HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dibahas definisi formal kode SSRS serta konjugat lapangan, trace, subruang trace-dual, konjugat modulo , koset siklotomik modulo , larik sikltomik modulo , dan matriks siklotomik modulo yang digunakan untuk menghitung dimensi biner kode SSRS. Selain itu, dibahas teorema yang menyatakan dimensi biner kode SSRS yang digunakan untuk menghitung banyaknya katakode di kode SSRS dan beberapa lemma dan teorema yang berhubungan dengan kode SSRS serta akan diberikan contoh bagaimana menggunakan teorema dimensi biner kode SSRS untuk menghitung banyak katakode di kode SRSS jika diberikan kode RS atas 2 dan subruang 2 .

2.1KONJUGAT, TRACE, DAN SUBRUANG TRACE-DUAL

Definisi 2.1.1 (Konjugat) Misalkan perluasan lapangan ( ) dan ∈ . , , 2,…, −1

disebut konjugat .

Definisi 2.1.2 (Trace) Misalkan ∈ . Trace atas , dinotasikan dengan , didefinisikan dengan:

= + + 2 + + −1 , (2.1.1)

dengan | dan = . Contoh 2.1.1

Diberikan 24 sebagai berikut: Misalkan 4+ + 1 = , maka

24 ₌_ℤ

2 / 4+ + 1

= { , + 1, + , + (1 + ), + 2_{, + (1}

+ 2), + ( + 2), + 1 + + 2 _{, +} 3_{, +}

1 + 3 _{, +} ₊ 3 _{, +} 2₊ 3 _,

+ 1 + + 3 , + 1 + 2+ 3 , + + 2₊ 3 _,

+ 1 + + 2+ 3 }.

Elemen tak nol = + adalah elemen primitif

24 _{, sehingga diperoleh:}

0_{= + 1} 8_{= + (1 +} 2₎

1_{= +} 9_{= + ( +} 3₎

2_{= +} 2 10_{= + (1 +} ₊ 2₎

3_{= +} 3 11_{= + ( +} 2₊ 3₎

4_{= + (1 + )} 12_{= + (1 +} ₊ 2₊ 3₎ 5_{= + ( +} 2₎ 13_{= + (1 +} 2₊ 3₎ 6_{= + (} 2₊ 3₎ 14_{= + (1 +} 3₎ 7_{= + (1 +} ₊ 3₎

Jika elemen lapangan 0+ 1 + 2 2+ 3 3 disajikan dalam bentuk 4-tupel ( 0 1 2 3) dengan mengurutkan dari pangkat terkecil ke pangkat yang besar, maka dengan penyajian tersebut, elemen 24 _adalah:

0_{= 1000} 8_{= 1010}

1_{= 0100} 9_{= 0101}

2_{= 0010} 10_{= 1110}

3_{= 0001} 11_{= 0111}

4_{= 1100} 12_{= 1111}

5_{= 0110} 13_{= 1011}

6_{= 0011} 14_{= 1001}

7_{= 1101}

Konjugat 3= 0001adalah 3_{= 0001}

3 2₌ 6_{= 0011} 3 22 ₌ 12_{= 1111} 3 23 ₌ 9_{= 0101}_, dan 14 3 adalah 1000. Teorema 2.1.1

Jika | , maka 1 = 1 . Bukti:

Misalkan = .

1 = 1 + + +

−1

= + + + −1 + + +

+ −1 + + + +

−1 2

+ + + + +

−1 −1

= + + + −1 +

+ +1+ + −1 +1 +

+ +2+ + −1 +2 + + −1+ 2 −1+ +

−1

= + + 2+ + −1+ +

(3)

−1

+ −1 +1+ −1 +2+

+ −1

= + + 2+ + −1

= ₁ . ∎

Definisi 2.1.3 (Basis dual)

Diberikan = { 0, 1,…, −1} adalah basis untuk

2 , basis dual untuk adalah

= { ₀, ₁,…, ₋₁}⊆ 2 dengan

1 . =

1, =

0, ≠ . (2.1.2)

Dalam [13, hal. 110] dijelaskan bagaimana menentukan basis dual ini:

1. definisikan matriks persegi atas 2 dengan ordo

× dengan =

, =0

−1

dan = 1 ,

2. misalkan = −1_{maka jika entri} _, _matriks dinotasikan dengan maka basis dualnya adalah

= , = 0,1,…, −1 −1

Jika ∈ 2 , maka dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier basis yaitu:

= −1 =0

, ∈ 2 ,

disebut komponen biner ke- dari yang ditentukan dengan

= 1 , = 0,1,…, −1. (2.1.3) Dalam[13, hal. 110] juga dijelaskan basis dual selalu ada dan tunggal.

Contoh 2.1.2

Basis untuk 24 _{pada contoh 2.1.1 adalah}

1, , 2_, 3_{, sehingga diperoleh matriks} _dan sebagai berikut:

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 1

, =

1 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

. Basis dual untuk 1, , 2_, 3 _adalah

0= 1 + 3= 14_,

1= 2, 2= , dan 3= 1. Definisi 2.1.4 (Subruang Trace-Dual)

Misalkan subruang berdimensi dari 2 . Subruang trace-dual untuk , yang dinotasikan dengan

⊥_{, adalah subruang berdimensi}_�_dari ₂ _dengan �= − sedemikian hingga ∀ ∈ dan ∀ ∈ ⊥ berlaku :

1 = 0 ∀ ∈_{∀ ∈} ⊥_. (2.1.4) Basis yang merentang subruang trace-dual disebut basis trace-dual.

Contoh 2.1.3

Basis yang merentang 24 adalah = 1, , 2, 3 . Kemudian diberikan 1= 0, 0, , 4 , 2= 24 dan 3= 0, 0, , 2, 4, 5, 8, 10 adalah subruang

24 yang masing-masing subruang secara berurutan direntang basis 1= 1, , 2= 1, , 2, 3 dan 3= 1, , 2 , maka 1⊥= , 2⊥= 0 dan 3⊥=

0, 0 _.

2.2 KONJUGAT MODULO � DAN KOSET SIKLOTOMIK MODULO �

Definisi 2.2.1 (Konjugat Modulo �)

Diberikan adalah bilangan bulat positif ganjil dan adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga

|2 −1. Jika dan adalah bilangan bulat dengan

0≤ ≤ −1 dan 0≤ ≤ −1, maka dan disebut konjugat modulo jika dan hanya jika ∃ ∈ ℤ ∋2 ≡

( ). Contoh 2.2.1

Diberikan = 15. Bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi 15|2 −1 adalah = 4. Untuk = = 3

merupakan konjugat modulo 15 karena ∃ = 0∋20. 3≡ 3( 15). Sedangkan untuk ≠ dengan = 3, ada 9

dan 3, 12 dan 3, 6 dan 3 juga merupakan konjugat modulo 15 karena ada sedemikian hingga

21_{. 9}_≡₃₍ ₁₅₎

22.₁₂_≡₃₍ ₁₅₎

23. 6≡3( 15). Teorema 2.2.1

Konjugasi modulo adalah relasi ekuivalensi pada himpunan bilangan bulat

Bukti:

Akan ditunjukkan konjugasi modulo memenuhi sifat refleksif, simetris, dan transitif.

1) (Refleksif) ≡

Ambil sebarang ∈ ℤ dengan 0≤ ≤ −1. dan adalah konjugat modulo , karena ada = 0 sedemikian hingga 20 ₌ _≡ _.

2) (Simetris) 2 ≡ →2 ≡ ( )

Ambil sebarang , ∈ ℤ dengan 0≤ ≤ −1 ,

0≤ ≤ −1, dan

2 ≡ . Kedua ruas dikalikan 2 − dan diperoleh:

2 −2 ≡2 −

2 ≡2 − .

Karena adalah bilangan bulat terkecil yang memenuhi

|2 −1, |2 −1↔ 2 ≡1 . Jadi, 1 ≡2 −

≡2 −

2 − ≡ . Karena ada = − sedemikian hingga 2 ≡

, maka dan konjugat modulo .

3) (Transitif) 2 ≡ dan 2 ≡

→2 ≡ ( )

Ambil sebarang , , ∈ ℤ dengan 0≤ ≤ −1 ,

(4)

2 ≡ (2.2.1)

2 ≡ . (2.2.2)

Dari (2.2.1) dan (2.2.2) diperoleh 2 − = ₁ ,∃ ₁∈ ℤ dan 2 − = 2 , ∃ 2∈ ℤ. Dengan menggantikan

= 2 − ₁ ke (2.2.2), diperoleh 2 2 − 1 − = 2 2+ −2 1 − = 2 2 + ₋ ₌

2 + 2 1

2 + − = 2+ 2 1 . 2.2.3 Dari 2.2.3 , diperoleh 2+ _≡ _{. Karena ada}

= + sedemikian hingga 2 ≡ ( ), maka dan konjugat modulo .

Dari 1), 2), dan 3) terbukti bahwa konjugasi modulo adalah relasi ekuivalensi.∎

Karena konjugasi modulo merupakan relasi ekuivalensi maka diperoleh kelas-kelas ekuivalensi.

Definisi 2.2.2 (Koset Siklotomik modulo �)

Kelas-kelas ekuivalensi pada relasi konjugasi modulo disebut koset siklotomik modulo .

Jika ∈ ℤ , maka koset siklotomik yang memuat dapat dinyatakan sebagai himpunan { , 2 ,…, 2 −1 } yang dinotasikan dengan Ω , dengan adalah bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi 2 ≡ ( ), dan disebut dengan derajat , yang dinotasikan dengan

= deg⁡( ).

Untuk selanjutnya didefinisikan = dan adalah himpunan semua bilangan bulat terkecil pada setiap koset siklotomik modulo .

Contoh 2.2.2

Koset siklotomik modulo 15 dapat dinyatakan sebagai himpunan { , 2 ,…, 2 −1 } yang dinotasikan dengan Ω , dengan 0≤ ≤14. Bilangan bulat positif yang memenuhi 15|2 −1 adalah = 4. Kemudian, dicari bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi 2 ≡

( ), dengan 0≤ ≤14.

Untuk = 0, bilangan bulat positif 0 yang memenuhi

2 0₀≡₀₍ ₁₅₎_adalah

0= 1, sehingga Ω0= 0 dan 0= 1.

Untuk = 1, bilangan bulat positif 1 yang memenuhi

2 1₁≡₁₍ ₁₅₎ _adalah

1= 4 , sehingga Ω1=

1,2,4,8 dan 1= 1.

Dengan cara yang sama, diperoleh dan untuk

∈ 15= {0,1,3,5,7} adalah:

Ω0= 0 0= 1 0= 4

Ω1= 1,2,4,8 1= 4 1= 1

Ω3= 3,6,12,9 3= 4 3= 1

Ω5= 5,10 5= 2 5= 2

Ω7= 7,14,13,11 7= 4 7= 1 Definisi 2.2.3 (Larik Siklotomik modulo �)

Larik siklotomik modulo adalah larik bilangan bulat dengan | | baris dan kolom, yang baris ke- berkorespondensi dengan koset siklotomik ke- .

Karena itu, larik siklotomik modulo merupakan matriks bilangan bulat berordo | | × yang entri-entrinya adalah bilangan bulat modulo dan entri ke- , =

2 ( ) dengan ∈ dan ∈{0,1,…, −1}. Contoh 2.2.3

Dari contoh 2.2.2 dapat dibentuk larik siklotomik modulo

15 sebagai berikut:

Index

0 1 2 3

= 0 0 0 0 0 ₀= 1 0= 4

= 1 1 2 4 8 ₁= 4 ₁= 1

= 3 3 6 12 9 3= 4 3= 1

= 5 5 10 5 10 ₅= 2 ₅= 2

= 7 7 14 13 11 7= 4 7= 1

2.3 MATRIKS SIKLOTOMIK MODULO �

Misalkan adalah subruang dari 2 atas 2

yang berdimensi dan basis trace-dual yang merentang subruang trace-dual ⊥ adalah { 0, 1,…, �−1}.

Definisi 2.3.1 (Matriks Siklotomik)

Diberikan himpunan dan koset siklotomik modulo . Himpunan adalah himpunan bilangan bulat yang elemennya dipilih dari {0,1,…, −1} yang membentuk barisan aritmatika modulo yang bedanya prima relatif dengan . Kemudian, didefinisikan = Ω untuk setiap ∈ . Misalkan = | | adalah banyaknya elemen dan adalah himpunan bilangan bulat yang memenuhi 2 ∈ dengan 0≤ ≤ −1, maka

= = , dengan

= 0, 1,…, ₋1 , 0< 1< < −1. (2.3.1)

Matriks siklotomik ke- , yang dinotasikan dengan �, yang terkait dengan Ω didefinisikan sebagai matriks dengan ordo � × yang berbentuk:

� =

02 −0

02 −1

12 −0

12 −1

− −1

⋱ � −2 1

−0

�−2 1 −1

�−2 1

− −1

, (2.3.2)

dengan { 0, 1,…, �−1} adalah basis trace-dual. Contoh 2.3.1

Diberikan subruang 24 adalah = 0, 0, , 4 . Subruang trace-dual untuk ⊥= . Kemudian diberikan

= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} dan koset siklotomik modulo 15

pada contoh 2.2.2, sehingga diperoleh 15= {0,1,3,5,7} dan larik siklotomik modulo 15 adalah:

Index 0 1 2 3

(5)

= 1 1 2 4 8 ₁= 4 1= {0,1,2,3} 1= 4

= 3 3 6 12 9 ₃= 3 ₃= {0,1,3} ₃= 3 = 5 5 10 5 10 5= 1 5= {0,2} 5= 2

= 7 7 14 13 11 ₇= 1 7= {0} 7= 1

Sehingga matriks siklotomik untuk adalah: �1= 1 18

1 1

4 2 . �3= 1 18 12 �5= 1 14 �7= 1 .

2.4 KODE SSRS

Diberikan lapangan 2 , bilangan bulat positif ganjil dengan |2 −1, akar ke- kesatuan primitif di

2 , misalkan , dan himpunan . Himpunan adalah himpunan 0 bilangan bulat yang elemennya dipilih dari {0,1,…, −1} yang membentuk barisan aritmatika modulo yang bedanya prima relatif dengan . Kemudian didefinisikan ℂ( ) adalah kode RS dengan parameter ( , 0, 0) atas 2 , dengan polinomial cek paritas ( ) dan polinomial pembangkit ( )

sebagai berikut:

= − (2.4.1) ∈

= − , (2.4.2) ∈

dengan adalah himpunan − 0 bilangan bulat yang membentuk komplemen sedemikian hingga −1 =

Karena ℂ( ) merupakan kode RS atas 2 dengan parameter ( , 0, 0), maka ℂ( ) terdiri atas semua vektor �= (�0,�1,…,� −1) dengan � ∈ 2 . Jika

� dinyatakan dalam polinomial, maka � adalah koefisien–koefisien pada polinomial tersebut. Dengan menggunakan polinomial Mattson-Solomon diperoleh:

� = , = 0,1,…, −1, (2.4.3)

dengan

= ∈

, ∀ ∈ 2 . 2.4.4

Untuk selanjutnya, jika diberikan himpunan , maka himpunan adalah himpunan 0 bilangan bulat yang elemennya dipilih dari {0,1,…, −1} yang membentuk barisan aritmatika modulo yang bedanya prima relatif dengan . Dan himpunan yang elemen-elemennya adalah

untuk ∈ dinotasikan dengan .

Definisi 2.4.1 (Definisi Formal Kode SSRS)

Diberikan ℂ ( , 0, 0) adalah kode siklik RS atas

(2 ) dan adalah subruang dari (2 ) berdimensi

ν. Subspace subcode yang terkait dengan ℂ dan , yang dinotasikan dengan ℂ , didefinisikan sebagai himpunan katakode ℂ yang semua komponennya berada di . Contoh 2.4.1

Diberikan ℂ adalah kode RS atas 24 dengan parameter 5,3,3 dan = 0, 0, , 4, 6, 11, 13

adalah subruang 24 _atas ₂ _{yang direntang basis} 0_{, ,} 6 _{. Kode} _ℂ _{adalah kode} _ℂ _{yang semua} komponennya berada di . Salah satu katakode di ℂ adalah 4 13 6 13 11_{yang merupakan kode RS atas}

24 _dengan:

= − − 2 − 3

= 3₊ 11 2₊ 13 ₊ 6

= − 0 − 4 = 2+ + 4. Kode ℂ kode nonlinier atas 2 sehingga banyaknya katakode di ℂ tidak selalu perpangkatan 2 . Akan tetapi, ℂ adalah kode linier atas (2) sehingga untuk menentukan banyak katakode di ℂ bisa menggunakan sifat ℂ yang merupakan kode linier atas (2). Karena

ℂ kode linier atas (2), maka banyaknya katakode di

ℂ adalah perpangkatan 2.

Misalkan dimensi ℂ atas (2) adalah (ℂ, ) dan |ℂ |

adalah banyaknya katakode di ℂ , maka

ℂ = 2 (ℂ, )_{, (2.4.5)} dan dimensi untuk ℂ atas adalah:

ℂ, =1 ℂ, = log ℂ . 2.4.6

2.5 DIMENSI KODE SSRS

Diberikan ( ) adalah polinomial atas (2 ) yang berderajat −1 dengan |2 −1, maka

= −1 =0

, ∈ 2 . (2.5.1)

Kemudian, didefinisikan polinomial � sebagai berikut:

� = 1 −1 (2.5.2)

= � (2.5.3) −1

=0 Lemma 2.5.1

Diberikan yang didefinisikan oleh (2.5.1) dan � oleh (2.5.2) dan (2.5.3). Misalkan adalah akar ke- kesatuan primitif di (2 ), maka 1 =

0 untuk ∈{1, , 2_,_…_, −1_}_{jika dan hanya jika}

� = 0 untuk = 0,1,…, −1. Bukti:

← Karena � = 0 untuk = 0,1,…, −1, maka

� = 0 sehingga

(6)

Dari ∗ diperoleh −1| 1 . Karena adalah akar ke- kesatuan primitif di (2 ), maka = 1

untuk ∈{1, , 2,…, −1} , sehingga −

1| 1 = 0| 1 . Karena 0| 1 , maka 1 = 0 untuk ∈{1, , 2,…, −1}.

→ Karena ₁ = 0 untuk

∈{1, , 2_,_…_, −1_} _, _maka _diketahui _� mempunyai akar yang berbeda. Karena � berderajat

−1, maka � mempunyai paling banyak −1 akar yang berbeda di sebarang lapangan perluasan 2 , sehingga � adalah polinomial nol yang koefisien – koefisiennya adalah nol untuk = 0,1,…, −1. ∎ Lemma 2.5.2

Diberikan yang didefinisikan oleh (2.5.1) dan � oleh (2.5.2) dan (2.5.3). Jika = ( ) untuk ∈

0,1,2,…, −1 , maka

� = ₂2 −

−1 =0

dengan adalah bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi |2 −1 dan 2 , 2 − dalam modulo . Bukti:

Karena � adalah koefisien di � , maka untuk menentukan � digunakan � yang didefinisikan sebagai:

� = 1 −1 . 2.5.4 Karena = −1

=0 , maka

� = 1 −1

= 1 −1

−1 =0

= + 2+ −1

+ 2 −

−1

= + 2 2 ₊

−1 =0

+ 2 −1 2 −1

−1 . 2.5.5

Karena pangkat yang muncul pada ekspansi 1

adalah konjugat modulo ; yaitu, , 2 ,… , 2 −1 , maka untuk ∈ , 2 ,…, 2 −1 _berlaku

−1 = , sehingga untuk ∈ Ω , � di

� adalah koefisien di � .

Dari 2.5.5 diperoleh suku polinomial � dengan pangkat dan ∈ Ω , � , sebagai berikut:

� = + 2₊ 22₊ ₊ 2 −1 _,

sehingga

� = + 2+ 22+ + 2 −1 = 2,

−1 =0

2.5.6

dengan 2 dan dalam modulo .

Karena |2 −1, maka 2 ≡ , 2.5.7

Sehingga ada sedemikian hingga = untuk

∈ 0,1,2,…, −1 .

Karena = , maka untuk setiap ∈ Ω , ada bilangan bulat dengan ∈ 0,1,…, −1 sedemikian

hingga 2 = , sehingga 2 ≡ .

Karena konjugasi modulo bersifat simetris, maka berdasarkan teorema 3.2.1 ada = − sedemikian hingga 2 ≡ atau dapat ditulis 2 =

. Berdasarkan 2.5.7 , maka ∈ 0,1,…, −1 juga memenuhi 2 = . Dengan mengganti = 2 = 2 − dan dengan ∈ 0,1,…, −1 , maka diperoleh:

� = ₂2 − _. −1 =0

2.5.8

Karena

2 2 − =

2 − 2 = , maka

� = _{2 ,}2 − −1 =0

2.5.9

dengan 2 − dan 2 dalam modulo .∎ Lemma 2.5.3

Jika 1 dan 2 adalah konjugat modulo maka �1 dan

�2 adalah konjugat di (2 ).

Bukti:

Karena 1 dan 2 adalah konjugat modulo dan jika 1 dan 2berderajat , maka 2 1≡ 2 dengan

∈{0,1,…, −1}, sehingga 2 1 = 2. Untuk membuktikan �₁ dan �₂ adalah konjugat di (2 ), maka akan ditunjukkan �2 1 =�2

2 _{. Dengan} menggunakan lemma 3.5.2 untuk menghitung �2₂ maka akan diperoleh:

�2₂ ₌ 2 2

2 −

−1 =0

= ₂

2 −2

−1 =0

2.5.10

Karena 2 −2 2 = 2 , maka 2 −2 2≡ 2 . Karena kongruensi bersifat transitif dan

2 1≡ 1 , maka 2 −2 2≡ 1 ,

sehingga dengan mengalikan kedua ruas dengan 2

diperoleh:

2 − 2 2 ₂ ≡2 ₁ . 2.5.11

Dari 2.5.11 diperoleh:

�2

2 ₌

2 2

2 −2

−1 =0

= _{2 2}

2 −

−1 =0

=�₂ ₁ ,

dengan 2 1dalam modulo . ∎ Teorema 2.5.1 (Dimensi Kode SSRS)

Diberikan himpunan dan sebuah kode siklik RS

ℂ( , 0, 0) atas 2 yang didefinisikan sebagai

(7)

2 yang direntang oleh basis { 0, 1,…, −1} dan

⊥_{adalah subruang trace-dual dari berdimensi}_�_yang

direntang oleh basis 0, 1,…, �−1 , dengan �= − . Misalkan adalah rank matriks siklotomik ke- , �. Dimensi biner kode ℂ , yang dinotasikan dengan (ℂ, ), adalah:

ℂ, = − (2.6.2) ∈

= − , (2.6.3) ∈

dengan = himpunan semua bilangan bulat terkecil pada setiap koset siklotomik modulo ,

= banyaknya anggota koset siklotomik yang memuat ,

= banyak bilangan bulat di = Ω , dengan Ω adalah koset siklotomik yang memuat ,

= banyaknya bilangan bulat sedemikian hingga 2 ∈ ,

= bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga |2 −1.

Bukti:

Jika adalah subruang (2 ) yang direntang basis

= { ₀,…, ₋₁}, maka selalu dapat ditemukan basis untuk (2 ) dari perluasan basis dengan bentuk:

�= 0, 1,…, −1, ,…, −1 .

Karena ℂ adalah kode RS ( , 0) atas 2 , maka ℂ terdiri atas vektor-vektor �= (�0,�1,…,� −1) dengan

� ∈ 2 , = 0,1,…, −1 . Jika � diekspansi menjadi -tupel barisan biner yang bergantung pada basis �, maka berdasarkan definisi 2.4.1 kode SSRS adalah himpunan katakode ℂ yang komponen binernya adalah nol jika berkorespondensi dengan { ,…, ₋1}. Jika basis trace-dual untuk ⊥ dinotasikan dengan

� = ₀, ₁,…, _{� −}₁ , maka dapat dibentuk basis untuk

2 dari perluasan basis � ; yaitu, 0, 1,…, � −1, �,…, −1 . Dengan menggunakan

(2.1.5), maka kode SSRS dapat didefinisikan sebagai himpunan katakode ℂ dengan bentuk

�= (�0,�1,…,� −1) yang memenuhi: 1 � = 0,

= , + 1,…, −1

= 0,1,…, −1. (2.6.4 )

Jika definisi kode SSRS dikombinasikan dengan polinomial yang didefinisikan di 2.4.4 , maka didapatkan persamaan yang ekuivalen dengan (2.6.4)

sebagai berikut: 1

∈

= 0, = 0,1,2,… � −1

∈ 1, −1_, −2_,_…_, − −1 _. (2.6.5) Kemudian didefinisikan polinomial dan � untuk = 0,1,…. ,� −1 sebagai berikut:

= 2.6.6 ∈

� = ₁ −1 . (2.6.7)

1 = 0 jika dan hanya jika � = 0 untuk

∈{1, ,…, −1_}_{. Berdasarkan lemma 2.5.1,}_�₌

0 jika dan hanya jika

�_, = 0 = 0,1,…,� −1

∈ , (2.6.8)

dengan �, adalah koefisien pada polinomial � ( ). Dengan menggunakan lemma 2.5.2, didapatkan koefisien

�, sebagai berikut:

�, = 2

− 2 2 −

−1 =0

dengan 2 dan 2 − dalam modulo .

Karena kode SSRS adalah kode RS siklik ℂ , maka bilangan bulat pada �, adalah bilangan bulat sedemikian hingga 2 ∈ = Ω, sehingga

�, = 2 −

.2 , 2 −

∈

(2.6.9)

dengan adalah himpunan bilangan bulat sedemikian

hingga 2 ∈ = Ω.

Himpunan yang elemen-elemennya adalah dengan

∈ bersesuaian dengan sebuah katakode di ℂ jika dan hanya jika � , = 0 untuk setiap = 0,1,…,� −1 dan

∈ . Dengan menggunakan lemma 2.5.3, jika 1, 2 adalah konjugat modulo atau 1 dan 2 berada di koset siklotomik yang sama dan �,1,�,2 juga konjugat di

2 , sehingga jika �, = 0 untuk satu elemen dari koset siklotomik modulo yang memuat yang diberikan, maka koefisien semua elemen yang berada di koset siklotomik modulo yang memuat adalah nol. Oleh karena itu, ketika menghitung banyak koefisien himpunan sedemikian sehingga �, = 0 cukup dengan membatasi yang berada pada himpunan . Jadi, untuk menghitung banyak himpunan yang berkorespondensi dengan kode SSRS ℂ sama dengan menghitung banyak solusi sistem persamaan yang berbentuk:

2 − .2 2 −

∈

= 0, = 0,1,…,� −1, ∈ . 2.7.1

Misalkan menyatakan banyak solusi pada sistem persamaan yang didefinisikan oleh (2.7.1) . Karena sistem persamaan di (2.7.1) hanya melibatkan variabel-varibel pada , dengan adalah koset siklotomik ke- , maka kita bisa menghitung banyak solusi sistem persamaan yang berkorespondensi pada tiap-tiap koset siklotomik secara terpisah. Ini berarti bahwa total banyak katakode di kode ℂ yang dinotasikan dengan diberikan oleh:

= ∈

. (2.7.2)

Teorema 2.5.1 akan terbukti jika kita bisa menunjukkan bahwa

= 2 − = 2 ( − ). (2.7.3)

Jika (2.7.3) terbukti, maka dimensi biner ℂ adalah

ℂ, = , ∈

(8)

Persamaan (2.7.1) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks dengan menggunakan matriks siklotomik ke- yang didefinisikan di (2.3.2), sehingga didapatkan: �� =� , (2.7.5)

dengan

�= _.20

2 −0

, _.21

2 −1

,…,

.2 −1 2 − −1

. (2.7.6)

Matriks � adalah matriks �× dengan entri ke-( , )

adalah − . Jika ≠ , maka ada variabel berbeda pada vektor � dengan tiap-tiap variabel muncul kali sebagai komponen �. Karena pembahasan selanjutnya hanya membahas koset siklotomik ke- maka indeks dihilangkan pada , , , , sehingga , , ,

menyatakan , , , .

Ada 2 kasus; yaitu, = dan ≠ . Kasus 1. =

Untuk = , semua komponen 2_.2− pada persamaan

(2.7.6) , dengan ∈ , adalah berbeda. Kemudian didefinisikan variabel sebagai:

= 2_.2− , = 0,1,…, −1. (2.7.7)

Karena pemetaan � → �2 − adalah pemetaan satu-satu, maka _.2 dapat diperoleh kembali dengan tunggal dari , sehingga dimensi ℂ atas (2) adalah dimensi ruang solusi sistem persamaan berikut:

�� =� , 2.7.8

dengan

�= ₀, ₁,…, ₋₁ = ₀, ₁,…, ₋₁ . (2.7.9)

Karena sistem persamaan pada (2.7.8) berupa persamaan polinomial atas (2 ) yang membentuk ruang vektor atas (2 ) dan juga merupakan persamaan linier homogen, maka himpunan solusi sistem (2.7.8)

membentuk ruang solusi. Sehingga himpunan solusi sistem (2.7.8) adalah ruang vektor atas (2 ) dan dimensi ℂ atas (2 ) adalah dimensi ruang solusi sistem persamaan (2.7.8) atau nolitas matriks �. Nolitas matriks � adalah − , dengan adalah banyak variabel dan adalah rank �. Jadi, banyak solusi sistem (2.7.8)

adalah (2 ) − = 2 − = 2 ( − )_. Kasus 2. ≠

Untuk ≠ , ada komponen berbeda di � dengan tiap-tiap komponen muncul kali. Karena indeks , = 0,1,…, −1 di (2.3.1) diasumsikan berurutan naik, maka komponen pertama � adalah berbeda dari yang lain dan pengulangan kali di urutan yang sama, sehingga � dapat ditulis sebagai berikut:

�= [

.20

2 −0

, 2_.2₁−1,…, 2_.2− −₋₁ 1

_.20

2 −0−

, 2_.2₁−1−

,…, 2_.2− −₋₁ 1−

_,_…_,

.20

2 −0−( −1)

, _.21

2 −1−(−1)

,…, _.2 ₋1

2 − −1−( −1)

_{]. (2.8.1)}

Karena adalah derajat , maka

2 ≡ ↔ 2 − = 2 −1 ↔ ₁=

2 −1 , ₁∈ ℤ .

Karena |2 −1, maka 2= 2 −1, 2∈ ℤ sehingga 2= 2 −1

2 −1

1 2= 2 −1

2 −1 2= 1 2 −1

2 −1 2 = 1 2 −1 . 2.8.2 Dari 2.8.2 diperoleh 2 −1|2 −1, sehingga | dan

(2 )⊆ 2 dan 2 dapat dipandang sebagai ruang vektor atas (2 ) yang berdimensi

= . Jika adalah akar primitif (2 ), maka

{1, ,… , −1} adalah basis (2 ) atas (2 )

sehingga untuk sebarang ∈ (2 ) dapat dinyatakan secara tunggal sebagai:

= ,

−1 =0

∈ 2 .

Sehingga setiap koefisien 2_.2− ∈ (2 ) bisa diuraikan sebagai:

.2 2 −

= ,

−1 =0

, = 0,1,…, −1, 2.8.3

dengan , ∈ (2 ) untuk semua = 0,1,…, −1. Kemudian setiap komponen � akan diuraikan menjadi variabel di sublapangan (2 ) . Karena 2 ≡

dengan ∈ ℤ+ ₀ _{, maka} ₂ ₂ _≡

2 dengan yang memenuhi 2 ∈

adalah elemen . Akibatnya, jika indeks pada , maka

+ , + 2 ,…, + −1 juga di sehingga jika 2 − _di_�_{, maka:}

2 − − _, 2 − −2 _,_…_, 2 − −( −1)

juga di � . Kemudian tiap-tiap bentuk 2 − _, 2 − − _, 2 − −2 _,_…_, 2 − −( −1) _{dapat ditulis}

.2 2 − −

dengan ∈ 0,1,2,…, −1 diekspansi ke bentuk variabel ,. Dengan menggunakan (2.8.3), maka didapatkan:

.2 2 − −

= ,

−1 =0

2−

2.8.4

= , 2−

−1 =0

(2.8.5)

= 2_,− −1 =0

,2 −

(2.8.6)

dengan semua superskrip dan subskrip pada (2.8.4) – (2.8.6) dalam modulo . Karena , ∈ (2 ) dan

2− _{adalah konjugat}

, di (2 ), maka 2, −

,, sehingga

2 − − ₌

, ,2 − −1

(9)

Jika didefinisikan dua vektor; yaitu, � dan � dengan panjang sebagai berikut:

� =

.2 2 − _,

2 − − _,_…_, .2

2 − − −1 _2.8.8

� = ,0, ,1,…, , −1 , (2.8.9) maka (2.8.7) bisa dinyatakan sebagai:

� = � , (2.9.1)

dengan adalah matriks Vandermonde × yang didefinisikan sebagai berikut

1 1 2 _… ( −1)

1 1.2− 2.2− … ( −1).2−

1 1.2−2 _2.2−2

… ( −1).2−2

⋱ 1 1.2−(−1) _2.2−(−1)

… ( −1).2−(−1)

(2.9.2)

Karena = dan akar primitif (2 ) serta matriks nonsingular, maka himpunan elemen-elemen pada kolom kedua ; yaitu, , 2− _, 2−2 _,_…_, 2− −1 _, semuanya berbeda.

Kemudian didefinisikan 2 vektor, �′ dan � sebagai berikut:

�′= �0,�1,…,�−1 (2.9.3)

�= �₀,�₁,…,� ₋₁ . (2.9.4)

Karena matriks di (2.9.2) tidak bergantung pada , maka kita bisa menyatakan hubungan �′ dan � pada

(2.9.3) dan (2.9.4) sebagai:

�′ = � , (2.9.5)

dengan adalah matriks × sebagai berikut:

0 … 0 0 … 0

⋱ 0 0 …

. (2.9.6)

Vektor � yang didefinisikan di (2.7.6) dan vektor �′ didefinisikan di (2.9.3) memiliki dimensi sama, misalkan

, dan komponen-komponen yang sama memiliki urutan yang berbeda. Dengan kata lain, kedua vektor dari � dan

�′_{adalah permutasi satu sama lain. Karena sebarang}

permutasi vektor bisa dinyatakan dengan perkalian sebelah kiri dengan matriks permutasi nonsingular, misalkan , maka diperoleh:

� = �′ . (2.9.7)

Dengan mensubstitusikan (2.9.5) dan (2.9.7) ke 2.7.8 , diperoleh:

� � =� , 2.9.8

sehingga banyak solusi sistem persamaan 2.7.5 sama dengan banyak solusi sistem 2.9.8 karena transformasi linier matriks nonsingular tidak mengubah dimensi ruang solusi. Karena sistem persamaan di 2.9.8 adalah himpunan � persamaan linier pada variabel yang berada di sublapangan (2 ), maka banyaknya solusi adalah perpangkatan 2 dan dimensi ℂ atas (2 )

adalah ruang solusi sistem 2.9.8 atau nolitas�; yaitu,

− , sehingga total banyak solusi 2.9.8 adalah

2 ( − ).

Jadi, dimensi biner untuk kode ℂ adalah

ℂ, = − ∈

= − . ∎ ∈

3.6.1 CONTOH

Diberikan ℂ 15, 7,9 adalah kode siklik RS atas 24 , subruang 24 _adalah _yang _{direntang basis} _1, dan diberikan himpunan = 1,3,5,7,9,11,13 . Subruang trace-dual untuk ⊥= . Untuk menentukan dimensi kode ℂ , diberikan koset siklotomik modulo 15 pada contoh 2.2.3, larik siklotomik modulo 15, dan matriks siklotomik modulo 15.

Koset siklotomik modulo 15 adalah sebagai berikut:

Ω0= 0 0= 1 0= 4

Ω1= 1,2,4,8 1= 4 1= 1

Ω3= 3,6,12,9 3= 4 3= 1

Ω5= 5,10 5= 2 5= 2

Ω7= 7,14,13,11 7= 4 7= 1 dengan 15 = 0,1,3,5,7 .

Larik siklotomik modulo 15 adalah:

Index

0 1 2 3

= 0 0 0 0 0 0= 0 0=∅ 0= 0

= 1 1 2 4 8 ₁= 1 1= {0} 1= 1

= 3 3 6 12 9 3= 2 3= {0,3} 3= 2

= 5 5 10 5 10 ₅= 1 5= {0,2} 5= 2

= 7 7 14 13 11 7= 3 7= {0,2,3} 7= 3

Matriks siklotomik untuk adalah: �1= 1 �3=

1 1

2 �5= 1 14 �7= 1 14 12 .

Rank matriks �1,�3,�5 dan �7 adalah 1= 1, 3= 5= 7= 2

Dengan menggunakan teorema 2.5.1, dimensi biner ℂ adalah

ℂ, 1 = ( − )

∈15

= 4 1−1 + 4 2−2 + 2 2−2 + 4(3−2) = 4,

atau

ℂ, ₁ = −

∈15

= 4.1−1.4 + 4.2−2.4 + 4.1−2.2 + 4.3−2.4

= 12−8

= 4,

sehingga didapatkan kode SSRS dengan parameter

(15,2,14) atas dan banyaknya katakode di ℂ adalah

24_{= 16}_.

3. KESIMPULAN

Dari pembahasan diatas, diperoleh simpulan sebagai berikut:

1. Kode SSRS (Subspace Subcode Reed-Solomon) adalah salah satu kelas dari kode nonbiner RS (Reed-Solomon) ℂ

(10)

atas (2 ) dengan parameter ( , 0) yang berisi himpunan katakode ℂ yang semua komponennya berada di subruang (2 ) yang berdimensi ν, misalkan , yang dinotasikan dengan ℂ .

2. Misalkan dimensi ℂ atas (2) adalah (ℂ, ) dan

|ℂ | adalah banyaknya katakode di ℂ , maka ℂ = 2 (ℂ, )_{dan dimensi untuk}_ℂ _{atas adalah:}

ℂ, =1 ℂ, = log ℂ .

Menggunakan teorema 2.5.1 diperoleh dimensi biner kode ℂ , yang dinotasikan dengan (ℂ, ), adalah:

ℂ, = − ∈

= − , ∈

dengan = himpunan semua bilangan bulat terkecil pada setiap koset siklotomik modulo ,

= banyaknya anggota koset siklotomik yang memuat ,

= banyak bilangan bulat di = Ω , dengan Ω adalah koset siklotomik yang memuat ,

= banyaknya bilangan bulat sedemikian hingga 2 ∈ ,

= bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga |2 −1,

sehingga banyaknya katakode di kode SSRS adalah

2 ∈ − _{= 2} ∈ − _.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Pretzel, Oliver. 1992. Error-Correcting Codes and Finite Fields. New York: Oxford University Press. [2] Lint, J.H. Van. 1998. Introduction to Coding Theory,

Third Edition. New York:Springer-Verlag Berlin Heidelberg.

[3] Pless, Vera. 1989. Introduction to The Theory of Error Correcting Codes, Second Edition. New York: John Wiley and Sons.

[4] Wicker, Stephen B. 1995. Error Control Systems of Digital Communication and Storage. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

[5] Wibisono, Gunawan dan Sari, Lydia. 2010. Teknik Pengodean Sistem Komunikasi Dijital. Bandung: Rekayasa Sains.

[6] Anton, Howard dan Rorres, Chris. 2004. Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi (Terjemahan). Jakarta : Penerbit Erlangga.

[7] Kholifah, Lia. 2012. Konstruksi Kode LDPC (Low Density Parity Check) dari Koset Siklotomik. Surabaya: UNESA(Tidak diterbitkan).

[8] Robinson, D.J.S. 2003. An Introduction to Abstract Algebra. Berlin: Walter de Grusyter.

[9] Lidl, Rudolf and Harald Niederreiter. 1994.

Introduction to Finite Fields and Their Applications. United Kingdom : Cambridge University Press. [10] Hersten, I. N. 1996. Abstract Algebra, 3nd Edition.

New Jersey : Prentice Hall Internasional, Inc. [11] Fraleigh, John B. 2000. A First Course in Abstract

Algebra, 4th Edition. New York : Addison-Wesley Publising Company.

[12] Gallian, J.A. 1990. Contemporary Abstract Algebra, 2nd Edition. New York : Spgelangganger Science and Business Media, LLC.

[13] R. J. McEliece. 1987. Finite Fields for Computer Scientists and Engineers. Boston, MA: Kluwer. [14] J. Gilbert, William and W. Keith Nicholson. 2004.

Modern Algebra with application, 2nd Edition. Canada: John Wileyand Son, Inc.

[15] Hattorio, Masuksyuki dkk. 1998. Subspace Subcodes

of Reed-Solomon

Codes,(Online),(http://authors.library.caltech.edu/6

792/1/HATieeetit98.pdf diakses pada 26 September

2013).

[16] McEliece, R.J. dan Solomon, Gustave. 1994. Trace-Shortened Reed-Solomon Codes,(Online),

(

(1)

= 1 1 2 4 8 ₁= 4 1= {0,1,2,3} 1= 4

= 3 3 6 12 9 ₃= 3 ₃= {0,1,3} ₃= 3 = 5 5 10 5 10 5= 1 5= {0,2} 5= 2

= 7 7 14 13 11 ₇= 1 7= {0} 7= 1

Sehingga matriks siklotomik untuk adalah: �1= 1 18

1 1

4 2 .

�3= 1 18 12

�5= 1 14

�7= 1 .

2.4 KODE SSRS

Diberikan lapangan 2 , bilangan bulat positif ganjil dengan |2 −1, akar ke- kesatuan primitif di

2 , misalkan , dan himpunan . Himpunan adalah himpunan 0 bilangan bulat yang elemennya

dipilih dari {0,1,…, −1} yang membentuk barisan aritmatika modulo yang bedanya prima relatif dengan . Kemudian didefinisikan ℂ( ) adalah kode RS dengan parameter ( , 0, 0) atas 2 , dengan polinomial

cek paritas ( ) dan polinomial pembangkit ( ) sebagai berikut:

= − (2.4.1)

∈

= − , (2.4.2)

∈

dengan adalah himpunan − 0 bilangan bulat yang

membentuk komplemen sedemikian hingga −1 =

Karena ℂ( ) merupakan kode RS atas 2 dengan parameter ( , 0, 0), maka ℂ( ) terdiri atas semua

vektor �= (�0,�1,…,� −1)dengan � ∈ 2 . Jika � dinyatakan dalam polinomial, maka � adalah koefisien–koefisien pada polinomial tersebut. Dengan menggunakan polinomial Mattson-Solomon diperoleh:

� = , = 0,1,…, −1, (2.4.3) dengan

∈

, ∀ ∈ 2 . 2.4.4

Untuk selanjutnya, jika diberikan himpunan , maka himpunan adalah himpunan 0 bilangan bulat yang

elemennya dipilih dari {0,1,…, −1} yang membentuk barisan aritmatika modulo yang bedanya prima relatif dengan . Dan himpunan yang elemen-elemennya adalah

untuk ∈ dinotasikan dengan .

Definisi 2.4.1 (Definisi Formal Kode SSRS)

Diberikan ℂ ( , 0, 0) adalah kode siklik RS atas

(2 ) dan adalah subruang dari (2 ) berdimensi

ν. Subspace subcode yang terkait dengan ℂ dan , yang dinotasikan dengan ℂ , didefinisikan sebagai himpunan katakode ℂ yang semua komponennya berada di .

Contoh 2.4.1

Diberikan ℂ adalah kode RS atas 24 dengan parameter 5,3,3 dan = 0, 0, , 4, 6, 11, 13 adalah subruang 24 _atas ₂ _{yang direntang basis}

0_{, ,} 6 _{. Kode} _ℂ _{adalah kode} _ℂ _{yang semua}

komponennya berada di . Salah satu katakode di ℂ adalah 4 13 6 13 11_{yang merupakan kode RS atas}

24 dengan:

= − − 2 − 3 = 3₊ 11 2₊ 13 ₊ 6

ℂ kode linier atas (2), maka banyaknya katakode di

ℂ adalah perpangkatan 2.

Misalkan dimensi ℂ atas (2) adalah (ℂ, ) dan |ℂ | adalah banyaknya katakode di ℂ , maka

ℂ = 2 (ℂ, )_{, (2.4.5)}

dan dimensi untuk ℂ atas adalah:

ℂ, =1 ℂ, = log ℂ . 2.4.6

2.5 DIMENSI KODE SSRS

Diberikan ( ) adalah polinomial atas (2 ) yang berderajat −1 dengan |2 −1, maka

−1 =0

, ∈ 2 . (2.5.1) Kemudian, didefinisikan polinomial � sebagai berikut:

� = 1 −1 (2.5.2)

= � (2.5.3)

−1 =0

Lemma 2.5.1

Diberikan yang didefinisikan oleh (2.5.1) dan � oleh (2.5.2) dan (2.5.3). Misalkan adalah akar ke- kesatuan primitif di (2 ), maka 1 =

0 untuk ∈{1, , 2_,_…_, −1_}_{jika dan hanya jika} � = 0 untuk = 0,1,…, −1.

Bukti:

← Karena � = 0 untuk = 0,1,…, −1, maka

� = 0 sehingga

(2)

Dari ∗ diperoleh −1| 1 . Karena adalah

akar ke- kesatuan primitif di (2 ), maka = 1 untuk ∈{1, , 2,…, −1} , sehingga − 1| 1 = 0| 1 . Karena 0| 1 ,

maka 1 = 0 untuk ∈{1, , 2,…, −1}.

→ Karena ₁ = 0 untuk

∈{1, , 2_,_…_, −1_} _, _maka _diketahui _�

mempunyai akar yang berbeda. Karena � berderajat

Lemma 2.5.2

Diberikan yang didefinisikan oleh (2.5.1) dan � oleh (2.5.2) dan (2.5.3). Jika = ( ) untuk ∈

0,1,2,…, −1 , maka

� = ₂2 −

−1 =0

dengan adalah bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi |2 −1 dan 2 , 2 − dalam modulo . Bukti:

Karena � adalah koefisien di � , maka untuk menentukan � digunakan � yang didefinisikan sebagai:

� = 1 −1 . 2.5.4

Karena = −1

=0 , maka

� = 1 −1

= 1 −1

−1 =0

= + 2+

−1 =0

+ 2 −

−1 = + 2 2 ₊

−1 =0

+ 2 −1 2 −1

−1 . 2.5.5 Karena pangkat yang muncul pada ekspansi 1

adalah konjugat modulo ; yaitu, , 2 ,… , 2 −1 , maka untuk ∈ , 2 ,…, 2 −1 _berlaku −1 = , sehingga untuk ∈ Ω , � di

� adalah koefisien di � .

Dari 2.5.5 diperoleh suku polinomial � dengan pangkat dan ∈ Ω , � , sebagai berikut:

� = + 2₊ 22₊ ₊ 2 −1 _,

sehingga

� = + 2+ 22+ + 2 −1 = 2,

−1 =0

2.5.6

dengan 2 dan dalam modulo .

Karena |2 −1, maka 2 ≡ , 2.5.7

Sehingga ada sedemikian hingga = untuk

∈ 0,1,2,…, −1 .

Karena = , maka untuk setiap ∈ Ω , ada bilangan bulat dengan ∈ 0,1,…, −1 sedemikian

hingga 2 = , sehingga 2 ≡ .

Karena konjugasi modulo bersifat simetris, maka berdasarkan teorema 3.2.1 ada = − sedemikian hingga 2 ≡ atau dapat ditulis 2 =

. Berdasarkan 2.5.7 , maka ∈ 0,1,…, −1 juga memenuhi 2 = . Dengan mengganti = 2 = 2 − dan dengan ∈ 0,1,…, −1 , maka diperoleh:

� = ₂2 − _.

−1 =0

2.5.8

Karena

2 2 − = 2 − 2 = , maka

� = _{2 ,}2 −

−1 =0

2.5.9

dengan 2 − dan 2 dalam modulo .∎

Lemma 2.5.3

Jika 1 dan 2 adalah konjugat modulo maka �1 dan

�2 adalah konjugat di (2 ). Bukti:

Karena 1 dan 2 adalah konjugat modulo dan jika 1

dan 2berderajat , maka 2 1≡ 2 dengan ∈{0,1,…, −1}, sehingga 2 1 = 2. Untuk

membuktikan �₁ dan �₂ adalah konjugat di (2 ), maka akan ditunjukkan �2 1 =�2

2 _{. Dengan}

menggunakan lemma 3.5.2 untuk menghitung �2₂ maka akan diperoleh:

�2₂ ₌ 2 2

2 − −1 =0

= ₂ 2.

2 −2 −1 =0

2.5.10

Karena 2 −2 2 = 2 , maka 2 −2 2≡ 2 . Karena kongruensi bersifat transitif dan

2 1≡ 1 , maka 2 −2 2≡ 1 ,

sehingga dengan mengalikan kedua ruas dengan 2 diperoleh:

2 − 2 2 ₂ ≡2 ₁ . 2.5.11 Dari 2.5.11 diperoleh:

�2

2 ₌

2 2

2 −2 −1 =0

= _{2 2}

2 − −1 =0

=�₂ ₁ , dengan 2 1dalam modulo . ∎

Teorema 2.5.1 (Dimensi Kode SSRS)

Diberikan himpunan dan sebuah kode siklik RS

ℂ( , 0, 0) atas 2 yang didefinisikan sebagai ℂ

(3)

2 yang direntang oleh basis { 0, 1,…, −1} dan ⊥_{adalah subruang trace-dual dari berdimensi}_�_yang

direntang oleh basis 0, 1,…, �−1 , dengan �= − .

Misalkan adalah rank matriks siklotomik ke- , �. Dimensi biner kode ℂ , yang dinotasikan dengan (ℂ, ), adalah:

ℂ, = − (2.6.2)

∈

= − , (2.6.3)

∈

dengan = himpunan semua bilangan bulat terkecil pada setiap koset siklotomik modulo ,

= banyaknya anggota koset siklotomik yang memuat ,

= banyak bilangan bulat di = Ω , dengan Ω adalah koset siklotomik yang memuat ,

= banyaknya bilangan bulat sedemikian hingga 2 ∈ ,

= bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga |2 −1.

Bukti:

Jika adalah subruang (2 ) yang direntang basis = { ₀,…, ₋₁}, maka selalu dapat ditemukan basis untuk (2 ) dari perluasan basis dengan bentuk:

�= 0, 1,…, −1, ,…, −1 .

Karena ℂ adalah kode RS ( , 0) atas 2 , maka ℂ

terdiri atas vektor-vektor �= (�0,�1,…,� −1) dengan � ∈ 2 , = 0,1,…, −1 . Jika � diekspansi menjadi -tupel barisan biner yang bergantung pada basis �, maka berdasarkan definisi 2.4.1 kode SSRS adalah himpunan katakode ℂ yang komponen binernya adalah nol jika berkorespondensi dengan { ,…, ₋1}.

Jika basis trace-dual untuk ⊥ dinotasikan dengan

� = ₀, ₁,…, _{� −}₁ , maka dapat dibentuk basis untuk 2 dari perluasan basis � ; yaitu,

0, 1,…, � −1, �,…, −1 . Dengan menggunakan

(2.1.5), maka kode SSRS dapat didefinisikan sebagai himpunan katakode ℂ dengan bentuk

�= (�0,�1,…,� −1) yang memenuhi: 1 � = 0,

= , + 1,…, −1

= 0,1,…, −1. (2.6.4 ) Jika definisi kode SSRS dikombinasikan dengan polinomial yang didefinisikan di 2.4.4 , maka didapatkan persamaan yang ekuivalen dengan (2.6.4) sebagai berikut:

∈

= 0, = 0,1,2,… � −1

∈ 1, −1_, −2_,_…_, − −1 _. (2.6.5)

Kemudian didefinisikan polinomial dan � untuk = 0,1,…. ,� −1 sebagai berikut:

= 2.6.6

∈

� = ₁ −1 . (2.6.7)

1 = 0 jika dan hanya jika � = 0 untuk ∈{1, ,…, −1_{}. Berdasarkan lemma 2.5.1,}_�₌

0 jika dan hanya jika

�_, = 0 = 0,1,…,� −1

∈ , (2.6.8) dengan �, adalah koefisien pada polinomial � ( ).

Dengan menggunakan lemma 2.5.2, didapatkan koefisien

�, sebagai berikut:

�, = 2

−

2 2 − −1

dengan 2 dan 2 − dalam modulo .

Karena kode SSRS adalah kode RS siklik ℂ , maka bilangan bulat pada �, adalah bilangan bulat

sedemikian hingga 2 ∈ = Ω, sehingga �, = 2

−

.2 , 2 − ∈

(2.6.9)

dengan adalah himpunan bilangan bulat sedemikian

hingga 2 ∈ = Ω.

Himpunan yang elemen-elemennya adalah dengan

∈ bersesuaian dengan sebuah katakode di ℂ jika dan hanya jika � , = 0 untuk setiap = 0,1,…,� −1 dan ∈ . Dengan menggunakan lemma 2.5.3, jika 1, 2

adalah konjugat modulo atau 1 dan 2 berada di koset

siklotomik yang sama dan �,1,�,2 juga konjugat di 2 , sehingga jika �, = 0 untuk satu elemen dari

koset siklotomik modulo yang memuat yang diberikan, maka koefisien semua elemen yang berada di koset siklotomik modulo yang memuat adalah nol. Oleh karena itu, ketika menghitung banyak koefisien himpunan sedemikian sehingga �, = 0 cukup

dengan membatasi yang berada pada himpunan . Jadi, untuk menghitung banyak himpunan yang berkorespondensi dengan kode SSRS ℂ sama dengan menghitung banyak solusi sistem persamaan yang berbentuk:

2 − .2 2 − ∈

= 0, = 0,1,…,� −1, ∈ . 2.7.1 Misalkan menyatakan banyak solusi pada sistem persamaan yang didefinisikan oleh (2.7.1) . Karena sistem persamaan di (2.7.1) hanya melibatkan variabel-varibel pada , dengan adalah koset siklotomik ke- , maka kita bisa menghitung banyak solusi sistem persamaan yang berkorespondensi pada tiap-tiap koset siklotomik secara terpisah. Ini berarti bahwa total banyak katakode di kode ℂ yang dinotasikan dengan diberikan oleh:

∈

. (2.7.2)

Teorema 2.5.1 akan terbukti jika kita bisa menunjukkan bahwa

= 2 − = 2 ( − ). (2.7.3) Jika (2.7.3) terbukti, maka dimensi biner ℂ adalah ℂ, = ,

∈

(4)

Persamaan (2.7.1) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks dengan menggunakan matriks siklotomik ke- yang didefinisikan di (2.3.2), sehingga didapatkan: �� =� , (2.7.5) dengan

�= _.20

2 −0 , _.21

2 −1 ,…,

.2 −1 2 − −1

. (2.7.6) Matriks � adalah matriks �× dengan entri ke-( , ) adalah − . Jika ≠ , maka ada variabel berbeda pada vektor � dengan tiap-tiap variabel muncul kali sebagai komponen �. Karena pembahasan selanjutnya hanya membahas koset siklotomik ke- maka indeks dihilangkan pada , , , , sehingga , , , menyatakan , , , .

Ada 2 kasus; yaitu, = dan ≠ . Kasus 1. =

Untuk = , semua komponen 2_.2− pada persamaan (2.7.6) , dengan ∈ , adalah berbeda. Kemudian didefinisikan variabel sebagai:

= 2_.2− , = 0,1,…, −1. (2.7.7) Karena pemetaan � → �2 − adalah pemetaan satu-satu, maka _.2 dapat diperoleh kembali dengan tunggal dari , sehingga dimensi ℂ atas (2) adalah dimensi ruang solusi sistem persamaan berikut:

�� =� , 2.7.8 dengan

�= ₀, ₁,…, ₋₁ = ₀, ₁,…, ₋₁ . (2.7.9) Karena sistem persamaan pada (2.7.8) berupa persamaan polinomial atas (2 ) yang membentuk ruang vektor atas (2 ) dan juga merupakan persamaan linier homogen, maka himpunan solusi sistem (2.7.8) membentuk ruang solusi. Sehingga himpunan solusi sistem (2.7.8) adalah ruang vektor atas (2 ) dan dimensi ℂ atas (2 ) adalah dimensi ruang solusi sistem persamaan (2.7.8) atau nolitas matriks �. Nolitas matriks � adalah − , dengan adalah banyak variabel dan adalah rank �. Jadi, banyak solusi sistem (2.7.8) adalah (2 ) − = 2 − = 2 ( − )_.

Kasus 2. ≠

Untuk ≠ , ada komponen berbeda di �dengan tiap-tiap komponen muncul kali. Karena indeks , = 0,1,…, −1 di (2.3.1) diasumsikan berurutan naik, maka komponen pertama � adalah berbeda dari yang lain dan pengulangan kali di urutan yang sama, sehingga �dapat ditulis sebagai berikut:

�= [

.20

2 −0

, 2_.2₁−1,…, 2_.2− −₋₁ 1

_.20

2 −0−

, 2_.2₁−1−

,…, 2_.2− −₋₁ 1−

_,_…_,

.20

2 −0−( −1) , _.21

2 −1−(−1)

,…, _.2 ₋1

2 − −1−( −1)

_{]. (2.8.1)}

Karena adalah derajat , maka

2 ≡ ↔ 2 − = 2 −1 ↔ ₁=

2 −1 , ₁∈ ℤ .

Karena |2 −1, maka 2= 2 −1, 2∈ ℤ sehingga

2= 2 −1

2 −1

1 2= 2 −1

2 −1 2= 1 2 −1

2 −1 2 = 1 2 −1 . 2.8.2

Dari 2.8.2 diperoleh 2 −1|2 −1, sehingga | dan (2 )⊆ 2 dan 2 dapat dipandang sebagai ruang vektor atas (2 ) yang berdimensi = . Jika adalah akar primitif (2 ), maka {1, ,… , −1} adalah basis (2 ) atas (2 ) sehingga untuk sebarang ∈ (2 ) dapat dinyatakan secara tunggal sebagai:

= ,

−1 =0

∈ 2 .

Sehingga setiap koefisien 2_.2− ∈ (2 ) bisa diuraikan sebagai:

.2 2 −

= ,

−1 =0

, = 0,1,…, −1, 2.8.3 dengan , ∈ (2 ) untuk semua = 0,1,…, −1.

Kemudian setiap komponen � akan diuraikan menjadi variabel di sublapangan (2 ) . Karena 2 ≡

dengan ∈ ℤ+ ₀ _{, maka} ₂ ₂ _≡

2 dengan yang memenuhi 2 ∈

adalah elemen . Akibatnya, jika indeks pada , maka + , + 2 ,…, + −1 juga di sehingga jika

2 − _di_�_,_maka:

2 − − _, 2 − −2 _,_…_, 2 − −( −1)

juga di � . Kemudian tiap-tiap bentuk

2 − _, 2 − − _, 2 − −2 _,_…_, 2 − −( −1) _{dapat ditulis} .2

2 − −

dengan ∈ 0,1,2,…, −1 diekspansi ke bentuk variabel ,. Dengan menggunakan (2.8.3), maka

didapatkan:

2 − −

= , −1 =0

2−

2.8.4

= , 2− −1

(2.8.5)

= 2_,−

−1 =0

−

(2.8.6)

dengan semua superskrip dan subskrip pada (2.8.4) – (2.8.6) dalam modulo . Karena , ∈ (2 ) dan

2− _{adalah konjugat}

, di (2 ), maka 2,

− =

,, sehingga

2 − − ₌

, ,2

−

−1 =0

(5)

Jika didefinisikan dua vektor; yaitu, � dan � dengan panjang sebagai berikut:

� =

.2 2 − _,

2 − − _,_…_, .2

2 − − −1 _2.8.8

� = ,0, ,1,…, , −1 , (2.8.9)

maka (2.8.7) bisa dinyatakan sebagai:

� = � , (2.9.1) dengan adalah matriks Vandermonde × yang didefinisikan sebagai berikut

1 1 2 _… ( −1)

1 1.2− 2.2− … ( −1).2− 1 1.2−2 2.2−2 _… ( −1).2−2

⋱

1 1.2−(−1) 2.2−(−1) _… ( −1).2−(−1)

(2.9.2)

Karena = dan akar primitif (2 ) serta matriks nonsingular, maka himpunan elemen-elemen pada kolom kedua ; yaitu, , 2− _, 2−2 _,_…_, 2− −1 _,

semuanya berbeda.

Kemudian didefinisikan 2 vektor, �′ dan � sebagai berikut:

�′= �0,�1,…,�−1 (2.9.3)

�= �₀,�₁,…,� ₋₁ . (2.9.4) Karena matriks di (2.9.2) tidak bergantung pada , maka kita bisa menyatakan hubungan �′ dan � pada (2.9.3) dan (2.9.4) sebagai:

�′ = � , (2.9.5) dengan adalah matriks × sebagai berikut:

0 … 0 0 … 0

⋱ 0 0 …

. (2.9.6)

Vektor � yang didefinisikan di (2.7.6) dan vektor �′ didefinisikan di (2.9.3) memiliki dimensi sama, misalkan

, dan komponen-komponen yang sama memiliki urutan yang berbeda. Dengan kata lain, kedua vektor dari �dan

�′_{adalah permutasi satu sama lain. Karena sebarang}

permutasi vektor bisa dinyatakan dengan perkalian sebelah kiri dengan matriks permutasi nonsingular, misalkan , maka diperoleh:

� = �′ . (2.9.7) Dengan mensubstitusikan (2.9.5) dan (2.9.7) ke 2.7.8 , diperoleh:

� � =� , 2.9.8 sehingga banyak solusi sistem persamaan 2.7.5 sama dengan banyak solusi sistem 2.9.8 karena transformasi linier matriks nonsingular tidak mengubah dimensi ruang solusi. Karena sistem persamaan di 2.9.8 adalah himpunan � persamaan linier pada variabel yang berada di sublapangan (2 ), maka banyaknya solusi adalah perpangkatan 2 dan dimensi ℂ atas (2 ) adalah ruang solusi sistem 2.9.8 atau nolitas�; yaitu,

− , sehingga total banyak solusi 2.9.8 adalah 2 ( − ).

Jadi, dimensi biner untuk kode ℂ adalah

ℂ, = −

∈

= − . ∎

∈

3.6.1 CONTOH

Diberikan ℂ 15, 7,9 adalah kode siklik RS atas 24 , subruang 24 _adalah _yang _{direntang basis} _1,

dan diberikan himpunan = 1,3,5,7,9,11,13 . Subruang trace-dual untuk ⊥= . Untuk menentukan dimensi kode ℂ , diberikan koset siklotomik modulo 15 pada contoh 2.2.3, larik siklotomik modulo 15, dan matriks siklotomik modulo 15.

Koset siklotomik modulo 15 adalah sebagai berikut:

Ω0= 0 0= 1 0= 4

Ω1= 1,2,4,8 1= 4 1= 1

Ω3= 3,6,12,9 3= 4 3= 1

Ω5= 5,10 5= 2 5= 2

Ω7= 7,14,13,11 7= 4 7= 1

dengan 15 = 0,1,3,5,7.

Larik siklotomik modulo 15 adalah:

Index

0 1 2 3

= 0 0 0 0 0 0= 0 0=∅ 0= 0

= 1 1 2 4 8 ₁= 1 1= {0} 1= 1

= 3 3 6 12 9 3= 2 3= {0,3} 3= 2

= 5 5 10 5 10 ₅= 1 5= {0,2} 5= 2 = 7 7 14 13 11 7= 3 7= {0,2,3} 7= 3 Matriks siklotomik untuk adalah:

�1= 1

�3=

1 1

�5= 1 14

�7= 1 14 12 .

Rank matriks �1,�3,�5 dan �7 adalah 1= 1, 3= 5= 7= 2

Dengan menggunakan teorema 2.5.1, dimensi biner ℂ adalah

ℂ, 1 = ( − )

∈15

= 4 1−1 + 4 2−2 + 2 2−2 + 4(3−2) = 4,

atau

ℂ, ₁ = −

∈15

= 4.1−1.4 + 4.2−2.4 + 4.1−2.2 + 4.3−2.4

= 12−8 = 4,

sehingga didapatkan kode SSRS dengan parameter (15,2,14) atas dan banyaknya katakode di ℂ adalah 24_{= 16.}

3. KESIMPULAN

Dari pembahasan diatas, diperoleh simpulan sebagai berikut:

1. Kode SSRS (Subspace Subcode Reed-Solomon) adalah salah satu kelas dari kode nonbiner RS (Reed-Solomon) ℂ

(6)

atas (2 ) dengan parameter ( , 0) yang berisi

himpunan katakode ℂ yang semua komponennya berada di subruang (2 ) yang berdimensi ν, misalkan , yang dinotasikan dengan ℂ .

2. Misalkan dimensi ℂ atas (2) adalah (ℂ, ) dan |ℂ | adalah banyaknya katakode di ℂ , maka ℂ = 2 (ℂ, )_{dan dimensi untuk}_ℂ _{atas adalah:}

ℂ, =1 ℂ, = log ℂ .

Menggunakan teorema 2.5.1 diperoleh dimensi biner kode ℂ , yang dinotasikan dengan (ℂ, ), adalah: ℂ, = −

∈

= − ,

∈

dengan = himpunan semua bilangan bulat terkecil pada setiap koset siklotomik modulo ,

= banyaknya anggota koset siklotomik yang memuat ,

= banyak bilangan bulat di = Ω , dengan Ω adalah koset siklotomik yang memuat ,

= banyaknya bilangan bulat sedemikian hingga 2 ∈ ,

= bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga |2 −1,

sehingga banyaknya katakode di kode SSRS adalah 2 ∈ − _{= 2} ∈ − _.