Integrasi Numerik.pdf (2,210Kb)

INTEGRASI NUMERIK

Pengantar




Pengintegralan numerik merupakan alat
atau cara yang digunakan oleh ilmuwan
untuk memperoleh jawaban hampiran
(aproksimasi) dari pengintegralan yang
tidak dapat diselesaikan secara analitik.
Misalnya dalam termodinamik, model
Debye untuk menghitung kapasitas
panas dari benda padat.

INTEGRASI NUMERIK


Fungsi yang dapat dihitung integralnya :

ax n 1
 ax dx  n  1  C
ax
e
ax
e
 dx  a  C
 sin(ax  b)dx   1 a cos(a  b)  C
 cos(ax  b)dx  1 a sin(a  b)  C
1
 x dx  ln | x | C
n



2


0

Fungsi yang rumit misal :
3

2  cos(1  x 2 )
1  0.5 sin x

e 0.5 x dx

 ln | x |dx  x ln | x |  x  C

INTEGRASI NUMERIK






Perhitungan integral adalah perhitungan
dasar yang digunakan dalam kalkulus,
dalam banyak keperluan.

digunakan untuk menghitung luas daerah
yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan
sumbu x.
Penerapan integral : menghitung luas dan
volume-volume benda putar

Dasar Pengintegralan Numerik


Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi



b

a

f(x)

x0

n

f ( x)dx   ci f ( xi )
i 0

 c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 )  ...  cn f ( xn )

x1

xn-1

xn

x

Dasar Pengintegralan Numerik


Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti

saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.



Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan
lebih mendekati jawaban eksak.
12

10

8

6

4

2

0
3

5

7

9

11

13

15

Dasar Pengintegralan Numerik
Formula Newton-Cotes
- Berdasarkan pada
b

b

a

a

I   f ( x )dx   fn ( x )dx
 Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

fn ( x )  a0  a1 x    an1 x n1  an x n

 fn (x) bisa fungsi linear
 fn (x) bisa fungsi kuadrat

 fn (x) bisa juga fungsi kubik atau
polinomial yang lebih tinggi

 Polinomial dapat didasarkan pada data

INTEGRASI NUMERIK




Luas daerah yang
diarsir L dapat
dihitung dengan :
L= b

 f x dx
a

Metode Integral Reimann
0.5
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
0.45

0.4

0.35

0.3

0.25

0.2
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Metode Integral Reimann







Luasan yang dibatasi y = f(x) dan
sumbu x
Luasan dibagi menjadi N bagian pada
range x = [a,b]
Kemudian dihitung Li : luas setiap
persegi panjang dimana Li=f(xi). xi

Metode Integral Reimann


Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan
dituliskan :
L  L0  L1  L2  ..  Ln

 f x0 x0  f x1 x1  f x2 x2  ...  f xn x3
n

  f xi xi
i 0




Dimana x0  x1  x2  ...  xn  h
n
Didapat b

 f x dx  h f xi 
a

i 0

1

L =  x 2 dx

Contoh


0

Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan
sumbu x untuk range x = [0,1]
1
x**2

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Contoh


Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :

10

L  h. f ( xi )
i 0

 0.10  0.01  0.04  0.09  0.16  0.25  0.36  0.49  0.64  0.81  1.00
 0.13,85  0,385

1

1
L   x 2 dx  x 3 |10  0,3333.....
3
0



Secara kalkulus :



Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333
= 0,052



Algoritma Metode Integral
Reimann:







Definisikan fungsi f(x)
Tentukan batas bawah dan batas ata
integrasi
Tentukan jumlah pembagi area N
Hitung h=(b-a)/N
N
Hitung

L  h. f ( xi )
i 0

Metode Integrasi Trapezoida


Aproksimasi garis lurus (linier)



b

a

1

f ( x )dx   c i f ( x i )  c0 f ( x0 )  c 1 f ( x1 )
i 0

h
  f ( x0 )  f ( x 1 ) 
2
f(x)
L(x)

x0

x1

x

Contoh: Aturan Trapesium
 Hitung integral dari
 xe dx
4



0

Solusi eksak



4

0

2x

4

 x 2x 1 2x 
xe dx   e  e 
4 0
2
2x

4

1 2x
 e (2 x  1)  5216.926477
4
0


Aturan trapesium

I

4

0

4 0
 f (0 )  f ( 4 )  2(0  4 e 8 )  23847.66
xe dx 
2
5216.926  23847.66

 357.12%
5216.926
2x

Aturan Komposisi
Trapesium


b

a

x1

x2

xn

x0

x1

xn  1

f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx    

f ( x )dx

h
 f ( x0 )  f ( x 1 )   h  f ( x 1 )  f ( x 2 )     h  f ( x n 1 )  f ( x n ) 
2
2
2
h
  f ( x0 )  2 f ( x1 )    2f ( x i )    2 f ( x n1 )  f ( x n )
2


f(x)

ba
h
n
x0

h

x1

h

x2

h

x3

h

x4

x

Metode Integrasi
Trapezoida
1
Li   f xi   f xi 1 .xi
2
atau
1
Li   f i  f i 1 .xi
2

 1

L   Li

n 1

i 0

1
h
L   h f i  f i 1    f 0  2 f1  2 f 2  ...  2 f n1  f n 
2
i 0 2
n 1

h
L   f 0  2 f i  f n 
2
i 1


Algoritma Metode
Integrasi Trapezoida







Definisikan y=f(x)
Tentukan batas bawah (a) dan batas
atas integrasi (b)
Tentukan jumlah pembagi n
Hitung h=(b-a)/n
Hitung
n 1

h

L

 f 0  2 f i  f n 
2
i 1


Aturan Komposisi Trapesium





0

2

x sin( 2 x )dx

function f = example1(x)
% a = 0, b = pi
f=x.^2.*sin(2*x);

Aturan Komposisi Trapesium
»
»
»
I

a=0; b=pi; dx=(b-a)/100;
x=a:dx:b; y=example1(x);
I=trap('example1',a,b,1)
=
-3.7970e-015
» I=trap('example1',a,b,2)
I =
-1.4239e-015
» I=trap('example1',a,b,4)
I =
-3.8758
» I=trap('example1',a,b,8)
I =
-4.6785
» I=trap('example1',a,b,16)
I =
-4.8712
» I=trap('example1',a,b,32)
I =
-4.9189

» I=trap('example1',a,b,64)
I =
-4.9308
» I=trap('example1',a,b,128)
I =
-4.9338
» I=trap('example1',a,b,256)
I =
-4.9346
» I=trap('example1',a,b,512)
I =
-4.9347
» I=trap('example1',a,b,1024)
I =
-4.9348
» Q=quad8('example1',a,b)
Q =
-4.9348
MATLAB

function





0

x 2 sin( 2 x )dx
n=2

I = -1.4239 e-15
Exact = -4. 9348





0

x 2 sin( 2 x )dx
n=4
I = -3.8758

Eksak = -4. 9348





0

x 2 sin( 2 x )dx
n=8
I = -4.6785

Eksak = -4. 9348





0

x 2 sin( 2 x )dx
n = 16
I = -4.8712

Eksak = -4. 9348

Aturan Komposisi Trapesium
 Hitung integral dari I   xe dx
4

2x

0

h
 f (0 )  f ( 4 )  23847.66
2
h
n  2, h  2  I   f (0 )  2 f ( 2 )  f ( 4 )  12142.23
2
h
n  4 , h  1  I   f (0 )  2 f ( 1)  2 f ( 2 )
2
 2 f ( 3 )  f ( 4 )  7288.79

n  1, h  4  I 

  357.12%
  132.75%

  39.71%

h
 f (0 )  2 f (0.5 )  2 f ( 1)
2
 2 f ( 1.5 )  2 f ( 2 )  2 f ( 2.5 )  2 f ( 3 )

n  8, h  0.5  I 

 2 f ( 3.5 )  f ( 4 )  5764.76

h
 f (0 )  2 f (0.25 )  2 f (0.5 )  
2
 2 f ( 3.5 )  2 f ( 3.75 )  f ( 4 )  5355.95

  10.50%

n  16 , h  0.25  I 

  2.66%

Aturan Komposisi Trapesium
»
»
»
»
»
»
»
»

x=0:0.04:4; y=example2(x);
x1=0:4:4; y1=example2(x1);
x2=0:2:4; y2=example2(x2);
x3=0:1:4; y3=example2(x3);
x4=0:0.5:4; y4=example2(x4);
H=plot(x,y,x1,y1,'g-*',x2,y2,'r-s',x3,y3,'c-o',x4,y4,'m-d');
set(H,'LineWidth',3,'MarkerSize',12);
xlabel('x'); ylabel('y'); title('f(x) = x exp(2x)');

» I=trap('example2',0,4,1)
I =
2.3848e+004
» I=trap('example2',0,4,2)
I =
1.2142e+004
» I=trap('example2',0,4,4)
I =
7.2888e+003
» I=trap('example2',0,4,8)
I =
5.7648e+003
» I=trap('example2',0,4,16)
I =
5.3559e+003

Aturan Komposisi Trapesium
4

I   xe 2 x dx
0

Aturan Simpson 1/3


Aproksimasi dengan fungsi parabola



b

a

2

f ( x )dx   c i f ( x i )  c0 f ( x0 )  c 1 f ( x1 )  c 2 f ( x 2 )
i 0



h
 f ( x0 )  4 f ( x 1 )  f ( x 2 ) 
3

L(x)

f(x)

x0

h

x1

h

x2

x

Aturan Simpson 1/3
( x  x0 )( x  x 2 )
( x  x 1 )( x  x 2 )
L( x ) 
f ( x0 ) 
f ( x1 )
( x1  x0 )( x1  x 2 )
( x0  x 1 )( x0  x 2 )
( x  x0 )( x  x 1 )
f ( x2 )

( x 2  x0 )( x 2  x1 )
ab
2
x  x1
ba
dx
, 
, d 
h
2
h
h
 x  x0    1

 x  x1    0
x  x    1
2

let

x0  a, x 2  b, x 1 

L( ) 

 (  1)
2

f ( x0 )  ( 1   2 ) f ( x1 ) 

 (  1)
2

f ( x2 )

Aturan Simpson 1/3
L( ) 



b

a

 (  1)
2

f ( x0 )  ( 1   ) f ( x1 ) 
2

 (  1)
2

f ( x2 )

h 1
f ( x)dx  h  L( )dξ  f ( x0 )  ξ (ξ  1)dξ
1
2 1
1
h 1
2
 f ( x1 )h  ( 1  ξ )dξ  f ( x2 )  ξ (ξ  1)dξ
0
2 1
1

1

1

h ξ
ξ
ξ
 f ( x0 ) (  )  f ( x1 )h(ξ  )
2 3 2 1
3 1
3

2

3

1

h ξ
ξ
 f ( x2 ) (  )
2 3 2 1
3



b

a

2

h
f ( x )dx   f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x 2 )
3

Aturan Komposisi
Simpson
ba
h
n
f(x)

…...
x0 h x1 h x2 h x3 h

x4

xn-2 xn-1

xn

x

Metode Integrasi Simpson


Dengan menggunakan aturan simpson, luas
dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan
sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:
N=0–n
L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln

h
h
h
h
h
h
L   f 0  2 f1   2 f1  f 2    f 2  2 f 3   2 f 3  f 4   ...   f n2  2 f n1   2 f n1  f n 
3
3
3
3
3
3
 atau dapat dituliskan dengan:

h 
L   f 0  4  f i  2  f i  f n 
3
i ganjil
i genap


Cara II
(Buku Rinaldi Munir)


Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2
yang melalui ketiga titik tsb

p 2 x  f ( x0 ) 

x
x( x  h) 2
x
x( x  h) 2
f ( x0 ) 

f
(
x
)

f

f

 f0
0
0
0
2
2
h
h
2!h
2!h

Cara II
(Buku Rinaldi Munir)


Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]
L

2h

2h

 f ( x)dx   p
0

2

xdx

0

x
x ( x  h) 2 

 f 0 dx
L    f 0  f 0 
2
h
2!h

0
2h

 x3
x2
x2
f 0   2  2
L  f0 x 
2h
4h
 6h

 2
 f 0 | xx 02 h


 8h 3 4h 2  2
4h 2
 f 0
L  2hf 0 x 
f 0   2 
2h
4h 
 6h
 4h

L  2hf 0 x  2hf 0  
 h 2 f 0
 3

h
L  2hf 0 x  2hf 0  2 f 0
3

Cara II
(Buku Rinaldi Munir)


Mengingat

f 0  f1  f 0

2 f 0  f1  f 0  ( f 2  f1 )  ( f1  f 0 )  f 2  2 f1  f 0


Maka selanjutnya
h
L  2hf 0 x  2h( f1  f 0 )  ( f 2  2 f1  f 0 )
3
h
h
2h
L  2hf 0 x  2hf1  2hf 0  f 2 
f1  f 0
3
3
3
h
h
4h
L  f0 
f1  f 2
3
3
3
h
L  ( f 0  4 f1  f 2 )
3

Aturan Simpson 3/8


Aproksimasi dengan fungsi kubik



b

a

3

f ( x )dx   c i f ( x i )  c0 f ( x0 )  c 1 f ( x1 )  c 2 f ( x 2 )  c 3 f ( x 3 )
i 0



3h
 f ( x0 )  3 f ( x 1 )  3 f ( x 2 )  f ( x 3 ) 
8

L(x)

x0

h

f(x)

x1

h

x2

h

x3

x

Aturan Simpson 3/8
L( x ) 


( x  x1 )( x  x 2 )( x  x 3 )
( x  x0 )( x  x 2 )( x  x 3 )
f ( x0 ) 
f ( x1 )
( x0  x1 )( x0  x 2 )( x0  x 3 )
( x1  x0 )( x1  x 2 )( x1  x 3 )
( x  x0 )( x  x1 )( x  x 2 )
( x  x0 )( x  x1 )( x  x 3 )
f ( x3 )
f ( x2 ) 
( x 3  x0 )( x 3  x1 )( x 3  x 2 )
( x 2  x0 )( x 2  x1 )( x 2  x 3 )



b

a

f(x)dx  

b

a

ba
L(x)dx ; h 
3

3h
 f ( x0 )  3 f ( x 1 )  3 f ( x 2 )  f ( x 3 ) 

8
 Error Pemenggalan

3 5 (4)
( b  a) 5 ( 4 )
ba
Et  
h f ( )  
f ( ) ; h 
80
6480
3

Metode Integrasi Gauss


Metode Newton Code (Trapezoida,
Simpson)  berdasarkan titik2 data
diskrit. Dengan batasan :





H sama
Luas dihitung dari a sampai b

Mengakibatkan error yang dihasilkan
cukup besar.

Metode Integrasi Gauss


Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang
[-1,1]
1

h
I   f ( x)dx   f (1)  f (1)   f (1)  f (1)
2
1

h2


Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

I

1

 f ( x)dx c

1

f ( x1 )  c2 f ( x2 )

1



Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1  menjadi m. trapezoida
Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai
tersebut sehingga error integrasinya min

Metode Integrasi Gauss




Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini
dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut
dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]
f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3
1

I

c1  c 2   1dx  2

1

 f ( x)dx c

1

f ( x1 )  c2 f ( x2 )

1

1

1

c1 x1  c 2 x 2   xdx  0

Didapat

1

1

c1 x12  c 2 x 22   x 2 dx  2
1
1

c x  c 2 x   x dx  0
3
1 1

3
2

3

1

c1  c 2  1

3

x1 

1
3

x2 

1
3

Metode Integrasi Gauss


Persamaan dibawah ini dinamakan
metode Gauss Legendre 2 titik
1

 f ( x)dx  f (

1

1
3

) f(

1
3

)

Transformasi
b

Li   f ( x)dx

1

Li   g (u )du
1

a



Range [a,b]  [-1,1]
X  u f(x)  g(u) dx du

Transformasi
x  a u 1

ba
2
2 x  2a  (u  1)(b  a )
2 x  (u  1)(b  a )  2a
a  b  bu  au
x
2
(a  b)  (b  a )u
x
2
ba
dx  
du
 2 

a

x

b

-1

u

1

Transformasi
1

Li   g (u )du
1

1
g (u )  (b  a) f
2
1

1

1
(
)
(b  a) 

g
u
du
1
2
1

12 (b  a)u  12 (b  a)
 (a  b)  (b  a)u 
f
du
2



Analisa






Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes
(Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode GaussLegendre 2 titik lebih sederhana dan efisien
dalam operasi aritmatika, karena hanya
membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.
Lebih teliti dibandingkan dengan metode NewtonCotes.
Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih
dahulu menjadi
1

 g (u)du

1

Algoritma Integrasi Kuadratur
Gauss dengan Pendekatan 2 titik





Definisikan fungsi f(x)
Tentukan batas bawah (a) dan batas atas
integrasi (b)
Hitung nilai konversi variabel :
x



Tentukan fungsi g(u) dengan:
g (u ) 



1
b  a u  1 (b  a)
2
2

Hitung

1
(b  a) f 12 (b  a)u  12 (b  a) 
2
 1 
 1 

  g 
L  g  
3
 3


Contoh Soal

Metode Gauss Legendre 3
Titik
I

1

 f ( x)dx c

1

f ( x1 )  c2 f ( x2 )  c3 f ( x3 )

1



Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan
membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai
tepat untuk 6 buah fungsi berikut :

f ( x)  1; f ( x)  x; f ( x)  x 2
f ( x)  x 3 ; f ( x)  x 4 ; f ( x)  x 5


Dengan cara yang sama didapat
5
8
5
c1  ; c 2  ; c3 
9
9
9
x1   3 5; x 2  0; x3  3 5

Metode Gauss Legendre 3
Titik
5  3
5 
3 8
1 g (u)du  9 g   5   9 g 0  9 g  5 




1

Algoritma Metode Integrasi Gauss
Dengan Pendekatan 3 Titik

Metode Gauss n-Titik

Beberapa Penerapan Integrasi
Numerik




Menghitung Luas Daerah
Berdasarkan Gambar
Menghitung Luas dan Volume
Benda Putar

Menghitung Luas Daerah
Berdasarkan Gambar
9

6

3

Skala 1:100000
0





5

10

15

Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai
atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak.
Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya
adalah 100.000 mm atau 100 m.
Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal
ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

Menghitung Luas Daerah
Berdasarkan Gambar




Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung
dengan menggunakan 3 macam metode:
Dengan menggunakan metode integrasi Reimann
16

L  h yi  73.5
i 0



Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida
15

h
L   y 0  y16  2 yi   73.5
2
i 1




Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

h
L   y 0  y16  4  yi  2  yi   74
3
i  ganjil
i  genap 

Menghitung Luas dan Volume
Benda Putar


Luas benda putar:
b

L p  2  f ( x)dx
a



Volume benda putar:
b

V p     f ( x) dx
a

2

Contoh :

5
cm
7
cm

I

II

III

6
cm

12
cm

4
cm





satuan dalam cm

bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu
dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya,
bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.

Bagian I:

LI  2 (4)(7)  56
VI   (4)(7) 2  196



7
cm

Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4
bagian




IV

Bagian III: LIII  2 12(12)  288
VIII   1212  1728
2

Contoh :





Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian
area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

Pada bagian II dan IV: LII  LIV dan VII  VIV
Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:
4

h
LII ( LIV )  2  y0  y5  2 yi   108
2
i 1

4

h 2
2
VII  VIV     y0  y5  2 yi2   1187.5
2
i 1


Contoh :


Luas permukaan dari botol adalah:

L  LI  LII  LIII  LIV
 56  108  288  108
 560




Luas = 1758.4 cm2
Volume botol adalah:

 1758.4
V  VI  VII  VIII  VIV
 196  1187.5  1728  1187.5
 4299



Volume = 13498.86 cm3