05 Menghitung Integral dengan Aturan Parsial

TEKNIK PENGINTEGRALAN
C. Menghitung Integral dengan Aturan Parsial
Tehnik pengintegralan berikutnya selain dengan substitusi adalah dengan teknik
parsial. Metoda pengintegraalan parsial ini didapat dari balikan proses turunan hasil kali
dua fungsi. Untuk lebih lengkapnya ikutilah proses berikut ini:
Misalkan u dan v adalah fungsi-fungsi dalam x dan diketahui y = u . v, maka
diperoleh
y = u.v
du
dy
dv
= u.
+ v.
dx
dx
dx

 dy

 u dv   v du
y =  u dv   v du

u . v =  u dv   v du
u . v –  u dv   v du
dy = u dv + v du


 u dv  u.v   v du
Jadi jika u dan v adalah fungsi-fungsi dalam x maka  u dv  u.v   v du
sehingga

Selengkapnya, penggunaan integral parsial dalam soal dapat diuraikan sebagai berikut
Contoh Soal

12x(2x  4)

 6x(3x  2)

1. Tentukanlah hasil dari :
(a)

5

12x(2x  4)

(b)

dx

Jawab
(a)

5

4

dx

dx = …..?
du

Misalkan u = 12x

dx

dv = (2x  4) 5 dx

= 12

du = 12 dx

v =  (2x  4) 5 dx

v=
v=

1

2(5  1)

1

(2x  4) 6

sehingga :  12x(2x  4) dx = u.v   v du
12

(2x  4) 51

5

= (12x)

1
12

(2x  4) 6 –

= x.(2x  4) 6 –

Teknik Pengintegralan

 12 (2x  4)
1

 (2x  4)

6

6

.12dx

.dx

1

1
(2x  4) 61 + C
2(6  1)
1
(2x  4) 7 + C

= x.(2x  4) 6 –
14

= x.(2x  4) 6 –

(b)

 6x(3x  2)

4

dx = …..?

Misalkan u = 6x maka

du

= 6 atau du = 6 dx

dv = (3x  2) 4 dx maka v =  (3x  2) 4 dx

dx

1

3(4  1)

v=

1

v=

sehingga :  6x(3x  2) 4 dx = u.v   v du
1

= (6x)
=
=
=

2
5

2
5

2
5

(a)  8x.cos2x. dx

15

 8x.cos2x. dx

(3x  2) 5

x.(3x  2) 5 –
x.(3x  2) 5 –

(b)

Jawab

 15 (3x  2)

(3x  2) 5 –

x.(3x  2) 5 –

02. Tentukanlah hasil dari :

(a)

15

(3x  2) 41

1

 (3x  2)

2
5
2

1

5 3(5  1)
.

1
45

5

5

.6.dx

.dx

(3x  2) 51 + C

(3x  2) 6 + C

 9x.sin(3x  ).dx

= …..?

Misalkan u = 8x maka

du
dx

= 8 atau du = 8 dx

 cos2x.dx

dv = cos 2x dx maka v =
v=

1

sin 2x

sehingga :  8x.cos2x. dx = u.v   v du
= (8x)

1
2

2

sin 2x –

= 4x.sin2x –

 2 sin2x.8. dx
1

 4.sin2x. dx

4
.cos2x + C
2
= 4x.sin2x + 2.cos2x + C
= 4x.sin2x +

Teknik Pengintegralan

2

(b)

 9x.sin(3x  ).dx =

…..?

Jawab
Misalkan u = 9x maka

du

= 9 atau du = 9 dx

dv = sin(3x   ).dx maka v =  sin(3x   ).dx
dx

1
v =  cos(3x   )
3

sehingga :  9x.sin(3x  ).dx = u.v   v du

 1

= (9x)  cos(3x   ) –
 3


  3 cos (3x   ).9.dx
1

=  3x. cos(3x   ) + 3  cos (3x   ).dx


1
=  3x. cos(3x   ) + 3  .sin (3x   ) + C
3


=  3x. cos(3x   ) + sin (3x   ) + C

 6x

03. Tentukanlah hasil dari
(a)

 6x

2

(b)

.sin2x. dx

Jawab
(a)

2

12x

2

(3x  1) 3 dx

.sin2x. dx = …..?

Misalkan u = 6 x 2 maka

du
dx

= 12x atau du = 12x dx

 sin2x. dx

dv = sin2x dx maka v =

1
v =  cos 2x

sehingga :  6x .sin2x. dx = u.v   v du
2

2

 1

= (6 x 2 )  cos 2 x +
 2


=  3x 2 .cos2x +
Misalkan u = 6x maka

du
dx

1

 6x.cos2x. dx

= 6 atau du = 6 dx

dv = cos2x dx maka v =
v=

Teknik Pengintegralan

 2 cos2x.12x. dx

1
2

 cos2x.dx

sin 2x

3

=  3x 2 .cos2x + u.v   v du

sehingga :  6x 2 .sin2x. dx

1

=  3x 2 .cos2x + (6x)  sin 2 x –
2


 2 sin2x.6. dx
1

=  3x 2 .cos2x + 3x.sin2x –  3.sin2x. dx
=  3x 2 cos2x + 3x.sin2x +

(b)

12x

2

3
2

cos2x + C

(2x  1)3 dx = …..?

Misalkan u = 12 x 2 maka

du

= 24x atau du = 24x dx

dv = (2x  1)3 dx maka v =  (2x  1)3 dx
dx

v=
v=

1

2(3  1)

1

(2x  1)31

(2x  1) 4

sehingga : 12x 2 (2x  1)3 dx = u.v   v du
= 12 x 2
=
Misalkan u = 3x maka

du

8

1

(2x  1) 4 –

 8 (3x  1)
1

4

.24 x.dx

3 2
x (2x  1) 4 –  3x.(2x  1)4 .dx
2
8

= 3 atau du = 3.dx

dv = (2x  1)4 dx maka v =  (2x  1) 4 dx
dx

v=

sehingga :  12x 2 (3x  1) 3 dx =

v=

1

2(4  1)

1

(2x  1)41

(2x  1)5

3 2
x (2x  1) 4 – ( u.v   v.du )
2
1
1
3


= x 2 (2x  1) 4 – 3x. (2 x  1) 5   (2 x  1) 5 .3.dx
2
10
 10

10

3
3
3 2
x (2x  1) 4 –
x.(2 x  1) 5   (2 x  1) 5 .dx
2
10
10
3
3
1
3 2
4
x.(2 x  1) 5  .
(2 x  1) 5  1  C
= x (2x  1) –
2
10
10 2(5  1)

=

=

Teknik Pengintegralan

3
1
3 2
x (2x  1) 4 –
x.(2 x  1) 5  . (2 x  1) 6  C
2
10
40

4

Disamping itu, proses pengintegralan dengan aturan parsial dapat juga dilakukan dengan
bantuan bagan atau skema yang dikenal dengan cara Tanzalin. Untuk contoh soal nomor
3, dapat diuraikan sebagai berikut :

 6x

03. Tentukanlah hasil dari
(a)

2

 6x

(b)

.sin2x. dx

Jawab
(a)

2

(b)

12x

(2x  1) 3 dx

6x 2

sin 2 x

12x

1
 cos 2 x
2

12

1
 sin 2 x
4
1

0

2

2

.sin2x. dx

Jawab

 6x

12x

.sin2x. dx

8

= ( 6x 2 )( 

1
2

cos 2 x

cos2x) – (12x)( 

=  3x 2 cos2x + 3x.sin2x +

2

(2x  1) 3 dx

3
2

1
4

1

sin2x) + (12)( cos2x) + C
8

cos2x + C

Jawab

12x 2

(3x  1)3

24x

1
12
1

24

180
1

0

12x

2

(2x  1) 3 dx = ( 12x 2 )

Teknik Pengintegralan

(3x  1) 4
(3x  1)5

3240

1
12

(3x  1)6

(3x  1) 4 – (24x)

2
4
= x (3x  1) –

2
15

1

(3x  1) 5 + (24)

180
1
5

x.(3x  1) 

135

(3x  1) 6  C

1
3240

(3x  1) 6 + C

5

 8.sin2x.co s4x.dx

04. Tentukanlah hasil dari
(a)

(b)

(a)  8.sin2x.co s4x.dx = …
Jawab

Misalkan u = 8.sin2x maka

du
dx

 9.sin3x.si nx.dx

= 16.cos2x atau du = 16.cos2x dx

dv = cos4x dx maka v =  cos 4x. dx
1
v = sin 4x

sehingga :  8.sin2x.co s4x.dx = u.v   v du
4

1
1
= (8.sin2x)( sin 4x) –  ( sin4x)(16. cos2x. dx)
4
4

= 2.sin2x.sin4x –  4.sin4x.cos2 x. dx
Misalkan u = 4.cos2x maka

du
dx

= –8.sin2x atau du = –8.sin2x dx

dv = sin4x dx maka v =  sin 4x. dx
1
v =  cos 4x

 8sin2x.cos 4x.dx =
sehingga :

 8sin2x.cos 4x.dx =

4

2.sin2x.sin4x – ( u.v   v du )

1
1
2sin2x.sin4x – (4cos2x)(  cos4x) +  ( cos4x)( 8.sin2x. dx)
4
4

8  sin2x.cos4 x. dx = 2sin2x.sin4x + cos2x.cos4x + 2  sin2x.cos4 x. dx + C
6  sin2x.cos4 x. dx = 2sin2x.sin4x + cos2x.cos4x + C

 sin2x.cos4 x.dx

=

1

(b)  9.sin3x.si nx. dx = …
3

sin2x.sin4x +

Misalkan u = 9.sin3x maka

du
dx

1
6

cos2x.cos4x + C

= 27.cos3x atau du = 27.cos3x dx

dv = sinx dx maka v =  sin x. dx
v = –cosx

sehingga :  9.sin3x.si nx. dx = u.v   v du

= (9.sin3x)(–cosx) –  ( cos x)(27.cos3 x. dx)
= –9.sin3x.cosx +

Teknik Pengintegralan

 27.cos x.cos3x. dx

6

Misalkan u = cos3x maka

du
dx

= –3.sin3x atau du = –3.sin3x dx

dv = 27.cosx dx maka v =  27.cos x. dx
v = 27.sin x
sehingga :

 9.sin3x.si nx.dx = –9.sin3x.cosx + ( u.v   v du )
 9.sin3x.si nx.dx = –9.sin3x.cosx + (cos3x)(27sinx) –  (27.sinx)( 3.sin3x. dx)
9  sin3x.sinx .dx = –9.sin3x.cosx + 27.cos3x.sinx + 81  sin3x.sinx .dx + C
–72  sin3x.sinx .dx = –9.sin3x.cosx + 27.cos3x.sinx + C
 sin3x.sinx .dx

 cos

=

1
8

sin3x.cosx –

3
8

cos3x.sinx + C

05. Dengan menggunakan integral parsial buktikanlah bahwa

 cos

4

1

x dx =

cos3x.sinx +

4

 cos

Jawab
4

x dx =

3
8

3

3

x +

sin2x + C

16

x.cos x dx

Misalkan u = cos3x maka du = –3cos2x.sinx dx
v =  cos x dx maka v = sin x

 cos x dx = cos x.sinx +  3cos x.sin x dx
3
2
2
4
 cos x dx = cos x.sinx +  3cos x.(1  cos x) dx
3
4
2
4
 cos x dx = cos x.sinx +  3cos x. dx –  3 cos x dx
3
4
2
4
 cos x dx +  3 cos x dx = cos x.sinx +  3cos x. dx

maka

4

4  cos 4 x dx

 cos

 cos

4

4

Teknik Pengintegralan

2

3

= cos3x.sinx +

x dx

=

x dx

=

1
4
1

4

cos3x.sinx +

cos3x.sinx +

3
2
3
8
3

8

2

 (1  cos2x) dx
x +

x +

3
8
3

16

 cos2x dx
sin 2 x + C

7