4. NILAI EIGEN dan VEKTOR EIGEN

07/11/2015

NILAI EIGEN dan VEKTOR EIGEN
Yang dipelajari….
1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya
2. Masalah Pendiagonalan

Referensi :
Kolman & Howard Anton.

Ilustrasi
Misalkan t : Rn  Rn dengan definisi
t(x) = A.x , utk setiap x  Rn
dengan A adalah matriks ukuran nxn.
Masalah :
Dapatkah ditentukan vektor x s.d.h x dan Ax
sejajar?
Pertanyaan ini jika dituliskan secara matematis
menjadi :
Dapatkah ditentukan x sedemikian hingga
Ax = x , utk suatu skalar  .

1

07/11/2015

• Perhatikan gambar berikut:

• Masalah yang dikemukakan di atas merupakan awal munculnya
istilah Nilai Eige

dan Vektor Eige

• Masalah diatas merupakan permasalahan yang sering muncul di
bidang selain matematik, misalnya dibidang fisika (fisika nuklir dan
elastisitas), teknik (elektro dan kimia), biologi, mekanika kuantum.

Definisi 1
Misalkan A adalah matriks ukuran nxn.
Suatu skalar  yang memenuhi
persamaan

A.x = x
disebut nilai eigen dari matriks A, dan
vektor x  Rn disebut vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen .

2

07/11/2015

1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya
• Masalah Nilai eigen :
Masalah mencari penyelesaian persamaan
A.x = .x, dimana A adalah matriks sebarang
ukuran nxn (diketahui), x vektor di Rn dan 
adalah sebarang skalar di R (dicari).

Ilustrasi
• Misalkan

• Maka


0
A
1

2

1
2

0


1  1 2 
A     
1
1  2 

1

1
2 
1

1
yang berarti x    dan  = ½ .
1

3

07/11/2015

Ga bar ya….
1
x 
1
 12
Ax   
1

 2

Definisi 1
Jika A adalah matriks berukuran nxn, maka
nilai eigen dari A adalah akar-akar dari
persamaan karakteristik matriks A.

4

07/11/2015

Definisi 2
• Misalkan A = [aij] adalah matriks berukuran nxn.
Polinomial Karakteristik dari A adalah

p() = (det(In – A)) =

  a11
 a
21


 :

  a n1

 a12

  a 22
:
 an 2

 a1n 
...  a 2 n 

:
: 

...   a nn 
...

Persamaan karakteristik dari A adalah
det(In – A) = 0
Penyelesaian dari persamaan diatas disebut akar-akar
karakteristik dari matriks A.

Catatan:
• Polinomial karakteristik dari matriks
berukuran nxn merupakan polinomial
berderajad n, dan bisa dituliskan :
p() = ( - a11) ( - a22)… ( - ann)
= n + c1 n-1 + c2 n-2 + … + cn

5

07/11/2015

Contoh 1:
7  4 
Misalkan A  


5  2

Tentukan polinomial karakteristik dan akar-akar
karakteristik dari A.
Penyelesaian:

p ( )  det  I 2  A  

 7

4

5

2

 2  5  6    2   3

p    0    2,   3

Contoh 2
Tentukan nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks pada contoh 1.
Penyelesaian:

Untuk nilai eigen 1 = 2 :

Utk nilai eigen 2 = 3 :

dibentuk SPL

dibentuk SPL
(3I2 – A)x = 0

(2I2 – A)x = 0
  5
 5


4   x1  0 
 

4   x2  0 

x1 = 4/5x2

 4 / 5

 1 

Jadi vektor eigen: v1  



  4 4   x1  0 
  5 5   x   0 
 2   

x1 = x2
1
Jadi vektor eigen:

v2   
1

6

07/11/2015

Teorema
Jika A adalah sebuah matriks berukuran nxn dan λ
adalah sebuah bilangan real, maka pernyataanpernyataan berikut ini ekivalen.
1. λ adalah sebuah nilai eigen dari A
2. Sistem persamaan (λI-A)x = 0, mempunyai solusi
nontrivial
3. Terdapat sebuah vektor taknol x pada Rn
sedemikian rupa sehingga Ax=λx
4. λ adalah sebuah solusi dari persamaan
karakteristik det (λI-A) = 0

Teorema
Jika k adalah bilangan bulat positif, λ adalah nilai
eigen dai suatu matriks A, dan x adalah vektor
eigen yang terkait dengan λ, maka λk adalah
nilai eigen dari Ak dan x adalah vektor eigen
yang terkait dengannya.

7

07/11/2015

Contoh 3
Dapatkan nilai eigen dan vektor eigen dari A3
dengan A seperti contoh 2.
Nilai eigen dari matriks A berdasarkan contoh
2 adalah 1 = 2 dan 2 = 3. Maka berdasarkan
Teorema, nilai eigen dari A3 adalah 13 = 23 = 8
dan 23 = 33 = 27 dengan vektor eigen sama
seperti pada contoh 2.

Nilai eigen dan keterbalikan (invers)
Teorema:
Sebuah matriks bujursangkar A dapat dibalik (
mempunyai invers) jika dan hanya jika c = 0
bukan merupakan nilai eigen dari A.
Contoh 4:
Pada contoh 2 matriks A mempunyai invers
karena nilai eigen tidak nol.

8

07/11/2015

Soal latihan
Dapatkan nilai eigen dan vektor eigen dari soal
berikut serta apakah matris tersebut
mempunyai invers:
2 3
1. A  

1 0 
0 0  2 
2. B  1 2 1 


1 0 3 
2 0 
3. C  

0  2
2 
 1
4. D  


2
7 


3 0 
5. A  

8  1
2
6. B   0

 0
4
7. C  
0
1
8. D  
4

1 1
2 1

0 3
1
2 
0
2 

MASALAH PENDIAGONALAN
Anita T. Kurniawati

9

07/11/2015

MATRIKS SIMILAR
Definisi
Diberikan matriks A dan B berukuran nxn.
Matriks B dikatakan similar dengan matriks A jika
ada matriks P sedemikian sehingga
B = P-1AP

Contoh 1:
Misalkan

 1 1
A

 2 4

Misalkan juga

Maka :

1 1 
P

1 2 

 2  1
P 1  

 1 1 

2 0
B  P AP  

0 3
1

Jadi B similar dengan A.

10

07/11/2015

Masalah Pendiagonalan ?
Diberikan matriks A ukuran nxn.
Apakah ada matriks s.d.h matriks A similar
dengan matriks diagonal ?

Definisi
• Suatu matriks Anxn dikatakan dapat
didiagonalkan (diagonalizable) jika
ada matriks s.d.h. P-1AP = D, dengan
D adalah matriks diagonal.

11

07/11/2015

Teorema 1
• Suatu matriks Anxn dapat didiagonalkan
(diagonalizable) jika dan hanya jika A
mempunyai n vektor eigen yang bebas linier.

Contoh 2:
Diketahui matriks

 1 1
A

 2 4

Nilai eigen dari A : 1 = 2 dan 2 = 3.
Vektor eigen yang bersesuaian dengan 1 dan 2 adalah :
dan
1
1

x   p
x   p
 2 linier.
1bahwa x dan x bebas
Dapat dibuktikan
1
2
1

1

2

2

Selanjutnya, A dapat didiagonalkan, dengan
(Lihat contoh 1)
1 1 
P

1 2 

12

07/11/2015

Prosedur Pendiagonalan Matriks
Misalkan A adalah matriks ukuran nxn dan mempunyai n
vektor eigen yang bebas linier.
Langkah 1
Carilah n vektor eigen yang bebas linier, misalkan v1, v2,
… , vn.
Langkah 2
Susunlah vektor-vektor vi menjadi suatu matriks P.
Langkah 3
Kalikan P-1AP, maka A akan similar dengan matriks
diagonal D.

Contoh 3:
Diagonalkan matriks
Penyelesaian:
Persamaan karakteristik:

 4  4
 1


A   8  11 8 
8
8
5 


3  52  3  9    1  3  0
2

Vektor eigen yang bersesuaian dengan  = 1 :
 1 
 
v1   2 
  2
 

13

07/11/2015

Vektor eigen yang bersesuaian dengan  = -3 adalah
1
1
 
 
v   1 , v   0 
0
1
 
 
2

3

Dapat dibuktikan bahwa {v1, v2, v3 } adalah bebas linier (coba cek).
Selanjutnya bentuk matriks P :
 1 1 1


P   2 1 0
 2 0 1



dan dapat dihitung bahwa
1
P AP  0

0
1

0 
3 0 

0  3
0

Teorema 2
Jika v1, v2, …, vk adalah vektor2 eigen yang
bersesuaian dengan nilai-nilai eigen
 1,  2,
… , k, maka {v1, v2, …, vk } adalah bebas linier.
Teorema 3
Jika A adalah matriks ukuran nxn dan
mempunyai n nilai eigen real yang berbeda
(tanpa pengulangan), maka A (pasti) dapat
didiagonalkan.

14

07/11/2015

Misalnya….
• Pada Contoh 1, matriks A2x2 mempunyai 2 nilai
eigen yang berbeda, maka A dapat
didiagonalkan.
• Pada Contoh 3, matriks A3x3 mempunyai 2 nilai
eigen berbeda (dengan  = -3 adalah
pengulangan), maka A dapat didiagonalkan
karena A mpy 3 vektor eigen yang bebas linier
(Teorema 1)

Contoh 4:
Diberikan matriks

0 0 1 
A  0 1 2 


0 0 1 

Persamaan karakteristik dari A : p() = ( - 1)2 = 0
Shg nilai eigen dari A : 1 = 0 dan 2 = 3 = 1.
1 
Vektor eigen yang bersesuaian dengan  = 0 :  
0
 
 0 

vektor yang bersesuaian dengan  = 1 :

0 
1 
 
 0 

Jadi menurut Teorema 1, A tidak dapat didiagonalkan.

15

07/11/2015

Soal Latihan
Jika mungkin, diagonalkanlah
matriks berikut:
8  6 
1. A  

 2 10 
 4  3
1
2. B   0

6
 6
 2 3
3. C  

 3 1
 0 3
4. D  

 2 1

 3
0 

5 

16