Kajian Tentang Metode Zero Suffix Menggunakan Teknik Robust Ranking Pada Masalah Transportasi Dengan Variabel Fuzzy
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Program Linier
Program linier merupakan model umum yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara
beberapa aktivitas yang bersaing secara optimal, dengan cara yang terbaik yang
mungkin
dilakukan.
Sebagai
contoh
sederhana
sebuah
bank
hendak
mengalokasikan dananya untuk mencapai kemungkinan hasil tertinggi. Dalam hal
ini bank tersebut harus beroperasi dalam peraturan likuiditas yang dibuat oleh
pemerintah dan harus mampu menjaga fleksibilitas yang memadai untuk
memenuhi permintaan pinjaman dari para nasabah.
Dalam penerapannya program linier menggunakan model matematis
dalam pemecahan berbagai persoalan. Kata sifat linier digunakan untuk
menggambarkan hubungan antara dua atau lebih variabel, hubungan yang
berlangsung haruslah berupa fungsi yang linier. Sedangkan kata program
menyatakan penggunaan teknik matematika tertentu untuk mendapatkan
kemungkinan pemecahan terbaik dari persolan yang melibatkan sumber yang
serba terbatas memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.
2.1.1 Syarat Utama Program Linier
Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan
yang dihadapi ke dalam model program linier, maka ada lima syarat yang harus
dipenuhi:
1. Tujuan
Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin
dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas
yang disebut fungsi tujuan.
Universitas Sumatera Utara
12
2. Alternatif perbandingan
Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan,
misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan
waktu terlambat dan biaya terendah.
3. Sumber daya
Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang
terbatas.
4. Perumusan kuantitatif
Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif
dalam apa yang disebut model matematika.
5. Keterkaitan peubah
Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut
harus memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.
2.1.2 Asumsi dalam Model Program Linier
Dalam menggunakan model program linear, diperlukan beberapa asumsi sebagai
berikut:
1. Asumsi kesebandingan (proportionality)
a.
Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan
adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan.
b. Konstribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap
pembatas linier juga sebanding dengan nilai keputusan itu.
2. Asumsi penambahan (additivity)
a. Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi keputusan
bersifat bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain.
b. Konstribusi suatu variabel keputusan pada nilai dari variabel
keputusan ruas kiri dari setiap pembatas linier bersifat tidak
bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain.
3. Asumsi pembagian (divisiblity)
Dalam persoalan program linier, variabel keputusan boleh diasumsikan
berupa pecahan.
Universitas Sumatera Utara
13
4. Asumsi kepastian (certainty)
Setiap parameter, yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan, dan
koefisien fungsi kendala diasumsikan dapat diketahui secara pasti.
2.1.3 Karakteristik Program Linier
Dalam membangun model dari formulasi suatu persoalan akan digunakan
karakteristik-karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan program linier,
yaiu:
1. Peubah keputusan
Peubah keputusan adalah peubah yang menguraikan secara lengkap
keputusan-keputusan yang akan dibuat.
2. Fungsi tujuan (objective function)
Fungsi tujuan merupakan fungsi dari peubah keputusan yang akan
dimaksimumkan (untuk pendapatan) atau diminimumkan (untuk ongkos).
Untuk menyatakan fungsi tujuan biasanya digunakan peubah z sehingga
fungsi tujuan dapat dinyatakan:
(2.1)
3. Pembatas Linier (linier constraints)
Pembatas linear merupakan kendala yang dihadapi sehingga kita tidak
dapat menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang.
Koefisien dari variabel keputusan pada pembatas linear dinamakan
koefisien fungsi kendala, sedangkan bilangan yang ada di sisi (ruas) kanan
setiap pembatas linear dinamakan ruas kanan pembatas.
4. Pembatas tanda / kondisi pengetat
Pembatas tanda adalah pembatas yang menjelaskan apakah variabel
keputusannya diasumsikan hanya berharga non negatif atau variabel
keputusannya tidak terbatas dalam tanda (boleh positif - boleh negatif).
Universitas Sumatera Utara
14
Secara umum model program linier dapat dirumuskan sebagai berikut:
Maksimumkan atau minimumkan:
∑
Kendala:
∑
di mana:
= variabel keputusan
= koefisien fungsi tujuan
= koefisien fungsi kendala
= jumlah masing – masing sumber daya yang ada (ruas kanan pembatas)
(P. Suyadi, 2005)
2.2 Masalah Transportasi
2.2.1 Sejarah Permasalahan Transportasi
Masalah transportasi ini sebenarnya telah lama dipelajari dan dikembangkan
sebelum lahir model program linear. Pada tahun 1939, L.V Kantorovitch
mempelajari
beberapa
permasalahan
yang
berhubungan
dengan
model
transportasi. Kemudian, pada tahun 1941, F.L. Hitchcock merumuskan model
matematika dari persoalan transportasi yang kini dianggap sebagai model
matematika dari persoalan transportasi yang kini dianggap sebagai model baku,
sehingga sering disebut juga sebagai model Hitchcock. Ada lagi seseorang yang
bernama T.C. Koopmans pada tahun 1947 banyak mempelajari hal-hal yang
berhubungan dengan program transportasi (PT) atau model transportasi (MT).
Universitas Sumatera Utara
15
2.2.2 Definisi dan Tujuan Masalah Transportasi
Masalah transportasi membicarakan masalah pendistribusian suatu komoditas atau
produk dari sejumlah sumber (supply) ke sejumlah tujuan (demand, destination)
dengan tujuan meminimumkan ongkos pengangkutan yang terjadi.
Secara umum arti transportasi adalah adanya perpindahan barang dari
suatu tempat ke tempat lain dan dari beberapa tempat ke beberapa tempat lain.
Tempat atau tempat-tempat asal barang disebut juga dengan istilah sumber atau
sumber-sumber (resources). Sedangkan tempat atau tempat-tempat tujuan disebut
destination. Hal ini merupakan bagian dari kehidupan nyata manusia untuk
memindahkan barang dari satu tempat ke tempat lain sesuai dengan
kebutuhannya. Misalnya, di suatu tempat asal barang mempunyai jumlah produk
yang
berlebih
sehingga
perlu
ditransportasikan
ke
tempat
lain
yang
memerlukannya. (P, Suyadi, 2005)
Masalah transportasi adalah salah satu aplikasi yang paling awal dari
masalah program linier (Fegade, 2012). Sedangkan dikemukakan bahwa masalah
transportasi adalah biaya transportasi barang dari suatu tempat asal ke tempat
tujuan dengan cara menggunakan metode penyelesaiaan program linier (Parlin,
2012).
Diartikan
juga
masalah
transportasi
yaitu
masalah
bagaimana
mengalokasikan barang yang tepat terhadap biaya agar diperoleh biaya
pendistribusian yang minimum (Tofan, 2013).
Dalam arti sederhana, masalah transportasi berusaha menentukan sebuah
rencana transportasi sebuah barang dari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan.
Masalah transportasi berkaitan dengan penentuan rencana berbiaya rendah untuk
mengirimkan suatu barang dari sejumlah sumber (misalnya, pabrik) ke sejumlah
tujuan (misalnya, gudang). Dalam arti lain, transportasi adalah aplikasi yang
digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan
produk yang sama, ke tempat-tempat yang membutuhkan produk tersebut secara
optimal.
Universitas Sumatera Utara
16
Masalah transportasi pada dasarnya merupakan sebuah program linier
yang dipecahkan oleh metode simpleks biasa. Tetapi, strukturnya yang khusus
memungkinkan pengembangan sebuah prosedur pemecahan, yang disebut teknik
transportasi, yang lebih efisien dalam hal perhitungan.
Data dalam masalah ini mencakup:
1. Tingkat penawaran di setiap sumber dan sejunlah permintaan di setiap
tujuan.
2. Biaya tranportasi per unit barang dari setiap sumber ke setiap tujuan.
Asumsi dasar dari masalah transportasi ini adalah bahwa biaya transportasi
di sebuah rute tertentu adalah proporsional secara langsung dengan jumlah unit
yang dikirimkan. (Bu’ul ̈ l ̈ , F. 2016)
Pada intinya, masalah transportasi itu mencari dan menentukan
perencanaan pengiriman barang (single commodity) dari tempat asal ke tempat
tujuan, dengan total biaya transportasi yang minimal. Oleh karena itu, dalam total
biaya transportasi terdapat 3 (tiga) variabel, yakni:
1. Jumlah barang yang tersedia di tempat (sumber) asal, yakni kapasitas
pengiriman.
2. Daya tampung di daerah atau tempat tujuan yakni daya tampung tempat
tujuan.
3. Biaya transportasi per unit barang yang akan dikirimkan.
(P, Suyadi, 2005)
Tujuan dari masalah transportasi ini adalah menentukan jumlah yang harus
dikirimkan dari setiap sumber ke setiap tujuan sedemikian rupa sehingga biaya
transportasi total diminimumkan. (Bu’ul ̈ l ̈ , F. 2016)
Universitas Sumatera Utara
17
2.2.3 Ciri-ciri Masalah Transportasi
Ciri-ciri khusus masalah transportasi adalah:
1. Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu.
2. Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber
dan yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.
3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan,
besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber.
4. Ongkos pengangkutan komoditas dari suatu sunber ke suatu tujuan,
besarnya tertentu.
(Bu’ul ̈ l ̈ , F. 2016)
2.3 Model Umum Masalah Transportasi
2.3.1 Asumsi Dasar
Model transportasi merupakan salah satu bentuk khusus atau variasi dari program
linier yang di kembangkan khusus untuk memecahkan masalah-masalah yang
berhubungan dengan transportasi (pengangkutan) dan disribusi produk atau
sumber daya dari berbagai sumber (pusat pengadaan, atau titik supply) ke
berbagai tujuan (titik permintaan atau pusat pemakaian) yang lebih efisien dalam
hal perhitungan.
Asumsi dasar dari model ini adalah bahwa biaya transportasi di sebuah
rute tertentu adalah proposional secara langsung dengan jumlah unit yang
dikirimkan. Defenisi unit transportasi akan bervariasi bergantung pada jenis
barang yang di kirimkan.
Model umum suatu persoalan transportasi dilandasi pada asumsi-asumsi
berikut:
1. Bahwa suatu produk yang ingin diangkat tersedia dalam jumlah yang
tetap dan diketahui.
Universitas Sumatera Utara
18
2.
Bahwa produk tersebut akan dikirim melalui jaringan transpotasi yang
ada dengan memakai cara pengakutan tertentu dari pusat-pusat
permintaan.
3. Bahwa jumlah permintaan di pusat permintaan pun diketahui dalam
jumlah tertentu dan tetap.
4. Bahwa ongkos angkutan per-unit produk yang diangkut pun diketahui,
sehingga tujuan kita untuk meminimumkan biaya total angkutan dapat
tercapai.
Karena hanya ada satu jenis komoditas, pada dasarnya setiap daerah tujuan
dapat menerima komoditas dari sembarang daerah sumber.
2.3.2 Model Transportasi
Sebuah model transportasi dari sebuah jaringan dengan
sumber dan
tujuan.
Sebuah sumber atau tujuan diwakili dengan sebuah node. Busur yang
menghubungkan sebuah sumber dan sebuah tujuan mewakili rute pengiriman
barang tersebut. Jumlah penawaran di sumber i adalah
adalah
. Biaya unit transportasi antara sumber
Anggaplah
dan permintaan di tujuan
dan tujuan
mewakili jumlah barang yang dikirimkan dari sumber
adalah
.
ke tujuan
, maka model program linier yang mewakili masalah transprotasi ini secara
umum adalah sebagai berikut:
Minimalkan:
∑
∑
di mana:
= jumlah biaya transportasi barang dari tempat asal sebanyak
ke tempat
tujuan sebanyak j
= jumlah barang yang diangkut ke tempat tujuan dari tempat asal sebanyak i
ketempat tujuan sebanyak j
(S. Parlin, 1997)
Universitas Sumatera Utara
19
Dilihat dari model matematika persolan program linier terdapat tipe/ ciri/
karakteristik khusus pada permasalahan transportasi, yaitu:
1. Semua fungsi kendala bertanda
2. Semua nilai
.
bernilai 1 atau 0.
Model transportasi berusaha menentukan sebuah rencana transportasi
sebuah barang dari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan.
Tabel 1. Gambaran Umum Masalah Transportasi
Demand
Supply
...
...
...
...
...
...
di mana:
: Sumber ke i
, i =1,2,...,m
: Tujuan ke j
, j =1,2,...,n
: Persediaan ke i
, i = 1, 2,..., m
: Permintaan ke j
, j = 1, 2,..., n
: Biaya transportasi per unit barang dari asal i ke tujuan j, i = 1, 2,..., m
, ,j = 1, 2,..., n
: Biaya unit barang yang diangkut dari asal i ke tujuan j, i = 1, 2,..., m
, j = 1, 2,..., n
(Tofan, 2013)
Universitas Sumatera Utara
20
2.4 Jenis Masalah Transportasi
2.4.1 Masalah Transportasi Seimbang
Suatu masalah transportasi dikatakan seimbang apabila jumlah penawaran dari
beberapa sumber sama dengan jumlah permintaan atas beberapa tempat tujuan.
(B. Susanta, 1993)
Masalah transportasi seimbang adalah masalah biaya angkutan barang di
mana jumlah barang yang dipasok dari tempat asal sama dengan jumlah barang
yang diminta di tenpat tujuan. (S. Parlin, 1997)
Bila barang yang dikirimkan berjumlah
rupiah, berarti biaya pengiriman adalah
buah, sedangkan biaya per unit
rupiah. Akan tetapi, karena banyak
sumber, misalnya sumber barang dikirimkan ke berbagai tempat tujuan , maka
total biaya menjadi
sumber barang
. Oleh karena total biaya pengiriman dari tempat
ke berbagai tempat tujuan
harus minimum maka model
program linier yang mewakili masalah transportasi adalah sebagai berikut:
Fungsi tujuan :
∑
∑
Fungsi kendala:
∑
di mana
∑
di mana
di mana:
= jumlah penawaran ( ) barang dari tempat asal sebanyak tempat asal
= jumlah permintaan ( ) barang dari berbagai tempat tujuan sebanyak tempat
tujuan
(P, Suyadi, 2005)
Universitas Sumatera Utara
21
2.4.2 Masalah Transportasi Tidak Seimbang
Masalah transportasi yang sering dibahas adalah masalah transportasi seimbang,
dimana persediaan sama dengan permintaan. Namun kenyataannya, kasus
seimbang sangat jarang dan yang sering ditemui kasus tidak seimbang, dimana
persediaan lebih besar dari permintaan atau sebaliknya. (B. Susanta, 1993)
Perlu diingat, bahwa jumlah barang yang dikirimkan (dari tempat asal) ke
tempat tujuan tidak boleh melebihi supply barang yang tersedia. Artinya jumlah
barang yang dikirimkan ke tempat tujuan harus sebesar atau leih kecil dari jumlah
barang yang diproduksi.
Untuk masalah transportasi tidak seimbang ini terjadi dua kondisi yakni:
a. Jumlah barang
yang dikirimkan harus lebih kecil dari jumlah barang
yang tersedia di tempat asal sebesar
∑
.
di mana
b. Jumlah barang yang dikirmkan ke tempat tujuan harus sama atau dapat
juga lebih besar dari permintaan (P ).
∑
di mana
(Bu’ul ̈ l ̈ , F. 2016)
Anggaplah
mewakili jumlah barang yang dkirimkan dari sumber i ke
tujuan j; maka model program linier yang mewakili masalah transportasi adalah
sebagai berikut:
Fungsi tujuan :
∑
∑
Fungsi kendala:
∑
di mana
Universitas Sumatera Utara
22
∑
di mana
di mana:
= jumlah penawaran ( ) barang dari tempat asal sebanyak tempat asal
= jumlah permintaan ( ) barang dari berbagai tempat tujuan sebanyak tempat
tujuan
(P, Suyadi, 2005)
Kelompok batasan pertama menetapkan bahwa jumlah pengiriman dari
sebuah sumber atau tidak dapat melebihi penawarannya. Demikian pula,
kelompok batasan kedua mengharuskan bahwa jumlah pengiriman ke sebuah
tujuan harus memenuhi permintaannya. (Bu’ul ̈ l ̈ , F. 2016)
2.5 Himpunan Fuzzy
2.5.1 Sejarah Himpunan Fuzzy
Istilah fuzzy lahir dari gagasan seorang guru besar pada University of California,
Barkley, Amerika Serikat, Prof. Lotfi Asker Zadeh. Sejak tahun 1960 Zadeh telah
merasa bahwa sistem analisis matematika tradisional yang dikenal sampai saat itu
bersifat terlalu eksak sehingga tidak dapat berfungsi dalam banyak masalah dunia
nyata yang seringkali amat kompleks. Pada akhirnya di tahun 1965 Zadeh
mempublikasikan karangan ilmiahnya berjudul “Fuzzy Set”. Terobosan baru yang
diperkenalkan oleh Zadeh ini telah memperluas konsep himpunan klasik menjadi
himpunan fuzzy yang dapat mempresentasikan nilai-nilai ketidakpastian yang
ditemui dalam kehidupan nyata.
Suatu kata/istilah dikatakan fuzzy (kabur) apabila kata/istilah tersebut tidak
dapat didefinisikan secara tegas. Dalam arti tidak dapat ditentukan secara tegas
apakah suatu objek tertentu memiliki sifat/cirri yang diungkapkan oleh
kata/istilah tersebut. Sehingga objek itu akan disebut dengan himpunan kabur
(fuzzy). Oleh karena itu, butuh penegasan terhadap himpunan tersebut.
Universitas Sumatera Utara
23
Dalam kehidupan sehari-hari sering juga digunakan himpunan tegas, yaitu
himpunan yang terdefinisi secara tegas, dalam arti bahwa untuk setiap elemen
dalam semestanya selalu dapat ditentukan secara tegas apakah merupakan anggota
dari himpunan itu atau tidak. Dengan kata lain, terdapat batas yang tegas antara
unsur-unsur yang merupakan anggota dan unsur-unsur yang tidak merupakan
anggota dari suatu himpunan.
Tetapi dalam kenyataannya tidak semua himpunan yang ada dalam
kehidupan sehari-hari tidak semua terdefinisi secara tegas.. Misalnya himpunan
orang kaya, mahasiswa pandai, tinggi badan, umur dan sebagainya. Pada
himpunan umur, tidak dapat ditentukan secara tegas apakah seseorang muda,
setengah baya atau tua, tanpa mendefinisikannya. Misalnya variabel umur dibagi
menjadi 3 kategori yaitu:
Muda
: umur < 35 tahun
Setengah baya
: 35 ≤ umur ≤ 55 tahun
Tua
: umur > 55 tahun.
Pemakaian himpunan tegas untuk menyatakan umur sangat tidak adil,
karena adanya perubahan kecil saja sudah mengakibatkan kategori yang cukup
signifikan. (Frans Susilo, SJ, 2006)
Oleh sebab itu, Zadeh memodifikasi teori himpunan yang lazim digunakan
menjadi teori himpunan kabur (fuzzy). Teori ini dapat diaplikasikan dalam
berbagai bidang, antara lain: algoritma control, diagnosa medis, sistem pendukung
keputusan, ekonomi, teknik, psikologi, lingkungan, keamanan dan ilmu
pengetahuan.
2.5.2 Pengertian Himpunan Fuzzy
Menurut Zadeh, himpunan fuzzy (fuzzy set) adalah sebuah kelas dari obyek
denganserangkaian kesatuan dari nilai keanggotaan. Sebuah set dikarakterisasikan
oleh sebuah fungsi keanggotaan yang memberikan tiap obyek sebuah nilai
keanggotaan yang rentang nilainya antara 0 dan 1.
Universitas Sumatera Utara
24
Misalkan
disebut semesta dan
merupakan kumpulan objek yang dinotasikan dengan { }.
menyatakan elemen generik dari
̃ di dalam semesta wacana
bernilai dalam interval [
. Suatu himpunan fuzzy
dikarakteriskan dengan fungsi keanggotaan
] atau:
Himpunan fuzzy ̃ di dalam
[
̃
̃
yang
]
disajikan sebagai pasangan berurut elemen
dan nilai derajat keanggotaan.
̃
{
̃
}
2.5.3 Fungsi Keanggotaan
Ide mengenai “derajat keanggotaan” dalam suatu himpunan diperkenalkan
oleh Profesor Zadeh pada tahun 1965 dalam karangan ilmiahnya “Fuzzy Sets”.
Dalam karangan tersebut, Zadeh mendefinisikan himpunan kabur dengan
menggunakan fungsi keanggotaan (membership function), yang nilainya berada
dalam selang tertutup [
].
Ada dua cara mendefinisikan keanggotaan himpunan fuzzy, yakni sebagai
berikut:
1. Secara Numeris
Menyatakan derajat fungsi keanggotaan suatu himpunan fuzzy sebagai vector
bilangan yang dimensinya tergantung pada level diskretisasi (cacah elemen
diskret di dalam semesta).
2. Secara Fungsional
Menyatakan fungsi keanggotaan suatu himpunan fuzzy dalam ekspresi analitis
yang memungkinkan derajat keanggotaan setiap elemen dapat dihitung di
dalam semesta wacana yang didefinisikan.
Universitas Sumatera Utara
25
Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang
menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaan atau
derajat keanggotaan yang memiliki interval antara 0 sampai 1.
Dengan kata lain, sebuah himpunan fuzzy ̃ pada
keanggotaan
yang berhubungan dengan setiap titik di
̃
riil pada interval [
keanggotaan
pada
] dengan nilai dari
pada
̃
̃ . Maka, semakin dekat nilai
semakin tinggi derajat keanggotaan
, sebuah bilangan
mewakili derajat
ke semesta wacana,
̃
pada ̃ .
ditandai oleh fungsi
Definisi 2.1: X adalah sebuah himpunan tak kosong. Sebuah himpunan fuzzy
pada
ditandai oleh fungsi keanggotaannya:
̃
[
]
Dan ( ) diinterpretasikan sebagai derajat keanggotaan dari elemen
x pada himpunan fuzzy .untuk setiap
.
Nilai 0 digunakan untuk mewakili bukan anggota, nilai 1 digunakan untuk
mewakili keanggotaan penuh, dan nilai – nilai di antaranya digunakan untuk
mewakili derajat keanggotaan menengah. Pemetaan
juga disebut sebagai fungsi
keanggotaan dari himpunan fuzzy .
Definisi 2.2: Sebuah himpunan fuzzy adalah kosong jika dan hanya jika fungsi
keanggotaannya sama dengan 0 pada .
2.5.4 Bilangan Fuzzy
Konsep bilangan fuzzy muncul dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam
aplikasi teori fuzzy dalam bentuk besaran yang dinyatakan dengan bilangan yang
tidak tepat, misalnya “kurang lebih 10 orang”, kira-kira 3 jam”, “sekitar 5 km”,
dan lain sebagainya. Secara intuitif dapat diterima bahwa ungkapan “kurang lebih
10” dapat dinyatakan dengan suatu himpunan kabur pada semesta bilangan riil, di
mana bilangan 10 mempunyai derajat keanggotaan kurang dari 1, dan semakin
jauh bilangan itu dari derajat keanggotaanya semakin mendekati 0.
Universitas Sumatera Utara
26
Bilangan fuzzy adalah perluasan dari bilangan riil, dalam arti bahwa tidak
mengacu pada suatu nilai tunggal. Melainkan pada suatu nilai tunggal yang
mungkin berhubungan, dimana setiap nilai kemungkinan memiliki bobot sendiri
antara 0 sampai 1. Dalam arti lain, bilangan fuzzy adalah suatu bilangan yang
memiliki nilai keanggotaan 1 jika bilangannya termasuk ke dalam anggota penuh
dan bernilai 0 jika bilangannya tidak termasuk pada anggota.
Definisi 2.3: Sebuah bilangan fuzzy
adalah himpunan fuzzy dalam semesta
bilangan riil yang memenuhi kondisi normal dan konveks.
Definisi 2.4: Sebuah bilangan fuzzy
̃
disebut bilangan fuzzy
triangular jika fungsi keanggotaannya diberikan oleh:
̃
{
Definisi 2.5: Sebuah bilangan fuzzy ̃
disebut bilangan fuzzy
trapezoidal jika fungsi keanggotaannya diberikan oleh:
̃
Definisi 2.6: Misalkan ̃
{
triangular , maka:
1.
2.
̃
̃
dan ̃
adalah dua bilangan fuzzy
̃
̃
Universitas Sumatera Utara
27
Definisi 2.7: Misalkan ̃
fuzzy trapezoidal, maka:
1.
2.
̃
̃
dan ̃
adalah dua bilangan
̃
̃
2.6 Masalah Transportasi dengan Variabel Fuzzy
Model transportasi sangat penting bagi perencanaan produksi, parameterparameter pada model transportasi adalah biaya, nilai persediaan, dan nilai
permintaan. Pada prakteknya besar biaya, nilai permintaan dan jumlah persediaan
pada suatu transportasi tidak dapat diketahui secara pasti. Apabila hal ini terjadi,
maka salah satu solusinya dapat dicari dengan menggunakan operasi fuzzy.
Pada bagian ini, besarnya biaya ditetapkan secara eksak, sedangkan
jumlah persediaan dan permintaan belim diketahui secara pasti. Ketidakjelasan
ini bisa disebabkan oleh kurangnya informasi atau kebijakan khusus dari suatu
perusahaan. Pada masalah transportasi biasa dengan nilai persediaan dan
permintaan yang bernilai integer akan selalu menghasilkan solusi yang juga
bernilai integer.
Masalah transportasi dengan variabel fuzzy adalah sebuah aplikasi dari
teori himpunan fuzzy pada masalah pengalokasian barang yang tepat terhadap
biaya, di mana semua parameter yaitu koefisien, variabel maupun konstanta
dalam model berupa bilangan fuzzy.
Untuk menyelesaikan masalah transformasi dengan variabel fuzzy, maka
harus dimodelkan dulu ke dalam suatu tabel, adapun fungsi tujuan dari masalah
transportasi dengan variabel fuzzy adalah:
Minimumkan:
Universitas Sumatera Utara
28
∑∑ ̃ ̃
̃
di mana:
∑
∑
̃
̃
̃
i = 1,..., m
̃,
̃
j = 1,..., n
i = 1,...,m
, j = 1,..., n
(Pandian, 2010)
Tabel untuk masalah transportasi dengan variabel fuzzy dapat dilihat
sebagai berikut:
Tabel 2 Masalah Transportasi dengan Variabel Fuzzy
Tujuan
Sumber
1
M
Permintaan
1
N
̃
̃
̃
Persediaan
̃
̃
̃
̃
̃
di mana:
m = jumlah dari titik persediaan
n = jumlah dari titik permintaan
̃ = jumlah tidak pasti dari unit barang yang dikirimkan dari
titik persediaan i ke titik permintaan j,
i = 1, 2,..., m
,
j = 1, 2,..., n
Universitas Sumatera Utara
29
̃ = biaya tidak pasti per unit barang yang didistribusikan dari
titik persediaan i ke titik permintaan j,
i = 1, 2,..., m
,
j = 1, 2,..., n
̃ = persediaan tidak pasti pada titik persediaan ke i , j = 1, 2,..., m
̃ = persediaan tidak pasti pada titik persediaan ke j , i = 1, 2,..., n
(Pandian, 2010:)
Defenisi 2.8: Suatu himpunan dari alokasi ̃
yang memenuhi baris dan kolom
ekuivalen merupakan solusi feasible fuzzy.
Definisi 2.9: Suatu solusi feasible fuzzy untuk masalah transportasi dengan
variabel fuzzy di mana
sebagai sumber dan
sebagai tujuan
dikatakan solusi feasible dasar fuzzy jika jumlah alokasinya
. Jika jumlah alokasi pada solusi dasar fuzzy kurang
dari
, ini disebut sebagai solusi feasible dasar fuzzy
yang merosot.
Definisi 2.10: Suatu solusi feasible fuzzy dikatakan solusi fuzzy yang optimal jika
total biaya transportasi fuzzy minimum.
Teorema 1 (Eksistensi dari Solusi Feasible Fuzzy)
Kondisi syarat perlu dan syarat cukup untuk eksistensi dari solusi feasible fuzzy,
untuk masalah trnsportasi dengan variabel fuzzy adalah:
∑̃
∑̃
Universitas Sumatera Utara
30
Bukti:
1. Kondisi syarat perlu
Misalkan terdapat feasible fuzzy untuk masalah transportasi dengan
variabel fuzzy yang diberikan seperti pada penjelasan sebelumnya, maka:
∑∑ ̃
dan
̃
̃
∑∑ ̃
dari persamaan (2.20) dan (2.21) diperoleh:
∑̃
∑̃
2. Kondisi syarat cukup
Misalkan diasumsikan bahwa:
∑̃
∑̃
Lalu distribusikan persediaan pada sumber ke
dengan proporsinya ke
permintaan dari semua tujuan. Misalkan:
̃
̃ ̃
dimana:
̃ adalah faktor proporsional dari sumber ke .
Karena persediaan harus didistribusikan secara keseluruhan. Diperoleh:
∑̃
̃ ∑̃
Universitas Sumatera Utara
31
dan,
̃ ̃
̃
∑
̃
̃
̃
dengan:
̃
̃
∑
̃
Dari persamaan (2.24) dan persamaan (2.25) didapat:
∑̃
̃ ∑̃
∑
̃
̃
∑̃
̃
Demikian juga dengan:
∑̃
∑
̃
̃
∑̃
̃
2.7 Metode Pemecahan yang Biasa Digunakan pada Masalah Transportasi
Untuk menyelesaikan persoalan transportasi, harus dilakukan dengan langkahlangkah sebagai berikut:
1. Menentukan Solusi Fisibel Basis Awal.
2. Manentukan entering variabel dari variabel-variabel nonbasis. Bila semua
variabel sudah memenuhi kondisi optimal, STOP. Bila belum lanjutkan ke
langkah 3.
3. Tentukan leaving variabel diantara variabel-variabel basis yang ada,
kemudian hitung solusi yang ada. Kembali ke langkah 2.
Untuk menentukan solusi awal terdapat 3 metode yang dapat digunakan
adalah:
Universitas Sumatera Utara
32
1. Metode pojok kiri atas pojok kanan bawah/ metode pojok barat laut/ nort
west corner.
2. Metode ongkos (baris/ kolom) terkecil (least cost).
Prinsip cara ini adalah pemberian prioritas pengelokasian pada tempat
yang mempunyai satuan ongkos terkecil.
a. Pendistribusian dimulai dari biaya terkecil dan, apabila terdapat biaya
terkecil lebih dari satu, maka dipilih salah satu.
b. Setiap
pendistribusian
dipilih
nilai
sebanyak
mungkin
tanpa
mengabaikan jumlah sumber/tujuan.
3. Metode pendekatan vogel (vogel’s approximation method’s/ VAM).
Cara ini merupakan cara yang terbaik dibandingkan dengan cara di
atas. Langkah-langkah penerjaan metode diatas adalah:
a. Menghitung opportunity cost yang didasarkan pada dua biaya terkecil
pada setiap baris dan kolom dan mengurangkan keduanya, hasil
perhitungannya disebut dengan penalty cost.
b. Memilih nilai penalty cost terbesar di antara baris dan kolom.
c. Memilih biaya terkecil dari nilai penalty cost terbesar dan
mendistribusikan sejumlah nilai. Baris/kolom penalti yang sudah
terpilih diabaikan untuk langkah selanjutnya.
d. Menyesuaikan jumlah permintaan dan penawaran untuk menunjukkan
alokasi yang sudah dilakukan. Menghilangkan semua baris dan kolom
dimana penawaran dan permintaan telah dihabiskan.
e. Apabila jumlah penawaran dan permintaan belum sesuai, maka ulangi
langkah pertama sampai terisi semua.
Universitas Sumatera Utara
33
Untuk mencari solusi optimal terdapat 2 metode yang dapat digunakan
yaitu:
1. Metode batu loncatan (Stepping Stone).
Untuk menentukan entering dan leaving variable ini, terlebih
dahulu harus dibuat suatu loop tertutup bagi setiap variabel
nonbasis loop tersebut berawal dan berakhir pada variabel nonbasis
tadi. Dimana tiap sudut loop haruslah merupakan titik-titik yang
ditempati oleh variabel-variabel basis dalam tabel transportasi.
2.
Metode faktor pengali (multiplier)/ Metode MODI (Modified
Distribution).
Metode MODI merupakan variasi dari model Stepping Stone yang
didasarkan pada rumusan dual. Perbedaannya dengan metode
Stepping Stone adalah pada metode ini tidak harus menentukan
semua jalur tertutup variabel non basis, kecuali pada saat akan
melakukan perpindahan pengisian tabel. Dengan demikian MODI
merupakan cara yang efisien untuk menghitung variabel non basis.
Dalam metode MODI terdapat persamaan sebagai berikut :
di mana :
= Nilai setiap sel baris
= Nilai setiap kolom
= Biaya transportasi per unit
2.8 Teknik untuk Menyelesaikan Masalah Transportasi dengan Variabel
Fuzzy menjadi Transportasi Linier
Dalam menyeleaikan masalah transportasi dengan variabel fuzzy, tablo fuzzy harus
diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk linier agar lebih mudah dalam
pengerjaannya. Adapun teknik yang digunakan untuk mengubah tablo masalah
Universitas Sumatera Utara
34
transportasi dengan variabel fuzzy ke tablo permasalahan transportasi linier adalah
Robust Ranking Technique. Dalam menggunakan teknik ini diperlukan
pemahaman dalam menginterpretasikan suatu bilangan fuzzy ke dalam suatu
bilanngan crisp. Interpretasi dari bilangan fuzzy tersebut disebut dengan ranking
dan dengan menggunakan ranking dari bilangan fuzzy itu.
Jika
adalah bilangan fuzzy, maka Robust Ranking dapat didefinisikan
sebagai berikut:
∫
di mana:
:
adalah bilangan fuzzy
: Robust Ranking untuk himpunan fuzzy Q.
: nilai tengah dari interval [
]
: Perhitungan batas atas dan batas bawah dari himpunan fuzzy Q
-
Misalkan terdapat himpunan permintaan fuzzy, himpunan persediaan fuzzy,
atau himpunan biaya fuzzy dengan
-
{
adalah triangular , maka:
}
Misalkan terdapat himpunan permintaan fuzzy, himpunan persediaan fuzzy,
atau himpunan biaya fuzzy dengan
(Fegade, 2012)
{
adalah trapezoidal, maka:
}
Model masalah transportasi dengan variabel fuzzy dalam bentuk
matematika umtuk mencari satu nilai bilangan fuzzy yang terpilih menggunakan
teknik Robust Ranking berikut:
Universitas Sumatera Utara
35
2.9 Metode Zero Suffix untuk Menyelesaikan Masalah Transportasi dengan
Variabel Fuzzy
Metode Zero Suffix adalah salah satu metode optimalisasi masalah transportasi
yang langsung menguji keoptimuman dari tablo transportasi tanpa harus
menentukan solusi awal. Jadi untuk mendapatkan solusi yang optimum, metode
Zero Suffix tidak perlu menggunakan metode lain lagi seperti MODI atau Stepping
Stone.
Langkah-langkah metode Zero Suffix adalah sebagai berikut:
1. Menyusun tablo transportasi untuk masalah transportasi yang
diberikan.
2. Kurangi entri biaya setiap baris pada tablo transportasi dengan
masing-masing baris yang paling minimum dan setelah dihasilkan
tablo yang baru atau tereduksi. Lanjutkan dengan mengurangi entri
biaya setiap kolom dari tablo transportasi yang dihasilkan dengan
dari kolom yang paling minimum.
3. Dalam tablo biaya yang telah dikurangi akan ada setidaknya biaya
yang bernilai 0 di setiap baris atau kolom, kemudian cari suffix value.
Suffix value dinotasikan dengan
. Dimana
adalah himpunan
penambahan biaya yang berdekatan paling dekat dengan biaya yang
bernilai 0 dari kolom tablo transportasi.
4. Pilih maksimum dari
, jika memiliki satu nilai maksimum. Jika
memiliki dua atau lebih biaya yang bernilai sama maka pilih salah satu
dan cari biaya yang bernilai 0 pada kolom suffix value terbesar. Jika
tidak ada biaya bernilai 0 maka pilih biaya yang ada atau tersisa lalu
pada biaya itu menjadi alokasi barang dengan memperhatikan
permintaan dan persediaan.
Universitas Sumatera Utara
36
5. Ulangi langkah 4, pilih minimum {
} lalu alokasikan ke dalam
tablo transportasi. Tablo yang dihasilkan harus memiliki setidaknya
satu biaya bernilai 0 pada setiap baris atau kolom. Selain itu ulangi
langkah 2.
6. Ulangi langkah 3 sampai langkah 5 hingga diperoleh biaya yang
optimum. Pada kolom atau baris yang sudah jenuh memiliki suffix
value 0.
Universitas Sumatera Utara
LANDASAN TEORI
2.1 Program Linier
Program linier merupakan model umum yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara
beberapa aktivitas yang bersaing secara optimal, dengan cara yang terbaik yang
mungkin
dilakukan.
Sebagai
contoh
sederhana
sebuah
bank
hendak
mengalokasikan dananya untuk mencapai kemungkinan hasil tertinggi. Dalam hal
ini bank tersebut harus beroperasi dalam peraturan likuiditas yang dibuat oleh
pemerintah dan harus mampu menjaga fleksibilitas yang memadai untuk
memenuhi permintaan pinjaman dari para nasabah.
Dalam penerapannya program linier menggunakan model matematis
dalam pemecahan berbagai persoalan. Kata sifat linier digunakan untuk
menggambarkan hubungan antara dua atau lebih variabel, hubungan yang
berlangsung haruslah berupa fungsi yang linier. Sedangkan kata program
menyatakan penggunaan teknik matematika tertentu untuk mendapatkan
kemungkinan pemecahan terbaik dari persolan yang melibatkan sumber yang
serba terbatas memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.
2.1.1 Syarat Utama Program Linier
Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan
yang dihadapi ke dalam model program linier, maka ada lima syarat yang harus
dipenuhi:
1. Tujuan
Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin
dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas
yang disebut fungsi tujuan.
Universitas Sumatera Utara
12
2. Alternatif perbandingan
Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan,
misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan
waktu terlambat dan biaya terendah.
3. Sumber daya
Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang
terbatas.
4. Perumusan kuantitatif
Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif
dalam apa yang disebut model matematika.
5. Keterkaitan peubah
Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut
harus memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.
2.1.2 Asumsi dalam Model Program Linier
Dalam menggunakan model program linear, diperlukan beberapa asumsi sebagai
berikut:
1. Asumsi kesebandingan (proportionality)
a.
Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan
adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan.
b. Konstribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap
pembatas linier juga sebanding dengan nilai keputusan itu.
2. Asumsi penambahan (additivity)
a. Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi keputusan
bersifat bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain.
b. Konstribusi suatu variabel keputusan pada nilai dari variabel
keputusan ruas kiri dari setiap pembatas linier bersifat tidak
bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain.
3. Asumsi pembagian (divisiblity)
Dalam persoalan program linier, variabel keputusan boleh diasumsikan
berupa pecahan.
Universitas Sumatera Utara
13
4. Asumsi kepastian (certainty)
Setiap parameter, yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan, dan
koefisien fungsi kendala diasumsikan dapat diketahui secara pasti.
2.1.3 Karakteristik Program Linier
Dalam membangun model dari formulasi suatu persoalan akan digunakan
karakteristik-karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan program linier,
yaiu:
1. Peubah keputusan
Peubah keputusan adalah peubah yang menguraikan secara lengkap
keputusan-keputusan yang akan dibuat.
2. Fungsi tujuan (objective function)
Fungsi tujuan merupakan fungsi dari peubah keputusan yang akan
dimaksimumkan (untuk pendapatan) atau diminimumkan (untuk ongkos).
Untuk menyatakan fungsi tujuan biasanya digunakan peubah z sehingga
fungsi tujuan dapat dinyatakan:
(2.1)
3. Pembatas Linier (linier constraints)
Pembatas linear merupakan kendala yang dihadapi sehingga kita tidak
dapat menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang.
Koefisien dari variabel keputusan pada pembatas linear dinamakan
koefisien fungsi kendala, sedangkan bilangan yang ada di sisi (ruas) kanan
setiap pembatas linear dinamakan ruas kanan pembatas.
4. Pembatas tanda / kondisi pengetat
Pembatas tanda adalah pembatas yang menjelaskan apakah variabel
keputusannya diasumsikan hanya berharga non negatif atau variabel
keputusannya tidak terbatas dalam tanda (boleh positif - boleh negatif).
Universitas Sumatera Utara
14
Secara umum model program linier dapat dirumuskan sebagai berikut:
Maksimumkan atau minimumkan:
∑
Kendala:
∑
di mana:
= variabel keputusan
= koefisien fungsi tujuan
= koefisien fungsi kendala
= jumlah masing – masing sumber daya yang ada (ruas kanan pembatas)
(P. Suyadi, 2005)
2.2 Masalah Transportasi
2.2.1 Sejarah Permasalahan Transportasi
Masalah transportasi ini sebenarnya telah lama dipelajari dan dikembangkan
sebelum lahir model program linear. Pada tahun 1939, L.V Kantorovitch
mempelajari
beberapa
permasalahan
yang
berhubungan
dengan
model
transportasi. Kemudian, pada tahun 1941, F.L. Hitchcock merumuskan model
matematika dari persoalan transportasi yang kini dianggap sebagai model
matematika dari persoalan transportasi yang kini dianggap sebagai model baku,
sehingga sering disebut juga sebagai model Hitchcock. Ada lagi seseorang yang
bernama T.C. Koopmans pada tahun 1947 banyak mempelajari hal-hal yang
berhubungan dengan program transportasi (PT) atau model transportasi (MT).
Universitas Sumatera Utara
15
2.2.2 Definisi dan Tujuan Masalah Transportasi
Masalah transportasi membicarakan masalah pendistribusian suatu komoditas atau
produk dari sejumlah sumber (supply) ke sejumlah tujuan (demand, destination)
dengan tujuan meminimumkan ongkos pengangkutan yang terjadi.
Secara umum arti transportasi adalah adanya perpindahan barang dari
suatu tempat ke tempat lain dan dari beberapa tempat ke beberapa tempat lain.
Tempat atau tempat-tempat asal barang disebut juga dengan istilah sumber atau
sumber-sumber (resources). Sedangkan tempat atau tempat-tempat tujuan disebut
destination. Hal ini merupakan bagian dari kehidupan nyata manusia untuk
memindahkan barang dari satu tempat ke tempat lain sesuai dengan
kebutuhannya. Misalnya, di suatu tempat asal barang mempunyai jumlah produk
yang
berlebih
sehingga
perlu
ditransportasikan
ke
tempat
lain
yang
memerlukannya. (P, Suyadi, 2005)
Masalah transportasi adalah salah satu aplikasi yang paling awal dari
masalah program linier (Fegade, 2012). Sedangkan dikemukakan bahwa masalah
transportasi adalah biaya transportasi barang dari suatu tempat asal ke tempat
tujuan dengan cara menggunakan metode penyelesaiaan program linier (Parlin,
2012).
Diartikan
juga
masalah
transportasi
yaitu
masalah
bagaimana
mengalokasikan barang yang tepat terhadap biaya agar diperoleh biaya
pendistribusian yang minimum (Tofan, 2013).
Dalam arti sederhana, masalah transportasi berusaha menentukan sebuah
rencana transportasi sebuah barang dari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan.
Masalah transportasi berkaitan dengan penentuan rencana berbiaya rendah untuk
mengirimkan suatu barang dari sejumlah sumber (misalnya, pabrik) ke sejumlah
tujuan (misalnya, gudang). Dalam arti lain, transportasi adalah aplikasi yang
digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan
produk yang sama, ke tempat-tempat yang membutuhkan produk tersebut secara
optimal.
Universitas Sumatera Utara
16
Masalah transportasi pada dasarnya merupakan sebuah program linier
yang dipecahkan oleh metode simpleks biasa. Tetapi, strukturnya yang khusus
memungkinkan pengembangan sebuah prosedur pemecahan, yang disebut teknik
transportasi, yang lebih efisien dalam hal perhitungan.
Data dalam masalah ini mencakup:
1. Tingkat penawaran di setiap sumber dan sejunlah permintaan di setiap
tujuan.
2. Biaya tranportasi per unit barang dari setiap sumber ke setiap tujuan.
Asumsi dasar dari masalah transportasi ini adalah bahwa biaya transportasi
di sebuah rute tertentu adalah proporsional secara langsung dengan jumlah unit
yang dikirimkan. (Bu’ul ̈ l ̈ , F. 2016)
Pada intinya, masalah transportasi itu mencari dan menentukan
perencanaan pengiriman barang (single commodity) dari tempat asal ke tempat
tujuan, dengan total biaya transportasi yang minimal. Oleh karena itu, dalam total
biaya transportasi terdapat 3 (tiga) variabel, yakni:
1. Jumlah barang yang tersedia di tempat (sumber) asal, yakni kapasitas
pengiriman.
2. Daya tampung di daerah atau tempat tujuan yakni daya tampung tempat
tujuan.
3. Biaya transportasi per unit barang yang akan dikirimkan.
(P, Suyadi, 2005)
Tujuan dari masalah transportasi ini adalah menentukan jumlah yang harus
dikirimkan dari setiap sumber ke setiap tujuan sedemikian rupa sehingga biaya
transportasi total diminimumkan. (Bu’ul ̈ l ̈ , F. 2016)
Universitas Sumatera Utara
17
2.2.3 Ciri-ciri Masalah Transportasi
Ciri-ciri khusus masalah transportasi adalah:
1. Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu.
2. Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber
dan yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.
3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan,
besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber.
4. Ongkos pengangkutan komoditas dari suatu sunber ke suatu tujuan,
besarnya tertentu.
(Bu’ul ̈ l ̈ , F. 2016)
2.3 Model Umum Masalah Transportasi
2.3.1 Asumsi Dasar
Model transportasi merupakan salah satu bentuk khusus atau variasi dari program
linier yang di kembangkan khusus untuk memecahkan masalah-masalah yang
berhubungan dengan transportasi (pengangkutan) dan disribusi produk atau
sumber daya dari berbagai sumber (pusat pengadaan, atau titik supply) ke
berbagai tujuan (titik permintaan atau pusat pemakaian) yang lebih efisien dalam
hal perhitungan.
Asumsi dasar dari model ini adalah bahwa biaya transportasi di sebuah
rute tertentu adalah proposional secara langsung dengan jumlah unit yang
dikirimkan. Defenisi unit transportasi akan bervariasi bergantung pada jenis
barang yang di kirimkan.
Model umum suatu persoalan transportasi dilandasi pada asumsi-asumsi
berikut:
1. Bahwa suatu produk yang ingin diangkat tersedia dalam jumlah yang
tetap dan diketahui.
Universitas Sumatera Utara
18
2.
Bahwa produk tersebut akan dikirim melalui jaringan transpotasi yang
ada dengan memakai cara pengakutan tertentu dari pusat-pusat
permintaan.
3. Bahwa jumlah permintaan di pusat permintaan pun diketahui dalam
jumlah tertentu dan tetap.
4. Bahwa ongkos angkutan per-unit produk yang diangkut pun diketahui,
sehingga tujuan kita untuk meminimumkan biaya total angkutan dapat
tercapai.
Karena hanya ada satu jenis komoditas, pada dasarnya setiap daerah tujuan
dapat menerima komoditas dari sembarang daerah sumber.
2.3.2 Model Transportasi
Sebuah model transportasi dari sebuah jaringan dengan
sumber dan
tujuan.
Sebuah sumber atau tujuan diwakili dengan sebuah node. Busur yang
menghubungkan sebuah sumber dan sebuah tujuan mewakili rute pengiriman
barang tersebut. Jumlah penawaran di sumber i adalah
adalah
. Biaya unit transportasi antara sumber
Anggaplah
dan permintaan di tujuan
dan tujuan
mewakili jumlah barang yang dikirimkan dari sumber
adalah
.
ke tujuan
, maka model program linier yang mewakili masalah transprotasi ini secara
umum adalah sebagai berikut:
Minimalkan:
∑
∑
di mana:
= jumlah biaya transportasi barang dari tempat asal sebanyak
ke tempat
tujuan sebanyak j
= jumlah barang yang diangkut ke tempat tujuan dari tempat asal sebanyak i
ketempat tujuan sebanyak j
(S. Parlin, 1997)
Universitas Sumatera Utara
19
Dilihat dari model matematika persolan program linier terdapat tipe/ ciri/
karakteristik khusus pada permasalahan transportasi, yaitu:
1. Semua fungsi kendala bertanda
2. Semua nilai
.
bernilai 1 atau 0.
Model transportasi berusaha menentukan sebuah rencana transportasi
sebuah barang dari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan.
Tabel 1. Gambaran Umum Masalah Transportasi
Demand
Supply
...
...
...
...
...
...
di mana:
: Sumber ke i
, i =1,2,...,m
: Tujuan ke j
, j =1,2,...,n
: Persediaan ke i
, i = 1, 2,..., m
: Permintaan ke j
, j = 1, 2,..., n
: Biaya transportasi per unit barang dari asal i ke tujuan j, i = 1, 2,..., m
, ,j = 1, 2,..., n
: Biaya unit barang yang diangkut dari asal i ke tujuan j, i = 1, 2,..., m
, j = 1, 2,..., n
(Tofan, 2013)
Universitas Sumatera Utara
20
2.4 Jenis Masalah Transportasi
2.4.1 Masalah Transportasi Seimbang
Suatu masalah transportasi dikatakan seimbang apabila jumlah penawaran dari
beberapa sumber sama dengan jumlah permintaan atas beberapa tempat tujuan.
(B. Susanta, 1993)
Masalah transportasi seimbang adalah masalah biaya angkutan barang di
mana jumlah barang yang dipasok dari tempat asal sama dengan jumlah barang
yang diminta di tenpat tujuan. (S. Parlin, 1997)
Bila barang yang dikirimkan berjumlah
rupiah, berarti biaya pengiriman adalah
buah, sedangkan biaya per unit
rupiah. Akan tetapi, karena banyak
sumber, misalnya sumber barang dikirimkan ke berbagai tempat tujuan , maka
total biaya menjadi
sumber barang
. Oleh karena total biaya pengiriman dari tempat
ke berbagai tempat tujuan
harus minimum maka model
program linier yang mewakili masalah transportasi adalah sebagai berikut:
Fungsi tujuan :
∑
∑
Fungsi kendala:
∑
di mana
∑
di mana
di mana:
= jumlah penawaran ( ) barang dari tempat asal sebanyak tempat asal
= jumlah permintaan ( ) barang dari berbagai tempat tujuan sebanyak tempat
tujuan
(P, Suyadi, 2005)
Universitas Sumatera Utara
21
2.4.2 Masalah Transportasi Tidak Seimbang
Masalah transportasi yang sering dibahas adalah masalah transportasi seimbang,
dimana persediaan sama dengan permintaan. Namun kenyataannya, kasus
seimbang sangat jarang dan yang sering ditemui kasus tidak seimbang, dimana
persediaan lebih besar dari permintaan atau sebaliknya. (B. Susanta, 1993)
Perlu diingat, bahwa jumlah barang yang dikirimkan (dari tempat asal) ke
tempat tujuan tidak boleh melebihi supply barang yang tersedia. Artinya jumlah
barang yang dikirimkan ke tempat tujuan harus sebesar atau leih kecil dari jumlah
barang yang diproduksi.
Untuk masalah transportasi tidak seimbang ini terjadi dua kondisi yakni:
a. Jumlah barang
yang dikirimkan harus lebih kecil dari jumlah barang
yang tersedia di tempat asal sebesar
∑
.
di mana
b. Jumlah barang yang dikirmkan ke tempat tujuan harus sama atau dapat
juga lebih besar dari permintaan (P ).
∑
di mana
(Bu’ul ̈ l ̈ , F. 2016)
Anggaplah
mewakili jumlah barang yang dkirimkan dari sumber i ke
tujuan j; maka model program linier yang mewakili masalah transportasi adalah
sebagai berikut:
Fungsi tujuan :
∑
∑
Fungsi kendala:
∑
di mana
Universitas Sumatera Utara
22
∑
di mana
di mana:
= jumlah penawaran ( ) barang dari tempat asal sebanyak tempat asal
= jumlah permintaan ( ) barang dari berbagai tempat tujuan sebanyak tempat
tujuan
(P, Suyadi, 2005)
Kelompok batasan pertama menetapkan bahwa jumlah pengiriman dari
sebuah sumber atau tidak dapat melebihi penawarannya. Demikian pula,
kelompok batasan kedua mengharuskan bahwa jumlah pengiriman ke sebuah
tujuan harus memenuhi permintaannya. (Bu’ul ̈ l ̈ , F. 2016)
2.5 Himpunan Fuzzy
2.5.1 Sejarah Himpunan Fuzzy
Istilah fuzzy lahir dari gagasan seorang guru besar pada University of California,
Barkley, Amerika Serikat, Prof. Lotfi Asker Zadeh. Sejak tahun 1960 Zadeh telah
merasa bahwa sistem analisis matematika tradisional yang dikenal sampai saat itu
bersifat terlalu eksak sehingga tidak dapat berfungsi dalam banyak masalah dunia
nyata yang seringkali amat kompleks. Pada akhirnya di tahun 1965 Zadeh
mempublikasikan karangan ilmiahnya berjudul “Fuzzy Set”. Terobosan baru yang
diperkenalkan oleh Zadeh ini telah memperluas konsep himpunan klasik menjadi
himpunan fuzzy yang dapat mempresentasikan nilai-nilai ketidakpastian yang
ditemui dalam kehidupan nyata.
Suatu kata/istilah dikatakan fuzzy (kabur) apabila kata/istilah tersebut tidak
dapat didefinisikan secara tegas. Dalam arti tidak dapat ditentukan secara tegas
apakah suatu objek tertentu memiliki sifat/cirri yang diungkapkan oleh
kata/istilah tersebut. Sehingga objek itu akan disebut dengan himpunan kabur
(fuzzy). Oleh karena itu, butuh penegasan terhadap himpunan tersebut.
Universitas Sumatera Utara
23
Dalam kehidupan sehari-hari sering juga digunakan himpunan tegas, yaitu
himpunan yang terdefinisi secara tegas, dalam arti bahwa untuk setiap elemen
dalam semestanya selalu dapat ditentukan secara tegas apakah merupakan anggota
dari himpunan itu atau tidak. Dengan kata lain, terdapat batas yang tegas antara
unsur-unsur yang merupakan anggota dan unsur-unsur yang tidak merupakan
anggota dari suatu himpunan.
Tetapi dalam kenyataannya tidak semua himpunan yang ada dalam
kehidupan sehari-hari tidak semua terdefinisi secara tegas.. Misalnya himpunan
orang kaya, mahasiswa pandai, tinggi badan, umur dan sebagainya. Pada
himpunan umur, tidak dapat ditentukan secara tegas apakah seseorang muda,
setengah baya atau tua, tanpa mendefinisikannya. Misalnya variabel umur dibagi
menjadi 3 kategori yaitu:
Muda
: umur < 35 tahun
Setengah baya
: 35 ≤ umur ≤ 55 tahun
Tua
: umur > 55 tahun.
Pemakaian himpunan tegas untuk menyatakan umur sangat tidak adil,
karena adanya perubahan kecil saja sudah mengakibatkan kategori yang cukup
signifikan. (Frans Susilo, SJ, 2006)
Oleh sebab itu, Zadeh memodifikasi teori himpunan yang lazim digunakan
menjadi teori himpunan kabur (fuzzy). Teori ini dapat diaplikasikan dalam
berbagai bidang, antara lain: algoritma control, diagnosa medis, sistem pendukung
keputusan, ekonomi, teknik, psikologi, lingkungan, keamanan dan ilmu
pengetahuan.
2.5.2 Pengertian Himpunan Fuzzy
Menurut Zadeh, himpunan fuzzy (fuzzy set) adalah sebuah kelas dari obyek
denganserangkaian kesatuan dari nilai keanggotaan. Sebuah set dikarakterisasikan
oleh sebuah fungsi keanggotaan yang memberikan tiap obyek sebuah nilai
keanggotaan yang rentang nilainya antara 0 dan 1.
Universitas Sumatera Utara
24
Misalkan
disebut semesta dan
merupakan kumpulan objek yang dinotasikan dengan { }.
menyatakan elemen generik dari
̃ di dalam semesta wacana
bernilai dalam interval [
. Suatu himpunan fuzzy
dikarakteriskan dengan fungsi keanggotaan
] atau:
Himpunan fuzzy ̃ di dalam
[
̃
̃
yang
]
disajikan sebagai pasangan berurut elemen
dan nilai derajat keanggotaan.
̃
{
̃
}
2.5.3 Fungsi Keanggotaan
Ide mengenai “derajat keanggotaan” dalam suatu himpunan diperkenalkan
oleh Profesor Zadeh pada tahun 1965 dalam karangan ilmiahnya “Fuzzy Sets”.
Dalam karangan tersebut, Zadeh mendefinisikan himpunan kabur dengan
menggunakan fungsi keanggotaan (membership function), yang nilainya berada
dalam selang tertutup [
].
Ada dua cara mendefinisikan keanggotaan himpunan fuzzy, yakni sebagai
berikut:
1. Secara Numeris
Menyatakan derajat fungsi keanggotaan suatu himpunan fuzzy sebagai vector
bilangan yang dimensinya tergantung pada level diskretisasi (cacah elemen
diskret di dalam semesta).
2. Secara Fungsional
Menyatakan fungsi keanggotaan suatu himpunan fuzzy dalam ekspresi analitis
yang memungkinkan derajat keanggotaan setiap elemen dapat dihitung di
dalam semesta wacana yang didefinisikan.
Universitas Sumatera Utara
25
Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang
menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaan atau
derajat keanggotaan yang memiliki interval antara 0 sampai 1.
Dengan kata lain, sebuah himpunan fuzzy ̃ pada
keanggotaan
yang berhubungan dengan setiap titik di
̃
riil pada interval [
keanggotaan
pada
] dengan nilai dari
pada
̃
̃ . Maka, semakin dekat nilai
semakin tinggi derajat keanggotaan
, sebuah bilangan
mewakili derajat
ke semesta wacana,
̃
pada ̃ .
ditandai oleh fungsi
Definisi 2.1: X adalah sebuah himpunan tak kosong. Sebuah himpunan fuzzy
pada
ditandai oleh fungsi keanggotaannya:
̃
[
]
Dan ( ) diinterpretasikan sebagai derajat keanggotaan dari elemen
x pada himpunan fuzzy .untuk setiap
.
Nilai 0 digunakan untuk mewakili bukan anggota, nilai 1 digunakan untuk
mewakili keanggotaan penuh, dan nilai – nilai di antaranya digunakan untuk
mewakili derajat keanggotaan menengah. Pemetaan
juga disebut sebagai fungsi
keanggotaan dari himpunan fuzzy .
Definisi 2.2: Sebuah himpunan fuzzy adalah kosong jika dan hanya jika fungsi
keanggotaannya sama dengan 0 pada .
2.5.4 Bilangan Fuzzy
Konsep bilangan fuzzy muncul dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam
aplikasi teori fuzzy dalam bentuk besaran yang dinyatakan dengan bilangan yang
tidak tepat, misalnya “kurang lebih 10 orang”, kira-kira 3 jam”, “sekitar 5 km”,
dan lain sebagainya. Secara intuitif dapat diterima bahwa ungkapan “kurang lebih
10” dapat dinyatakan dengan suatu himpunan kabur pada semesta bilangan riil, di
mana bilangan 10 mempunyai derajat keanggotaan kurang dari 1, dan semakin
jauh bilangan itu dari derajat keanggotaanya semakin mendekati 0.
Universitas Sumatera Utara
26
Bilangan fuzzy adalah perluasan dari bilangan riil, dalam arti bahwa tidak
mengacu pada suatu nilai tunggal. Melainkan pada suatu nilai tunggal yang
mungkin berhubungan, dimana setiap nilai kemungkinan memiliki bobot sendiri
antara 0 sampai 1. Dalam arti lain, bilangan fuzzy adalah suatu bilangan yang
memiliki nilai keanggotaan 1 jika bilangannya termasuk ke dalam anggota penuh
dan bernilai 0 jika bilangannya tidak termasuk pada anggota.
Definisi 2.3: Sebuah bilangan fuzzy
adalah himpunan fuzzy dalam semesta
bilangan riil yang memenuhi kondisi normal dan konveks.
Definisi 2.4: Sebuah bilangan fuzzy
̃
disebut bilangan fuzzy
triangular jika fungsi keanggotaannya diberikan oleh:
̃
{
Definisi 2.5: Sebuah bilangan fuzzy ̃
disebut bilangan fuzzy
trapezoidal jika fungsi keanggotaannya diberikan oleh:
̃
Definisi 2.6: Misalkan ̃
{
triangular , maka:
1.
2.
̃
̃
dan ̃
adalah dua bilangan fuzzy
̃
̃
Universitas Sumatera Utara
27
Definisi 2.7: Misalkan ̃
fuzzy trapezoidal, maka:
1.
2.
̃
̃
dan ̃
adalah dua bilangan
̃
̃
2.6 Masalah Transportasi dengan Variabel Fuzzy
Model transportasi sangat penting bagi perencanaan produksi, parameterparameter pada model transportasi adalah biaya, nilai persediaan, dan nilai
permintaan. Pada prakteknya besar biaya, nilai permintaan dan jumlah persediaan
pada suatu transportasi tidak dapat diketahui secara pasti. Apabila hal ini terjadi,
maka salah satu solusinya dapat dicari dengan menggunakan operasi fuzzy.
Pada bagian ini, besarnya biaya ditetapkan secara eksak, sedangkan
jumlah persediaan dan permintaan belim diketahui secara pasti. Ketidakjelasan
ini bisa disebabkan oleh kurangnya informasi atau kebijakan khusus dari suatu
perusahaan. Pada masalah transportasi biasa dengan nilai persediaan dan
permintaan yang bernilai integer akan selalu menghasilkan solusi yang juga
bernilai integer.
Masalah transportasi dengan variabel fuzzy adalah sebuah aplikasi dari
teori himpunan fuzzy pada masalah pengalokasian barang yang tepat terhadap
biaya, di mana semua parameter yaitu koefisien, variabel maupun konstanta
dalam model berupa bilangan fuzzy.
Untuk menyelesaikan masalah transformasi dengan variabel fuzzy, maka
harus dimodelkan dulu ke dalam suatu tabel, adapun fungsi tujuan dari masalah
transportasi dengan variabel fuzzy adalah:
Minimumkan:
Universitas Sumatera Utara
28
∑∑ ̃ ̃
̃
di mana:
∑
∑
̃
̃
̃
i = 1,..., m
̃,
̃
j = 1,..., n
i = 1,...,m
, j = 1,..., n
(Pandian, 2010)
Tabel untuk masalah transportasi dengan variabel fuzzy dapat dilihat
sebagai berikut:
Tabel 2 Masalah Transportasi dengan Variabel Fuzzy
Tujuan
Sumber
1
M
Permintaan
1
N
̃
̃
̃
Persediaan
̃
̃
̃
̃
̃
di mana:
m = jumlah dari titik persediaan
n = jumlah dari titik permintaan
̃ = jumlah tidak pasti dari unit barang yang dikirimkan dari
titik persediaan i ke titik permintaan j,
i = 1, 2,..., m
,
j = 1, 2,..., n
Universitas Sumatera Utara
29
̃ = biaya tidak pasti per unit barang yang didistribusikan dari
titik persediaan i ke titik permintaan j,
i = 1, 2,..., m
,
j = 1, 2,..., n
̃ = persediaan tidak pasti pada titik persediaan ke i , j = 1, 2,..., m
̃ = persediaan tidak pasti pada titik persediaan ke j , i = 1, 2,..., n
(Pandian, 2010:)
Defenisi 2.8: Suatu himpunan dari alokasi ̃
yang memenuhi baris dan kolom
ekuivalen merupakan solusi feasible fuzzy.
Definisi 2.9: Suatu solusi feasible fuzzy untuk masalah transportasi dengan
variabel fuzzy di mana
sebagai sumber dan
sebagai tujuan
dikatakan solusi feasible dasar fuzzy jika jumlah alokasinya
. Jika jumlah alokasi pada solusi dasar fuzzy kurang
dari
, ini disebut sebagai solusi feasible dasar fuzzy
yang merosot.
Definisi 2.10: Suatu solusi feasible fuzzy dikatakan solusi fuzzy yang optimal jika
total biaya transportasi fuzzy minimum.
Teorema 1 (Eksistensi dari Solusi Feasible Fuzzy)
Kondisi syarat perlu dan syarat cukup untuk eksistensi dari solusi feasible fuzzy,
untuk masalah trnsportasi dengan variabel fuzzy adalah:
∑̃
∑̃
Universitas Sumatera Utara
30
Bukti:
1. Kondisi syarat perlu
Misalkan terdapat feasible fuzzy untuk masalah transportasi dengan
variabel fuzzy yang diberikan seperti pada penjelasan sebelumnya, maka:
∑∑ ̃
dan
̃
̃
∑∑ ̃
dari persamaan (2.20) dan (2.21) diperoleh:
∑̃
∑̃
2. Kondisi syarat cukup
Misalkan diasumsikan bahwa:
∑̃
∑̃
Lalu distribusikan persediaan pada sumber ke
dengan proporsinya ke
permintaan dari semua tujuan. Misalkan:
̃
̃ ̃
dimana:
̃ adalah faktor proporsional dari sumber ke .
Karena persediaan harus didistribusikan secara keseluruhan. Diperoleh:
∑̃
̃ ∑̃
Universitas Sumatera Utara
31
dan,
̃ ̃
̃
∑
̃
̃
̃
dengan:
̃
̃
∑
̃
Dari persamaan (2.24) dan persamaan (2.25) didapat:
∑̃
̃ ∑̃
∑
̃
̃
∑̃
̃
Demikian juga dengan:
∑̃
∑
̃
̃
∑̃
̃
2.7 Metode Pemecahan yang Biasa Digunakan pada Masalah Transportasi
Untuk menyelesaikan persoalan transportasi, harus dilakukan dengan langkahlangkah sebagai berikut:
1. Menentukan Solusi Fisibel Basis Awal.
2. Manentukan entering variabel dari variabel-variabel nonbasis. Bila semua
variabel sudah memenuhi kondisi optimal, STOP. Bila belum lanjutkan ke
langkah 3.
3. Tentukan leaving variabel diantara variabel-variabel basis yang ada,
kemudian hitung solusi yang ada. Kembali ke langkah 2.
Untuk menentukan solusi awal terdapat 3 metode yang dapat digunakan
adalah:
Universitas Sumatera Utara
32
1. Metode pojok kiri atas pojok kanan bawah/ metode pojok barat laut/ nort
west corner.
2. Metode ongkos (baris/ kolom) terkecil (least cost).
Prinsip cara ini adalah pemberian prioritas pengelokasian pada tempat
yang mempunyai satuan ongkos terkecil.
a. Pendistribusian dimulai dari biaya terkecil dan, apabila terdapat biaya
terkecil lebih dari satu, maka dipilih salah satu.
b. Setiap
pendistribusian
dipilih
nilai
sebanyak
mungkin
tanpa
mengabaikan jumlah sumber/tujuan.
3. Metode pendekatan vogel (vogel’s approximation method’s/ VAM).
Cara ini merupakan cara yang terbaik dibandingkan dengan cara di
atas. Langkah-langkah penerjaan metode diatas adalah:
a. Menghitung opportunity cost yang didasarkan pada dua biaya terkecil
pada setiap baris dan kolom dan mengurangkan keduanya, hasil
perhitungannya disebut dengan penalty cost.
b. Memilih nilai penalty cost terbesar di antara baris dan kolom.
c. Memilih biaya terkecil dari nilai penalty cost terbesar dan
mendistribusikan sejumlah nilai. Baris/kolom penalti yang sudah
terpilih diabaikan untuk langkah selanjutnya.
d. Menyesuaikan jumlah permintaan dan penawaran untuk menunjukkan
alokasi yang sudah dilakukan. Menghilangkan semua baris dan kolom
dimana penawaran dan permintaan telah dihabiskan.
e. Apabila jumlah penawaran dan permintaan belum sesuai, maka ulangi
langkah pertama sampai terisi semua.
Universitas Sumatera Utara
33
Untuk mencari solusi optimal terdapat 2 metode yang dapat digunakan
yaitu:
1. Metode batu loncatan (Stepping Stone).
Untuk menentukan entering dan leaving variable ini, terlebih
dahulu harus dibuat suatu loop tertutup bagi setiap variabel
nonbasis loop tersebut berawal dan berakhir pada variabel nonbasis
tadi. Dimana tiap sudut loop haruslah merupakan titik-titik yang
ditempati oleh variabel-variabel basis dalam tabel transportasi.
2.
Metode faktor pengali (multiplier)/ Metode MODI (Modified
Distribution).
Metode MODI merupakan variasi dari model Stepping Stone yang
didasarkan pada rumusan dual. Perbedaannya dengan metode
Stepping Stone adalah pada metode ini tidak harus menentukan
semua jalur tertutup variabel non basis, kecuali pada saat akan
melakukan perpindahan pengisian tabel. Dengan demikian MODI
merupakan cara yang efisien untuk menghitung variabel non basis.
Dalam metode MODI terdapat persamaan sebagai berikut :
di mana :
= Nilai setiap sel baris
= Nilai setiap kolom
= Biaya transportasi per unit
2.8 Teknik untuk Menyelesaikan Masalah Transportasi dengan Variabel
Fuzzy menjadi Transportasi Linier
Dalam menyeleaikan masalah transportasi dengan variabel fuzzy, tablo fuzzy harus
diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk linier agar lebih mudah dalam
pengerjaannya. Adapun teknik yang digunakan untuk mengubah tablo masalah
Universitas Sumatera Utara
34
transportasi dengan variabel fuzzy ke tablo permasalahan transportasi linier adalah
Robust Ranking Technique. Dalam menggunakan teknik ini diperlukan
pemahaman dalam menginterpretasikan suatu bilangan fuzzy ke dalam suatu
bilanngan crisp. Interpretasi dari bilangan fuzzy tersebut disebut dengan ranking
dan dengan menggunakan ranking dari bilangan fuzzy itu.
Jika
adalah bilangan fuzzy, maka Robust Ranking dapat didefinisikan
sebagai berikut:
∫
di mana:
:
adalah bilangan fuzzy
: Robust Ranking untuk himpunan fuzzy Q.
: nilai tengah dari interval [
]
: Perhitungan batas atas dan batas bawah dari himpunan fuzzy Q
-
Misalkan terdapat himpunan permintaan fuzzy, himpunan persediaan fuzzy,
atau himpunan biaya fuzzy dengan
-
{
adalah triangular , maka:
}
Misalkan terdapat himpunan permintaan fuzzy, himpunan persediaan fuzzy,
atau himpunan biaya fuzzy dengan
(Fegade, 2012)
{
adalah trapezoidal, maka:
}
Model masalah transportasi dengan variabel fuzzy dalam bentuk
matematika umtuk mencari satu nilai bilangan fuzzy yang terpilih menggunakan
teknik Robust Ranking berikut:
Universitas Sumatera Utara
35
2.9 Metode Zero Suffix untuk Menyelesaikan Masalah Transportasi dengan
Variabel Fuzzy
Metode Zero Suffix adalah salah satu metode optimalisasi masalah transportasi
yang langsung menguji keoptimuman dari tablo transportasi tanpa harus
menentukan solusi awal. Jadi untuk mendapatkan solusi yang optimum, metode
Zero Suffix tidak perlu menggunakan metode lain lagi seperti MODI atau Stepping
Stone.
Langkah-langkah metode Zero Suffix adalah sebagai berikut:
1. Menyusun tablo transportasi untuk masalah transportasi yang
diberikan.
2. Kurangi entri biaya setiap baris pada tablo transportasi dengan
masing-masing baris yang paling minimum dan setelah dihasilkan
tablo yang baru atau tereduksi. Lanjutkan dengan mengurangi entri
biaya setiap kolom dari tablo transportasi yang dihasilkan dengan
dari kolom yang paling minimum.
3. Dalam tablo biaya yang telah dikurangi akan ada setidaknya biaya
yang bernilai 0 di setiap baris atau kolom, kemudian cari suffix value.
Suffix value dinotasikan dengan
. Dimana
adalah himpunan
penambahan biaya yang berdekatan paling dekat dengan biaya yang
bernilai 0 dari kolom tablo transportasi.
4. Pilih maksimum dari
, jika memiliki satu nilai maksimum. Jika
memiliki dua atau lebih biaya yang bernilai sama maka pilih salah satu
dan cari biaya yang bernilai 0 pada kolom suffix value terbesar. Jika
tidak ada biaya bernilai 0 maka pilih biaya yang ada atau tersisa lalu
pada biaya itu menjadi alokasi barang dengan memperhatikan
permintaan dan persediaan.
Universitas Sumatera Utara
36
5. Ulangi langkah 4, pilih minimum {
} lalu alokasikan ke dalam
tablo transportasi. Tablo yang dihasilkan harus memiliki setidaknya
satu biaya bernilai 0 pada setiap baris atau kolom. Selain itu ulangi
langkah 2.
6. Ulangi langkah 3 sampai langkah 5 hingga diperoleh biaya yang
optimum. Pada kolom atau baris yang sudah jenuh memiliki suffix
value 0.
Universitas Sumatera Utara