01 Aturan Dasar Integral Fungsi Aljabar

INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI
ALJABAR
A. Aturan Dasar Integral Fungsi Aljabar
Integral dapat dipandang sebagai balikan (invers) dari turunan, sehingga integral sering disebut
juga sebagai anti turunan.
Sehingga notasi integral ditulis

 f(x) dx

= F(x) + c jika dan hanya jika F’(x) = f(x)

Sebagi contoh: Jika f(x) = x2 + 6x – 5 maka f ’(x) = 2x + 6
Jika f(x) = x2 + 6x + 10 maka f ’(x) = 2x + 6
Jika f(x) = x2 + 6x – 1/3 maka f ’(x) = 2x + 6

2
Dari sini diperoleh  (2x  6) dx = x + 6x + C. Konstanta C dianggap mewakili –5, 10, –1/3 dan

semua bilangan real yang lainnya.
Dengan berpedoman dari uraian di atas, maka kita dapat menentukan rumus dasar dari
pengintegralan, yakni :

Jika y = ax maka y’ = a untuk a bilangan real.

Jika y = ax n maka y’ = n.a x n  1 untuk a dan n bilangan real

Sehingga diperoleh rumusan : jika a dan n adalah bilangan real dengan n  -1, maka :
a.
b.

 a dx =
 ax

n

ax + c

dx =

a

n 1

x

n 1

 c

Untuk pemahaman lebih lanjut, akan diuraikan pada contoh-contoh soal berikut ini :
01. Selesaikanlah integral berikut ini :
a.

 (8x

 (8x

Jawab
(a)

(b)

3  3x 2  4x  5) dx

b.

3  3x 2  4x  5) dx
=

(2 x

1 3
 x2

(2 x

1 3
 x2

 x  2) dx
4
3

8 3 1
3 2 1
4 11
x
x


x
 5x  C
3 1
2 1
11

= 2x 4  x 3  2x 2  5x  C

1 2  1 4/3 1  1
1/2 3  1



x
 2x  C
x
x
11
2 1
3 1
1/2 4 1 3 4/3 2
=
x  x 
x  2x  C
4
3
2

 x  2) dx =
4
3

Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

1

1 4 1 3 4 2
x  x  x  2x  C
8
3
6
1
1
2
= x 4  x 3  x 2  2x  C
8
3
3

=

 (3x

02. Selesaikanlah integral berikut ini :
a.
b.

 1/2  2x  3  x 2 ) dx

 ( 3x 2



2

4
x3

 2x) dx

Jawab
(a)

2
 1/2
3
 (3x  2x  x ) dx =

3


 ( 3x 2
2

2

3

=

(b)

1

1

1/ 2

x



1
2

x1/2 

1

2



2

2

 3 1

x 2 

1
= 6x1/2  x  2  x 3  C
3
4
2

 2x) dx =  ( x 2  4 x 3  2x) dx
3
x3
2/3

x 2  1 

4

x 3 1 

1

x2 1  C

2

x1  1  C

2 1

1 3
x C
3

x 3  1 

 3 1
11
2/3  1
=
x  4 x 2  2 x2  C
1
2
2
2 1
2
2
 2 1

=

=  x
= 

 [4

3

 2x

x

C

2
2

 x2  C
3x x 2

03. Selesaikanlah integral berikut ini :
a.
b.



[

 [4

Jawab
(a)

x 3  2 x  5x x ]dx

3
2 x

3



2
x



4x 2
x

]dx

x 3  2 x  5x x ]dx =

=
=

Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

 [4x  2x  5x .x ]dx
3/ 2
1/ 2
3/ 2
 [4x  2x  5x ]dx
3/ 2
1/ 2
 [9 x  2 x ]dx
3/ 2

1/ 2

1 1/ 2

2

3

=

9
3
2

=

1

9
5/ 2

x2

1

x5 / 2 

18 5/2
x 
5
18 5
=
x 
5

=

04. Selesaikanlah



1
2

1

2
3/ 2

x2

x3 / 2

1

 C

C

4 3/ 2
C
x
3
4
x3  C
3

(2 x  x ) 2
dx
x

Jawab





1

2

(2 x  x ) 2
dx =
x

=





(2 x ) 2  2(2 x )( x)  x 2
x

4x  4x x  x2

dx

dx

 4x 4x x x2 
  dx
=  
x
x 
 x
=  (4  4 x  x) dx
=

x

 (4  4 x

= 4x 

1/ 2

4

 x) dx

x3 / 2 

1 2
x C
2

3/2
8
1
= 4x 
x3  x 2  C
3
2

Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

3