03 Menghitung Integral dengan Aturan Substitusi

TEKNIK PENGINTEGRALAN

B. Menghitung Integral dengan Aturan Substitusi

Terkadang penyelesaian integral



f(x)dx memerlukan teknik-teknik tertentu. Salah satu diantara teknik itu adalah dengan integral substitusi. Integral substitusi merupakan proses balikan (invers) dari turuna pangkat.

Seperti diketahui jika y = aUn, maka y’ = na.Un1.U '

Sehingga jika y = (4x5)3 maka y’ = 3(4x5)31.(4) = 12(4x5)2 Dengan demikian, haruslah



12(4x5)2 dx = (4x5)3 + C

Namun demikian, proses selengkapnya harus menggunakan aturan substitusi, yakni sebagai berikut :

Misalkan u = 4x – 5 , maka

dx du

= 4. sehingga dx =

4 du

Jadi :



12(4x5)2 dx =



4 . 12u2 du

=



3u 2 du = 2 1

3 3 _

u + C = u3 + C = (4x5)3 + C

Untuk pemahaman lebih lanjut, pelajarilah contoh-contoh soal berikut ini : 01. Tentukanlah hasil dari :

(a)



4(2x3)5dx (b)



30x2(2x36)4dx

Jawab

(a)



4(2x3)5dx = …..? Misalkan u = 2x – 3 , maka

dx du

= 2. sehingga dx =

2 du

Sehingga :



4(2x3)5 dx =



2 . 4u5 du

=



2u 5du = 5 1

6

2 _

= 6 3 1

u + C

= (2 3)6 3

1



x + C (b)



30x2(2x36)4dx = …..?

Misalkan u = 2x3 6 , maka

dx du

= 6x2. sehingga dx = 2 6x

du

Sehingga :



30x2(2x36)4dx =



2 4 ₂ 6 . 30

x du u x =



5u 4 du = 4 1

5

5 _

u + C = u5 + C

= (2x36)5 + C 02. Tentukanlah hasil dari

(a)



 

 _dx

) 5 x 8 2 x 2 (

) 4 x 2 (

3

(b)







dx x

) 3 x 2 (

2 4 1

Jawab (a)



 

 _dx

) 5 x 8 2 x 2 (

) 4 x 2 (

3 = …..?

Misalkan u = 2x2 8x5 , maka

dx du

= 4x8. sehingga dx =

8 4x

du

Sehingga :



 

 _dx

) 5 x 8 2 x 2 (

) 4 x 2 (

3 =







8 4 . 3

) 4 2 (

x du

u

x

=



 

) 2 ( 4 . ) 2 ( 2

3 _x

du u

x

=



 

) 2 ( 4 . ) 2 ( 2

3 _x

du u

x

=



4 . 2

3 du u

=



u .du 2

1 3

=

  

 

2 2 1 . 2 1

= 2 4 1 _

 u + C = (2 2 8 5) 2

4

1 _

 

 x x + C

=

2 2

) 5 8 2 ( 4

1

  

x x

+ C

(b)







dx x

) 3 x 2 (

2 4 1

= …..?

Misalkan u = 2x15 , maka

dx du

= 2x2. sehingga dx = ₂ 2   x

du

Sehingga :







dx x

) 3 x 2 (

2 4 1

=



 _

 2

4 2

2 .

.

x du u

x

= 



u du 2

1 4

=

   

 5

5 1 . 2 1

u + C

= 5

10 1

u

 + C = (2 1 3)5

10 1



 x + C 03. Tentukanlah hasil dari

(a)



sinx.cos4x.dx (b)



cos3x[6sin23x4sin3x3]dx Jawab

(a)



sinx.cos4x.dx = …..? Misalkan u = cos x , maka

dx du

= –sin x. sehingga dx =

x du sin



Sehingga :



sinx.cos4x.dx =



 x

du x

u

sin . . sin 4

= 



u

4. du

= . 5 5 1

u

 + C = .cos5 x

5 1

 + C

(b)



cos3x[6sin23x4sin3x3]dx = …..? Misalkan u = sin 3x , maka

dx du

= 3.cos 3x. sehingga dx =

x du

3 cos 3



cos3x[6sin23x4sin3x3]dx =



 

3cos3x du 3] 4u 6

[ 3 cos x u2

=



[6 4u3]du 3

1 ₂

u =

  

 _{u  u 3u}

2 4 . 3 6 3

1 3 2 _{+ C}

=



2.u 2u 3u



3

1 _{3 2}

+ C

=

u

3 u2u

3 2 . 3 2

+ C

= x sin x sinx 3

2 sin 3

2 _{3 2}



 + C

04. Tentukanlah hasil dari



sin3x.dx Jawab



sin3x.dx =



sin2 x. sinx.dx =



(1cos2 x). sinx.dx Misalkan u = cos x , maka

dx du

= –sin x. sehingga dx =

x du sin



Sehingga :



sin3x.dx =



(1cos2 x). sinx.dx =







x du x

u

sin . sin

). 2

1

(

= 



(

1



u

2).du

=

  

 

 _. 3

3 1

u

u + C = .u3u

3 1

+ C

= .sin x sinx 3

1 3 _{ + C}

05. Tentukanlah hasil dari



12x.cos(3x24).sin4(3x2 4).dx Jawab

Misalkan u = sin(3x2 4) , maka

dx du

= 6x.cos(3x2 4). sehingga dx =

) 4 3 cos( .

6x x2 

du Sehingga :



12x.cos(3x2 4).sin4(3x2 4).dx =



 

) 4 6x.cos(3x

du ).

4 3 cos( . 12

2

4 2

u x

x =



2.

u

4du = . 5

5 2

u + C

= .sin (3 4) 5

2 5 2_

x + C

Bentuk lain dari pengintegralan substitusi trigonometri adalah pengintegralan yang memuat bentuk-bentuk : a2x2 , a2 x2 dan x2a2

Pengintegralan bentuk-bentuk diatas menggunakan teknik-teknik substitusi yang sedikit berbeda dengan teknik substitusi sebelumnya, yakni

Bentuk a2 x2 disubstitusikan dengan t = a.sin x Bentuk a2 x2 disubstitusikan dengan t = a.tan x Bentuk x2a2 disubstitusikan dengan t = a.sec x

Untuk lebih jelasnya, akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini : 06. Tentukanlah hasil dari

(a)



16x2 dx (b)

4

0

dx x 16 2





Jawab

(a)



16x2 dx = …..?

Misalkan x = 4.sin t maka

dt dx

= 4.cos t Jadi dx = 4.cos t dt

sehingga



16x2 dx

= 16 (4.sin ) 4.cos t dt 2



 t

=



1616.sin2t 4.cos t dt =



16(1sin2t) 16.cos t dt =



4 cos2t 4.cos t dt =



4.cost .4.cos t dt = 16



cos2tdt

= 16 (1 cos2 )dt 2

1



 t

= (t sin 2t) C

2 1

= 8(t (2.sint.cost) C

2 1





= 8(t  sint.cost)  C

Karena x = 4.sin t maka sin t =

4 x

sehingga t = arc sin

4 x

dan cos t = 4 16x2

Jadi



16x2 dx =

4 16 4 x 4 x sin

(arc ) C

8

2

 

 x

= 16

2 x 4 x sin

8arc  x2  C

Jika dinyatakan dalam bentuk umum, dan dengan mengikuti langkah-langkah pada soal di atas maka dapat diperoleh bentuk khusus dari pengintegralan



a2 x2 dx , yaitu a x C

2 x a x arcsin 2 a dx x

a 2 2

2 2

2_{    }



(b)

4 0

dx x 16 2



 = 16

2 x 4 x sin

8arc  x2

= 16 0

2 0 4 0 sin 8arc 4

16 2 4 4 4 sin

8arc 2 2

  

 _{ }

  

 _{  }

= [8arcsin1  2(0)] [8arcsin0  (0) 16]

= ) 0



8(0) 0



2

8.( 

  

  _{ }

= 4

07. Tentukanlah hasil dari



94x2 dx Jawab

dx x 4

9 2



 = 4x dx

4

4(9) 2





= x dx

4 9 .

4 2





= 4 . 3 x2 dx

2



_ _ 

2

16x

t

x 4

0

= (3/2) x C 2 x 3/2 x arcsin 2

(3/2)2 _{2 2}

  

= x C

4 9 2 x 3/2 x arcsin 2 9/4 ₂   

= C

4 4x 4 9 2 x 3 2x arcsin 8 9 2   

= C

2 2 4x 9 . 2 x 3 2x arcsin 8 9   

= . C

4 x 3 2x arcsin 8 9 2 4x 9   

08. Tentukanlah hasil dari

2 x 9 2 x dx



_ Jawab

Misalkan x = 3.sin t maka

dt dx

= 3.cos t Jadi dx = 3.cos t dt

sehingga 2 x 9 2 x dx



_ = t t dt t



_{(3sin )}2 _{9(3sin )}2

. cos 3 = t t dt t



_9sin2 _{. 99sin}2

. cos 3 = t t dt t



_ ) sin 1 ( 9 . sin 9 . cos 3 2 2 = t t dt t



2 2

cos . 3 . sin 9 . cos 3 = t t dt t



_9sin3.cos_.3.._cos

2 =

t dt



_9sin2 = csc dt

9

1 2



t

= .cot t C

9 1

 

Karena x = 3.sin t maka sin t =

3 x

sehingga cot t = x

x2 9



2

9x

t

x

Jadi 2 x 9 2 dx



_ x

= .cot C

9 1  t = x x2 9 . 9 1 

 + C

= x x 9 3 2 9

 + C

09 Tentukanlah hasil dari

2 x 4 2 x dx



_ Jawab

Misalkan x = 2tan maka dx = 2.sec2 d Sehingga 2 x 4 2 x dx



_ = 2 ) tan 2 ( 4 2 ) tan 2 ( d 2 2sec



_{ }  _ = 2 ) tan 2 ( 4 2 ) tan 2 ( d 2 2sec



_{ }  _ = 2 tan 4 4 2 tan 4 d 2 2sec



_{ }  _ = ) 2 tan 4(1 2 tan 4 d 2 2sec



_ _ _ = 2 4sec 2 tan 4 d 2 2sec



_   _ = sec 2 . 2 tan 4 d 2 2sec



_ _

= d

2 tan sec 4 1   



= d

2 cos sin cos 1 4 1            



= d

2 sin cos 4 1   



Misal u = sin maka



d du

= cos  sehingga d =

 cos du Jadi 2 x 4 2 x dx



_ = cos du 2 u cos 4 1



 _

= u C 4

1 ₁



 

= C

u 4

1

 

= C

sin 4

1

  

Misalkan x = 2tan maka : tan =

2 x sin =

2 x 4

x



Jadi :

2 x 4 2 x

dx



_ = C

sin 4

1

 



=

2 x 4

x 4

1



 + C

=

x 4

2 x 4

 + C

2

x 4

2





cos3x[6sin23x4sin3x3]dx =



 

3cos3x du 3] 4u 6

[ 3 cos x u2

=



[6 4u3]du 3

1 ₂

u

=

  

 _{u  u 3u}

2 4 . 3 6 3

1 3 2 _{+ C}

=



2.u 2u 3u



3

1 _{3 2}

+ C =

u

3 u2u

3 2 . 3 2

+ C

= x sin x sinx

3 2 sin 3

2 _{3 2}



 + C

04. Tentukanlah hasil dari



sin3x.dx

Jawab



sin3x.dx =



sin2 x. sinx.dx =



(1cos2 x). sinx.dx Misalkan u = cos x , maka

dx du

= –sin x. sehingga dx =

x du sin

 Sehingga :



sin3x.dx =



(1cos2 x). sinx.dx

=







x du x

u

sin . sin

). 2

1

(

= 



(

1



u

2).du

=

  

 

 _. 3 3 1

u

u + C

= .u3u 3

1

+ C = .sin x sinx

3

1 3 _{ + C}

05. Tentukanlah hasil dari



12x.cos(3x24).sin4(3x2 4).dx

Jawab

Misalkan u = sin(3x2 4) , maka

dx du

= 6x.cos(3x2 4). sehingga dx =

) 4 3 cos( .

6x x2 

du



12x.cos(3x2 4).sin4(3x2 4).dx =



 

) 4 6x.cos(3x

du ).

4 3 cos( . 12

2

4 2

u x

x

=



2.

u

4du

= . 5 5 2

u + C

= .sin (3 4) 5

2 5 2_

x + C

Bentuk lain dari pengintegralan substitusi trigonometri adalah pengintegralan yang memuat bentuk-bentuk : a2x2 , a2 x2 dan x2a2

Pengintegralan bentuk-bentuk diatas menggunakan teknik-teknik substitusi yang sedikit berbeda dengan teknik substitusi sebelumnya, yakni

Bentuk a2 x2 disubstitusikan dengan t = a.sin x Bentuk a2 x2 disubstitusikan dengan t = a.tan x Bentuk x2a2 disubstitusikan dengan t = a.sec x

Untuk lebih jelasnya, akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini : 06. Tentukanlah hasil dari

(a)



16x2 dx (b)

4

0

dx x 16 2





Jawab

(a)



16x2 dx = …..?

Misalkan x = 4.sin t maka dt dx

= 4.cos t Jadi dx = 4.cos t dt sehingga



16x2 dx

= 16 (4.sin ) 4.cos t dt

2



 t

=



1616.sin2t 4.cos t dt

=



16(1sin2t) 16.cos t dt

=



4 cos2t 4.cos t dt

=



4.cost .4.cos t dt

= 16



cos2tdt

= 16 (1 cos2 )dt 2

1



 t

= (t sin 2t) C

2 1

= 8(t (2.sint.cost) C

2 1





= 8(t  sint.cost)  C

Karena x = 4.sin t maka sin t =

4 x

sehingga t = arc sin

4 x

dan cos t =

4 16x2

Jadi



16x2 dx =

4 16 4 x 4 x sin

(arc ) C

8

2 



 x

= 16

2 x 4 x sin

8arc  x2  C

Jika dinyatakan dalam bentuk umum, dan dengan mengikuti langkah-langkah pada soal di atas maka dapat diperoleh bentuk khusus dari pengintegralan



a2 x2 dx , yaitu

a x C

2 x a x arcsin 2 a dx x

a 2 2

2 2

2_{    }



(b)

4

0

dx x 16 2



 = 16

2 x 4 x sin

8arc  x2

= 16 0

2 0 4 0 sin 8arc 4

16 2 4 4 4 sin

8arc 2 2

  

 _{ }

  

 _{  }

= [8arcsin1  2(0)] [8arcsin0  (0) 16]

= ) 0



8(0) 0



2

8.( 

  

  _{ }

= 4

07. Tentukanlah hasil dari



94x2 dx

Jawab

dx x 4

9 2



 = 4x dx

4

4(9) 2





= x dx

4 9 .

4 2





= 4 . 3 x2 dx 2



_ _ 

2

16x

t

x 4

0

= (3/2) x C 2 x 3/2 x arcsin 2

(3/2)2 _{2 2}

  

= x C

4 9 2 x 3/2 x arcsin 2 9/4 ₂   

= C

4 4x 4 9 2 x 3 2x arcsin 8 9 2   

= C

2 2 4x 9 . 2 x 3 2x arcsin 8 9   

= . C

4 x 3 2x arcsin 8 9 2 4x 9   

08. Tentukanlah hasil dari

2 x 9 2 x dx



_ Jawab

Misalkan x = 3.sin t maka dt dx

= 3.cos t Jadi dx = 3.cos t dt sehingga 2 x 9 2 x dx



_ = t t dt t



_{(3sin )}2 _{9(3sin )}2 . cos 3 = t t dt t



_9sin2 _{. 99sin}2

. cos 3 = t t dt t



_ ) sin 1 ( 9 . sin 9 . cos 3 2 2 = t t dt t



2 2

cos . 3 . sin 9 . cos 3 = t t dt t



_9sin3.cos_.3.._cos

2

=

t dt



_9sin2

= csc dt 9

1 2



t

= .cot t C

9 1

 

Karena x = 3.sin t maka sin t =

3 x

sehingga cot t =

x x2 9 

2

9x

t

x

Jadi 2 x 9 2 dx



_ x

= .cot C

9 1  t = x x2 9 . 9 1 

 + C

= x x 9 3 2 9

 + C

09 Tentukanlah hasil dari

2 x 4 2 x dx



_ Jawab

Misalkan x = 2tan maka dx = 2.sec2 d Sehingga 2 x 4 2 x dx



_ = 2 ) tan 2 ( 4 2 ) tan 2 ( d 2 2sec



_{ }  _ = 2 ) tan 2 ( 4 2 ) tan 2 ( d 2 2sec



_{ }  _ = 2 tan 4 4 2 tan 4 d 2 2sec



_{ }  _ = ) 2 tan 4(1 2 tan 4 d 2 2sec



_ _ _ = 2 4sec 2 tan 4 d 2 2sec



_   _ = sec 2 . 2 tan 4 d 2 2sec



_ _

= d

2 tan sec 4 1   



= d

2 cos sin cos 1 4 1            



= d

2 sin cos 4 1   



Misal u = sin maka

 d du

= cos  sehingga d =

 cos du Jadi 2 x 4 2 x dx



_ = cos du 2 u cos 4 1



 _

= u C 4

1 ₁   

= C

u 4

1  

= C

sin 4

1   

Misalkan x = 2tan maka : tan =

2 x

sin =

2 x 4

x 

Jadi :

2 x 4 2 x

dx



_ = C

sin 4

1  



=

2 x 4

x 4

1 

 + C

=

x 4

2 x 4

 + C

2 x 4

2

