DIKTAT METODE NUMERIK - eprints3

  M ETOD E N UM ERI K D isusun ole h I r . Su dia di, M .M .A.E. I r . Riz a n i Te gu h , M T

SEKOLAH TI N GGI M AN AJEM EN I N FORM ATI KA D AN KOM PU TER

GLOBAL I N FORM ATI KA– M D P

  

2 0 1 5

KATA PENGANTAR

  Per t ama-t ama penulis mengucapkan puji dan syukur kehadir at Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala limpahan r ahmat Nya, hingga Diktat Metode Numer ik ini dapat diselesaikan. Mudah-mudahan diktat ini dapat membantu mahasisw a STMIK Global Infor mat ika MDP dan AMIK MDP dalam mengikuti mat a kuliah Metode Numer ik maupun mat a kuliah yang ber kaitan.

  Penulis mengucapkan ter imakasih dan menyampaikan penghar agaan yang set inggi- tingginya pada Ketua STMIK Global Infor mat ika MDP dan Dir ekt ur AMIK MDP yang selalu member ikan dor ongan baik pada penulis maupun pada r ekan-r ekan dosen lainnya untuk menyusun mat er i kuliah, baik dalam bentuk diktat atau buku. Dor ongan ter sebut telah menambah semangat penulis dalam menyelesaikan tulisan ini. Ucapan ter imakasih juga penulis sampaikan pada r ekan-r ekan dosen yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan diktat ini. Mudahan-mudahan dengan adanya dor ongan dan dukungan yang diber ikan pada penulis akan dapat dihasilkan diktat lain dalam w akt u singkat .

  Meskipun telah ber hasil dit er bitkan, penulis menyadar i bahw a diktat ini masih sangat seder hana dan tentu masih banyak kekur angan dan kelemahannya. Oleh kar ena itu penulis menghar apkan sar an dan kr itik yang membangun dar i pembaca sekalian, sehingga dapat dihasilkan diktat yang lebih baik pada masa yang akan datang. Sar an, kr itik dan kor eksi dapat disampaikan pada alamat ,

  

sudiadi@stmik-mdp.net atau r izani@mdp.ac.id

  Akhir nya penulis mengucapkan selamat belajar kepada selur uh mahasisw a STMIK Global Infor mat ika MDP. Mudahan-mudahan sukses selalu menyer t ai saudar a-saudar a.

  Palembang, 6 Apr il 2015 Penulis, Ir . Sudiadi, M.M.A.E.

  Ir . Rizani Teguh, MT DAFTAR ISI KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii BAB

  I Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

  1.1 Definisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

  1.2 Per bedaan Metode Analit ik dan Metode Numer ik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Hampir an dan Galat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 II Atur an Pembulatan dan Angka Bena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

  2.1 Angka Bena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

  2.2 Atur an-Atur an Tentang Angkan Benasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

  2.3 Penulisan Angka Bena Dalam Not asi Ilmiah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

  2.4 Atur an Pembulatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

  2.5 Atur an-Atur an Pada Oper asi Ar it mat ika Angka Bena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 III Hampir an dan Galat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9 3.1 Definisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9

  3.2 Jenis-Jenis Galat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 IV Solusi Per samaan dan Sistem Per samaan Non-Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  14 4.1 Akar -Akar Per samaan Non-Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  14 4.2 Metode Penyelesaian Per samaan Non-Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  14 4.3 Sistem Per samaan Non-Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  28 V Sist em Per samaan Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  5.1 Solusi Sistem Per samaan Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  5.2 Metode It er asi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

  5.3 Metode It er asi Gauss-Seidel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

  5.4 Konver gensi It er asi It er asi Jacobi dan Gauss-Seidel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

  VI Pencocokan Kur va . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

  6.1 Definisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.2 Inter polasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  37 6.3 Regr esi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  50 VII Differ ensiasi Numer ik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

  7.1 Pendahuluan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

  7.2 Polinomial Pencocokan Kur va. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7.3 Metode Selisih New ton-Gr egor y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  65 VIII Integr asi Numer ik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8.1 Pendahuluan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  69 8.2 Metode Manual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  69 8.3 Polinomial Pencocokan Kur va . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  70

  8.4 Atur an Tr apesium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

  8.5 Atur an Titik Tengah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.6 Atur anSimpson 1/ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  75

  8.7 Atur an Simpson 3/ 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

  8.8 At ur an Integr asi Numer ik untuk

  h yang Ber beda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

  8.9 Metode New ton-Cot es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.10 Kuadr at ur Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  83 IX Per samaan Differ ensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

  9.1 Jenis-jenis Per samaan Differ ensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

  9.2 Metode Penyelesaian Per samaan Differ ensial Biasa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Daft ar Bacaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

  BAB I PENDAHULUAN

  1.1 Definisi Metode numer ik adalah teknik untuk menyelesaikan per masalahan-per masalahan yang difor mulasikan secar a mat ematis dengan menggunakan oper asi hitungan ( arithmatic ) yaitu oper asi t ambah, kur ang, kali, dan bagi.

  Alasan pemakaian met ode numer ik adalah banyak per masalahan mat ematis tidak dapat diselesaikan dengan met ode analit ik. Jika ter dapat penyelesaian secar a analit ik, mungkin pr oses penyelesaiannya sangat r umit, sehingga tidak effisien. Contoh 1.1

  a ) Menentukan akar -akar polynomial

  30,2 x 7 + 1,25 x 5 – 100 x 4 + 15 x 3 – 64 x 2 – x + 31 = 0

  b ) Menentukan akar -akar per samaan b ) Menentukan akar -akar per samaan

  1.2 Per bedaan Metode Analitik dan Metode Numer ik Per bedaan antar a met ode analit ik dan met ode numer ic dapat dijelaskan sebagai ber ikut .

  a . Solusi dar i met ode numer ik selalu ber bentuk angka. Sedangkan pada met ode analit ik

  biasanya dalam bentuk fungsi mat emat ik yang selanjut nya dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka at au numer ik. . Solusi dar i met ode numer ik menghasilkan solusi hampir an. Sedangkan met ode

  b analitik menghasilkan solusi sejati.

  1.3 Hampir an dan Galat Hampir an, pendekat an, atau apr oksimasi ( approximation ) didefinisikan sebagai nilai yang mendekat i solusi sebenar nya at au sejat i ( exact solution ) . Sedangkan galat atau kesalahan ( error ) didefinisikan sebagai selisih nilai sejati dengan nilai hampir an.

  Contoh 1.2 Tentukan solusi dar i integr asi-t entu ber ikut dengan menggunakan met ode numer ik.

  Penyelesaian Sebelum menentukan solusi menggunakan metode numer ik, per t ama-t ama kita tentukan solusi dengan met ode analit ik untuk mendapatkan nilai sejati.

  Solusi analitik dalam Nilai numerik didapat dengan bentuk fungsi matematik mengevaqluasi fungsi matematik untuk batas integrasi x = 0 dan x = 2

  Solusi dengan metode numer ik. Kita t elah mengetahui bahw a pr oses int egr asi f dar i x = a sampai x mer upakan

  (x) = b luas bidang yang dibatasi oleh f (x), sumbu x , gar is x = a , dan gar is x = b .

  Untuk mencar i luas bidang yang dimaksud, kita bagi bidang menjadi beber apa tr apesium, seper t i gambar ber ikut .

  f (x) f (x) = –x2 + 2x + 3 a b c d x

• –1 0 1/2 1 3/2 2 3

  Gambar 1.1 Metode Tr apesium

  Luas bidang yang akan dicar i =

  a + b + c + d

  Solusi hampir an = a

• b + c + d

  = 27/ 16 + 31/ 16 + 31/ 16 + 27/ 16 = 116/ 16 = 29/ 4

  Galat = solusi sejati – solusi hampir an = 22/ 3 – 29/ 4 = 1/ 12 Galat solusi hampir an dapat diper kecil dengan jalan memper keci l ukur an lebar tr apesium, sehingga jumlah tr apesium lebih banyak. Ar t inya meskipun met ode numer ik menghasilkan solusi hampir an, akan tetapi tingkat akur asinya dapat ditingkat kan dengan mengubah ukur an par ameter nya.

  BAB II ATURAN PEMBULATAN DAN ANGKA BENA Significan Figure

  2.1 Angkan Bena ( ) Angka bena, disebut juga sebagai angka penting atau angka signifikan adalah jumlah angka yang digunakan sebagai bat as minimal tingkat keyakinan. Angka bena ter dir i dar i angka past i dan angka taksir an. Angka taksir an ter let ak pada akhir angka signifikan.

  Contoh 2.1 Pada bilangan 27,63; angka 3 adalah angka taksir an

  2.2 Atur an-atur an tentang angka bena

  a ) Setiap angka yang bukan nol pada suat u bilangan adalah angka bena

  Contoh 2.2 Bilangan 14,256 adalah bilangan yang ter dir i dar i 5 angka bena.

  Bilangan 43,12375 adalah bi langan yang ter dir i dar i 7 angka bena.

  

b ) Setiap angka nol yang t er let ak di antar a angka-angka bukan nol adalah angka bena.

  Contoh 2.3 Bilangan 7000,2003 adalah bilangan yang t er dir i dar i 9 angka.

  

c ) Setiap angka nol yang t er let ak di antar a angka-angka bukan nol adalah angka bena.

  Contoh 2.4 Bilangan 7000,2003 adalah bilangan yang t er dir i dar i 9 angka bena.

  d ) Angka nol yang ter let ak di belakang angka bukan nol yang ter akhir dan di belakang tanda desimal adalah angka bena.

  Contoh 2.5 Bilangan 23,50000 adalah bi langan yang ter dir i dar i 7 angka bena.

  Bilangan 278,300 adalah bilangan yang ter dir i dar i 6 angka bena. Contoh 2.6 Ber dasar kan atur an c dan d , maka Bilangan 270,0090 memiliki 7 angka bena.

  Bilangan 0,0090 memiliki 2 angka bena. Bilangan 0,001360 memiliki 4 angka bena.

  e ) Angka nol yang ter let ak di belakang angka buk an nol ter akhir dan tanpa tanda desimal bukan mer upakan angka bena.

  Contoh 2.7 Bilangan 3500000 mer upakan bilangan dengan 2 angka bena.

  Contoh 2.11

  dengan a adalah bilangan r iil yang memenuhi 1 | a |< 10 dan n adalah bilangan bulat. Ber dasar kan atur an penulisan

  ,

  Bentuk umum notasi ilmiah adalah a x 10 ⁿ

  Avogadr o) memiliki 24 angka signifikan

  b ) 1,764 x 10-1 memiliki 4 angka signifikan c ) 1,2 x 10-6 memiliki 2 angka signifikan d ) 2,78300 x 102 memiliki 6 angka signifikan e ) 9,0 x 10-3 memiliki 2 angka signifikan g ) 6,02 x 1023 ( bilangan

  ) 4,3123 x 101 memi liki 5 angka signifikan

  a

  2.3 Penulisan angka bena dalam notasi ilmiah Jumlah angka bena akan ter lihat dengan past i bila bilangan dit ulis dalam notaasi ilmiah ( scientific notation ) . Misalnya t etapan dalam kimia dan fisika at au ukur an jar ak dalam ast r onomi.

  f ) Angka nol yang ter let ak di depan angka bukan nol yang per t ama bukan mer upakan angka bena.

  Per hatikanlah bahw a angka 0 bisa menjadi angka bena atau bukan. Misal pada bilangan 0.001360; tiga buah angka nol per t ama bukan angka bena, sedangkan 0 yang ter akhir adalah angka bena. Pengukur an dilakukan sampai ketelit ian 4 digit.

  Contoh 2.10 1256 adalah bilangan yang mempunyai 4 angka signifikan 1256 adalah bilangan yang mempunyai 3 angka signifikan

  h ) Untuk menunjukkan jumlah angka bena, kita dapat member i t anda pada angka yang mer upakan bat as angka bena dengan gar is baw ah, gar is at as, at au cetak tebal.

  Contoh 2.9 Bilangan 7000, mer upakan bilangan dengan 5 angka bena.

  g ) Semua angka nol yang t er let ak di belakang angka bukan nol yang t er akhir , dan ter let ak di depan t anda desimal mer upakan angka bena.

  Bilangan 0,1764 mer upakan bilangan dengan 4 angka bena. Bilangan 0,0000012 mer upakan bilangan dengan 2 angka bena.

  Contoh 2.8 Bilangan 0,0000352 mer upakan bilangan dengan 3 angka bena.

i ) 1,5 x 107 memiliki 8 angka signifikan ( jar ak bumi -matahar i)

  notasi ilmiah, maka bilangan 0,7 x 103; 12 x 107; dan bilangan –23,4 x 107 t idak ter masuk notasi ilmiah kar ena nilai a tidak memenuhi 1 | a |< 10. Contoh 2.12 Bilangan 17500000 jika dit ulis dalam notasi ilmiah menjadi 1,75 x 107 Bilangan –0,0000000187 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi –0,87 x 10–8 Bilangan 900000000000 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi 9 x 1012.

  2.4 Aturan Pembulatan Pembulatan suatu bilangan ber ar t i menyimpan angka bena dan membuang bukan angka bena dengan mengikuti at ur an-at ur an ber ikut:

  a ) Tandai bilangan yang ter masuk angka signifikan dan angka t idak signifikan.

  Contoh 2.12 Empat angka bena dar i bilangan 16,7321 adalah

  b ) Jika digit per tama dar i bukan angka bena lebih besar dar i 5, maka digit ter akhir dar i angka bena dit ambah 1. Selanjutnya buang bukan angka bena.

  Contoh 2.13 Jika bilangan 23,472 dibulatkan menjadi t iga angka signifikan, maka dit ulis menjadi 23,5

  

c ) Jika digit per t ama dar i bukan angka bena lebih kecil dar i 5, maka buang bukan

angka bena.

  Contoh 2.14 Jika bilangan 23,674 dibulatkan menjadi empat angka signifikan, maka dit ulis menjadi 23,67

  d ) Jika digit per t ama dar i bilangan bukan angka bena sama dengan 5, maka:

• Jika digit t er akhir dar i angka signifikan ganjil, maka digit ter akhir angka signifikan dit ambah 1. Selanjut nya buang angka t idak signifikan.

  Contoh 2.15 Jika bilangan 37,759 dibulatkan menjadi t iga angka bena, maka dit ulis menjadi 37,8

• Jika digit t er akhir dar i angka bena mer upakan bilangan genap genap, maka buang bukan angka bena.

  Contoh 2.16 Jika bilangan 79,859 dibulatkan menjadi t iga angka bena, maka dit ulis menjadi 79,8

  2.5 Atur an-atur an pada Oper asi Ar itmatika Angka Bena

  2.5.1 Penjumlahan dan pengur angan Angka bena Bukan angka bena 1 6 , 7 3 2 1

  " Hasil penjumlahan atau pengurangan hanya boleh mempunyai angka dibelakang

koma sebanyak angka di belakang koma yang paling sedikit pada bilangan-

bilangan yang dilakukan operasi penjumlahan atau pengurangan".

  Contoh 2.17 2,34 + 0,345 = 2,685 (dibulatkan menjadi 2,68) 34,31 + 2,165 = 36,475 (dibulatkan menjadi 36,48) 40,55 + 3,1 + 10,222 = 53,872 (dibulatkan menjadi 53,9) 14,2294 – 2,37 = 11,8594 (dibulatkan menjadi 11,86)

  2.5.2 Perkalian dan pembagian:

" Hasil perkalian atau pembagian hanya boleh mempunyai angka bena sebanyak

bilangan dengan angka bena paling sedikit".

  Contoh 2.18 (32,1 × 1,234) ÷ 1,2 = 33,0095

Bilangan yang mempunyai angka signifikan paling sedikit adalah 1,2 (2 angka

signifikan). Jadi hasil perkalian dan pembagian di atas dibulatkan menjadi 33 (2 angka signifikan). Contoh 2.19 Tulis hasil perkalian dan pembagian berikut dalam jumlah angka signifikan yang benar. a

  ) 32,2 x 7,1 = 228,62 b ) 3,34 x 444,76 = 1485,4984 c ) 84,22 2,1 = 40,1048 d ) 76,3 4, 88888 = 15,668 e

  ) 67,3333 x 2,5 x 3,555555 = 598,5181 Penyelesaian a

  ) 228,62 ditulis menjadi 230 b ) 1485,4984 ditulis menjadi 1480 c ) 40,1048 ditulis menjadi 4,0 x 101 d

  ) 15,668 ditulis menjadi 15,7 e ) 598,5181 ditulis menjadi 6,0 x 102

  2.5.3 Kombinasi Perkalian dan/atau pembagian dengan Penjumlahan dan/atau Pengurangan Jika terdapat kombinasi operasi aritmatika seperti: atau

maka hasil operasi aritmatika di dalam kurung harus dibulatkan terlebih dahulu

sebelum melakukan operasi selanjutnya.

  Contoh 2.20 Selesaikan

[15,2 x (2,8 x 10–4 )] + [(8,456 x 10–4) 0,177]

[4,256 x 10–3 ] + [4,7774011… x 10–3] Bulatkan besaran-besaran di dalam kurung [4,3 x 10–3 ] + [4,78 x 10–3] 9,08 x 10–3 Bulatkan 9,1 x 10–3

  Latihan Selesaikan

  BAB III HAMPIRAN DAN GALAT

  3.1 Definisi Hampir an, pendekat an atau apr oksimasi ( approximation ) didefinisikan sebagai nilai yang mendekat i solusi sejati ( exact solution ) . Galat atau kesalahan ( error ) sebenar nya ( ) didefinisikan sebagai selisih solusi sejati ( x ) dengan solusi hampir an ( x ) ,

  ( 3.1)

  = x – x

  Galat atau kesalahan ( error r elatif sebenar nya ) didefinisikan sebagai per bandingan

  ) ( r

  antar a kesalahan sebenar nya ( ) dengan solusi sejati ( x ) , Contoh 3.1 Misal hasil pengukur an panjang sebuah jembatan dan paku masing-masing adalah 9.999 dan 9 cm. Jika ukur an panjang sebenar nya adalah 10.000 dan dan 10 cm, tentukan:

  a ) Kesalahan sebenar nya b Kesalahan r elatif untuk setiap kasus )

  Penyelesaian

  a ) Kesalahan sebenar nya ( ) pada pengukur an jembat an,

  = 10.000 – 9.999 = 1 cm Kesalahan sebenar nya ( ) pada pengukur an paku,

  = 10 – 9 = 1 cm _r

  b ) Kesalahan r elatif sebenar nya ( ) pada pengukur an jembat an adalah _r

  Kesalahan r elatif sebenar nya ( ) pada pengukur an jembat an adalah Walaupun kedua pengukur an mempunyai kesalahan yang sama, yaitu 1 cm, tapi kesalahan r elatif sebenar nya jauh lebih kecil pada pengukur an jembatan. Ar t inya pengukur an yang dilakukan pada jembat an jauh lebih baik dibandingkan pengukur an yang dilakukan pada paku. Dalam dunia nyat a, kita jar ang mendapatkan infor masi mengenai ukur an yang sebenar nya dar i suatu benda. Car a untuk mengatasi hal ini adalah dengan car a membandingkan kesalahan sebenar nya ( ) dengan solusi hampir an ( x ) untuk mendapatkan nilai kesalahan r elatif hampir an, yaitu Akan tetapi kita tetap masih menghadapi kendala, kar ena nilai kesalahan ( ) sebenar nya membut uhkan infor masi tentang solui sejati ( x ) . Oleh kar ena it u kita hitung nilai kesalahan r elatif hampir an dengan membandingkan antar a selisih it er asi sekar ang dengan iter asi sebelumnya t er hadap nilai it er asi sekar ang, yaitu

  s

  Bat as t oler ansi kesalahan ( ) dit entukan oleh jumlah angka bena yang akan kita gunakan. Hubungan antar a t oler ansi kesalahan ( s ) dan angka signifikan ( n) adalah, _{s = ( 0,5 x 102– n) % ( 3.5)} Pada w akt u melakukan komputasi, nilai kesalahan yang ter jadi mungkin ber nilai negatif. Akan tetapi biasanya kita tidak memper t imbangkan apakah hasilnya positif atau negatif, tapi lebih memper hat ikan har ga absolutnya, apakah masih lebih besar atau sudah lebih kecil dar i bat as t oler ansi kesalahan ( s ) . Jika har ga abolut kesalahan r elat if hampir an ( r h ) lebih kecil dar i bat as t oler ansi kesalahan ( s ) at au _{r h s}

  | | < ( 3.6) maka komputasi selesai.

  3.2 Jenis-jenis Galat Fakt or -fakt or yang menyebabkan kesalahan pada metode numer ik antar a lain:

  a ) Kesalahan kar ena baw aan data ( inherent error ) b ) Kesalahan kar ena pembulatan ( round-off error ) c Kesalahan kar ena pemot ongan ( truncation error )

  )

  3.2.1 Kesalahan kar ena baw aan data ( inherent error ) Kesalahan baw aan data mer upakan kesalahan dar i nilai data. Misal kekelir uan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan kar ena kur angnya penger t ian mengenai hukum-hukum fisik dar i data yang diukur .

  3.2.2 Kesalahan kar ena pembulatan ( round-off error ) Kesalahan kar ena pembulatan ( round-off error ) ter jadi kar ena tidak kita memper hitungkan beber apa angka ter akhir dar i suatu bilangan; ar t inya solusi hampir an digunakan untuk menggantikan solusi sejati ( eksak) .

  Contoh 3.2 Tulis bilangan ber ikut menjadi t iga angka bena. Penyelesaian 8632574 dapat dibulatkan menjadi 8630000

  3,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14

  3.2.3 Kesalahan kar ena pemotongan ( truncation error ) Kesalahan pemot ongan ter jadi kar ena adanya pr oses komputasi tak-ber hingga diganti dengan pr oses ber hingga. Misal pada der et Taylor atau McClaur in

  Der et Taylor dan Der et McClaur in Misal f , dan semua tur unannya, yaitu f , f , …, f (n) kontinu pada selang [a, b]. Jika x [a, b], maka untuk nilai-nilai x di sekitar x dan x [a, b], f(x) dapat diper luas ( diekspansi) ke dalam der et Taylor , Jika dimisalkan x – x = h , maka Untuk alasan pr aktis, pr oses komputasi dilakukan sampai pada suku ke n saja.

  Ar t inya ada bagian atau beber apa suku sisanya yang dipot ong dan tidak dimasukkan ke dalam pr oses komputasi. Suku-suku yang diabaikan ter sebut dikenal sebagai Residu; dan mer upakan galat kar ena pemot ongan. Jika faktor r esidu dimasukkan ke dalam der et Taylor , maka per samaan ( 1.1) menjadi,

  

R n (x) adalah Residu, dan mer upakan besar galat yang timbul akibat pemot ongan.

R dihitung dengan r umus, _{n (x)}

  Kar ena nilai c yang tepat tidak diketahui, maka kita per lu menghitung nilai _n maksimum | R | untuk menghitung besar nya galat, yait u Contoh 3.3 Tentukan nilai hampir an dar i ln sampai or de ke 4 di sekitar titik x 1 dan

  (0,60) =

  ber ikan nilai galat hampir an maksimum!

  Penyelesaian f f

  (x) = ln x (1) = 0 f (x) = 1/x f (1) = 1 f (x) = –1/x2 f (1) = –1 f (x) = 2/x3 f (1) = 2 f (4)(x) = –6/x4 f (4)(1) = –6 f (5)(x) = 24/x5 f (5)(c) = 24/c5 Galat pemotongan maksimum Contoh 3.4

Tentukan hampiran fungsi f (x) = cos x sampai suku orde ke 6 di sekitar x = 0.

Penyelesaian Karena x = 0, maka

  f f (x) = cos x (0) = 1 f (x ) = –sin x f (0) = 0 f (x) = –cos x f (x) = –1 f (x) = sin x f (x) = 0 f (4)(x) = cos x f (4)(x) = 1 f (5)(x) = –sin x f (5)(x) = 0 f

  (6)(x) = –cos x f (6) (x) = –1 f

  (7)(x) = sin x f (7)( (x) = 0 f (8)(x) = cos x f (8) (x) = 1 f (9)(x) = –sin x f (9) (x) = 0 f (10)(x) = –cos x f (10) (x) = –1 Hampiran fungsi f (x) = cos x sampai suku orde ke 6 di sekitar x = 0 adalah Hampiran cos( /4) sampai suku orde ke 6 di sekitar x = 0 adalah

  Latihan Tentukan hampiran fungsi f (x) = sin x sampai suku orde ke 8 di sekitar x = 0.

  BAB IV SOLUSI PERSAMAAN DAN SISTEM PERSAMAAN NON-LINIER

  4.1 Akar -akar Per samaan Non-Linier Dalam bidang Sains dan Rekayasa kit a ser ing memer lukan untuk mencar i akar -akar ( solusi) dar i suatu per samaan. Jika per samaan dalam bentuk seder hana, kit a dengan mudah dapat menentukan akar -akar nya. Akan tetapi banyak per samaan yang mempunyai bentuk non-linier yang sulit atau bahkan belum ada penyelesaiannya, seper t i yang dijelaskan pada bab 1, maka kita tidak bisa menentukan solusi sejati ( exact solution ) . Dengan met ode numer ik kit a dapat menentukan akar -akar per samaan secar a pendekat an, atau hampir an, atau apr oksimasi ( approximation ) .

  4.2 Metode Penyelesaian Persamaan Non-Linier Secar a gar is besar , met ode yang digunakan untuk menentukan akar -akar atau penyelesaian per samaan non-linier dikelompokkan menjadi met ode, yaitu met ode ter t utup dan ter buka.

  4.2.1 Metode Tert utup atau Metode Pengur ung ( Bracketing Method ) Metode Ter t utup disebut juga Metode Pengur ung ( bracketing method ) adalah met ode yang mencar i akar at au akar -akar di dalam selang [ a , b ]. Metode t er t utup ter dir i dar i beber apa jenis, yaitu met ode gr afis, met ode bagi dua ( bisection) , dan met ode posisi salah ( regula falsi ) .

  a ) Metode Gr afis

  Metode gr afis adalah met ode yang seder hana unt uk memper oleh hampir an nilai unt uk fungsi ( ) = 0 atau tit ik di mana gr afik fungsi memotong sb. .

  x f x x

  Misal ter dapat fungsi f ( x ) = x . Lalu kita gambar kan gr afik fungsi

  3 – x2 – 4x – 1 ter sebut pada koor dinat Kar tesius ( lihat gambar ber ikut) . y x

  O

• –2 –1

  2

  3

  1 Gambar 4.1

  Gr afik fungsi ( ) =

  f x x 3 – x2 – 4x – 1

  Dar i gambar ter sebut kita dapat memper kir akan nilai dar i akar -akar per samaan, yaitu x ^{1 = ( –1,4) , x 2 = ( –0,3) , dan x 3 = ( 2,7) .}

  Kekur angan met ode gr afik adalah hasil yang didapat mer upakan hampir an kasar . Dengan kat a lain galat ( error ) yang dihasilkan lebih besar jika dibandingkan dengan met ode lainnya. Sedangkan kelebihannya adalah dapat memper lihatkan sifat -sifat fungsi.

  f (x) f (x) x x x i x f x i x f f (x) f (x)

  (a) (b) x x x x i f

  (d) x x _{i f}

  (c) f (x) x

x x

i f

  (e)

  Gambar 4.2 Sifat-sifat fungsi Per hatikan Gambar 4.2 dan . Misal adalah fungsi yang

  (a), (b), (c), (d) f (x)

  kontinu dan tidak menyinggung sumbu x pada [ x , x ]. Jika f dan f _{i f (x i ) (x f )} mempunyai tanda yang sama; + dan + atau – dan – , maka jumlah tit ik potong f dengan sumbu x ber jumlah genap ( 0, 2, 4, …) . Lihat gambar 4.2

  (x) (a), (b), dan (c).

  Jika f (x i ) dan f (x f ) mempunyai tanda yang ber beda; + dan – atau – dan + , maka jumlah tit ik potong f (x) dengan sumbu x ber jumlah ganjil ( 1, 3, 5, …) . Lihat gambar 4.2( d ) dan (e). Contoh 4.1 Tentukan lokasi tit ik potong gr afik f (x) = sin 3x cos 2x + dengan sumbu x pada inter val [-3, 3] Penyelesaian Gambar kan gr afik f = sin

  (x) 3x + cos 2x

  Dar i Gambar 4.3 dapat diper kir ankan lokasi tit ik pot ong gr afik f (x) = sin3x +

  cos 2x dengan sumbu x pada int er val [-3, 3], yait u pada x = ( -2,9) , ( -1,6) , ( -0,3) ,

  ( 0, 9) , ( 2,2) , ( 3, 3) Gambar 4.3

  Tit ik potong gr afik f = sin dengan sumbu x

  (x) 3x + cos 2x b ) Metode Bagi Dua ( Bisection )

  Metode bagi dua disebut juga pemot ongan biner ( binary chopping ) , met ode pembagian dua ( interval halving ) , atau met ode Bolzano adalah met ode suatu jenis pencar ian nilai hampir an secar a inkr emental dengan car a membagi inter val menjadi dua bagian. Pr insip met ode bagi dua adalah mengur ung akar fungsi pada int er val [ x ] . _{i , x f} Selanjut nya inter val ter sebut ter us mener us dibagi dua hingga sekecil mungkin, sehingga nilai hampir an yang dicar i dapat ditentukan dengan tingkat akur asi t er tent u. Algor itma adalah sebagai ber ikut :

  1. Taksir batas baw ah ( x ) dan bat as at as ( x ) dengan syar at f _{i f (x i ) . f (x f ) < 0}

  2. Hit ung nilai hampir an akar dengan r umus, x _{r = (x i + x f )/2}

  3. Jika f < 0, maka x . Lanjutkan ke langkah 4

  (x i ). f (x r ) f = x r Jika > 0, maka . Lanjutkan ke langkah 4

  f (x i ). f (x r ) x i = x r Jika f = 0, maka akar = x . St op.

  (x i ). f (x r ) r 4. Hit ung nilai hampir an akar yang bar u dengan r umus pada langkah 2.

  x i x f Ingat, nilai dan/ atau adalah nilai bar u yang didapat dar i langkah 3.

  5. Jika nilai akar telah mencapai tingkat akur asi yang telah dit entukan, stop komputasi. Jika tidak kembali ke langkah 3.

  y y f (x) f (x) x f x i x i x x r r x x f x y y f (x) f (x) x r x x f x f i x i x x x r

  Gambar 4.4 Gr afik dar i Algor it ma Metode Bagi Dua

  Nilai x r dicar i dengan r umus Jumlah lelar an atau iter asi R untuk menjamin nilai solusi hampir an memiliki galat kur ang dar i bat as t oler ansi kesalahan rh adalah Contoh 4.2 Tentukan akar f = dengan menggunakan 5 angka signifikan.

  (x) e–x – x2

  Penyelesaian _s Bat as t oler ansi kesalahan = ( 0,5 x 10 2 – n ) % ( Per samaan 3.5) _{s = ( 0,5 x 102 – 5) % = 0,0005 %}

  It er asi per t ama Dengan menggunakan bantuan tabel didapat

  f ( 0) = 1 dan f ( 1) = –0.63212

  Kar ena f ( 0) . f ( 1) < 0, maka x = 0 dan x = 1 _{i f} Jumlah iter asi Jumlah iter asi lebih dar i > 17,6 Nilai hampir an akar didapat dengan r umus, 2 = ( 0 + 1) / 2 = 0,5

  x r = (x i + x f )/

  = 0.356531

  f (x r )

  Kar ena ) > 0, maka

  f (x i ) . f (x r x i = x r

  It er asi kedua Lanjut kan dengan it er asi kedua dengan menggunakan = 0,5 dan = 1

  x i x f

  = f( 0,5) = 0,356531 dan = ( 1) = –0.63212

  f (x i ) f (x f ) f

  Nilai hampir an akar didapat dengan r umus,

  x r = (x i + x f )/ 2 = ( 0,5 + 1) / 2 = 0,75 f (x r ) = f (0,75) = –0,0901

  Kar ena sh > s , maka iterasi harus dilanjutkan.

  Iterasi ketiga sampai dengan ke 18 (hasil ditabelkan) r x i x f f (x i ) f (x f ) x r f (x r ) sh (%)

  1 1 -0.63212 0.5 0.35653 -

  1 0.5 1 0.35653 -0.63212 0.75 -0.09013 33.33333

  2 0.5 0.75 0.35653 -0.09013 0.625 0.14464 20.00000 3 0.625 0.75 0.14464 -0.09013 0.6875 0.03018 9.09091 4 0.6875 0.75 0.03018 -0.09013 0.71875 -0.02924 4.34783 5 0.6875 0.71875 0.03018 -0.02924 0.70313 0.00065 2.22222 6 0.70313 0.71875 0.00065 -0.02924 0.71094 -0.01425 1.09890 7 0.70313 0.71094 0.00065 -0.01425 0.70703 -0.00679 0.55249 8 0.70313 0.70703 0.00065 -0.00679 0.70508 -0.00307 0.27701 9 0.70313 0.70508 0.00065 -0.00307 0.70410 -0.00121 0.13870 10 0.70313 0.70410 0.00065 -0.00121 0.70361 -0.00028 0.06940 18 0.70346 0.70347

  5.5E-06 -1.7E-06 0.70347

  1.9E-06 0.00027 Kar ena _{sh < s , maka iterasi dihentikan, dan akar dari f(x) = e –x – x2 adalah x =}

  0,70347

  c ) Metode Regula Falsi (False Posisition Method)

• Istilah Regula Falsi ber asal dar i bahasa latin - atau Metode Posisi Palsu ( False Posisition Method ) t er masuk met ode ter t utup atau met ode pengur ung.

  Per bedaannya dengan met ode bagi dua adalah pada car a menentukan nilai akar . Per samaannya adalah nilai akar yang dicar i dikur ung oleh inter val ter tutup [ x i , x f ]. Pada metode posisi palsu digunakan gar is lur us yang menghubungkan titik koor dinat (x i , f (x i )) dan (x f , f (x f )). Per potongan gar is yang dibuat dengan sumbu x menghasilkan t aksir an nilai akar yang dicar i. Algor itma adalah sebagai ber ikut :

  1. Taksir batas baw ah ( x i ) dan bat as at as ( x f ) dengan syar at f (x i ) . f (x f ) < 0

  2. Hit ung nilai hampir an akar dengan r umus, x r = (x i + x f )/2

  3. Jika f (x i ). f (x r ) < 0, maka x f = x r . Lanjutkan ke langkah 4 Jika f (x i ). f (x r ) > 0, maka x i = x r . Lanjutkan ke langkah 4 Jika f (x i ). f (x r ) = 0, maka akar = x r . St op.

  4. Hit ung nilai hampir an akar yang bar u dengan r umus pada langkah 2. _{i f} Ingat, nilai x dan/ atau x adalah nilai bar u yang didapat dar i langkah 3.

  5. Jika nilai akar telah mencapai tingkat akur asi yang telah dit entukan, stop komputasi. Jika tidak kembali ke langkah 3.

  y f ( x f ) x r x i x f x

• – x x

  f r f ( x i )

• – x f x i

  Gambar 4.5 Gr afik dar i Met ode Rer gula Falsi

  Contoh 4.3 Tentukan akar f (x) = ex – 8x7 dengan menggunakan 5 angka signifikan. Penyelesaian Batas toleransi kesalahan s = (0,5 x 102– n) % (Pers. 3.5) _{s = (0,5 x 102– 5) % = 0,0005% = 0,000005}

  It er asi per t ama Lakukan tebakan aw al

  x _{i = 0 dan x f = 1} f (x) = ex – 8x7 f (0) = 1 dan f (1) = –5.2817

  Kar ena f ( 0) . f ( 1) < 0, maka x i = 0 dan x f = 1

  Nilai hampiran akar didapat dengan persamaan (4.3), f (x r ) = 1,17254 Karena f (x i ) . f (x r ) > 0, maka x i = x r

  It er asi kedua Lanjut kan dengan it er asi kedua dengan menggunakan maka

  x i = 0,15919 dan x f = 1 f (x i ) = f ( 0,15919) = 1 .1 7 2 5 3 6 4 dan f (x f ) = f ( 1) = 0,0009119

  Nilai hampir an akar didapat dengan r umus,

  x 2 = ( 0,15919 + 1) / 2 = 0,579595 _{r = (x i + x f )/} f = f 0,579595 = 1,49753 (x r ) ( ) Karena f (x i ) . f (x r ) > 0, maka x i = x r

  Kar ena sh > s , maka iterasi harus dilanjutkan.

  Iterasi ketiga sampai dengan ke 18 (hasil ditabelkan) Hasil iterasi ketiga sampai iterasi terakhir ditabelkan.

r x i x f f (x i ) f (x f ) x r f (x r ) sh (%)

  1 1 -5 .2 8 1 7 2 0 .1 5 9 1 9 - 1 .1 7 2 5 4 1 0 .1 5 9 1 9 2 1 1 .1 7 2 5 4 -5 .2 8 1 7 2 0 .3 1 1 9 4 1 .3 6 3 7 8 4 8 .9 6 7 2 8 2 0 .3 1 1 9 4 1 1 1 .3 6 3 7 8 -5 .2 8 1 7 2 0 .4 5 3 1 4 1 .5 4 1 8 6 3 1 .1 6 0 5 7 3 0 .4 5 3 1 4 3 1 1 .5 4 1 8 6 -5 .2 8 1 7 2 0 .5 7 6 7 1 1 .6 1 0 4 3 2 1 .4 2 6 3 6 4 0 .5 7 6 7 1 2 1 1 .6 1 0 4 3 -5 .2 8 1 7 2 0 .6 7 5 6 2 1 .4 5 1 2 1 1 4 .6 3 9 3 6 5 0 .6 7 5 6 1 8 1 1 .4 5 1 2 1 -5 .2 8 1 7 2 0 .7 4 5 5 3 1 .0 8 3 4 1 9 .3 7 8 0 9 6 0 .7 4 5 5 3 5 1 1 .0 8 3 4 1 -5 .2 8 1 7 2 0 .7 8 8 8 5 0 .6 8 0 1 7 5 .4 9 0 6 4 1 9 0 .8 3 7 4 1 1 1 0 .0 0 0 1 3 -5 .2 8 1 7 2 0 .8 3 7 4 1 0 .0 0 0 0 6 0 .0 0 0 4 7

  Kar ena sh < s , maka iterasi dihentikan, dan akar dari f(x) = ex – 8x7 adalah

  x = 0,083741

  4.2.2 Metode Ter buka Metode ter buka adalah met ode yang menggunakan sat u, atau dua tebakan aw al yang tidak per lu mengur ung akar . Metode ter buka t er dir i dar i beber apa jenis, yaitu met ode It er asi Tit ik Tet ap, met ode New ton-Raphson, dan met ode Secant.

  a ) Metode It er asi Titik Tetap

  Metode ini juga disebut met ode seder hana, langsung, atau met ode sulih ber untun. Jika ter dapat suatu fungsi f dan kit a akan mencar i akar at au akar -akar dar i

  (x)

  fungsi t sb. ber ar t i kita har us menetapkan f (x) = 0 sedemikian sehingga x = g (x).

  Algoritma dari metode iterasi titik tetap adalah:

  1. Bentuk fungsi f (x) menjadi f (x) = 0

  2. Dari no. 1 susun menjadi bentuk x = g(x)

  3. Lakukan tebakan awal x r

  4. Hitung x r dengan menggunakan rumus x r = g(x r )

• 1 +1

  y y = x g (x) x s x x x x

  3

  

2

  1 x

  4 Gambar 4.6

  Algor it ma dar i Metode It er asi Titik Tetap Conton 4.4 Tentukan akar dar i dar i fungsi f (x) = e–x – x Penyelesaian

   f (x) = 0 e–x – x = 0 x = e–x x r = g(x r )

• 1

  Tentukan tebakan aw al x = 1 _r

  Hasil iterasi selanjutnya di tabelkan. r x r sh (%)

  5 4,006917 0,002881

  12 4,000007

  11 4,000019 8,01E-06

  10 4,000051 2,14E-05

  9 4,000137 5,7E-05

  8 4,000365 0,000152

  7 4,000972 0,000405

  6 4,002593 0,00108

  4 4,018461 0,007685

  1 - 1 0.36788 171.82818 2 0.69220 46.85364 3 0.50047 38.30915 4 0.60624 17.44679 5 0.54540 11.15662 6 0.57961 5.90335 7 0.56012 3.48087 23 0.56714 0.00039

  3 4,049344 0,02051

  2 4,132396 0,054812

  1 4,358899 0,147079

  5 -

  Konvergen dan monoton

  (x) = 0 x = g(x)

Untuk fungsi diatas ada beberapa kemungkinan untuk menyusun fungsi yang

memenuhi x = g(x), yaitu b ) x2 – 3x – 4 = 0 x(x – 3) – 4 = 0 x = 4/(x – 3) c ) x2 – 3x – 4 = 0 x = (x2 – 4)/3 r x r rh (%)

  Contoh 4.5 Tentukan akar dari dari fungsi f (x) = x2 – 3x – 4 = 0 dengan s = 0,0005 % Penyelesaian f

  3E-06

  r x _{r rh (%)}

• 5

  1 2 1,5

  2

• 4 1,5

  Konvergen

  3

• 0,57143

  6

  dan berisolasi

  4

• 1,12 0,489796

  5

• 0,97087 0,1536

  6

• 1,00733 0,036196

  7

• 0,99817 0,009182

  8

• 1,00046 0,002287

  r x r rh (%)

• 5 .0 0 0 0

  1 7 .0 0 0 0 2 8 .5 7 1 4 3

  Divergen

  2 1 5 .0 0 0 0 5 3 .3 3 3 3 3 dan monoton

  3 7 3 .6 6 6 6 7 9 .6 3 8 0 1

  4 1 8 0 7 .5 9 2 6 9 5 .9 2 4 6 0

  5 1 0 8 9 1 2 8 .9 9 3 6 9 9 .8 3 4 0 3

   Grafik Konvergensi dari metode iterasi titik tetap y = x y g

  (x) x s

x x x x

  3

  2

  1 x

  4 Gambar 4.7 Konvergen dan monoton

Gambar 4.8 Konvergen dan berosilasi

  10 x

  2 x

  5 x

  1 x

  4 x

  4 y x y= x x= g (x) x x

  2 x

  8 x

Gambar 4.9 Divergen dan berosilasi

  6 x x

  

9

x

  3

x

  5 x

  1 x

  7 x

  x

  3 y x g (x) y = x

  y x = g (x) y = x x s

x x x

  1