modul kelas xii ips 2012
NO
1.
2.
3.
http://matematrick.blogspot.com
4.
KOMPETENSI
Menggunakan logika matematik
a
dalam pemecahan masalah
Memahami konsep yang berkait
an
dengan aturan pangkat, akar da
n
logaritma, fungsi aljabar sederh
ana,
fungsi kuadrat dan grafiknya,
persamaan dan pertidaksamaa
n
kuadrat, komposisi dan invers f
ungsi,
sistem persamaan linear, progr
am
linear, matriks, barisan dan der
et,
serta mampu menggunakannya
dalam
pemecahan masalah.
Memahami limit fungsi aljabar,
turunan fungsi, nilai ekstrim, da
n
integral fungsi serta menerapka
nnya
dalam pemecahan
masalah.
Mengolah,
menyajikan,
dan
menafsirkan data dan memaha
mi
kaidah pencacahan, permutasi,
kombinasi dan peluang kejadian
serta
mampu menerapkannya dalam
pemecahan masalah.
INDIKATOR
Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari
uatu
Menentukan kesimpulan dari beberapa prem
Menentukan hasil operasi bentuk pangkat, a
kar, dan
Menyelesaikan masalah yang berkaitan den
gan grafik
Menentukan komposisi dua fungsi dan invers
suatu
Menyelesaikan masalah yang berkaitan den
gan
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.
Menentukan penyelesaian dari sistem persa
maan
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang
berkaitan
Menentukan nilai optimum bentuk objektif d
ari
daerah himpunan penyelesaian sistem
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang
berkaitan
Menyelesaikan masalah matriks yang berkai
tan
dengan kesamaan, determinan, dan atau inv
Menentukan suku ke-n atau jumlah n suku
pertama
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang
berkaitan
Menghitung nilai limit fungsi aljabar.
Menentukan turunan fungsi aljabar dan aplik
Menentukan integral fungsi aljabar.
Menentukan luas daerah dengan mengguna
kan
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang
berkaitan
dengan kaidah pencacahan, permutasi, atau
Menyelesaikan masalah yang berkaitan den
gan
Menentukan unsur-unsur pada diagram
lingkaran
Menghitung nilai ukuran pemusatan dari dat
a dalam
Menentukan nilai ukuran penyebaran.
KET
1
2
3
2
2
2
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
1
(2) ~p Λ q
A. Nilai Kebenaran Pernyataan
(3) ~p → ~q
Jika pernyataan p bernilai salah dan pernyataan
Majemuk
q bernilai benar, maka yang bernilai salah
1. Konjungsi
p
(5) ~p v q
q (dibaca “p dan q”) bernilai benar
hanya jika keduanya benar.
2. Disjungsi
p V q (dibaca “p atau q”) satu saja benar
adalah pernyataan
a.
(1)
b.
(2)
c.
(3)
Penyelesaian:
….
d. (4)
e. (5)
P salah, maka ~p benar ;
maka bernilai benar.
q benar, maka ~q salah;
3. Implikasi
p → q (dibaca “jika p maka q”) bernilai
(3). ~p → ~q = B → S = S. Jadi jawabannya C.
salah hanya jika p benar tetapi q salah.
2. Diketahui pernyataan : ‘Jika semua siswa rajin
4. Biimplikasi
p ↔ q (dibaca “p jika dan hanya jika q”)
maka semua siswa lulus ujian ”
bernilai benar jika p dan q memiliki nilai
Ingkaran dari pernyataan tersebut adalah ….
kebenaran yang sama.
a
Ada siswa yang rajin dan beberapa siswa
.
b
tidak lulus ujian
Ada siswa yang tidak rajin dan beberapa
siswa tidak lulus ujian
Ada siswa yang tidak lulus ujian dan
B. Ingkaran / Negasi Pernyataan
1. p
v q ingkarannya ~ p Λ ~ q
2. p
Λ q ingkarannya ~ p v ~ q
.
c
3. p
q
.
d
semua siswa rajin
Jika ada siswa yang rajin maka beberapa
.
e
siswa tidak lulus ujian
Jika ada siswa yang lulus ujian maka
ingkarannya
pΛ~q
4. Semua p adalah A ingkarannya ada p
bukan A.
5. Beberapa q adalah A ingkarannya semua
q bukan A.
.
beberapa siswa rajin belajar
Penyelesaian :
( i ) Ingkaran jika p maka q adalah p dan ~q
C. Menentukan kesimpulan
P2 : p
Ingkaran “jika
maka” tidak lagi
menggunakan “jika
maka”
Jadi jawabannya adalah :
K:q
Semua siswa rajin dan ada siswa yang tidak
1. Modus Ponen :
http://matematrick.blogspot.com
P1 : p
q
2. Modus Tolens :
P1 : p
lulus ujian
Atau dapat ditulis dengan :
q
P2 : q
Ada siswa yang tidak lulus ujian dan semua
K : p
siswa rajin
Jawaban : C
3. Silogisme
q
P2 : q r
K:p r
P1 : p
1)
Nilai kebenaran yang tepat untuk
pernyataan (p q) p, pada tabel di
4. Ekuivalensi ( kesamaan/ ≡ )
p
q ≡ p v q ≡ q
a.
b.
c.
d.
e.
1. Diketahui pernyataan:
(1) ~p↔q
samping adalah ....
p
(4) ~p → q
SBSB
SSSB
SSBB
SBBB
BBBB
p
B
B
S
S
Q
B
S
B
S
(p q) p
....
....
....
....
Diketahui pernyataan p bernilai salah dan
2)
a.
pernyataan q bernilai benar. Pernyataan
tinggi atau harga barang tidak naik
berikut yang bernilai salah adalah ….
a
pVq
.
p V q
b
p(pVq)
.
( p V q ) p
c
b.
c.
d.
e.
Permintaan terhadap suatu produk
tidak tinggi atau harga barang tidak naik
7)
Ingkaran dari : ” beberapa siswa
e
.
memakai kacamata ” adalah ....
a.
Nilai kebenaran pernyataan majemuk
( UN 2011 )
a.
SBSB
b.
BBBS
c.
BSBB
d.
BBBB
e.
BBSS
4)
p
q
B
B
S
S
B
S
B
S
beberapa siswa tidak memakai
kacamata
(~pq ) V ~q pada tabel berikut adalah … .
b.
semua siswa memakai kacamata
c.
ada siswa tidak memakai
(~pq ) V
kacamata
~q
d.
....
....
....
....
tidak benar semua siswa memakai
kacamata
e.
8)
semua siswa memakai kacamata
Dari argumentasi berikut :
Jika ibu tidak pergi maka adik senang.
Negasi dari pernyataan “Jika semua anak
lulus maka semua guru bergembira” adalah
Jika adik senang maka dia tersenyum.
a. Jika semua anak tidak lulus ujian maka
Kesimpulan yang sah adalah …
semua guru tidak bergembira
b. Jika ada anak tidak lulus ujian maka semua
guru tidak bergembira
c. Jika
ada
guru
tidak
bergembira
maka
semua anak tidak lulus ujian
d. Semua anak tidak lulus ujian dan ada guru
tidak bergembira
e. Semua anak lulus ujian dan beberapa guru
tidak bergembira
http://matematrick.blogspot.com
Permintaan terhadap suatu produk
tidak tinggi dan harga barang tidak naik
.
5)
Negasi dari pernyataan : “ Jika permintaan
naik maka harga
a.
Ibu tidak pergi atau adik tersenyum
b.
Ibu pergi dan adik tidak tidak tersenyum
c.
Ibu pergi atau adik tidak tersenyum
d.
Ibu tidak pergi dan adik tersenyum
e.
Ibu pergi atau adik tersenyum
9)
Diberikan premis – premis :
Premis ( 1 ) : p q
Premis ( 2 ) : q r
Premis ( 3 ) : r
Kesimpulan yang sah adalah ….
naik ” adalah ....
a
r
d.
p
a
Permintaan naik tetapi harga tidak naik
.
q
e.
q
.
Permintaan naik dan harga naik
b
p
b
Permintaan naik atau harga tidak naik
.
.
Permintaan tidak naik tetapi harga naik
c
c
Permintaan tidak naik dan harga tidak
.
6)
Permintaan terhadap suatu produk
tinggi dan harga barang tidak naik
d
3)
Permintaan terhadap suatu produk
tidak tinggi atau harga barang naik
( p q ) p
.
Permintaan terhadap suatu produk
naik
10)
.
Diketahui premis – premis : ( UN 2010 )
d
P1 : Jika guru matematika tidak datang maka
.
semua siswa senang
e
P2 : Ada siswa yang tidak senang
.
Kesimpulan yang sah dari premis – premis di
Negasi dari pernyataan : ” Permintaan
atas adalah…
terhadap suatu produk tinggi dan harga
a. Guru matematika tidak datang
barang naik ” adalah ....
b. Semua siswa senang
c. Guru matematika senang
d. Guru matematika datang
e. Ada siswa yang tidak senang
11)
Diketahui premis-premis: ( UN 2011 )
(1) Jika semua warga negara membayar pajak,
maka banyak fasilitas umum dapat
dibangun.
(2) Tidak banyak fasilitas umum dapat
dibangun.
Kesimpulan yang sah dari kedua premis di atas
adalah … .
a. Semua
warga
negara
tidak
membayar
pajak
b. Ada warga negara tidak membayar pajak
c. Semua warga negara membayar pajak
d. Semua warga negara membayar pajak dan
tidak banyak fasilitas umum dapat dibangun
e. Semua
warga
negara
tidak
membayar
pajak atau banyak fasilitas umum dapat
http://matematrick.blogspot.com
dibangun.
p
a
(vii).
a
5.
b
1. a m a n a m n
2.
am
a m n
n
a
3. a
m
6.
1
am
n
a
m
m
b
a
a
m
n
1.
1
Operasi penjumlahan dan pengurangan :
1
a.
1
5
b.
1
6
(
i
Operasi Pembagian
2,25
a
a
b
b
b . b b
9
9 3
1,5
4
4 2
b
5
12
http://matematrick.blogspot.com
b c
5
a
b
c
b c b
c
.
a (b
c)
1. Definisi logaritma :
( ii )
a
(iii).
a
(iv).
am
(vi).
a
1
1
27
menjadi
b
1
1
bilangan
3
1
= 32 5 27 3 (25 ) 5 (33 ) 3 2 3 5
3
a
5
b
log( )a log b a log c
c
log b n n.a log b
1
log b a log b
m
log b.b log c.c log d . d log e a log e
b.
c.
3
2 3
5
6
adalah ....
3
d.
5
9
3
3
5
2 3
3
.
5
3
log
b. 4
5 3 5
2.3
6
3 ( jawaban : C )
1 2
log 8.3 log 9 adalah ....
25
c. 7
d. 8
e. 11
Penyelesaian :
5
log
1 2
log 8.3 log 9 =
25
5
log
1 2
log 2 3.3 log 3 2
2
5
log b c a c b
log(b.c ) a log b a log c
3
a. 2
2. Sifat – sifat logaritma :
a
a
5
3. Nilai dari
b2 c
C. Konsep Logaritma
( i ).
dan
Penyelesaian :
2 3
a
1
5
3
a.
a
.
b
b
b b b
( ii ).
32
2. Bentuk sederhana dari
Merasionalkan Penyebut Bentuk akar :
( i ).
ubah
(C)
32 16.2 16 2 4 2
a
).
( ii ).
a . b a.b
a
e. 8
berpangkat, 32 = 2 , dan 27 = 3
Operasi Perkalian
4.
d. 6
5
b. a b c b (a c ) b
Contoh :
c. 5
Penyelesaian :
a. a b c b (a c) b
3.
log 1 0 , karena a 0 1
a 5 b 3 adalah ....
7. a 0 1, a 0
B. Bentuk Akar
Contoh:
log b
log a
Jika a = 32 dan b = 27, maka nilai dari
1
2.
p
m
4. (a m ) m a
1.
a
(viii).
A. Bentuk Pangkat
log b
=
5
log 5 2 3. 2 log 2.2.3 log 3
= ( 2).5 log 5 3.2
= (-2 ) + 6
= 4 . jadi jawabannya B.
e.
2
22 2
2 3 1
3 3 1
42 3 1
a.
21
b.
c.
d.
e.
1.
Bentuk sederhana
-2
2 3
3
3
-2
dari (6 a ) : ( 12 a ) adalah ....
b. 2-1
7.
d. 26 a12
a
d. 2 a12
2.
dan n = 27. Nilai
a.
m
3
4
.
n
2
3
Diketahui m = 16
.
b
= ...
.
c
–72
c.
.
6
9
8.
9
64
9
8
d.
3.
Bentuk sederhana
2a 5 b 5
dari
9 1
32a b
a
.
( 2ab)4
b
.
( 2ab)2
c
.
4.
1
adalah ….
http://matematrick.blogspot.com
d
.
e
.
d
.
( 2ab)-1
e
.
( 2ab)-4
a. -33
6
b. -23
6
c.
-3
6
d.
3
6
e.
33
Bentuk
2ab
Bentuk sederhana
2
2
a.
74 3
b.
72 3
c.
72 3
d.
7 4 3
e.
7 4 3
3
adalah ….
3
10.
d
.
1 2
x y
24
1 2
x y
18
1 6
x y
18
e
.
1 6
x y
24
dari
6
sederhana dari
1 2
x y
2
4 2 10 3
13
10 2 4 3
13
Hasil
9.
32 x 4 y 2
dari 3 2 3 adalah ….
6 x y
a
.
15 2 6 6
13
15 2 6 6
13
10 2 4 6
13
2 150 5 54 7 96 adalah ….
e. 72
b.
3 2
52 3
ekuivalen dengan ….
e. 2-6 a-12
c. 2
Bentuk
Diketahui
2
2
log 3
2
= m, dan log 5 = n. Nilai log 90 adalah ....
a. 2m + 2n
b. 1 + 2m + n
b
.
c
.
c. 1 + m2 + n
d. 2 + 2m + n
e. 2 + m2 + n
5.
Bentuk sederhana
dari
108 2 12 32 adalah ....
50
a. 7 2 2 3
d. 9 2 2 3
e. 13 2 2 3
6.
Hasil
6
2 6 = ....
dari
2
log 3
= x, dan log 5 = y maka log 45 adalah ....
2
1
(2 x y )
2
1
d. ( x y )
2
1
(2 x y )
e.
2
c.
c. 9 2 4 3
2
Diketahui
a. (2x + y)
b. (x + y)
b. 13 2 14 3
2
11.
4
12.
Nilai
5
dari
1
log 9 3.5 log 2 .5 log 25 2.5 log 6 5 log 2 adalah …
2
a
2
d.
-1
.
b
1
e.
-2
.
c
0
.
13.
3
Nilai
dari
log 9 2 log 8 3 log 27 adalah ….
a
1
.
2
b
3
.
4
c
5
.
d
.
e
.
14.
9
Jika
log 8 3m, maka 3 log 2 = ….
a.
4m
b.
3m
c.
2m
d.
m
e.
1
m
15.
Nilai
http://matematrick.blogspot.com
2
dari
log 4 3 log 27 2 log 8 adalah ….
a
1
.
2
b
3
.
4
c
5
.
d
.
e
16.
.
Nilai
log 8 3 log 9 3
= ….( UN 2010 )
log 6
a. 1
b. 2
c. 3
d. 6
dari
e. 36
17.
Nilai
9
log 25 . 5 log 2
a.
-3
b.
-1
c.
0
d.
2
e.
3
3
dari
log 54 = …. ( UN 2011 )
Cari saja dua bilangan x1 dan x2 yang
memenuhi
Bentuk umum fungsi kuadrat : f ( x )=ax2 +
1.
x1 + x2 =
bx + c, a ≠ 0
2.
Grafik fungsi kuadrat berupa parabola
maka titik potong dg sumbu X-nya adalah (x1
3.
Grafik fungsi kuadrat ditinjau dari tanda
, 0 ) dan
( x2 , 0 )
( nilai ) a dan D
Untuk a > 0/ a positif
Untuk menentukan persamaan sumbu
( dengan D = b2 – 4.a.c )
simetri :
( grafik selalu
terbuka ke atas ) ada 3 jenis :`
a>0
Gunakan rumus x =
a>0
D=0
D>0
x=
a>0
D0 membuat grafik terbuka ke atas, dan D
menentukan keadaan grafik memotong atau
menyinggung atau tidak sama sekali terhadap
sumbu X
Grafik
terbuka ke
atas dan
memotong
sumbu X di
dua titik
berbeda
b
2a
Untuk menentukan titik potong dengan
http://matematrick.blogspot.com
b
a
y b axb2 bxb c
Dan ingat D b 2 4ac ( diskriminan )
1.
Koordinat titik ekstrem kurva
dengan persamaan
y = x2 – 4x +9 adalah….
a.
( -2 , 21)
b.
( -2 , 9 )
Koordinat titik potong kurva y = x2
c.
( 0 , 9)
d.
(2,9)
– 2x – 8 dengan sumbu X adalah ….
e.
(2,5)
a.
(-4 , 0) dan ( -2 , 0)
Penyelesaian :
b.
(-4 , 0) dan ( 2 , 0)
Jelas a = 1, b= -4, c = 9
c.
(-2 , 0) dan (4 , 0)
Titik ekstrim = titik balik = titik puncak
d.
(2 , 0) dan ( 4 , 0)
e.
(2 , 0) dan (8 , 0)
xb
2.
b
( 4) 4
2
2a
2.1
2
y b xb2 4 xb 9 2 2 4.2 9 4 8 9 5
3.
Koordinat titik puncak dari grafik y
= x 2 – 6x + 5 adalah ....
( jadi untuk mencari yb dengan cara
menggantikan x dengan xb pada
a. (6, 5)
d. ( – 3,32)
persamaan yang diketahui )
b. (3, – 4)
e. ( – 6,5)
c. (3, – 14)
Jadi titik ekstrimnya : ( 2, 5 ) ( E )
2.
Koordinat titik potong grafik fungsi
kuadrat y = 3x2 + 7x – 6 dengan sumbu X
4.
Nilai minimum fungsi kuadrat f( x )
2
= 2x – 2x + 6 adalah ....
adalah ....
2
,0 dan 3,0
3
a.
a.
d. 3,0 dan
11
2
b.
5.
3
,0
2
d.
5
2
e.
1
2
Koordinat titik potong grafik fungsi
e. 0,
3
dan
2
2
,0 , dan (0,2)
3
a. (-1,0),
0, 3
3
,0 dan 3,0
2
b.
2
,0 , (1,0), dan (0, -2)
3
c.
2
2
,0 , (1,0), dan 0,
3
3
d.
2
,0 , (-1,0), dan (0, -1)
3
e.
3
,0 , (1,0), dan (0, 3)
2
c.
Penyelesaian :
( i ). Titik potong dengan sumbu X, jelas y-nya /
yang dibelakang harus 0, jadi pilihan E jelas salah.
( ii ). Kemudian cari dua bilangan di posisi x yang
jumlahnya =
http://matematrick.blogspot.com
7
2
sumbu Y adalah … .( UN 2010 )
2
,0 dan 3,0
3
( A ) sebab
b
7
=
, maka jawabannya
a
3
2
2 9
7
( 3)
3
3
3
6.
Persamaan sumbu simetri grafik
fungsi kuadrat
y = 5x2 -20x + 1 adalah ....( UN 2011 )
a. x = 4
b. x = 2
c. x = -2
d. x = -3
e. x = -4
Koordinat titik balik dari grafik
fungsi kuadrat yang persamaannya y = (x – 6)
(x + 2) adalah ....( UN 2010 )
a.
b.
c.
d.
e.
c.
kuadrat y 3 x 2 x 2 dengan sumbu X dan
b.
1.
9
2
(–2, 0)
(–1, –7)
(1, –15)
(2, –16)
(3, –24)
Menyusun Persamaan Grafik
kemudian lihat bahwa grafik memotong sumbu y
di ( 0,6 ), maka c harus 6, padahal :
Fungsi Kuadrat
pada y = x2 – 3 x + 2, c = 2 sehingga agar 2
jadi 6 kalikan saja dengan 3. maka
1. Jika diketahui titik – titk potong dengan sumbu
hasilnya :
X ( ( x1 , 0 ) dan ( x2 , 0 ) diketahui )
y = 3. (x2 – 3 x + 2)
Persamaannya : y a ( x x1 ).( x x 2 )
y = 3x2 – 9 x + 6 ( jawaban D ).
Cara singkatnya : y = x2 – ( x1 + x2 ) x + x1
2. Persamaan grafik fungsi kuadrat mempunyai
.x2 , kemudian disesuaikan
titik ekstrim (–1, 4) dan melalui titik (0, 3)
( lihat contoh )
adalah ....( UN 2010 )
2. Jika diketahui koordinat titik puncak / titik balik
(( xb , yb ) diketahui )
2
Persamaannya : y a ( x xb ) y b
1. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah ….
Jelas xb = -1, yb = 4, dan grafik melalui titik ( 0,3 )
Cara Biasa
Y
2
y = x – 3x + 2
y a x ( 1) 4
2
y = x2 + 3x + 2
= -3x2 + 9x + 6
a. y = –x2 + 2x – 3
b. y = –x2 + 2x + 3
c. y = –x2 – 2x + 3
d. y = –x2 – 2x – 5
e. y = –x2 – 2x + 5
Penyelesaian :
y a x 1 4
2
y = 3x2 + 9x + 6
6
Grafik melalui ( 0,3 ) berarti untuk x = 0, y = 3 ,
y = 3x2 – 9x + 6
maka :
y = -3x2 + 9x + 6
3 = a ( 0 +1 )2 + 4
Ini artinya
titik potong
dg sumbu Y;
yaitu ( 0,6 )
3 = a .1 + 4
1
2
3=a+4
X
Maka a = -1, sehingga persamaannya : y = -1.
(x+1)2 +4
Y = -1.(x2
http://matematrick.blogspot.com
+2x+1)+4
Penyelesaian :
Y = -x2 -2x-1+4
Jelas x1 = 1 dan x2 = 2 dan memotong sumbu Y di
Y = -x2 -2x +3
titik ( 0, 6 )
(C)
Cara Biasa :
Cara singkat :
Y=a(x–1).(x–2)
Jelas bahwa grafik melalui titik ( 0,3 ) ini tidak
Y = a ( x2 -3x + 2 )
lain titik potong dengan sumbu Y, berarti c=3,
Grafik memotong sumbu Y di titk ( 0, 6 ),
sehingga pilihan yang mungkin adalah B dan C.
2
Artinya untuk x = 0, y = 6, maka : 6 = a ( 0 –
Jelas xb = -1, padahal xb =
3.0 + 2 )
6 = a.2
2a = 6
a=3
x1 x2
,
2
x1 + x2 = 2 xb = 2.(-1)=-2
dan kita punya bahwa x1 + x2 =
Jadi Persamann fungsinya adalah :
Y = 3. ( x2 -3x + 2 )
b
, maka
a
antara pilihan B dan C pilih saja yang nilai
2
Y = 3 x -9x + 6 ( pilihan D )
b
a
= -2.
Cara singkat :
Jadi jawabannya C.
susun saja bentuk y = x2 – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2
Kesimpulan dari cara singkat adalah : pilih
y = x2 – 3 x + 2 ( berarti a=1, b=3, c=2 )
saja pilihan yang memenuhi
b
= 2xb.
a
1. Persamaan grafik fungsi kuadrat dibawah ini
( petunjuk : grafik menyinggung sumbu X,
adalah ....
berarti x1 = x2 =2 atau pakai titik puncak )
6. Persamaan grafik fungsi kuadarat yang
3
a.
b.
c.
d.
e.
-1
y = –2x2 + 4x + 3
y = –2x2 + 2x + 3
y = –x2 – 2x + 3
y = –x2 + 2x – 3
y = –x2 + 2x + 3
3
2. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah ….
memotong sumbu X di titik (1,0) dan (3,0)
serta melalui titik ( -1,-16)adalah … .
a.
y 2 x2 8x 6
b.
y x 2 4 x 21
c.
y x2 4x 5
d.
y 2 x 2 8 x 6
e.
y 2 x 2 4 x 10 ( UN 2011 )
y
a.
b.
c.
d.
e.
x
o
-3
(1,-2)
y = x2 +3
Akar-Akar Persamaan Kuadrat
y = x2 -3
y = -x2 +3
y = x2 - 2x -3 1. Bentuk umum Persamaan kuadrat :
y = -x2 + 2x
ax 2 bx c 0, a 0, a, b, c R
2. Menentukan akar akar persamaan kuadrat
(0,-3)
Cara Biasa : - Faktorisasi
3. Persamaan grafik di bawah ini adalah ….
Y
9
Y = f(x)
5
a.
y = -x2 + 4x + 5
b.
y = -x2 - 4x + 5
c.
2
y = -2x + x + 5
d.
y = -2x2 - x + 5
e.
y
http://matematrick.blogspot.com
4
y = –x2 + 2x
a.
–8
b.
- Rumus abc
x1, 2
b b 2 4ac
2a
Cara Singkat : ( jika memungkinkan )
x1 x 2
x1 x 2
b
a
c
a
Dengan maksud : cari saja dua bilangan ( x1
y = –x2 – 2x
dan x 2 ) yang memenuhi rumus jumlah dan
+8
y = –x2 – 2x
d.
akar persamaan kuadrat
y = –x2 + 2x
+8
c.
-8
sempurna
Pakai saja rumus jumlah dan hasil kali akar –
4. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah …
–2
- Melengkapkan kuadrat
1 2
x +x
2
X +5
2
dengan
ax 2 bx c 0 m + n = b; dan m.n
= a.c
1
(ax m).(ax n) 0
a
–8
hasil kali tersebut.
Catatan : biasanya cukup dicari/ dipilih saja
dua bilangan ( x1 dan x 2 ) yang
5.
Persamaan grafik fungsi pada gambar di
Y
1 2
bawah ini adalah ....
a. y x 2 x 2
b.
2
c.
2
X d.
e.
2
1 2
y x 2x 2
2
1 2
y x 2x 2
2
1
y x 2 2 x 2
2
1
y x 2 2 x 2
2
memenuhi x1 x 2
b
.
a
3. Jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan
kuadrat
Jika x1 dan x 2 akar – akar persamaan
kuadrat ax 2 bx c 0, maka berlaku :
x1 x 2
x1 x 2
4.
,Caranya :
b
a
Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0
c
a
dengan
x
, sehingga diperoleh PK
k
baru :
Persamaan yang sering digunakan terkait
jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan
a( kx ) 2 b.( kx ) c 0 dan seterusnya...
kuadrat :
( kali masuk jadi bagi )
( ii ). Untuk menyusun PK baru yang akar –
x12 x 22 x1 x 2 2.x1 x 2
2
2
c
b
2.
a
a
akarnya
b2
c
2 2.
a
a
Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0
k
dan
k
, Caranya :
dengan kx , sehingga diperoleh PK
baru :
a( kx )2 +b.kx + c = 0 , dan seterusnya ...
( bagi masuk jadi kali )
b
1 1 x2 x1 x1 x 2
b
a
c
x1 x2
x1 .x2
x1 .x2
c
a
( iii ). Untuk menyusun PK baru yang akarakarnya k dan k , Caranya :
Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0
dengan x k , sehingga diperoleh PK
baru :
2
1
2
2
2
x1 x 2 x1 .x1 x 2 .x 2 x x
( x x 2 ) 2.x1 .x 2
1
x 2 x1
x1 .x 2
x1 .x 2
x1 .x 2
a(x – k)2 + b.(x - k) + c = 0, dan
Catatan : akar persamaan kuadrat tidak selalu
( + masuk jadi - )
dinyatakan dalam x1 dan x 2 , kadang
dinyatakan dalam α dan β, p dan q, dsb.
seterusnya ...
( iv ). Untuk menyusun PK baru yang akarakarnya k dan k , Caranya :
5. Menyusun Persamaan Kuadrat ( PK )
Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0
Kasus 1 :
Jika diketahui akar – akarnya ( x1 dan x2 )
dengan x k , sehingga diperoleh PK
Maka Cara penyelesaiannya :
baru :
a(x + k)2 + b.(x + k) + c = 0, dan
Cara I : pakai pola ( x x1 ).( x x 2 ) 0
seterusnya ...
http://matematrick.blogspot.com
Cara II : pakai pola x 2 ( x1 x 2 ) x x1 .x 2 0
( - masuk jadi + )
Kasus 2 :
Catatan : cara ini dipakai untuk kasus
Jika akar – akar persamaan kuadrat yang akan
PK baru yang bentuk akar- akarnya
disusun berhubungan dengan akar – akar
simetris ( x1 dan x2 serupa ),dan tidak
persamaan kuadrat yang lain
berlaku untuk akar – akar yang bentuknya
Maka Cara penyelesaiannya :
tidak simetris ( misalkan akan disusun PK
Dengan mengubah bentuk dari akar – akar
tersebut agar dapat disubtitusi ke persamaan
baru yang akar – akarnya
kuadrat yang lain
k
dan k )
Secara lengkapnya perhatikan uraian
berikut :
Jika Diketahui persamaan kuadrat ax2 + bx + c
=0, memiliki akar – akar α dan β, maka :
( i ). Untuk menyusun persamaan kuadrat baru
yang memiliki akar – akar k dan k
1. Akar – akar persamaan kuadrat 5x2
0 adalah ....
a.
b.
4
5
4
5
dan -2
dan -2
4
5
c.
d. -
4
5
dan 2
dan 2
– 6x - 8 =
e.
1
5
Ganti saja x pada persamaan x2 – 3x + 1 = 0
dan 2
Penyelesaian :
dengan
Cara Singkat :
b
( 6) 6
, maka pilih saja
a
5
5
Jelas : Nilai
x
, maka Persamaan kuadratnya adalah
3
:
2
x
x
3. 1 0
3
3
pada pilihan tersebut yang jika dijumlahkan
nilainya
6
.
5
x2
x 1 0 ( x 9 )
9
Sehingga jawabannya D, karena -
4
5
x 2 9 x 9 0 ( E )
+2=
4 10 6
5
5
2. Persamaan kuadrat 4x2 + 3x + 6 = 0
mempunyai akar – akar dan . Nilai 2 + 2
5
3
4
b.
2
7
16
c.
2
5
16
d. 2
1
4
a. 1 dan 7
e. 3
3
4
d. -1 dan - 3
2B adalah ....
2
a.
–5
d. 4
b.
–4
e. 5
9
3
=
16
c.
–1
dan x2.
Nilai dari x12 + x22 = ....
B)
3. Akar – akar persamaan kuadrat x2
b.
akar – akarnya 3α dan 3β adalah ....
x2 + 3x + 3 =0
.
x2 - 3x + 3 =0
b
x2 + 3x - 3 =0
.
x2 - 9x + 3 =0
c
x2 - 9x + 9 =0
.
e
.
Penyelesaian :
1
4
3
6
4
1
2
4
11
a.
– 3x + 1 = 0
adalah α dan β . Persamaan kuadrat baru yang
a
Akar-akar dari 2x2 – 3x – 9 = 0 adalah x1
3.
9 48 39
7
2
( jawaban :
16
16
16
d
1
2
= 0 adalah A dan B, dengan A > B. Nilai A +
6
3
= 2.
4
4
.
1
2
Akar-akar persamaan kuadrat x2 –3x + 2
2.
Jelas 2 + 2 = ( α + β )2 – 2.αβ
http://matematrick.blogspot.com
1
dan 7
2
b.
c. 1 dan 3
e. -1 dan -7
Penyelesaian :
=
– 9x +
7 = 0 adalah ....
= ....
a.
Akar – akar persamaan kuadrat 2x2
1.
c.
d.
e.
3
4
1
11
4
6
Akar – akar persamaan kuadrat 3 x2 – 4 x
4.
+ 2 = 0 adalah α dan β. Nilai dari ( α + β )2 2αβ = ....
a.
10
9
b. 1
c.
4
9
d.
1
3
e. 0
5.
Diketahui akar- akar persamaan kuadrat
2x2 – 7x – 6 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai
1
1
x1 x 2
adalah ….( UN 2010 )
a.
-3
b.
c.
3
14
d.
4
7
e.
6
7
7
6
b.
5
9
c.
7
9
e. 6.
Akar – akar persamaan kuadrat x2 – 3x +
adalah ....
a
x2 + 3x + 3 =0
.
x2 - 3x + 3 =0
b
x2 + 3x - 3 =0
.
x2 + 6x + 4 =0
c
x2 - 6x + 4 =0
.
d
.
13
d.
9
e
.
Akar – akar persamaan kuadrat 2x2 + x +
11.
e. 2
6 = 0 adalah dan . Persamaan kuadrat baru
yang akar – akarnya
= ....
a.
3
5
4
b.
3
3
4
c.
3
2
4
d.
http://matematrick.blogspot.com
11
4
baru yang akar – akarnya 2x1 dan 2x2
mempunyai akar – akar dan . Nilai 2 + 2
e.
8.
3
3
a
6x2 + x + 2 =0
.
6x2 + x + 3 =0
b
18x2 - 3x + 6 =0
.
18x2 + 2x - 6 =0
c.
18x2 + 2x + 6 =0
.
e
.
1
4
Akar – akar persamaan kuadrat x2 – 3x +
12.
3
4
1 = 0 adalah x1dan x2 . Persamaan kuadrat
baru yang akar – akarnya 3x1 dan 3x2
Akar-akar persamaan kuadrat
adalah ....
2
=….
a.
–4
b.
–2
c.
–1
d.
4
e.
5
Persamaan kuadrat x2 - 3x – 2 = 0
mempunyai akar-akar x1 dan x2. Nilai dari x12
x2+ x1.x22 = ....
dan
adalah ....
3
3
d
2
x 2 4 x 2 0 adalah dan . Nilai dari
9.
b.
Persamaan kuadrat 2x2 + 3x + 6 = 0
7.
21
4
1 = 0adalah x1dan x2 . Persamaan kuadrat
+ 2 = ....
a.
d.
10.
mempunyai akar – akar dan . Nilai ( + )2
1
3
7
5
c. 3
Persamaan kuadrat 3x2 – x + 2 = 0
6.
a.
a
x2 + 3x + 3 =0
.
x2 - 3x + 3 =0
b
x2 + 3x - 3 =0
.
x2 - 9x + 3 =0
c
x2 - 9x + 9 =0
.
d
.
e
.
13.
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 3x2 - x
+ 9 = 0, maka nilai
a.
53
27
b.
3
27
c.
1
27
d.
3
27
e.
54
27
14.
x1 x2
= ….( UN 2011 )
x2 x1
Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 - 13x – 7
= 0 adalah x1 dan x2. Jika x2 > x1, maka nilai
http://matematrick.blogspot.com
2x1 + 3x2 = ….( UN 2011 )
a.
-12,5
b.
-7,5
c.
12,5
d.
20
e.
22
2. Himpunan penyelesaian dari x 2 5 x 6 0
adalah ….
1. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :
a.
x /
6 x 1, x R
b.
x /
6 x 1, x R
c.
x/x -1 atau x 6, x R
d.
x/x 6 atau x 1, x R
e.
x x 6 atau x 1, x R
2
ax bx c 0
ax 2 bx c 0
ax 2 bx c 0
dengan a ≠ 0
ax 2 bx c 0
2. Menentukan pembuat nol ( x1 dan x2 )
Untuk menentukan x1 dan x2 , caranya : Cari /
pilih saja dua bilangan yang memenuhi
b
x1 x 2
a
3. Menentukan daerah penyelesaian
Pakai saja metode : SSBT ( Sama →
Samping, Beda → Tengah ) , dengan maksud
jika tanda dari a dan tanda pertidaksamaan
itu Sama maka daerah penyelesaiannya daerah
Samping dari pembuat nol, dan jika tanda
antara a dan tanda pertidaksamaan Beda
maka daerah penyelesaiannya adalah daerah
Penyelesaian :
Jelas a = 1, b = 5, maka nilai
b
a
5
1
5 ,
sehingga pembuat nolnya adalah -6 dan 1,
kemudian pada soal tanda pertidaksamaan
tidak mengandung sama dengan , dan a
positif sedangakan pertidaksamaannya kurang
dari nol ( < 0 ) / negatif, berarti a dan tanda
pertidaksamaan Beda tanda
maka daerah penyelesaiannya daerah Tengah
antara -6 dan 1 .
Jadi jawabannya A.
3. Himpunan penyelesaian dari x 2 5 x 6 0
adalah . .
Tengah antara pembuat nol.
Apabila tanda pertidaksamaan mengandung
a.
sama dengan, maka penyelesaiannya juga
b.
mengandung tanda sama dengan, dan
c.
sebaliknya.
d.
x / 6 x 1, x R
x / 6 x 1, x R
x/x -1 atau x 6, x R
x/x -6 atau x 1, x R
e.
x / x 6 atau x 1, x R
http://matematrick.blogspot.com
1. Himpunan penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan 3 - 2x - x2 < 0 adalah ....
a. x 3 x 3, xR
Penyelesaian :
Jelas soal serupa dengan soal no. 2, hanya
b. x 3 x 1, xR
berbeda tanda pertidaksamaannya, yaitu ada
c. x 2 x 3, xR .
tanda sama dengan dan bertanda positif ( ≥0 ),
d. x x 3atau x 1, xR .
e. x x 1atau .x 3, xR
berarti antara a dan tanda pertidaksamaan
Sama tanda, maka daerah penyelesaiannya
daerah Samping. Jadi jawabannya E.
Penyelesaian :
Jelas a = -1, b = -2, dan c = 3, maka nilai
b
a
( 2)
( 1)
2 , sehingga pembuat nolnya
adalah -3 dan 1 ( sebab -3+1 = -2 ).
Maka sudah pasti jawaban yang mungkin hanya D.
1.
Himpunan penyelesaian dari
2x2+5x 12
pertidaksamaan kuadrat
adalah....
a.
{x | -4
x
3
}
2
3
2
x
x │ x 7
b.
4}
b.
{x| -
c.
{x| -3
d.
{x| x
e.
3
{x| x -4 atau x }
2
atau
x 3, x R
x 1}
-3 atau x 1}
x │ 7 x 3, x R
x │ 3 x 7, x R
x │ 3 x 7, x R ( UN
c.
d.
e.
2010 )
2.
Penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat
a.
x
-
0, xЄ R adalah …. ( UN 2011 )
x │ x 5 atau
a.
3
2
3
x 4
2
b.
c.
-4
x
x
3
2
3
x
atau x 4
2
d.
e.
3.
-4
x
2 atau x 3
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
x 2 5 x 2(2 x 3) adalah....
a.
x │ x 3
atau
x │ x 2
atau
x 2
b.
x 3
x │ x 2 atau
x │ 3 x 2
x │ 2 x 3
c.
d.
e.
x 3
( petunjuk : ubah dulu bentuknya agar jelas a
http://matematrick.blogspot.com
dan b –nya )
4.
Penyelesaian dari x ( 2x + 5 ) ≤ 12 adalah ....
a.
x ≤ -4 atau x ≥
b.
x≤
c.
-4 ≤ x ≤ -
d.
-
e.
-4 ≤ x ≤
3
2
3
2
3
2
atau x ≥ 4
3
2
≤x≤4
3
2
Himpunan penyelesaian dari x2 – 10x + 21 <
5.
Himpunan penyelesaian dari -2x2 + 11x -5
6.
2x2-11x -12 adalah....
0, xЄ R adalah ….
x │x3
a.
x 7, x R
atau
1
2
b.
x │ x 1
c.
1
x │ 5 x
d.
x │
e.
x │ x 5
2
atau x 5
2
1
2
1
x 5
2
Menentukan fungsi komposisi
c. x2 + 4x + 3
d. x2 + 3
e. x2 + 4
Misalkan f ( x ) dan g ( x ) dan h ( x ) adalah fungsi
– fungsi yang terdefinisi dalam himpunan bilangan
real. Rf ∩ Dg ≠ Ф, dan Rg ∩ Df ≠ Ф serta Rg ∩ Dh ≠
Penyelesaian :
Jelas f ( x ) x 2 2 , maka :
Ф, maka berlaku :
f ( x 1) ( x 1) 2 2
1.
{f ο g}(x) = f(x) ο
x 2 2x 1 2
g(x) = f g (x )
x 2 2x 3
2.
( jawaban A )
{g ο f}(x) = g(x) ο
f(x) = g f (x )
3.
{ f ο g ο h}(x) =
f(x) ο g(x) ο h(x) =
Catatan : ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
f g h(x)
1.
1. Diketahui fungsi f : R R dan g : R R
- x dan
R, g : R
R , f (x) = 3
g(x) = 2x - 1, rumus komposisi
a. 7 – 4x - 8x2
Rumus (gof)(x) = . . . .
a.
3x2 + 3x – 6
b.
6x2 + 2x – 13
c.
12x2 + 6x – 5
d.
12x2 + 14x – 3
e.
12x2 + 12x – 3
b. 2 + 4x - 4x2.
c. 8 – 7x - 4x2
d. 2 – 4x - 6x2
e. 2 + 4x - 6x2
2.
Diketahui f : R
3x + 4 dan
Penyelesaian :
R, g : R
R , f (x) =
g(x) = 2 + x2, komposisi
(gof)(x) =....
f ( x) 2 x 1 , dan g ( x) 3 x 2 x 7
a. 9x2 + 24x + 18
maka :
http://matematrick.blogspot.com
(fog)(x) =....
dengan f ( x ) 2 x 1 dan g ( x) 3 x 2 x 7
Jelas
Diketahui f : R
2
b. 4x2 + 4x +1
( g f )( x) g f ( x) g 2 x 1
c. 6x2 – 20x + 18
d. 6x2 + 4x -18
e. 9x2 + 24x -16.
3(2 x 1) 2 ( 2 x 1) 7
3(4 x 2 4 x 1) 2 x 1 7
3.
Diketahui fungsi f : R R dan g : R R
12 x 2 12 x 3 2 x 6
dengan f ( x) x 2 dan g ( x) x 2 2 x 3 .
12 x 2 14 x 3
Rumus (gof)(x) adalah . . . .
( jawaban D )
Catatan : g (2x+1 ) berarti mengganti x pada g(x)
dengan 2x+1
a. x2 – 6x + 5
b. x2 – 6x – 3
c. x2 – 2x + 6
d. x2 – 2x + 2
2. Jika f(x) = x2 +2, maka f (x+1) = ....
a. x2 + 2x + 3
b. x2 + x + 3
e. x2 – 2x – 5
4.
Diketahui fungsi f(x)_ = 2x + 1 dan g(x) =
Contoh : f(x) = -2x + 5, maka
x2 – 3x + 5, maka (gof)(x)= ....
a.
4x2 – 2x + 3
b.
4x2 – 6x + 3
c.
4x2 – 2x + 9
f
2x -6x + 6
e.
2x2 – 2x + 5
5. Fungsi f: R
R dan g : R R , jika
b.
x2-5x+6
c.
x2-11x+6
d.
2x2+3x+6
e.
2x2-5x+6
1
( x)
x b
a
Kali a jadi bagi a
Contoh : f(x) = 3x – 6, maka
fungsi
f
1
( x)
(x)=....
x2-5x+12
- jadi +
f(x) = ax - b, maka f
f(x)=x-2 dan g(x)= 2x2+3x+4 maka (gof)
a.
x 5 5 x
2
2
( x)
Bentuk II :
2
d.
1
x6 1
3 x 2
3
Catatan : a berupa konstanta/ bilangan baik
positif maupun negatif
Bentuk III :
f(x) =
6. Diketahui fungsi f : R → R dan g : R → R yang
f
dinyatakan dengan f(x) = x2 – 3x – 5 dan g(x)
1
ax b
, dengan x ≠
cx d
( x)
d
c
maka
dx b
,
cx a
= x – 2. Komposisi dari kedua fungsi (f o g) (x)
= ....
a.
b.
c.
d.
e.
dengan x ≠
x2 – 3x + 5
x2 – 7x + 5
x2 + x – 7
x2 – 3x – 3
x2 – 3x – 7
secara mudah kita katakan : “ tukar saja a
dan d sekaligus
ubah tandanya “
catatan : a adalah koefisien dari x yang
7. Jika fungsi f : R → R dan g : R → R yang
berada di atas, dan d adalah konstanta
dinyatakan dengan f(x) = 4x – 2dan g(x) = x2
( bukan koefisiaen x ) yang berada di bawah
+ 8x – 2, maka (g o f) (x) = ....
( Ingat ! : a harus yang nempel pada x di
a. 8x2 + 16x – 4
bagian atas )
b. 8x2 + 16x + 4
Contoh :
c. 16x2 + 8x – 4
d. 16x2 - 16x + 4
f(x) =
e. 16x2 + 16x + 4 ( UN 2010 )
http://matematrick.blogspot.com
a
c
f
Menentukan fungsi invers
1
3x 5
, dengan x ≠ 2 , maka
x2
( x)
2x 5
, dengan x ≠ 3
x 3
Paket Soal 10 :
1.
Definisi :
Jika f : A B yang dinyatakan dengan
pasangan terurut f (a, b) a A, b B maka
1.
Diketahui f(x) =
f-1(x) adalah invers dari
= ....
a.
3x 1
, x 2
x 2
b.
3x 5
, x 4 .
x 4
+ jadi -
c.
2x 3
, x 5
x 5
Kali a jadi bagi a
d.
2x 1
, x 3
x 3
invers f adalah f
dengan f
2.
1
1
: B A yang dinyatakan
(b, a ) b B, a A
Cara menentukan fungsi invers :
Bentuk I :
x b
1
f(x) = ax + b, maka f ( x)
a
2x 1
, x 3 dan
x 3
f (x), maka f-1(x)
e.
4 2x
1
, x
maka
3x 1
3
2 3x
5
, x
Diketahui f(x) =
4x 5
4
2.
Diketahu f-1(x) invers dari f(x) =
5.
2x 2
, x 1
x 1
a.
x 3
, x 2
2x 4
a.
2 5x
3
, x
4x 3
4
b.
3 x
, x 2
2x 4
b.
5x 2
3
, x .
4x 3
4
c.
x 2
3
, x
4x 3
4
c.
2 5x
3
, x
4x 3
4
d.
x 3
, x -2
2x 4
2 5x
3
,x
4x 3
4
e.
4 x
2
, x
3x 2
3
dan f-1(x) adalah invers dari f (x), maka f-1(x)
= ....
d.
Diketahu f-1(x) invers dari f(x) =
6.
5x 2
3
,x
4x 3
4
e.
x 3
1
, x
maka
2x 1
2
f-1(x) =....
Diketahui fungsi f ditentukan oleh
3.
x2
5
f ( x)
, x dan f
3x 5
3
invers dari f, maka f
1
1
adalah fungsi
( x) =….
2x 3
1
, x
5x 1
5
a.
a.
2x 1
, x 3
x 3
b.
2x 1
, x 3 .
x 3
c.
x 3
1
,x
2x 1
2
b.
3x 1
5
, x
2x 5
2
c.
5x 2
, x 3
x 3
d.
x 3
1
,x
2x 1
2
d.
5x 2
1
,x
3x 1
3
e.
x 3
, x 0
2x
e.
2x 5
, x 3
x 3
4.
http://matematrick.blogspot.com
f-1(x) =....
7.
4 2x
,x
3x 1
Funsi invers dari f(x) =
-
1
, adalah ....
3
x
-
5
, adalah ....
2
a.
5x 2
, x
2x 3
b.
5x 2
,
2x 3
x
c.
5x 2
,
3 2x
x
3
2
2
3
2
( UN
3
a.
4x 2
, x
3x 4
b.
4 x
,
3x 2
x
c.
x 4
,
3x 2
x
2
3
d.
d.
4x 2
,
3x 1
x
1
3
2x 5
,
3x 2
e.
e.
4x 4
,
3x 2
2x 5
,
2 3x
x
4
3
-
2
3
2
3
3x 2
,
2x 5
Funsi invers dari f(x) =
2010 )
x
x
3
2
3
2
Diketahu f-1(x) invers dari f(x) =
8.
http://matematrick.blogspot.com
2 3x
, maka f-1(x) =.... ( UN 2011 )
2
a.
2
(1 x )
3
b.
2
(1 x )
3
c.
3
(1 x )
2
d.
3
(1 x )
2
e.
2
( x 1)
3
a1 x b1 y c1
1. Bentuk umum SPLDV :
a 2 x b2 y c 2
2. Cara menentukan himpunan penyelesaian ( HP :
( x, y )
):
Penyelesaian :
Jelas jawabannya B { - 2, 1 }, sebab jika
disubtitusikan/ digantikan ke dalam x dan y,
a.
Eliminasi dan subtitusi
maka memenuhi kedua persamaan tersebut.
b.
Menggunakan invers matriks, dengan
3.(-2) – 1 = -6 – 1 = -7, dan
konsep :
2.(-2) + 3.1 = -4 + 3 = -1
AX B, maka
2.
Diketahui sistem persamaan;
1
X A B
2 x 3 y 7 0
5 x 2 y 8 0
a1 x b1 y c1
Catatan : jika
dinyatakan
a 2 x b2 y c 2
jika x dan y penyelesaian dari sistem
dalam matriks maka menjadi :
a1
a2
b1 x c1
b2 y c 2
A
persamaan diatas maka nilai x2 - y2 adalah....
X = B
a. -2
d. 3.
b. -1
e. 5
c. 2
Penyelesaian :
c.
Menggunakan Determinan Matriks :
a1
a2
b1 x c1
, maka :
b2 y c 2
x
Dy
Dx
dan y
; dengan
D
D
D
a1
a2
http://matematrick.blogspot.com
Dx
Dy
d.
b1
a1 .b2 a 2 .b1
b2
c1
b1
c2
b2
a1
a2
c1
a1 .c 2 a 2 .c1
c2
c1 .b2 c 2 .b1
Cara Tebak Saja/ di kira – kira bilangan
yang cocok.
2 x 3 y 7 0
dapat diubah menjadi
5 x 2 y 8 0
2 x 3 y 7
5 x 2 y 8
Tebak saja : 4 + 3 = 7, berarti x = 2 dan y =
-1, di cek untuk persamaan kedua : 5. 2 +
2.(-1) = 10 – 2 = 8 Cocok.
Jadi x = 2, dan y = -1, sehingga nilai x 2 – y2 = 22 –
( -1 )2 =4-1 = 3 .
Jadi jawabannya D.
Catatan : jika jawaban sulit ditebak, silahkan
1.
Anda menempuh cara lain.
Himpunan penyelesaian dari
3 x y 7
, adalah ....
2 x 3 y 1
sistem persamaan
1.
Himpunan penyelesaian dari
a. { - 2,-1 }
b. { - 2,1 }
c. { -1,-2 }
d. { -1,-2 }
e. {2,1}
2 x y 5
,
3 x 2 y 18
sistem persamaan
adalah ....
a. { - 4, 3 }
b. { - 4, - 3 }
c. { 4, - 3 }
5.
d. { 3, - 4 }
4 x 3 y 11
2 x 3 y 1
e. { -3, 4 }
2.
Diketahui sistim persamaan;
jika x dan y penyelesaian dari sistim
Himpunan penyelesaian sistem
persamaan diatas maka nilai 2(x + y)
adalah....
x 2 y 7
persamaan linier
adalah ….
2 x y 2
1, 4
1,4
1, 4
1,0
1,4
a.
b.
c.
d.
e.
3.
a. -2
b.
6
c. -4
d.
8
e. 2
6.
Himpunan penyelesaian dari
2 p 3q 4
adalah ( p , q ) . Nilai
7 p 2q 39
1
1
Himpunan penyelesaian sistem
2
2
p1 q1 ....
3 x 2 y 6
persamaan linier
, adalah ….
x y 2
0,2
0,3
2,0
2, 1
2,1
a.
b.
c.
d.
e.
http://matematrick.blogspot.com
4.
104
.
29
b
26
.
8
c
7
.
d
.
e
7.
Himpunan penyelesaian dari
1
.
Jika x dan y memenuhi sistem
persamaan:
2 x 3 y 5
adalah
3 x 4 y 7
2 x 3 y 4
adalah ( x , y ) . Nilai
7 x 2 y 39
2
a
x, y .
Nilai x + y sama dengan ….
1
2
a.
1 c.
e.
b.
2 3
5
x1 y1 ....
d.
4
a.
7
b
8
.
26
c.
29
d
104
.
e.
8.
Diketahui sistem persamaan
linier :
2x 3y 13 0
3x 4 y 6 0
Nilai dari x-y = ....
a. -5
c. 1
b. -1
d. 5
9.
e. 6
2 x 5 y 31
7 x 3 y 6
Penyelesaian dari
adalah x = a dan y = b, nilai (a – b)2 = ....
a. 4
c. 25
b. 9
e. 121
d. 64
impunan penyelesaian dari
10.
4 x 2 y 10
adalah ( x , y ) . Nilai
6 x 4 y 6
1
1
x1 y1 .... ( UN 2010 )
a. 6
b. 3
c. – 2
d. – 3
e. – 6
Nilai x yang memnuhi sistem
11.
persamaan
1 1
x y 10
5 3 26
x y
http://matematrick.blogspot.com
petunjuk : dimisalkan
a.
2
3
b.
1
6
c.
1
7
d.
1
2
e.
3
4
adalah .... ( UN 2011/
1
1
p ; q )
x
y
Menyelesaikan soal cerita
SPLDV
maka nilai
6 x 6 y 6.1500 6.2500 9000 15000 24000
Jadi jawabannya E. Rp. 24.000 ( jika
mengalami
1. Mengubah hal – hal yang diketahui dalam soal
kesulitan
cerita ke dalam bentuk operasional, yaitu ke
gunakan cara lain
dalam bentuk Sistem persamaan linear dua
variabel
2. Menyelesaikan SPLDV seperti pada Kisi 10
Contoh Soal :
)
Paket Soal 12 :
1. Angga dan Bona membeli pensil dan Karet
penghapus. Angga membayar Rp.9.500,-
Harga delapan buah manggis dan dua semangka
Rp 17.000,00, sedangkan harga
adalah
untuk 4 buah pensil dan 2 buah Karet
penghapus. Bona harus membayar
Rp.9.000,- untuk 3 buah pensil dan 3 buah
enam buah manggis dan empat buah semangka
Karet penghapus. Yang harus dibayar Cantik
adalah Rp 19.000,00. Jika Andi ingin membeli enam
kalau membeli 2 buah pensil dan 1 buah
buah manggis dan enam buah semangka, maka ia
Karet penghapus. adalah ....
harus membayar ….
a.
Rp 14.000,00
b.
Rp 16.500,00
c.
Rp 19.000,00
d.
Rp 23.500,00
e.
Rp 24.000,00
Penyelesaian :
a. Rp 4.500,b. Rp 4.700,c. Rp 4.750,d. Rp 4.800,e. Rp 4.850,2. Sinta membeli 3 buku dan 4 penggaris maka
ia membayar Rp.10.250,- Ratih harus
membayar Rp.9.750,- untuk 2 buku dan 5
Misalkan : x = harga sebuah Manggis
y = harga sebuah Semangka, maka
permasalahan pada soal tersebut dapat diubah
penggaris. Deby membeli 4 buku dan 2
penggaris, yang harus dibayar adalah ....
a. Rp 9.500,b. Rp 9.700,-
8 x 2 y 17.000
6 x 4 y 19.000
dalam bentuk :
dan yang ditanyakan adalah nilai dari :
c. Rp 9.750,d. Rp 9.800,e. Rp 9.850,-
http://matematrick.blogspot.com
6 x 6 y .... ?
untuk mencari nilai x dan y dapat kita tebak ,
3. Ibu Rita membelanjakan uangnya sebesar
langkahnya :
Rp26.000,00 ditoko untuk membeli 3 kg gula
( i ). Jelas harga Sebuah manggis lebih
dan 2 kg terigu. Ibu Siska membelanjakan
murah dibanding sebuah semangka
( ii ). Cermati angka pada hasil yaitu 17.000
Rp32.000,00 untuk membeli 4 kg gula dan 2
kg terigu. Ditoko yang sama Bu Retno
dan 19.000, maka nilai x dan y akan
membeli 1 kg gula dan 2 kg terigu, ia harus
berupa bilangan yang mengandung
membayar ....
ratusan, coba saja nilai x = 1.500,
a.
b.
c.
d.
e.
dan y = 2.500
( iii ). Cek : 8x1.500+2x2.500 = 12.000 + 5.000 =
17.000
6x1.500+4x2.500 = 9.000 + 10.000 =
19.000
Tepat.
Rp20.000,00
Rp16.000,00
Rp14.000,00
Rp12.000,00
Rp10.000,00
4. Pada suatu toko kue. Ibu Ani membeli 8 buah
kue A dan 10 buah kue B. dengan harga
Rp.40.000,00 dan Ibu Berta membeli 12 buah
kue A dan 8 buah kue B. dengan harga
Rp.46.000,00. Uang yang harus dibayarkan
oleh Ibu Lita jika ia membeli 50 buah kue A
dan 50 buah kue B untuk suatu pertemuan
adalah .......
a.
Rp.125.000,00
b.
Rp.150.000,00
c.
Rp.175.000,00
d.
Rp.200.000,00
e.
Rp.225.000,00
5. Pada suatu toko buku dan alat tulis. Adi
membeli 4 buku tulis dan 3 pensil dengan
harga Rp.9.750,00 dan dan Budi membeli 2
buku tulis dan sebuah pensil dengan harga
Rp.4.250,00 Dita membeli 5 buku dan 2 pensil,
maka banyaknya uang yang dibayarkan Dita
adalah .......
a. Rp.9.000,00
b. Rp.9.500,00
c. Rp.10.000,00
d. Rp.11.500,00
e. Rp.12.000,00
6. Harga 3 kg beras dan 2 kg gula di Toko A
adalah Rp. 17.000,00, sedangkan di Toko B
harga 4 kg beras dan 5 kg gula adalah Rp.
32.000,00. Pada saat itu harga beras dan gula
di Toko A dan B adalah sama. Jika Ani membeli
1 kg beras dan
1
2
kg gula maka harga yang
http://matematrick.blogspot.com
dibayar adalah ....
a.
Rp 3.000,00
b.
Rp 4.000,00
c.
Rp 5.000,00
d.
Rp 5.500,00
e.
Rp 6.000,00
7. Bu Ana membayar Rp.39.000,- untuk membeli
3 kg jeruk dan 2 kg apel. Pada tempat yang
sama Bu Ani membayar Rp.59.000,- untuk
membeli 2 kg jeruk dan 5 kg apel. Harga 1 kg
jeruk adalah ….( UN 2010 )
a.
Rp6.500,-
b.
Rp7.000,-
c.
Rp7.500,-
d.
Rp9.000,-
e.
Rp11.000,-
( ii ). Jika pada z ax by nilai a b dan
masalahnya adalah memaksimalkan,
1.
maka periksa saja titik – titik yang
Dalam permasalahan program
linear dikenal dua istilah , yaitu :
nilai y-nya besar, dan sebaliknya jika
a.
masalahnya meminimalkan maka
Fungsi Kendala/
pembatas, berupa pertidaksamaan –
periksa saja nilai Z dari titik – titik
pertidaksamaan linear
yang nilai y-nya kecil
e. pilih nilai Z yang sesuai dengan
ax by 0; ax by p; ax by 0; ax by 0
b.
permintaan ( yang paling besar/
Fungsi/ bentuk
maksimal atau yang paling kecil / minimal
objektif, berupa fungsi linear z ax by
2.
)
Terkait bentuk objektif, biasanya
yang dicari adalah memaksimalkan atau
meminimalkan nilai z ax by yang secara
singkat disebut mengoptimalkan
3.
1.
yang
Langkah dalam menentukan nilai
diarsir
merupakan
grafik
himpunan
penyelesaian sistem pertidaksamaan linear.
optimum adalah :
Nilai maksimum dari bentuk obyektif 5x + y
a. gambar garis dari semua fungsi kendala
dengan x, y C himpunan penyelesaian itu
yang ada ( jika persamaan garis belum ada
adalah
maka
dicari dahulu
)
Caraharus
Menentukan
Persamaan
garis :
Jika titik potong dg sb-Xnya ( p,0 ) dan
titik potong dg sb-Ynya ( 0,q ); maka
persamaan garisnya adalah :
q x + p y = p.q
( untuk ruas kiri hanya saling tukar
saja, dan untuk ruas kanan kalikan
saja )
a.
21
(1,5)
b. 24
(4,4)
c. 26
(0,2)
(5,1)
d. 27
e. 30
(2,0)
Penyelesaian :
Jelas z = 5x + y, ditanya Zmaks = ... ?
b. tentukan daerah penyelesaian yang
memenuhi syarat fungsi kendala ( jika
dan
belum ada )
Jelas a = 5, b = 1, maka pilih saja titik yang x
– nya besar yaitu titik ( 4, 4) dan ( 5,1 )
c. tentukan titik – titik fisible, yaitu titik sudut
http://matematrick.blogspot.com
Pada gambar di bawah, daerah
dari daerah penyelesaian ( jika belum ada )
Z ( 4,4 ) = 5.4 + 4 = 20 + 4 = 24
d. periksa nilai bentuk objektif z ax by pada
Z ( 5,1 ) = 5.5 + 1 = 25 + 1 = 26
Jadi Zmaks = 26 ( jawaban C )
titik – titik fisible tersebut
Catatan :
Untuk memeriksa nilai Z pada titik – titik
fisible, jangan diperiksa semua, pilih saja
sesuai permintaan, dengan asumsi :
( i ). Jika pada z ax by nilai a b dan
masalahnya adalah memaksimalkan,
maka periksa saja titik – titik yang nilai
x-nya besar, dan sebaliknya jika
masalahnya meminimalkan maka
periksa saja nilai Z dari titik – titik yang
nilai x-nya kecil
2.
Daerah yang diarsir pada gambar
merupakan
sistem
himpunan
penyelesaian
pertidaksamaan
linear.
suatu
Nilai
maksimum dari f (x, y) = 5x + 6y adalah ....
a.
b.
c.
d.
e.
18
20
27
28
45
Penyelesaian :
Jelas Z = 5x + 6y, ditanya Zmaks = ....
Y
8
a.
b.
c.
d.
e.
Jelas bahwa antara a ( koefisien variabel x ) dan
b
4
( koefisien variabel y ) perbedaannya tidak
terlalu besar, maka nanti yang akan memberi
nilai maksimum adalah titik yang x dan y-nya
14
16
20
23
26
X
6
4
Untuk daerah yang diarsir pada gambar
2.
sama – sama besar, maka pasti titik potong
berikut , nilai minimum dari fungsi obyektif
kedua garis tersebut.
f(x,y) = 5x + 4y adalah ….
Sayangnya titik potong belum diketahui, maka
a.
b.
c.
d.
e.
Y
8
harus dicari, dan untuk mencari titik potong
perlu persamaan garisnya.
( i ) buat persamaan garis :
4
14
16
20
23
26
Garis yang memotong sb-X di titik ( 5,0 ),
dan sb- Y di titik ( 0,5 ) adalah :
3.
x+y=5
Nilai maksimum f ( x , y ) = 15x + 20y,
Garis yang memotong sb-X di titik ( 6,0 ),
dari daerah yang diarsir pada gambar
dan sb- Y di titik ( 0,4 ) adalah :
disamping, adalah…
4x + 6y = 4.6 ( bagi dg 2 )
Y
2x + 3y = 12
12
x y 5
2 x 3 y 12
a. 165
b.150
7
( ii ) titik potong kedua garis
c. 140
dapat kita tebak yaitu : ( 3,2 ) ( ingat !
d.90
SPLDV )
e. 60
6
Jadi Zmaks = 5.3 + 6.2 = 15 + 12 = 27 ( jawaban
4.
C)
3.
Daerah
pertidaksaan
linier
penyelesaian
12
X
Nilai maksimum fungsi objektif
f ( x, y ) x 3 y untuk himpunan
sistem
penyelesaian seperti pada grafik di bawah ini
3x + 5y ≥ 15, 2x
adalah ....
+ y ≥ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 yang ditunjukkan gambar
berikut adalah ....
http://matematrick.blogspot.com
6
4
1.
2.
3.
http://matematrick.blogspot.com
4.
KOMPETENSI
Menggunakan logika matematik
a
dalam pemecahan masalah
Memahami konsep yang berkait
an
dengan aturan pangkat, akar da
n
logaritma, fungsi aljabar sederh
ana,
fungsi kuadrat dan grafiknya,
persamaan dan pertidaksamaa
n
kuadrat, komposisi dan invers f
ungsi,
sistem persamaan linear, progr
am
linear, matriks, barisan dan der
et,
serta mampu menggunakannya
dalam
pemecahan masalah.
Memahami limit fungsi aljabar,
turunan fungsi, nilai ekstrim, da
n
integral fungsi serta menerapka
nnya
dalam pemecahan
masalah.
Mengolah,
menyajikan,
dan
menafsirkan data dan memaha
mi
kaidah pencacahan, permutasi,
kombinasi dan peluang kejadian
serta
mampu menerapkannya dalam
pemecahan masalah.
INDIKATOR
Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari
uatu
Menentukan kesimpulan dari beberapa prem
Menentukan hasil operasi bentuk pangkat, a
kar, dan
Menyelesaikan masalah yang berkaitan den
gan grafik
Menentukan komposisi dua fungsi dan invers
suatu
Menyelesaikan masalah yang berkaitan den
gan
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.
Menentukan penyelesaian dari sistem persa
maan
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang
berkaitan
Menentukan nilai optimum bentuk objektif d
ari
daerah himpunan penyelesaian sistem
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang
berkaitan
Menyelesaikan masalah matriks yang berkai
tan
dengan kesamaan, determinan, dan atau inv
Menentukan suku ke-n atau jumlah n suku
pertama
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang
berkaitan
Menghitung nilai limit fungsi aljabar.
Menentukan turunan fungsi aljabar dan aplik
Menentukan integral fungsi aljabar.
Menentukan luas daerah dengan mengguna
kan
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang
berkaitan
dengan kaidah pencacahan, permutasi, atau
Menyelesaikan masalah yang berkaitan den
gan
Menentukan unsur-unsur pada diagram
lingkaran
Menghitung nilai ukuran pemusatan dari dat
a dalam
Menentukan nilai ukuran penyebaran.
KET
1
2
3
2
2
2
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
1
(2) ~p Λ q
A. Nilai Kebenaran Pernyataan
(3) ~p → ~q
Jika pernyataan p bernilai salah dan pernyataan
Majemuk
q bernilai benar, maka yang bernilai salah
1. Konjungsi
p
(5) ~p v q
q (dibaca “p dan q”) bernilai benar
hanya jika keduanya benar.
2. Disjungsi
p V q (dibaca “p atau q”) satu saja benar
adalah pernyataan
a.
(1)
b.
(2)
c.
(3)
Penyelesaian:
….
d. (4)
e. (5)
P salah, maka ~p benar ;
maka bernilai benar.
q benar, maka ~q salah;
3. Implikasi
p → q (dibaca “jika p maka q”) bernilai
(3). ~p → ~q = B → S = S. Jadi jawabannya C.
salah hanya jika p benar tetapi q salah.
2. Diketahui pernyataan : ‘Jika semua siswa rajin
4. Biimplikasi
p ↔ q (dibaca “p jika dan hanya jika q”)
maka semua siswa lulus ujian ”
bernilai benar jika p dan q memiliki nilai
Ingkaran dari pernyataan tersebut adalah ….
kebenaran yang sama.
a
Ada siswa yang rajin dan beberapa siswa
.
b
tidak lulus ujian
Ada siswa yang tidak rajin dan beberapa
siswa tidak lulus ujian
Ada siswa yang tidak lulus ujian dan
B. Ingkaran / Negasi Pernyataan
1. p
v q ingkarannya ~ p Λ ~ q
2. p
Λ q ingkarannya ~ p v ~ q
.
c
3. p
q
.
d
semua siswa rajin
Jika ada siswa yang rajin maka beberapa
.
e
siswa tidak lulus ujian
Jika ada siswa yang lulus ujian maka
ingkarannya
pΛ~q
4. Semua p adalah A ingkarannya ada p
bukan A.
5. Beberapa q adalah A ingkarannya semua
q bukan A.
.
beberapa siswa rajin belajar
Penyelesaian :
( i ) Ingkaran jika p maka q adalah p dan ~q
C. Menentukan kesimpulan
P2 : p
Ingkaran “jika
maka” tidak lagi
menggunakan “jika
maka”
Jadi jawabannya adalah :
K:q
Semua siswa rajin dan ada siswa yang tidak
1. Modus Ponen :
http://matematrick.blogspot.com
P1 : p
q
2. Modus Tolens :
P1 : p
lulus ujian
Atau dapat ditulis dengan :
q
P2 : q
Ada siswa yang tidak lulus ujian dan semua
K : p
siswa rajin
Jawaban : C
3. Silogisme
q
P2 : q r
K:p r
P1 : p
1)
Nilai kebenaran yang tepat untuk
pernyataan (p q) p, pada tabel di
4. Ekuivalensi ( kesamaan/ ≡ )
p
q ≡ p v q ≡ q
a.
b.
c.
d.
e.
1. Diketahui pernyataan:
(1) ~p↔q
samping adalah ....
p
(4) ~p → q
SBSB
SSSB
SSBB
SBBB
BBBB
p
B
B
S
S
Q
B
S
B
S
(p q) p
....
....
....
....
Diketahui pernyataan p bernilai salah dan
2)
a.
pernyataan q bernilai benar. Pernyataan
tinggi atau harga barang tidak naik
berikut yang bernilai salah adalah ….
a
pVq
.
p V q
b
p(pVq)
.
( p V q ) p
c
b.
c.
d.
e.
Permintaan terhadap suatu produk
tidak tinggi atau harga barang tidak naik
7)
Ingkaran dari : ” beberapa siswa
e
.
memakai kacamata ” adalah ....
a.
Nilai kebenaran pernyataan majemuk
( UN 2011 )
a.
SBSB
b.
BBBS
c.
BSBB
d.
BBBB
e.
BBSS
4)
p
q
B
B
S
S
B
S
B
S
beberapa siswa tidak memakai
kacamata
(~pq ) V ~q pada tabel berikut adalah … .
b.
semua siswa memakai kacamata
c.
ada siswa tidak memakai
(~pq ) V
kacamata
~q
d.
....
....
....
....
tidak benar semua siswa memakai
kacamata
e.
8)
semua siswa memakai kacamata
Dari argumentasi berikut :
Jika ibu tidak pergi maka adik senang.
Negasi dari pernyataan “Jika semua anak
lulus maka semua guru bergembira” adalah
Jika adik senang maka dia tersenyum.
a. Jika semua anak tidak lulus ujian maka
Kesimpulan yang sah adalah …
semua guru tidak bergembira
b. Jika ada anak tidak lulus ujian maka semua
guru tidak bergembira
c. Jika
ada
guru
tidak
bergembira
maka
semua anak tidak lulus ujian
d. Semua anak tidak lulus ujian dan ada guru
tidak bergembira
e. Semua anak lulus ujian dan beberapa guru
tidak bergembira
http://matematrick.blogspot.com
Permintaan terhadap suatu produk
tidak tinggi dan harga barang tidak naik
.
5)
Negasi dari pernyataan : “ Jika permintaan
naik maka harga
a.
Ibu tidak pergi atau adik tersenyum
b.
Ibu pergi dan adik tidak tidak tersenyum
c.
Ibu pergi atau adik tidak tersenyum
d.
Ibu tidak pergi dan adik tersenyum
e.
Ibu pergi atau adik tersenyum
9)
Diberikan premis – premis :
Premis ( 1 ) : p q
Premis ( 2 ) : q r
Premis ( 3 ) : r
Kesimpulan yang sah adalah ….
naik ” adalah ....
a
r
d.
p
a
Permintaan naik tetapi harga tidak naik
.
q
e.
q
.
Permintaan naik dan harga naik
b
p
b
Permintaan naik atau harga tidak naik
.
.
Permintaan tidak naik tetapi harga naik
c
c
Permintaan tidak naik dan harga tidak
.
6)
Permintaan terhadap suatu produk
tinggi dan harga barang tidak naik
d
3)
Permintaan terhadap suatu produk
tidak tinggi atau harga barang naik
( p q ) p
.
Permintaan terhadap suatu produk
naik
10)
.
Diketahui premis – premis : ( UN 2010 )
d
P1 : Jika guru matematika tidak datang maka
.
semua siswa senang
e
P2 : Ada siswa yang tidak senang
.
Kesimpulan yang sah dari premis – premis di
Negasi dari pernyataan : ” Permintaan
atas adalah…
terhadap suatu produk tinggi dan harga
a. Guru matematika tidak datang
barang naik ” adalah ....
b. Semua siswa senang
c. Guru matematika senang
d. Guru matematika datang
e. Ada siswa yang tidak senang
11)
Diketahui premis-premis: ( UN 2011 )
(1) Jika semua warga negara membayar pajak,
maka banyak fasilitas umum dapat
dibangun.
(2) Tidak banyak fasilitas umum dapat
dibangun.
Kesimpulan yang sah dari kedua premis di atas
adalah … .
a. Semua
warga
negara
tidak
membayar
pajak
b. Ada warga negara tidak membayar pajak
c. Semua warga negara membayar pajak
d. Semua warga negara membayar pajak dan
tidak banyak fasilitas umum dapat dibangun
e. Semua
warga
negara
tidak
membayar
pajak atau banyak fasilitas umum dapat
http://matematrick.blogspot.com
dibangun.
p
a
(vii).
a
5.
b
1. a m a n a m n
2.
am
a m n
n
a
3. a
m
6.
1
am
n
a
m
m
b
a
a
m
n
1.
1
Operasi penjumlahan dan pengurangan :
1
a.
1
5
b.
1
6
(
i
Operasi Pembagian
2,25
a
a
b
b
b . b b
9
9 3
1,5
4
4 2
b
5
12
http://matematrick.blogspot.com
b c
5
a
b
c
b c b
c
.
a (b
c)
1. Definisi logaritma :
( ii )
a
(iii).
a
(iv).
am
(vi).
a
1
1
27
menjadi
b
1
1
bilangan
3
1
= 32 5 27 3 (25 ) 5 (33 ) 3 2 3 5
3
a
5
b
log( )a log b a log c
c
log b n n.a log b
1
log b a log b
m
log b.b log c.c log d . d log e a log e
b.
c.
3
2 3
5
6
adalah ....
3
d.
5
9
3
3
5
2 3
3
.
5
3
log
b. 4
5 3 5
2.3
6
3 ( jawaban : C )
1 2
log 8.3 log 9 adalah ....
25
c. 7
d. 8
e. 11
Penyelesaian :
5
log
1 2
log 8.3 log 9 =
25
5
log
1 2
log 2 3.3 log 3 2
2
5
log b c a c b
log(b.c ) a log b a log c
3
a. 2
2. Sifat – sifat logaritma :
a
a
5
3. Nilai dari
b2 c
C. Konsep Logaritma
( i ).
dan
Penyelesaian :
2 3
a
1
5
3
a.
a
.
b
b
b b b
( ii ).
32
2. Bentuk sederhana dari
Merasionalkan Penyebut Bentuk akar :
( i ).
ubah
(C)
32 16.2 16 2 4 2
a
).
( ii ).
a . b a.b
a
e. 8
berpangkat, 32 = 2 , dan 27 = 3
Operasi Perkalian
4.
d. 6
5
b. a b c b (a c ) b
Contoh :
c. 5
Penyelesaian :
a. a b c b (a c) b
3.
log 1 0 , karena a 0 1
a 5 b 3 adalah ....
7. a 0 1, a 0
B. Bentuk Akar
Contoh:
log b
log a
Jika a = 32 dan b = 27, maka nilai dari
1
2.
p
m
4. (a m ) m a
1.
a
(viii).
A. Bentuk Pangkat
log b
=
5
log 5 2 3. 2 log 2.2.3 log 3
= ( 2).5 log 5 3.2
= (-2 ) + 6
= 4 . jadi jawabannya B.
e.
2
22 2
2 3 1
3 3 1
42 3 1
a.
21
b.
c.
d.
e.
1.
Bentuk sederhana
-2
2 3
3
3
-2
dari (6 a ) : ( 12 a ) adalah ....
b. 2-1
7.
d. 26 a12
a
d. 2 a12
2.
dan n = 27. Nilai
a.
m
3
4
.
n
2
3
Diketahui m = 16
.
b
= ...
.
c
–72
c.
.
6
9
8.
9
64
9
8
d.
3.
Bentuk sederhana
2a 5 b 5
dari
9 1
32a b
a
.
( 2ab)4
b
.
( 2ab)2
c
.
4.
1
adalah ….
http://matematrick.blogspot.com
d
.
e
.
d
.
( 2ab)-1
e
.
( 2ab)-4
a. -33
6
b. -23
6
c.
-3
6
d.
3
6
e.
33
Bentuk
2ab
Bentuk sederhana
2
2
a.
74 3
b.
72 3
c.
72 3
d.
7 4 3
e.
7 4 3
3
adalah ….
3
10.
d
.
1 2
x y
24
1 2
x y
18
1 6
x y
18
e
.
1 6
x y
24
dari
6
sederhana dari
1 2
x y
2
4 2 10 3
13
10 2 4 3
13
Hasil
9.
32 x 4 y 2
dari 3 2 3 adalah ….
6 x y
a
.
15 2 6 6
13
15 2 6 6
13
10 2 4 6
13
2 150 5 54 7 96 adalah ….
e. 72
b.
3 2
52 3
ekuivalen dengan ….
e. 2-6 a-12
c. 2
Bentuk
Diketahui
2
2
log 3
2
= m, dan log 5 = n. Nilai log 90 adalah ....
a. 2m + 2n
b. 1 + 2m + n
b
.
c
.
c. 1 + m2 + n
d. 2 + 2m + n
e. 2 + m2 + n
5.
Bentuk sederhana
dari
108 2 12 32 adalah ....
50
a. 7 2 2 3
d. 9 2 2 3
e. 13 2 2 3
6.
Hasil
6
2 6 = ....
dari
2
log 3
= x, dan log 5 = y maka log 45 adalah ....
2
1
(2 x y )
2
1
d. ( x y )
2
1
(2 x y )
e.
2
c.
c. 9 2 4 3
2
Diketahui
a. (2x + y)
b. (x + y)
b. 13 2 14 3
2
11.
4
12.
Nilai
5
dari
1
log 9 3.5 log 2 .5 log 25 2.5 log 6 5 log 2 adalah …
2
a
2
d.
-1
.
b
1
e.
-2
.
c
0
.
13.
3
Nilai
dari
log 9 2 log 8 3 log 27 adalah ….
a
1
.
2
b
3
.
4
c
5
.
d
.
e
.
14.
9
Jika
log 8 3m, maka 3 log 2 = ….
a.
4m
b.
3m
c.
2m
d.
m
e.
1
m
15.
Nilai
http://matematrick.blogspot.com
2
dari
log 4 3 log 27 2 log 8 adalah ….
a
1
.
2
b
3
.
4
c
5
.
d
.
e
16.
.
Nilai
log 8 3 log 9 3
= ….( UN 2010 )
log 6
a. 1
b. 2
c. 3
d. 6
dari
e. 36
17.
Nilai
9
log 25 . 5 log 2
a.
-3
b.
-1
c.
0
d.
2
e.
3
3
dari
log 54 = …. ( UN 2011 )
Cari saja dua bilangan x1 dan x2 yang
memenuhi
Bentuk umum fungsi kuadrat : f ( x )=ax2 +
1.
x1 + x2 =
bx + c, a ≠ 0
2.
Grafik fungsi kuadrat berupa parabola
maka titik potong dg sumbu X-nya adalah (x1
3.
Grafik fungsi kuadrat ditinjau dari tanda
, 0 ) dan
( x2 , 0 )
( nilai ) a dan D
Untuk a > 0/ a positif
Untuk menentukan persamaan sumbu
( dengan D = b2 – 4.a.c )
simetri :
( grafik selalu
terbuka ke atas ) ada 3 jenis :`
a>0
Gunakan rumus x =
a>0
D=0
D>0
x=
a>0
D0 membuat grafik terbuka ke atas, dan D
menentukan keadaan grafik memotong atau
menyinggung atau tidak sama sekali terhadap
sumbu X
Grafik
terbuka ke
atas dan
memotong
sumbu X di
dua titik
berbeda
b
2a
Untuk menentukan titik potong dengan
http://matematrick.blogspot.com
b
a
y b axb2 bxb c
Dan ingat D b 2 4ac ( diskriminan )
1.
Koordinat titik ekstrem kurva
dengan persamaan
y = x2 – 4x +9 adalah….
a.
( -2 , 21)
b.
( -2 , 9 )
Koordinat titik potong kurva y = x2
c.
( 0 , 9)
d.
(2,9)
– 2x – 8 dengan sumbu X adalah ….
e.
(2,5)
a.
(-4 , 0) dan ( -2 , 0)
Penyelesaian :
b.
(-4 , 0) dan ( 2 , 0)
Jelas a = 1, b= -4, c = 9
c.
(-2 , 0) dan (4 , 0)
Titik ekstrim = titik balik = titik puncak
d.
(2 , 0) dan ( 4 , 0)
e.
(2 , 0) dan (8 , 0)
xb
2.
b
( 4) 4
2
2a
2.1
2
y b xb2 4 xb 9 2 2 4.2 9 4 8 9 5
3.
Koordinat titik puncak dari grafik y
= x 2 – 6x + 5 adalah ....
( jadi untuk mencari yb dengan cara
menggantikan x dengan xb pada
a. (6, 5)
d. ( – 3,32)
persamaan yang diketahui )
b. (3, – 4)
e. ( – 6,5)
c. (3, – 14)
Jadi titik ekstrimnya : ( 2, 5 ) ( E )
2.
Koordinat titik potong grafik fungsi
kuadrat y = 3x2 + 7x – 6 dengan sumbu X
4.
Nilai minimum fungsi kuadrat f( x )
2
= 2x – 2x + 6 adalah ....
adalah ....
2
,0 dan 3,0
3
a.
a.
d. 3,0 dan
11
2
b.
5.
3
,0
2
d.
5
2
e.
1
2
Koordinat titik potong grafik fungsi
e. 0,
3
dan
2
2
,0 , dan (0,2)
3
a. (-1,0),
0, 3
3
,0 dan 3,0
2
b.
2
,0 , (1,0), dan (0, -2)
3
c.
2
2
,0 , (1,0), dan 0,
3
3
d.
2
,0 , (-1,0), dan (0, -1)
3
e.
3
,0 , (1,0), dan (0, 3)
2
c.
Penyelesaian :
( i ). Titik potong dengan sumbu X, jelas y-nya /
yang dibelakang harus 0, jadi pilihan E jelas salah.
( ii ). Kemudian cari dua bilangan di posisi x yang
jumlahnya =
http://matematrick.blogspot.com
7
2
sumbu Y adalah … .( UN 2010 )
2
,0 dan 3,0
3
( A ) sebab
b
7
=
, maka jawabannya
a
3
2
2 9
7
( 3)
3
3
3
6.
Persamaan sumbu simetri grafik
fungsi kuadrat
y = 5x2 -20x + 1 adalah ....( UN 2011 )
a. x = 4
b. x = 2
c. x = -2
d. x = -3
e. x = -4
Koordinat titik balik dari grafik
fungsi kuadrat yang persamaannya y = (x – 6)
(x + 2) adalah ....( UN 2010 )
a.
b.
c.
d.
e.
c.
kuadrat y 3 x 2 x 2 dengan sumbu X dan
b.
1.
9
2
(–2, 0)
(–1, –7)
(1, –15)
(2, –16)
(3, –24)
Menyusun Persamaan Grafik
kemudian lihat bahwa grafik memotong sumbu y
di ( 0,6 ), maka c harus 6, padahal :
Fungsi Kuadrat
pada y = x2 – 3 x + 2, c = 2 sehingga agar 2
jadi 6 kalikan saja dengan 3. maka
1. Jika diketahui titik – titk potong dengan sumbu
hasilnya :
X ( ( x1 , 0 ) dan ( x2 , 0 ) diketahui )
y = 3. (x2 – 3 x + 2)
Persamaannya : y a ( x x1 ).( x x 2 )
y = 3x2 – 9 x + 6 ( jawaban D ).
Cara singkatnya : y = x2 – ( x1 + x2 ) x + x1
2. Persamaan grafik fungsi kuadrat mempunyai
.x2 , kemudian disesuaikan
titik ekstrim (–1, 4) dan melalui titik (0, 3)
( lihat contoh )
adalah ....( UN 2010 )
2. Jika diketahui koordinat titik puncak / titik balik
(( xb , yb ) diketahui )
2
Persamaannya : y a ( x xb ) y b
1. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah ….
Jelas xb = -1, yb = 4, dan grafik melalui titik ( 0,3 )
Cara Biasa
Y
2
y = x – 3x + 2
y a x ( 1) 4
2
y = x2 + 3x + 2
= -3x2 + 9x + 6
a. y = –x2 + 2x – 3
b. y = –x2 + 2x + 3
c. y = –x2 – 2x + 3
d. y = –x2 – 2x – 5
e. y = –x2 – 2x + 5
Penyelesaian :
y a x 1 4
2
y = 3x2 + 9x + 6
6
Grafik melalui ( 0,3 ) berarti untuk x = 0, y = 3 ,
y = 3x2 – 9x + 6
maka :
y = -3x2 + 9x + 6
3 = a ( 0 +1 )2 + 4
Ini artinya
titik potong
dg sumbu Y;
yaitu ( 0,6 )
3 = a .1 + 4
1
2
3=a+4
X
Maka a = -1, sehingga persamaannya : y = -1.
(x+1)2 +4
Y = -1.(x2
http://matematrick.blogspot.com
+2x+1)+4
Penyelesaian :
Y = -x2 -2x-1+4
Jelas x1 = 1 dan x2 = 2 dan memotong sumbu Y di
Y = -x2 -2x +3
titik ( 0, 6 )
(C)
Cara Biasa :
Cara singkat :
Y=a(x–1).(x–2)
Jelas bahwa grafik melalui titik ( 0,3 ) ini tidak
Y = a ( x2 -3x + 2 )
lain titik potong dengan sumbu Y, berarti c=3,
Grafik memotong sumbu Y di titk ( 0, 6 ),
sehingga pilihan yang mungkin adalah B dan C.
2
Artinya untuk x = 0, y = 6, maka : 6 = a ( 0 –
Jelas xb = -1, padahal xb =
3.0 + 2 )
6 = a.2
2a = 6
a=3
x1 x2
,
2
x1 + x2 = 2 xb = 2.(-1)=-2
dan kita punya bahwa x1 + x2 =
Jadi Persamann fungsinya adalah :
Y = 3. ( x2 -3x + 2 )
b
, maka
a
antara pilihan B dan C pilih saja yang nilai
2
Y = 3 x -9x + 6 ( pilihan D )
b
a
= -2.
Cara singkat :
Jadi jawabannya C.
susun saja bentuk y = x2 – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2
Kesimpulan dari cara singkat adalah : pilih
y = x2 – 3 x + 2 ( berarti a=1, b=3, c=2 )
saja pilihan yang memenuhi
b
= 2xb.
a
1. Persamaan grafik fungsi kuadrat dibawah ini
( petunjuk : grafik menyinggung sumbu X,
adalah ....
berarti x1 = x2 =2 atau pakai titik puncak )
6. Persamaan grafik fungsi kuadarat yang
3
a.
b.
c.
d.
e.
-1
y = –2x2 + 4x + 3
y = –2x2 + 2x + 3
y = –x2 – 2x + 3
y = –x2 + 2x – 3
y = –x2 + 2x + 3
3
2. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah ….
memotong sumbu X di titik (1,0) dan (3,0)
serta melalui titik ( -1,-16)adalah … .
a.
y 2 x2 8x 6
b.
y x 2 4 x 21
c.
y x2 4x 5
d.
y 2 x 2 8 x 6
e.
y 2 x 2 4 x 10 ( UN 2011 )
y
a.
b.
c.
d.
e.
x
o
-3
(1,-2)
y = x2 +3
Akar-Akar Persamaan Kuadrat
y = x2 -3
y = -x2 +3
y = x2 - 2x -3 1. Bentuk umum Persamaan kuadrat :
y = -x2 + 2x
ax 2 bx c 0, a 0, a, b, c R
2. Menentukan akar akar persamaan kuadrat
(0,-3)
Cara Biasa : - Faktorisasi
3. Persamaan grafik di bawah ini adalah ….
Y
9
Y = f(x)
5
a.
y = -x2 + 4x + 5
b.
y = -x2 - 4x + 5
c.
2
y = -2x + x + 5
d.
y = -2x2 - x + 5
e.
y
http://matematrick.blogspot.com
4
y = –x2 + 2x
a.
–8
b.
- Rumus abc
x1, 2
b b 2 4ac
2a
Cara Singkat : ( jika memungkinkan )
x1 x 2
x1 x 2
b
a
c
a
Dengan maksud : cari saja dua bilangan ( x1
y = –x2 – 2x
dan x 2 ) yang memenuhi rumus jumlah dan
+8
y = –x2 – 2x
d.
akar persamaan kuadrat
y = –x2 + 2x
+8
c.
-8
sempurna
Pakai saja rumus jumlah dan hasil kali akar –
4. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah …
–2
- Melengkapkan kuadrat
1 2
x +x
2
X +5
2
dengan
ax 2 bx c 0 m + n = b; dan m.n
= a.c
1
(ax m).(ax n) 0
a
–8
hasil kali tersebut.
Catatan : biasanya cukup dicari/ dipilih saja
dua bilangan ( x1 dan x 2 ) yang
5.
Persamaan grafik fungsi pada gambar di
Y
1 2
bawah ini adalah ....
a. y x 2 x 2
b.
2
c.
2
X d.
e.
2
1 2
y x 2x 2
2
1 2
y x 2x 2
2
1
y x 2 2 x 2
2
1
y x 2 2 x 2
2
memenuhi x1 x 2
b
.
a
3. Jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan
kuadrat
Jika x1 dan x 2 akar – akar persamaan
kuadrat ax 2 bx c 0, maka berlaku :
x1 x 2
x1 x 2
4.
,Caranya :
b
a
Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0
c
a
dengan
x
, sehingga diperoleh PK
k
baru :
Persamaan yang sering digunakan terkait
jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan
a( kx ) 2 b.( kx ) c 0 dan seterusnya...
kuadrat :
( kali masuk jadi bagi )
( ii ). Untuk menyusun PK baru yang akar –
x12 x 22 x1 x 2 2.x1 x 2
2
2
c
b
2.
a
a
akarnya
b2
c
2 2.
a
a
Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0
k
dan
k
, Caranya :
dengan kx , sehingga diperoleh PK
baru :
a( kx )2 +b.kx + c = 0 , dan seterusnya ...
( bagi masuk jadi kali )
b
1 1 x2 x1 x1 x 2
b
a
c
x1 x2
x1 .x2
x1 .x2
c
a
( iii ). Untuk menyusun PK baru yang akarakarnya k dan k , Caranya :
Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0
dengan x k , sehingga diperoleh PK
baru :
2
1
2
2
2
x1 x 2 x1 .x1 x 2 .x 2 x x
( x x 2 ) 2.x1 .x 2
1
x 2 x1
x1 .x 2
x1 .x 2
x1 .x 2
a(x – k)2 + b.(x - k) + c = 0, dan
Catatan : akar persamaan kuadrat tidak selalu
( + masuk jadi - )
dinyatakan dalam x1 dan x 2 , kadang
dinyatakan dalam α dan β, p dan q, dsb.
seterusnya ...
( iv ). Untuk menyusun PK baru yang akarakarnya k dan k , Caranya :
5. Menyusun Persamaan Kuadrat ( PK )
Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0
Kasus 1 :
Jika diketahui akar – akarnya ( x1 dan x2 )
dengan x k , sehingga diperoleh PK
Maka Cara penyelesaiannya :
baru :
a(x + k)2 + b.(x + k) + c = 0, dan
Cara I : pakai pola ( x x1 ).( x x 2 ) 0
seterusnya ...
http://matematrick.blogspot.com
Cara II : pakai pola x 2 ( x1 x 2 ) x x1 .x 2 0
( - masuk jadi + )
Kasus 2 :
Catatan : cara ini dipakai untuk kasus
Jika akar – akar persamaan kuadrat yang akan
PK baru yang bentuk akar- akarnya
disusun berhubungan dengan akar – akar
simetris ( x1 dan x2 serupa ),dan tidak
persamaan kuadrat yang lain
berlaku untuk akar – akar yang bentuknya
Maka Cara penyelesaiannya :
tidak simetris ( misalkan akan disusun PK
Dengan mengubah bentuk dari akar – akar
tersebut agar dapat disubtitusi ke persamaan
baru yang akar – akarnya
kuadrat yang lain
k
dan k )
Secara lengkapnya perhatikan uraian
berikut :
Jika Diketahui persamaan kuadrat ax2 + bx + c
=0, memiliki akar – akar α dan β, maka :
( i ). Untuk menyusun persamaan kuadrat baru
yang memiliki akar – akar k dan k
1. Akar – akar persamaan kuadrat 5x2
0 adalah ....
a.
b.
4
5
4
5
dan -2
dan -2
4
5
c.
d. -
4
5
dan 2
dan 2
– 6x - 8 =
e.
1
5
Ganti saja x pada persamaan x2 – 3x + 1 = 0
dan 2
Penyelesaian :
dengan
Cara Singkat :
b
( 6) 6
, maka pilih saja
a
5
5
Jelas : Nilai
x
, maka Persamaan kuadratnya adalah
3
:
2
x
x
3. 1 0
3
3
pada pilihan tersebut yang jika dijumlahkan
nilainya
6
.
5
x2
x 1 0 ( x 9 )
9
Sehingga jawabannya D, karena -
4
5
x 2 9 x 9 0 ( E )
+2=
4 10 6
5
5
2. Persamaan kuadrat 4x2 + 3x + 6 = 0
mempunyai akar – akar dan . Nilai 2 + 2
5
3
4
b.
2
7
16
c.
2
5
16
d. 2
1
4
a. 1 dan 7
e. 3
3
4
d. -1 dan - 3
2B adalah ....
2
a.
–5
d. 4
b.
–4
e. 5
9
3
=
16
c.
–1
dan x2.
Nilai dari x12 + x22 = ....
B)
3. Akar – akar persamaan kuadrat x2
b.
akar – akarnya 3α dan 3β adalah ....
x2 + 3x + 3 =0
.
x2 - 3x + 3 =0
b
x2 + 3x - 3 =0
.
x2 - 9x + 3 =0
c
x2 - 9x + 9 =0
.
e
.
Penyelesaian :
1
4
3
6
4
1
2
4
11
a.
– 3x + 1 = 0
adalah α dan β . Persamaan kuadrat baru yang
a
Akar-akar dari 2x2 – 3x – 9 = 0 adalah x1
3.
9 48 39
7
2
( jawaban :
16
16
16
d
1
2
= 0 adalah A dan B, dengan A > B. Nilai A +
6
3
= 2.
4
4
.
1
2
Akar-akar persamaan kuadrat x2 –3x + 2
2.
Jelas 2 + 2 = ( α + β )2 – 2.αβ
http://matematrick.blogspot.com
1
dan 7
2
b.
c. 1 dan 3
e. -1 dan -7
Penyelesaian :
=
– 9x +
7 = 0 adalah ....
= ....
a.
Akar – akar persamaan kuadrat 2x2
1.
c.
d.
e.
3
4
1
11
4
6
Akar – akar persamaan kuadrat 3 x2 – 4 x
4.
+ 2 = 0 adalah α dan β. Nilai dari ( α + β )2 2αβ = ....
a.
10
9
b. 1
c.
4
9
d.
1
3
e. 0
5.
Diketahui akar- akar persamaan kuadrat
2x2 – 7x – 6 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai
1
1
x1 x 2
adalah ….( UN 2010 )
a.
-3
b.
c.
3
14
d.
4
7
e.
6
7
7
6
b.
5
9
c.
7
9
e. 6.
Akar – akar persamaan kuadrat x2 – 3x +
adalah ....
a
x2 + 3x + 3 =0
.
x2 - 3x + 3 =0
b
x2 + 3x - 3 =0
.
x2 + 6x + 4 =0
c
x2 - 6x + 4 =0
.
d
.
13
d.
9
e
.
Akar – akar persamaan kuadrat 2x2 + x +
11.
e. 2
6 = 0 adalah dan . Persamaan kuadrat baru
yang akar – akarnya
= ....
a.
3
5
4
b.
3
3
4
c.
3
2
4
d.
http://matematrick.blogspot.com
11
4
baru yang akar – akarnya 2x1 dan 2x2
mempunyai akar – akar dan . Nilai 2 + 2
e.
8.
3
3
a
6x2 + x + 2 =0
.
6x2 + x + 3 =0
b
18x2 - 3x + 6 =0
.
18x2 + 2x - 6 =0
c.
18x2 + 2x + 6 =0
.
e
.
1
4
Akar – akar persamaan kuadrat x2 – 3x +
12.
3
4
1 = 0 adalah x1dan x2 . Persamaan kuadrat
baru yang akar – akarnya 3x1 dan 3x2
Akar-akar persamaan kuadrat
adalah ....
2
=….
a.
–4
b.
–2
c.
–1
d.
4
e.
5
Persamaan kuadrat x2 - 3x – 2 = 0
mempunyai akar-akar x1 dan x2. Nilai dari x12
x2+ x1.x22 = ....
dan
adalah ....
3
3
d
2
x 2 4 x 2 0 adalah dan . Nilai dari
9.
b.
Persamaan kuadrat 2x2 + 3x + 6 = 0
7.
21
4
1 = 0adalah x1dan x2 . Persamaan kuadrat
+ 2 = ....
a.
d.
10.
mempunyai akar – akar dan . Nilai ( + )2
1
3
7
5
c. 3
Persamaan kuadrat 3x2 – x + 2 = 0
6.
a.
a
x2 + 3x + 3 =0
.
x2 - 3x + 3 =0
b
x2 + 3x - 3 =0
.
x2 - 9x + 3 =0
c
x2 - 9x + 9 =0
.
d
.
e
.
13.
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 3x2 - x
+ 9 = 0, maka nilai
a.
53
27
b.
3
27
c.
1
27
d.
3
27
e.
54
27
14.
x1 x2
= ….( UN 2011 )
x2 x1
Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 - 13x – 7
= 0 adalah x1 dan x2. Jika x2 > x1, maka nilai
http://matematrick.blogspot.com
2x1 + 3x2 = ….( UN 2011 )
a.
-12,5
b.
-7,5
c.
12,5
d.
20
e.
22
2. Himpunan penyelesaian dari x 2 5 x 6 0
adalah ….
1. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :
a.
x /
6 x 1, x R
b.
x /
6 x 1, x R
c.
x/x -1 atau x 6, x R
d.
x/x 6 atau x 1, x R
e.
x x 6 atau x 1, x R
2
ax bx c 0
ax 2 bx c 0
ax 2 bx c 0
dengan a ≠ 0
ax 2 bx c 0
2. Menentukan pembuat nol ( x1 dan x2 )
Untuk menentukan x1 dan x2 , caranya : Cari /
pilih saja dua bilangan yang memenuhi
b
x1 x 2
a
3. Menentukan daerah penyelesaian
Pakai saja metode : SSBT ( Sama →
Samping, Beda → Tengah ) , dengan maksud
jika tanda dari a dan tanda pertidaksamaan
itu Sama maka daerah penyelesaiannya daerah
Samping dari pembuat nol, dan jika tanda
antara a dan tanda pertidaksamaan Beda
maka daerah penyelesaiannya adalah daerah
Penyelesaian :
Jelas a = 1, b = 5, maka nilai
b
a
5
1
5 ,
sehingga pembuat nolnya adalah -6 dan 1,
kemudian pada soal tanda pertidaksamaan
tidak mengandung sama dengan , dan a
positif sedangakan pertidaksamaannya kurang
dari nol ( < 0 ) / negatif, berarti a dan tanda
pertidaksamaan Beda tanda
maka daerah penyelesaiannya daerah Tengah
antara -6 dan 1 .
Jadi jawabannya A.
3. Himpunan penyelesaian dari x 2 5 x 6 0
adalah . .
Tengah antara pembuat nol.
Apabila tanda pertidaksamaan mengandung
a.
sama dengan, maka penyelesaiannya juga
b.
mengandung tanda sama dengan, dan
c.
sebaliknya.
d.
x / 6 x 1, x R
x / 6 x 1, x R
x/x -1 atau x 6, x R
x/x -6 atau x 1, x R
e.
x / x 6 atau x 1, x R
http://matematrick.blogspot.com
1. Himpunan penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan 3 - 2x - x2 < 0 adalah ....
a. x 3 x 3, xR
Penyelesaian :
Jelas soal serupa dengan soal no. 2, hanya
b. x 3 x 1, xR
berbeda tanda pertidaksamaannya, yaitu ada
c. x 2 x 3, xR .
tanda sama dengan dan bertanda positif ( ≥0 ),
d. x x 3atau x 1, xR .
e. x x 1atau .x 3, xR
berarti antara a dan tanda pertidaksamaan
Sama tanda, maka daerah penyelesaiannya
daerah Samping. Jadi jawabannya E.
Penyelesaian :
Jelas a = -1, b = -2, dan c = 3, maka nilai
b
a
( 2)
( 1)
2 , sehingga pembuat nolnya
adalah -3 dan 1 ( sebab -3+1 = -2 ).
Maka sudah pasti jawaban yang mungkin hanya D.
1.
Himpunan penyelesaian dari
2x2+5x 12
pertidaksamaan kuadrat
adalah....
a.
{x | -4
x
3
}
2
3
2
x
x │ x 7
b.
4}
b.
{x| -
c.
{x| -3
d.
{x| x
e.
3
{x| x -4 atau x }
2
atau
x 3, x R
x 1}
-3 atau x 1}
x │ 7 x 3, x R
x │ 3 x 7, x R
x │ 3 x 7, x R ( UN
c.
d.
e.
2010 )
2.
Penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat
a.
x
-
0, xЄ R adalah …. ( UN 2011 )
x │ x 5 atau
a.
3
2
3
x 4
2
b.
c.
-4
x
x
3
2
3
x
atau x 4
2
d.
e.
3.
-4
x
2 atau x 3
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
x 2 5 x 2(2 x 3) adalah....
a.
x │ x 3
atau
x │ x 2
atau
x 2
b.
x 3
x │ x 2 atau
x │ 3 x 2
x │ 2 x 3
c.
d.
e.
x 3
( petunjuk : ubah dulu bentuknya agar jelas a
http://matematrick.blogspot.com
dan b –nya )
4.
Penyelesaian dari x ( 2x + 5 ) ≤ 12 adalah ....
a.
x ≤ -4 atau x ≥
b.
x≤
c.
-4 ≤ x ≤ -
d.
-
e.
-4 ≤ x ≤
3
2
3
2
3
2
atau x ≥ 4
3
2
≤x≤4
3
2
Himpunan penyelesaian dari x2 – 10x + 21 <
5.
Himpunan penyelesaian dari -2x2 + 11x -5
6.
2x2-11x -12 adalah....
0, xЄ R adalah ….
x │x3
a.
x 7, x R
atau
1
2
b.
x │ x 1
c.
1
x │ 5 x
d.
x │
e.
x │ x 5
2
atau x 5
2
1
2
1
x 5
2
Menentukan fungsi komposisi
c. x2 + 4x + 3
d. x2 + 3
e. x2 + 4
Misalkan f ( x ) dan g ( x ) dan h ( x ) adalah fungsi
– fungsi yang terdefinisi dalam himpunan bilangan
real. Rf ∩ Dg ≠ Ф, dan Rg ∩ Df ≠ Ф serta Rg ∩ Dh ≠
Penyelesaian :
Jelas f ( x ) x 2 2 , maka :
Ф, maka berlaku :
f ( x 1) ( x 1) 2 2
1.
{f ο g}(x) = f(x) ο
x 2 2x 1 2
g(x) = f g (x )
x 2 2x 3
2.
( jawaban A )
{g ο f}(x) = g(x) ο
f(x) = g f (x )
3.
{ f ο g ο h}(x) =
f(x) ο g(x) ο h(x) =
Catatan : ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
f g h(x)
1.
1. Diketahui fungsi f : R R dan g : R R
- x dan
R, g : R
R , f (x) = 3
g(x) = 2x - 1, rumus komposisi
a. 7 – 4x - 8x2
Rumus (gof)(x) = . . . .
a.
3x2 + 3x – 6
b.
6x2 + 2x – 13
c.
12x2 + 6x – 5
d.
12x2 + 14x – 3
e.
12x2 + 12x – 3
b. 2 + 4x - 4x2.
c. 8 – 7x - 4x2
d. 2 – 4x - 6x2
e. 2 + 4x - 6x2
2.
Diketahui f : R
3x + 4 dan
Penyelesaian :
R, g : R
R , f (x) =
g(x) = 2 + x2, komposisi
(gof)(x) =....
f ( x) 2 x 1 , dan g ( x) 3 x 2 x 7
a. 9x2 + 24x + 18
maka :
http://matematrick.blogspot.com
(fog)(x) =....
dengan f ( x ) 2 x 1 dan g ( x) 3 x 2 x 7
Jelas
Diketahui f : R
2
b. 4x2 + 4x +1
( g f )( x) g f ( x) g 2 x 1
c. 6x2 – 20x + 18
d. 6x2 + 4x -18
e. 9x2 + 24x -16.
3(2 x 1) 2 ( 2 x 1) 7
3(4 x 2 4 x 1) 2 x 1 7
3.
Diketahui fungsi f : R R dan g : R R
12 x 2 12 x 3 2 x 6
dengan f ( x) x 2 dan g ( x) x 2 2 x 3 .
12 x 2 14 x 3
Rumus (gof)(x) adalah . . . .
( jawaban D )
Catatan : g (2x+1 ) berarti mengganti x pada g(x)
dengan 2x+1
a. x2 – 6x + 5
b. x2 – 6x – 3
c. x2 – 2x + 6
d. x2 – 2x + 2
2. Jika f(x) = x2 +2, maka f (x+1) = ....
a. x2 + 2x + 3
b. x2 + x + 3
e. x2 – 2x – 5
4.
Diketahui fungsi f(x)_ = 2x + 1 dan g(x) =
Contoh : f(x) = -2x + 5, maka
x2 – 3x + 5, maka (gof)(x)= ....
a.
4x2 – 2x + 3
b.
4x2 – 6x + 3
c.
4x2 – 2x + 9
f
2x -6x + 6
e.
2x2 – 2x + 5
5. Fungsi f: R
R dan g : R R , jika
b.
x2-5x+6
c.
x2-11x+6
d.
2x2+3x+6
e.
2x2-5x+6
1
( x)
x b
a
Kali a jadi bagi a
Contoh : f(x) = 3x – 6, maka
fungsi
f
1
( x)
(x)=....
x2-5x+12
- jadi +
f(x) = ax - b, maka f
f(x)=x-2 dan g(x)= 2x2+3x+4 maka (gof)
a.
x 5 5 x
2
2
( x)
Bentuk II :
2
d.
1
x6 1
3 x 2
3
Catatan : a berupa konstanta/ bilangan baik
positif maupun negatif
Bentuk III :
f(x) =
6. Diketahui fungsi f : R → R dan g : R → R yang
f
dinyatakan dengan f(x) = x2 – 3x – 5 dan g(x)
1
ax b
, dengan x ≠
cx d
( x)
d
c
maka
dx b
,
cx a
= x – 2. Komposisi dari kedua fungsi (f o g) (x)
= ....
a.
b.
c.
d.
e.
dengan x ≠
x2 – 3x + 5
x2 – 7x + 5
x2 + x – 7
x2 – 3x – 3
x2 – 3x – 7
secara mudah kita katakan : “ tukar saja a
dan d sekaligus
ubah tandanya “
catatan : a adalah koefisien dari x yang
7. Jika fungsi f : R → R dan g : R → R yang
berada di atas, dan d adalah konstanta
dinyatakan dengan f(x) = 4x – 2dan g(x) = x2
( bukan koefisiaen x ) yang berada di bawah
+ 8x – 2, maka (g o f) (x) = ....
( Ingat ! : a harus yang nempel pada x di
a. 8x2 + 16x – 4
bagian atas )
b. 8x2 + 16x + 4
Contoh :
c. 16x2 + 8x – 4
d. 16x2 - 16x + 4
f(x) =
e. 16x2 + 16x + 4 ( UN 2010 )
http://matematrick.blogspot.com
a
c
f
Menentukan fungsi invers
1
3x 5
, dengan x ≠ 2 , maka
x2
( x)
2x 5
, dengan x ≠ 3
x 3
Paket Soal 10 :
1.
Definisi :
Jika f : A B yang dinyatakan dengan
pasangan terurut f (a, b) a A, b B maka
1.
Diketahui f(x) =
f-1(x) adalah invers dari
= ....
a.
3x 1
, x 2
x 2
b.
3x 5
, x 4 .
x 4
+ jadi -
c.
2x 3
, x 5
x 5
Kali a jadi bagi a
d.
2x 1
, x 3
x 3
invers f adalah f
dengan f
2.
1
1
: B A yang dinyatakan
(b, a ) b B, a A
Cara menentukan fungsi invers :
Bentuk I :
x b
1
f(x) = ax + b, maka f ( x)
a
2x 1
, x 3 dan
x 3
f (x), maka f-1(x)
e.
4 2x
1
, x
maka
3x 1
3
2 3x
5
, x
Diketahui f(x) =
4x 5
4
2.
Diketahu f-1(x) invers dari f(x) =
5.
2x 2
, x 1
x 1
a.
x 3
, x 2
2x 4
a.
2 5x
3
, x
4x 3
4
b.
3 x
, x 2
2x 4
b.
5x 2
3
, x .
4x 3
4
c.
x 2
3
, x
4x 3
4
c.
2 5x
3
, x
4x 3
4
d.
x 3
, x -2
2x 4
2 5x
3
,x
4x 3
4
e.
4 x
2
, x
3x 2
3
dan f-1(x) adalah invers dari f (x), maka f-1(x)
= ....
d.
Diketahu f-1(x) invers dari f(x) =
6.
5x 2
3
,x
4x 3
4
e.
x 3
1
, x
maka
2x 1
2
f-1(x) =....
Diketahui fungsi f ditentukan oleh
3.
x2
5
f ( x)
, x dan f
3x 5
3
invers dari f, maka f
1
1
adalah fungsi
( x) =….
2x 3
1
, x
5x 1
5
a.
a.
2x 1
, x 3
x 3
b.
2x 1
, x 3 .
x 3
c.
x 3
1
,x
2x 1
2
b.
3x 1
5
, x
2x 5
2
c.
5x 2
, x 3
x 3
d.
x 3
1
,x
2x 1
2
d.
5x 2
1
,x
3x 1
3
e.
x 3
, x 0
2x
e.
2x 5
, x 3
x 3
4.
http://matematrick.blogspot.com
f-1(x) =....
7.
4 2x
,x
3x 1
Funsi invers dari f(x) =
-
1
, adalah ....
3
x
-
5
, adalah ....
2
a.
5x 2
, x
2x 3
b.
5x 2
,
2x 3
x
c.
5x 2
,
3 2x
x
3
2
2
3
2
( UN
3
a.
4x 2
, x
3x 4
b.
4 x
,
3x 2
x
c.
x 4
,
3x 2
x
2
3
d.
d.
4x 2
,
3x 1
x
1
3
2x 5
,
3x 2
e.
e.
4x 4
,
3x 2
2x 5
,
2 3x
x
4
3
-
2
3
2
3
3x 2
,
2x 5
Funsi invers dari f(x) =
2010 )
x
x
3
2
3
2
Diketahu f-1(x) invers dari f(x) =
8.
http://matematrick.blogspot.com
2 3x
, maka f-1(x) =.... ( UN 2011 )
2
a.
2
(1 x )
3
b.
2
(1 x )
3
c.
3
(1 x )
2
d.
3
(1 x )
2
e.
2
( x 1)
3
a1 x b1 y c1
1. Bentuk umum SPLDV :
a 2 x b2 y c 2
2. Cara menentukan himpunan penyelesaian ( HP :
( x, y )
):
Penyelesaian :
Jelas jawabannya B { - 2, 1 }, sebab jika
disubtitusikan/ digantikan ke dalam x dan y,
a.
Eliminasi dan subtitusi
maka memenuhi kedua persamaan tersebut.
b.
Menggunakan invers matriks, dengan
3.(-2) – 1 = -6 – 1 = -7, dan
konsep :
2.(-2) + 3.1 = -4 + 3 = -1
AX B, maka
2.
Diketahui sistem persamaan;
1
X A B
2 x 3 y 7 0
5 x 2 y 8 0
a1 x b1 y c1
Catatan : jika
dinyatakan
a 2 x b2 y c 2
jika x dan y penyelesaian dari sistem
dalam matriks maka menjadi :
a1
a2
b1 x c1
b2 y c 2
A
persamaan diatas maka nilai x2 - y2 adalah....
X = B
a. -2
d. 3.
b. -1
e. 5
c. 2
Penyelesaian :
c.
Menggunakan Determinan Matriks :
a1
a2
b1 x c1
, maka :
b2 y c 2
x
Dy
Dx
dan y
; dengan
D
D
D
a1
a2
http://matematrick.blogspot.com
Dx
Dy
d.
b1
a1 .b2 a 2 .b1
b2
c1
b1
c2
b2
a1
a2
c1
a1 .c 2 a 2 .c1
c2
c1 .b2 c 2 .b1
Cara Tebak Saja/ di kira – kira bilangan
yang cocok.
2 x 3 y 7 0
dapat diubah menjadi
5 x 2 y 8 0
2 x 3 y 7
5 x 2 y 8
Tebak saja : 4 + 3 = 7, berarti x = 2 dan y =
-1, di cek untuk persamaan kedua : 5. 2 +
2.(-1) = 10 – 2 = 8 Cocok.
Jadi x = 2, dan y = -1, sehingga nilai x 2 – y2 = 22 –
( -1 )2 =4-1 = 3 .
Jadi jawabannya D.
Catatan : jika jawaban sulit ditebak, silahkan
1.
Anda menempuh cara lain.
Himpunan penyelesaian dari
3 x y 7
, adalah ....
2 x 3 y 1
sistem persamaan
1.
Himpunan penyelesaian dari
a. { - 2,-1 }
b. { - 2,1 }
c. { -1,-2 }
d. { -1,-2 }
e. {2,1}
2 x y 5
,
3 x 2 y 18
sistem persamaan
adalah ....
a. { - 4, 3 }
b. { - 4, - 3 }
c. { 4, - 3 }
5.
d. { 3, - 4 }
4 x 3 y 11
2 x 3 y 1
e. { -3, 4 }
2.
Diketahui sistim persamaan;
jika x dan y penyelesaian dari sistim
Himpunan penyelesaian sistem
persamaan diatas maka nilai 2(x + y)
adalah....
x 2 y 7
persamaan linier
adalah ….
2 x y 2
1, 4
1,4
1, 4
1,0
1,4
a.
b.
c.
d.
e.
3.
a. -2
b.
6
c. -4
d.
8
e. 2
6.
Himpunan penyelesaian dari
2 p 3q 4
adalah ( p , q ) . Nilai
7 p 2q 39
1
1
Himpunan penyelesaian sistem
2
2
p1 q1 ....
3 x 2 y 6
persamaan linier
, adalah ….
x y 2
0,2
0,3
2,0
2, 1
2,1
a.
b.
c.
d.
e.
http://matematrick.blogspot.com
4.
104
.
29
b
26
.
8
c
7
.
d
.
e
7.
Himpunan penyelesaian dari
1
.
Jika x dan y memenuhi sistem
persamaan:
2 x 3 y 5
adalah
3 x 4 y 7
2 x 3 y 4
adalah ( x , y ) . Nilai
7 x 2 y 39
2
a
x, y .
Nilai x + y sama dengan ….
1
2
a.
1 c.
e.
b.
2 3
5
x1 y1 ....
d.
4
a.
7
b
8
.
26
c.
29
d
104
.
e.
8.
Diketahui sistem persamaan
linier :
2x 3y 13 0
3x 4 y 6 0
Nilai dari x-y = ....
a. -5
c. 1
b. -1
d. 5
9.
e. 6
2 x 5 y 31
7 x 3 y 6
Penyelesaian dari
adalah x = a dan y = b, nilai (a – b)2 = ....
a. 4
c. 25
b. 9
e. 121
d. 64
impunan penyelesaian dari
10.
4 x 2 y 10
adalah ( x , y ) . Nilai
6 x 4 y 6
1
1
x1 y1 .... ( UN 2010 )
a. 6
b. 3
c. – 2
d. – 3
e. – 6
Nilai x yang memnuhi sistem
11.
persamaan
1 1
x y 10
5 3 26
x y
http://matematrick.blogspot.com
petunjuk : dimisalkan
a.
2
3
b.
1
6
c.
1
7
d.
1
2
e.
3
4
adalah .... ( UN 2011/
1
1
p ; q )
x
y
Menyelesaikan soal cerita
SPLDV
maka nilai
6 x 6 y 6.1500 6.2500 9000 15000 24000
Jadi jawabannya E. Rp. 24.000 ( jika
mengalami
1. Mengubah hal – hal yang diketahui dalam soal
kesulitan
cerita ke dalam bentuk operasional, yaitu ke
gunakan cara lain
dalam bentuk Sistem persamaan linear dua
variabel
2. Menyelesaikan SPLDV seperti pada Kisi 10
Contoh Soal :
)
Paket Soal 12 :
1. Angga dan Bona membeli pensil dan Karet
penghapus. Angga membayar Rp.9.500,-
Harga delapan buah manggis dan dua semangka
Rp 17.000,00, sedangkan harga
adalah
untuk 4 buah pensil dan 2 buah Karet
penghapus. Bona harus membayar
Rp.9.000,- untuk 3 buah pensil dan 3 buah
enam buah manggis dan empat buah semangka
Karet penghapus. Yang harus dibayar Cantik
adalah Rp 19.000,00. Jika Andi ingin membeli enam
kalau membeli 2 buah pensil dan 1 buah
buah manggis dan enam buah semangka, maka ia
Karet penghapus. adalah ....
harus membayar ….
a.
Rp 14.000,00
b.
Rp 16.500,00
c.
Rp 19.000,00
d.
Rp 23.500,00
e.
Rp 24.000,00
Penyelesaian :
a. Rp 4.500,b. Rp 4.700,c. Rp 4.750,d. Rp 4.800,e. Rp 4.850,2. Sinta membeli 3 buku dan 4 penggaris maka
ia membayar Rp.10.250,- Ratih harus
membayar Rp.9.750,- untuk 2 buku dan 5
Misalkan : x = harga sebuah Manggis
y = harga sebuah Semangka, maka
permasalahan pada soal tersebut dapat diubah
penggaris. Deby membeli 4 buku dan 2
penggaris, yang harus dibayar adalah ....
a. Rp 9.500,b. Rp 9.700,-
8 x 2 y 17.000
6 x 4 y 19.000
dalam bentuk :
dan yang ditanyakan adalah nilai dari :
c. Rp 9.750,d. Rp 9.800,e. Rp 9.850,-
http://matematrick.blogspot.com
6 x 6 y .... ?
untuk mencari nilai x dan y dapat kita tebak ,
3. Ibu Rita membelanjakan uangnya sebesar
langkahnya :
Rp26.000,00 ditoko untuk membeli 3 kg gula
( i ). Jelas harga Sebuah manggis lebih
dan 2 kg terigu. Ibu Siska membelanjakan
murah dibanding sebuah semangka
( ii ). Cermati angka pada hasil yaitu 17.000
Rp32.000,00 untuk membeli 4 kg gula dan 2
kg terigu. Ditoko yang sama Bu Retno
dan 19.000, maka nilai x dan y akan
membeli 1 kg gula dan 2 kg terigu, ia harus
berupa bilangan yang mengandung
membayar ....
ratusan, coba saja nilai x = 1.500,
a.
b.
c.
d.
e.
dan y = 2.500
( iii ). Cek : 8x1.500+2x2.500 = 12.000 + 5.000 =
17.000
6x1.500+4x2.500 = 9.000 + 10.000 =
19.000
Tepat.
Rp20.000,00
Rp16.000,00
Rp14.000,00
Rp12.000,00
Rp10.000,00
4. Pada suatu toko kue. Ibu Ani membeli 8 buah
kue A dan 10 buah kue B. dengan harga
Rp.40.000,00 dan Ibu Berta membeli 12 buah
kue A dan 8 buah kue B. dengan harga
Rp.46.000,00. Uang yang harus dibayarkan
oleh Ibu Lita jika ia membeli 50 buah kue A
dan 50 buah kue B untuk suatu pertemuan
adalah .......
a.
Rp.125.000,00
b.
Rp.150.000,00
c.
Rp.175.000,00
d.
Rp.200.000,00
e.
Rp.225.000,00
5. Pada suatu toko buku dan alat tulis. Adi
membeli 4 buku tulis dan 3 pensil dengan
harga Rp.9.750,00 dan dan Budi membeli 2
buku tulis dan sebuah pensil dengan harga
Rp.4.250,00 Dita membeli 5 buku dan 2 pensil,
maka banyaknya uang yang dibayarkan Dita
adalah .......
a. Rp.9.000,00
b. Rp.9.500,00
c. Rp.10.000,00
d. Rp.11.500,00
e. Rp.12.000,00
6. Harga 3 kg beras dan 2 kg gula di Toko A
adalah Rp. 17.000,00, sedangkan di Toko B
harga 4 kg beras dan 5 kg gula adalah Rp.
32.000,00. Pada saat itu harga beras dan gula
di Toko A dan B adalah sama. Jika Ani membeli
1 kg beras dan
1
2
kg gula maka harga yang
http://matematrick.blogspot.com
dibayar adalah ....
a.
Rp 3.000,00
b.
Rp 4.000,00
c.
Rp 5.000,00
d.
Rp 5.500,00
e.
Rp 6.000,00
7. Bu Ana membayar Rp.39.000,- untuk membeli
3 kg jeruk dan 2 kg apel. Pada tempat yang
sama Bu Ani membayar Rp.59.000,- untuk
membeli 2 kg jeruk dan 5 kg apel. Harga 1 kg
jeruk adalah ….( UN 2010 )
a.
Rp6.500,-
b.
Rp7.000,-
c.
Rp7.500,-
d.
Rp9.000,-
e.
Rp11.000,-
( ii ). Jika pada z ax by nilai a b dan
masalahnya adalah memaksimalkan,
1.
maka periksa saja titik – titik yang
Dalam permasalahan program
linear dikenal dua istilah , yaitu :
nilai y-nya besar, dan sebaliknya jika
a.
masalahnya meminimalkan maka
Fungsi Kendala/
pembatas, berupa pertidaksamaan –
periksa saja nilai Z dari titik – titik
pertidaksamaan linear
yang nilai y-nya kecil
e. pilih nilai Z yang sesuai dengan
ax by 0; ax by p; ax by 0; ax by 0
b.
permintaan ( yang paling besar/
Fungsi/ bentuk
maksimal atau yang paling kecil / minimal
objektif, berupa fungsi linear z ax by
2.
)
Terkait bentuk objektif, biasanya
yang dicari adalah memaksimalkan atau
meminimalkan nilai z ax by yang secara
singkat disebut mengoptimalkan
3.
1.
yang
Langkah dalam menentukan nilai
diarsir
merupakan
grafik
himpunan
penyelesaian sistem pertidaksamaan linear.
optimum adalah :
Nilai maksimum dari bentuk obyektif 5x + y
a. gambar garis dari semua fungsi kendala
dengan x, y C himpunan penyelesaian itu
yang ada ( jika persamaan garis belum ada
adalah
maka
dicari dahulu
)
Caraharus
Menentukan
Persamaan
garis :
Jika titik potong dg sb-Xnya ( p,0 ) dan
titik potong dg sb-Ynya ( 0,q ); maka
persamaan garisnya adalah :
q x + p y = p.q
( untuk ruas kiri hanya saling tukar
saja, dan untuk ruas kanan kalikan
saja )
a.
21
(1,5)
b. 24
(4,4)
c. 26
(0,2)
(5,1)
d. 27
e. 30
(2,0)
Penyelesaian :
Jelas z = 5x + y, ditanya Zmaks = ... ?
b. tentukan daerah penyelesaian yang
memenuhi syarat fungsi kendala ( jika
dan
belum ada )
Jelas a = 5, b = 1, maka pilih saja titik yang x
– nya besar yaitu titik ( 4, 4) dan ( 5,1 )
c. tentukan titik – titik fisible, yaitu titik sudut
http://matematrick.blogspot.com
Pada gambar di bawah, daerah
dari daerah penyelesaian ( jika belum ada )
Z ( 4,4 ) = 5.4 + 4 = 20 + 4 = 24
d. periksa nilai bentuk objektif z ax by pada
Z ( 5,1 ) = 5.5 + 1 = 25 + 1 = 26
Jadi Zmaks = 26 ( jawaban C )
titik – titik fisible tersebut
Catatan :
Untuk memeriksa nilai Z pada titik – titik
fisible, jangan diperiksa semua, pilih saja
sesuai permintaan, dengan asumsi :
( i ). Jika pada z ax by nilai a b dan
masalahnya adalah memaksimalkan,
maka periksa saja titik – titik yang nilai
x-nya besar, dan sebaliknya jika
masalahnya meminimalkan maka
periksa saja nilai Z dari titik – titik yang
nilai x-nya kecil
2.
Daerah yang diarsir pada gambar
merupakan
sistem
himpunan
penyelesaian
pertidaksamaan
linear.
suatu
Nilai
maksimum dari f (x, y) = 5x + 6y adalah ....
a.
b.
c.
d.
e.
18
20
27
28
45
Penyelesaian :
Jelas Z = 5x + 6y, ditanya Zmaks = ....
Y
8
a.
b.
c.
d.
e.
Jelas bahwa antara a ( koefisien variabel x ) dan
b
4
( koefisien variabel y ) perbedaannya tidak
terlalu besar, maka nanti yang akan memberi
nilai maksimum adalah titik yang x dan y-nya
14
16
20
23
26
X
6
4
Untuk daerah yang diarsir pada gambar
2.
sama – sama besar, maka pasti titik potong
berikut , nilai minimum dari fungsi obyektif
kedua garis tersebut.
f(x,y) = 5x + 4y adalah ….
Sayangnya titik potong belum diketahui, maka
a.
b.
c.
d.
e.
Y
8
harus dicari, dan untuk mencari titik potong
perlu persamaan garisnya.
( i ) buat persamaan garis :
4
14
16
20
23
26
Garis yang memotong sb-X di titik ( 5,0 ),
dan sb- Y di titik ( 0,5 ) adalah :
3.
x+y=5
Nilai maksimum f ( x , y ) = 15x + 20y,
Garis yang memotong sb-X di titik ( 6,0 ),
dari daerah yang diarsir pada gambar
dan sb- Y di titik ( 0,4 ) adalah :
disamping, adalah…
4x + 6y = 4.6 ( bagi dg 2 )
Y
2x + 3y = 12
12
x y 5
2 x 3 y 12
a. 165
b.150
7
( ii ) titik potong kedua garis
c. 140
dapat kita tebak yaitu : ( 3,2 ) ( ingat !
d.90
SPLDV )
e. 60
6
Jadi Zmaks = 5.3 + 6.2 = 15 + 12 = 27 ( jawaban
4.
C)
3.
Daerah
pertidaksaan
linier
penyelesaian
12
X
Nilai maksimum fungsi objektif
f ( x, y ) x 3 y untuk himpunan
sistem
penyelesaian seperti pada grafik di bawah ini
3x + 5y ≥ 15, 2x
adalah ....
+ y ≥ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 yang ditunjukkan gambar
berikut adalah ....
http://matematrick.blogspot.com
6
4