Materi Kuliah Jurusan Teknik Elektro - FORUM STUDI ISLAM AL-BIRUNI

Matematika Dasar

INTEGRAL RANGKAP TIGA
Misal diberikan fungsi tiga peubah, w = f ( x,y,z ). Maka untuk menentukan
integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) terhadap suatu balok, B dilakukan sebagai
berikut. bagi balok, B menjadi sejumlah n sub balok, Bi ; i = 1,2,…,n. Didapatkan
volume sub balok ∆Vi = ∆xi ∆yi ∆zi , sehingga volume balok, B yaitu :
V=

n

∑

i =1

∆Vi

Integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) terhadap B didefinisikan sebagai berikut:

∫∫∫

f ( x , y , z ) dV = lim

n

∑ f (xi , yi , zi )

n→∞ i=1

B

∆Vi

Syarat yang harus dipenuhi untuk integral rangkap tiga di atas adalah w = f ( x,y,z )
kontinu pada B.
Misal G merupakan benda ruang sembarang. Maka untuk menghitung integral
rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas G dilakukan dengan cara mendefinsikan fungsi
g ( x,y,z ) berikut :
 f (x , y , z) ; (x , y , z) ∈ G
g (x , y , z) = 
0 ; ( x , y , z ) ∈ B − G

B merupakan balok yang melingkupi benda ruang, G. Sehingga didapatkan :

∫∫∫
G

f ( x , y , z ) dV =

∫∫∫ g ( x , y , z ) dV
B

Dalam perhitungan, G dapat dipandang sebagai benda ruang yang dibatasi oleh
Gz - batas bawah dan batas atas dari Gz berturut-turut z1 = u( x , y ) dan z 2 = v( x , y) atau

{

}

dalam notasi himpunan, Gz = z u( x , y ) ≤ z ≤ v( x , y ) - dan Gxy

yang merupakan

proyeksi dari G pada bidang XOY. Sehingga bentuk integral rangkap tiga dari w = f (
x,y,z ) atas G dituliskan :
 v ( x ,y )


∫∫∫ f ( x , y , z ) dV = ∫∫  ∫ f (x , y , z ) dz  dA
G
Gxy u ( x, y)


Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Matematika Dasar

Bentuk dari Gxy dapat dibedakan menjadi dua yaitu :
1. Gxy =

{( x , y) a ≤ x ≤ b, h( x ) ≤ y ≤ g( x )}

 v( x, y )

b g( x) v( x, y)


∫∫  ∫ f ( x, y , z) dz  dA = ∫ ∫
∫ f ( x , y , z ) dz dy dx
Gxy u ( x , y)
a h( x) u ( x, y)

2. Gxy =

{( x , y) h ( y ) ≤ x ≤ g (x ), c ≤ y ≤ d }

 v( x, y )

d g ( y) v( x, y)



∫∫  ∫ f ( x , y , z ) dz  dA = ∫ ∫
∫ f ( x, y , z) dz dx dy
Gxy u ( x , y)
c h ( y ) u ( x, y)

Urutan integrasi sangat mungkin bergantung dari bentuk bangun ruang G,
sehingga selain merupakan gabungan dari Gz dan Gxy . Namun dapat juga G dipandang
sebagai gabungan antara Gx dan Gyz atau Gy dan Gxz . Sedangkan Gyz dan Gxz berturutturut merupakan proyeksi dari bangun ruang G pada bidang YOZ dan XOZ.

Contoh 7
2 z

x/z

0 1

0

Hitung integral ∫ ∫

∫ 2xyz dy dx dz

Jawab :
2 z

∫ ∫

0 1


2 z  x / z




 dz = 2
2
xyz
dy
dx

dz
=
z
x
2
y
dy
dx
∫
∫ ∫  ∫


3

0
0  1  0


x/z

Contoh 8
Hitung integral ∫∫∫ 2x dV bila
G


3 
a. G = ( x , y , z) 0 ≤ x ≤ y , 0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ z ≤ x 
2 

b. G merupakan daerah di oktan pertama yang dibatasi oleh tabung y2 + z2 = 1, bidang
x = 1 dan x = 4.

Jawab :
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Matematika Dasar

4  y
 3x /2

 
65


 dx  dy =
2
x
dz
dx
dy
=
2
x
dz
∫
∫ ∫
∫

4
 0

 
G
0 0 0
0  0


b. G dituliskan, G = ( x , y , z ) 1 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 1 − z 2 , 0 ≤ z ≤ 1 .


1  1− z 2
 
4 1 1− z 2
4



Jadi ∫∫∫ 2 x dV = ∫ ∫ ∫ 2 x dy dz dx = ∫ 2 x ∫  ∫ dy  dz dx = −4π .

G
1 0

0
1
0 0
 
 
4

y 3x /2

a. ∫∫∫ 2 x dV = ∫ ∫

Secara geometris nilai integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas bangun ruang
G merupakan volume dari bangun ruang G bila f ( x,y,z ) = 1.

Contoh 9
Hitung volume bangun ruang,
dan
y + 4z = 8.

G yang terletak di oktan pertama dibatasi oleh y = 2 x2

Jawab :

8− y
G dituliskan , G = ( x, y , z ) 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 x 2 , 0 ≤ z ≤
.
4 


2 2 x2 ( 8 − y) / 4
2  2 x 2  (8 − y) / 4 
224



Volume, V = ∫∫∫ dV = ∫ ∫
∫ dz dy dx = ∫  ∫  ∫ dz  dy  dx = 30
G
0 0
0
0
 
 0  0
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 5 ) Hitung nilai integral rangkap tiga berikut.
5 3x x+ 2

1.

∫ ∫ ∫

−2 0
π

2.

4x dz dy dx

y

2 z y

∫ ∫ ∫ sin( x + y + z ) dx dy dz
0 00
2 4 3y + x

3.

∫ ∫

0 −1

4.

∫

dz dy dx

0

4 x+1

2y

− 2 x−1

0

∫ ∫

∫

x

3xyz dz dy dx

Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Matematika Dasar

π

5.

2

∫

2 yz

0

∫

∫

0 sin z

0

 x
sin  dx dy dz
 y

( Nomor 6 sd 9 ) Hitung nilai integral

∫∫∫ xyz dV

bila :

G

1


6. G = ( x, y , z ) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ (12 − 3x − 2 y )
6




7. G = ( x, y , z ) 0 ≤ x ≤ 4 − y 2 , 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3


8. G =
9. G =

{(x , y, z)

}

0 ≤ x ≤ 3z , 0 ≤ y ≤ 4 − x − 2 z , 0 ≤ z ≤ 2

{(x, y, z) 0 ≤ x ≤ y2 ,0 ≤ y ≤

}

z ,0 ≤ z ≤ 1

( Nomor 10 sd 13 ) Hitung volume bangun ruang G bila G dibatasi oleh :
2

10. y = 2x , y + 4z = 8 dan terletak di oktan pertama.
2

2

11. y + 4z = 4 , y = x , y = 0 dan terletak di oktan pertama
2
2
12. x =y , z = y dan y = 1
2

13. y = x + 2 , y = 4, z = 0 dan 3y - 4z = 0

Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung