Pendahuluan, Statis Momen, Titik Berat, Momen Inersia
Pendahuluan,
Statis Momen,
Titik Berat, &
Momen Inersia
Bahan Kuliah 1, 2, 3
Mekanika Bahan
Ir. Elisabeth Yuniarti, MT
PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SURYAKANCANA
PENDAHULUAN
Mekanika bahan adalah cabang
ng m
mekanika terapan yang membahas perilaku benda
ben padat yang
mengalami berbagai pembebanan
nan.
Mekanika bahan mempermasalah
alahkan bagaimana gaya-gaya bekerja pada sebua
buah benda akibat
lentur, puntir, atau pada saat ben
benda hancur. Dalam menganalisis masalah, dari sudut pandang
statika struktur dianggap bada
adan kaku yang ideal yang tidak berdefor
eformasi maupun
gagal/hancur. Pada kenyataannya
nnya, struktur dapat berdeformasi atau gagall bergantung
be
pada
material pembentuknya dan beb
beban yang diterima struktur. Guna mengana
analisa bagaimana
perilaku material sesungguhnya
nya ketika struktur yang bersangkutan menerima
rima beban, perlu
diperkenalkan konsep tegangan
an d
dan regangan. Dalam rangka menganalisa stru
struktur dari sudut
pandang ini, perlu lebih dahulu
lu di
dipahami statika untuk menyelesaikan semuaa gaya
ga internal dan
eksternal yang bekerja pada sebua
ebuah badan.
Kuliah mekanika bahan dalam ha
hal ini akan memberikan gambaran atas berbag
rbagai pemahaman
dasar beberapa fokus bahasan seb
sebagaimana digambarkan pada diagram berikut.
ikut.
Gambar 1. Peta Pikiran Fokus Kuliah Mekanika Bahan
1
STATIS MOMEN & TITIK BERAT
Besaran atau properti yang pertama kali dibahas adalah titik berat penampang dan inersia
penampang.
Berkaitan dengan berat sebuah badan dapat dipahami bahwa bumi mengeluarkan gaya
gravitasi pada setiap partikel pembentuk sebuah benda. Gaya-gaya ini dapat digantikan oleh
sebuah gaya ekivalen yang sama dengan berat benda dan diaplikasikan pada pusat gravitasi
(center of gravity) dari benda.
Sentroid/titik berat dari sebuah luasan adalah analogi dari pusat gravitasi sebuah benda.
Konsep momen pertama (statis momen) atas masa sebuah luasan digunakan untuk mencari
lokasi sentroid ini.
Untuk menjelaskan pusat grafitasi sebuah pelat dapat digambarkan sebuah pelat tanpa tebal
yang memiliki masa merata pada seluruh penampang pelat seperti ditunjukkan pada gambar
berikut.
Atau, sebuah kawat/kabel yang memiliki masa merata sepanjang kawat/kabel tersebut
sebagaimana dipresentasikan pada gambar berikut.
Dari gambar-gambar di atas, dapat dibayangkan bahwa seluruh berat badan dapat di wakili
oleh sebuah gaya W pada pusat gravitasi badan yang bersangkutan.
2
Jumlah momen pertama dari mas
masa badan terhadap sebuah sumbu sembarang
ng yyang ditetapkan
dapat diekspresikan sebagai berik
erikut :
∑
∑
=∫
=∑
=∫
=
∑
Dalam perspektif dua dimensi,, m
momen pertama dari masa penampang badan
adan di atas dapat
digambarkan sebagai :
a. luasan
dengan :
∫
(γ ) = ∫ (γ )
=∫
=
=
= statis momen terh adap sumbu
=
∫
=
= statis momen terh adap sumbu
b. garis
3
=
(γ
∫
) = ∫ (γ )
= ∫
= ∫
Formulasi di atas dapat kemudian
dian disebut sebagai momen pertama dari masa
sa badan
b
terhadap
suatu sumbu yang ditinjau yang
ng jjuga dikenal statis momen badan terhadap suatu
sua sumbu yang
ditinjau.
Keadaan khusus penampang
Sebuah
ah aarea dikatakan simetris terhadap sumbu BB’
B’ jik
jika untuk setiap
titik P te
terdapat sebuah titik P’ sedemikian hingga
ga PP’ tegaklurus
terhadap
dap BB’ dan terbagi dua bagian yangsama oleh
leh BBSebuah
B
area
simetris
tris tterhadap sumbu BB’ jika untuk setiap titik P te
terdapat sebuah
titik P’’ se
sedemikian hingga PP’ tegaklurus terhadap BB’
B’ d
dan terbagi dua
bagian
n ya
yang sama oleh BB.
Demikian
kian halnya dengan penampang berbentuk jajaran
jaran genjang yang
simetris
ris te
terhadap sumbu y, di mana pada jarak yang sama
sam dari garis y =
0 dapat
at d
ditinjau luasan kecil yang sama sebesar dA
Statis mo
momen sebuah luasan terhadap sebuah garis sim
simetri adalah nol
yaitu jumlah dari (+x.dA) dan (−xd
xdA).
Jadi, jika
ika sebuah luasan memiliki 2 buah garis simet
metri, sentroidnya
berada pad
pada sumbu tersebut.
Dan, jika
ka ssebuah luasan memiliki 2 garis simetri, sentroi
troid berada pada
potongan
an kkeduanya.
elemen dA pada (xy) terdapat sebuah
Sebaliknya jika untuk setiap elem
area dA’ yang sama pada (-x, -y)
y) atau luasan ini disebut antimetri,
maka sentroid dari luasan mem
empunyai pusat yang sama dengan
pusat simetri.
4
Sentroid atau titik berat penampa
mpang dapat dicari melalui pemahaman atas statis
stat momen. Jika
kita bebani sebuah bidang F denga
engan suatu beban merata q = 1, kemudian kitaa bagi
bag bidang F atas
sembarang jumlah bidang kecil fi , maka fi merupakan suatu gaya resultan akibat
ibat beban merata.
Titik berat S diketahui sebagaii titik tangkap resultan gaya fi dalam arah horizont
ntal dan vertikal.
Atas dasar ketentuan bahwa mom
momen resultante MR sama dengan jumlah mome
omen gaya MP dari
gaya-gaya P1, P2, … Pn yang bekerj
kerja, maka dapat ditentukan :
xs . ∑fi = ∑xi. fi
dan
ys . ∑fi = ∑yi. fi
Titik berat S diketahui sebagaii titik tangkap resultan gaya fi dalam arah horizonta
ntal dan vertikal.
Dengan menggunakan dua rumus
mus ini kita bisa menentukan jarak titik berat ys dan xs , seperti
berikut :
ys = (∑y
∑yi. fi )/∑fi
dan
xs = (∑xi. fi )/∑fi
Untuk bagian luasan yang sangat
gat kkecil (infinitesimal) maka berlaku hubungan berikut
ber
:
Luas penampang :
=
∫
Statis Momen penampang :
a. terhadap sumbu x :
=
∫
.
b. Terhadap sumbu y :
=
∫
.
Maka letak titik berat (sentroid)
d) p
penampang adalah :
=
=
∫
∫
.
dan
=
=
∫
.
∫
5
Analisis letak titik berat penampan
pang dapat dilakukan dengan dua cara berikut :
a. Cara I : penampang beradaa da
dalam sistem sumbu XOY
b. Cara II : penampang beradaa da
dalam sistem sumbu koordinat kutub/polar
1
=
( 1 ,θ1 )
2
=
( 2 ,θ 2 )
Contoh Soal 1
Tentukan statis momen seperemp
rempat lingkaran dengan jari-jari R berikut
a. Cara I, bidang dalam sistem su
sumbu XOY
Persamaan lingkaran :
Luas Lingkaran :
=
∫
0
.
=
∫ (
0
2
−
2
).
=
∫
0
1 −
2
.
6
Hubungan ordinat x dan sudut
udut α :
sin α =
→ = . sin α
cos α . α
=
= 0 → sin α = 0
= 0 →α = 0
→ sin α =
=
=1→α = π / 2
Sehingga Luas adalah :
π 2
∫
=
. 1 − sin α .( . cos α . α ) =
π 2
∫
2
0
2
2 π 2
cos 2α + 1
. α = 2
2
∫
0
∫ [cos 2α + 1].
0
2 π 2
=
2
∫ (cos 2α + 1). (2α ) = 4 (sin 2α + 2α )
4
(2α )
2
π 2
0
0
2
=
. cos 2 α . α
0
π 2
=
2
4
{(sin π + 2.π 2) − (sin 0 + 2.0)} = 1 π
2
4
Statis momen adalah :
=
∫ (
.
) =∫
0
π
=
.
2
−
2
=
.
0
2
1−
∫
0
. sin α ). .(cos α )(
. . cos α . α ) =
∫(
π
3
2
∫
co
cos 2 α .(− cos α ) =
0
{co
cos (π
3
3
=−
2
∫ sin α .cos
2
α. α
0
0
=
3
3
(cos α )
3
3
3
}
3
2 ) − cos 3 (0) = −
3
(0 − 1) =
3
3
Karena penampang tersebut
ut ssimetri terhadap garis l : y = x; maka :
3
=
=
3
7
b. Cara II , bidang dalam sistem
em sumbu polar
Luas
π
=
∫
π
= π
θ θ=
∫ (−
∫θ =
θ
2
Statis Momen
π
=
∫
=
∫
( − ) (−
=
θ)
π
)=
π +
=
Contoh Soal 2
Tentukan statis momen segitiga AOB, jika diketahui sisi OA = b dan OB = h
Jawab :
Persamaan garis AB:
(
=
)
−
Luas segitiga AOB :
=
1
2
.
Statis momen terhadap sumbu –x :
=
∫
0
1
2
2
=
1
2
(
2
−
∫(
2
(
−
)
2
2
=
.
−2
1
2
2
∫(
)2 .
−
0
+
2
).
2
=
1
2
2
(
2
−
+ 12
3
)
0
0
2
=
1
2
2
3
3
+ 13
3
)=
1
6
2
Statis momen terhadap sumbu –y :
8
∫
∫ (
0
0
= ( . ). =
=
(
1
2
=
(
1
2
=
1
6
2
3
− 13
− 13
3
− ). .
)
0
3
)
2
Contoh Soal 3
Tentukan letak titik beraatt dari
penampang kpmposit seep
perti terlihat
pada gambar di sampingg..
=
∑( . ) =
1. 1
+
=
∑( . ) =
1. 1
+
2. 2
2. 2
+
+
3. 3
3. 3
Contoh Soal 4
Untuk sebuah bidang yang ditunjukkan di atas, tentukan statis
momen terhadap sumbu x dan y dan lokasi centroidnya.
SOLUSI:
−
−
−
Bagi area menjadi segitiga, segiempat, dan setengah
lingkaran dengan sebuah lubang lingkaran.
Hitung statis momen dari setiap area terhadap sumbusumbunya.
Cari luas total dan statis momen dari segitiga, segiempat,
9
dan setengah lingkaran. Kurangi dengan luas dan statis momen lingkarangan yang
berlubang.
−
Hitung koordinat dari centroid luasan dengan membagi statis momen dengan luas total
−
Cari luas total dan statis momen dari segitiga, segiempat, setengah lingkaran. Kurangi
dengan luas dan statis momen potongan lingkaran
= +506.2 × 103
= +757.7 × 103
−
Hitung koordinat dari centroid luasan dengan membagi statis momen dengan luas total
=
∑
∑
=
+ 757.7 × 103
× 103
= 54.8
=
∑
∑
=
+ 506.2 × 103
× 103
= 36.6
10
Menentukan centroid dengan Int
Integrasi
Double integrasi untuk mencari
ri st
stastis momen dapat dihindari denga mendefinis
finisikan dA setipis
persegi empat atau pita.
∫
=∫
∫∫
= ∫∫
=
=
∫
=∫
=
∫
)
=∫ (
=∫
=
=
=
∫2( )
∫
+
∫ 2 [( − ) ]
=∫
= ∫ [( − ) ]
=
=
∫
=
∫ 3 cosθ 2
=
∫
=
∫ 3 sin θ 2
2
1
2
θ
2
1
2
θ
11
Contoh Soal 5
Tentukan dengan integrasi tunggal
tu
locasi
penampang yang dibatasi oleh garis
gari y = 0 (sumbu
x), garis x = a, dan kurva y= kx2
SOLUSi:
•
Tentukan konstanta k.
•
Hitung total luas penampang
ang
•
Menggunakan pita horizon
rizontal maupun vertikal, lalukan integrasi tunggal
ggal untuk mencari
statis momen (first momen
ments).
•
Tentukan koordinat centro
ntroids
Analisis perhitungan
•
konstanta k.
=
2
=
2
=
•
2
=
2
2
12
12
total luas penampang
=
∫
=
∫
=
•
⇒ =
=
∫
0
2
2
=
3 0
3
2
3
integrasi tunggal untuk
uk m
mencari statis momen (first moments) menggunakan
men
pita
vertikal
12
=
∫
=
=
=
1
2
0
0
2
2
2
=
4 0
4
2
∫
=
∫2
∫
2
2
2
2
=
5 0 10
2
5
4
integrasi tunggal untuk
uk m
mencari statis momen (first moments) menggunakan
men
pita
Horizontal
=
∫
=
1
2 0
=
∫
∫
∫
+
2
∫
=
=
0
•
∫
=
4
=
2
•
∫
=
2
2
−
=
−
∫ (
(
)
=
∫
2
0
=
−
)
32
12
−
−
2
2
2
4
=
∫
−
12
12
2
=
10
Tentukan koordinat centro
ntroid
=
2
3
=
=
3
4
=
3
10
4
=
2
3
=
10
13
Contoh Soal 6
SOLUSI :
Contoh Soal 7
Tentukan sentroida tongkat yang
ng melengkung
m
ke
dalam bentuk busur parabolik, sepe
seperti ditunjukkan
dalam gambar!
SOLUSI :
dalam gambar di
Elemen diferensial ditunjukkan da
atas. Dia ditempatkan padaa kkurva di titik
sembarang (x,y).
Panjang diferensial elemen dL dapat
dap dinyatakan
dalam diferensial-diferensial dxx d
dan dy dengan
menggunakan teorema Phytagoras.
ras.
= ( )2 + (
) 2 = ( ( ) 2 + 1)
Karena x = y2, maka dx/dy = 2y.
y. Ka
Karenanya, dengan menyatakan dL dalam y dan
an d
dy, kita peroleh
:
= ( ( 4 ) 2 + 1)
Sentroida terletak pada xi = x, yi = y
Pengintegrasian :
∫
=
∫
=
1
∫
=
∫
4
0
1
0
4
2
2
1
∫
=
+1
2
+1
1
∫
0
2
4
0
4
2
+1
+1
0,74
746
= 0,504
1,47
479
∫
=
∫
=
1
∫
=
∫
4
0
1
0
4
2
2
+1
+1
0,848
= 0,573
1,479
15
Contoh Soal 8
Tentukan jarak y ke sentroida luasan
san segitiga yang
ditunjukkan dalam gambar
SOLUSI :
Elemen differensial. Perhatikan elemen
en persegi empat
yang mempunyai ketebalan dy dan panja
anjang variabel x’.
Dengan segitiga serupa, b/h=x’(h-y) atau
u x’=
x’ (b/h)(h-y).
Elemen memotong sisi-sisi segitiga pada
da suatu
su
ketinggian
y di atas sumbu x.
Luas dan lengan momen. Luas elem
elemennya dA = x’dy = (b/h)(h-y)dy.
Sentroida terletak pada yi = y dar
dari sumbu x.
Pengintegrasian.
=
=
∫
∫
1
6
1
2
=
∫
∫
0
0
( − )
( − )
2
=
3
Properti geometris dan elemen
n ar
area
16
17
Centroid dari Bentuk Bidang Umu
Umum
18
MOMEN INERSIA
Momen inersia atau juga disebut
ebut debagai momen kedua (second moment)) dari
da sebuah area
penampang dapat digunakan
n un
untuk memprediksi kemampuan balok menah
nahan lentur dan
defleksi. Defleksi balok akibat
at b
beban bergantung tidak saja pada beban,, tet
tetapi juga pada
geometri dari penampang melinta
lintang balok. Hal inilah yang menyebabkan balok
lok dengan
d
momen
inersia yang lebih tinggi, seperti
rti b
balok-I, seringkali terlihat pada konstruksi ban
bangunan. Dengan
cara yang sama, momen inersia
sia p
polar merupakan suatu sifat yang dimiliki benda
enda untuk menilai
kemampuannya menahan torsi
si (m
(momen puntir).
Momen inersia didefinisikan sebag
ebagai berikut :
Yang dimaksud dengan MOMEN
EN INERSIA (momen lembam) dari suatu penam
nampang terhadap
suatu sumbu adalah hasil perka
rkalian antara luas penampang tersebut dengan
gan kuadrat jarak
tegak lurus antara titik berat pena
enampang terhadap sumbu yang bersangkutan.
=
2
.
=
2
.
=∫
=∫
2
.
=∫
=∫
2
.
Ix adalah momen inersia bidang
ng A terhadap sumbu x
Iy adalah momen inersia bidang
ng A terhadap sumbu y
MOMEN INERSIA POLAR
19
Momen inersia polar adalah sebu
sebuah besaran yang digunakan untuk mempredik
ediksi kemampuan
objek untuk menahan torsi, pad
pada objek atau bagian objek dengan penamp
ampang melintang
lingkaran yang tak berubah (invaria
variant) dan tidak ada distorsi atau deformasi di luar
lu bidang yang
signifikan. Momen inersia polar
ar d
digunakan untuk menghitung perpindahan sudu
udut sebuah objek
yang dibebani torsi. Momen iners
nersia polar ini serupa dengan momen inersia, yang menunjukkan
perilaku sebuah objek untuk mena
enahan lentur dan dibutuhkan untuk menghitung
ung perpindahan.
Makin besar momen inersia polar
olar, puntiran balok makin kecil jika diberi beban
an torsi.
to
Momen inersia polar tidak bole
boleh dipertukarkan dengan momen inersia, di mana karakter
akselerasi putaran sudut akibarr to
torsi.
Momen inersia polar penampang
ang didefinisikan sebagai berikut :
Yang dimaksud dengan MOMEN
EN IINERSIA POLAR dari suatu penampang terhada
adap suatu titik (=
O) adalah hasil perkalian antara
ara luas penampang tersebut dengan kuadratt jarak
jar antara titik
yang bersangkutan dengan titik
tik b
berat penampang tersebut.
Ip = momen inersia polar
MOMEN INERSIA PRODUK
Momen inersia produk sebuah
h lua
luasan sangat penting untuk menentukan tegang
gangan lentur pada
penampang melintang asimetris.
ris. Tidak seperti momen kedua/momen inersia
ia mungkin
m
bernilai
positif atau negatif. Sebuah sist
sistem koordinat, di mana momen inersia produ
roduk bernilai nol,
terarah pada sebuah set sumbu
bu utama, dan momen inersia yang dihitungg terhadap
te
sumbu
20
utama akan mengasumsikan mak
maksima dan minima-nya. Sistem koordinat deng
engan titik asalnya
pada titik berat penampang meli
melintang dan kedua sumbunya merupakan sumb
umbu simetri akan
selalu merupakan sumbu utama.
a.
Yang dimaksud dengan MOMEN
EN INERSIA Produk (momen sentrifugal) dari suatu
sua penampang
terhadap dua buah sumbu adalah
alah hasil perkalian antara luas penampang tersebu
sebut dengan jarak
tegak lurus antara titik berat pen
penampang tersebut dengan salah satu sumbu
bu d
dan jarak tegak
lurus antara titik berat penampan
pang tersebut terhadap sumbu yang lain .
= . .
=∫ . .
Ixy = momen inersia produk bidan
idang A
PENAMPANG SIMETRI dan
nA
ASIMETRI
Penampang Simetri Satu Arah
Sumbu simetri merupakan salah
lah ssatu sumbu utamanya, sedang sumbu utamaa yyang lain adalah
tegak lurus dengan sumbu utama
ma simetri dan melalui titik berat penampang
21
Penampang Simetri Dua Arah
Kedua sumbu simetri merupakan
kan sumbu utama
Penampang Asimetri
22
MENCARI MOMEN INERSIA
IA P
PENAMPANG MENGGUNAKAN INTEGRA
GRASI
Prosedur Analisis
Untuk melakukan integrasi tungg
unggal dalam menentukan momen inersia sebua
buah penampang,
maka perlu ditentukan elemen
en d
diferensial dA. Seringkali elemen ini berupaa persegi
p
panjang
[panjang dan lebarnya berhingg
ingga]. Elemen ini ditempatkan sedemikian hing
hingga memotong
penampang pada titik sembarang
ang (x,y). Ada 2 cara.
Cara I
Panjang elemen diorientasikan
an paralel terhadap sumbu. Gambar di atass digunakan
dig
untuk
2
menghitung Iy penampang. Aplika
plikasi langsung persamaannya, Iy = ∫x dA. Dalam
lam hal ini elemen
mempunyai tebal infinitesimall dx dan dengan demikian semua bagian elemen
en berjarak sama
dengan : x dari sumbu y.
23
Contoh I
Tentukan momen inersia luasan
an p
persegi empat yang ditunjukkan dalam gambar
ar tterhadap
sumbu sentroidal x’
Ele
Elemen diferensial yang ditunjukkan dalam gamba
mbar dipilih untuk
pe
pengintegrasian. Karena letak dan orientasinya,
ya, seluruh elemen
be
berada pada jarak y’ dari sumbu x’. Di sini perlu
lu di
dintegrasi y’ = –
h/2 ke y’= h/2.
Ka
Karena dA = b . dy’, maka :
−
_
2
= ∫ '2
= 121
2
∫
=
−
∫
'2 ( . ' ) =
−
2
'2
'
2
3
Contoh II
Tentukan momen inersia luasan yangg ditunjukkan
dit
dalam gambar di sekitar sumbu x.
Elemen diferensial luasan yang paralel
lel de
dengan sumbu
x, seperti ditunjukkan dalam gambar merupakan
me
yang
dipilih untuk integrasi. Karena elemen
nm
mempunyai
tebal dy dan memotong kurva pada titik sembarang
(x,y), maka luasannya adalah dA = (100--x) dy.
Selanjutnya semua bagian elemen berad
erada pada jarak
yang sama y dari sumbu x. Dengan meng
engintegrasi
terhadap y, dari y = 0 ke y = 200 mm,
m, diperoleh
d
:
=
∫
2
=
∫
2
−
=
2
∫ (2 )
2
2
−
2
24
Statis Momen,
Titik Berat, &
Momen Inersia
Bahan Kuliah 1, 2, 3
Mekanika Bahan
Ir. Elisabeth Yuniarti, MT
PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SURYAKANCANA
PENDAHULUAN
Mekanika bahan adalah cabang
ng m
mekanika terapan yang membahas perilaku benda
ben padat yang
mengalami berbagai pembebanan
nan.
Mekanika bahan mempermasalah
alahkan bagaimana gaya-gaya bekerja pada sebua
buah benda akibat
lentur, puntir, atau pada saat ben
benda hancur. Dalam menganalisis masalah, dari sudut pandang
statika struktur dianggap bada
adan kaku yang ideal yang tidak berdefor
eformasi maupun
gagal/hancur. Pada kenyataannya
nnya, struktur dapat berdeformasi atau gagall bergantung
be
pada
material pembentuknya dan beb
beban yang diterima struktur. Guna mengana
analisa bagaimana
perilaku material sesungguhnya
nya ketika struktur yang bersangkutan menerima
rima beban, perlu
diperkenalkan konsep tegangan
an d
dan regangan. Dalam rangka menganalisa stru
struktur dari sudut
pandang ini, perlu lebih dahulu
lu di
dipahami statika untuk menyelesaikan semuaa gaya
ga internal dan
eksternal yang bekerja pada sebua
ebuah badan.
Kuliah mekanika bahan dalam ha
hal ini akan memberikan gambaran atas berbag
rbagai pemahaman
dasar beberapa fokus bahasan seb
sebagaimana digambarkan pada diagram berikut.
ikut.
Gambar 1. Peta Pikiran Fokus Kuliah Mekanika Bahan
1
STATIS MOMEN & TITIK BERAT
Besaran atau properti yang pertama kali dibahas adalah titik berat penampang dan inersia
penampang.
Berkaitan dengan berat sebuah badan dapat dipahami bahwa bumi mengeluarkan gaya
gravitasi pada setiap partikel pembentuk sebuah benda. Gaya-gaya ini dapat digantikan oleh
sebuah gaya ekivalen yang sama dengan berat benda dan diaplikasikan pada pusat gravitasi
(center of gravity) dari benda.
Sentroid/titik berat dari sebuah luasan adalah analogi dari pusat gravitasi sebuah benda.
Konsep momen pertama (statis momen) atas masa sebuah luasan digunakan untuk mencari
lokasi sentroid ini.
Untuk menjelaskan pusat grafitasi sebuah pelat dapat digambarkan sebuah pelat tanpa tebal
yang memiliki masa merata pada seluruh penampang pelat seperti ditunjukkan pada gambar
berikut.
Atau, sebuah kawat/kabel yang memiliki masa merata sepanjang kawat/kabel tersebut
sebagaimana dipresentasikan pada gambar berikut.
Dari gambar-gambar di atas, dapat dibayangkan bahwa seluruh berat badan dapat di wakili
oleh sebuah gaya W pada pusat gravitasi badan yang bersangkutan.
2
Jumlah momen pertama dari mas
masa badan terhadap sebuah sumbu sembarang
ng yyang ditetapkan
dapat diekspresikan sebagai berik
erikut :
∑
∑
=∫
=∑
=∫
=
∑
Dalam perspektif dua dimensi,, m
momen pertama dari masa penampang badan
adan di atas dapat
digambarkan sebagai :
a. luasan
dengan :
∫
(γ ) = ∫ (γ )
=∫
=
=
= statis momen terh adap sumbu
=
∫
=
= statis momen terh adap sumbu
b. garis
3
=
(γ
∫
) = ∫ (γ )
= ∫
= ∫
Formulasi di atas dapat kemudian
dian disebut sebagai momen pertama dari masa
sa badan
b
terhadap
suatu sumbu yang ditinjau yang
ng jjuga dikenal statis momen badan terhadap suatu
sua sumbu yang
ditinjau.
Keadaan khusus penampang
Sebuah
ah aarea dikatakan simetris terhadap sumbu BB’
B’ jik
jika untuk setiap
titik P te
terdapat sebuah titik P’ sedemikian hingga
ga PP’ tegaklurus
terhadap
dap BB’ dan terbagi dua bagian yangsama oleh
leh BBSebuah
B
area
simetris
tris tterhadap sumbu BB’ jika untuk setiap titik P te
terdapat sebuah
titik P’’ se
sedemikian hingga PP’ tegaklurus terhadap BB’
B’ d
dan terbagi dua
bagian
n ya
yang sama oleh BB.
Demikian
kian halnya dengan penampang berbentuk jajaran
jaran genjang yang
simetris
ris te
terhadap sumbu y, di mana pada jarak yang sama
sam dari garis y =
0 dapat
at d
ditinjau luasan kecil yang sama sebesar dA
Statis mo
momen sebuah luasan terhadap sebuah garis sim
simetri adalah nol
yaitu jumlah dari (+x.dA) dan (−xd
xdA).
Jadi, jika
ika sebuah luasan memiliki 2 buah garis simet
metri, sentroidnya
berada pad
pada sumbu tersebut.
Dan, jika
ka ssebuah luasan memiliki 2 garis simetri, sentroi
troid berada pada
potongan
an kkeduanya.
elemen dA pada (xy) terdapat sebuah
Sebaliknya jika untuk setiap elem
area dA’ yang sama pada (-x, -y)
y) atau luasan ini disebut antimetri,
maka sentroid dari luasan mem
empunyai pusat yang sama dengan
pusat simetri.
4
Sentroid atau titik berat penampa
mpang dapat dicari melalui pemahaman atas statis
stat momen. Jika
kita bebani sebuah bidang F denga
engan suatu beban merata q = 1, kemudian kitaa bagi
bag bidang F atas
sembarang jumlah bidang kecil fi , maka fi merupakan suatu gaya resultan akibat
ibat beban merata.
Titik berat S diketahui sebagaii titik tangkap resultan gaya fi dalam arah horizont
ntal dan vertikal.
Atas dasar ketentuan bahwa mom
momen resultante MR sama dengan jumlah mome
omen gaya MP dari
gaya-gaya P1, P2, … Pn yang bekerj
kerja, maka dapat ditentukan :
xs . ∑fi = ∑xi. fi
dan
ys . ∑fi = ∑yi. fi
Titik berat S diketahui sebagaii titik tangkap resultan gaya fi dalam arah horizonta
ntal dan vertikal.
Dengan menggunakan dua rumus
mus ini kita bisa menentukan jarak titik berat ys dan xs , seperti
berikut :
ys = (∑y
∑yi. fi )/∑fi
dan
xs = (∑xi. fi )/∑fi
Untuk bagian luasan yang sangat
gat kkecil (infinitesimal) maka berlaku hubungan berikut
ber
:
Luas penampang :
=
∫
Statis Momen penampang :
a. terhadap sumbu x :
=
∫
.
b. Terhadap sumbu y :
=
∫
.
Maka letak titik berat (sentroid)
d) p
penampang adalah :
=
=
∫
∫
.
dan
=
=
∫
.
∫
5
Analisis letak titik berat penampan
pang dapat dilakukan dengan dua cara berikut :
a. Cara I : penampang beradaa da
dalam sistem sumbu XOY
b. Cara II : penampang beradaa da
dalam sistem sumbu koordinat kutub/polar
1
=
( 1 ,θ1 )
2
=
( 2 ,θ 2 )
Contoh Soal 1
Tentukan statis momen seperemp
rempat lingkaran dengan jari-jari R berikut
a. Cara I, bidang dalam sistem su
sumbu XOY
Persamaan lingkaran :
Luas Lingkaran :
=
∫
0
.
=
∫ (
0
2
−
2
).
=
∫
0
1 −
2
.
6
Hubungan ordinat x dan sudut
udut α :
sin α =
→ = . sin α
cos α . α
=
= 0 → sin α = 0
= 0 →α = 0
→ sin α =
=
=1→α = π / 2
Sehingga Luas adalah :
π 2
∫
=
. 1 − sin α .( . cos α . α ) =
π 2
∫
2
0
2
2 π 2
cos 2α + 1
. α = 2
2
∫
0
∫ [cos 2α + 1].
0
2 π 2
=
2
∫ (cos 2α + 1). (2α ) = 4 (sin 2α + 2α )
4
(2α )
2
π 2
0
0
2
=
. cos 2 α . α
0
π 2
=
2
4
{(sin π + 2.π 2) − (sin 0 + 2.0)} = 1 π
2
4
Statis momen adalah :
=
∫ (
.
) =∫
0
π
=
.
2
−
2
=
.
0
2
1−
∫
0
. sin α ). .(cos α )(
. . cos α . α ) =
∫(
π
3
2
∫
co
cos 2 α .(− cos α ) =
0
{co
cos (π
3
3
=−
2
∫ sin α .cos
2
α. α
0
0
=
3
3
(cos α )
3
3
3
}
3
2 ) − cos 3 (0) = −
3
(0 − 1) =
3
3
Karena penampang tersebut
ut ssimetri terhadap garis l : y = x; maka :
3
=
=
3
7
b. Cara II , bidang dalam sistem
em sumbu polar
Luas
π
=
∫
π
= π
θ θ=
∫ (−
∫θ =
θ
2
Statis Momen
π
=
∫
=
∫
( − ) (−
=
θ)
π
)=
π +
=
Contoh Soal 2
Tentukan statis momen segitiga AOB, jika diketahui sisi OA = b dan OB = h
Jawab :
Persamaan garis AB:
(
=
)
−
Luas segitiga AOB :
=
1
2
.
Statis momen terhadap sumbu –x :
=
∫
0
1
2
2
=
1
2
(
2
−
∫(
2
(
−
)
2
2
=
.
−2
1
2
2
∫(
)2 .
−
0
+
2
).
2
=
1
2
2
(
2
−
+ 12
3
)
0
0
2
=
1
2
2
3
3
+ 13
3
)=
1
6
2
Statis momen terhadap sumbu –y :
8
∫
∫ (
0
0
= ( . ). =
=
(
1
2
=
(
1
2
=
1
6
2
3
− 13
− 13
3
− ). .
)
0
3
)
2
Contoh Soal 3
Tentukan letak titik beraatt dari
penampang kpmposit seep
perti terlihat
pada gambar di sampingg..
=
∑( . ) =
1. 1
+
=
∑( . ) =
1. 1
+
2. 2
2. 2
+
+
3. 3
3. 3
Contoh Soal 4
Untuk sebuah bidang yang ditunjukkan di atas, tentukan statis
momen terhadap sumbu x dan y dan lokasi centroidnya.
SOLUSI:
−
−
−
Bagi area menjadi segitiga, segiempat, dan setengah
lingkaran dengan sebuah lubang lingkaran.
Hitung statis momen dari setiap area terhadap sumbusumbunya.
Cari luas total dan statis momen dari segitiga, segiempat,
9
dan setengah lingkaran. Kurangi dengan luas dan statis momen lingkarangan yang
berlubang.
−
Hitung koordinat dari centroid luasan dengan membagi statis momen dengan luas total
−
Cari luas total dan statis momen dari segitiga, segiempat, setengah lingkaran. Kurangi
dengan luas dan statis momen potongan lingkaran
= +506.2 × 103
= +757.7 × 103
−
Hitung koordinat dari centroid luasan dengan membagi statis momen dengan luas total
=
∑
∑
=
+ 757.7 × 103
× 103
= 54.8
=
∑
∑
=
+ 506.2 × 103
× 103
= 36.6
10
Menentukan centroid dengan Int
Integrasi
Double integrasi untuk mencari
ri st
stastis momen dapat dihindari denga mendefinis
finisikan dA setipis
persegi empat atau pita.
∫
=∫
∫∫
= ∫∫
=
=
∫
=∫
=
∫
)
=∫ (
=∫
=
=
=
∫2( )
∫
+
∫ 2 [( − ) ]
=∫
= ∫ [( − ) ]
=
=
∫
=
∫ 3 cosθ 2
=
∫
=
∫ 3 sin θ 2
2
1
2
θ
2
1
2
θ
11
Contoh Soal 5
Tentukan dengan integrasi tunggal
tu
locasi
penampang yang dibatasi oleh garis
gari y = 0 (sumbu
x), garis x = a, dan kurva y= kx2
SOLUSi:
•
Tentukan konstanta k.
•
Hitung total luas penampang
ang
•
Menggunakan pita horizon
rizontal maupun vertikal, lalukan integrasi tunggal
ggal untuk mencari
statis momen (first momen
ments).
•
Tentukan koordinat centro
ntroids
Analisis perhitungan
•
konstanta k.
=
2
=
2
=
•
2
=
2
2
12
12
total luas penampang
=
∫
=
∫
=
•
⇒ =
=
∫
0
2
2
=
3 0
3
2
3
integrasi tunggal untuk
uk m
mencari statis momen (first moments) menggunakan
men
pita
vertikal
12
=
∫
=
=
=
1
2
0
0
2
2
2
=
4 0
4
2
∫
=
∫2
∫
2
2
2
2
=
5 0 10
2
5
4
integrasi tunggal untuk
uk m
mencari statis momen (first moments) menggunakan
men
pita
Horizontal
=
∫
=
1
2 0
=
∫
∫
∫
+
2
∫
=
=
0
•
∫
=
4
=
2
•
∫
=
2
2
−
=
−
∫ (
(
)
=
∫
2
0
=
−
)
32
12
−
−
2
2
2
4
=
∫
−
12
12
2
=
10
Tentukan koordinat centro
ntroid
=
2
3
=
=
3
4
=
3
10
4
=
2
3
=
10
13
Contoh Soal 6
SOLUSI :
Contoh Soal 7
Tentukan sentroida tongkat yang
ng melengkung
m
ke
dalam bentuk busur parabolik, sepe
seperti ditunjukkan
dalam gambar!
SOLUSI :
dalam gambar di
Elemen diferensial ditunjukkan da
atas. Dia ditempatkan padaa kkurva di titik
sembarang (x,y).
Panjang diferensial elemen dL dapat
dap dinyatakan
dalam diferensial-diferensial dxx d
dan dy dengan
menggunakan teorema Phytagoras.
ras.
= ( )2 + (
) 2 = ( ( ) 2 + 1)
Karena x = y2, maka dx/dy = 2y.
y. Ka
Karenanya, dengan menyatakan dL dalam y dan
an d
dy, kita peroleh
:
= ( ( 4 ) 2 + 1)
Sentroida terletak pada xi = x, yi = y
Pengintegrasian :
∫
=
∫
=
1
∫
=
∫
4
0
1
0
4
2
2
1
∫
=
+1
2
+1
1
∫
0
2
4
0
4
2
+1
+1
0,74
746
= 0,504
1,47
479
∫
=
∫
=
1
∫
=
∫
4
0
1
0
4
2
2
+1
+1
0,848
= 0,573
1,479
15
Contoh Soal 8
Tentukan jarak y ke sentroida luasan
san segitiga yang
ditunjukkan dalam gambar
SOLUSI :
Elemen differensial. Perhatikan elemen
en persegi empat
yang mempunyai ketebalan dy dan panja
anjang variabel x’.
Dengan segitiga serupa, b/h=x’(h-y) atau
u x’=
x’ (b/h)(h-y).
Elemen memotong sisi-sisi segitiga pada
da suatu
su
ketinggian
y di atas sumbu x.
Luas dan lengan momen. Luas elem
elemennya dA = x’dy = (b/h)(h-y)dy.
Sentroida terletak pada yi = y dar
dari sumbu x.
Pengintegrasian.
=
=
∫
∫
1
6
1
2
=
∫
∫
0
0
( − )
( − )
2
=
3
Properti geometris dan elemen
n ar
area
16
17
Centroid dari Bentuk Bidang Umu
Umum
18
MOMEN INERSIA
Momen inersia atau juga disebut
ebut debagai momen kedua (second moment)) dari
da sebuah area
penampang dapat digunakan
n un
untuk memprediksi kemampuan balok menah
nahan lentur dan
defleksi. Defleksi balok akibat
at b
beban bergantung tidak saja pada beban,, tet
tetapi juga pada
geometri dari penampang melinta
lintang balok. Hal inilah yang menyebabkan balok
lok dengan
d
momen
inersia yang lebih tinggi, seperti
rti b
balok-I, seringkali terlihat pada konstruksi ban
bangunan. Dengan
cara yang sama, momen inersia
sia p
polar merupakan suatu sifat yang dimiliki benda
enda untuk menilai
kemampuannya menahan torsi
si (m
(momen puntir).
Momen inersia didefinisikan sebag
ebagai berikut :
Yang dimaksud dengan MOMEN
EN INERSIA (momen lembam) dari suatu penam
nampang terhadap
suatu sumbu adalah hasil perka
rkalian antara luas penampang tersebut dengan
gan kuadrat jarak
tegak lurus antara titik berat pena
enampang terhadap sumbu yang bersangkutan.
=
2
.
=
2
.
=∫
=∫
2
.
=∫
=∫
2
.
Ix adalah momen inersia bidang
ng A terhadap sumbu x
Iy adalah momen inersia bidang
ng A terhadap sumbu y
MOMEN INERSIA POLAR
19
Momen inersia polar adalah sebu
sebuah besaran yang digunakan untuk mempredik
ediksi kemampuan
objek untuk menahan torsi, pad
pada objek atau bagian objek dengan penamp
ampang melintang
lingkaran yang tak berubah (invaria
variant) dan tidak ada distorsi atau deformasi di luar
lu bidang yang
signifikan. Momen inersia polar
ar d
digunakan untuk menghitung perpindahan sudu
udut sebuah objek
yang dibebani torsi. Momen iners
nersia polar ini serupa dengan momen inersia, yang menunjukkan
perilaku sebuah objek untuk mena
enahan lentur dan dibutuhkan untuk menghitung
ung perpindahan.
Makin besar momen inersia polar
olar, puntiran balok makin kecil jika diberi beban
an torsi.
to
Momen inersia polar tidak bole
boleh dipertukarkan dengan momen inersia, di mana karakter
akselerasi putaran sudut akibarr to
torsi.
Momen inersia polar penampang
ang didefinisikan sebagai berikut :
Yang dimaksud dengan MOMEN
EN IINERSIA POLAR dari suatu penampang terhada
adap suatu titik (=
O) adalah hasil perkalian antara
ara luas penampang tersebut dengan kuadratt jarak
jar antara titik
yang bersangkutan dengan titik
tik b
berat penampang tersebut.
Ip = momen inersia polar
MOMEN INERSIA PRODUK
Momen inersia produk sebuah
h lua
luasan sangat penting untuk menentukan tegang
gangan lentur pada
penampang melintang asimetris.
ris. Tidak seperti momen kedua/momen inersia
ia mungkin
m
bernilai
positif atau negatif. Sebuah sist
sistem koordinat, di mana momen inersia produ
roduk bernilai nol,
terarah pada sebuah set sumbu
bu utama, dan momen inersia yang dihitungg terhadap
te
sumbu
20
utama akan mengasumsikan mak
maksima dan minima-nya. Sistem koordinat deng
engan titik asalnya
pada titik berat penampang meli
melintang dan kedua sumbunya merupakan sumb
umbu simetri akan
selalu merupakan sumbu utama.
a.
Yang dimaksud dengan MOMEN
EN INERSIA Produk (momen sentrifugal) dari suatu
sua penampang
terhadap dua buah sumbu adalah
alah hasil perkalian antara luas penampang tersebu
sebut dengan jarak
tegak lurus antara titik berat pen
penampang tersebut dengan salah satu sumbu
bu d
dan jarak tegak
lurus antara titik berat penampan
pang tersebut terhadap sumbu yang lain .
= . .
=∫ . .
Ixy = momen inersia produk bidan
idang A
PENAMPANG SIMETRI dan
nA
ASIMETRI
Penampang Simetri Satu Arah
Sumbu simetri merupakan salah
lah ssatu sumbu utamanya, sedang sumbu utamaa yyang lain adalah
tegak lurus dengan sumbu utama
ma simetri dan melalui titik berat penampang
21
Penampang Simetri Dua Arah
Kedua sumbu simetri merupakan
kan sumbu utama
Penampang Asimetri
22
MENCARI MOMEN INERSIA
IA P
PENAMPANG MENGGUNAKAN INTEGRA
GRASI
Prosedur Analisis
Untuk melakukan integrasi tungg
unggal dalam menentukan momen inersia sebua
buah penampang,
maka perlu ditentukan elemen
en d
diferensial dA. Seringkali elemen ini berupaa persegi
p
panjang
[panjang dan lebarnya berhingg
ingga]. Elemen ini ditempatkan sedemikian hing
hingga memotong
penampang pada titik sembarang
ang (x,y). Ada 2 cara.
Cara I
Panjang elemen diorientasikan
an paralel terhadap sumbu. Gambar di atass digunakan
dig
untuk
2
menghitung Iy penampang. Aplika
plikasi langsung persamaannya, Iy = ∫x dA. Dalam
lam hal ini elemen
mempunyai tebal infinitesimall dx dan dengan demikian semua bagian elemen
en berjarak sama
dengan : x dari sumbu y.
23
Contoh I
Tentukan momen inersia luasan
an p
persegi empat yang ditunjukkan dalam gambar
ar tterhadap
sumbu sentroidal x’
Ele
Elemen diferensial yang ditunjukkan dalam gamba
mbar dipilih untuk
pe
pengintegrasian. Karena letak dan orientasinya,
ya, seluruh elemen
be
berada pada jarak y’ dari sumbu x’. Di sini perlu
lu di
dintegrasi y’ = –
h/2 ke y’= h/2.
Ka
Karena dA = b . dy’, maka :
−
_
2
= ∫ '2
= 121
2
∫
=
−
∫
'2 ( . ' ) =
−
2
'2
'
2
3
Contoh II
Tentukan momen inersia luasan yangg ditunjukkan
dit
dalam gambar di sekitar sumbu x.
Elemen diferensial luasan yang paralel
lel de
dengan sumbu
x, seperti ditunjukkan dalam gambar merupakan
me
yang
dipilih untuk integrasi. Karena elemen
nm
mempunyai
tebal dy dan memotong kurva pada titik sembarang
(x,y), maka luasannya adalah dA = (100--x) dy.
Selanjutnya semua bagian elemen berad
erada pada jarak
yang sama y dari sumbu x. Dengan meng
engintegrasi
terhadap y, dari y = 0 ke y = 200 mm,
m, diperoleh
d
:
=
∫
2
=
∫
2
−
=
2
∫ (2 )
2
2
−
2
24