Momentum Sudut Benda Tegar PPT

TIM FISIKA UMUM
Jurusan Fisika,
Fakultas Matematika dan IPA

ISI:
Gerak Rotasi & Perpindahan Sudut




Vektor Momentum Sudut



Sistem Partikel



Momen Inersia



Dalil Sumbu Sejajar



Dinamika Benda Tegar



Menggelinding



Hukum Kekekalan Momentum

Gerak Rotasi & Perpindahan Sudut
 Tinjau dahulu besaran-besaran vektor gerak rotasi.
 Dalam proses rotasi, pergeseran sudut:

θ  θ2  θ1

 Satuan SI untuk pergeseran
sudut adalah radian (rad)

360
 57,3
1 rad 
2

Gerak Rotasi & Perpindahan Sudut
 kecepatan sudut rata-rata:

θ2  θ1 θ


t 2  t1
t

 kecepatan sudut sesaat:

 d

  lim   lim

t 0
t 0 t
dt

Satuan SI untuk kecepatan sudut adalah
radian per detik (rad/s)

Arah kecepatan sudut sama dengan arah pergeseran sudut.

Gerak Rotasi & Perpindahan Sudut

Arah kecepatan sudut:
Aturan tangan kanan

Gerak Rotasi & Perpindahan Sudut

2  1

 Percepatan sudut rata-rata:


 

t 2  t1
t

 Percepatan sudut sesaat:

 d

  lim
t 0 t
dt

Satuan SI untuk percepatan sudut adalah
radian per detik (rad/s2)

Arah percepatan sudut sama dengan arah kecepatan sudut.

Persamaan Kinematika Rotasi

Perumusan Gerak Rotasi
Kecepatan tangensial:

v



kecepatan
linear

r


 dalam rad/s

kecepatan
tangensial

 Percepatan tangensial:

a
percepatan
linear



r

percepatan
tangensial

 dalam rad/s2 

Perumusan Gerak Rotasi
 Percepatan sentripetal (dng arah radial ke
dalam):
2

v
2
ar    r
r

Torsi – Momen gaya
 Torsi didefenisikan
sebagai hasil kali
besarnya gaya
dengan panjangnya
lengan

Torsi – Momen gaya
 Torsi berarah positif apabila gaya menghasilkan
rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam.
 Satuan SI dari Torsi: newton.m (N.m)

Vektor Momentum Sudut
 Momentum sudut L dari sebuah benda yang

berotasi tehadap sumbu tetap didefenisikan
sbb:
  
 

L  r  p  m(r  v)

l  mvr sin 
 rp  rmv
 r p  r mv
•Satuan SI adalah Kg.m2/s.

Vektor Momentum Sudut
 Perubahan momentum sudut terhadap waktu
diberikan oleh:
dL
d

r  p 
dt

dt

d
dr
dp 



r  p    p   r  
dt
dt
dt
 v  mv 
0

Jadi

dL
dp
r

dt
dt

l

ingat

FEXT 

dp
dt

Vektor Momentum Sudut
 Perubahan momentum sudut terhadap waktu
diberikan oleh:
dL
dp
r
dt
dt

dL
 r  FEXT
dt

Akhirnya kita peroleh:

 EXT

Analog dengan

FEXT

!!

dp
dt

dL

dt

Hukum Kekekalan Momentum Sudut
 EXT



dL

dimana
dt

L  r  p dan  EXT  r  FEXT

Jika torsi resultan = nol, maka

 EXT

Hukum kekekalan momentum sudut

I11  I22

dL

0
dt

Hukum Kekekalan Momentum
Linear
oJika SF = 0, maka p konstan.
Rotasi
oJika S = 0, maka L konstan.

Momentum Sudut:
Defenisi & Penurunan
Untuk gerak linear sistem partikel berlaku
FEXT

dp

dt

Momentum kekal jika
FEXT  0

Bagaimana dengan Gerak Rotasi?
Untuk Rotasi,
Analog gaya F adalah Torsi

  r F

Analog momentum p adalah momentum sudut

L r p

Sistem Partikel
 Untuk sistem partikel benda tegar, setiap partikel memiliki
kecepatan sudut yang sama, maka momentum sudut total:

n

L  l1  l2  l3    ln   li
i 1

n
dL n dli

  net ,i   net
dt i 1 dt i 1

Perubahan momentum sudut sistem hanya disebabkan oleh
torsi gaya luar saja.

Sistem Partikel
Perhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasi pd
bidang x-y, sumbu rotasi z. Total momentum sudut
adalah jumlah masing2 momentum sudut partikel:
L   ri  pi   mi ri  v i   mi ri v i kˆ
i

i

i

( ri dan vi tegak lurus)
v1

Arah L sejajar sumbu z

m2

Gunakan vi =  ri , diperoleh

L   mi ri  kˆ
2



L  I
i

Analog dng p = mv !!

v2

j

r2

m3

i r1 m1
r3

v3

Vektor Momentum Sudut
 DEFINISI
Momentum sudut dari sebuah benda yang
berotasi tehadap sumbu tetap adalah hasil
kali dari momen inersia benda dengan
kecepatan sudut terhadap sumbu rotasi
tersebut.



L  I

 Demikan juga dengan torsi (Hk II Newton
untuk gerak rotasi):







dL d ( I )
d
 

I
 I
dt
dt
dt


Vektor Momentum Sudut

L  I
Jika tidak ada torsi luar, L kekal. Artinya bahwa
hasil perkalian antara I dan  kekal

I   mi ri

2

L  I

L  I

Momen Inersia
Momen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegar didefenisikan
sebagai

I   mi ri m1r1  m2 r2  ...
2

2

i

I = momen inersia benda tegar,
menyatakan ukuran inersial sistem untuk berotasi
terhadap sumbu putarnya

2

Momen Inersia
Untuk benda yang mempunyai distribusi massa kontinu,
momen inersianya diberikan dalam bentuk integral

I   mi ri  I   r dm
2

2

i

I   r dm   ρr dV
2

Dimana Elemen Volume

dV  rdr  d  dl

z

2

y

dm
x

Momen Inersia

dV  rdr  d  dl
 dimana rdr : perubahan radius,
 dθ : perubahan sudut,
 dl : perubahan ketebalan.

Momen Inersia
Untuk lempengan benda dibawah ini, momen
inersia dalam bentuk integral

I   r  rdr  d  dl 
2

Asumsi rapat massa ρ konstan

 Kita dapat membaginya dalam
3 integral sbb:

I    r rdr  
R

0

2

2

0

d  0 dl 
L

Momen Inersia
R

r 
L
2
I       0  l 0
 4 0
4

Hasilnya adalah

4

Massa dari lempengan
tersebut

M     R  L

R
 2  L
I
4

2

Momen Inersia benda

1
2
I  MR
2

Dalil Sumbu Sejajar
Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terhadap
sumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbu sejajar
yang melalui titik pusat massanya (ICM diketahui), momen
inersia benda dapat ditentukan dengan menggunakan:

Dalil Sumbu Sejajar

I  I cm  Mh

2

Momen Inersia:
1
I  ml 2
12

ℓ

1 2
I  ml
3

R

R

I  mR

1
I  mR2
2

2

1
I  m(a 2  b 2 )
12

a

ℓ

b

2
I  mR2
5

Dinamika Benda Tegar
 Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerja
oleh momen gaya didefenisikan sbb:
2

2

1

1

1

2

W   d   Id  I  I
2
2

1

2

2
1

Energi Kinetik Rotasi
 Suatu benda yang bergerak rotasi, maka energi
kinetik akibat rotasi adalah

1
1
2
K   mi ri  
2
2
1 2
K  I
2

 m r 

 Dimana I adalah momen inersia,

2

2

i i

I   mi ri

2

Energi Kinetik Rotasi
Linear

• Rotasi

1
2
K  Mv
2
Massa
Kecepatan
Linear

1 2
K  I
2
Momen
Inersia
Kecepatan
Sudut

Prinsip Kerja-Energi
 Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak
rotasi menjadi:
2

2

1

1

1

2

W   d   Id  I  I
2
2

1

2

1 2
K rotasi  I
dimana
2
W  0 sehingga

2
1

W  K rotasi

Bila   0 ,maka
K rot  0 Hukum Kekekalan E. Kinetik Rotasi

Gerak Menggelinding: rotasi dan
translasi

s  R

Ban bergerak dengan laju ds/dt

 vcom

d

 R
dt

Gerak Menggelinding: rotasi dan translasi

Gerak Menggelinding: rotasi dan translasi

The kinetic energy of rolling

K  12 I P 2

I P  I com  MR 2

K  I com  MR 
1
2

2

1
2

2

2

2
K  12 I com 2  12 Mvcom
 K r  Kt

Gerak Menggelinding Di Bidang Miring
torsi = I 

Gunakan:

N

R  Fg sin  I P

Fg sin

fs

acom   R

R

Maka:

MR 2 g sin   I P acom

P



Fg

Fg cos



I P  I com  MR 2
acom

g sin

1  I com / MR 2

Menggelinding
 Total energi kinetik benda yang menggelinding
sama dengan jumlah energi kinetik translasi
dan energi kinetik rotasi.

1

1

K  mv  I 0
2

2
0

2

V0



2

Hukum Kekekalan Energi Mekanik
Total Dengan Gerak Rotasi

Kesetimbangan Benda Tegar
Suatu benda tegar dikatakan setimbang
apabila memiliki percepatan translasi sama
dengan nol dan percepatan sudut sama
dengan nol.
Dalam keadaan setimbang, seluruh resultan
gaya yang bekerja harus sama dengan nol,
dan resultan torsi yang bekerja juga harus
sama dengan nol:
SFx = 0 dan SFy = 0
S = 0

Hubungan Besaran
Gerak Linear - Rotasi
Linear
x (m)

Rotasi
 (rad)

v (m/s)

 (rad/s)

a (m/s2)

 (rad/s2)

m (kg)
F (N)

I (kg·m2)
 (N·m)

p (N·s)

L (N·m·s)

Hubungan Besaran
Gerak Linear - Rotasi
linear
perpindahan
kecepatan

percepatan
massa
gaya

x



v  dx / dt
a  dv / dt

  d / dt

m

I   mi ri2


F

Hk. Newton’s

F  ma

energi kinetik

K  (1 / 2)mv2

Kerja

angular

W   Fdx

  d / dt
 
  r F


  I

K  (1 / 2) I 2
W   d

Contoh Soal
Molekul oksigen mengandung dua atom oksigen
yang memiliki massa total 5,3 × 10-26 kg. Momen
inersia terhadap sumbu yang tegak lurus garis
penghubung dua atom serta berada di tengahtengah antar dua atom adalah 1,9 10-46 kg m2.
Perkirakan jarak antar dua atom.

Contoh Soal
Sebuah bola pejal yang bermassa
10,0
kg
menggelinding tanpa slip di atas bidang datar
dengan kecepatan translasi 2,0 m/s. Jari-jari bola
adalah 8,0 cm. Berapakah momentum translasi,
momentum sudut terhadap pusat massa, energi
kinetik translasi, energi kinetik rotasi.

Sebuah bola bowling bermassa M berjari-jari R
bergerak di atas sebuah lantai. Bola berguling
dengan slip, dengan kecepatan awal vo dan
kecepatan sudut ωo. Koefisien gesekan kinetik
antara bola dengan lantai µk. Suatu saat bola
berguling tanpa slip dengan sempurna, hitunglah
(a). Berapa jauh bola berguling dengan slip. (b).
Berapa kecepatan bola ketika mulai berguling tanpa
slip.

Penyelesaian:

f

(a) Ambil a = percepatan linier bola,  = percepatan
sudut bola.
Ketika bola slip di lantai, gaya gesekannya adalah:
Gunakan hukum II Newton translasi:

 k Mg  Ma

a   k g

(1)

Gunakan hukum II Newton rotasi terhadap pusat massa bola:

 k MgR  I

 

k MgR
I

Momen inersia bola terhadap pusat massanya

2
2
I  MR
5
Pada saat t, kecepatan linier dan kecepatan sudut
bola adalah:

v  v0  at
  0  t

Selama 0,1 s bola pejal yang menggelinding
mengalami perubahan kecepatan dari 1,0 m/s
menjadi 2,0 m/s. Massa bola adalah 8,0 kg
dan jari-jarinya 7,0 cm. Berapakah momen
gaya yang bekerja pada bola selama selang
waktu tersebut?

Sebuah cakram berjari-jari R = 0,5 m dihubungkan
salah satu titik di pinggirnya dengan batang tak
bermassa yang panjangnya 2R. Massa cakram
adalah 2,5 kg. Berapakah momen inersia terhadap
titik di ujung batang yang lainnya?

Perkirakan laju bola pejal yang dilepaskan di
puncak bidang miring dari keadaan diam saat bola
tersebut mencapai dasar bidang. Massa bola adalah
M dan jari-jarinya adalah R. Tinggi ujung bidang
miring adalah H dan membentuk sudut elevasi θ.
Anggap tidak terjadi slip selama bola bergerak.