54 IMPLEMENTASI DAN KOMPARASI ATURAN SEGIEMPAT UNTUK PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN BATAS MENGGUNAKAN MATLAB
Seminar Nasional Teknologi 2007 (SNT 2007)
Yogyakarta, 24 November 2007
ISSN : 1978 – 9777
IMPLEMENTASI DAN KOMPARASI ATURAN SEGIEMPAT UNTUK
PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN BATAS MENGGUNAKAN
MATLAB
Krisnawati
STMIK AMIKOM Yogyakarta
e-mail : krisna@amikom.ac.id
ABSTRACT
Integral dengan batas didefinisikan sebagai luasan daerah yang dibatasi oleh suatu fungsi,
sumbu x, x=a dan x=b. Salah satu metode untuk penyelesaian integral dengan batas adalah
menggunakan aturan segiempat. Aturan ini membagi daerah yang dicari luasannya menjadi
beberapa bagian segiempat, sehingga dengan lebar yang semakin kecil (persegi empat yang
dihasilkan semakin banyak), diharapkan hasilnya akan semakin mendekati yang sebenarnya. Ada
tiga macam aturan segiempat, yakni segiempat atas, segiempat tengah (midpoint rule), serta
segiempat bawah. Dari tiga macam aturan tersebut metode segiempat tengah (midpoint rule) lebih
cepat konvergen dibandingkan dua metode lainnya.
Keywords : integral dengan batas, aturan segiempat.
1.
PENDAHULUAN
Integrasi suatu fungsi yang dinotasikan:
I=
(1)
merupakan integral suatu fungsi f terhadap variabel x yang dihitung antara batas x = a
sampai x = b. Dari persamaan di atas, yang dimaksud dengan integrasi adalah nilai total atau luasan
yang dibatasi oleh fungsi f dan sumbu x, serta antara batas x = a dan x = b.
y=f(x)
x=a
x=b
Integral analitik suatu fungsi dapat diselesaikan dengan mudah. Untuk selanjutnya yang
akan dibahas di sini adalah integrasi numerik yang merupakan metode pendekatan dari integrasi
analitik. Integrasi numerik akan dilakukan apabila: integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara
analitik. Metode integrasi numerik merupakan integral tertentu yang berdasarkan pada hitungan
perkiraan. Seperti pada metode perhitungan integral secara analitik, hitungan integral secara
numerik dapat dilakukan dengan membagi luasan dalam sejumlah pias kecil. Jumlah luas semua
pias yang disebut dengan luas total.
D ‐ 1
Seminar Nasional Teknologi 2007 (SNT 2007)
Yogyakarta, 24 November 2007
2.
ISSN : 1978 – 9777
ATURAN SEGIEMPAT
Untuk mempermudah mencari luasan daerah yang dimaksud maka dilakukan pemecahan
interval batas menjadi beberapa bagian yang sama luasnya.
y=f(x)
x=a
x=b
Gambar 1. Pemecahan daerah untuk aturan segiempat atas
Luas daerah dicari dengan:
Luas
= jumlahan luas segiempat
= ∑ Luas i
n
= ∑ lebarxpanj ang i
1
n
= ∑ ((b − a ) / n ) * f ( x i )
1
n
1
dengan x1=a+(b-a)/n
xi = xi-1+(b-a)/n
n : jumlah panel
y=f(x)
: titik tengah interval
x=a
x=b
Gambar 2. Pemecahan daerah untuk aturan segiempat tengah (mid point rule)
D ‐ 2
Seminar Nasional Teknologi 2007 (SNT 2007)
Yogyakarta, 24 November 2007
ISSN : 1978 – 9777
Luas daerah dicari dengan:
Luas
= jumlahan luas segiempat
= ∑ Luas i
n
= ∑ lebarxpanj ang i
1
n
= ∑ ((b − a ) / n ) * f ( x i )
1
n
1
dengan x1=a+(b-a)/2n
xi = xi-1+(b-a)/n
n : jumlah panel
y=f(x)
x=a
x=b
Gambar 3. Pemecahan daerah untuk aturan segiempat bawah
Luas daerah dicari dengan:
Luas
= jumlahan luas segiempat
= ∑ Luas i
n
= ∑ lebarxpanj ang i
1
n
= ∑ ((b − a ) / n ) * f ( x i )
1
n
1
dengan x1=a
xi = xi-1+(b-a)/n
n : jumlah panel
3.
IMPLEMENTASI PROGRAM
Algoritma diatas diimplementasikan menjadi sebuah program, dengan jumlah panel
D ‐ 3
Seminar Nasional Teknologi 2007 (SNT 2007)
Yogyakarta, 24 November 2007
ISSN : 1978 – 9777
(jumlah segiempat) awal adalah 100. Untuk setiap proses berikutnya dibuat jumlah panelnya
bertambah 100, sehingga dengan semakin banyaknya panel yang dibuat, hasil yang didapat akan
mendekati yang sebenarnya.
Listing programnya sebagai berikut:
clc;clear;
syms x;
f=input('Masukkan persamaan = ');
x1=input('Masukkan batas bawah = ');
x2=input('Masukkan batas atas = ');
b=100;
fprintf('=====================================================\n');
fprintf('Jml panel
PPA
PPT
PPB\n');
fprintf('=====================================================\n');
for j=1:25
%metode segiempat atas
d=(x2-x1)/b;
luasa=0;
t=x1;
for i=1:b
t=t+d;
ft=subs(f,x,t);
luas1a=ft*d;
luasa=luasa+luas1a;
end
%metode segiempat tengah (midpoint rule)
t=x1-d/2;
luast=0;
for i=1:b
t=t+d;
ft=subs(f,x,t);
luas1t=ft*d;
luast=luast+luas1t;
end
%metode segiempat bawah
luasb=0;
t=x1;
for i=1:b
D ‐ 4
Seminar Nasional Teknologi 2007 (SNT 2007)
Yogyakarta, 24 November 2007
ISSN : 1978 – 9777
ft=subs(f,x,t);
luas1b=ft*d;
luasb=luasb+luas1b;
t=t+d;
end
fprintf('%4d
%2.7f
%2.7f
%2.7f\n',b,luasa,luast,luasb);
b=b+100;
end
fprintf('=====================================================\n');
4.
HASIL PERCOBAAN
Diambil contoh kasus sebagai berikut:
∫
4
Hitung
x 2 dx .
2
Secara analitis permasalahan diatas dapat diselesaikan sebagai berikut:
∫
4
2
1
x dx = x 3
3
4
2
2
=
64
8
56
− =
= 18 . 6666666
3
3
3
Dengan menggunakan implementasi algoritma ketiga aturan di atas didapat output sebagai
berikut (dengan tingkat ketepatan 7 angka dibelakang koma untuk aturan titik tengah):
Masukkan persamaan = x^2
Masukkan batas bawah = 2
Masukkan batas atas = 4
======================================================
Jml panel
PPA
PPT
PPB
======================================================
100
18.7868000
18.6666000 18.5468000
200
18.7267000
18.6666500 18.6067000
300
18.7066815
18.6666593 18.6266815
400
18.6966750
18.6666625 18.6366750
500
18.6906720
18.6666640 18.6426720
600
18.6866704
18.6666648 18.6466704
700
18.6838122
18.6666653 18.6495265
800
18.6816687
18.6666656 18.6516687
900
18.6800016
18.6666658 18.6533350
D ‐ 5
Seminar Nasional Teknologi 2007 (SNT 2007)
Yogyakarta, 24 November 2007
1000
18.6786680
18.6666660
18.6546680
1100
18.6775769 18.6666661
18.6557587
1200
18.6766676
18.6666662
18.6566676
1300
18.6758982
18.6666663
18.6574367
1400
18.6752388
18.6666663
18.6580959
1500
18.6746673
18.6666664
18.6586673
1600
18.6741672
18.6666664
18.6591672
1700
18.6737260
18.6666664
18.6596083
1800
18.6733337
18.6666665
18.6600004
1900
18.6729828
18.6666665
18.6603512
2000
18.6726670
18.6666665
18.6606670
2100
18.6723813
18.6666665
18.6609527
2200
18.6721215
18.6666665
18.6612124
2300
18.6718843
18.6666665
18.6614495
2400
18.6716669
18.6666666
18.6616669
2500
18.6714669
18.6666666
18.6618669
ISSN : 1978 – 9777
======================================================
5.
PEMBAHASAN
Dengan melihat hasil percobaan diatas terlihat bahwa untuk jumlah panel berapapun aturan
titik tengah memberikan hasil yang lebih mendekati kepada hasil yang sebenarnya. Dengan tingkat
ketepatan 7 angka dibelakang koma, aturan titik tengah memberikan hasil benar dengan jumlah
panel 2.500. Sedangkan dua metode lainnya sampai dengan 100.000 panel (hasil tidak
dilampirkan), baru mencapai tingkat ketepatan 2 angka dibelakang koma.
Dengan melihat visualisasi pada tiga gambar diatas bisa dijelaskan bahwa metode titik
tengah mengambil rata-rata tinggi persegi panjang dari titik tengah lebar persegi panjangnya.
Metode segiempat bawah menggunakan batas bawah interval untuk panjang segiempatnya,
sedangkat metode persegiempat atas menggunakan batas atas interval untuk panjang
persegiempatnya. Sehingga hasil untuk metode segiempat tengah akan nampak sebagai titik tengah
antara metode segiempat atas dan segiempat bawah.
Dengan melihat kelebihan/kekurangan luasan yang dihasilkan oleh ketiga metode diatas,
telihat pula metode segiempat atas mempunyai kelebihan paling besar (error paling besar positif).
Metode segiempat tengah mempunyai sedikit kekurangan pada daerah hasilnya (error paling kecil
negatif). Metode segiempat bawah mempunyai banyak kekurangan pada daerah hasilnya (error
paling besar negatif).
6.
KESIMPULAN
Dari ketiga aturan segiempat diatas, aturan segiempat tengah (midpoint rule) lebih cepat
konvergen dibanding dengan dua metode lainnya. Ini dapat dimengerti dengan mudah, karena
dalam metode ini kekurangan/kelebihan luasan yang ada, lebih kecil jika dibandingkan dengan dua
metode lainnya.
D ‐ 6
Seminar Nasional Teknologi 2007 (SNT 2007)
Yogyakarta, 24 November 2007
7.
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
ISSN : 1978 – 9777
DAFTAR PUSTAKA
Gary J. Lastman & Naresh K. Sinha, 2000, Microcomputer-Based Numerical Methods for
Science and Enginering.
MatLab 6 Help.
William J Palm, 2004, Introduction to MatLab 6 for Engineers, The McGraw-Hill
Companies, Inc.
http://www.malang.ac.id/e-learning/FMIPA/
http://library.gunadarma.ac.id/files/disk1/9/jbptgunadarma-gdl-course-2004-jackwidjaj415-met_num_-p.ppt
D ‐ 7