Latar Belakang Adanya Geometri Fraktal
BAB I
GAMBARAN UMUM GEOMETRI FRAKTAL
1. Latar Belakang Adanya Geometri Fraktal
Setelah membuat definisi tentang 4 unsur primitif dan 5 postulat, Euclidus
menurunkan berbagai dalil tentang geometri bidang datar. Tetapi ternyata geometri
ini hanya bisa digunakan untuk menerangkan secara konsepsional objekobjek linear
atau objek-objek buatan manusia, bukan objek-objek alam. Sebenarnya sejak lama
para ahli matematika telah berupaya untuk merumuskan objek-objeknon linear seperti
yang dilakukan oleh Bolyai, Lobachevski, maupun Riemann. Pada dasarnya mereka
ingin mengubah postulat ke 5 (postulat kesejajaran) dari Euclidus agar dapat keluar
dari paradigma linearitas.
Bolyai menunjukkan bahwa dari 29 dalil ternyata 28 dalil pertama dari
Euclidus dapat dibuktikan tanpa menggunakan postulat yang ke 5.
Dengan
menggunakan 4 yang pertama dari 5 postulat Euclidus, Bolyai mampu membuktikan
bahwa melalui suatu titik B di luar garis lurus bdapat dilukis paling sedikit 1 garis
lurus yang sejajar dengan garis b. Kemudian lebih jauh Lobachevski juga
menggantikan postulat ke 5 dari Euclidus dengan postulat: melalui 1 titik di luar
suatu garis lurus paling sedikit dapat dilukis 2 buah garis lurus yang sejajar. Dengan
postulat pengganti ini, Lobachevski ingin membuktikan bahwa postulat ke 5 dari
Euclidus itu hanya merupakan akibat dari 4 postulat lainnya. Walaupun Lobachevski
tidak berhasil membuktikan itu, tetapi dengan postulat pengganti yang tampaknya
tidak masuk akal itu (beserta4 postulat pertama dari Euclidus) Lobachevski malah
berhasil membangun suatu geometri lain yang juga konsisten. Geometri Lobachevski
tidak menggunakan bidang datar melainkan bentuk terompet.
Selain itu Riemann membuat postulat: tidak ada 2 buah garis lurus yang
sejajar. Postulat ini sejalan dengan fenomena dalam membatasi bidang permukaan
yang berbentuk bola. Geometri Riemann yang semula dipandang aneh ini ternyata
kemudian melandasi lahirnya Teori Relativitas Einstein.
Sekalipun upaya telah banyak dilakukan, kenyataannya Geometri Euclidus
tetap mengobsesi para ahli untuk melinearkan objek-objek alam ataupun sistem
dinamis sampai akhir abad 20. Sebagai implikasi dari Geometri Euclidus, setiap
objek alam merupakan tumpukan dadudadu dalam sistem salib sumbu 3 dimensi yang
saling tegak lurus.
1
Sebagai implikasi dari itu maka kalkulus terobsesi untuk
melinearkan setiap objek (baik itu buatan manusia ataupun objek alam) melalui
pembuatan fungsi-fungsi kurva dan menggunakan operasi yang sangat terkenal
dengan istilah diferensialintegral. Memang dengan kemajuan seperti yang dicapai
dalam Persamaan Diferensial maupun Teori Fuzzy dalam memformulasikan sistem
dinamis, kalkulus juga mencapai kemajuan yang sangat mengesankan yang pada
puncaknya dapat mendeskrispsikan Teori Kekacauan (Chaos Theory). Tetapi, kedua
teori ini tidak mempunyai basis yang konsepsional melainkan dengan menggunakan
aproksimasi numerik.
Suatu ironis bahwa Geometri Euclidus merupakan geometri yang paling
banyak digunakan tetapi paling jarang dijumpai di alam. Penemuan Himpunan Debu
Cantor, Kurva Koch, Media Berpori seperti Spon, Karpet dan GasketSierpinski
(Gambar 2 - 6) merupakan teka-teki (puzzles)bagi kalkulus yang merupakan anak
kandung (offspring) dari Geometri Euclidus. Semua objek tersebut adalah objek-objek
kontinyu tetapi tidak diferensialble.
Artinya objek-objek selalu dikeluarkan dari
pembahasan kalkulus. Himpunan Debu Cantor (Cantor Set) tidak bisa dikatakan
sebagai objek berdimensi 1 (garis lurus) ataupun 0 (titik). Kurva Koch, Gasket dan
Karpet Sierpinski tidak bisa dikatakan sebagai objek berdimensi 1 ataupun 2 (bidang
datar). Sedangkan media berpori spon (Menger Sponge) bukanlah objek berdimensi 2
ataupun 3.
Para matematikawan waktu itu (sebelum Mandelbrot, 1982) menyebut objekobjek tersebut sebagai monster yang mengerikan berhubung dengan sifatnya yang
kontinyu tetapi tidak terdiferensial. Bahkan monster-monster itu semakin banyak bila
dihadapkan pada keharusan untuk memformulasikan geometri dari objek-objek alam.
Dengan demikian diperlukan geometri lain yang dapat memperluas Geometri
Euclidus agar bisa menjelaskan secara konsepsional perilaku objek-objek monster
yang berada dimana-mana seperti bentuk-bentuk penjalaran halilintar, jaringan saraf,
jaringan pembulu darah, jaringan sungai, pola percabangan pohon, percabangan
perakaran, turbulensi fluida, media berpori seperti jaringan spon, jaringan makluk
hidup, keramik, batuan maupun tanah dan untuk semua objek alam lainnya. Geometri
itu dikenal sebagai Geometri Fraktal ataupun yang disebut oleh Peigent, Jurgen dan
Saupe sebagai Geometri Kekacauan atau Geometry of Chaos. Geometri ini secara
konsepsional mampu memformulasikan objek-objek monster,
objek-objek alam
maupun sistem dinamis non linear. Sebagai contoh kekacauan geometri daun paku
2
dapat dipecahkan dengan Gasket Sirpinskie. Begitu pula model pertumbuhan
populasi.
2. Pengertian dengan Geometri Fraktal
Bahasa Inggris dari fraktal adalah fractal. Istilah fractal dibuat oleh Benoît
Mandelbrot pada tahun 1975 dari kata Latin fractus yang artinya "patah", "rusak",
atau "tidak teratur". Sebelum Mandelbrot memperkenalkan istilah tersebut, nama
umum untuk struktur semacamnya adalah kurva monster.
Menurut Mandelbrot, setiap objek alam berperilaku sebagai fraktal dalam hal
ini merupakan hasil kerja gaya yang sama yang bekerja pada berbagai tingkatan skala
pada suatu objek sehingga mengakibatkan iterasi atau pengulangan bentuk dasar
(fractal seed atau fractal generator) yang hasilnya menyatu dalam satu objek yang
bersangkutan. Proses itu dikenal sebagai proses self similiarity yang bersifat scale
invariant: artinya diamati dengan skala berapapun bentuk geometrinya maupun
dimensinya tetap sama dengan benih fraktalnya.
3. Kegunaan Geometri Fraktal dalam Kehidupan
Geometri Fraktal ini telah dipergunakan hampir di semua bidang bahkan untuk
ilmu social, ekonomi maupun bidang seni Dalam ilmu tanah penggunaan Geometri
Fraktal masih terbatas pada bidang fisika tanah. Dalam hal ini pertama kali dipelopori
oleh Tyler dan Wheatcraft untuk menentukan parameter percabangan pori-pori tanah
dalam usaha untuk meniadakan pekerjaan fitting parameter dan untuk mereduksi
pekerjaan empiris di laboratorium ataupun di lapangan sehingga pemodelan retensi
ataupun pergerakan air tanah beserta bahan-bahan polutan yang terlarut di dalamnya
dapat dikerjakan secara konsepsional, dalam arti secara matematika absah dan
mempunyai landasan hukum-hukum fisika yang telah diterima secara universal serta
cepat, murah dan tidak banyak memakan waktu.
4. Pengelompokan Fraktal
Fraktal dibedakan menjadi dua, yaitu:
1.
Fraktal deterministik. Fraktal deterministik dihasilkan oleh aturan-aturan
deterministik yang terus diulang dan memiliki kecenderungan bentuk yang
simetris. Contoh: sebuah segitiga terdiri dari iterasi berbagai segitiga lainnya
3
yang lebih kecil. Tetapi benda-benda alam tidak pernah betul-betul simetris
sehingga fraktal deterministik kurang realistis.
2.
Fraktal random. Fraktal random dihasilkan oleh kombinasi aturan-aturan yang
dipilih secara random pada skala yang berbeda. Contoh: sebuah garis pantai. Dari
pesawat terbang, garis pantai terlihat seperti garis tak teratur yang mulus. Makin
rendah pesawat terbang, makin bergerigi garis pantai itu, sampai pada jarak dekat
setiap batas terlihat. Semakin dekat, semakin jelas terlihat detail garis pantai
tersebut. Harga saham mirip dengan garis pantai tersebut. Makin dekat kita
melihat (makin kecil unit waktunya), makin banyak detail yang terlihat.
Fraktal bisa juga dikelompokkan menjadi tiga kategori luas. Pengelompokan
berikut didasarkan pada cara pendefinisian atau pembuatannya.
1.
Iterated Function System - memiliki aturan geometris tetap. Misalnya himpunan
debu Cantor , karpet Sierpinski, gasket Sierpinski, kurva Peano, bungasalju Koch,
kurva naga Harter-Highway, T-Square , sponsMenger
2.
Escape-time fractals - ditentukan dengan formula atau relasirekursi di setiap titik.
Contoh himpunan Mandelbrot, himpunan Julia , fraktal Burning Ship, fraktal
Nova dan fraktal Lyapunov
3.
Random fractals - dibentuk oleh proses stokastik bukan dari proses
deterministik.Contoh lintasan gerak Brown , penerbangan Levy , fraktal
lanskapfraktal dan pohon Brownian .
Fraktal juga bisa dikelompokkan berdasarkan keserupa diriannya. Ada tiga
tingkat keperupadirian pada fraktal:
Serupa diri secara persis — Ini adalah keserupa dirian yang paling kuat.
Fraktalnya terlihat sama persis pada berbagai skala. Fraktal yang didefinisikan
oleh sistem fungsi teriterasi biasanya bersifat serupa diri secara persis.
Serupa diri secara lemah — Ini adalah keserupa dirian yang tidak terlalu ketat.
Fraktalnya terlihat mirip (tapi tidak persis sama) pada skala yang berbeda. Fraktal
jenis ini memuat salinan dirinya sendiri dalam bentuk yang terdistorsi maupun
rusak.
Serupa diri secara statistik — Ini adalah kererupadirian yang paling lemah.
Fraktalnya memiliki ukuran numeris atau statistik yang terjaga pada skala yang
berbeda. Kebanyakan definisi fraktal yang wajar secara trivial mengharuskan
suatu bentuk keserupa dirian statistik. Dimensi fraktal sendiri adalah ukuran
4
numeris yang nilainya terjaga pada berbagai skala. Fraktal acak adalah contoh
fraktal yang serupa diri secara statistik, tapi tidak serupa diri secara persis
maupun lemah.
5
BAB II
MACAM-MACAM GEOMETRI FRAKTAL
1. Himpunan Mandelbrot
Mandelbrot, Benoit B. (20 November 1924 – 14
October 2010) adalah seorang matematikawan Perancis
kelahiran Polandia, yang mengembangkan geometri
fraktal
sebagai
salah
matematika.Mandelbrot
satu
dilahirkan
cabang
di
Warsawa
baru
dan
mengenyam pendidikan sekolah di Perancis dan USA,
meraih gelar doktor dalam bidang matematika dari
Universitas Paris pada tahun 1952.Ia mengajar ekonomi di
Universitas Harvard, teknik di Universitas Yale, psikologi
di Albert Einstein College of Medicine, matematika di
Paris dan Genewa. Sejak 1958 ia berkerja sebagai anggota
IBM di Pusat Riset Thomas B. Watson di New York.
Pada tahun 1960-an Benoît Mandelbrot mulai menyelidiki keserupa dirian dalam
berbagai tulisannya seperti How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and
Fractional Dimension.Penyelidikannya merupakan pengembangan dari penelitian Lewis Fry
Richardson.Dengan pendekatan yang sangat visual, Mandelbrot mendapatkan hubungan dari
berbagai topik matematika yang sebelumnya tidak berkaitan.Di tahun 1975, Mandelbrot
menggunakan kata fractal untuk mendeskripsikan benda-benda serupa diri yang tidak
memiliki dimensi yang jelas. Dia menurunkan kata fractal dari kata Latin fractus yang
artinya "patah", "rusak", atau "tidak teratur". Kata fractal bukan diturunkan dari
katafractional (pecahan), seperti yang dipercaya banyak orang.Katafractional sendiri juga
diturunkan dari fractus.
Mandelbrot menggunakan definisi dimensi yang lebih abstrak daripada yang
digunakan dalam geometri Euclid (geometri biasa yang diajarkan di sekolah), dengan
menyatakan bahwa dimensi sebuah fraktal harus digunakan sebagai pangkat pada saat
mengukurnya. Hasilnya adalah bahwa sebuah fraktal tidak mungkin diperlakukan seperti
benda-benda geometris lain yang berdimensi satu, dua, atau bilangan-bilangan bulat lain.
Akan tetapi, fraktal harus diperlakukan secara matematis sebagai bentuk-bentuk geometris
6
yang berdimensi pecahan.Sebagai contoh, kurva fraktal snowflake Koch memiliki dimensi
1.2618.
Himpunan
bidangkompleks.Untuk
Mandelbrotadalahhimpunan
titik-titikpada
membangunhimpunanMandelbrot,
kita
menggunakanalgoritmaberdasarkanrumusrekursif:
memisahkanpoindaribidang kompleksmenjadi dua kategori:
•titik di dalamhimpunanMandelbrot,
•titik di luar himpunanMandelbrot.
Gambar di bawah menunjukkansebagian daribidang kompleks.Titiktitikdari himpunanMandelbrottelahberwarnahitam.
Cara membuat himpunan Mandelbrot
7
Untuk
membuathimpunanMandelbrotkita
padabidang
kompleks.Bilangan
kompleks
harusmemilih
yang
titik(C)
berkorespondensi
dengantitik inimemilikibentuk:
Setelahmenghitungnilai dari ekspresisebelumnya:
Kita misalkan
Z 0 =0
, lalu kita tentukan nilai C sebagai hasilnya. Langkah
selanjutnyaadalahmenetapkanhasil dari
Z2
dan ulangi perhitungan
C2 +C . Setelah itu kita harus menentukan nilai
hingga didapat hasil
untuk
Z1 ,
dan ulangi prosesnya lagi.
Proses ini dapat direpresentasikan sebagai"migrasi" darititik awalC pada
bidang.
Apa yang terjadi padatitik ketikakitaberulang kali melakukan iterasi pada
fungsi tersebut? Apakah akantetapdekatke asalatauakanpergijauh dari itu,
bertambahnya jarakdari titik asaltanpabatas? Dalamkasus pertama, kita
mengatakan
bahwaCtermasuk
himpunanMandelbrot(itu
adalah
salah
satutitik hitampada gambar); sebaliknya,kita mengatakan bahwa titikini
menuju
tak
hinggadan
kitamenentukanwarnauntukCtergantung
padakecepatan di manatitik tersebut"pergi"/ “menjauh” dari titik asal.
Kita bisa melihat pada algoritma dari sudut pandang yang berbeda . Mari kita bayangkan
bahwa semua titik bidang ditarik pada : tak hingga dan himpunan Mandelbrot. Membuat ini
mudah untuk memahaminya:
Titik-titik yang
jauh dari himpunan Mandelbrot bergerak dengan
cepat bergerak menuju tak hingga.
Titik-titik yang dekat dengan himpunan Mandelbrot secara perlahan
bergerak menuju tak hingga.
Titik-titik dalam himpunan Mandelbrot tidak pernah bergerak
menuju tak hingga.
8
2. Segitiga Sierpinski
Sierpinski Triangle dinamai oleh matematikawan Polandia, Waclaw Sierpinski
tahun 1916. Cara Membuat Segitiga Sierpinski :
1.
Buat segitiga sama sisi
2. Hubungkan masing-masing titik tengah sisi segitiga
3.
Hilangkan segitiga yang di tengah
4. Ulangi langkah 1,2,3 untuk 3 buah segitiga yang ada
5. Setelah dilakukan berkali-kali tahap di atas, hasilnya adalah:
9
Cara menghitung luas segitiga sierpinski adalah sebagai berikut.
Setelah iterasi/pengulangan ke-n,
Luas segitiga sierpinski =
(0,75)n x luas segitiga sama sisi awal
Cara menghitung banyaknya segitiga yang masih ada setelah iterasi ke-n?:
Tabel 1. Daftar Jumlah Segitiga Pada Interasi ke-n
Banyaknya segitiga tersisa
2. Kurva Von Koch
Kurva Von Koch dihasilkan oleh prosedur geometris sederhana yang dapat
diiterasikan tak terbatas dengan membagi segmen garis lurus menjadi tiga bagian
yang sama dan mengganti bagian tengah dengan dua segmen yang sama panjang. Von
Koch The Curve adalah contoh yang sangat dasar dari fraktal, karena mengikuti
aturan sederhana konstruksi.
a) Melukis Edge Koch
1.
10
Mulailah dengan sebuah garis lurus.
2.
Garis lurus dibagi menjadi 3 bagian yang sama, dan bagian tengah digantikan
oleh dua segmen linier pada sudut 60o
dan 120o .
3.
Ulangi langkah 1 dan 2 untuk empat segmen garis.
4.
Iterasi selanjutnya akan menghasilkan kurva berikut.
Di ulang 3
Di ulang 4
×
b) Sifat-sifat Edge Koch
×
Kurva Von Koch jelas menunjukkan kesamaan-diri fraktal. Pola yang sama
selalu muncul sepanjang kurva dalam skala yang berbeda, dari yang dapat terlihat
sampai yang sangat kecil.
Idealnya proses iterasi (pengulangan) tanpa batas dan iterasi juga dapat
dihentikan.
Total Panjang Edge Koch
Untuk mempertahankan perpindahan di antara dua titik konstan, ukuran
panjang dikalikan dengan
4
3
di setiap iterasinya.
Dari aturan sederhana iterasi, kita dapat menggunakan rumus panjang total
dari Edge Koch pada iterasi ke-n.
11
L=
4
3
n
()
Untuk menghitung dimensi Kurva Koch, kita melihat citra fraktal dan
mengetahui bahwa Kurva Koch memiliki faktor pembesaran tiga dan setiap
iterasi dibagi menjadi empat bagian yang lebih kecil. Sehingga didapatkan:
D=
ln 4 1,3863
=
=1,2619
ln3 1,0986
Jadi, Kurva Koch memiliki dimensi 1,2619.
Jumlah Edge Koch
Setelah iterasi, setiap sisi tunggal berubah menjadi empat segmen berukuran
sama dengan panjang
1
3
dari panjang aslinya.
Dengan demikian, setelah iterasi n, jumlah Edge Koch adalah 4 n .
c) Contoh Lain Kurva Koch
Koch Snowflake
Jika kita menerapkan proses di atas pada dua sisi suatu segitiga sama sisi
(tidak termasuk bagian dalam), kita akan memiliki pola sebagai berikut.
Level 0
Level 1
Level 2
Level 3
Gambar 1. Koch Snowflake
Pada tingkat yang sangat tinggi, kita akan memiliki gambar di bawah ini:
12
Gambar 2. Kurva
Snowflake
Kurva Koch ini disebut kurva snowflake.
Koch Star
Selain segitiga sama sisi, proses yang sama dapat diterapkan pada sisi
sembarang polygon.
Salah satu contohnya adalah heksagram. Pada setiap tingkat, heksagram baru
yang lebih kecil dihasilkan di enam simpul dari heksagram asli. Hasil dari
heksagram yang baru mirip dengan heksagram yang asli.
Level 0
Level 1
Level 2
Level 3
Gambar 3. Heksagram
3. Kurva Hilbert
Kurva Hilbert pertama kali diperkenalkan oleh David Hilbert (1862-1943).
Kurva ini disebut kurva pengisi ruang, karena pada akhirnya akan menutupi seluruh
bidang setelah beberapa iterasi.
a) Melukis Kurva Hibert
Mulailah dengan bentuk dasar seperti berikut.
13
Perkecil kurva sebelumnya menjadi setengah ukurannya. Secara bersamaan,
perkecil ukuran grid oleh dua faktor.
Tempatkan empat salinan dari kurva
tersebut pada grid. Dua salinan kurva yang berada di bawah tetap seperti
sebelumnya, dan dua salinan kurva yang di atas harus diputar sebuah , satu ke kiri
dan yang lainnya ke kanan. Terakhir, menghubungkan empat potong pendek
segmen untuk mendapatkan kurva langkah berikutnya, dapat dihubungkan
segmen horizontal maupun vertikal.
Semua sisa kurva dibuat secara berurutan satu dari yang lain dengan
menggunakan algoritma yang sama.
b) Sistem-L
Berbeda dengan segitiga Sierpinski dan kurva Von Koch, dalam proses melukis
kurva Hilbert, bentuk pokok yang sama akan menyusut dan berubah di tempat
lain dan beberapa dari kurva diputar
System (L-sistem).
90
o
. Algoritma ini disebut Lindenmayer
Ini adalah langkah-langkah menulis ulang sistem yang
terutama digunakan untuk menghasilkan fraktal dengan dimensi antara 1 dan 2.
Setelah transformasi, kurva harus dihubungkan dengan memperkenalkan
beberapa baris segmen. Itulah sebabnya, setelah beberapa iterasi (sekitar ke-7
sampai ke-9), kurva akan menutupi seluruh bidang.
Gambar 4. Sistem-L
c) Panjang Kurva
14
Setiap iterasi, fraktal menjadi 2 unit lebih panjang. Setelah iterasi n, panjang
kurva akan bertambah sampai dengan 2n unit yang lebih panjang.
15
BAB III
APLIKASI FRAKTAL
1. Aplikasi Fraktal dalam Kehidupan Sehari-Hari
Dalam kehidupan sehari-hari, ada banyak sekali aplikasi fraktal dari banyak
aspek. Seperti membuat komputer dengan bantuan mammograpy, membuat gambar
nyata, membuat musik fraktal dan sebagainya. Pada makalah ini akan dibahas
beberapa aplikasi dari fraktal.
A. Pengubinan
Karena keindahan gambar dari fraktal, maka fraktal-fraktal sering digunakan
untuk mengisi suatu bidang. Gambar fraktal terkadang ditemukan di lantai,
jendela yang antik, atau pada karpet.
Pengisian dengan Von Koch Curves
The Koch Snowflake yang kita diskusikan sebelumnya ternyata sangat bagus
untuk dijadikan sebagai pengubinan. Dibawah ini merupakan gambar dari
Koch Snowflakes dengan perbandingan 1:3 pada sebuah bidang.
Gambar 5. Von Koch Curves
Ketika kita menggunakan The Koch Snowflakes sebagai pengubinan, maka
kita akan mengetahui bahwa Snowflakes berbentuk hexagon dan kemudian
pengubinan hexagon memiliki banyak jalan. Disini ada beberapa contoh dari
pengubinan dengan menggunakan Koch Snowflakes.
Gambar 6. Pengubinan Koch Snowflakes
Diatas adalah gambar dengan ukuran yang sama pada The Koch Star.
Kemudian pengubinan dengan semua hexagon pada bidang akan diperoleh
Gambar 7. Hexagon The Koch Star
Jenis diatas biasanya ditemukan pada jendela kuno di negara China.
Gambar 8. Pengubinan Jendela Kuno di China
Pengisian Ruang Fraktal
Terdapat tipe fraktal yang berfungsi untuk membuat gambar yang berwarna
penuh
tanpa ada lubang dengan interasi yang terus menerus. Kita
menyebutnya pengisian ruang fraktal. The Hibert Curve
yang kita bahas
sebelumnya merupakan contoh yang bagus dalam pengisian ruang fraktal.
Jenis lain yang menarik dari pengisian ruang fraktal adalah The Peano Curve.
Tidak seperti The Hibert Curveyang dibentuk dari persegi. The Peano Curve
dibentuk dengan persegi panjang.
Gambar 9. The Peano Curve
Pengisian ruang fraktal lainnya seperti Peano-Gosper Curve,Dragon Curve
terdapat pada gambar dibawah ini.
Gambar 10. Dragon Curve (kiri) dan Peano-Gosper Curve (kanan)
B. Gambar Yang Nyata
Aplikasi yang sangat penting adalah membuta
gambar nyata seperti awan, pohon, gunung, dan
sebagainya. Ini dikarenakan banyak benda-benda
alam seperti tumbuhan sangat kompleks dan beberapa
bagian mirip dengan aslinya. Kompleksnya fraktal
dan kelengkapan fraktal dalam mengulang-ulang
bentuknya ternyata berperan besar dalam membuat
gambar nyata.
The Koch Snowflake
sebelumnya
ternyata
yang telah kita bahas
dapat
digunakan
untuk
mendesain gambar alami yang lengkap. The Koch
Snowflakes itu sendiri sangat umum sebagai
Snowflakes di gambar alami.
Gambar 11.
Realistic Image
The Koch Snowflakesyang didiskusikan sebelumnya
ternyata adalah awal yang bagus untuk memulai titik dalam mendesain kurva
alami yang kompleks. The Koch Snowflake itu sendiri sudah sangat umum di
dunia alami.
Gambar dibawah ini akan menunjukkan pembuatan pohon dengan fraktal.
Tabel 2. Alur Pembentukan Pohon dengan Fraktal
1.
2.
3.
4.
5.
6.
BAB IV
FRAKTAL KOMPRESI DAN BATIK FRAKTAL
1. Fraktal Kompresi
We've already known that fractals can be used to resemble real-life object,
andKita sudah mengetahui bahwa fraktal dapat digunakan untuk membuat gambar
yang menyerupai objek dalam kehidupan nyata, danwe've discussed how it works as
well. kita telah membahas cara kerjanya juga. However, as researchers proceeded on
thisUntuk mengubah sebuah image into a fractal by approximation. gambar ke dalam
fraktal diperlukan suatu pendekatan.DWith the faster computer nowadays, they
actually achieve the goal of compressingDengan komputer yang lebih cepat saat ini,
kita dapat memampatkan real images into fractal images.gambar nyata ke dalam
gambar fraktal.The advantage of using fractal compression isFraktal biasanya
digambar oleh komputer dengan perangkat lunak fraktal. Fraktal acak memiliki
kegunaan praktis yang terbesar sebab dapat digunakan untuk mendeskripsikan banyak
benda di alam. Teknik-teknik fraktal juga telah digunakan pada kompresi gambar
fraktal dan berbagai disiplin sains.
Keuntungan menggunakan kompresi fraktal adalah being able to enlarge the
fractal without getting a blocky picture. bisa untuk memperbesar fraktal tanpa
mendapatkan gambar gumpal. We could say the Kita bisa mengatakan fractal
"smoothes out the details," making it much better for pictures required fraktal
"menghaluskan detil," sehingga jauh lebih baik untuk gambar yang diperlukan some
sort of zoom. semacam zoom. That is because fractals are infinitely detailed and so Itu
karena fraktal sangat jauh lebih rinci dan begitu enlargement causes it is "smooth" the
rough spots. memperhatikan pembesaran yang disebabkan oleh kehalusan dari bintikbintik kasar. Compare the two pictures of
Bandingkan dua gambar ferns below: pakis di bawah ini:
Gambar 12. Kompresi Daun
If you compare the two closely, you will find that the one on the right has more
Jika Anda membandingkan dua dekat, Anda akan menemukan bahwa satu di sebelah
kanan memiliki lebih banyakdetails. detail. The one on the left is just an enlargement
of a bitmap. Yang satu di sebelah kiri hanya sebuah pembesaran bitmap. The
compressed Yang merupakan gambar kompresiimage (on the right), however, has
much more detail. (di sebelah kanan) adalah yang lebih detail.
2. Kegagalan Euclidean
Perkembangan geometri fraktal berbeda dengan pandangan geometri Euclid
yang selama ini dikenal. Euclid menyederhanakan alam menjadi objek-objek yang
simetris dan murni: titik, garis satu dimensi, ruang dua dimensi, dan bangun ruang
tiga dimensi. Objek tersebut tidak ada yang memiliki lubang di dalamnya dan tidak
ada yang kasar. Semuanya adalah bentuk yang mulus dan murni. Mungkin kegagalan
geometri euclidean untuk menggambarkan bentuk alam karena tidak dapat
menunjukkan bentuk selanjutnya. Dalam geometri euclidean, semakin dekat
seseorang melihat pada objek, semakin sederhana objek tersebut. Bentuk tiga dimensi
menjadi bentuk datar dua dimensi menjadi satu dimensi sampai akhirnya kelihatan
menjadi titik. Sedangkan objek alam, memperlihatkan semakin detail seseorang
melihatnya, seluruhnya terlihat sampai level subatomik. Ternyata fraktal memiliki
sifat ini. Semakin dekat diuji, semakin detail terlihat.
Misalkan selembar kertas dua dimensi tanpa ketebalan, diremas menjadi
sebuah bola, bola kertas itu tidak lagi dua dimensi karena memiliki ketebalan. Namun
bola kertas itupun tidak menjadi tiga dimensi, walaupun berada di ruang tiga dimensi,
karena memiliki lubang dan lipatan. Dimensinya antara 2 dan 3. Makin padat bola
diremas, makin dekat ke 3 dimensi, atau benda padat. Bola yang diremas memiliki
dimensi berupa bilangan pecahan atau dimensi fraktal. tidak berupa bilangan bulat.
Geometri euclidean, atas kemurnian, bentuk halus tidak dapat menggambarkan bola
kertas diremas tersebut. Bola kertas tidak dapat ditiru menggunakan geometri
euclidean, kecuali melalui sejumlah besar interpolasi linear.
3. Karakteristik Fraktal
Salah satu karakteristik fraktal ialah kesamaan diri, artinya masing-masing
bagian berkaitan dengan keseluruhannya. Sebagai contoh, pohon bercabang memiliki
ranting-ranting kecilnya, mirip dengan bentuk keseluruhan pohon, tetapi tiap-tiap
cabang itu unik. Bentuk fraktal menunjukkan kesamaan diri dalam ruang.
Secara umum fraktal bentuknya tidak teratur (tidak halus), jadi bukan
termasuk benda yang terdefinisikan oleh geometri tradisional. Ini berarti bahwa
fraktal cenderung memiliki detil yang signifikan, terlihat dalam skala berapapun, saat
ada keserupa dirian, ini bisa terjadi karena memperbesar fraktal tersebut akan
menunjukkan
gambar
yang
mirip.
Himpunan-himpunan
tersebut
biasanya
didefinisikan dengan rekursi. Pohon dan pakis adalah contoh fraktal di alam dan dapat
dimodel pada komputer menggunakan algoritmarekursif. Sifat rekursifnya bisa dilihat
dengan mudah misalkan dengan mengambil satu cabang dari suatu pohon dan akan
terlihat bahwa cabang tersebut adalah miniatur dari pohonnya secara keseluruhan
(tidak sama persis, tapi mirip).
Sebagai perbandingan, ambil benda Euclid biasa, misalnya lingkaran.
Lengkung pada lingkaran akan terlihat semakin datar jika diperbesar. Pada perbesaran
tak terhingga tidak mungkin lagi terlihat perbedaan antara lengkung lingkaran dengan
garis lurus. Fraktal tidak seperti ini. Ide konvensional kurvatur, yang merupakan
resiprokal dari jari-jari lingkaran aproksimasi, tidak bisa digunakan. Pada fraktal,
meningkatkan perbesaran akan menunjukkan detil yang tidak terlihat sebelumnya.
Beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandelbrot, fraktal
Lyapunov, himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, spons Menger,
kurva naga, kurva Peano, dan kurva Koch. Sistem dinamikal chaotis sering (bahkan
mungkin selalu) dihubungkan dengan fraktal.
Gambar 13. Himpunan Mandelbrot
Gambar 14. Menger Sponge
Gambar 15. Dragon Curve
Gambar 16. Fraktal Lyapunov
Gambar 17. Segitiga Sierpinski
Gambar 18. Kurva Koch
Contoh yang relatif sederhana adalah himpunan Cantor, di mana selang
terbuka yang pendek dan semakin pendek tersebar pada selang dasar [0, 1],
menyisakan himpunan yang mungkin serupa diri, dan mungkin memiliki dimensi d
yang memenuhi 0
GAMBARAN UMUM GEOMETRI FRAKTAL
1. Latar Belakang Adanya Geometri Fraktal
Setelah membuat definisi tentang 4 unsur primitif dan 5 postulat, Euclidus
menurunkan berbagai dalil tentang geometri bidang datar. Tetapi ternyata geometri
ini hanya bisa digunakan untuk menerangkan secara konsepsional objekobjek linear
atau objek-objek buatan manusia, bukan objek-objek alam. Sebenarnya sejak lama
para ahli matematika telah berupaya untuk merumuskan objek-objeknon linear seperti
yang dilakukan oleh Bolyai, Lobachevski, maupun Riemann. Pada dasarnya mereka
ingin mengubah postulat ke 5 (postulat kesejajaran) dari Euclidus agar dapat keluar
dari paradigma linearitas.
Bolyai menunjukkan bahwa dari 29 dalil ternyata 28 dalil pertama dari
Euclidus dapat dibuktikan tanpa menggunakan postulat yang ke 5.
Dengan
menggunakan 4 yang pertama dari 5 postulat Euclidus, Bolyai mampu membuktikan
bahwa melalui suatu titik B di luar garis lurus bdapat dilukis paling sedikit 1 garis
lurus yang sejajar dengan garis b. Kemudian lebih jauh Lobachevski juga
menggantikan postulat ke 5 dari Euclidus dengan postulat: melalui 1 titik di luar
suatu garis lurus paling sedikit dapat dilukis 2 buah garis lurus yang sejajar. Dengan
postulat pengganti ini, Lobachevski ingin membuktikan bahwa postulat ke 5 dari
Euclidus itu hanya merupakan akibat dari 4 postulat lainnya. Walaupun Lobachevski
tidak berhasil membuktikan itu, tetapi dengan postulat pengganti yang tampaknya
tidak masuk akal itu (beserta4 postulat pertama dari Euclidus) Lobachevski malah
berhasil membangun suatu geometri lain yang juga konsisten. Geometri Lobachevski
tidak menggunakan bidang datar melainkan bentuk terompet.
Selain itu Riemann membuat postulat: tidak ada 2 buah garis lurus yang
sejajar. Postulat ini sejalan dengan fenomena dalam membatasi bidang permukaan
yang berbentuk bola. Geometri Riemann yang semula dipandang aneh ini ternyata
kemudian melandasi lahirnya Teori Relativitas Einstein.
Sekalipun upaya telah banyak dilakukan, kenyataannya Geometri Euclidus
tetap mengobsesi para ahli untuk melinearkan objek-objek alam ataupun sistem
dinamis sampai akhir abad 20. Sebagai implikasi dari Geometri Euclidus, setiap
objek alam merupakan tumpukan dadudadu dalam sistem salib sumbu 3 dimensi yang
saling tegak lurus.
1
Sebagai implikasi dari itu maka kalkulus terobsesi untuk
melinearkan setiap objek (baik itu buatan manusia ataupun objek alam) melalui
pembuatan fungsi-fungsi kurva dan menggunakan operasi yang sangat terkenal
dengan istilah diferensialintegral. Memang dengan kemajuan seperti yang dicapai
dalam Persamaan Diferensial maupun Teori Fuzzy dalam memformulasikan sistem
dinamis, kalkulus juga mencapai kemajuan yang sangat mengesankan yang pada
puncaknya dapat mendeskrispsikan Teori Kekacauan (Chaos Theory). Tetapi, kedua
teori ini tidak mempunyai basis yang konsepsional melainkan dengan menggunakan
aproksimasi numerik.
Suatu ironis bahwa Geometri Euclidus merupakan geometri yang paling
banyak digunakan tetapi paling jarang dijumpai di alam. Penemuan Himpunan Debu
Cantor, Kurva Koch, Media Berpori seperti Spon, Karpet dan GasketSierpinski
(Gambar 2 - 6) merupakan teka-teki (puzzles)bagi kalkulus yang merupakan anak
kandung (offspring) dari Geometri Euclidus. Semua objek tersebut adalah objek-objek
kontinyu tetapi tidak diferensialble.
Artinya objek-objek selalu dikeluarkan dari
pembahasan kalkulus. Himpunan Debu Cantor (Cantor Set) tidak bisa dikatakan
sebagai objek berdimensi 1 (garis lurus) ataupun 0 (titik). Kurva Koch, Gasket dan
Karpet Sierpinski tidak bisa dikatakan sebagai objek berdimensi 1 ataupun 2 (bidang
datar). Sedangkan media berpori spon (Menger Sponge) bukanlah objek berdimensi 2
ataupun 3.
Para matematikawan waktu itu (sebelum Mandelbrot, 1982) menyebut objekobjek tersebut sebagai monster yang mengerikan berhubung dengan sifatnya yang
kontinyu tetapi tidak terdiferensial. Bahkan monster-monster itu semakin banyak bila
dihadapkan pada keharusan untuk memformulasikan geometri dari objek-objek alam.
Dengan demikian diperlukan geometri lain yang dapat memperluas Geometri
Euclidus agar bisa menjelaskan secara konsepsional perilaku objek-objek monster
yang berada dimana-mana seperti bentuk-bentuk penjalaran halilintar, jaringan saraf,
jaringan pembulu darah, jaringan sungai, pola percabangan pohon, percabangan
perakaran, turbulensi fluida, media berpori seperti jaringan spon, jaringan makluk
hidup, keramik, batuan maupun tanah dan untuk semua objek alam lainnya. Geometri
itu dikenal sebagai Geometri Fraktal ataupun yang disebut oleh Peigent, Jurgen dan
Saupe sebagai Geometri Kekacauan atau Geometry of Chaos. Geometri ini secara
konsepsional mampu memformulasikan objek-objek monster,
objek-objek alam
maupun sistem dinamis non linear. Sebagai contoh kekacauan geometri daun paku
2
dapat dipecahkan dengan Gasket Sirpinskie. Begitu pula model pertumbuhan
populasi.
2. Pengertian dengan Geometri Fraktal
Bahasa Inggris dari fraktal adalah fractal. Istilah fractal dibuat oleh Benoît
Mandelbrot pada tahun 1975 dari kata Latin fractus yang artinya "patah", "rusak",
atau "tidak teratur". Sebelum Mandelbrot memperkenalkan istilah tersebut, nama
umum untuk struktur semacamnya adalah kurva monster.
Menurut Mandelbrot, setiap objek alam berperilaku sebagai fraktal dalam hal
ini merupakan hasil kerja gaya yang sama yang bekerja pada berbagai tingkatan skala
pada suatu objek sehingga mengakibatkan iterasi atau pengulangan bentuk dasar
(fractal seed atau fractal generator) yang hasilnya menyatu dalam satu objek yang
bersangkutan. Proses itu dikenal sebagai proses self similiarity yang bersifat scale
invariant: artinya diamati dengan skala berapapun bentuk geometrinya maupun
dimensinya tetap sama dengan benih fraktalnya.
3. Kegunaan Geometri Fraktal dalam Kehidupan
Geometri Fraktal ini telah dipergunakan hampir di semua bidang bahkan untuk
ilmu social, ekonomi maupun bidang seni Dalam ilmu tanah penggunaan Geometri
Fraktal masih terbatas pada bidang fisika tanah. Dalam hal ini pertama kali dipelopori
oleh Tyler dan Wheatcraft untuk menentukan parameter percabangan pori-pori tanah
dalam usaha untuk meniadakan pekerjaan fitting parameter dan untuk mereduksi
pekerjaan empiris di laboratorium ataupun di lapangan sehingga pemodelan retensi
ataupun pergerakan air tanah beserta bahan-bahan polutan yang terlarut di dalamnya
dapat dikerjakan secara konsepsional, dalam arti secara matematika absah dan
mempunyai landasan hukum-hukum fisika yang telah diterima secara universal serta
cepat, murah dan tidak banyak memakan waktu.
4. Pengelompokan Fraktal
Fraktal dibedakan menjadi dua, yaitu:
1.
Fraktal deterministik. Fraktal deterministik dihasilkan oleh aturan-aturan
deterministik yang terus diulang dan memiliki kecenderungan bentuk yang
simetris. Contoh: sebuah segitiga terdiri dari iterasi berbagai segitiga lainnya
3
yang lebih kecil. Tetapi benda-benda alam tidak pernah betul-betul simetris
sehingga fraktal deterministik kurang realistis.
2.
Fraktal random. Fraktal random dihasilkan oleh kombinasi aturan-aturan yang
dipilih secara random pada skala yang berbeda. Contoh: sebuah garis pantai. Dari
pesawat terbang, garis pantai terlihat seperti garis tak teratur yang mulus. Makin
rendah pesawat terbang, makin bergerigi garis pantai itu, sampai pada jarak dekat
setiap batas terlihat. Semakin dekat, semakin jelas terlihat detail garis pantai
tersebut. Harga saham mirip dengan garis pantai tersebut. Makin dekat kita
melihat (makin kecil unit waktunya), makin banyak detail yang terlihat.
Fraktal bisa juga dikelompokkan menjadi tiga kategori luas. Pengelompokan
berikut didasarkan pada cara pendefinisian atau pembuatannya.
1.
Iterated Function System - memiliki aturan geometris tetap. Misalnya himpunan
debu Cantor , karpet Sierpinski, gasket Sierpinski, kurva Peano, bungasalju Koch,
kurva naga Harter-Highway, T-Square , sponsMenger
2.
Escape-time fractals - ditentukan dengan formula atau relasirekursi di setiap titik.
Contoh himpunan Mandelbrot, himpunan Julia , fraktal Burning Ship, fraktal
Nova dan fraktal Lyapunov
3.
Random fractals - dibentuk oleh proses stokastik bukan dari proses
deterministik.Contoh lintasan gerak Brown , penerbangan Levy , fraktal
lanskapfraktal dan pohon Brownian .
Fraktal juga bisa dikelompokkan berdasarkan keserupa diriannya. Ada tiga
tingkat keperupadirian pada fraktal:
Serupa diri secara persis — Ini adalah keserupa dirian yang paling kuat.
Fraktalnya terlihat sama persis pada berbagai skala. Fraktal yang didefinisikan
oleh sistem fungsi teriterasi biasanya bersifat serupa diri secara persis.
Serupa diri secara lemah — Ini adalah keserupa dirian yang tidak terlalu ketat.
Fraktalnya terlihat mirip (tapi tidak persis sama) pada skala yang berbeda. Fraktal
jenis ini memuat salinan dirinya sendiri dalam bentuk yang terdistorsi maupun
rusak.
Serupa diri secara statistik — Ini adalah kererupadirian yang paling lemah.
Fraktalnya memiliki ukuran numeris atau statistik yang terjaga pada skala yang
berbeda. Kebanyakan definisi fraktal yang wajar secara trivial mengharuskan
suatu bentuk keserupa dirian statistik. Dimensi fraktal sendiri adalah ukuran
4
numeris yang nilainya terjaga pada berbagai skala. Fraktal acak adalah contoh
fraktal yang serupa diri secara statistik, tapi tidak serupa diri secara persis
maupun lemah.
5
BAB II
MACAM-MACAM GEOMETRI FRAKTAL
1. Himpunan Mandelbrot
Mandelbrot, Benoit B. (20 November 1924 – 14
October 2010) adalah seorang matematikawan Perancis
kelahiran Polandia, yang mengembangkan geometri
fraktal
sebagai
salah
matematika.Mandelbrot
satu
dilahirkan
cabang
di
Warsawa
baru
dan
mengenyam pendidikan sekolah di Perancis dan USA,
meraih gelar doktor dalam bidang matematika dari
Universitas Paris pada tahun 1952.Ia mengajar ekonomi di
Universitas Harvard, teknik di Universitas Yale, psikologi
di Albert Einstein College of Medicine, matematika di
Paris dan Genewa. Sejak 1958 ia berkerja sebagai anggota
IBM di Pusat Riset Thomas B. Watson di New York.
Pada tahun 1960-an Benoît Mandelbrot mulai menyelidiki keserupa dirian dalam
berbagai tulisannya seperti How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and
Fractional Dimension.Penyelidikannya merupakan pengembangan dari penelitian Lewis Fry
Richardson.Dengan pendekatan yang sangat visual, Mandelbrot mendapatkan hubungan dari
berbagai topik matematika yang sebelumnya tidak berkaitan.Di tahun 1975, Mandelbrot
menggunakan kata fractal untuk mendeskripsikan benda-benda serupa diri yang tidak
memiliki dimensi yang jelas. Dia menurunkan kata fractal dari kata Latin fractus yang
artinya "patah", "rusak", atau "tidak teratur". Kata fractal bukan diturunkan dari
katafractional (pecahan), seperti yang dipercaya banyak orang.Katafractional sendiri juga
diturunkan dari fractus.
Mandelbrot menggunakan definisi dimensi yang lebih abstrak daripada yang
digunakan dalam geometri Euclid (geometri biasa yang diajarkan di sekolah), dengan
menyatakan bahwa dimensi sebuah fraktal harus digunakan sebagai pangkat pada saat
mengukurnya. Hasilnya adalah bahwa sebuah fraktal tidak mungkin diperlakukan seperti
benda-benda geometris lain yang berdimensi satu, dua, atau bilangan-bilangan bulat lain.
Akan tetapi, fraktal harus diperlakukan secara matematis sebagai bentuk-bentuk geometris
6
yang berdimensi pecahan.Sebagai contoh, kurva fraktal snowflake Koch memiliki dimensi
1.2618.
Himpunan
bidangkompleks.Untuk
Mandelbrotadalahhimpunan
titik-titikpada
membangunhimpunanMandelbrot,
kita
menggunakanalgoritmaberdasarkanrumusrekursif:
memisahkanpoindaribidang kompleksmenjadi dua kategori:
•titik di dalamhimpunanMandelbrot,
•titik di luar himpunanMandelbrot.
Gambar di bawah menunjukkansebagian daribidang kompleks.Titiktitikdari himpunanMandelbrottelahberwarnahitam.
Cara membuat himpunan Mandelbrot
7
Untuk
membuathimpunanMandelbrotkita
padabidang
kompleks.Bilangan
kompleks
harusmemilih
yang
titik(C)
berkorespondensi
dengantitik inimemilikibentuk:
Setelahmenghitungnilai dari ekspresisebelumnya:
Kita misalkan
Z 0 =0
, lalu kita tentukan nilai C sebagai hasilnya. Langkah
selanjutnyaadalahmenetapkanhasil dari
Z2
dan ulangi perhitungan
C2 +C . Setelah itu kita harus menentukan nilai
hingga didapat hasil
untuk
Z1 ,
dan ulangi prosesnya lagi.
Proses ini dapat direpresentasikan sebagai"migrasi" darititik awalC pada
bidang.
Apa yang terjadi padatitik ketikakitaberulang kali melakukan iterasi pada
fungsi tersebut? Apakah akantetapdekatke asalatauakanpergijauh dari itu,
bertambahnya jarakdari titik asaltanpabatas? Dalamkasus pertama, kita
mengatakan
bahwaCtermasuk
himpunanMandelbrot(itu
adalah
salah
satutitik hitampada gambar); sebaliknya,kita mengatakan bahwa titikini
menuju
tak
hinggadan
kitamenentukanwarnauntukCtergantung
padakecepatan di manatitik tersebut"pergi"/ “menjauh” dari titik asal.
Kita bisa melihat pada algoritma dari sudut pandang yang berbeda . Mari kita bayangkan
bahwa semua titik bidang ditarik pada : tak hingga dan himpunan Mandelbrot. Membuat ini
mudah untuk memahaminya:
Titik-titik yang
jauh dari himpunan Mandelbrot bergerak dengan
cepat bergerak menuju tak hingga.
Titik-titik yang dekat dengan himpunan Mandelbrot secara perlahan
bergerak menuju tak hingga.
Titik-titik dalam himpunan Mandelbrot tidak pernah bergerak
menuju tak hingga.
8
2. Segitiga Sierpinski
Sierpinski Triangle dinamai oleh matematikawan Polandia, Waclaw Sierpinski
tahun 1916. Cara Membuat Segitiga Sierpinski :
1.
Buat segitiga sama sisi
2. Hubungkan masing-masing titik tengah sisi segitiga
3.
Hilangkan segitiga yang di tengah
4. Ulangi langkah 1,2,3 untuk 3 buah segitiga yang ada
5. Setelah dilakukan berkali-kali tahap di atas, hasilnya adalah:
9
Cara menghitung luas segitiga sierpinski adalah sebagai berikut.
Setelah iterasi/pengulangan ke-n,
Luas segitiga sierpinski =
(0,75)n x luas segitiga sama sisi awal
Cara menghitung banyaknya segitiga yang masih ada setelah iterasi ke-n?:
Tabel 1. Daftar Jumlah Segitiga Pada Interasi ke-n
Banyaknya segitiga tersisa
2. Kurva Von Koch
Kurva Von Koch dihasilkan oleh prosedur geometris sederhana yang dapat
diiterasikan tak terbatas dengan membagi segmen garis lurus menjadi tiga bagian
yang sama dan mengganti bagian tengah dengan dua segmen yang sama panjang. Von
Koch The Curve adalah contoh yang sangat dasar dari fraktal, karena mengikuti
aturan sederhana konstruksi.
a) Melukis Edge Koch
1.
10
Mulailah dengan sebuah garis lurus.
2.
Garis lurus dibagi menjadi 3 bagian yang sama, dan bagian tengah digantikan
oleh dua segmen linier pada sudut 60o
dan 120o .
3.
Ulangi langkah 1 dan 2 untuk empat segmen garis.
4.
Iterasi selanjutnya akan menghasilkan kurva berikut.
Di ulang 3
Di ulang 4
×
b) Sifat-sifat Edge Koch
×
Kurva Von Koch jelas menunjukkan kesamaan-diri fraktal. Pola yang sama
selalu muncul sepanjang kurva dalam skala yang berbeda, dari yang dapat terlihat
sampai yang sangat kecil.
Idealnya proses iterasi (pengulangan) tanpa batas dan iterasi juga dapat
dihentikan.
Total Panjang Edge Koch
Untuk mempertahankan perpindahan di antara dua titik konstan, ukuran
panjang dikalikan dengan
4
3
di setiap iterasinya.
Dari aturan sederhana iterasi, kita dapat menggunakan rumus panjang total
dari Edge Koch pada iterasi ke-n.
11
L=
4
3
n
()
Untuk menghitung dimensi Kurva Koch, kita melihat citra fraktal dan
mengetahui bahwa Kurva Koch memiliki faktor pembesaran tiga dan setiap
iterasi dibagi menjadi empat bagian yang lebih kecil. Sehingga didapatkan:
D=
ln 4 1,3863
=
=1,2619
ln3 1,0986
Jadi, Kurva Koch memiliki dimensi 1,2619.
Jumlah Edge Koch
Setelah iterasi, setiap sisi tunggal berubah menjadi empat segmen berukuran
sama dengan panjang
1
3
dari panjang aslinya.
Dengan demikian, setelah iterasi n, jumlah Edge Koch adalah 4 n .
c) Contoh Lain Kurva Koch
Koch Snowflake
Jika kita menerapkan proses di atas pada dua sisi suatu segitiga sama sisi
(tidak termasuk bagian dalam), kita akan memiliki pola sebagai berikut.
Level 0
Level 1
Level 2
Level 3
Gambar 1. Koch Snowflake
Pada tingkat yang sangat tinggi, kita akan memiliki gambar di bawah ini:
12
Gambar 2. Kurva
Snowflake
Kurva Koch ini disebut kurva snowflake.
Koch Star
Selain segitiga sama sisi, proses yang sama dapat diterapkan pada sisi
sembarang polygon.
Salah satu contohnya adalah heksagram. Pada setiap tingkat, heksagram baru
yang lebih kecil dihasilkan di enam simpul dari heksagram asli. Hasil dari
heksagram yang baru mirip dengan heksagram yang asli.
Level 0
Level 1
Level 2
Level 3
Gambar 3. Heksagram
3. Kurva Hilbert
Kurva Hilbert pertama kali diperkenalkan oleh David Hilbert (1862-1943).
Kurva ini disebut kurva pengisi ruang, karena pada akhirnya akan menutupi seluruh
bidang setelah beberapa iterasi.
a) Melukis Kurva Hibert
Mulailah dengan bentuk dasar seperti berikut.
13
Perkecil kurva sebelumnya menjadi setengah ukurannya. Secara bersamaan,
perkecil ukuran grid oleh dua faktor.
Tempatkan empat salinan dari kurva
tersebut pada grid. Dua salinan kurva yang berada di bawah tetap seperti
sebelumnya, dan dua salinan kurva yang di atas harus diputar sebuah , satu ke kiri
dan yang lainnya ke kanan. Terakhir, menghubungkan empat potong pendek
segmen untuk mendapatkan kurva langkah berikutnya, dapat dihubungkan
segmen horizontal maupun vertikal.
Semua sisa kurva dibuat secara berurutan satu dari yang lain dengan
menggunakan algoritma yang sama.
b) Sistem-L
Berbeda dengan segitiga Sierpinski dan kurva Von Koch, dalam proses melukis
kurva Hilbert, bentuk pokok yang sama akan menyusut dan berubah di tempat
lain dan beberapa dari kurva diputar
System (L-sistem).
90
o
. Algoritma ini disebut Lindenmayer
Ini adalah langkah-langkah menulis ulang sistem yang
terutama digunakan untuk menghasilkan fraktal dengan dimensi antara 1 dan 2.
Setelah transformasi, kurva harus dihubungkan dengan memperkenalkan
beberapa baris segmen. Itulah sebabnya, setelah beberapa iterasi (sekitar ke-7
sampai ke-9), kurva akan menutupi seluruh bidang.
Gambar 4. Sistem-L
c) Panjang Kurva
14
Setiap iterasi, fraktal menjadi 2 unit lebih panjang. Setelah iterasi n, panjang
kurva akan bertambah sampai dengan 2n unit yang lebih panjang.
15
BAB III
APLIKASI FRAKTAL
1. Aplikasi Fraktal dalam Kehidupan Sehari-Hari
Dalam kehidupan sehari-hari, ada banyak sekali aplikasi fraktal dari banyak
aspek. Seperti membuat komputer dengan bantuan mammograpy, membuat gambar
nyata, membuat musik fraktal dan sebagainya. Pada makalah ini akan dibahas
beberapa aplikasi dari fraktal.
A. Pengubinan
Karena keindahan gambar dari fraktal, maka fraktal-fraktal sering digunakan
untuk mengisi suatu bidang. Gambar fraktal terkadang ditemukan di lantai,
jendela yang antik, atau pada karpet.
Pengisian dengan Von Koch Curves
The Koch Snowflake yang kita diskusikan sebelumnya ternyata sangat bagus
untuk dijadikan sebagai pengubinan. Dibawah ini merupakan gambar dari
Koch Snowflakes dengan perbandingan 1:3 pada sebuah bidang.
Gambar 5. Von Koch Curves
Ketika kita menggunakan The Koch Snowflakes sebagai pengubinan, maka
kita akan mengetahui bahwa Snowflakes berbentuk hexagon dan kemudian
pengubinan hexagon memiliki banyak jalan. Disini ada beberapa contoh dari
pengubinan dengan menggunakan Koch Snowflakes.
Gambar 6. Pengubinan Koch Snowflakes
Diatas adalah gambar dengan ukuran yang sama pada The Koch Star.
Kemudian pengubinan dengan semua hexagon pada bidang akan diperoleh
Gambar 7. Hexagon The Koch Star
Jenis diatas biasanya ditemukan pada jendela kuno di negara China.
Gambar 8. Pengubinan Jendela Kuno di China
Pengisian Ruang Fraktal
Terdapat tipe fraktal yang berfungsi untuk membuat gambar yang berwarna
penuh
tanpa ada lubang dengan interasi yang terus menerus. Kita
menyebutnya pengisian ruang fraktal. The Hibert Curve
yang kita bahas
sebelumnya merupakan contoh yang bagus dalam pengisian ruang fraktal.
Jenis lain yang menarik dari pengisian ruang fraktal adalah The Peano Curve.
Tidak seperti The Hibert Curveyang dibentuk dari persegi. The Peano Curve
dibentuk dengan persegi panjang.
Gambar 9. The Peano Curve
Pengisian ruang fraktal lainnya seperti Peano-Gosper Curve,Dragon Curve
terdapat pada gambar dibawah ini.
Gambar 10. Dragon Curve (kiri) dan Peano-Gosper Curve (kanan)
B. Gambar Yang Nyata
Aplikasi yang sangat penting adalah membuta
gambar nyata seperti awan, pohon, gunung, dan
sebagainya. Ini dikarenakan banyak benda-benda
alam seperti tumbuhan sangat kompleks dan beberapa
bagian mirip dengan aslinya. Kompleksnya fraktal
dan kelengkapan fraktal dalam mengulang-ulang
bentuknya ternyata berperan besar dalam membuat
gambar nyata.
The Koch Snowflake
sebelumnya
ternyata
yang telah kita bahas
dapat
digunakan
untuk
mendesain gambar alami yang lengkap. The Koch
Snowflakes itu sendiri sangat umum sebagai
Snowflakes di gambar alami.
Gambar 11.
Realistic Image
The Koch Snowflakesyang didiskusikan sebelumnya
ternyata adalah awal yang bagus untuk memulai titik dalam mendesain kurva
alami yang kompleks. The Koch Snowflake itu sendiri sudah sangat umum di
dunia alami.
Gambar dibawah ini akan menunjukkan pembuatan pohon dengan fraktal.
Tabel 2. Alur Pembentukan Pohon dengan Fraktal
1.
2.
3.
4.
5.
6.
BAB IV
FRAKTAL KOMPRESI DAN BATIK FRAKTAL
1. Fraktal Kompresi
We've already known that fractals can be used to resemble real-life object,
andKita sudah mengetahui bahwa fraktal dapat digunakan untuk membuat gambar
yang menyerupai objek dalam kehidupan nyata, danwe've discussed how it works as
well. kita telah membahas cara kerjanya juga. However, as researchers proceeded on
thisUntuk mengubah sebuah image into a fractal by approximation. gambar ke dalam
fraktal diperlukan suatu pendekatan.DWith the faster computer nowadays, they
actually achieve the goal of compressingDengan komputer yang lebih cepat saat ini,
kita dapat memampatkan real images into fractal images.gambar nyata ke dalam
gambar fraktal.The advantage of using fractal compression isFraktal biasanya
digambar oleh komputer dengan perangkat lunak fraktal. Fraktal acak memiliki
kegunaan praktis yang terbesar sebab dapat digunakan untuk mendeskripsikan banyak
benda di alam. Teknik-teknik fraktal juga telah digunakan pada kompresi gambar
fraktal dan berbagai disiplin sains.
Keuntungan menggunakan kompresi fraktal adalah being able to enlarge the
fractal without getting a blocky picture. bisa untuk memperbesar fraktal tanpa
mendapatkan gambar gumpal. We could say the Kita bisa mengatakan fractal
"smoothes out the details," making it much better for pictures required fraktal
"menghaluskan detil," sehingga jauh lebih baik untuk gambar yang diperlukan some
sort of zoom. semacam zoom. That is because fractals are infinitely detailed and so Itu
karena fraktal sangat jauh lebih rinci dan begitu enlargement causes it is "smooth" the
rough spots. memperhatikan pembesaran yang disebabkan oleh kehalusan dari bintikbintik kasar. Compare the two pictures of
Bandingkan dua gambar ferns below: pakis di bawah ini:
Gambar 12. Kompresi Daun
If you compare the two closely, you will find that the one on the right has more
Jika Anda membandingkan dua dekat, Anda akan menemukan bahwa satu di sebelah
kanan memiliki lebih banyakdetails. detail. The one on the left is just an enlargement
of a bitmap. Yang satu di sebelah kiri hanya sebuah pembesaran bitmap. The
compressed Yang merupakan gambar kompresiimage (on the right), however, has
much more detail. (di sebelah kanan) adalah yang lebih detail.
2. Kegagalan Euclidean
Perkembangan geometri fraktal berbeda dengan pandangan geometri Euclid
yang selama ini dikenal. Euclid menyederhanakan alam menjadi objek-objek yang
simetris dan murni: titik, garis satu dimensi, ruang dua dimensi, dan bangun ruang
tiga dimensi. Objek tersebut tidak ada yang memiliki lubang di dalamnya dan tidak
ada yang kasar. Semuanya adalah bentuk yang mulus dan murni. Mungkin kegagalan
geometri euclidean untuk menggambarkan bentuk alam karena tidak dapat
menunjukkan bentuk selanjutnya. Dalam geometri euclidean, semakin dekat
seseorang melihat pada objek, semakin sederhana objek tersebut. Bentuk tiga dimensi
menjadi bentuk datar dua dimensi menjadi satu dimensi sampai akhirnya kelihatan
menjadi titik. Sedangkan objek alam, memperlihatkan semakin detail seseorang
melihatnya, seluruhnya terlihat sampai level subatomik. Ternyata fraktal memiliki
sifat ini. Semakin dekat diuji, semakin detail terlihat.
Misalkan selembar kertas dua dimensi tanpa ketebalan, diremas menjadi
sebuah bola, bola kertas itu tidak lagi dua dimensi karena memiliki ketebalan. Namun
bola kertas itupun tidak menjadi tiga dimensi, walaupun berada di ruang tiga dimensi,
karena memiliki lubang dan lipatan. Dimensinya antara 2 dan 3. Makin padat bola
diremas, makin dekat ke 3 dimensi, atau benda padat. Bola yang diremas memiliki
dimensi berupa bilangan pecahan atau dimensi fraktal. tidak berupa bilangan bulat.
Geometri euclidean, atas kemurnian, bentuk halus tidak dapat menggambarkan bola
kertas diremas tersebut. Bola kertas tidak dapat ditiru menggunakan geometri
euclidean, kecuali melalui sejumlah besar interpolasi linear.
3. Karakteristik Fraktal
Salah satu karakteristik fraktal ialah kesamaan diri, artinya masing-masing
bagian berkaitan dengan keseluruhannya. Sebagai contoh, pohon bercabang memiliki
ranting-ranting kecilnya, mirip dengan bentuk keseluruhan pohon, tetapi tiap-tiap
cabang itu unik. Bentuk fraktal menunjukkan kesamaan diri dalam ruang.
Secara umum fraktal bentuknya tidak teratur (tidak halus), jadi bukan
termasuk benda yang terdefinisikan oleh geometri tradisional. Ini berarti bahwa
fraktal cenderung memiliki detil yang signifikan, terlihat dalam skala berapapun, saat
ada keserupa dirian, ini bisa terjadi karena memperbesar fraktal tersebut akan
menunjukkan
gambar
yang
mirip.
Himpunan-himpunan
tersebut
biasanya
didefinisikan dengan rekursi. Pohon dan pakis adalah contoh fraktal di alam dan dapat
dimodel pada komputer menggunakan algoritmarekursif. Sifat rekursifnya bisa dilihat
dengan mudah misalkan dengan mengambil satu cabang dari suatu pohon dan akan
terlihat bahwa cabang tersebut adalah miniatur dari pohonnya secara keseluruhan
(tidak sama persis, tapi mirip).
Sebagai perbandingan, ambil benda Euclid biasa, misalnya lingkaran.
Lengkung pada lingkaran akan terlihat semakin datar jika diperbesar. Pada perbesaran
tak terhingga tidak mungkin lagi terlihat perbedaan antara lengkung lingkaran dengan
garis lurus. Fraktal tidak seperti ini. Ide konvensional kurvatur, yang merupakan
resiprokal dari jari-jari lingkaran aproksimasi, tidak bisa digunakan. Pada fraktal,
meningkatkan perbesaran akan menunjukkan detil yang tidak terlihat sebelumnya.
Beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandelbrot, fraktal
Lyapunov, himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, spons Menger,
kurva naga, kurva Peano, dan kurva Koch. Sistem dinamikal chaotis sering (bahkan
mungkin selalu) dihubungkan dengan fraktal.
Gambar 13. Himpunan Mandelbrot
Gambar 14. Menger Sponge
Gambar 15. Dragon Curve
Gambar 16. Fraktal Lyapunov
Gambar 17. Segitiga Sierpinski
Gambar 18. Kurva Koch
Contoh yang relatif sederhana adalah himpunan Cantor, di mana selang
terbuka yang pendek dan semakin pendek tersebar pada selang dasar [0, 1],
menyisakan himpunan yang mungkin serupa diri, dan mungkin memiliki dimensi d
yang memenuhi 0