Perhitungan Parameter Gelombang Suara Untuk Sumber Berbentuk Sembarang Menggunakan Metoda Elemen Batas Dengan Program Matlab.

(1)

Universitas Kristen Maranatha

PERHITUNGAN PARAMETER GELOMBANG SUARA

UNTUK SUMBER BERBENTUK SEMBARANG

MENGGUNAKAN METODA ELEMEN BATAS

DENGAN PROGRAM MATLAB

Garry Paulin Setiawan

Email : garrypsetiawan@yahoo.com

Jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknik, Universitas Kristen Maranatha Jalan Prof. drg. Suria Sumantri, MPH 65

Bandung 40164, Indonesia

ABSTRAK

Metoda Elemen Batas telah digunakan untuk memecahkan berbagai masalah pada bidang akustik, seperti pada industri otomotif yang melibatkan radiasi suara dari mesin yang bergetar, prediksi medan akustik pada interior ruang kendaraan, medan akustik pada rongga muffler, dan sebagainya. Keunggulan dari Metoda Elemen Batas adalah penurunan dimensi persoalan yang dihadapi. Persoalan dimensi tiga yang melibatkan volume diperlakukan seperti persoalan dua dimensi yang hanya melibatkan permukaan benda.

Pada tugas akhir ini dibuat program dengan MATLAB untuk menghitung nilai parameter gelombang suara yang melibatkan benda berbentuk sembarang dengan menggunakan Metoda Elemen Batas. Parameter akustik yang terlibat adalah kecepatan potensial dan kecepatan partikel. Program dibuat untuk penyelesaian masalah radiasi dan penghamburan gelombang suara dari sumber yang bergetar serta masalah invers untuk menentukan parameter akustik pada sumber berdasarkan informasi akustik di titik-titik medan. Di samping itu program yang dibuat juga melibatkan kasus ruang setengah tak berhingga untuk radiasi dan penghamburan gelombang suara dari sumber yang bergetar. Program dibuat berdasarkan program FORTRAN yang sudah ada. Uji kasus yang

(2)

Universitas Kristen Maranatha

dilakukan meliputi masalah radiasi dan penghamburan dengan melibatkan beberapa bentuk geometri sumber benda (bola, kubus, silinder).

Hasil uji kasus menunjukkan kesesuaian antara hasil dari program MATLAB dengan hasil dari program FORTRAN. Program MATLAB juga menyajikan pembuatan grafik secara langsung dari hasil perhitungan program (output) yaitu pembuatan pola radiasi tekanan dan distribusi tekanan pada permukaan benda atau di titik-titik medan yang dikehendaki.

(3)

iii

Universitas Kristen Maranatha

CALCULATION OF ACOUSTIC PARAMETERS

INVOLVING BODIES OF ARBITRARY SHAPE

USING BOUNDARY ELEMENT METHOD

WITH MATLAB PROGRAM

Garry Paulin Setiawan

Email : garrypsetiawan@yahoo.com

Jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknik, Universitas Kristen Maranatha Jalan Prof. drg. Suria Sumantri, MPH 65

Bandung 40164, Indonesia

ABSTRACT

Boundary Element Method (BEM) has been used to solve various problems in acoustics, such as in automotive industry involving sound radiation from vibrating engines, the prediction of acoustic field on the vehicle interior space, the acoustic field in the cavity of muffler, and so forth. The advantage of BEM is the reduction of the dimension of the problems. Three-dimensional problems involving volume is treated as two-dimensional problems which involves only the surface of the body.

In this project, a program was made in MATLAB code to calculate the acoustic parameters involving bodies of arbitrary shape using Boundary Element Method. The acoustic parameters involved are velocity potential and particle velocity. The program was made for solving problems involving radiation and scattering of acoustic waves from vibrating bodies and inverse problems to determine the acoustic parameters on the body based on the acoustic information in the field points. In addition the program also handles half space problems for radiation and scattering of acoustic waves from vibrating bodies. The program was developed based on an existing FORTRAN program. Test cases including radiation and scattering problems involving some shapes of the bodies were conducted (sphere, cube, cylinder).

(4)

Universitas Kristen Maranatha

Good aggrement was obtained between the MATLAB program calculation and those yield by the FORTRAN program calculation. MATLAB also provides post processing for plotting the result of the calculation such as the radiation pattern of pressure and pressure distribution on the surface of bodies or on the desired field points.

(5)

viii

DAFTAR ISI

ABSTRAK ...i

ABSTRACT ...iii

KATA PENGANTAR ...v

DAFTAR ISI ...viii

DAFTAR GAMBAR ...xii

BAB I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 1

1.3 Tujuan ... 1

1.4 Batasan Masalah ... 1

1.5 Spesifikasi Alat Yang Digunakan ... 1

1.6 Sistematika Pembahasan ... 2

BAB II. LANDASAN TEORI 2.1 Teori Akustik Dasar ... 5

2.2 Formulasi Metoda Elemen Batas ... 6

2.3 Persamaan Integral Helmholtz pada Penghamburan Gelombang Akustik ... 8

2.4 Persamaan Integral Helmholtz untuk Ruang Setengah Tak Berhingga (Half Space) ... 9

(6)

2.5 Metode CHIEF (Combined Helmholtz Integral Equation Formulation)

... 10

2.6 Diskritisasi Permukaan dengan Elemen Isoparametrik ... 11

2.7 Implementasi Numerik ... 13

2.8 Solusi Persamaan Matriks ... 14

2.9 MATLAB VS FORTRAN ... 17

BAB III. ALUR KERJA PROGRAM DAN DISKRITISASI PERMUKAAN 3.1 Alur Kerja Program Direct BEM ... 19

3.2 Alur Kerja Program Inverse BEM ... 20

3.3 Alur Kerja Program Halfspace BEM ... 22

3.4 Diskritisasi Permukaan ... 22

3.4.1 Diskritisasi permukaan bola ... 22

3.4.2 Diskritisasi permukaan kubus... 23

3.4.3 Diskritisasi permukaan silinder ... 24

BAB IV. UJI KASUS 4.1 Bola Bergetar Homogen ... 26

4.2 Bola Berosilasi ... 27

4.3 Penghamburan Gelombang Bidang pada Bola Keras ... 29

4.4 Radiasi Kubus Bergetar ... 31

4.5 Radiasi Silinder Bergetar ... 32

4.6 Radiasi Bola Bergetar Homogen dengan Kehadiran Bola Diam di Dekatnya ... 34

(7)

4.7 Radiasi Bola Bergetar Homogen dengan Kehadiran Kubus Diam ... 42

4.8 Radiasi Silinder Bergetar Homogen dengan Kehadiran Silinder Diam 47 4.9 Radiasi Kubus Bergetar pada Salah Satu Sisinya ... 51

4.10 Kasus Radiasi dari Dua Bola Bergetar Homogen... 53

4.11 Kasus Radiasi Bola Homogen pada Ruang Setengah Tak Hingga (Half Space) ... 55

4.12 Kasus Penghamburan Gelombang Bidang Terhadap Bola Keras pada Ruang Setengah Tak Hingga (Half Space) ... 57

4.13 Pola Radiasi Kubus Bergetar pada Ruang Setengah Tak Hingga (Half Space) ... 59

4.14 Kasus Silinder Bergetar pada Ruang Setengah Tak Hingga (Halfspace) ... 60

4.15 Kasus Inversi Bola Bergetar Homogen ... 61

4.16 Kasus Inversi Bola Berosilasi ... 62

4.17 Kasus Inversi untuk Penghamburan Gelombang Bidang pada Bola Keras ... 63

4.18 Kasus Inversi pada Kubus Bergetar ... 64

4.19 Kasus Inversi untuk Penghamburan pada Kubus Diam ... 65

4.20 Kasus Inversi untuk Bola Bergetar Homogen dan Bola Diam ... 65

4.21 Kasus Inversi pada Dua Kubus Bergetar ... 66

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan ... 67

(8)

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

Lampiran A ...A-1 Lampiran B ...B-1

(9)

xii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Ilustrasi kasus eksterior (kiri) dan kasus interior (kanan) ... 7

Gambar 2.2 Ilustrasi kasus penghamburan gelombang akustik ... 8

Gambar 2.3. Ilustrasi kasus akustik pada ruang setengah tak berhingga ... 9

Gambar 2.4 Elemen isoparametrik dan koordinat lokal tiap node ... 11

Gambar 3.1. Alur kerja program direct BEM ... 19

Gambar 3.2. Alur kerja program inverse BEM ... 21

Gambar 3.3. Diskritisasi permukaan bola ... 23

Gambar 3.4. Diskritisasi permukaan kubus ... 23

Gambar 3.5. Diskritisasi permukaan silinder ... 24

Gambar 4.1. Konfigurasi bola bergetar homogen ... 26

Gambar 4.2. Pola radiasi kecepatan potensial bola bergetar homogen pada penampang bidang yz, R=1, r=2, untuk (a) k=1, (b) k= 3.14159 .... 27

Gambar 4.3. Konfigurasi bola berosilasi... 28

Gambar 4.4. Pola radiasi kecepatan potensial bola berosilasi pada penampang bidang yz, k=1 dan r=2 ... 28

Gambar 4.5. Konfigurasi penghamburan gelombang bidang pada bola keras (rigid) yang diam ... 29

Gambar 4.6. Pola radiasi kecepatan potensial penghamburan gelombang bidang pada bola diam pada penampang bidang xz, r=5 untuk (a) k=1 dan (b) k=0.1... 30

(10)

xiii

Gambar 4.7. Pola radiasi kecepatan potensial penghamburan gelombang bidang pada bola diam pada penampang bidang xz, r=5 untuk (a) k=2 dan (b) k=3.14159... 30 Gambar 4.8. Pola radiasi kecepatan potensial penghamburan gelombang bidang

pada bola diam pada penampang bidang xz dengan 354 node pada r=5 untuk (a) k=2 dan (b) k=3.14159 ... 31 Gambar 4.9 Tekanan pada permukaan kubus bergetar untuk k=1 ... 32 Gambar 4.10 Konfigurasi silinder bergetar ... 33 Gambar 4.11. Pola radiasi kecepatan potensial dari silinder bergetar pada

penampang bidang yz, r=3 untuk (a) k=1 dan (b) k=2 ... 33 Gambar 4.12. Konfigurasi bola bergetar homogen dengan kehadiran bola diam . 34 Gambar 4.13. Ilustrasi uji kasus bola bergetar dengan kehadiran bola diam dengan

(a) jari-jari kedua bola sama (R1=R2=1), (b) jari-jari bola kedua lebih kecil (R2=0.5,R1=1), (c) jari-jari bola kedua lebih besar (R2=2,R1=1) ... 35 Gambar 4.14. Pola radiasi kecepatan potensial dari bola bergetar dengan

kehadiran bola diam pada penampang bidang yz, r=2, R1=R2=1, k=1, untuk jarak (a) d=3, (b) d=4 (c) d=5 (d) d=6 ... 36 Gambar 4.15. Pola radiasi kecepatan potensial dari bola bergetar dengan

kehadiran bola diam pada penampang bidang yz, r=2, R1=1,R2=2 k=1, untuk jarak (a) d=3, (b) d=5 (c) d=6 (d) d=7 ... 37 Gambar 4.16. Pola radiasi kecepatan potensial dari bola bergetar dengan

kehadiran bola diam pada penampang bidang yz, r=2, R1=1,R2=0.5 k=1, untuk jarak (a) d=3, (b) d=4 ... 38

(11)

xiv

Gambar 4.17. Pola radiasi kecepatan potensial dari bola bergetar dengan

kehadiran bola diam pada penampang bidang yz, R1=1,R2=1, k=1, jarak d=3, untuk jarak titik ukur (a) r=1.75, (b) r=1.5, (c) r=1.25 ... 39 Gambar 4.18. Pola radiasi kecepatan potensial dari bola bergetar dengan

kehadiran bola diam pada penampang bidang yz, R1=1,R2=1, k=1, jarak d=2.5, untuk jarak titik ukur (a) r=1.75, (b) r=1.5, (c) r=1.25 39 Gambar 4.19. Pola radiasi kecepatan potensial dari bola bergetar dengan

kehadiran bola diam pada penampang bidang yz, R1=1,R2=2, k=1, jarak d=3, untuk jarak titik ukur (a) r=2, (b) r=1.5, (c) r=1.25 ... 40 Gambar 4.20. Pola radiasi kecepatan potensial dari bola bergetar dengan

kehadiran bola diam pada penampang bidang yz, R1=1,R2=2, k=1, jarak d=2.5, untuk jarak titik ukur (a) r=1.5, (b) r=1.25 ... 40 Gambar 4.21. Pola radiasi kecepatan potensial dari bola bergetar dengan

kehadiran bola diam pada penampang bidang yz, R1=1,R2=0.5, k=1, jarak d=3, untuk jarak titik ukur (a) r=2, (b) r=1.5 ... 41 Gambar 4.22. Pola radiasi kecepatan potensial dari bola bergetar dengan

kehadiran bola diam pada penampang bidang yz, R1=1,R2=2, k=1, jarak d=2.5, untuk jarak titik ukur (a) r=1.5, (b) r=1.25 ... 41 Gambar 4.23. Konfigurasi bola bergetar dengan kehadiran kubus diam ... 42 Gambar 4.24. Ilustrasi uji kasus bola bergetar dengan kehadiran kubus diam untuk jari-jari bola pertama (a) R1=1, (b) R1=2, (c) R1=0.5 ... 43 Gambar 4.25. Pola radiasi kecepatan potensial dari bola bergetar dengan

kehadiran kubus diam pada penampang bidang yz, R1=1, k=1, jarak titik ukur r=2, untuk jarak kedua benda (a) d=3, (b) d=5, (c) d=7 ... 44

(12)

Gambar 4.26. Pola radiasi kecepatan potensial dari bola bergetar dengan

kehadiran kubus diam pada penampang bidang yz, R1=2, k=1, jarak titik ukur r=3, untuk jarak kedua benda (a) d=4, (b) d=5, (c) d=6 ... 44 Gambar 4.27. Pola radiasi kecepatan potensial dari bola bergetar dengan

kehadiran kubus diam pada penampang bidang yz, R1=0.5, k=1, jarak titik ukur r=1.5, untuk jarak kedua benda (a) d=4, (b) d=6, (c) d=7 ... 45 Gambar 4.28. Pola radiasi kecepatan potensial dari bola bergetar dengan

kehadiran kubus diam pada penampang bidang yz, R1=1, k=1, jarak kedua benda d=3, untuk jarak titik ukur (a) r=1.75, (b) r=1.5, (c) r=1.25 ... 46 Gambar 4.29. Pola radiasi kecepatan potensial dari bola bergetar dengan

kehadiran kubus diam pada penampang bidang yz, R1=2, k=1, jarak kedua benda d=4, untuk jarak titik ukur (a) r=3, (b) r=2.75, (c) r=2.25 ... 46 Gambar 4.30. Pola radiasi kecepatan potensial dari bola bergetar dengan

kehadiran kubus diam pada penampang bidang yz, R1=0.5, k=1, jarak kedua benda d=2.5, untuk jarak titik ukur (a) r=1.5, (b) r=1, (c) r=0.75 ... 47 Gambar 4.31. Konfigurasi silinder bergetar homogen (silinder 1) dan silinder

diam (silinder 2) ... 47 Gambar 4.32. Ilustrasi uji kasus silinder dengan kehadiran silinder kedua yang

diam dengan (a) besar kedua silinder sama, (b) silinder kedua lebih besar, (c) silinder kedua lebih kecil ... 48

(13)

xvi

Gambar 4.33. Pola radiasi kecepatan potensial dari silinder bergetar dengan kehadiran silinder diam pada penampang bidang yz, R1=R2=2, L1=L2=4, k=1, jarak titik ukur r=3, untuk jarak kedua benda (a) d=4, (b) d=7, (c) d=9 ... 49 Gambar 4.34. Pola radiasi kecepatan potensial dari silinder bergetar dengan

kehadiran silinder diam pada penampang bidang yz, R1=2,R2=4, L1=4,L2=8, k=1, jarak titik ukur r=3, untuk jarak kedua benda (a) d=7, (b) d=9, (c) d=12 ... 50 Gambar 4.35. Pola radiasi kecepatan potensial dari silinder bergetar dengan

kehadiran silinder diam pada penampang bidang yz, R1=2,R2=1, L1=4,L2=2, k=1, jarak titik ukur r=3, untuk jarak kedua benda (a) d=4, (b) d=5, (c) d=6 ... 50 Gambar 4.36. Ilustrasi kubus yang bergetar pada salah satu sisinya dengan sisi

yang bergetar adalah sisi yang diarsir ... 51 Gambar 4.37. Pola radiasi kecepatan potensial dari kubus bergetar satu sisi untuk

penampang (a) bidang xy, (b) bidang xz, (c) bidang yz ... 51 Gambar 4.38. Pola radiasi kecepatan potensial dari kubus bergetar dua sisi untuk

penampang (a) bidang xy, (b) bidang xz, (c) bidang yz ... 52 Gambar 4.39. Pola radiasi kecepatan potensial dari kubus bergetar tiga sisi untuk

penampang (a) bidang xy, (b) bidang xz, (c) bidang yz ... 52 Gambar 4.40. Pola radiasi kecepatan potensial dari kubus bergetar empat sisi

untuk penampang (a) bidang xy, (b) bidang xz, (c) bidang yz ... 52 Gambar 4.41. Pola radiasi kecepatan potensial dari kubus bergetar lima sisi untuk

(14)

xvii

Gambar 4.42. Konfigurasi dua bola bergetar homogen ... 53 Gambar 4.43. Pola radiasi kecepatan potensial dari dua bola bergetar homogen

pada penampang bidang yz, R1=R2=1, k=1, r=2, untuk jarak (a) d=3, (b) d=4, (c) d=5 ... 54 Gambar 4.44. Grafik nilai tekanan terhadap posisi titik y untuk x=0,z=0, pada

kasus dua bola bergetar homogen, R1=R2=1, d=12. ... 54 Gambar 4.45. Konfigurasi bola bergetar homogen pada Halfspace ... 55 Gambar 4.46. Pola radiasi kecepatan potensial dari radiasi bola bergetar homogen

pada Halfspace untuk penampang bidang yz, B=3, k=1, untuk (a) r=2 , (b) r=3 ... 56 Gambar 4.47. Pola radiasi kecepatan potensial dari radiasi bola bergetar homogen

pada Halfspace untuk penampang bidang yz, k=1, r=2,untuk (a) B=10, (b) B=30, (c) B=50 ... 56 Gambar 4.48. Konfigurasi penghamburan gelombang bidang terhadap bola keras

pada Halfspace ... 57 Gambar 4.49. Pola radiasi kecepatan potensial dari penghamburan gelombang

bidang terhadap bola keras (rigid) pada Halfspace untuk penampang bidang xz, B=3, k=1, untuk (a) r=2 , (b) r=3 ... 58 Gambar 4.50. Pola radiasi kecepatan potensial dari penghamburan gelombang

bidang terhadap bola keras (rigid) pada Halfspace untuk penampang bidang xz, B=30, r=5, untuk (a) k=1 , (b) k=0.1 ... 58 Gambar 4.51. Konfigurasi kubus bergetar pada Halfspace... 59

(15)

xviii

Gambar 4.52. Pola radiasi kecepatan potensial dari radiasi kubus bergetar pada Halfspace untuk penampang bidang yz, k=1, r=2, untuk (a) B=2, (b) B=10, (c) B=30 ... 59 Gambar 4.53. Konfigurasi silinder bergetar pada Halfspace ... 60 Gambar 4.54. Pola radiasi kecepatan potensial dari radiasi silinder bergetar pada

Halfspace untuk penampang bidang yz, k=1, r=3, untuk (a) B=4, (b) B=10, (c) B=50 ... 60 Gambar 4.55. Pola radiasi kecepatan potensial dari radiasi silinder bergetar pada

Halfspace untuk penampang bidang yz, k=2, r=3, untuk (a) B=4, (b) B=10, (c) B=50 ... 61 Gambar 4.56. Distribusi kecepatan potensial pada sumber bola yang bergetar

homogen k=1 ... 62 Gambar 4.57. Distribusi kecepatan potensial pada sumber bola yang bergetar

homogen k=3.14159 ... 62 Gambar 4.58. Distribusi kecepatan potensial pada sumber bola yang berosilasi

k=1 ... 63 Gambar 4.59. Distribusi kecepatan potensial pada bola untuk kasus penghamburan

gelombang bidang terhadap bola keras, k=1 ... 64 Gambar 4.60. Distribusi kecepatan potensial pada kubus bergetar k=1 ... 64 Gambar 4.61. Distribusi kecepatan potensial pada kubus untuk kasus

penghamburan, k=1 ... 65 Gambar 4.62. Distribusi kecepatan potensial pada bola untuk kasus bola bergetar

(16)

xix

Gambar 4.63. Distribusi kecepatan potensial pada kasus dua kubus bergetar, k=1 ... 66

(17)

A-1

Universitas Kristen Maranatha

LAMPIRAN A

PERBANDINGAN HASIL DARI PROGRAM FORTRAN

DENGAN MATLAB

Berikut adalah perbandingan beberapa hasil dari program BEM Fortran dengan hasil program MATLAB. Konfigurasi kasus sama seperti pada bab IV.

FORTRAN MATLAB

Gambar A.1. Pola radiasi kecepatan potensial dari bola bergetar homogen k=1,

r=2.

FORTRAN MATLAB

Gambar A.2. Pola kecepatan potensial tekanan dari bola bergetar homogen

k=3.14159, r=2, dengan satu titik CHIEF pada titik pusat.

0.1 0.2

0.3 0.4

0.1 0.2

0.3 0.4

0.05 0.1

0.15 0.2

0.05 0.1 0.15

(18)

A-2

Universitas Kristen Maranatha

FORTRAN MATLAB

Gambar A.3. Pola kecepatan potensial yang terhambur dari penghamburan

gelombang bidang pada bola diam r=5, untuk k=1

FORTRAN MATLAB

Gambar A.4. Pola kecepatan potensial yang terhambur dari penghamburan

gelombang bidang pada bola diam r=5, untuk k=0.1.

0.02 0.04

0.06 0.08

0.1

0.02 0.04

0.06 0.08

0.1

0.001 0.002

0.003

0.001 0.002

(19)

A-3

Universitas Kristen Maranatha

FORTRAN MATLAB

Gambar A.5. Pola radiasi kecepatan potensial dari silinder bergetar homogen

pada selimutnya r=3, untuk k=1.

FORTRAN MATLAB

Gambar A.6. Pola radiasi kecepatan potensial dari silinder bergetar homogen

pada selimutnya r=3, untuk k=2.

0.1 0.2

0.3 0.4

0.5

0.1 0.2

0.3 0.4

0.5

0.1 0.2

0.3 0.4

0.1 0.2

0.3 0.4

(20)

A-4

Universitas Kristen Maranatha

FORTRAN MATLAB

Gambar A.7. Distribusi kecepatan potensial pada kasus inverse untuk kubus

bergetar dengan diskritisasi 20 node dan 6 elemen pada k=1.

FORTRAN MATLAB

Gambar A.8. Distribusi kecepatan potensial pada kasus inverse untuk bola

(21)

A-5

Universitas Kristen Maranatha

FORTRAN MATLAB

Gambar A.9. Pola radiasi kecepatan potensial dari bola bergetar homogen pada

ruang setengah tak berhingga (Half Space) untuk B=3, r=2, k=1.

FORTRAN MATLAB

Gambar A.10. Pola radiasi kecepatan potensial dari bola bergetar homogen pada

ruang setengah tak berhingga untuk B=3, r=3, k=1.

0.1 0.2

0.3 0.4

0.5

0.1 0.2

0.3 0.4

0.5

0.1 0.2

0.3 0.4

0.5

0.1 0.2

0.3 0.4

(22)

A-6

Universitas Kristen Maranatha

FORTRAN MATLAB

Gambar A.11. Pola kecepatan potensial terhambur dari penghamburan

gelombang bidang pada bola keras pada ruang setengah tak berhingga untuk B=3, r=2, k=1.

FORTRAN MATLAB

Gambar A.12. Pola kecepatan potensial terhambur dari penghamburan

gelombang bidang pada bola keras pada ruang setengah tak berhingga untuk B=3, r=3, k=1.

0.05 0.1

0.15 0.2

0.25

0.05 0.1

0.15 0.2

0.25

0.05 0.1

0.15 0.2

0.05 0.1 0.15

(23)

B-1

Universitas Kristen Maranatha

LAMPIRAN B

GEOMETRI PERMUKAAN BENDA DAN TITIK UKUR

B.1 Bola dengan Diskritisasi 50 Node dan 24 Elemen

Permukaan bola didiskritisasi menjadi 50 node dan 24 elemen seperti pada gambar 3.3b. Nomor global masing-masing node diberikan pada gambar B.1.

(a) (b)

Gambar B.1. Nomor global tiap node dilihat dari atas. (a) Node 29 adalah node

(24)

B-2

Universitas Kristen Maranatha

B.1.1 Nomor global dan koordinat titik bola dengan 50 node

NGN adalah nomor global node yang diberikan pada gambar B.1.

NGN x y z NGN x y z

1 0 1 0 26 -0.32506 -0.32506 -0.88807

2 -0.70711 0.70711 0 27 0.32506 -0.32506 -0.88807

3 -1 0 0 28 0.32506 0.32506 -0.88807

4 -0.70711 -0.70711 0 29 0 0 -1

5 0 -1 0 30 -0.32506 0.88807 0.32506

6 0.70711 -0.70711 0 31 -0.88807 0.32506 0.32506

7 1 0 0 32 -0.88807 -0.32506 0.32506

8 0.70711 0.70711 0 33 -0.32506 -0.88807 0.32506

9 -0.32506 0.88807 -0.32506 34 0.32506 -0.88807 0.32506

10 -0.88807 0.32506 -0.32506 35 0.88807 -0.32506 0.32506

11 -0.88807 -0.32506 -0.32506 36 0.88807 0.32506 0.32506

12 -0.32506 -0.88807 -0.32506 37 0.32506 0.88807 0.32506

13 0.32506 -0.88807 -0.32506 38 0 0.70711 0.70711

14 0.88807 -0.32506 -0.32506 39 -0.57735 0.57735 0.57735

15 0.88807 0.32506 -0.32506 40 -0.70711 0 0.70711

16 0.32506 0.88807 -0.32506 41 -0.57735 -0.57735 0.57735

17 0 0.70711 -0.70711 42 0 -0.70711 0.70711

18 -0.57735 0.57735 -0.57735 43 0.57735 -0.57735 0.57735

19 -0.70711 0 -0.70711 44 0.70711 0 0.70711

20 -0.57735 -0.57735 -0.57735 45 0.57735 0.57735 0.57735

21 0 -0.70711 -0.70711 46 -0.32506 0.32506 0.88807

22 0.57735 -0.57735 -0.57735 47 -0.32506 -0.32506 0.88807

23 0.70711 0 -0.70711 48 0.32506 -0.32506 0.88807

24 0.57735 0.57735 -0.57735 49 0.32506 0.32506 0.88807

(25)

B-3

Universitas Kristen Maranatha

B.1.2 Nomor elemen dan hubungan nomor lokal dengan nomor global node

Kasus Eksterior

No El. Node 1 Node 2 Node 3 Node 4 Node 5 Node 6 Node 7 Node 8

1 1 3 3 18 9 2 3 10

2 20 3 3 5 12 11 3 4

3 22 5 5 7 14 13 5 6

4 1 24 24 7 8 16 24 15

5 1 18 18 29 17 9 18 25

6 18 3 3 29 25 10 3 19

7 29 3 3 20 26 19 3 11

8 29 20 20 5 21 26 20 12

9 29 5 5 22 27 21 5 13

10 29 22 22 7 23 27 22 14

11 24 29 29 7 15 28 29 23

12 1 29 29 24 16 17 29 28

13 39 3 3 1 30 31 3 2

14 5 3 3 41 33 4 3 32

15 5 43 43 7 6 34 43 35

16 45 1 1 7 36 37 1 8

17 50 39 39 1 38 46 39 30

18 50 3 3 39 46 40 3 31

19 41 3 3 50 47 32 3 40

20 5 41 41 50 42 33 41 47

21 5 50 50 43 34 42 50 48

22 43 50 50 7 35 48 50 44

23 50 45 45 7 44 49 45 36

(26)

B-4

Universitas Kristen Maranatha

B.2 Bola dengan Diskritisasi 354 Node dan 128 Elemen

Permukaan bola didiskritisasi menjadi 354 node dan 128 elemen seperti pada gambar 3.3a. Nomor global masing-masing node diberikan pada gambar B.2 dan B.3.

Gambar B.2. Nomor global tiap node dilihat dari atas. Node 193 adalah node

(27)

B-5

Universitas Kristen Maranatha

Gambar B.3. Nomor global tiap node dilihat dari atas. Node 354 adalah node

(28)

B-6

Universitas Kristen Maranatha

B.2.1 Nomor global dan koordinat titik bola dengan 354 node

NGN x y z NGN x y z

1 1 0 0 31 0.9239 -0.3827 0

2 0.9808 0.1951 0 32 0.9808 -0.1951 0

3 0.9239 0.3827 0 33 0.9808 0 0.1951

4 0.8315 0.5556 0 34 0.9061 0.3753 0.1951

5 0.7071 0.7071 0 35 0.6935 0.6935 0.1951

6 0.5556 0.8315 0 36 0.3753 0.9061 0.1951

7 0.3827 0.9239 0 37 0 0.9808 0.1951

8 0.1951 0.9808 0 38 -0.3753 0.9061 0.1951

9 0 1 0 39 -0.6935 0.6935 0.1951

10 -0.1951 0.9808 0 40 -0.9061 0.3753 0.1951

11 -0.3827 0.9239 0 41 -0.9808 0 0.1951

12 -0.5556 0.8315 0 42 -0.9061 -0.3753 0.1951

13 -0.7071 0.7071 0 43 -0.6935 -0.6935 0.1951

14 -0.8315 0.5556 0 44 -0.3753 -0.9061 0.1951

15 -0.9239 0.3827 0 45 0 -0.9808 0.1951

16 -0.9808 0.1951 0 46 0.3753 -0.9061 0.1951

17 -1 0 0 47 0.6935 -0.6935 0.1951

18 -0.9808 -0.1951 0 48 0.9061 -0.3753 0.1951

19 -0.9239 -0.3827 0 49 0.9239 0 0.3827

20 -0.8315 -0.5556 0 50 0.9061 0.1802 0.3827

21 -0.7071 -0.7071 0 51 0.8536 0.3536 0.3827

22 -0.5556 -0.8315 0 52 0.7682 0.5133 0.3827

23 -0.3827 -0.9239 0 53 0.6533 0.6533 0.3827

24 -0.1951 -0.9808 0 54 0.5133 0.7682 0.3827

25 0 -1 0 55 0.3536 0.8536 0.3827

26 0.1951 -0.9808 0 56 0.1802 0.9061 0.3827

27 0.3827 -0.9239 0 57 0 0.9239 0.3827

28 0.5556 -0.8315 0 58 -0.1802 0.9061 0.3827

29 0.7071 -0.7071 0 59 -0.3536 0.8536 0.3827

(29)

B-7

Universitas Kristen Maranatha

NGN x y z NGN x y z

61 -0.6533 0.6533 0.3827 91 -0.5879 -0.5879 0.5556

62 -0.7682 0.5133 0.3827 92 -0.3182 -0.7682 0.5556

63 -0.8536 0.3536 0.3827 93 0 -0.8315 0.5556

64 -0.9061 0.1802 0.3827 94 0.3182 -0.7682 0.5556

65 -0.9239 0 0.3827 95 0.5879 -0.5879 0.5556

66 -0.9061 -0.1802 0.3827 96 0.7682 -0.3182 0.5556

67 -0.8536 -0.3536 0.3827 97 0.7071 0 0.7071

68 -0.7682 -0.5133 0.3827 98 0.6935 0.1379 0.7071

69 -0.6533 -0.6533 0.3827 99 0.6533 0.2706 0.7071

70 -0.5133 -0.7682 0.3827 100 0.5879 0.3928 0.7071

71 -0.3536 -0.8536 0.3827 101 0.5 0.5 0.7071

72 -0.1802 -0.9061 0.3827 102 0.3928 0.5879 0.7071

73 0 -0.9239 0.3827 103 0.2706 0.6533 0.7071

74 0.1802 -0.9061 0.3827 104 0.1379 0.6935 0.7071

75 0.3536 -0.8536 0.3827 105 0 0.7071 0.7071

76 0.5133 -0.7682 0.3827 106 -0.1379 0.6935 0.7071

77 0.6533 -0.6533 0.3827 107 -0.2706 0.6533 0.7071

78 0.7682 -0.5133 0.3827 108 -0.3928 0.5879 0.7071

79 0.8536 -0.3536 0.3827 109 -0.5 0.5 0.7071

80 0.9061 -0.1802 0.3827 110 -0.5879 0.3928 0.7071

81 0.8315 0 0.5556 111 -0.6533 0.2706 0.7071

82 0.7682 0.3182 0.5556 112 -0.6935 0.1379 0.7071

83 0.5879 0.5879 0.5556 113 -0.7071 0 0.7071

84 0.3182 0.7682 0.5556 114 -0.6935 -0.1379 0.7071

85 0 0.8315 0.5556 115 -0.6533 -0.2706 0.7071

86 -0.3182 0.7682 0.5556 116 -0.5879 -0.3928 0.7071

87 -0.5879 0.5879 0.5556 117 -0.5 -0.5 0.7071

88 -0.7682 0.3182 0.5556 118 -0.3928 -0.5879 0.7071

89 -0.8315 0 0.5556 119 -0.2706 -0.6533 0.7071

(30)

B-8

Universitas Kristen Maranatha

NGN x y z NGN x y z

121 0 -0.7071 0.7071 151 0.1464 0.3536 0.9239

122 0.1379 -0.6935 0.7071 152 0.0747 0.3753 0.9239

123 0.2706 -0.6533 0.7071 153 0 0.3827 0.9239

124 0.3928 -0.5879 0.7071 154 -0.0747 0.3753 0.9239

125 0.5 -0.5 0.7071 155 -0.1464 0.3536 0.9239

126 0.5879 -0.3928 0.7071 156 -0.2126 0.3182 0.9239

127 0.6533 -0.2706 0.7071 157 -0.2706 0.2706 0.9239

128 0.6935 -0.1379 0.7071 158 -0.3182 0.2126 0.9239

129 0.5556 0 0.8315 159 -0.3536 0.1464 0.9239

130 0.5133 0.2126 0.8315 160 -0.3753 0.0747 0.9239

131 0.3928 0.3928 0.8315 161 -0.3827 0 0.9239

132 0.2126 0.5133 0.8315 162 -0.3753 -0.0747 0.9239

133 0 0.5556 0.8315 163 -0.3536 -0.1464 0.9239

134 -0.2126 0.5133 0.8315 164 -0.3182 -0.2126 0.9239

135 -0.3928 0.3928 0.8315 165 -0.2706 -0.2706 0.9239

136 -0.5133 0.2126 0.8315 166 -0.2126 -0.3182 0.9239

137 -0.5556 0 0.8315 167 -0.1464 -0.3536 0.9239

138 -0.5133 -0.2126 0.8315 168 -0.0747 -0.3753 0.9239

139 -0.3928 -0.3928 0.8315 169 0 -0.3827 0.9239

140 -0.2126 -0.5133 0.8315 170 0.0747 -0.3753 0.9239

141 0 -0.5556 0.8315 171 0.1464 -0.3536 0.9239

142 0.2126 -0.5133 0.8315 172 0.2126 -0.3182 0.9239

143 0.3928 -0.3928 0.8315 173 0.2706 -0.2706 0.9239

144 0.5133 -0.2126 0.8315 174 0.3182 -0.2126 0.9239

145 0.3827 0 0.9239 175 0.3536 -0.1464 0.9239

146 0.3753 0.0747 0.9239 176 0.3753 -0.0747 0.9239

147 0.3536 0.1464 0.9239 177 0.1951 0 0.9808

148 0.3182 0.2126 0.9239 178 0.1802 0.0747 0.9808

149 0.2706 0.2706 0.9239 179 0.1379 0.1379 0.9808

(31)

B-9

Universitas Kristen Maranatha

NGN x y z NGN x y z

181 0 0.1951 0.9808 211 0.9061 0.1802 -0.3827

182 -0.0747 0.1802 0.9808 212 0.8536 0.3536 -0.3827

183 -0.1379 0.1379 0.9808 213 0.7682 0.5133 -0.3827

184 -0.1802 0.0747 0.9808 214 0.6533 0.6533 -0.3827

185 -0.1951 0 0.9808 215 0.5133 0.7682 -0.3827

186 -0.1802 -0.0747 0.9808 216 0.3536 0.8536 -0.3827

187 -0.1379 -0.1379 0.9808 217 0.1802 0.9061 -0.3827

188 -0.0747 -0.1802 0.9808 218 0 0.9239 -0.3827

189 0 -0.1951 0.9808 219 -0.1802 0.9061 -0.3827

190 0.0747 -0.1802 0.9808 220 -0.3536 0.8536 -0.3827

191 0.1379 -0.1379 0.9808 221 -0.5133 0.7682 -0.3827

192 0.1802 -0.0747 0.9808 222 -0.6533 0.6533 -0.3827

193 0 0 1 223 -0.7682 0.5133 -0.3827

194 0.9808 0 -0.1951 224 -0.8536 0.3536 -0.3827

195 0.9061 0.3753 -0.1951 225 -0.9061 0.1802 -0.3827

196 0.6935 0.6935 -0.1951 226 -0.9239 0 -0.3827

197 0.3753 0.9061 -0.1951 227 -0.9061 -0.1802 -0.3827

198 0 0.9808 -0.1951 228 -0.8536 -0.3536 -0.3827

199 -0.3753 0.9061 -0.1951 229 -0.7682 -0.5133 -0.3827

200 -0.6935 0.6935 -0.1951 230 -0.6533 -0.6533 -0.3827

201 -0.9061 0.3753 -0.1951 231 -0.5133 -0.7682 -0.3827

202 -0.9808 0 -0.1951 232 -0.3536 -0.8536 -0.3827

203 -0.9061 -0.3753 -0.1951 233 -0.1802 -0.9061 -0.3827

204 -0.6935 -0.6935 -0.1951 234 0 -0.9239 -0.3827

205 -0.3753 -0.9061 -0.1951 235 0.1802 -0.9061 -0.3827

206 0 -0.9808 -0.1951 236 0.3536 -0.8536 -0.3827

207 0.3753 -0.9061 -0.1951 237 0.5133 -0.7682 -0.3827

208 0.6935 -0.6935 -0.1951 238 0.6533 -0.6533 -0.3827

209 0.9061 -0.3753 -0.1951 239 0.7682 -0.5133 -0.3827

(32)

B-10

Universitas Kristen Maranatha

NGN x y z NGN x y z

241 0.9061 -0.1802 -0.3827 271 -0.5879 0.3928 -0.7071

242 0.8315 0 -0.5556 272 -0.6533 0.2706 -0.7071

243 0.7682 0.3182 -0.5556 273 -0.6935 0.1379 -0.7071

244 0.5879 0.5879 -0.5556 274 -0.7071 0 -0.7071

245 0.3182 0.7682 -0.5556 275 -0.6935 -0.1379 -0.7071

246 0 0.8315 -0.5556 276 -0.6533 -0.2706 -0.7071

247 -0.3182 0.7682 -0.5556 277 -0.5879 -0.3928 -0.7071

248 -0.5879 0.5879 -0.5556 278 -0.5 -0.5 -0.7071

249 -0.7682 0.3182 -0.5556 279 -0.3928 -0.5879 -0.7071

250 -0.8315 0 -0.5556 280 -0.2706 -0.6533 -0.7071

251 -0.7682 -0.3182 -0.5556 281 -0.1379 -0.6935 -0.7071

252 -0.5879 -0.5879 -0.5556 282 0 -0.7071 -0.7071

253 -0.3182 -0.7682 -0.5556 283 0.1379 -0.6935 -0.7071

254 0 -0.8315 -0.5556 284 0.2706 -0.6533 -0.7071

255 0.3182 -0.7682 -0.5556 285 0.3928 -0.5879 -0.7071

256 0.5879 -0.5879 -0.5556 286 0.5 -0.5 -0.7071

257 0.7682 -0.3182 -0.5556 287 0.5879 -0.3928 -0.7071

258 0.7071 0 -0.7071 288 0.6533 -0.2706 -0.7071

259 0.6935 0.1379 -0.7071 289 0.6935 -0.1379 -0.7071

260 0.6533 0.2706 -0.7071 290 0.5556 0 -0.8315

261 0.5879 0.3928 -0.7071 291 0.5133 0.2126 -0.8315

262 0.5 0.5 -0.7071 292 0.3928 0.3928 -0.8315

263 0.3928 0.5879 -0.7071 293 0.2126 0.5133 -0.8315

264 0.2706 0.6533 -0.7071 294 0 0.5556 -0.8315

265 0.1379 0.6935 -0.7071 295 -0.2126 0.5133 -0.8315

266 0 0.7071 -0.7071 296 -0.3928 0.3928 -0.8315

267 -0.1379 0.6935 -0.7071 297 -0.5133 0.2126 -0.8315

268 -0.2706 0.6533 -0.7071 298 -0.5556 0 -0.8315

269 -0.3928 0.5879 -0.7071 299 -0.5133 -0.2126 -0.8315

(33)

B-11

Universitas Kristen Maranatha

NGN x y z NGN x y z

301 -0.2126 -0.5133 -0.8315 328 -0.1464 -0.3536 -0.9239

302 0 -0.5556 -0.8315 329 -0.0747 -0.3753 -0.9239

303 0.2126 -0.5133 -0.8315 330 0 -0.3827 -0.9239

304 0.3928 -0.3928 -0.8315 331 0.0747 -0.3753 -0.9239

305 0.5133 -0.2126 -0.8315 332 0.1464 -0.3536 -0.9239

306 0.3827 0 -0.9239 333 0.2126 -0.3182 -0.9239

307 0.3753 0.0747 -0.9239 334 0.2706 -0.2706 -0.9239

308 0.3536 0.1464 -0.9239 335 0.3182 -0.2126 -0.9239

309 0.3182 0.2126 -0.9239 336 0.3536 -0.1464 -0.9239

310 0.2706 0.2706 -0.9239 337 0.3753 -0.0747 -0.9239

311 0.2126 0.3182 -0.9239 338 0.1951 0 -0.9808

312 0.1464 0.3536 -0.9239 339 0.1802 0.0747 -0.9808

313 0.0747 0.3753 -0.9239 340 0.1379 0.1379 -0.9808

314 0 0.3827 -0.9239 341 0.0747 0.1802 -0.9808

315 -0.0747 0.3753 -0.9239 342 0 0.1951 -0.9808

316 -0.1464 0.3536 -0.9239 343 -0.0747 0.1802 -0.9808

317 -0.2126 0.3182 -0.9239 344 -0.1379 0.1379 -0.9808

318 -0.2706 0.2706 -0.9239 345 -0.1802 0.0747 -0.9808

319 -0.3182 0.2126 -0.9239 346 -0.1951 0 -0.9808

320 -0.3536 0.1464 -0.9239 347 -0.1802 -0.0747 -0.9808

321 -0.3753 0.0747 -0.9239 348 -0.1379 -0.1379 -0.9808

322 -0.3827 0 -0.9239 349 -0.0747 -0.1802 -0.9808

323 -0.3753 -0.0747 -0.9239 350 0 -0.1951 -0.9808

324 -0.3536 -0.1464 -0.9239 351 0.0747 -0.1802 -0.9808

325 -0.3182 -0.2126 -0.9239 352 0.1379 -0.1379 -0.9808

326 -0.2706 -0.2706 -0.9239 353 0.1802 -0.0747 -0.9808

(34)

B-12

Universitas Kristen Maranatha

B.2.2 Nomor elemen dan hubungan nomor lokal dengan nomor global node

Kasus Eksterior

No El. Node 1 Node 2 Node 3 Node 4 Node 5 Node 6 Node 7 Node 8

1 1 49 51 3 2 33 50 34

2 3 51 53 5 4 34 52 35

3 5 53 55 7 6 35 54 36

4 7 55 57 9 8 36 56 37

5 9 57 59 11 10 37 58 38

6 11 59 61 13 12 38 60 39

7 13 61 63 15 14 39 62 40

8 15 63 65 17 16 40 64 41

9 17 65 67 19 18 41 66 42

10 19 67 69 21 20 42 68 43

11 21 69 71 23 22 43 70 44

12 23 71 73 25 24 44 72 45

13 25 73 75 27 26 45 74 46

14 27 75 77 29 28 46 76 47

15 29 77 79 31 30 47 78 48

16 31 79 49 1 32 48 80 33

17 49 97 99 51 50 81 98 82

18 51 99 101 53 52 82 100 83

19 53 101 103 55 54 83 102 84

20 55 103 105 57 56 84 104 85

21 57 105 107 59 58 85 106 86

22 59 107 109 61 60 86 108 87

23 61 109 111 63 62 87 110 88

24 63 111 113 65 64 88 112 89

25 65 113 115 67 66 89 114 90

26 67 115 117 69 68 90 116 91

27 69 117 119 71 70 91 118 92

28 71 119 121 73 72 92 120 93

29 73 121 123 75 74 93 122 94

30 75 123 125 77 76 94 124 95

31 77 125 127 79 78 95 126 96

(35)

B-13

Universitas Kristen Maranatha

No El. Node 1 Node 2 Node 3 Node 4 Node 5 Node 6 Node 7 Node 8

33 97 145 147 99 98 129 146 130

34 99 147 149 101 100 130 148 131

35 101 149 151 103 102 131 150 132

36 103 151 153 105 104 132 152 133

37 105 153 155 107 106 133 154 134

38 107 155 157 109 108 134 156 135

39 109 157 159 111 110 135 158 136

40 111 159 161 113 112 136 160 137

41 113 161 163 115 114 137 162 138

42 115 163 165 117 116 138 164 139

43 117 165 167 119 118 139 166 140

44 119 167 169 121 120 140 168 141

45 121 169 171 123 122 141 170 142

46 123 171 173 125 124 142 172 143

47 125 173 175 127 126 143 174 144

48 127 175 145 97 128 144 176 129

49 145 193 193 147 146 177 193 178

50 147 193 193 149 148 178 193 179

51 149 193 193 151 150 179 193 180

52 151 193 193 153 152 180 193 181

53 153 193 193 155 154 181 193 182

54 155 193 193 157 156 182 193 183

55 157 193 193 159 158 183 193 184

56 159 193 193 161 160 184 193 185

57 161 193 193 163 162 185 193 186

58 163 193 193 165 164 186 193 187

59 165 193 193 167 166 187 193 188

60 167 193 193 169 168 188 193 189

61 169 193 193 171 170 189 193 190

62 171 193 193 173 172 190 193 191

63 173 193 193 175 174 191 193 192

(36)

B-14

Universitas Kristen Maranatha

No El. Node 1 Node 2 Node 3 Node 4 Node 5 Node 6 Node 7 Node 8

65 1 3 212 210 194 2 195 211

66 3 5 214 212 195 4 196 213

67 5 7 216 214 196 6 197 215

68 7 9 218 216 197 8 198 217

69 9 11 220 218 198 10 199 219

70 11 13 222 220 199 12 200 221

71 13 15 224 222 200 14 201 223

72 15 17 226 224 201 16 202 225

73 17 19 228 226 202 18 203 227

74 19 21 230 228 203 20 204 229

75 21 23 232 230 204 22 205 231

76 23 25 234 232 205 24 206 233

77 25 27 236 234 206 26 207 235

78 27 29 238 236 207 28 208 237

79 29 31 240 238 208 30 209 239

80 31 1 210 240 209 32 194 241

81 210 212 260 258 242 211 243 259

82 212 214 262 260 243 213 244 261

83 214 216 264 262 244 215 245 263

84 216 218 266 264 245 217 246 265

85 218 220 268 266 246 219 247 267

86 220 222 270 268 247 221 248 269

87 222 224 272 270 248 223 249 271

88 224 226 274 272 249 225 250 273

89 226 228 276 274 250 227 251 275

90 228 230 278 276 251 229 252 277

91 230 232 280 278 252 231 253 279

92 232 234 282 280 253 233 254 281

93 234 236 284 282 254 235 255 283

94 236 238 286 284 255 237 256 285

95 238 240 288 286 256 239 257 287

(37)

B-15

Universitas Kristen Maranatha

No El. Node 1 Node 2 Node 3 Node 4 Node 5 Node 6 Node 7 Node 8

97 258 260 308 306 290 259 291 307

98 260 262 310 308 291 261 292 309

99 262 264 312 310 292 263 293 311

100 264 266 314 312 293 265 294 313

101 266 268 316 314 294 267 295 315

102 268 270 318 316 295 269 296 317

103 270 272 320 318 296 271 297 319

104 272 274 322 320 297 273 298 321

105 274 276 324 322 298 275 299 323

106 276 278 326 324 299 277 300 325

107 278 280 328 326 300 279 301 327

108 280 282 330 328 301 281 302 329

109 282 284 332 330 302 283 303 331

110 284 286 334 332 303 285 304 333

111 286 288 336 334 304 287 305 335

112 288 258 306 336 305 289 290 337

113 306 308 308 354 338 307 308 339

114 308 310 310 354 339 309 310 340

115 310 312 312 354 340 311 312 341

116 312 314 314 354 341 313 314 342

117 314 316 316 354 342 315 316 343

118 316 318 318 354 343 317 318 344

119 318 320 320 354 344 319 320 345

120 320 322 322 354 345 321 322 346

121 322 324 324 354 346 323 324 347

122 324 326 326 354 347 325 326 348

123 326 328 328 354 348 327 328 349

124 328 330 330 354 349 329 330 350

125 330 332 332 354 350 331 332 351

126 332 334 334 354 351 333 334 352

127 334 336 336 354 352 335 336 353

(38)

B-16

Universitas Kristen Maranatha

B.3 Kubus dengan Diskritisasi 74 Node dan 24 Elemen

Permukaan kubus didiskritisasi menjadi 74 node dan 24 elemen seperti pada gambar 3.4. Nomor global masing-masing node diberikan pada gambar B.4.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Gambar B.4. Nomor global pada sisi kubus, (a) sisi depan kubus, (b) sisi kiri

kubus, (c) sisi atas kubus, (d) sisi belakang kubus, (e) sisi kanan kubus, (f) sisi bawah kubus.

(39)

B-17

Universitas Kristen Maranatha

B.3.1 Nomor global dan koordinat titik kubus dengan 74 node

NGN x y z NGN x y z

1 1 -1 -1 38 -1 1 0

2 1 -0.5 -1 39 -1 0.5 0

3 1 0 -1 40 -1 0 0

4 1 0.5 -1 41 -1 -0.5 0

5 1 1 -1 42 -1 -1 0

6 0.5 1 -1 43 -0.5 -1 0

7 0 1 -1 44 0 -1 0

8 -0.5 1 -1 45 0.5 -1 0

9 -1 1 -1 46 1 -1 0.5

10 -1 0.5 -1 47 1 0 0.5

11 -1 0 -1 48 1 1 0.5

12 -1 -0.5 -1 49 0 1 0.5

13 -1 -1 -1 50 -1 1 0.5

14 -0.5 -1 -1 51 -1 0 0.5

15 0 -1 -1 52 -1 -1 0.5

16 0.5 -1 -1 53 0 -1 0.5

17 0 -0.5 -1 54 1 -1 1

18 0 0 -1 55 1 -0.5 1

19 -0.5 0 -1 56 1 0 1

20 0.5 0 -1 57 1 0.5 1

21 0 0.5 -1 58 1 1 1

22 1 -1 -0.5 59 0.5 1 1

23 1 0 -0.5 60 0 1 1

24 1 1 -0.5 61 -0.5 1 1

25 0 1 -0.5 62 -1 1 1

26 -1 1 -0.5 63 -1 0.5 1

27 -1 0 -0.5 64 -1 0 1

28 -1 -1 -0.5 65 -1 -0.5 1

29 0 -1 -0.5 66 -1 -1 1

30 1 -1 0 67 -0.5 -1 1

31 1 -0.5 0 68 0 -1 1

32 1 0 0 69 0.5 -1 1

33 1 0.5 0 70 0 -0.5 1

34 1 1 0 71 0 0 1

35 0.5 1 0 72 -0.5 0 1

36 0 1 0 73 0.5 0 1

(40)

B-18

Universitas Kristen Maranatha

B.3.2 Nomor elemen dan hubungan nomor lokal dengan nomor global node

Kasus Eksterior

No El. Node 1 Node 2 Node 3 Node 4 Node 5 Node 6 Node 7 Node 8

1 1 3 18 15 16 2 20 17

2 3 5 7 18 20 4 6 21

3 15 18 11 13 14 17 19 12

4 18 7 9 11 19 21 8 10

5 1 15 44 30 22 16 29 45

6 15 13 42 44 29 14 28 43

7 13 11 40 42 28 12 27 41

8 11 9 38 40 27 10 26 39

9 30 44 68 54 46 45 53 69

10 44 42 66 68 53 43 52 67

11 42 40 64 66 52 41 51 65

12 40 38 62 64 51 39 50 63

13 1 30 32 3 2 22 31 23

14 3 32 34 5 4 23 33 24

15 5 34 36 7 6 24 35 25

16 7 36 38 9 8 25 37 26

17 30 54 56 32 31 46 55 47

18 32 56 58 34 33 47 57 48

19 34 58 60 36 35 48 59 49

20 36 60 62 38 37 49 61 50

21 54 68 71 56 55 69 70 73

22 56 71 60 58 57 73 74 59

23 68 66 64 71 70 67 65 72

(41)

B-19

Universitas Kristen Maranatha

B.4 Kubus dengan Diskritisasi 290 Node dan 96 Elemen

Permukaan kubus didiskritisasi menjadi 290 node dan 96 elemen seperti pada gambar 3.4. Nomor global masing-masing node diberikan pada gambar B.5, B.6 dan B.7.

(a) (b)

Gambar B.5. Nomor global tiap node pada setiap sisi kubus. (a) Sisi depan

(42)

B-20

Universitas Kristen Maranatha

(a) (b)

Gambar B.6. Nomor global tiap node pada setiap sisi kubus. (a) Sisi kiri kubus,

(b) Sisi kanan kubus.

(a) (b)

Gambar B.7. Nomor global tiap node pada setiap sisi kubus. (a) Sisi atas kubus,

(43)

B-21

Universitas Kristen Maranatha

B.4.1 Nomor global dan koordinat titik kubus dengan 290 node

NGN x y z NGN x y z

1 1 -1 -1 26 1 0 -0.25

2 1 -0.75 -1 27 1 0.5 -0.25

3 1 -0.5 -1 28 1 1 -0.25

4 1 -0.25 -1 29 1 -1 0

5 1 0 -1 30 1 -0.75 0

6 1 0.25 -1 31 1 -0.5 0

7 1 0.5 -1 32 1 -0.25 0

8 1 0.75 -1 33 1 0 0

9 1 1 -1 34 1 0.25 0

10 1 -1 -0.75 35 1 0.5 0

11 1 -0.5 -0.75 36 1 0.75 0

12 1 0 -0.75 37 1 1 0

13 1 0.5 -0.75 38 1 -1 0.25

14 1 1 -0.75 39 1 -0.5 0.25

15 1 -1 -0.5 40 1 0 0.25

16 1 -0.75 -0.5 41 1 0.5 0.25

17 1 -0.5 -0.5 42 1 1 0.25

18 1 -0.25 -0.5 43 1 -1 0.5

19 1 0 -0.5 44 1 -0.75 0.5

20 1 0.25 -0.5 45 1 -0.5 0.5

21 1 0.5 -0.5 46 1 -0.25 0.5

22 1 0.75 -0.5 47 1 0 0.5

23 1 1 -0.5 48 1 0.25 0.5

24 1 -1 -0.25 49 1 0.5 0.5

(44)

B-22

Universitas Kristen Maranatha

NGN x y z NGN x y z

51 1 1 0.5 76 -1 -0.5 -0.75

52 1 -1 0.75 77 -1 0 -0.75

53 1 -0.5 0.75 78 -1 0.5 -0.75

54 1 0 0.75 79 -1 1 -0.75

55 1 0.5 0.75 80 -1 -1 -0.5

56 1 1 0.75 81 -1 -0.75 -0.5

57 1 -1 1 82 -1 -0.5 -0.5

58 1 -0.75 1 83 -1 -0.25 -0.5

59 1 -0.5 1 84 -1 0 -0.5

60 1 -0.25 1 85 -1 0.25 -0.5

61 1 0 1 86 -1 0.5 -0.5

62 1 0.25 1 87 -1 0.75 -0.5

63 1 0.5 1 88 -1 1 -0.5

64 1 0.75 1 89 -1 -1 -0.25

65 1 1 1 90 -1 -0.5 -0.25

66 -1 -1 -1 91 -1 0 -0.25

67 -1 -0.75 -1 92 -1 0.5 -0.25

68 -1 -0.5 -1 93 -1 1 -0.25

69 -1 -0.25 -1 94 -1 -1 0

70 -1 0 -1 95 -1 -0.75 0

71 -1 0.25 -1 96 -1 -0.5 0

72 -1 0.5 -1 97 -1 -0.25 0

73 -1 0.75 -1 98 -1 0 0

74 -1 1 -1 99 -1 0.25 0

(45)

B-23

Universitas Kristen Maranatha

NGN x y z NGN x y z

101 -1 0.75 0 126 -1 0 1

102 -1 1 0 127 -1 0.25 1

103 -1 -1 0.25 128 -1 0.5 1

104 -1 -0.5 0.25 129 -1 0.75 1

105 -1 0 0.25 130 -1 1 1

106 -1 0.5 0.25 131 0.75 -1 1

107 -1 1 0.25 132 0.75 -0.5 1

108 -1 -1 0.5 133 0.75 0 1

109 -1 -0.75 0.5 134 0.75 0.5 1

110 -1 -0.5 0.5 135 0.75 1 1

111 -1 -0.25 0.5 136 0.5 -1 1

112 -1 0 0.5 137 0.5 -0.75 1

113 -1 0.25 0.5 138 0.5 -0.5 1

114 -1 0.5 0.5 139 0.5 -0.25 1

115 -1 0.75 0.5 140 0.5 0 1

116 -1 1 0.5 141 0.5 0.25 1

117 -1 -1 0.75 142 0.5 0.5 1

118 -1 -0.5 0.75 143 0.5 0.75 1

119 -1 0 0.75 144 0.5 1 1

120 -1 0.5 0.75 145 0.25 -1 1

121 -1 1 0.75 146 0.25 -0.5 1

122 -1 -1 1 147 0.25 0 1

123 -1 -0.75 1 148 0.25 0.5 1

124 -1 -0.5 1 149 0.25 1 1

(46)

B-24

Universitas Kristen Maranatha

NGN x y z NGN x y z

151 0 -0.75 1 176 -0.75 0.5 1

152 0 -0.5 1 177 -0.75 1 1

153 0 -0.25 1 178 0.75 -1 -1

154 0 0 1 179 0.75 -0.5 -1

155 0 0.25 1 180 0.75 0 -1

156 0 0.5 1 181 0.75 0.5 -1

157 0 0.75 1 182 0.75 1 -1

158 0 1 1 183 0.5 -1 -1

159 -0.25 -1 1 184 0.5 -0.75 -1

160 -0.25 -0.5 1 185 0.5 -0.5 -1

161 -0.25 0 1 186 0.5 -0.25 -1

162 -0.25 0.5 1 187 0.5 0 -1

163 -0.25 1 1 188 0.5 0.25 -1

164 -0.5 -1 1 189 0.5 0.5 -1

165 -0.5 -0.75 1 190 0.5 0.75 -1

166 -0.5 -0.5 1 191 0.5 1 -1

167 -0.5 -0.25 1 192 0.25 -1 -1

168 -0.5 0 1 193 0.25 -0.5 -1

169 -0.5 0.25 1 194 0.25 0 -1

170 -0.5 0.5 1 195 0.25 0.5 -1

171 -0.5 0.75 1 196 0.25 1 -1

172 -0.5 1 1 197 0 -1 -1

173 -0.75 -1 1 198 0 -0.75 -1

174 -0.75 -0.5 1 199 0 -0.5 -1

(47)

B-25

Universitas Kristen Maranatha

NGN x y z NGN x y z

201 0 0 -1 226 0 -1 -0.75

202 0 0.25 -1 227 -0.5 -1 -0.75

203 0 0.5 -1 228 0.75 -1 -0.5

204 0 0.75 -1 229 0.5 -1 -0.5

205 0 1 -1 230 0.25 -1 -0.5

206 -0.25 -1 -1 231 0 -1 -0.5

207 -0.25 -0.5 -1 232 -0.25 -1 -0.5

208 -0.25 0 -1 233 -0.5 -1 -0.5

209 -0.25 0.5 -1 234 -0.75 -1 -0.5

210 -0.25 1 -1 235 0.5 -1 -0.25

211 -0.5 -1 -1 236 0 -1 -0.25

212 -0.5 -0.75 -1 237 -0.5 -1 -0.25

213 -0.5 -0.5 -1 238 0.75 -1 0

214 -0.5 -0.25 -1 239 0.5 -1 0

215 -0.5 0 -1 240 0.25 -1 0

216 -0.5 0.25 -1 241 0 -1 0

217 -0.5 0.5 -1 242 -0.25 -1 0

218 -0.5 0.75 -1 243 -0.5 -1 0

219 -0.5 1 -1 244 -0.75 -1 0

220 -0.75 -1 -1 245 0.5 -1 0.25

221 -0.75 -0.5 -1 246 0 -1 0.25

222 -0.75 0 -1 247 -0.5 -1 0.25

223 -0.75 0.5 -1 248 0.75 -1 0.5

224 -0.75 1 -1 249 0.5 -1 0.5

(48)

B-26

Universitas Kristen Maranatha

NGN x y z NGN x y z

252 -0.25 -1 0.5 272 0.5 1 0

253 -0.5 -1 0.5 273 0.25 1 0

254 -0.75 -1 0.5 274 0 1 0

255 0.5 -1 0.75 275 -0.25 1 0

256 0 -1 0.75 276 -0.5 1 0

257 -0.5 -1 0.75 277 -0.75 1 0

258 0.5 1 -0.75 278 0.5 1 0.25

259 0 1 -0.75 279 0 1 0.25

260 -0.5 1 -0.75 280 -0.5 1 0.25

261 0.75 1 -0.5 281 0.75 1 0.5

262 0.5 1 -0.5 282 0.5 1 0.5

263 0.25 1 -0.5 283 0.25 1 0.5

264 0 1 -0.5 284 0 1 0.5

265 -0.25 1 -0.5 285 -0.25 1 0.5

266 -0.5 1 -0.5 286 -0.5 1 0.5

267 -0.75 1 -0.5 287 -0.75 1 0.5

268 0.5 1 -0.25 288 0.5 1 0.75

269 0 1 -0.25 289 0 1 0.75

(49)

B-27

Universitas Kristen Maranatha

B.4.2 Nomor elemen dan hubungan nomor lokal dengan nomor global node

No El. Node 1 Node 2 Node 3 Node 4 Node 5 Node 6 Node 7 Node 8

1 1 3 185 183 178 2 179 184

2 3 5 187 185 179 4 180 186

3 5 7 189 187 180 6 181 188

4 7 9 191 189 181 8 182 190

5 183 185 199 197 192 184 193 198

6 185 187 201 199 193 186 194 200

7 187 189 203 201 194 188 195 202

8 189 191 205 203 195 190 196 204

9 197 199 213 211 206 198 207 212

10 199 201 215 213 207 200 208 214

11 201 203 217 215 208 202 209 216

12 203 205 219 217 209 204 210 218

13 211 213 68 66 220 212 221 67

14 213 215 70 68 221 214 222 69

15 215 217 72 70 222 216 223 71

16 217 219 74 72 223 218 224 73

17 1 183 229 15 10 178 225 228

18 183 197 231 229 225 192 226 230

19 197 211 233 231 226 206 227 232

20 211 66 80 233 227 220 75 234

21 15 229 239 29 24 228 235 238

22 229 231 241 239 235 230 236 240

23 231 233 243 241 236 232 237 242

24 233 80 94 243 237 234 89 244

25 29 239 249 43 38 238 245 248

26 239 241 251 249 245 240 246 250

27 241 243 253 251 246 242 247 252

28 243 94 108 253 247 244 103 254

29 43 249 136 57 52 248 255 131

30 249 251 150 136 255 250 256 145

31 251 253 164 150 256 252 257 159

(50)

B-28

Universitas Kristen Maranatha

No El. Node 1 Node 2 Node 3 Node 4 Node 5 Node 6 Node 7 Node 8

33 66 68 82 80 75 67 76 81

34 68 70 84 82 76 69 77 83

35 70 72 86 84 77 71 78 85

36 72 74 88 86 78 73 79 87

37 80 82 96 94 89 81 90 95

38 82 84 98 96 90 83 91 97

39 84 86 100 98 91 85 92 99

40 86 88 102 100 92 87 93 101

41 94 96 110 108 103 95 104 109

42 96 98 112 110 104 97 105 111

43 98 100 114 112 105 99 106 113

44 100 102 116 114 106 101 107 115

45 108 110 124 122 117 109 118 123

46 110 112 126 124 118 111 119 125

47 112 114 128 126 119 113 120 127

48 114 116 130 128 120 115 121 129

49 1 15 17 3 2 10 16 11

50 3 17 19 5 4 11 18 12

51 5 19 21 7 6 12 20 13

52 7 21 23 9 8 13 22 14

53 15 29 31 17 16 24 30 25

54 17 31 33 19 18 25 32 26

55 19 33 35 21 20 26 34 27

56 21 35 37 23 22 27 36 28

57 29 43 45 31 30 38 44 39

58 31 45 47 33 32 39 46 40

59 33 47 49 35 34 40 48 41

60 35 49 51 37 36 41 50 42

61 43 57 59 45 44 52 58 53

62 45 59 61 47 46 53 60 54

63 47 61 63 49 48 54 62 55

(51)

B-29

Universitas Kristen Maranatha

No El. Node 1 Node 2 Node 3 Node 4 Node 5 Node 6 Node 7 Node 8

65 57 136 138 59 58 131 137 132

66 59 138 140 61 60 132 139 133

67 61 140 142 63 62 133 141 134

68 63 142 144 65 64 134 143 135

69 136 150 152 138 137 145 151 146

70 138 152 154 140 139 146 153 147

71 140 154 156 142 141 147 155 148

72 142 156 158 144 143 148 157 149

73 150 164 166 152 151 159 165 160

74 152 166 168 154 153 160 167 161

75 154 168 170 156 155 161 169 162

76 156 170 172 158 157 162 171 163

77 164 122 124 166 165 173 123 174

78 166 124 126 168 167 174 125 175

79 168 126 128 170 169 175 127 176

80 170 128 130 172 171 176 129 177

81 9 23 262 191 182 14 261 258

82 191 262 264 205 196 258 263 259

83 205 264 266 219 210 259 265 260

84 219 266 88 74 224 260 267 79

85 23 37 272 262 261 28 271 268

86 262 272 274 264 263 268 273 269

87 264 274 276 266 265 269 275 270

88 266 276 102 88 267 270 277 93

89 37 51 282 272 271 42 281 278

90 272 282 284 274 273 278 283 279

91 274 284 286 276 275 279 285 280

92 276 286 116 102 277 280 287 107

93 51 65 144 282 281 56 135 288

94 282 144 158 284 283 288 149 289

95 284 158 172 286 285 289 163 290

(52)

B-30

Universitas Kristen Maranatha

B.5 Silinder dengan Diskritisasi 42 Node dan 16 Elemen

Permukaan silinder didiskritisasi menjadi 42 node dan 16 elemen seperti pada gambar 3.3b. Nomor global masing-masing node diberikan pada gambar B.8.

(a) (b)

Gambar B.8. Nomor global pada silinder, (a) tutup silinder atas, (b) tutup silinder

(53)

B-31

Universitas Kristen Maranatha

B.5.1 Nomor global dan koordinat titik silinder dengan 42 node

NGN x y z NGN x y z

1 1 0 -2 22 0.5 0 2

2 0.70711 0.70711 -2 23 0 0.5 2

3 0 1 -2 24 -0.5 0 2

4 -0.7071 0.70711 -2 25 0 0 2

5 -1 0 -2 26 0.5 0 -2

6 1 0 -1 27 0 0.5 -2

7 0 1 -1 28 -0.5 0 -2

8 -1 0 -1 29 0 0 -2

9 1 0 0 30 0 -0.5 -2

10 0.70711 0.70711 0 31 0.70711 -0.7071 -2

11 0 1 0 32 0 -1 -2

12 -0.7071 0.70711 0 33 -0.7071 -0.7071 -2

13 -1 0 0 34 0 -1 -1

14 1 0 1 35 0.70711 -0.7071 0

15 0 1 1 36 0 -1 0

16 -1 0 1 37 -0.7071 -0.7071 0

17 1 0 2 38 0 -1 1

18 0.70711 0.70711 2 39 0.70711 -0.7071 2

19 0 1 2 40 0 -1 2

20 -0.7071 0.70711 2 41 -0.7071 -0.7071 2

(54)

B-32

Universitas Kristen Maranatha

B.5.2 Nomor elemen dan hubungan nomor lokal dengan nomor global node

Kasus Eksterior

No El. Node 1 Node 2 Node 3 Node 4 Node 5 Node 6 Node 7 Node 8

1 1 3 3 29 26 2 3 27

2 29 3 3 5 28 27 3 4

3 1 9 11 3 2 6 10 7

4 3 11 13 5 4 7 12 8

5 9 17 19 11 10 14 18 15

6 11 19 21 13 12 15 20 16

7 17 25 25 19 18 22 25 23

8 19 25 25 21 20 23 25 24

9 21 25 25 40 41 24 25 42

10 40 25 25 17 39 42 25 22

11 17 9 36 40 39 14 35 38

12 40 36 13 21 41 38 37 16

13 9 1 32 36 35 6 31 34

14 36 32 5 13 37 34 33 8

15 1 29 29 32 31 26 29 30

(55)

Universitas Kristen Maranatha

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Akustik merupakan cabang yang penting dari sains fisika. Medan akustik terdapat pada berbagai media di mana gelombang suara merambat. Persamaan gelombang akustik linier dapat digunakan untuk memodelkan masalah akustik dalam media udara atau air. Pada banyak situasi gelombang akustik yang ada pada medan akustik adalah gelombang harmonik terhadap waktu, sehingga persamaan gelombang akustik linier dapat diturunkan menjadi persamaan Helmholtz [12].

Persamaan Helmholtz merupakan persamaan diferensial parsial. Solusi analitik dapat dicari dalam permasalahan tertentu yang melibatkan sumber suara atau objek dengan bentuk geometris yang reguler seperti bola atau tabung. Untuk benda-benda yang tidak reguler (tidak teratur) bentuk geometrisnya, solusi analitik sulit diperoleh. Dalam hal ini untuk dapat mencari solusi permasalahan digunakan metoda numerik.

Metoda numerik tersebut misalnya adalah Metoda Elemen Hingga (Finite Element Method), Metoda Elemen Batas (Boundary Element Method) dan lain-lain. Metoda Elemen Batas (MEB) hanya melibatkan permukaan benda atau sumber yang terkait sedangkan Metode Elemen Hingga melibatkan seluruh volume benda. Dengan Metoda Elemen Batas persoalan tiga dimensi yang melibatkan volume diperlakukan seperti persoalan dua dimensi yang hanya melibatkan permukaan benda. Jadi Metoda Elemen Batas dapat menurunkan dimensi persoalan yang harus dipecahkan.

MEB telah digunakan untuk memecahkan berbagai masalah pada bidang akustik, seperti pada industri otomotif yang melibatkan radiasi suara dari mesin atau benda yang bergetar, penghamburan suara dari permukaan yang tidak reguler, prediksi medan akustik ruang penumpang dari suatu kendaraan, medan akustik pada rongga muffler [2,8], dan sebagainya. MEB juga dapat

(56)

Universitas Kristen Maranatha

menyelesaikan permasalahan radiasi dan penghamburan suara pada ruang setengah tak berhingga [7] dan yang menyangkut benda axisymmetric [5].

Formulasi MEB dalam akustik berdasarkan pada persamaan integral Helmholtz permukaan. Pada awal perkembangan metoda ini, implementasi numerik dari persamaan integral Helmholtz mengasumsikan variabel akustik memiliki besar yang konstan pada tiap elemen. Setelah melalui perkembangan terus-menerus, para ilmuwan (A.F.Seybert, B.Soenarko, F.J.Rizzo dan D.J.Shippy), memperkenalkan implementasi numerik yang menggunakan elemen isoparametrik [6] dengan memanfaatkan fungsi interpolasi (fungsi bentuk) yang sama untuk variabel-variabel akustik maupun permukaan geometris. Fungsi interpolasi yang digunakan diadopsi dari Metoda Elemen Hingga yaitu fungsi interpolasi kuadratik.

Perangkat lunak (Software) yang sudah ada untuk menyelesaikan perhitungan akustik dari benda yang tidak reguler (tidak teratur) bentuk geometrisnya kebanyakan dibuat dengan menggunakan bahasa pemrograman Fortran. Salah satunya adalah BEMAP (Boundary Element Methods for Acoustic Prediction) untuk menghitung radiasi suara dari benda yang bergetar [9]. Bahasa Fortran merupakan bahasa pemrograman yang sudah dari dulu digunakan di kalangan ilmuwan karena kemampuannya dalam menyelesaikan masalah-masalah di bidang teknik dan sains. Akan tetapi seiring dengan bermunculannya bahasa pemrograman yang baru seperti pascal, C, dan masih banyak lainnya, perkembangan bahasa Fortran tersebut menjadi lambat (terakhir sampai versi Fortran 2008). Dewasa ini berkembang program MATLAB (Matrix Laboratory), di mana MATLAB sendiri mempunyai kemampuan yang sama dengan bahasa Fortran akan tetapi mekanisme pemrogramannya lebih mudah dan sederhana. Oleh karena itu melalui tugas akhir ini, akan dibuat perangkat lunak tersebut dengan menggunakan MATLAB.

(57)

Universitas Kristen Maranatha

1. 2 Rumusan Masalah

Masalah yang akan dibahas pada tugas akhir ini adalah :

Bagaimana mengembangkan pemograman MATLAB untuk dapat memecahkan persoalan perhitungan parameter gelombang suara dari radiasi dan hamburan yang melibatkan sumber berbentuk sembarang menggunakan metode elemen batas.

1.3 Tujuan

Tujuan dari tugas akhir ini adalah membuat perangkat lunak (Software) menggunakan MATLAB untuk perhitungan parameter gelombang suara yang ditimbulkan oleh radiasi dan hamburan dari benda berbentuk sembarang dengan menggunakan Metoda Elemen Batas (Boundary Element Method). Perangkat lunak yang akan dibuat bersumber pada bahasa pemrograman Fortran dari program yang sudah ada.

1.4 Batasan Masalah

Ada pun batasan – batasan masalah dalam tugas akhir ini adalah : 1. Persoalan yang dibahas adalah dalam lingkup akustik linier.

2. Massa jenis medium dianggap uniform.

3. Sumber dianggap diam atau tidak bergerak.

4. Medium dalam keadaan diam (tidak ada aliran).

5. Uji kasus yang dilakukan hanya meliputi masalah eksterior.

1.5 Spesifikasi Alat Yang Digunakan

Perangkat lunak (Software) yang digunakan pada tugas akhir ini adalah MATLAB.

(58)

Universitas Kristen Maranatha

1.6 Sistematika Pembahasan

Sistematika pembahasan pada laporan tugas akhir ini adalah

BAB I Pendahuluan, menjelaskan latar belakang masalah, tujuan tugas

akhir, rumusan masalah, batasan masalah, alat yang digunakan dan sistematika pembahasan.

BAB II Landasan teori, membahas tentang formulasi Metoda Elemen

Batas, metoda CHIEF, solusi persamaan matriks dan penyelesaian persamaan matriks dengan metoda faktorisasi LU dan SVD.

BAB III Memberikan penjelasan tentang tiga program yang dibuat yaitu

program Direct BEM, Inverse BEM, dan Halfspace BEM. Selain itu memberikan macam-macam disktritisasi yang digunakan pada tugas akhir ini.

BAB IV Membahas beberapa uji kasus yang dilakukan untuk kasus radiasi,

penghamburan untuk beberapa geometri(bola,kubus,silinder). Uji kasus radiasi dan penghamburan juga dilakukan untuk kasus Halfspace.

BAB V Memberikan kesimpulan dari tugas akhir ini dan saran untuk

pengembangan lebih lanjut.

Lampiran A Memberikan perbandingan hasil-hasil dari program FORTRAN dengan program MATLAB untuk pola radiasi dan penghamburan pada beberapa kasus.

Lampiran B Memberikan koordinat node dan hubungan antara nomor global dan nomor lokal node dari beberapa geometri yang digunakan (bola, kubus, silinder).

(59)

Universitas Kristen Maranatha

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Pada tugas akhir ini telah dibuat program dalam MATLAB untuk menghitung parameter akustik yaitu kecepatan potensial dan kecepatan partikel dengan menggunakan Metoda Elemen Batas. Program yang dibuat dapat menyelesaikan masalah direct akustik, masalah inversi akustik, dan masalah direct akustik pada ruang setengah tak berhingga. Uji kasus meliputi masalah radiasi dan penghamburan dengan melibatkan beberapa bentuk geometri sumber benda yang terkait. Dari hasil tugas akhir ini dapat disimpulkan

1. Program perhitungan parameter akustik dengan menggunakan Metoda

Elemen Batas telah berhasil dibuat ke dalam MATLAB. Program yang dibuat berdasarkan program dalam bahasa Fortran yang telah ada. Simulasi uji kasus yang telah dilakukan menunjukkan hasil yang sesuai antara hasil dari program MATLAB dengan hasil dari program Fortran.

2. Kemudahan dari program MATLAB telah dimanfaatkan yakni pembuatan

grafik secara langsung baik dua dimensi maupun tiga dimensi. Grafik dua dimensi yaitu pola radiasi kecepatan potensial dan pola penghamburan dapat langsung dibuat dari data hasil perhitungan program. Selain itu distribusi tekanan pada permukaan benda dapat divisualisasikan dengan baik menjadi grafik tiga dimensi.

(60)

Universitas Kristen Maranatha

5.2 Saran

Beberapa saran yang dapat diberikan untuk penelitian lebih lanjut adalah

1. Metoda Elemen Batas sangat bermanfaat untuk kasus-kasus frekuensi rendah.

Pada kasus frekuensi tinggi diperlukan diskritisasi yang semakin banyak. Hal ini akan berimbas pada sistem persamaan matriks yang semakin besar yang kemudian akan menyebabkan waktu komputasi yang semakin lama. Oleh karena itu perlu dikembangkan sebuah metoda untuk mengatasi hal tersebut. Salah satunya adalah metoda Multilevel Fast Multipole Method (MLFMM) di mana elemen-elemen hasil diskritisasi dikelompokkan ke dalam cluster-cluster[1]. Metoda ini dengan Metoda Elemen Batas diyakini dapat mengurangi waktu komputasi tanpa mengurangi keakuratan hasil.

2. Pembuatan program dengan MATLAB dapat dilanjutkan pada

(61)

Universitas Kristen Maranatha

DAFTAR PUSTAKA

[1] Bapat, M.S., L. Shen, Y.J. Liu, Adaptive fast multipole boundary element method for three-dimensional half-space acoustic wave problems. Engineering Analysis with Boundary Elements 33, Mei 2009, hal 1113-1123.

[2] Cheng, C. Y. R. dan A. F. Seybert, Recent Applications of The Boundary Element Method to Problems in Acoustics, Proceedings SAE Noise and Vibration Conference, Tranverse City, Michigan, 1987, hal 389-398.

[3] Juhl, Peter, The Boundary Element Method for Sound Field Calculations, Disertasi Ph.D., The Acoustics Laboratory, Technical University of Denmark, 1993.

[4] Kreyzig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, Edisi 9, John Wiley &

Sons, Singapur, 2006.

[5] Seybert, A.F. dan B.Soenarko, A Special Integral Equation Formulation for

Acoustic Radiation and Scattering for Axisymmetric Bodies and Boundary Conditions. J. Acoust. Soc. Am. 80(4), Oktober 1986, hal 1241-1247.

[6] Seybert, A.F., B.Soenarko, F.J.Rizzo dan D.J.Shippy, An Advanced

Computational Method for Radiation and Scattering of Acoustic Waves in Three Dimensions., J. Acoust. Soc. Am. 77(2), February 1985, hal 362-368.

[7] Seybert, A.F. dan B.Soenarko, Radiation and Scattering of Acoustic Waves

from Bodies of Arbitrary Shape in a Three Dimensional Half Space, Transaction of the ASME, Februari 1988.

[8] Seybert, A.F. dan C.Y.R.Cheng, Application of the Boundary Element

Method to Acoustic Cavity Response and Muffler Analysis. Journal of Vibration, Acoustics, Stress and Reliability in Design, January 1987, hal 15-21.

[9] Seybert, A. F. dan R. Khurana, Calculation of The Sound Intensity and Sound Radiation Efficiency of Structures From Vibration Data, International Modal Analysis Conference, Februari 1988.

(62)

Universitas Kristen Maranatha

[10] Trucco, Emanuele, Introductory Techniques for 3-D Computer Vision,

Prentice Hall, 1998.

[11] Wibowo, Bong Juwono, Solusi Masalah Invers Akustik Tiga Dimensi

dengan Menggunakan Metoda Elemen Batas, Tugas Akhir, Jurusan Teknik Fisika, Intitut Teknologi Bandung, 1997.

[12] Wu, T. W., Boundary Element Acoustics: Fundamentals and Computer

(1)

1. 2 Rumusan Masalah

Masalah yang akan dibahas pada tugas akhir ini adalah :

1.3 Tujuan

1.4 Batasan Masalah

Ada pun batasan – batasan masalah dalam tugas akhir ini adalah : 1. Persoalan yang dibahas adalah dalam lingkup akustik linier.

2. Massa jenis medium dianggap uniform.

3. Sumber dianggap diam atau tidak bergerak. 4. Medium dalam keadaan diam (tidak ada aliran).