PEMBAHASAN OSN MTK 2013 TINGKAT KABUPATEN ISIAN SINGKAT
www.siap-osn.blogspot.com
@Maret 2013
PEMBAHASAN
SOAL OSN MATEMATIKA SMP 2013 TINGKAT KABUPATEN
(ISIAN SINGKAT)
BAGIAN B : ISIAN SINGKAT
1. Jawaban : 17
Misal :
Banyak anak tangga = x .
Karena Tino tepat berada ditengah tangga maka banyak anak tangganya adalah ganjil.
x +1
, sehingga :
Tangga paling tengah =
2
x +1
+ 3 − 5 + 10 = x
2
x +1
+8= x
2
x +1
= x −8
2
x + 1 = 2 x − 16
2 x − x = 16 + 1
x = 17
Jadi banyak anak tangga yang dimiliki tangga tersebut adalah 17 ■
2. Jawaban : 1
pensil + buku + kotak pensil = 6
2000.( pensil ) + 2500.(buku ) + 4000.(kotak pensil ) = 16500
Untuk pensil = 3 , buku = 1 , dan kotak pensil = 2 :
3 +1+ 2 = 6
2000.(3) + 2500.(1) + 4000.(2) = 6000 + 2500 + 8000 = 16500
Jadi banyak buku yang dibeli Ani adalah 1
■
3. Jawaban : 8
2013
berupa bilangan bulat positif, untuk bilangan positif n maka harus memenuhi :
Agar 2
n −3
n 2 − 3 = ( faktor dari 2013) ⇒ ( faktor dari 2013) + 3 = n 2
faktornya
2013 = 3 . 11 . 61
→ {1, 3, 11, 33, 61, 183, 671, 2013}
Sehingga :
( faktor dari 2013) + 3 = n 2
1+ 3 = 4 ⇒ n = 2
3+3= 6 ⇒ n = 6
11 + 3 = 14 ⇒ n = 14
33 + 3 = 36 ⇒ n = 6
61 + 3 = 64 ⇒ n = 8
183 + 3 = 186 ⇒ n = 186
671 + 3 = 674 ⇒ n = 674
1
www.siap-osn.blogspot.com
@Maret 2013
www.siap-osn.blogspot.com
@Maret 2013
2013 + 3 = 2016 ⇒ n = 2016
Dengan demikian nilai n yang memenuhi ada 8.
■
4. Jawaban : − 3
−7
2y
x−2
x
−5
− 10
Ruas kiri
−8
−4
y
Ruas kanan
− 7 + 2 y + x − 2 = −8 − 4 + y
2 y + x − 9 = −12 + y
2 y + x − y = −12 + 9
y + x = −3
x + y = −3 ■
5. Jawaban : 2 y
n( A) = x
n( B ) = y
x≤ y
n( A B) = n( A) + n( B) − n( A B)
⇒
n( A B) maksimal jika n( A B) = 0 , sehingga :
n( A B ) = x + y − 0
n( A B) = x + y ⇒ karena x ≤ y maka dengan mengambil x = y akan diperoleh :
n( A B ) = y + y
n( A B ) = 2 y ■
6. Jawaban : 1
6n 2 + 5n − 4 = (3n + 4) (2n − 1)
Bilangan prima merupakan bilangan yang hanya mempunyai dua faktor, sehingga :
n = 1 ⇒ (3.(1) + 4) (2.(1) − 1) = 7 . 1 ⇒ bilangan prima
n = 2 ⇒ (3.(2) + 4) (2.(2) − 1) = 10 . 3 = 10 . 3 . 1 ⇒ bukan bilangan prima
n = 3 ⇒ (3.(3) + 4) (2.(3) − 1) = 13 . 5 = 13 . 5 . 1 ⇒ bukan bilangan prima
Untuk n seterusnya pasti hasilnya akan memiliki faktor lebih dari dua, jadi bukan merupakan
bilangan prima.
Jadi bilangan asli n yang memenuhi adalah 1
■
7. Jawaban : 2013
S1 = 1
S2 = S1 − 3 = 1 − 3 = −2
S 3 = S 2 + 5 = −2 + 5 = 3
S 4 = S3 − 7 = 3 − 7 = −4
S5 = S 4 + 9 = −4 + 9 = 5
S 2013 = 2013
■
2
www.siap-osn.blogspot.com
@Maret 2013
www.siap-osn.blogspot.com
@Maret 2013
8. Jawaban : 3:4
Perhatikan segitiga ADC :
AL : LD = 1 : 4
Misal : tinggi segitiga ADC = t1
Sehingga :
1
.
.
Luas ACL 2 AL t1
=
Luas DCL 1 . LD . t
1
2
1
. 1 . t1
Luas ACL 2
=
Luas DCL 1 . 4 . t
1
2
Luas ACL 1
=
Luas DCL 4
1
Luas ACL = . Luas DCL … (1)
4
Perhatikan segitiga BCL :
BD : DC = 1 : 3
Misal : tinggi segitiga BCL = t2
Sehingga :
1
. DC . t2
Luas DCL 2
=
Luas BDL 1 . BD . t
2
2
1
. 3 . t2
Luas DCL 2
=
Luas BDL 1 . 1 . t
2
2
Luas DCL 3
=
Luas BDL 1
Luas DCL = 3 . Luas BDL … (2)
Substitusikan : (2) → (1)
1
Luas ACL = . Luas DCL
4
1
Luas ACL = . (3 . Luas BDL)
4
3
Luas ACL = . Luas BDL
4
3
www.siap-osn.blogspot.com
@Maret 2013
www.siap-osn.blogspot.com
Luas ACL 3
=
Luas BDL 4
Luas ACL : Luas BDL = 3 : 4
@Maret 2013
■
9. Jawaban : 615
String dengan bobot 4 :
1 1
1
1
0
0
0
0
0
0
Banyak string dengan pola seperti ini adalah
1 2
1
0
0
0
0
0
0
0
Banyak string dengan pola seperti ini adalah
2 2
0
0
0
0
0
0
0
10!
= 210
4! . 6!
10!
= 360
1! . 2! . 7!
0
Banyak string dengan pola seperti ini adalah
10!
= 45
2! . 8!
Jadi banyak string dengan bobot 4 adalah 210 + 360 + 45 = 615
10. Jawaban :
■
2
3
Misal :
L = Laki laki
P = Perempuan
L
P
L L,L
L,P
P
P,L
P,P
Karena salah satu anak sudah dipastikan adalah perempuan, maka ruang sampelnya menjadi :
S = {( L, P), ( P, L), ( P, P)} ⇒ n( S ) = 3
2
Jadi besar peluang anak yang lain laki-laki adalah
■
3
4
www.siap-osn.blogspot.com
@Maret 2013
@Maret 2013
PEMBAHASAN
SOAL OSN MATEMATIKA SMP 2013 TINGKAT KABUPATEN
(ISIAN SINGKAT)
BAGIAN B : ISIAN SINGKAT
1. Jawaban : 17
Misal :
Banyak anak tangga = x .
Karena Tino tepat berada ditengah tangga maka banyak anak tangganya adalah ganjil.
x +1
, sehingga :
Tangga paling tengah =
2
x +1
+ 3 − 5 + 10 = x
2
x +1
+8= x
2
x +1
= x −8
2
x + 1 = 2 x − 16
2 x − x = 16 + 1
x = 17
Jadi banyak anak tangga yang dimiliki tangga tersebut adalah 17 ■
2. Jawaban : 1
pensil + buku + kotak pensil = 6
2000.( pensil ) + 2500.(buku ) + 4000.(kotak pensil ) = 16500
Untuk pensil = 3 , buku = 1 , dan kotak pensil = 2 :
3 +1+ 2 = 6
2000.(3) + 2500.(1) + 4000.(2) = 6000 + 2500 + 8000 = 16500
Jadi banyak buku yang dibeli Ani adalah 1
■
3. Jawaban : 8
2013
berupa bilangan bulat positif, untuk bilangan positif n maka harus memenuhi :
Agar 2
n −3
n 2 − 3 = ( faktor dari 2013) ⇒ ( faktor dari 2013) + 3 = n 2
faktornya
2013 = 3 . 11 . 61
→ {1, 3, 11, 33, 61, 183, 671, 2013}
Sehingga :
( faktor dari 2013) + 3 = n 2
1+ 3 = 4 ⇒ n = 2
3+3= 6 ⇒ n = 6
11 + 3 = 14 ⇒ n = 14
33 + 3 = 36 ⇒ n = 6
61 + 3 = 64 ⇒ n = 8
183 + 3 = 186 ⇒ n = 186
671 + 3 = 674 ⇒ n = 674
1
www.siap-osn.blogspot.com
@Maret 2013
www.siap-osn.blogspot.com
@Maret 2013
2013 + 3 = 2016 ⇒ n = 2016
Dengan demikian nilai n yang memenuhi ada 8.
■
4. Jawaban : − 3
−7
2y
x−2
x
−5
− 10
Ruas kiri
−8
−4
y
Ruas kanan
− 7 + 2 y + x − 2 = −8 − 4 + y
2 y + x − 9 = −12 + y
2 y + x − y = −12 + 9
y + x = −3
x + y = −3 ■
5. Jawaban : 2 y
n( A) = x
n( B ) = y
x≤ y
n( A B) = n( A) + n( B) − n( A B)
⇒
n( A B) maksimal jika n( A B) = 0 , sehingga :
n( A B ) = x + y − 0
n( A B) = x + y ⇒ karena x ≤ y maka dengan mengambil x = y akan diperoleh :
n( A B ) = y + y
n( A B ) = 2 y ■
6. Jawaban : 1
6n 2 + 5n − 4 = (3n + 4) (2n − 1)
Bilangan prima merupakan bilangan yang hanya mempunyai dua faktor, sehingga :
n = 1 ⇒ (3.(1) + 4) (2.(1) − 1) = 7 . 1 ⇒ bilangan prima
n = 2 ⇒ (3.(2) + 4) (2.(2) − 1) = 10 . 3 = 10 . 3 . 1 ⇒ bukan bilangan prima
n = 3 ⇒ (3.(3) + 4) (2.(3) − 1) = 13 . 5 = 13 . 5 . 1 ⇒ bukan bilangan prima
Untuk n seterusnya pasti hasilnya akan memiliki faktor lebih dari dua, jadi bukan merupakan
bilangan prima.
Jadi bilangan asli n yang memenuhi adalah 1
■
7. Jawaban : 2013
S1 = 1
S2 = S1 − 3 = 1 − 3 = −2
S 3 = S 2 + 5 = −2 + 5 = 3
S 4 = S3 − 7 = 3 − 7 = −4
S5 = S 4 + 9 = −4 + 9 = 5
S 2013 = 2013
■
2
www.siap-osn.blogspot.com
@Maret 2013
www.siap-osn.blogspot.com
@Maret 2013
8. Jawaban : 3:4
Perhatikan segitiga ADC :
AL : LD = 1 : 4
Misal : tinggi segitiga ADC = t1
Sehingga :
1
.
.
Luas ACL 2 AL t1
=
Luas DCL 1 . LD . t
1
2
1
. 1 . t1
Luas ACL 2
=
Luas DCL 1 . 4 . t
1
2
Luas ACL 1
=
Luas DCL 4
1
Luas ACL = . Luas DCL … (1)
4
Perhatikan segitiga BCL :
BD : DC = 1 : 3
Misal : tinggi segitiga BCL = t2
Sehingga :
1
. DC . t2
Luas DCL 2
=
Luas BDL 1 . BD . t
2
2
1
. 3 . t2
Luas DCL 2
=
Luas BDL 1 . 1 . t
2
2
Luas DCL 3
=
Luas BDL 1
Luas DCL = 3 . Luas BDL … (2)
Substitusikan : (2) → (1)
1
Luas ACL = . Luas DCL
4
1
Luas ACL = . (3 . Luas BDL)
4
3
Luas ACL = . Luas BDL
4
3
www.siap-osn.blogspot.com
@Maret 2013
www.siap-osn.blogspot.com
Luas ACL 3
=
Luas BDL 4
Luas ACL : Luas BDL = 3 : 4
@Maret 2013
■
9. Jawaban : 615
String dengan bobot 4 :
1 1
1
1
0
0
0
0
0
0
Banyak string dengan pola seperti ini adalah
1 2
1
0
0
0
0
0
0
0
Banyak string dengan pola seperti ini adalah
2 2
0
0
0
0
0
0
0
10!
= 210
4! . 6!
10!
= 360
1! . 2! . 7!
0
Banyak string dengan pola seperti ini adalah
10!
= 45
2! . 8!
Jadi banyak string dengan bobot 4 adalah 210 + 360 + 45 = 615
10. Jawaban :
■
2
3
Misal :
L = Laki laki
P = Perempuan
L
P
L L,L
L,P
P
P,L
P,P
Karena salah satu anak sudah dipastikan adalah perempuan, maka ruang sampelnya menjadi :
S = {( L, P), ( P, L), ( P, P)} ⇒ n( S ) = 3
2
Jadi besar peluang anak yang lain laki-laki adalah
■
3
4
www.siap-osn.blogspot.com
@Maret 2013