Kajian Pengaruh Panjang Interval Kategori pada Penyebaran Data Acak Berdistribusi Seragam

KAJIAN PENGARUH PANJANG INTERVAL
KATEGORI PADA PENYEBARAN DATA
ACAK BERDISTRIBUSI SERAGAM

SKRIPSI

OKA ARIYANTO
120803066

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016

Universitas Sumatera Utara

KAJIAN PENGARUH PANJANG INTERVAL
KATEGORI PADA PENYEBARAN DATA
ACAK BERDISTRIBUSI SERAGAM

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar
Sarjana Sains

OKA ARIYANTO
120803066

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016

Universitas Sumatera Utara

PERSETUJUAN

Judul
Kategori

Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas

: Kajian Pengaruh Panjang Interval Kategori Pada
Penyebaran Data Acak Berdistribusi Seragam
: Skripsi
: Oka Ariyanto
: 120803066
: Sarjana (S1) Matematika
: Matematika
: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
(FMIPA) Universitas Sumatera Utara

Disetujui di
Medan, Juni 2016
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2,

Pembimbing 1,

Drs. Henry Rani Sitepu, M.S
NIP. 19530303 198303 1 002

Dr. Esther SM Nababan, M.Sc
NIP. 19610318 198711 2 001

Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si.
NIP. 196209011988031002

i
Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN

KAJIAN PENGARUH PANJANG INTERVAL
KATEGORI PADA PENYEBARAN DATA
ACAK BERDISTRIBUSI SERAGAM

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. Kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Mei 2016

Oka Ariyanto
120803066

ii
Universitas Sumatera Utara

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa dan Maha
Penyayang, dengan limpahan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan
penyusunan skripsi ini dengan judul Kajian Pengaruh Panjang Interval Kategori
Pada Penyebaran Data Acak Berdistribusi Seragam
Terima kasih penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Esther SM Nababan,
M.Sc. dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.S. selaku pembimbing yang telah
memberikan bimbingan dan telah meluangkan waktunya selama penulisan skripsi
ini. Bapak Dr. Open Darniu, M.Sc. dan Bapak Dr. Suyanto, M.Kom. selaku
penguji yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam
penyempurnaan skripsi ini. Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Ketua dan Sekretaris
Departemen Matematika Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D dan Ibu Dr.
Mardiningsih, M.Si. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi di lingkungan
Departemen Matematika, serta seluruh sivitas akademika di lingkungan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada kedua orang tua penulis
Ayahanda M.Safei dan Ibunda Desmul Yetri yang selalu mendoakan, memberi
semangat dan bantuan baik secara moril maupun material kepada penulis sejak
awal perkuliahan hingga selesai skripsi ini. Kepada saudara-saudara penulis yaitu
Jul Andri dan Hengki Saputra dan seluruh keluarga besar yang terus mendukung

dan mendoakan penulis.
Terima kasih kepada sahabat-sahabat penulis, Anak Jendral 2012, abang
dan kakak stambuk 2011, adik-adik stambuk 2013, adik-adik stambuk 2014, adikadik stambuk 2015, rekan-rekan di Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA
USU dan kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan dan dorongan yang
tidak dapat disebutkan satu per satu. Semoga segala bentuk bantuan yang telah
diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Tuhan Yang
Maha Esa.

Medan, Mei 2016
Penulis

Oka Ariyanto

iii
Universitas Sumatera Utara

KAJIAN PENGARUH PANJANG INTERVAL
KATEGORI PADA PENYEBARAN DATA
ACAK BERDISTRIBUSI SERAGAM

ABSTRAK

Bilagan acak terdiri dari barisan bilangan rill atau barisan bilangan bulat dengan
variasi nilai yang bersifat acak dalam satu interval nilai tertentu. Bilangan acak
baku disajikan dalam bentuk bilangan rill dengan interval nilai mulai dari 0
hingga 1. Bilangan acak sering digunakan dalam simulasi. Dalam tulisan ini akan
dibahas pengaruh panjang interval kategori pada bilangan acak yang dihasilkan
dari aplikasi Ms Excel. Data acak akan dikelompokkan dalam panjang interval
yang berbeda-beda kemudian dilakukan uji frekuensi dengan menggunakan uji
Chi Square .

Kata kunci: Bilangan acak, Uji Chi Square

v
Universitas Sumatera Utara

STUDY OF INFLUENCE OF THE INTERVAL LENGTH
CATEGORY AT THE SPREAD UNIFORMLY
DISTRIBUTED RANDOM DATA

ABSTRACT

Consists of a random number sequence number of rill or sequence of integers with
values from random variation within a certain interval of values. Raw random
numbers is presented as a number of rill with interval values ranging from 0 to 1.
The random number is often used in the simulation. In this paper will discuss the
influence of the interval length in the category of random numbers generated from
MS Excel application. Random data will be grouped in long intervals varying
frequency and then test using Chi Square test .

Keywords: Random number, Chi Square test

v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

Halaman
i
ii

iii
iv
v
vi
viii
ix
x
xi

Persetujuan
Pernyataan
Penghargaan
Abstrak
Abstract
Daftar Isi
Daftar Tabel
Daftar Gambar
Daftar Singkatan
Daftar Lampiran
Bab 1. Pendahuluan

1.1. Latar Belakang
1.2. Perumusan Masalah
1.3. Batasan Masalah
1.4. Tinjauan Pustaka
1.5. Tujuan Penelitian
1.6. Kontribusi Penelitian
1.7. Kerangka Pemikiran
1.8. Metodologi Penelitian

1
2
2
3
4
4
5
6

Bab 2. Landasan Teori
2.1. Pembentuk Bilangan Acak

2.1.1. Deskripsi Bilangan Acak
2.1.2. Penyelesaian Generator Bilangan Acak
2.2. Uji Statistik
2.2.1. Uji Chi Square

7
8
9
11
11

Bab 3. Pembahasan
3.1. Bilangan Acak
3.2. Uji Statistik
3.3. Langkah Penyelesaian
3.4. Ilustrasi Numerik
3.4.1 Menghasilkan Bilangan Acak
3.4.2 Replika Bilangan Acak
3.4.3 Mengelompokkan Data
3.4.4 Uji Statistik dengan Uji Chi Square
3.4.5 Standar Deviasi
3.5. Pembahasan
3.5.1 Jumlah Bilangan Acak N=100
3.5.2 Jumlah Bilangan Acak N=500
3.6. Contoh Masalah Aplikasi Bisnis

14
14
14
15
15
15
15
16
16
17
21
27
35

vi
Universitas Sumatera Utara

3.6.1 Simulasi untuk Harga Jual $100 per unit
3.6.2 Simulasi untuk Harga jual $150 per unit
3.6.3 Simulasi untuk Harga Jual $200 per unit

38
38
39

Bab 4. Kesimpulan dan Saran
4.1. Kesimpulan
4.2. Saran

41
41
41

Daftar Pustaka
Lampiran

43
45

vii
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR TABEL

Nomor
Tabel

Judul

Halaman

dengan L Bervariasi untuk N=100
Tabel 3.1. Nilai
Tabel 3.2. Nilai
dengan L Bervariasi untuk N=500
dan tabel , L = 0.04
Tabel 3.3.
Tabel 3.4.
dan tabel , L = 0.05
Tabel 3.5.
dan tabel , L = 0.1
Tabel 3.6.
dan tabel , L = 0.2
Tabel 3.7.
dan tabel , L = 0.25
dan tabel , L = 0.5
Tabel 3.8.
Tabel 3.9.
dan tabel , L = 0.004
Tabel 3.10.
dan tabel , L = 0.01
Tabel 3.11.
dan tabel , L = 0.02
Tabel 3.12.
dan tabel , L = 0.04
dan tabel , L = 0.05
Tabel 3.13.
Tabel 3.14.
dan tabel , L = 0.1
Tabel 3.15.
dan tabel , L = 0.2
Tabel 3.16.
dan tabel , L = 0.5

17
19
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34

viii
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

Nomor
Gambar
Gambar 3.1.
Gambar 3.2.
Gambar 3.3.
Gambar 3.4.
Gambar 3.5.
Gambar 3.6.
Gambar 3.7.
Gambar 3.8.
Gambar 3.9.
Gambar 3.10.
Gambar 3.11.
Gambar 3.12.
Gambar 3.13.
Gambar 3.14.
Gambar 3.15.
Gambar 3.16.

Judul

Perbandingan
Perbandingan
Perbandingan
Perbandingan
Perbandingan
Perbandingan
Perbandingan
Perbandingan
Perbandingan
Perbandingan
Perbandingan
Perbandingan
Perbandingan
Perbandingan
Perbandingan
Perbandingan

Halaman

untuk N= 100
untuk N= 100

dan
dan
dan
dan
dan
dan
dan
dan
dan
dan
dan
dan
dan
dan

, L = 0.04
tabel , L= 0.05
tabel , L= 0.1
tabel , L= 0.2
tabel , L= 0.25
tabel , L= 0.5
tabel , L= 0.004
tabel , L= 0.01
tabel , L= 0.02
tabel , L= 0.04
tabel , L= 0.05
tabel , L= 0.1
tabel , L= 0.2
tabel , L= 0.5
tabel

18
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34

ix
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR SINGKATAN

RN
RNG
R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10

= Random Number
= Random Number Generator
= Data Acak Asli
= Replika 1
= Replika 2
= Replika 3
= Replika 4
= Replika 5
= Replika 6
= Replika 7
= Replika 8
= Replika 9
= Replika 10

x
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor
Lamp
1.
2.
3.
4.
5.

Judul

Halaman

Tabel Chi Square
Tabel Bilangan acak N=100
Tabel Bilangan Acak N=500
Pengelompokan Data N=100
Pengelompokan Data N=500

36
39
44
65
93

xi
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1.

Latar Belakang

Suatu permasalahan yang kompleks di dunia nyata, dapat dipandang sebagai
sebuah sistem. Sistem dapat didefinisikan sebagai gabungan atau himpunan dari
berbagai jenis objek selaku komponen-komponen dalam suatu kesatuan atau
perpaduan berdasarkan hubungan interaksi (Humala, 2009). Kinerja sebuah sistem
dapat dianalisis dan dievaluasi dengan simulasi. Pada masa yang akan datang,
simulasi akan banyak digunakan untuk menilai kinerja suatu sistem. Simulasi
merupakan suatu sistem yang digunakan untuk memecahkan atau menguraikan
persoalan-persoalan dalam kehidupan nyata yang penuh dengan ketidakpastian
dengan tidak atau menggunakan model atau metode tertentu dan lebih ditekankan
pada pemakaian komputer untuk medapatakan solusinya (Thomas, 2004).
Simulasi dapat dibedakan berdasarkan keadaan antara deterministik
dengan stokastik. Simulasi deterministik mencakup variabel dan parameter tetap
dan diketahui secara pasti. Simulasi stokastik (probabilistic) berkaitan dengan
distribusi peluang dari beberapa atau semua variabel dan parameter. Simulasi
probabilistik memuat keajadian-kejadian acak, distribusi peluang yang urutan
pelaksanaan simulasi berintikan percobaan statistik, membuat kesimpulankesimpulan sesuai dengan statistik (Siagian, 2006).
Simulasi probabilistik atau disebut juga simulasi Monte Carlo merujuk
pada penggunaan model matematika untuk mempelajari sistem yang dicirikan
oleh munculnya kejadian diskrit dan acak. Bilangan acak dapat dihasilkan melalui
program aplikasi seperti Fortran, Basic, PL/1 dan MS Excell untuk bilangan acak
berdisribusi seragam. (Gottfried, 1992; KIM, 2003).
Keacakan suatu barisan data dapat dilihat dari berbagai sisi, antara lain
dari sisi frekuensi kemunculan data pada setiap kelas interval, variasi jarak antara
data yang satu terhadap data berikutnya dan pola maju mundur atau naik turunnya
data. Hal yang umum digunakan untuk menguji keacakan data adalah uji

Universitas Sumatera Utara

2

frekuensi, uji baris (serial test), uji poker (poker test), uji jarak (gap test) dan uji
pola naik turun (increasing and decreasing run) (Gottfried, 1992).
Pemilihan salah satu metode untuk uji keacakan sangat bergantung pada
permasalahan yang memerlukan data acak. Misalnya, apabila diperlukan data acak
yang berdistribusi seragam maka cukup dilakukan uji frekuensi untuk menguji
keacakan. Pada umumnya uji keacakan hanya dilakukan dengan menggunakan
salah satu alat uji saja tanpa melakukan uji keacakan lainnya.
Pengertian distribusi berhubungan dengan distribusi probabilitas yang
digunakan untuk meninjau atau terlibat langsung dalam pengadaan bilangan acak
tersebut. Sedangkan, seragam (uniform) merupakan distribusi probabilitas yang
sama untuk semua besaran yang diambil atau dikeluarkan. Ini berarti
probabilitasnya diusahakan sama untuk setiap pengadaan bilangan acak tersebut
(Thomas, 2004).
Dalam penelitian ini akan dianalisis keacakan suatu barisan data yang
dihasilkan dari pseudorandom generator. Keacakan data akan diuji dari sisi uji
frekuensi setelah dikelompokkan dalam panjang interval yang berbeda-beda untuk
mendapatkan gambaran tingkat keacakan yang dihasilkan oleh alat uji keacakan
tersebut.

1.2.

Perumusan Masalah

Perumusan masalah yang akan penulis teliti adalah bagaimana pengaruh panjang
interval kategori terhadap penyebaran data acak berdistribusi seragam.

1.3.

Batasan Masalah

Dalam penulisan skripsi ini, penulis memberikan batasan masalah yaitu:
1. Data yang digunakan adalah data bilangan acak yang di hasilkan dari
pembangkit bilangan acak pseudorandom pada program aplikasi Ms
Excel.

Universitas Sumatera Utara

3

2. Bilangan acak yang dihasilkan Ms.Excel bernilai enam desimal.
3. Hasil perhitungan statistik bernilai dua desimal.

1.4.

Tinjauan Pustaka

Bilangan acak merupakan bilangan yang terdiri dari barisan bilangan ril atau
barisan bilangan bulat dengan variasi nilai yang bersifat acak dalam satu interval
nilai tertentu (Humala, 2009).
Konsep keacakan bilangan acak telah terabaikan dalam literatur kajian filsafat.
Jika para filsuf membicarakan mengenai keacakan, biasanya para filsuf tersebut
setuju dengan konsep dasar mengenai keacakan. Data hasil simulasi telah
mengabaikan karakter statistik dari keacakan data pada aplikasi simulasi stokastik.
50% dari seluruh publikasi mengenai studi simulasi, hanya 23 % saja dari hasil
simulasi merupakan informasi yang kredibel yang menyertakan analisis statistik
atas hasil simulasi (Palikowski dkk., 2000).

Bilangan acak dari distribusi pada komputer digital biasanya membutuhkan
satu atau lebih sampel acak yang seragam antara 0 dan 1 dan kemudian mengubah
sampel seragam menjadi sampel baru dari distribusi yang diinginkan. Sampel
independen yang seragam terdistribusi pada interval 0 sampai 1 disebut bilangan
acak (Pritsker dan alan, 1986).
Sepanjang sejarah penghasil bilangan acak, terdapat barisan bilangan acak
yang diperoleh dari beberapa sumber bilangan acak ‘pseudorandom generator’,
setelah diuji keacakannya menunjukkan bahwa barisan

bilangan acak yang

dihasilkan ternyata sangat tidak acak, bergantung dari jenis uji keacakan tertentu
(Goldreigh, 2008).

Penyimpangan statistik (statistical errors) pada hasil simulasi secara umum
diukur dengan selang interval ekspektasi yang berisi nilai yang tidak diharapkan.
Probabilitas diketahui sebagai level kepercayaan. Dalam implementasinya pada
simulasi stokastik, lebar interval atau selang kepercayaan ini akan mengecil

Universitas Sumatera Utara

4

seiringan dengan jumlah data yang dikoleksi. Untuk mengatasi hal ini terdapat
dua skenario. Skenario pertama adalah dengan menambah panjang percobaan
simulasi sebagai parameter input pada model. Metode ini merdasarkan pada
argumentasi bahwa semakin banyak jumlah simulasi yang dilakukan maka
semakin baik hasilnya, dan error statistik yang terjadi merupakan faktor
kebetulan. Meskipun konsep metode ini digunakan secara luas, metode ini tidak
lagi merupakan metode yang dapat diterima untuk pengajaran : .... no procedure
in which the run length is fixed before the simulation begins can be relied upon to
produce a confidence interval that covers the theoretical value with the desired
probability.. (Law and Kelton , 2000).

(Eagle, 2005) menyarankan agar konsep keacakan dipahami sebagai kasus
khusus dari konsep epistemology dari suatu proses yang tak dapat diprediksi.
Eagle memberikan penjelasan tentang konsep keacakan secara intuitive,
sedikitnya menyarankan bahwa pemahaman akan keacakan yang telah ada selama
ini tidak lagi sepenuhnya benar, diperlukan lebih dalam pemahaman dan kajian
filosofis mengenai keacakan ini. Sepanjang sejarah penghasil bilangan acak,
terdapat barisan bilangan acak yang diperoleh dari beberapa sumber bilangan acak
‘pseudorandom generator’, setelah diuji keacakannya menunjukkan bahwa
barisan bilangan acak yang dihasilkan ternyata sangattidak acak, bergantung dari
jenis uji keacakan tertentu. (Goldreigh, 2008)

Hull dan Dobell mengatakan dapat menjamin kesesuaian barisan bilangan
yang terbatas secara umum, mengingat satu himpunanan tes akan selalu ada
barisan bilangan yang melewati tes ini, tetapi yang benar-benar diterima untuk
beberapa aplikasi tertentu (Pritske dan Allan, 1986).

1.5.

Tujuan Penulisan

Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan uji statistik panjang interval data
yang dihasilkan dari bilangan acak psedourandom, yaitu yang berdasarkan pada
suatu metode di mana bilangan acak dihasilkan dari suatu formulasi aritmatika.

Universitas Sumatera Utara

5

1.6.

Kontribusi Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mendapatkan gambaran pengaruh dari panjang interval suatu barisan bilangan
acak terhadap hasil simulasi dan penyimpangan atau standar deviasi yang
terjadi.
2. Sebagai bahan referensi dalam menambah wawasan penulis dan pembaca
dalam bidang statistika yang berhubungan dengan pembahasan simulasi
menggunakan bilangan acak berdistribusi seragam.
3. Sebagai informasi bagi penelitian selanjutnya yang berhubungan dengan
penyebaran data acak berdistribusi seragam.

Universitas Sumatera Utara

6

1.7.

Kerangka Pemikiran

Studi literatur tentang simulasi
dan bilangan acak pseudorandom

Membangkitkan bilangan acak
dengan Ms. Excel (sebanyak 100
dan 500 bilangan acak)

Melakukan replika bilangan acak
(10x Replika)

Uji statistik (Chi square)

Penyimpangan statistik

Analisis uji statistik dan
penyimpangan statistik

Kesimpulan dan saran untuk
kajian lebih lanjut.

Universitas Sumatera Utara

7

1.8.

Metodologi Penelitian

Penelitian yang penulis lakukan adalah penelitian literatur yang disusun dengan
langkah-langkah sebagai berikut:
1.

Mencari literatur dari beberapa buku dan jurnal yang berhubungan dengan
bilangan acak dan uji statistik .

2.

Menjelaskan definisi bilangan acak, pembangkit bilangan acak dan uji Chi
Square.

3.

Menghasilkan bilangan acak dari aplikasi Ms Excel .

4.

Mengelompokkan bilangan acak dengan panjang interval yang berbeda-beda
dan melakukan uji statistik (Uji Square).

5.

Menyimpulkan hasil dan informasi dari proses uji statistik yang telah
dilakukan.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
LANDASAN TEORI

2.1.

Pembentuk Bilangan Acak

Pembentuk bilangan acak adalah suatu algoritma yang digunakan untuk
menghasilkan urutan-urutan dari angka-angka sebagai hasil perhitungan dengan
komputer yang diketahui distribusinya sehingga angka-angka tersebut muncul
secara acak (Thomas, 2004)
Urutan bilangan acak dapat dikembangkan dengan menggunakan cara
manual (seperti: roulette, kotak dadu dan lain sebagainya) dan dengan
menggunakan komputer. Proses pembentukan bilangan acak dengan komputer
mencakup penggunaan hubungan rekursif, yaitu aturan yang membawa satu
bilangan acak kepada yang lain di dalam urutan. Hubungan rekursif secara khusus
bekerja dengan bilangan cacah yang dibagi oleh suatu konstanta yang besar
(modulo) untuk menghasilkan bilangan acak dari 0 hingga 1. Bilangan acak yang
dihasilkan dengan hubungan rekursif disebut pseudorandom number (bilangan
acak yang salah atau pura-pura), sedangkan bilangan yang dihasilkan manual
disebut bilangan acak yang sebenarnya. Meskipun demikian, dalam praktek
bilangan psedorandom sudah dapat digunakan sebagai bilangan acak (Siagian,
2006).
Pembentuk bilangan acak pada komputer terdapat dalam bentuk prosedur
yang dapat dieksekusi secara berulang-ulang dan terus-menerus. Satu putaran
pembangkit ibarat satu kali eksekusi formula pembangkit bilangan untuk
menghasilkan satu bilangan acak (Humala, 2009).

2.1.1. Deskripsi Bilangan Acak
Dalam penentuan bilangan acak pada umumnya terdapat beberapa sumber yang
digunakan, antara lain (Thomas, 2004):
a. Tabel bilangan acak

Universitas Sumatera Utara

9

b. Bilangan acak elektronik
c. Pembangkit bilangan acak congruential pseudorandom.
Pembangkit bilangan acak ini terdiri dari tiga bagian:
•

Pembangkit bilangan acak Additive Random Number Generator

•

Pembangkit bilangan acak Multiplicative Random Number
Generator

•

Pembangkit bilangan acak Mixed Conruential Random Number
Generator.

Sifat-sifat pembangkit bilangan acak (Thomas, 2004):
1. Independen
Masing-masing komponen atau variabel-variabelnya harus bebas dari
ketentuan-ketentuan tersendiri.
2. Seragam
Merupakan suatu distribusi yang umum yaitu probabilitas yang sama
untuk semua besaran yang dikeluarkan.
3. Dense
Merupakan maksud dari Density Probabilitas, distribusi yang harus
mengikuti syarat probabilitas yaitu terletak antara 0 dan 1. Angka-angka
yang dibutuhkan dari pembangkit bilangan acak dan dibuat sedimikian
rupa sehingga

R.N

4. Efisien
Penarikan bilangan acak harus dapat menentukan angka-angka untuk
variabelnya yang sesuai sehingga dapat berjalan terus menerus.

Sifat-sifat pembangkit bilangan acak (Pritsker dan Alan, 1986) adalah :
1. Bilangan harus berdistribusi seragam pada interval (0,1).
2. Bilangan harus independen, tidak ada korelasi antara urutan dari bilangan
acak tersebut.
3. Banyak angka harus dibangkitkan sebelum bilangan yang sama diperoleh.
Ini disebut sebagai periode atau panjang siklus dari pembangkit bilangan.
4. Barisan bilangan acak harus direproduksi.

Universitas Sumatera Utara

10

5. Pembangkit bilangan harus cepat karena banyak bilangan yang diperlukan
dalam simulasi.
6. Persyaratan penyimpanan yang rendah lebih disukai.
Suatu metode yang digunakan untuk pembangkit bilangan acak dapat diterima
jika menghasilkan urutan bilangan yang (Bulgren dkk, 1982):
1. Berdistribusi seragam.
2. Independen secara statistik.
3. Direproduksi.
4. Tidak berulang untuk panjang yang diinginkan.
5. Mampu menghasilkan bilangan acak pada tingkat kecepatan tinggi
membutuhkan kapasistas komputer yang sedikit.

2.1.3. Penyelesaian Generator Bilangan Acak
Pada pembangkit bilangan acak Conruential Pseudorandom dapat dijelaskan
untuk masing-masing formula atau rumus sebagai berikut(Thomas, 2004):

1. Additive/arithmetic RNG

Dengan catatan:
= bilangan acak yang baru
= bilangan acak yang lama
= bilanga n konstanta yang bersyarat
= bilangan modulo

Untuk metode ini diperlukan perhatian untuk syarat-syaratnya sebagai
berikut:
a. Kontstan a harus lebih besar dari

.

Dengan biasanya dinyatakan dengan syarat:

Universitas Sumatera Utara

11

b. Untuk konstanta c, harus berangka ganjil apabila m bernilai
pangkat dua. Tidak boleh nilai berkelipatan dari m
c. Untuk modulo m harus bilangan prima atau bilangan tidak
terbagikan, sehingga memudahkan dan memperlancar perhitungan
di dalam komputer.
d. Untuk pertama Z0 harus merupakan bilangan bulat, ganjil dan
cukup besar.

2. Multiplicative RNG

Dengan catatan:
= bilangan acak semula
= bilangan acak yang baru
=

Dalam perumusan metode ini terdapat tiga variabel yang menentukan
umtuk nilai-nilai bilangan acak yang dapat diperoleh seterusnya dengan
tidak ada pengulangan pada angka-angkanya. Untuk pemilihan nilai-nilai
terbaik djiabarkan sebagai berikut:
a. Pemilihan nilai m merupakan satu bilangan bulat yang cukup
besar.
b. Pemilihan kontanta a harus bilangan prima terhadap m. Nilai a juga
harus ganjil. Pemilihan terbaik adalah dengan rumus
yang lebih mendekat pada ketepatan.
c. Untuk nilai Z0 mengharusakan prima relatif terhadap m.
d. Bilangan c yang dipilih harus bukan merupakan kelipatan dari m
dan ganjil.

3. Mixed Pseudo RNG
!

Universitas Sumatera Utara

12

Rumus ini dengan syarat utama n harus sejumlah bilangan bulat dan lebih
besar dari nol, rumus ini dikenla juga dengan “Linier Congruential
Random Number Generator”.
a. Apabila nilai c = 0 maka akan diperoleh rumus Multiplicative
Congruen.
b. Beberapa syarat Mixed Conruential Generator menurut teorema
dari Hull dan Dobell pada tahun 1962 (Averil M Law, 1991):
1. Pembagi umum yang terbesar dari c dan m adalah satu.
2. Jika q adalah bilangan prima (dibagi oleh hanya dirinya sendiri
dan 1) yang membagi m, maka q membagi 1.
Jika 4 membagi m, maka 4 dibagi a-1.

2.2.

Uji Statistik

Terdapat beberapa alat uji statistik untuk menguji tingkat keacakan data dari
urutan bilangan acak pseudorandom. Dari sekian banyak uji statistik yang ada, uji
statistik yang sering digunakan adalah statistic Chi-Square.

2.2.1 Uji Chi Square
Uji Square atau uji keselarasan (goodness of fit) pertama kali diperkenalkan oleh
Kral Pearson pada tahun 1900 (Sihono, 2001). Chi Square adalah teknik analisis
statistik untuk mengetahui signifikansi perbedaan antara proporsi (dan atau
probabilitas) subjek atau objek penelitian yang datanya telah dikategorikan
(Bambang Soepeno,2002).
Maksud dan tujuan dari pengujian dengan menggunakan uji Chi Square
adalah membandingkan antara fakta yang diperoleh berdasarkan hasil observasi
dan fakta yang didasarkan secara teoritis (yang diharapkan). Hal ini sejalan
dengan konsep kenyataan yang sering terjadi, bahwa hasil observasi biasanya
selalu tidak tepat dengan yang diharapkan (tidak sesuai) dengan yang direcanakan

Universitas Sumatera Utara

13

berdasarkan konsep dari teorinya sesuai dengan aturan-aturan teori kemungkinan
atau teori probabilitasnya (Andi Supangat, 2007).
Ada beberapa persyaratan dalam penggunaan teknik analisis Chi Square
yang harus dipenuhi, di samping berpijak pada frekuensi data kategori yang
terpisah secara mutual excluve, persyaratan lain adalah sebagai berikut (Bambang
Soepeno, 2002):
1. Frekuensi tidak boleh kurang dari lima. Jika ini terjadi harus dikoreksi
dengan Yates’s correction.
2. Jumlah frekuensi observasi dan frekuensi yang diharapkan harus sama.
3. Dalam fungsinya sebagai pengujian hipotesis mengenai korelasi antara
variabel, Chi Square hanya dapat dipakai untuk mengetahui ada atau
tidaknnya korelasi, bukan besar kecilnya korelasi.
Prosedur uji Chi-Square (Ahmad Noer, 2004):
1. Pernyataan Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif
Dalam uji keselarasan fungsi, hipotesis nolnya adalah populasi yang
sedang dikaji memenuhi atau selaras dengan suatu pola distribusi
probabilitas yang ditentukan. Sedangkan hipotesis alternatifnya adalah
populasi tidak memenuhi distribusi yang ditentukan tersebut.
2. Pemilihan Tingkat Kepentingan (Level of Significance)
Biasanya digunakan tingkat kepentingan 0.01 atau 0.05.
3. Penentuan Distribusi Pengujian yang Digunakan
Dalam uji yang digunakan adalah distribusi probabilitas Chi Square.
Nilai-nilai dari distribusi Chi Square telah disajikan dalam bentuk
tabel (terlampir), yang dapat ditentukan dengan mengetahui tiga hal:
•

Tingkat kepentingan (level of significance)

•

Derajat kebebasan fungsi : df = v = k-1, di mana k adalah
jumlah outcome atau observasi yang mungkin dalam sampel

4. Pendefinisian Daerah-daerah Penolakan atau Kritis
Daerah penerimaan dan penolakan dibatasi oleh nilai kritis " .
5. Pernyataan Aturan Keputusan (Decision Rule)
Tolak H0 dan terima H1 jika Chi Square hitung > Chi Square tabel.
Jika tidak demikian terima H0

Universitas Sumatera Utara

14

6. Perhitungan Rasio Uji
Rumus yang digunakan untuk menghitung rasio uji (nilai " ) adalah
"

#

$

$

#

$

$

%

#

$

$

'

&
(

#

$

$

Dengan catatan:
# = frekuensi sampel bilangan acak

$ = frekuensi harapan menurut pola distribusi seragam
7. Pengambilan Keputusan secara Statistik
Jika nilai rasio uji berada didaerah penerimaan maka hipotesisi nol
diterima, sedangkan jika berada didaerah penolakan maka hipotesis nol
ditolak.

2.3.

Distribusi Seragam
Distribusi seragam merupakan sebaran peluang yang paling sederhana

antara sebaran-sebaran lainnya. Meskipun dalam penerapananya terbatas, namun
mempunyai arti penting terutama sebagai penghampir sebaran-sebaran yang lain
yang tidak diketahui atau sebagai pembangkit sebarah lain dalam simulasi
komputer. Dalam sebaran ini setiap nilai peubah acak mempunyai peluang yang
sama untuk terjadi.
Distrubusi seragam diskrit atau sebaran seragam diskrit didefinisikan bila
peubah acak X mempunyai nilai ) * ) * + * )' * dengan peluang yang sama, maka
sebaran seragam diskrit didefinisikan sebagai berikut (Sihono Dwi Waluyo,
2001):
, )

'

* untuk )

) * ) * + * )'

P(x)

Gambar 2. 1 Grafik Sebaran Seragam X

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1.

Bilangan Acak

Bilagan acak terdiri dari barisan bilangan rill atau barisan bilangan bulat dengan
variasi nilai yang bersifat acak dalam satu interval nilai tertentu. Bilangan acak
baku biasanya disajikan dalam bentuk bilangan rill dengan interval nilai mulai
dari 0 hingga 1. Penyajian bilangan acak dalam bentuk rill dengan tingkat
ketelitian tertentu sesuai dengan jumlah digit angka pembentuk bilangan pecahan
biasanya disesuaikan dengan tujuan penggunaannya sebagai bilangan yang
menyatakan nilai peluang antara 0 sampai dengan 1. Bilangan acak yang sering
digunakan pada simulasi adalah bilangan acak rill dengan presisi 0.0001 dalam
rentang nilai mulai dari 0 hingga 1 (Humala, 2009).

3.2.

Uji Statistik

Terdapat beberapa alat uji statistik untuk menguji tingkat keacakan data dari
urutan bilangan acak pseudorandom. Dari sekian banyak uji statistik yang ada, uji
statistik yang sering digunakan adalah statistik Chi-Square. Dalam uji ini, yang
diuji adalah hipotesa bahwa hasil observasi dapat diwakili sebagai bilangan acak
yang benar-benar acak.

3.3.

Langkah Penyelesaian

Langkah-langkah yang dilakukan adalah:
1. Bilangan acak diperoleh dari aplikasi Ms.Excel.
2. Bilangan acak di replika sebanyak 10 kali replika..

Universitas Sumatera Utara

3. Semua bilangan acak kemudian dikelompokkan dalam beberapa kelompok
data yang masing-masing kelompok data mempunyai panjang interval
yang berbeda-beda.
4. Dari hasil pengelompokan data pada langkah 3 kemudian dihitung nilai
Chi Square pada setiap kelompok data.
5. Pada langkah ini, setiap kelompok data dihitung nilai standar deviasinya.

3.4.

Ilustrasi Numerik

3.4.1. Menghasilkan Bilangan Acak
Bilangan acak dimunculkan dari program aplikasi Ms.Excel sebanyak 100 buah
bilangan dan 500 buah bilangan acak. Bilangan acak yang diperoleh berjumlah
enam decimal.. Bilangan berkisar antara 0 sampai dengan 1 (lampiran 2 dan 3)

3.4.2. Replika Bilangan Acak
Bilangan acak yang telah diperoleh, direplika sebanyak 10 kali replika (lampiran 2
dan 3).

3.4.3. Mengelompokkan Data
Untuk masing-masing replika bilangan acak, akan dikelompokkan ke dalam
beberapa kelompok data yang masing-masing kelompok data mempunyai panjang
interval yang berbeda-beda. Untuk jumlah bilangan acak 100 data, terdapat enam
kelompok data dengan panjang interval masing-masing kelompok data adalah
0.04, 0.05, 0.1, 0.2, 0.25 dan 0,5 (lampiran 4). Sedangkan untuk jumlah data 500
data, dibentuk delapan buah kelompok data yang masing-masing kelompok data
mempunyai panjang interval 0.004, 0.01, 0.02, 0.04, 0.05, 0.1, 0.2 dan 0.5
(lampiran 5).

Universitas Sumatera Utara

3.4.4. Uji Statistik dengan Uji Chi Square
Masing-masing kelompok data dihitung nilai Chi Squarenya untuk mengetahui
apakah data yang telah dikelompokkan dalam panjang interval tertentu memenuhi
distribusi (hipotesis) yang diinginkan yaitu keacakan data. Nilai Chi Square yang
diperoleh akan dibandingkan dengan nilai Chi Square pada tabel Chi Square
(lampiran 4) dengan tingkat kepercayaan yang digunakan adalah 0.01 dan 0.05.
Jika nilai Chi Square yang diperoleh lebih besar dari nilai Chi Square pada tabel,
maka kelompok data dengan panjang interval tersebut dapat diterima sebagai data
acak yang benar-benar acak. Jika nilai Chi Square yang diperoleh lebih kecil,
maka data tersebut ditolak sebagai data acak (lampiran 1).

3.4.5. Standar Deviasi
Standar deviasi adalah simpangan baku atau penyimpangan standar yang
menggambarkan variasi nilai dalam suatu distribusi. Setiap kelompok data
dihitung standar deviasi atau penyimpangan data untuk melihat seberapa besar
penyimpangan masing-masing data yang ada dalam kelompok data tersebut.
Kelompok data dengan panjang interval tertentu di harapkan memiliki nilai
penyimpangan atau standar deviasi yang kecil (lampiran 4 dan 5).

Universitas Sumatera Utara

3.5.

Pembahasan

Hasil perhitungan

.
Tabel 3.1. Nilai

Panjang
Interval (L)
0.04
0.05
0.1
0.2
0.25
0.5

R0
33.25
26.00
3.20
0.50
3.76
0.16

R1
31.50
27.20
15.00
9.10
2.48
1.96

dengan Panjang Interval (L) Bervariasi dengan Jumlah Bilangan Acak N=100

R2
20.50
19.60
8.80
2.10
2.16
1.44

R3
23.00
18.40
10.80
5.30
2.10
0.00

R4
22.50
21.60
13.80
7.50
0.56
0.36

R5
18.50
18.40
7.40
5.40
3.24
4.84

R6
33.50
22.80
12.20
2.60
2.00
3.24

R7
23.00
13.20
1.20
0.50
0.56
0.04

R8
17.00
14.00
7.80
4.20
1.52
0.36

R9
22.50
12.40
8.20
2.00
0.32
0.16

R10
20.50
12.80
2.60
1.50
0.12
0.00

v
24
19
9
4
3
1

Tabel
=0.05
=0.01
36.42
42.98
30.14
36.19
16.92
21.66
9.49
13.27
7.82
11.35
3.84
6.64

Universitas Sumatera Utara

Gambar 3.1. Plot Perbandingan Nilai

dengan Panjang Interval (L) Bervariasi dari Setiap Replika Dengan Jumlah Bilangan Acak
N=100

Universitas Sumatera Utara

Hasil perhitungan

.
Tabel 3.2. Nilai

dengan Panjang Interval (L) Bervariasi dengan Jumlah Bilangan Acak N=500

Panjang Interval
(L)
R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
247.00 276.00 256.00 251.00 260.00 233.00 245.00 242.00 242.00 236.00 268.00
0.004
94.80 85.60 107.20 100.80 93.20 70.00 96.80 96.80 86.80 67.20 124.80
0.01
39.20 49.00 64.40 54.20 53.60 31.40 42.20 40.20 40.80 33.20 72.40
0.02
30.40 13.80 41.70 26.20 20.20 21.90 21.60 15.30 19.70 18.80 23.30
0.04
13.52 11.84 24.24 20.88 10.64 14.96 17.92
7.52
13.44 15.52 27.28
0.05
10.20
4.84
4.56
8.76
3.04
10.80
8.04
4.08
4.76
6.64
12.16
0.1
6.40
3.80
2.14
5.12
1.34
6.30
4.86
3.20
2.66
4.66
6.06
0.2
0.65
0.12
0.00
1.57
0.00
3.53
0.00
1.15
1.35
1.15
0.97
0.5

v
249
99
49
24
19
9
4
1

Tabel
=0.05
=0.01
286.09 302.58
122.46 133.34
65.55
73.57
36.42
42.98
30.14
36.19
16.92
21.67
9.49
13.28
3.84
6.64

Universitas Sumatera Utara

Gambar 3.2. Plot Perbndingan Nilai

dengan Panjang Interval (L) Bervariasi dari Setiap Replika dengan Jumlah Bilangan Acak
N=500

Universitas Sumatera Utara

3.5.1. Jumlah Bilangan Acak N=100
Tabel 3.3.

dan

Tabel untuk Masing-Masing Replika Bilangan Acak

pada Panjang Interval 0.04
L = 0.04
N=100
R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
33.25 31.50 20.50 23.00 22.50 18.50 33.50 23.00 17.00 22.50 20.50
36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42
0.05
42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98
0.01

Gambar 3.3. Plot Perbandingan

Dengan

Tabel

pada Panjang Interval 0.04

untuk N=100

Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa

observasi tidak melebihi

tabel ,

maka

hipotesis bahwa bilangan acak yang dihasilkan adalah benar-benar acak, dapat
diterima pada tingkat kepercayaan
kepercayaan

= 0.05. Demikian pula pada tingkat

. Maka untuk panjang interval 0.04 pada jumlah data

N=100, hipotesa bahwa data acak secara signifikan dapat diterima meskipun
untuk data awal, replika ke 1 dan replika ke 6 hampir melebihi

tabel.

Universitas Sumatera Utara

Distribusi data merupakan distribusi seragam yang dihasilkan dari aplikasi Ms
Excel dengan standar deviasi yang cukup kecil.

Tabel 3.4.

dan

Tabel untuk Masing-masing Replika Bilangan Acak

pada Panjang Interval 0.05
N=100
0.05
0.01

L = 0.05
R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
26.00 27.20 19.60 18.40 21.60 18.40 22.80 13.20 14.00 12.40 12.80
30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14
36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19

Gambar 3.4. Plot Perbandingan

dengan

Tabel

pada Panjang Interval 0.05

untuk N=100
Hipotesis bahwa data acak diterima apabila
obs

tabel

( = 0.01) dan

obs

tabel

( = 0.05)

Hasil uji frekuensi pada tingkat kepercayaan = 0.05 nilai
kecil dari

tabel

hasil observasi lebih

, maka hipotesis bahwa data acak diterima. Begitu juga dengan

= 0.01.

Universitas Sumatera Utara

Data acak berasal dari aplikasi Ms Excel yang berdistribusi seragam dengan
standar deviasi yang cukup kecil.

Tabel 3.5.

dan

Tabel untuk Masing-masing Replika Bilangan Acak

pada Panjang Interval 0.1
L = 0.1
N=100
R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
3.20 15.00 8.80 10.80 13.80 7.40 12.20 1.20 7.80 8.20 2.60
16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92
0.05
21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67
0.01

Gambar 3.5. Plot Perbandingan

dengan

Tabel

pada Panjang Interval 0.1

untuk N=100
Uji

di atas menunjukkan bahwa pada tingkat kepercayaan

= 0.01 dan

= 0.05

hipotesis diterima, meskipun untuk beberapa replika hipotesis diterima tidak
secara signifikan, seperti pada replika pertama, replika ke empat dan replika ke
enam. Pada data awal, replika ketujuh dan replika kesepuluh hipotesis dapat
diterima secara signifikan dan data terdistribusi secara merata dengan standar
deviasi yang cukup kecil masing-masing yaitu 1.69, 1.15 dan 1.69.

Universitas Sumatera Utara

Tabel 3.6.

dan

Tabel untuk Masing-masing Replika Bilangan Acak

pada Panjang Interval 0.2
L = 0.2
N=100
R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
0.50 9.10 2.10 5.30 7.50 5.40 2.60 0.50 4.20 2.00 1.50
9.49 9.49 9.49 9.49 9.49 9.49 9.49 9.49 9.49 9.49 9.49
0.05
13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28
0.01

Gambar 3.6. Plot Perbandingan

dengan

tabel

pada Panjang Interval 0.2

untuk N=100
Pada panjang interval 0.2 untuk N=100 uji
kepercayaan

= 0.01 dan

pada replika pertama nilai

menunjukkan bahwa pada tingkat

= 0.05 hipotesis bahwa data acak diterima, meskipun
observasi hampir melebihi

tabel. Pada replika pertama

data diterima tetapi tidak secara signifikan dan data pada replika tersebut memiliki
standar deviasi yang cukup besar yaitu 6.75. Data acak dapat diterima secara signifikan
pada tingkat kepercayaan yang sama pada data awal dan replika ke tujuh, dengan standar
deviasi yang kecil yaitu sebesar 1.58. Data acak dihasilkan dari aplikasi Ms Excel

yang berdistribusi seragam.

Universitas Sumatera Utara

Tabel 3.7.

dan

Tabel untuk Masing-masing Replika Bilangan Acak

pada Panjang Interval 0.25
N=100
2

20.05
20.01

L = 0.25
R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
3.76 2.48 2.16 2.10 0.56 3.24 2.00 0.56 1.52 0.32 0.12
7.82 7.82 7.82 7.82 7.82 7.82 7.82 7.82 7.82 7.82 7.82
11.35 11.35 11.35 11.35 11.35 11.35 11.35 11.35 11.35 11.35 11.35

Gambar 3.7. Plot Perbandingan

dengan

tabel

pada Panjang Interval 0.25

untuk N=100
Pada gambar 3.7 dapat dilihat bahwa nilai

tidak melebihi

tabel, sehingga

hipotesis bahwa data acak diterima secara signifikan pada tingkat kepercayaan =
0.01 dan

= 0.05. Data terdistribusi secara merata pada setiap kelas interval,

terutama pada replika keempat, ketujuh, kesembilan dan kesepuluh dengan nilai
standar deviasi masing-masing yaitu 2.16, 2.16, 1.63 dan 1.15.

Universitas Sumatera Utara

Tabel 3.8.

dan

Tabel untuk Masing-masing Replika Bilangan Acak

pada Panjang Interval 0.5
L = 0.5
N=100 R0 R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10
0.16 1.96 1.44 0.00 0.36 4.84 3.24 0.04 0.36 0.16 0.00
3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84
0.05
6.64 6.64 6.64 6.64 6.64 6.64 6.64 6.64 6.64 6.64 6.64
0.01

Gambar 3.8. Plot Perbandingan

dengan

tabel

pada Panjang Interval 0.5

untuk N=100

Uji frekuensi
diterima pada

pada panjang interval 0.5 dengan derajat kebebasan 1, data acak

= 0.01 untuk setiap replika. Tetapi pada tingkat kepercayaan

0.05, hipotesis bahwa data acak ditolak untuk replika kelima karena nilai
tabel.

obs

=
>

Standar deviasi untuk replika kelima cukup besar yaitu 15.55. Pada replika

ketiga dan kesepuluh standar deviasi data acak mencapai nila nol yang dapat
diartikan bahwa data pada panjang interval 0,5 untuk replika tersebut terdistribusi
secara merata. Namun secara keseluruhan data acak yang berasal dari aplikasi Ms
Excel ini berdistribusi seragam.

Universitas Sumatera Utara

3.5.2. Jumlah Bilangan Acak N=500
Tabel 3.9.

dan

Tabel untuk Masing-masing Replika Bilangan Acak pada

Panjang Interval 0.004
N=500
0.05
0.01

L = 0.004
R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
247.00 276.00 256.00 251.00 260.00 233.00 245.00 242.00 242.00 236.00 268.00
286.09 286.09 286.09 286.09 286.09 286.09 286.09 286.09 286.09 286.09 286.09
302.58 302.58 302.58 302.58 302.58 302.58 302.58 302.58 302.58 302.58 302.58

Gambar 3.9. Plot Perbandingan

dengan

tabel

pada Panjang Interval 0.004

untuk N=500

Dari gambar 3.9 dapat dilihat bahwa

obs

lebih kecil dari

, maka hipotesis

tabel

bahwa bilangan acak yang dihasilkan adalah benar-benar acak dapat diterima pada
tingkat kepercayaan

= 0.01 dan

= 0.05. Karena nilai

obs

mendekati nilai

, maka dapat disimpulkan data acak diterima tetapi tidak secara signifikan.

tabel

Data setiap kelas interval dapat dikatakan terdistribusi cukup merata untuk semua
replika karena mempunyai standar deviasi yang cukup kecil. Dengan rata-rata
standar deviasi yaitu 1.42.

Universitas Sumatera Utara

Tabel 3.10.

dan

Tabel untuk Masing-masing Replika Bilangan Acak pada

Panjang Interval 0.01
L = 0.01
N=500
R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
94.80 85.60 107.20 100.80 93.20 70.00 96.80 96.80 86.80 67.20 124.80
122.46 122.46 122.46 122.46 122.46 122.46 122.46 122.46 122.46 122.46 122.46
0.05
133.34 133.34 133.34 133.34 133.34 133.34 133.34 133.34 133.34 133.34 133.34
0.01

Gambar 3.10. Plot Perbandingan

dengan

tabel

pada Panjang Interval 0.01

untuk N=500
Hasil uji frekuensi

pada gambar di atas, pada tingkat kepercayaan

= 0.01, hipotesis

bahwa data acak diterima. Sedangkan pada tingkat kepercayaan = 0.05, hipotesis
data acak ditolak untuk data pada replika kesepuluh karena nilai

obs

>

tabel.

Distribusi data pada setap kelas interval cukup merata terutama pada replika kelima dan
kesembilan dengan standar deviasi yang cukup kecil, masing-masing yaitu 1.88 dan 1.84.

Universitas Sumatera Utara

Tabel 3.11.

dan

Tabel untuk Masing-masing Replika Bilangan Acak

pada Panjang Interval 0.02
L = 0.02
N=500 R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
39.20 49.00 64.40 54.20 53.60 31.40 42.20 40.20 40.80 33.20 72.40
65.55 65.55 65.55 65.55 65.55 65.55 65.55 65.55 65.55 65.55 65.55
0.05
73.57 73.57 73.57 73.57 73.57 73.57 73.57 73.57 73.57 73.57 73.57
0.01

Gambar 3.11. Plot Perbandingan

dengan

tabel

pada Panjang Interval 0.02

untuk N=500

Uji frekuensi menunjukkan bahwa pada tingkat kepercayaan

= 0.01, hipotesis

data acak dapat diterima. Hipotesis diterima secara signifikan untuk data awal,
replika kelima sampai replika kesembilan. Pada replika sepuluh, nilai
melebihi nilai

tabel,

obs

>

hampir

meskipun demikian hipotesis masih dapat diterima. Sedangkan

pada tingkat kepercayaan
karena

obs

= 0.05, replika kesepuluh ditolak sebagai data acak

.

tabel

Universitas Sumatera Utara

Tabel 3.12.

dan

Tabel untuk Masing-masing Replika Bilangan Acak pada

Panjang Interval 0.04
L = 0.04
N=500 R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
30.40 13.80 41.70 26.20 20.20 21.90 21.60 15.30 19.70 18.80 23.30
36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42
0.05
42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98
0.01

Gambar 3.12. Plot Perbandingan

dengan

tabel

pada Panjang Interval 0.04

untuk N=500
Hipotesis bahwa data acak secara signifikan diterima apabila
obs

Hasil uji frekuensi

tabel

( = 0.01) dan

obs

, pada tingkat kepercayaan

tabel

( = 0.05)

= 0.01, nilai

obs

hipotesis bahwa data acak diterima. Sedangkan pada tingkat kepercayaan

tabel

maka

= 0.05,

hipotesis pada replika kedua ditolak sebagai data acak. Pada gambar 3.12 untuk
panjang interval 0.04, hipotesis ditolak pada tingkat kepercayaan 0.05. Distribusi data
merupakan distribusi seragam yang dihasilkan dari aplikasi Ms Excel.

Universitas Sumatera Utara

Tabel 3.13.

dan

Tabel untuk Masing-masing Replika Bilangan Acak

pada Panjang Interval 0.05
L = 0.05
N=500 R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
13.52 11.84 24.24 20.88 10.64 14.96 17.92 7.52 13.44 15.52 27.28
30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14
0.05
36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19
0.01

Gambar 3.13. Plot Perbandingan

dengan

tabel

pada Panjang Interval 0.05

untuk N=500

Uji frekuensi

yang ditunjjukan dalam gambar 3.11 di atas menunjukkan bahwa pada

tingkat kepercayaan

= 0.01 dan = 0.05, hipotesis bahwa data acak diterima. Pada

replika kesepuluh data mempunyai standar deviasi yang paling besar yaitu 5.99.

Universitas Sumatera Utara

Tabel 3.14.

dan

Tabel untuk Masing-masing Replika Bilangan Acak pada

Panjang Interval 0.1
L = 0.1
N=500 R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
10.20 4.84 4.56 8.76 3.04 10.80 8.04 4.08 4.76 6.64 12.16
16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92
0.05
21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67
0.01

Gambar 3.14. Plot Perbandingan

dengan

tabel

pada Panjang Interval 0.1

untuk N=500
Dari gambar 3.14 di atas dapat dilihat bahwa untuk panjang interval 0.1 dengan derajat
kebebasan 9, untuk selang kepercayaan

= 0.05 hipotesis diterima sebagai data acak.

Begitu juga dengan tingkat kpercayaan

= 0.01, hipotesis bahwa data acak

diterima secara signifikan.

Universitas Sumatera Utara

Tabel 3.15.

dan

Tabel untuk Masing-masing Replika Bilangan Acak

pada Panjang Interval 0.2
L = 0.2
N=500 R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
6.40 3.80 2.14 5.12 1.34 6.30 4.86 3.20 2.66 4.66 6.06
9.49 9.49 9.49 9.49 9.49 9.49 9.49 9.49 9.49 9.49 9.49
0.05
13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28
0.01

Gambar 3.15. Plot Perbandingan

dengan

tabel

pada Panjang Interval 0.2

untuk N=500

Gambar 3.15 di atas menunjukkan bahwa pada tingkat kepercyaan

=0.01

hipotesis diterima secara signifikan. Begitu juga dengan tingkat kepercayaan

=

0.05, hipotesis bahwa data acak diterima untuk panjang interval 0.2 untuk jumlah
data N=500.

Universitas Sumatera Utara

Tabel 3.16.

dan

Tabel untuk Masing-masing Replika Bilangan Acak

pada Panjang Interval 0.5
N=500
0.05
0.01

R0
0.65
3.84
6.64

R1
0.12
3.84
6.64

R2
0.00
3.84
6.64

R3
1.57
3.84
6.64

L = 0.5
R4
R5
0.00 3.53
3.84 3.84
6.64 6.64

Gambar 3.16. Plot Perbandingan

R6
0.00
3.84
6.64

dengan

tabel

R7
1.15
3.84
6.64

R8
1.35
3.84
6.64

R9
1.15
3.84
6.64

R10
0.97
3.84
6.64

pada panjang Interval 0.5

untuk N=500

Uji statistik

menunjukkan bahwa pada tingkat kepercayaan

= 0.01 hipotesis

bahwa data acak diterima secara signifikan. Begitu juga dengan = 0.05, hipotesis
dapat diterima meski pada replika kelima, nilai

obs

hampir melebihi

tabel.

Data

yang memiliki standar deviasi paling besar adalah data pada replika ke lima
dengan nilai 29.70. Sedangkan pada replika kedua, keempat dan keenam, data
terdistribusi merata dengan standar deviasi nol.

Universitas Sumatera Utara

3.6.

Contoh Masalah Aplikasi Bisnis

Contoh masalah aplikasi bisnis untuk menguji keacakan data pada penilitian ini
akan diadopsi dari Gottfried (1994).
Perusahaan X akan mengembangkan suatu produk baru dan ingin
mengevaluasi keuntungan dari produk baru ini. Perusahaan memperkirakan bahwa
terdapat 35% peluang untuk menjual dengan harga antara $40.000 - $60.000, 40%
peluang untuk menjual produk sebesar antara $60.000 - $80.000 dan 25% peluang
untuk menjual dengan harga antara $80.000 - $100.000 pertahun. Berdasarkan
kondisi pasar saat ini tidak ada kecenderungan bahwa perusahaan dapat menjual
$100.000. Biaya produksi dan distribusi juga merupakan
ketidakpastian, di mana terdapat 20% peluang bahwa biaya untuk produksi dan
distribusi $60 - $70, 35% peluang bahwa biaya untuk produksi dan distribusi $70
- $80, 30% peluang bahwa biaya untuk produksi dan distribusi $80 - $90 dan 15%
peluang bahwa biaya untuk produksi dan distribusi $90 - $100.
Terdapat kecendrungan biaya produksi dan distribusi akan $100 per unit. Perusahaan ingin menentukan ekspektasi profit tahunan pada
suatu harga jual. Di samping itu, perusahaan ingin memperkirakan (estimasi)
peluang bahwa keuntungan tahunan akan jauh lebih kecil atau jauh lebih besar
dari nilai ekspektasi. Tujuannya adalah untuk melihat indikasi derajat risiko dan
hubungannya dengan rancangan bisnis yang diusulkan.
Misalkan

S = harga per unit
C = total biaya per unit
V = volume atau jumlah unit yang terjual per tahun
P = profit atau keuntungan tahunan

Profit tahunan dapat ditulis sebagai :
P = (S – C) V
Di mana C dan V (dan dengan demikian P) merupakan variasi acak dan S
merupakan input kuantitas spesifik, yaitu variabel keputusan. Untuk simulasi

Universitas Sumatera Utara

perlu dievaluasi volume penjualan tahunan (V) dan biaya per unit (C). Salah satu
cara untuk melakukan simulasi adalah dengan menghasilkan bilangan acak ui
berdistribusi seragam dalam interval (0,1).
Jika

u1

0.35;

maka V = 50000 unit, yang merupakan nilai tengah

dari kategori
0.35 < u1
0.75 < u1 ;

0.75;

maka V = 70000 unit
maka V = 90000 unit

Subprogram untuk masalah ini dinamakan penjualan.
Diagram alir subprogram untuk masalah ini adalah sebagai berikut :

U1 = RAND (0)

U1>0.3
5

V = 50000

RETURN

U1>0.7
TURN

V = 70000

RETURN

5

V=V = 90000

RETURN

Gambar 3. 17 Diagram Alir Subprogram

Dengan cara yang sama, komponen biaya C dihasilkan dari bilangan acak u2
berdistribusi seragam dalam interval (0,1).

Universitas Sumatera Utara

Jika

u2 0.2;

maka C = $65

0.2 < u2 0.55;

maka C = $75

0.2 < u2 0.55;

maka C = $85

0.85 < u2 ;

maka C = $95

Subprogram dari masalah ini adalah biaya.
Diagram alir subprogram untuk masalah ini adalah sebagai berikut :

BIAYA

U2=RAND(0)

U2>0.2

U2>0.55
5

U2>0.85

C = 65

RETURN

C = 75

RETURN

C = 85

RETURN

C = 95

RETURN

Gambar 3. 18 Diagram Alir Subprogram

Universitas Sumatera Utara

Program utama dimulai dengan menggunakan harga jual S. Dalam
penelitian ini harga jual dibuat bervariasi, yaitu $100, $150 dan $200. Selanjutnya
dilakukan

pengujian statistik untuk menguji tingkat keacakan data pada

subprogram penjualan dan biaya. Pengaruh keacakan data pada hasil simulasi
akan ditinjau dari hasil simulasi untuk menentukan ekspektasi profit dan standar
deviasi.

3.6.1. Simulasi untuk Harga Jual $100 per unit
Berikut merupakan representasi distribusi profit tahunan yang mungkin
dapat dihasilkan:
Tabel 3.17. Tabel Rata-rata Profit dan Standar Deviasi untuk $100
Sale = $100
Replika Profit Rata-Rata Standar Deviasi
0
1606000
757497
10
1545000
855449

Profit rata-rata merupakan ekspektasi profit tahunan yang diperoleh.
Standar deviasi berkisar antara 700 dan 800 dolar, yang merupakan angka yang
besar relatof terhadap nilai profit rata-rata. Hal ini mengindikasikan bahwa profit
tahunan mungkin berbeda secara signifikan dari ekspektasi, yang berarti terdapat
risiko tinggi untuk menjalankan bisnis ini.

3.6.2. Simulasi Untuk Harga Jual $150 per unit
Berikut merupakan representasi distribusi profit tahunan yang mungkin
dapat dihasilkan:
Tabel 3.18. Tabel Rata-rata Profit dan Standar Deviasi untuk $150
Sale = $150
Replika Profit Rata-Rata Standar Deviasi
0
5342000
1501627.4
10
5256000
1441156.94