DIMENSI METRIK LOKAL, DIMENSI METRIK KETETANGGAAN, DAN DIMENSI METRIK KETETANGGAAN LOKAL GRAF PIRAMIDA SKRIPSI

  

DIMENSI METRIK LOKAL, DIMENSI METRIK KETETANGGAAN, DAN DIMENSI

METRIK KETETANGGAAN LOKAL GRAF PIRAMIDA

SKRIPSI

  

PANGGIH PERMONO

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA

SURABAYA

  

2016

SKRIPSI DIMENSI METRIK LOKAL ... PANGGIH P.

  Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga. Diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan seizin penulis dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini memiliki hak milik Universitas Airlangga.

  Dengan menyebut asma Allah SWT yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang. Segala puji syukur tercurahkan kepada Allah SWT atas segala nikmat dan karunia yang tercurah tanpa jeda. Shalawat serta salam senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad SAW, sebaik-baiknya pemimpin sekaligus sebaik-baiknya suri tauladan bagi kehidupan umat manusia, memberikan tuntunan hingga kita umat manusia dapat terlepas dari jaman kebodohan. Secara langsung atau tak lansung yang pasti tak lepas dari jasa beliau juga pada akhirnya penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “ Dimensi

  Metrik Lokal, Dimensi Metrik Ketetanggaan, dan Dimensi Metrik Ketetanggaan Lokal Graf Piramida” .

  Pada kesempatan ini pula penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah berperan sehingga skripsi ini dapat terselesaikan, antara lain: 1. dan Teknologi yang telah

  Universitas Airlangga serta Fakultas Sains

  memberikan fasilitas, sarana dan prasarana selama menyelesaikan S1 Matematika.

  Purwati, M.Si. selaku pembimbing II yang memberikan bimbingan, arahan serta masukan dalam penyelesaian skripsi ini.

  3. Drs. Sediono, M.Si selaku dosen wali selama menjadi mahasiswa Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.

  4. Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si. dan Dr. Windarto, M.Si. selaku dosen penguji yang senantiasa penuh kesabaran dalam memberikan saran berupa arahan dan masukan kepada penulis.

  5. Orang tua dan keluarga yang selalu memberikan doa, dukungan serta semangat sehingga menjadi motivasi dalam penulisan skripsi ini.

  6. Teman-teman Departemen Matematika 2010 Universitas Airlangga atas dukungan, motivasi serta semangat yang diberikan selama ini.

  7. Semua pihak yang tidak dapat Penyusun sebutkan seluruhnya yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini.

  Penyusun menyadari bahwa skripsi ini masih belum sempurna, sehingga saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk menyempurnakan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan pustaka dan dapat menambah informasi bagi pembaca.

  Surabaya, 9 Februari 2016 Panggih Permono Panggih Permono, 2016, Dimensi Metrik Lokal, Dimensi Metrik Ketetangaan,

  dan Dimensi Metrik Ketetanggaan Lokal Graf Piramida. Skripsi ini di bawah bimbingan Dra. Inna Kuswandari, M.Si dan Dra. Utami Dyah Purwati, M.Si.

  Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.

  ABSTRAK Graf banyak digunakan untuk memodelkan suatu objek diskrit ke dalam himpunan titik dan garis. Graf G didefinisikan sebagai himpunan berhingga tak kosong dari objek yang disebut titik (vertex) dan himpunan (yang mungkin kosong) yang elemennya merupakan pasangan tak terurut dari dua titik berbeda pada graf G yang disebut garis (edge). Beberapa hal yang dikaji dalam graf adalah dimensi metrik lokal, dimensi metrik ketetanggaan, dan dimensi metrik ketetanggaan lokal.

  Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah menemukan rumus umum dimensi metrik lokal, dimensi metrik ketetanggaan, dan dimensi metrik ketetanggaan lokal graf piramida. Dengan melakukan observasi terhadap graf piramida dengan tinggi 1 sampai piramida dengan tinggi tertentu diperoleh pola untuk himpunan pembeda lokal, himpunan pembeda ketetanggaan, dan himpunan pembeda ketetanggaan lokal. Selanjutnya dibuktikan bahwa pengambilan himpunan pembeda lokal, himpunan pembeda ketetanggaan, dan himpunan pembeda ketetanggaan lokal graf piramida tersebut merupakan pengambilan yang minimal.

  Dari langkah-langkah yang sudah dikerjakan didapatkan rumus umum dimensi metrik lokal graf piramida adalah 2. Pada pembahasan dimensi metrik ketetanggaan diperoleh dim A (Pr

  1 )= 2, sedangkan untuk Pr n dengan n>1 ⁿ + ₂ ²

  didapatkan batas atas dimensi metrik ketetanggaan adalah p untuk n genap

  ∑ _{p 2} = ⁿ ₂ ¹

• n

  1  + 

• dan p untuk n gasal, dengan x menyatakan bilangan bulat terbesar

    ∑ _{p 2}

  3

  =  

  yang lebih kecil atau sama dengan x. Pada pembahasan dimensi metrik ketetanggaan lokal, didapatkan dim A,l (Pr

  1 )=2, dim A,l (Pr 2 )=2, batas atas dim A,l (Pr 3 ) adalah 3, dan batas atas dim A,l (Pr 4 )adalah3 sedangkan untuk n>4

  didapatkan batas atas dimensi metrik ketetanggaan lokal adalah _{n 1 n 7 n 2 n 8 6} − − − − _{6 6 6}

  2 n

  4 2 n

  2

• 4 i

  ∑ ∑ ∑ ∑

  2 i untuk n=6a+1, + + + + 4 i 2 i untuk n=6a+2,

  3 _{i i i i}

  3 = = = = ⁿ ₆ ^{3 n} ₆ − − − ^{3 n} ₆ ^{2 n} ₆ ^{4 n} ₆ + + + ^{1 n} ₆ ¹

• 4 i

  2 i untuk n=6a+3, 4 i + + 2 i untuk n=6a+4, 4 i 2 i untuk ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ _{i i i i i i}

  = = = = = =

  ₆ n n ₆ 4 i + n =6b+5, dan 2 i untuk n=6a, dengan a bilangan asli dan b bilangan

  ∑ ∑ _{i i} = =

  bulat non negatif. Dalam penelitian ini bukti bahwa himpunan pembeda ketetanggaan dan himpunan pembeda ketetanggaan lokal graf piramida memiliki kardinalitas yang minimal belum cukup kuat sehingga hanya diperoleh batas atas dimensi metrik ketetanggaan dan batas atas dimensi metrik ketetanggaan lokal graf piramida. Pada penelitian selanjutnya diharapkan dapat diperoleh rumus umum dimensi metrik ketetanggaan dan dimensi metrik ketetanggaan lokal graf piramida.

  Kata Kunci: Graf Piramida, Dimensi Metrik Lokal, Dimensi Metrik Ketetanggaan, Dimensi Metrik Ketetanggaan Lokal.

  Panggih Permono, 2016, Local Metric Dimension, Adjecency Metric Dimension,

  and Local Adjecency metric dimension of pyramid graph . Tihis undergraduate

  thesis is supervised by Dra. Inna Kuswandari, M.Si and Dra. Utami Dyah Purwati, M.Si. Mathematics Department, Faculty of science and technology, Airlangga University, Surabaya.

  ABSTRACT Graf is widely used to model a discrete object to a set of vertex and edge. Graph G is defined as a nonempty finite set of objects called a vertex and the set (which may be empty) whose elements are unsorted couples from two different vertex on a graph G is called a edge. Some things that are studied in the graph is the local metric dimension, adjacency metric dimensions, and local adjacency metric dimensions.

  The purpose of this thesis is to find a common formula of local metric dimension, adjacency metric dimensions, and local adjacency metric dimensions of pyramid graph. By observation of the pyramid graph with a height of 1 to a certain high, obtained a distinguishing locally set, a distinguishing adjacency set, and a distinguishing local adjacency set of pyramid graph. Subsequently proved that the decision of a distinguishing locally set, a distinguishing adjacency set, and a distinguishing local adjacency set of the pyramid graph is minimal decision.

  Of the steps that have been done obtained a general formula of local metric dimensions of pyramid graph is 2. while for Print with n> 1 obtained the upper limit of the adjacency metric dimensions of pyramid graph with n even is ⁿ ₂ ²

• p , while the upper limit of the adjacency metric dimensions of pyramid graph

  ∑ _{p 2} = ⁿ ₂ ¹

• n

  1  + 

• with n odd is p , while x denote the largest integer value that is less

  

 

∑ _{p = 2}

  3   than or equal to x. The general formula for the local adjacency metric dimension of pyramid graph with a height of 1 is 2, while height of 2 is 2, while height of 3 is 3, while height of 4 is 3. whereas while for n> 4 obtained the upper limit of the local adjacency metric dimension is divided into 6, for n=6a+1 is _{n 1 n 7 n 2 n 8 6} − − − − _{6 6 6}

  2 n

  2

  4 2 n + +

• , for n=6a+2 is , for n=6a+3

  4 i 2 i + + + 4 i 2 i ∑ ∑ ∑ ∑

  3 i i 3 i i _{3 n −} = = = = _{3 n 2 n − 4 n − + 1 n 6 6 6 6 6 6} + + + n ¹

  is

  4 i 2 i , for n=6a+4 is 4 i 2 i , for n=6a+5 is 4 i 2 i , and for

  ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ _{i i i i i i} = = = = = = _{6 n n 6} n =6a is 4 i + i 2 . In this study evidence that the set of distinctive

  ∑ ∑ _{i i} = = neighborhoods and distinguishing set of local adjacency graph of the pyramid have minimal cardinality not strong enough so that only gained the upper limit adjacency metric dimensions and metric dimensions of the upper limit of the local adjacency graph pyramid. In a subsequent study is expected to obtain a general formula adjacency metric dimensions and metric dimensions local adjacency graph pyramid.

  Keyword: Graph Pyramid, Local Metric Dimensions, Adjacency Metric Dimensions, Local Adjacency Metric Dimensions.

  DAFTAR ISI

  Halaman LEMBAR JUDUL ......................................................................................... i LEMBAR PENGESAHAN .......................................................................... ii LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI ........................................................... iii PEDOMAN PENGUNAAN SKRIPSI... ....................................................... iv PERNYATAAN ORISINALITAS... ............................................................. v KATA PENGANTAR ................................................................................... vi ABSTRAK... .................................................................................................. viii

  ABSTACT ....................................................................................................... x

  DAFTAR ISI... ............................................................................................... xii DAFTAR TABEL... ....................................................................................... xiv DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xv

  BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang ..................................................................... 1 1.2. Rumusan Masalah ................................................................ 3 1.3. Tujuan .................................................................................. 4 1.4. Manfaat ................................................................................ 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA

  2.1 Graf ...................................................................................... 5

  2.2 Graf Piramida ....................................................................... 8

  2.3 Dimensi Metrik dan Dimensi Metrik Lokal ......................... 10

  2.4 Dimensi Metrik Ketetanggaan dan Ketetanggaan Lokal ..... 14

  BAB III METODE PENELETIAN............................................................. 19 BAB IV PEMBAHASAN

  4.1. Dimensi Metrik Lokal Graf Pr n ............................................ 21

  4.2. Dimensi Metrik ketetanggaan Graf Pr

  n

  ................................. 25

  4.3. Dimensi Metrik ketetanggaan Lokal Graf Pr n ...................... 33

  BAB V KESIMPULAN DAN SARAN.................................................... 62

  DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 64

DAFTAR TABEL Nomor Judul Tabel Halaman

  4.1. Analisa ketetanggaan titi u jk dengan j genap dan k genap

  36

  4.2. Analisa ketetanggaan titi u jk dengan j genap dan k gasal

  37

  4.3. Analisa ketetanggaan titi u jk dengan j gasal dan k genap

  39

DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Gambar Halaman

  2.1. Graf G

  6

  2.2. Graf H

  7

  2.3. Graf P

  4

  8

  2.4. Graf Terhubung dan Graf Tak Terhubung

  8

  2.5. Graf Ular

  9 2.6 (a) Graf Piramida dengan tinggi 1

  9 2.6 (b) Graf Piramida dengan tinggi 3

  9

  2.7. Graf Pr n

  10

  2.8. Graf L

  4

  12

  4.1. Titik elemen W pada Pr2

  34

  4.2. Titik elemen W pada Pr4

  35

  4.3. Titik elemen W pada Pr

  1

  44

  4.4. Titik elemen W pada Pr

  3

  45