Cover Kajian Estimasi Parameter Distribusi Gamma Dengan Penduga Metode Momen dan Penduga Kemungkinan Maksimum; Suatu Terapan Data Paruh Waktu dan Simulasi Sebagai Perbandingan
KAJIAN ESTIMASI PARAMETER BERDISTRIBUSI GAMMA DENGAN MOMENTS
METHOD DAN MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATOR; SUATU TERAPAN DATA
PARUH WAKTU DAN DATA SIMULASI SEBAGAI PERBANDINGAN
SKRIPSI
REHDAMENTA S TARIGAN
080803067
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
KAJIAN ESTIMASI PARAMETER BERDISTRIBUSI GAMMA DENGAN
MOMENTS METHOD DAN MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATOR; SUATU
TERAPAN DATA PARUH WAKTU DAN DATA SIMULASI SEBAGAI
PERBANDINGAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains
REHDAMENTA S TARIGAN
080803067
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
iii
PERSETUJUAN
Judul
: Kajian Estimasi Parameter Distribusi Gamma Dengan
Penduga Metode Momen dan Penduga Kemungkinan
Maksimum; Suatu Terapan Data Paruh Waktu dan
Simulasi Sebagai Perbandingan
Kategori
: Skripsi
Nama
: Rehdamenta S
NomorIndukMahasiswa : 080803067
Program Studi
: Sarjana (S1) Matematika
Departemen
: Matematika
Fakultas
: Matematikadan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Juli 2015
Komisi Pembimbing
:
Pembimbing 2,
Dr. Pasukat Sembiring, M.Si
NIP. 19511227198503 1 002
Pembimbing 1,
Dr. Open Darnius Sembiring, M.Sc
NIP. 1964104199103 1 004
Disetujui oleh
DepartemenMatematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si., Ph.D
NIP. 196209011988031 002
iv
PERNYATAAN
KAJIAN ESTIMASI PARAMETER BERDISTRIBUSI GAMMA DENGAN
PENDUGA METODE MOMEN DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM;
SUATU TERAPAN DATA PARUH WAKTU DAN SIMULASI SEBAGAI
PERBANDINGAN
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juli 2015
Rehdamenta S Tarigan
v
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Ucapan terima kasih penulissampaikan kepada bapak Dr. Open Darnius
Sembiring, M.Sc., dan kepada bapak Dr. Pasukat Sembiring, M.Si. selaku
pembimbing penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh
kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan skripsi ini. Panduan ringkas,
padat dan professional telah diberikan kepada saya telah diberikan kepada saya
agar tulisan ini dapat terselesaikan. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada
Ketua dan Sekretaris Departemen Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si., Ph.D
dan ibu Dra. Mardiningsih, M.Si., Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, seluruh
dosen Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, dan
rekan-rekan kuliah seperjuangan. Akhirnya, tidak terlupakan bapak, ibu dan adikadikku yang membantu memotivasi dengan tiada henti-hentinya. Semoga Tuhan
Yang Maha Esa memberi apa yang dibutuhkan dalam hidupnya.
vi
ABSTRAK
Estimasi adalah suatu proses untuk menemukan karakteristik yang dapat
menggambarkan suatu keadaan secara efektif dan efisien. Karakteristik yang
diperoleh bisa bernilai yang sebenarnya atau nilai pendekatan. Dalam prakteknya,
hasil estimasi merupakan nilai pendekatan terhadap keadaan yang sebenarnya.
Metode estimasi momen dan maksimum likelihood diterapkan kedalam
distribusi gamma. Tahapan penyelesaian menghasilkan karakteristik yang disebut
dengan parameter �̂ dan �λ. Pada kedua estimasi momen diperoleh �̂ =
4.09016193 , �λ = 0.002513199 , E[X] = 1627.475 dan V[X] = 647569.9189.
Estimasi maksimum menghasilkan �̂ = 3.860568854 , �λ = 1627.475, E[X] =
1627.475 dan V[X] = 687313.0827.
Berdasarkan bangkitan data pada R, diperoleh nilai ekspektasi dan varians
yang mendekati nilai ekspektasi dan varians yang diestimasi pada data
sebelumnya. Data tersebut dibangkitkan dengan n=100 dan n=1000 selanjutnya
dengan menentukan nilai �̂ dan �λ yang dimodifikasi selanjutnya dibandingkan
ekspekstasi dan varians sebanyak 40 data bangkitan yang dimodifikasi.
vii
ABSTRACT
Estimation is a process finding charakteristics and process in describe a
phenomen effectively and efficiently. Charakteristics can be an approximation
number or true one. Practically, the yield of estimation was an approaching
number into the true phenomen.
Moments method and maximum likelihood estimation applied into gamma
distribution. The solving steps result characteristics called with parametrics
�̂ dan �λ. Moments estimaton yield �̂ = 4.09016193 , �λ = 0.002513199 , E[X]
= 1627.475 dan V[X] = 647569.9189. Maximum likelihood estimation yield
�̂ = 3.860568854 , �λ = 1627.475, E[X] = 1627.475 dan V[X] = 687313.0827.
Based on generating data in R programme , the result expectation dan
variance number that aprocahing expectation and variance in the estimation at
data before. The data generating with 100 times and 1000 times, next finding
expectation and variance with modification �̂ and �λ about 40 times. Based on
the generating data finally by compare the result expectation and variance.
viii
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan
Pernyataan
Penghargaan
Abstrak
Abstract
Daftar Isi
Daftar Tabel
Daftar Gambar
Daftar Lampiran
Bab 1 Pendahuluan
1.1 LatarBelakang
1.2 RumusanMasalah
1.3 BatasanMasalah
1.4 TujuanPenelitian
1.5 KontribusiPenelitian
1.6 MetodologiPenelitian
1.7 TinjauanPustaka
Bab 2 LandasanTeori
2.1 Probabilitas Dasar
2.2 Peubah Acak
2.2.1 peubah acak diskrit
2.2.2 pubah acak kontinu
2.3 Ekspektasi dan Varians
2.3.1Ekspektasi
2.3.2Varians
2.4 Distribusi Gamma dan Turunan Kalkulus
2.4.1 Distribusi dan Fungsi gamma
2.5 Estimasi
2.5.1 Moments estimator
2.5.1.1 Prosedur Metode Moments
2.5.2 Maximum Likelihood Estimator
2.5.2.1 Prosedur Metode MLE
2.5.3 Sifat-sifat Estimator
Bab 3 Hasil dan Pembahasan
3.1 Metode Moments Estimator
3.2 Metode Maximum Likelihood Estimator
3.3 Aplikasi terhadap data
3.3.1 Aplikasi Estimasi Moments
3.3.2 Aplikasi Estimasi Maksimum Likelihood
3.4 Simulasi Data
Bab 4 Kesimpulan dan Saran
4.1 Kesimpulan
4.2 Saran
DaftarPustaka
iii
iv
v
vi
vii
viii
ix
x
xi
1
4
4
4
4
5
6
9
10
10
11
11
14
14
15
17
25
25
26
27
28
29
31
31
39
45
45
48
52
54
55
56
ix
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1
Tabel 3.2
Tabel 3.3
Tabel 3.4
Tabel 3.4
Data umur hidup bola lampu
Perhitungan data
Tabel bangkitan data
Tabel bangkitan data
Tabel bangkitan data
44
44
LAMPIRAN A
LAMPIRAN B
LAMPIRAN C
x
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Karakteristik Kurva Distribusi Gamma
Gambar 3.1 Plot distribusi gamma dengan � = 4.0901 dan � = 0.0025
Gambar 3.2 Plot distribusi gamma dengan � = 3.86 dan � = 0.0023
7
50
51
xi
DAFTAR LAMPIRAN
LAMPIRAN A
LAMPIRAN B
LAMPIRAN C
LAMPIRAN D
xii
xiii
xiv
xv
METHOD DAN MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATOR; SUATU TERAPAN DATA
PARUH WAKTU DAN DATA SIMULASI SEBAGAI PERBANDINGAN
SKRIPSI
REHDAMENTA S TARIGAN
080803067
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
KAJIAN ESTIMASI PARAMETER BERDISTRIBUSI GAMMA DENGAN
MOMENTS METHOD DAN MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATOR; SUATU
TERAPAN DATA PARUH WAKTU DAN DATA SIMULASI SEBAGAI
PERBANDINGAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains
REHDAMENTA S TARIGAN
080803067
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
iii
PERSETUJUAN
Judul
: Kajian Estimasi Parameter Distribusi Gamma Dengan
Penduga Metode Momen dan Penduga Kemungkinan
Maksimum; Suatu Terapan Data Paruh Waktu dan
Simulasi Sebagai Perbandingan
Kategori
: Skripsi
Nama
: Rehdamenta S
NomorIndukMahasiswa : 080803067
Program Studi
: Sarjana (S1) Matematika
Departemen
: Matematika
Fakultas
: Matematikadan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Juli 2015
Komisi Pembimbing
:
Pembimbing 2,
Dr. Pasukat Sembiring, M.Si
NIP. 19511227198503 1 002
Pembimbing 1,
Dr. Open Darnius Sembiring, M.Sc
NIP. 1964104199103 1 004
Disetujui oleh
DepartemenMatematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si., Ph.D
NIP. 196209011988031 002
iv
PERNYATAAN
KAJIAN ESTIMASI PARAMETER BERDISTRIBUSI GAMMA DENGAN
PENDUGA METODE MOMEN DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM;
SUATU TERAPAN DATA PARUH WAKTU DAN SIMULASI SEBAGAI
PERBANDINGAN
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juli 2015
Rehdamenta S Tarigan
v
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Ucapan terima kasih penulissampaikan kepada bapak Dr. Open Darnius
Sembiring, M.Sc., dan kepada bapak Dr. Pasukat Sembiring, M.Si. selaku
pembimbing penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh
kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan skripsi ini. Panduan ringkas,
padat dan professional telah diberikan kepada saya telah diberikan kepada saya
agar tulisan ini dapat terselesaikan. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada
Ketua dan Sekretaris Departemen Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si., Ph.D
dan ibu Dra. Mardiningsih, M.Si., Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, seluruh
dosen Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, dan
rekan-rekan kuliah seperjuangan. Akhirnya, tidak terlupakan bapak, ibu dan adikadikku yang membantu memotivasi dengan tiada henti-hentinya. Semoga Tuhan
Yang Maha Esa memberi apa yang dibutuhkan dalam hidupnya.
vi
ABSTRAK
Estimasi adalah suatu proses untuk menemukan karakteristik yang dapat
menggambarkan suatu keadaan secara efektif dan efisien. Karakteristik yang
diperoleh bisa bernilai yang sebenarnya atau nilai pendekatan. Dalam prakteknya,
hasil estimasi merupakan nilai pendekatan terhadap keadaan yang sebenarnya.
Metode estimasi momen dan maksimum likelihood diterapkan kedalam
distribusi gamma. Tahapan penyelesaian menghasilkan karakteristik yang disebut
dengan parameter �̂ dan �λ. Pada kedua estimasi momen diperoleh �̂ =
4.09016193 , �λ = 0.002513199 , E[X] = 1627.475 dan V[X] = 647569.9189.
Estimasi maksimum menghasilkan �̂ = 3.860568854 , �λ = 1627.475, E[X] =
1627.475 dan V[X] = 687313.0827.
Berdasarkan bangkitan data pada R, diperoleh nilai ekspektasi dan varians
yang mendekati nilai ekspektasi dan varians yang diestimasi pada data
sebelumnya. Data tersebut dibangkitkan dengan n=100 dan n=1000 selanjutnya
dengan menentukan nilai �̂ dan �λ yang dimodifikasi selanjutnya dibandingkan
ekspekstasi dan varians sebanyak 40 data bangkitan yang dimodifikasi.
vii
ABSTRACT
Estimation is a process finding charakteristics and process in describe a
phenomen effectively and efficiently. Charakteristics can be an approximation
number or true one. Practically, the yield of estimation was an approaching
number into the true phenomen.
Moments method and maximum likelihood estimation applied into gamma
distribution. The solving steps result characteristics called with parametrics
�̂ dan �λ. Moments estimaton yield �̂ = 4.09016193 , �λ = 0.002513199 , E[X]
= 1627.475 dan V[X] = 647569.9189. Maximum likelihood estimation yield
�̂ = 3.860568854 , �λ = 1627.475, E[X] = 1627.475 dan V[X] = 687313.0827.
Based on generating data in R programme , the result expectation dan
variance number that aprocahing expectation and variance in the estimation at
data before. The data generating with 100 times and 1000 times, next finding
expectation and variance with modification �̂ and �λ about 40 times. Based on
the generating data finally by compare the result expectation and variance.
viii
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan
Pernyataan
Penghargaan
Abstrak
Abstract
Daftar Isi
Daftar Tabel
Daftar Gambar
Daftar Lampiran
Bab 1 Pendahuluan
1.1 LatarBelakang
1.2 RumusanMasalah
1.3 BatasanMasalah
1.4 TujuanPenelitian
1.5 KontribusiPenelitian
1.6 MetodologiPenelitian
1.7 TinjauanPustaka
Bab 2 LandasanTeori
2.1 Probabilitas Dasar
2.2 Peubah Acak
2.2.1 peubah acak diskrit
2.2.2 pubah acak kontinu
2.3 Ekspektasi dan Varians
2.3.1Ekspektasi
2.3.2Varians
2.4 Distribusi Gamma dan Turunan Kalkulus
2.4.1 Distribusi dan Fungsi gamma
2.5 Estimasi
2.5.1 Moments estimator
2.5.1.1 Prosedur Metode Moments
2.5.2 Maximum Likelihood Estimator
2.5.2.1 Prosedur Metode MLE
2.5.3 Sifat-sifat Estimator
Bab 3 Hasil dan Pembahasan
3.1 Metode Moments Estimator
3.2 Metode Maximum Likelihood Estimator
3.3 Aplikasi terhadap data
3.3.1 Aplikasi Estimasi Moments
3.3.2 Aplikasi Estimasi Maksimum Likelihood
3.4 Simulasi Data
Bab 4 Kesimpulan dan Saran
4.1 Kesimpulan
4.2 Saran
DaftarPustaka
iii
iv
v
vi
vii
viii
ix
x
xi
1
4
4
4
4
5
6
9
10
10
11
11
14
14
15
17
25
25
26
27
28
29
31
31
39
45
45
48
52
54
55
56
ix
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1
Tabel 3.2
Tabel 3.3
Tabel 3.4
Tabel 3.4
Data umur hidup bola lampu
Perhitungan data
Tabel bangkitan data
Tabel bangkitan data
Tabel bangkitan data
44
44
LAMPIRAN A
LAMPIRAN B
LAMPIRAN C
x
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Karakteristik Kurva Distribusi Gamma
Gambar 3.1 Plot distribusi gamma dengan � = 4.0901 dan � = 0.0025
Gambar 3.2 Plot distribusi gamma dengan � = 3.86 dan � = 0.0023
7
50
51
xi
DAFTAR LAMPIRAN
LAMPIRAN A
LAMPIRAN B
LAMPIRAN C
LAMPIRAN D
xii
xiii
xiv
xv