STUDI TENTANG DIMENSI METRIK PADA SUATU GRAF DAN BEBERAPA APLIKASINYA

STUDI TENTANG DIMENSI METRIK PADA SUATU GRAF DAN BEBERAPA APLIKASINYA

Oleh

AHMAD ARI ALDINO

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

ii ABSTRAK

STUDI TENTANG DIMENSI METRIK PADA SUATU GRAF DAN BEBERAPA APLIKASINYA

Oleh

AHMAD ARI ALDINO

Misalkan graf terhubung dengan himpunan titik pada graf . Misalkan = , , … , himpunan titik pada graf yang anggotanya telah ditentukan. Representasi titik , untuk setiap terhadap yang dinotasikan | di adalah | = , , , , … , , . Himpunan disebut himpunan pemisah pada jika untuk setiap , pada dan ≠ mengakibatkan | ≠ | . Dimensi metrik pada , yang dinotasikan dengan � , adalah kardinalitas minimum dari semua himpunan pemisah pada .

STUDI TENTANG DIMENSI METRIK PADA SUATU GRAF DAN BEBERAPA APLIKASINYA

(Skripsi)

Oleh

AHMAD ARI ALDINO

vii

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Graf dengan titik terasing, gelang dan sisi paralel ... 5

2. Graf lengkap K , K , K , K , K dan K ... 7

3. Graf lingkaran C , C , C dan C ... 7

4. Graf dengan 4 titik dan 5 sisi ... 9

5. Graf dengan 5 titik dan 8 sisi ... 11

6. Graf pohon dengan 8 titik ... 13

7. Graf _, ... 14

8. Graf dengan 5 titik dan 6 sisi ... 16

9. Graf dengan 4 titik dan 3 sisi ... 17

10. Graf dengan 6 titik dan 7 sisi ... 18

11. Graf lintasan ... 21

12. Graf pohon dengan 6 titik dan 5 sisi ... 23

13. Graf lengkap � ... 25

14. Graf lingkaran ... 28

15. Graf bipartit lengkap �_, ... 31

16. Gedung yang terdiri dari 5 ruang , , , , ... 32

17. Graf yang merepresentasikan gedung yang terdiri dari 5 ruang ... 34

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... vii

1. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah ... 1

1.2 Tujuan Penelitian ... 2

1.3 Batasan Masalah ... 2

1.4 Manfaat Penelitian ... 3

2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Graf ... 4

2.2 Kelas-kelas Graf ... 6

2.3 Dimensi Metrik ... 8

3. METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 10

vi 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Sifat-sifat Dimensi Metrik ... 11

4.2 Dimensi Metrik Beberapa Kelas Graf ... 19

4.3 Aplikasi Dimensi Metrik ... 32

4.3.1 Aplikasi di Bidang Lintasan Robot Pemadam Api ... 32

4.3.2 Aplikasi di Bidang Isomer Senyawa Kimia ... 35 5. KESIMPULAN

“Wahai orang-orang beriman! Bersabarlah kamu dan kuatkanlah kesabaranmu dan tetaplah bersiap siaga dan

bertaqwalah kepada Allah agar kamu beruntung.” (Q.S. Ali Imran : 200)

“Barang siapa yang bersungguh-sungguh maka ia akan berhasil.”

(Al Hadist)

“Kegagalan hanya terjadi bila kita menyerah.” (Lessing)

“Jadilah pribadi yang mengutakaman kebaikan agar kebaikan diutamakan bagi diri kita.”

(Jefferly Helianthusonfri) MOTO

PERSEMBAHAN

Dengan segala kerendahan hati dan rasa syukur, aku persembahkan karya kecil ku ini untuk-Mu ya Allah, yang selalu memberikan rahmat dan hidayah sehingga skripsi ini

dapat diselesaikan.

Untuk ibu, bapak, dan kakakku yang selalu memberikan dukungan, kasih saying, dan tempat istimewa di hati kalian,

yang selalu memberikanku motivasi untuk tetap semangat dalam melakukan segala aktivitas.

Kepada teman-temanku, yang telah memberi warna indah di setiap langkah juangku, yang tak pernah henti memberi

dorongan dan arahan.

RIWAYATHIDUP

Penulis dilahirkan di Gunung Agung, Sekampung Udik, Lampung Timur pada

tanggal 25 Desember 1994. Penulis adalah anak kedua dari pasangan Bapak Sai’in

dan Ibu Kasiati, serta adik dari Andi Irawan.

Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar (SD) pada tahun 2006 di SD Negeri 1 Gunung Agung Kecamatan Sekampung Udik, Lampung Timur. Pendidikan sekolah menengah pertama (SMP) di SMP Negeri 1 Tanjung Sari, Lampung Selatan pada tahun 2009, pendidikan sekolah menengah atas (SMA) di SMA Negeri 1 Bandar Sribhawono, Lampung Timur pada tahun 2012. Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa angkatan 2012 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

Selama menjadi mahasiswa FMIPA penulis aktif di beberapa organisasi seperti BEM Universitas, BEM FMIPA, DPM FMIPA, Natural, ROIS, HIMATIKA, Ikam Lamtim, dan beberapa Lembaga Training Motivasi dan Pengembangan Diri. Pada Tahun 2015 penulis melaksanakan kerja praktik di Badan Kependudukan dan Keluarga Berencana (BKKBN) Provinsi Lampung.

ii

SANWACANA

Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan penulisan tugas akhir sebagai salah satu syarat memperoleh gelar sarjana sains di Universitas Lampung ini. Shalawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW, penuntun jalan bagi seluruh umat manusia.

Diselesaikannya penulisan skripsi yang berjudul “Studi tentang Dimensi Metrik

pada Suatu Graf dan beberapa Aplikasinya” ini tidak terlepas dari doa, bimbingan,

dukungan serta saran dari berbagai pihak yang telah membantu. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing utama yang telah meluangkan waktu untuk membimbing, mengarahkan, dan memotivasi penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.

2. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing kedua yang telah memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.

3. Ibu Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku dosen penguji atas kritik dan saran yang membangun untuk skripsi ini.

4. Bapak Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D., selaku pembimbing akademik yang telah membimbing penulis selama mengikuti perkuliahan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

6. Bapak Prof. Dr. Suharso, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

7. Dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

8. Ibu, bapak, dan kakak tercinta yang selalu mendoakan dan menyemangatiku. 9. Sahabat seperjuangan di Matematika angkatan 2012, dan keluarga besar

Matematika FMIPA UNILA.

10.Sahabat seperjuangan di BEM Universitas, BEM FMIPA, DPM FMIPA, Natural, ROIS, Himatika dan Ikam Lamtim.

11.Rumah Inggris atas motivasi, semangat, dan ilmu yang telah diberikan.

12.Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini, semoga mendapat imbalan yang sesui dari Allah SWT.

Penulis menyadari skripsi ini jauh dari sempurna dan penulis juga berharap penelitian ini dapat berguna dan bermanfaat bagi pembaca. Aamiin.

Bandar Lampung, 31 Desember 2015 Penulis

1

1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Teori Graf merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang dapat diaplikasikan untuk membantu menyelesaikan suatu permasalahan dalam kehidupan nyata. Suatu permasalahan akan lebih mudah dimengerti dan lebih sederhana apabila dapat direpresentasikan dalam bentuk graf sehingga lebih mudah mencari solusi dari setiap permasalahan tersebut. Beberapa contoh permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat direpresentasikan dengan teori graf adalah masalah penjadwalan, penggambaran struktur organisasi, penentuan jalur transportasi terpendek, penggambaran struktur kimia, dan lain-lain.

Suatu Graf adalah suatu pasangan himpunan , � dimana adalah himpunan tak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik

(vertex), dan � adalah himpunan dari pasangan tak terurut dari titik-titik

berbeda di yang disebut sisi (edge). Setiap sisi menghubungkan tepat dua titik dan setiap titik dapat memiliki banyak sisi yang menghubungkannya dengan titik yang lain.

Salah satu kajian dalam teori graf adalah dimensi metrik. Untuk titik dan dalam graf terhubung , jarak , adalah panjang dari lintasan terpendek antara dan pada . Untuk himpunan terurut = , , … , dari titik-titik dalam graf terhubung dan titik pada , | =

, , , , … , , menunjukkan representasi dari pada . Himpunan dinamakan himpunan pembeda (resolving set) jika titik-titik mempunyai representasi berbeda. Kardinalitas minimum dari himpunan pembeda disebut dimensi metrik dari dinotasikan dengan � (Permana dan Darmaji, 2012).

Berdasarkan uraian di atas, penulis ingin melakukan penelitian tentang dimensi metrik pada beberapa kelas graf dan beberapa aplikasi dimensi metrik dengan merujuk pada jurnal Chartrand dan Zhang (2003). Oleh karena itu, penulis memilih Studi tentang Dimensi Metrik pada Suatu Graf dan beberapa Aplikasinya sebagai judul penelitian.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan penulisan ini adalah mengetahui dimensi metrik pada suatu graf dan beberapa aplikasinya.

1.3 Batasan Masalah

Dalam penelitian ini pembahasan dibatasi hanya untuk sifat-sifat dimensi metrik, dimensi metrik pada beberapa kelas graf, dan aplikasi dimensi metrik.

3 1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat yang diharapkan dari hasil penelitian ini adalah:

1. Menambah pengetahuan penulis tentang dimensi metrik suatu graf dan aplikasinya.

2. Memberikan sumbangan pemikiran untuk memperluas dan memperdalam wawasan di bidang aplikasi graf, khususnya dimensi metrik suatu graf. 3. Memberikan masukan bagi para penulis lain yang ingin lebih lanjut

2. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Konsep Dasar Graf

Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf yang diambil dari buku Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut:

Suatu Graf adalah suatu pasangan himpunan , � dimana adalah himpunan tak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik

(vertex), dan � adalah himpunan dari pasangan tak terurut dari titik-titik

berbeda di yang disebut sisi (edge).

Sebuah sisi yang menghubungkan pasangan titik yang sama atau bisa disebut juga sebuah sisi yang berawal dan berakhir dengan pada titik yang sama disebut dengan gelang (loop). Dua atau lebih sisi yang mempunyai titik-titik ujung yang sama disebut dengan sisi paralel. Jika sebuah graf yang di dalamnya tidak terdapat gelang dan sisi paralel disebut graf sederhana. Pada Gambar 1 contoh loop adalah dan sisi paralel adalah , .

5

Gambar 1. Graf dengan titik terasing, gelang dan sisi paralel.

Suatu jalan (walk) dalam graf adalah suatu barisan berhingga dari titik dan sisi secara bergantian yang dimulai dan diakhiri dengan titik sehingga setiap sisi yang menempel dengan titik sebelum dan sesudahnya, dimana sebuah sisi hanya dilalui satu kali. Di dalam suatu jalan pada sebuah graf dapat terjadi bahwa satu titik dilalui lebih dari satu kali. Pada umumnya penulisan barisan jalan biasanya mengikutsertakan sisinya, tetapi boleh juga tidak. Dapat juga sebuah jalan dimulai dan diakhiri oleh titik yang sama, jalan yang demikian disebut dengan jalan tertutup(close walk). Sebaliknya sebuah jalan yang tidak tertutup disebut jalan terbuka (open walk).

Pada Gambar 1 contoh jalan terbuka adalah , , , , , , , dan jalan tertutup adalah , , , , , , , , . Sebuah jalan terbuka yang di dalamnya tidak ada titik yang muncul lebih dari sekali disebut dengan lintasan (path). Pada Gambar 1 lintasan yaitu , , , , , , , . Jalan yang semua sisi di dalam setiap barisan harus berbeda disebut jejak (trail). jejak tertutup adalah suatu trail dengan titik awal dan titik akhir yang sama.

Pada Gambar 1 contoh jejak yaitu , , , , , . Sebuah lintasan yang tertutup disebut sirkuit. Pada Gambar 1 sirkuit yaitu , , , , , , .

Dua buah titik pada graf tak berarah dikatakan bertetangga (adjacent) bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain, bertetangga dengan jika , adalah sebuah sisi dari graf. Untuk sebarang sisi = , , sisi dikatakan menempel (incident) dengan titik

dan . Pada Gambar 1 bertetangga dengan , menempel pada dan . Titik yang tidak memiliki sisi yang menempel dengannya atau tidak bertetangga dengan titik lainnya disebut dengan titik terasing. Pada Gambar 1 titik terasing yaitu .

Derajat (degree) dari sebuah titik dalam graf adalah banyaknya sisi yang menempel pada , dengan gelang dihitung dua kali. Bila jumlah sisi yang menempel dengan jumlah titik adalah maka derajat dari adalah sehingga = . Pada Gambar 1 derajat dari titik yaitu tiga. Jumlah derajat semua titik pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali banyaknya sisi pada graf tersebut. Dengan kata lain, jika = , � , maka ∑_{� �} =

|�|.

2.2 Kelas-kelas Graf

Pada bagian ini akan diberikan kelas-kelas graf yang diambil dari buku Aldous dan Wilson (2000) yaitu sebagai berikut:

7

Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap titiknya bertetangga dengan semua titik lainnya. Graf lengkap dengan titik dilambangkan dengan �_�. Jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari titik adalah � �− .

Gambar 2. Graf lengkap K , K , K , K , K dan K .

Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua. Graf lingkaran dengan titik dilambangkan dengan _�.

Gambar 3. Graf lingkaran C , C , C dan C .

Graf lintasan ialah graf yang terdiri dari satu lintasan. Graf lintasan dengan titik dinotasikan dengan _�.

Graf yang himpunan titiknya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian dan , sedemikian sehingga setiap sisi pada menghubungkan sebuah

titik di ke sebuah titik di disebut graf bipartit dan dinyatakan sebagai = , . Apabila graf sederhana dan bipartit dengan partisi , sedemikian sehingga setiap titik di bertetangga dengan setiap titik di maka disebut graf bipartit lengkap.

Graf pohon ialah graf terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Karena merupakan graf terhubung maka graf pohon selalu terdapat jalur yang menghubungkan setiap dua titik. Salah satu contoh dari graf pohon yaitu graf bintang. Graf bintang adalah graf pohon dengan satu titik pusat yang terhubung dengan daun. Graf bintang dinotasikan dengan � ,�.

2.3 Dimensi Metrik

Dimensi Metrik adalah kardinalitas minimum himpunan pemisah (resolving set) pada . Misalkan dan adalah titik-titik dalam graf terhubung maka jarak , adalah panjang lintasan terpendek antara dan pada . Untuk himpunan terurut = { , , , … , } dari titik-titik dalam graf terhubung dan titik , representasi dari terhadap adalah -vektor (pasangan -tuple) | = ( , , , , … , , ). Jika

| untuk setiap titik berbeda, maka disebut himpunan pemisah dari . Himpunan pemisah dengan kardinalitas minimum (basis metrik), dan kardinalitas dari basis metrik tersebut dinamakan dimensi metrik dari dinotasikan � (Chartrand, dkk, 1999).

9

Berikut ini akan diberikan contoh dimensi metrik pada suatu graf

Gambar 4. Graf dengan 4 titik dan 5 sisi.

Ambil = { }, representasi titiknya adalah

| = , | = ,

| = , | = .

Karena ada representasi titik yang sama untuk = { }, maka = { } bukan himpunan pemisah dan juga bukan merupakan basis metrik. Sehingga banyaknya anggota = { } tidak dapat dikatakan sebagai dimensi metrik. Oleh karena itu, ambil yang lain.

Ambil = { , }, representasi titiknya adalah

| = , , | = , ,

| = , , | = , .

Karena representasi semua titik berbeda untuk = { , }, maka

= { , } merupakan himpunan pemisah dari basis metrik. Selain itu, banyaknya anggota basis ini merupakan yang paling minimum sehingga banyaknya anggota = { , } dapat dinyatakan sebagai dimensi metrik dari graf tersebut (Chartrand, dkk, 2000).

3. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini akan dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2015/ 2016 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi pustaka. Hal ini penulis lakukan dengan menggunakan buku-buku yang ada di perpustakaan Universitas Lampung, jurnal-jurnal terakreditasi serta buku-buku yang berkaitan dengan teori graf yang tercantum dalam daftar pustaka. Adapun langkah-langkah penelitian ini adalah :

1. Menentukan sifat-sifat dimensi metrik pada suatu graf. 2. Menganalisis dimensi metrik pada beberapa kelas graf.

3. Mendapatkan beberapa permasalahan yang berkenaan dengan dimensi metrik.

4. Menganalisis dan merepresentasikan permasalahan dalam bentuk graf. 5. Menyelesaikan masalah tersebut dengan dimensi metrik.

38

5. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Misalkan = , � graf terhubung dengan | | = , batas bawah dan atas dari � adalah:

a. Bila dikaitkan dengan diameter di , maka � − , dengan adalah bilangan bulat terkecil untuk setiap + .

b. _{Bila dikaitkan dengan derajat maksimum di} , _maka

� [ ∆ + ].

c. _{Bila dikaitkan dengan} | | = , , _maka � − . d. _{Bila dikaitkan dengan titik mayor dan titik mayor eksterior, maka}

� � − .

2. Salah satu aplikasi dari dimensi metrik adalah

a. Menentukan lintasan robot pemadam api dengan mencari kardinalitas minimum dari himpunan pemisah pada lintasan robot tersebut untuk menentukan letak sensor api yang paling efisien.

b. Menentukan isomer suatu senyawa, jika suatu isomer senyawa memiliki dimensi metrik yang sama maka senyawa tersebut dikatakan memiliki sifat atau karakteristik senyawa yang serupa.

DAFTAR PUSTAKA

Aldous, J.M. dan Wilson, R.J. 2000. Graph and Applications. Great Britain: The Open University.

Chartrand, G., dkk. 1999. Resolvability and the Upper Dimension of Graphs. USA: Western Michigan University.

Chartrand, G., dkk. 2000. Resolvability in Graphs and the Metric Dimension of a

Graph. Canada: University of Winnipeg.

Chartrand, G., dan Zhang, P. 2003. The Theory and Applications of Resolvability

in Graphs.USA: Western Michigan University.

Chartrand, G., dan Zhang, P. 2005. Introduction to Graph Theory. USA: The McGraw-Hill Companies.

Permana, B.A. dan Darmaji. 2012. Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap titiknya bertetangga dengan semua titik lainnya. Graf lengkap dengan titik dilambangkan dengan �_�. Jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari titik adalah � �− .

Gambar 2. Graf lengkap K , K , K , K , K dan K .

Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua. Graf lingkaran dengan titik dilambangkan dengan _�.

Gambar 3. Graf lingkaran C , C , C dan C .

Graf lintasan ialah graf yang terdiri dari satu lintasan. Graf lintasan dengan titik dinotasikan dengan _�.

titik di ke sebuah titik di disebut graf bipartit dan dinyatakan sebagai = , . Apabila graf sederhana dan bipartit dengan partisi , sedemikian sehingga setiap titik di bertetangga dengan setiap titik di maka disebut graf bipartit lengkap.

Graf pohon ialah graf terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Karena merupakan graf terhubung maka graf pohon selalu terdapat jalur yang menghubungkan setiap dua titik. Salah satu contoh dari graf pohon yaitu graf bintang. Graf bintang adalah graf pohon dengan satu titik pusat yang terhubung dengan daun. Graf bintang dinotasikan dengan � ,�.

2.3 Dimensi Metrik

Dimensi Metrik adalah kardinalitas minimum himpunan pemisah (resolving set) pada . Misalkan dan adalah titik-titik dalam graf terhubung maka jarak , adalah panjang lintasan terpendek antara dan pada . Untuk himpunan terurut = { , , , … , } dari titik-titik dalam graf terhubung dan titik , representasi dari terhadap adalah -vektor (pasangan -tuple) | = ( , , , , … , , ). Jika

| untuk setiap titik berbeda, maka disebut himpunan pemisah dari . Himpunan pemisah dengan kardinalitas minimum (basis metrik), dan kardinalitas dari basis metrik tersebut dinamakan dimensi metrik dari dinotasikan � (Chartrand, dkk, 1999).

Berikut ini akan diberikan contoh dimensi metrik pada suatu graf

Gambar 4. Graf dengan 4 titik dan 5 sisi.

Ambil = { }, representasi titiknya adalah

| = , | = ,

| = , | = .

Karena ada representasi titik yang sama untuk = { }, maka = { } bukan himpunan pemisah dan juga bukan merupakan basis metrik. Sehingga banyaknya anggota = { } tidak dapat dikatakan sebagai dimensi metrik. Oleh karena itu, ambil yang lain.

Ambil = { , }, representasi titiknya adalah

| = , , | = , ,

| = , , | = , .

Karena representasi semua titik berbeda untuk = { , }, maka

= { , } merupakan himpunan pemisah dari basis metrik. Selain itu, banyaknya anggota basis ini merupakan yang paling minimum sehingga

3. METODEPENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini akan dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2015/ 2016 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Universitas Lampung.

3.2 MetodePenelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi pustaka. Hal ini penulis lakukan dengan menggunakan buku-buku yang ada di perpustakaan Universitas Lampung, jurnal-jurnal terakreditasi serta buku-buku yang berkaitan dengan teori graf yang tercantum dalam daftar pustaka. Adapun langkah-langkah penelitian ini adalah :

1. Menentukan sifat-sifat dimensi metrik pada suatu graf. 2. Menganalisis dimensi metrik pada beberapa kelas graf.

3. Mendapatkan beberapa permasalahan yang berkenaan dengan dimensi metrik.

4. Menganalisis dan merepresentasikan permasalahan dalam bentuk graf. 5. Menyelesaikan masalah tersebut dengan dimensi metrik.

5. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Misalkan = , � graf terhubung dengan | | = , batas bawah dan atas dari � adalah:

a. Bila dikaitkan dengan diameter di , maka � − , dengan adalah bilangan bulat terkecil untuk setiap + .

b. _{Bila dikaitkan dengan derajat maksimum di} , _maka

� [ ∆ + ].

c. _{Bila dikaitkan dengan} | | = , , _maka � − . d. _{Bila dikaitkan dengan titik mayor dan titik mayor eksterior, maka}

� � − .

2. Salah satu aplikasi dari dimensi metrik adalah

a. Menentukan lintasan robot pemadam api dengan mencari kardinalitas minimum dari himpunan pemisah pada lintasan robot tersebut untuk menentukan letak sensor api yang paling efisien.

b. Menentukan isomer suatu senyawa, jika suatu isomer senyawa memiliki dimensi metrik yang sama maka senyawa tersebut dikatakan memiliki sifat

DAFTAR PUSTAKA

Aldous, J.M. dan Wilson, R.J. 2000. Graph and Applications. Great Britain: The Open University.

Chartrand, G., dkk. 1999. Resolvability and the Upper Dimension of Graphs. USA: Western Michigan University.

Chartrand, G., dkk. 2000. Resolvability in Graphs and the Metric Dimension of a Graph. Canada: University of Winnipeg.

Chartrand, G., dan Zhang, P. 2003. The Theory and Applications of Resolvability in Graphs.USA: Western Michigan University.

Chartrand, G., dan Zhang, P. 2005. Introduction to Graph Theory. USA: The McGraw-Hill Companies.

Permana, B.A. dan Darmaji. 2012. Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember.