BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS
ALJABAR LINEAR
BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH
MATRIKS Dosen Pengampu: DARMADI, S.Si, M.Pd. Oleh: Kelompok III1. Andik Dwi S. (06411.008)
2. Indah Kurniawati. (06411.090)
3. Mahfuat M. (06411.104)
4. Nur Qomarudin. (06411.116)
5. Rochis Fajar S. (06411.139)
6. Susi Susanti. (06411.162)
7. Titis Demo D. (06411.169) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
IKIP PGRI MADIUN 2010
Basis Ruang Baris Dan Basis Ruang Kolom Sebuah Matriks
A. Uraian dan contoh Definisi I: Tinjauan matriks m x n 11 12 . . 1 21 22 . . 2 . A = .
. .
1
2 Vektor-vektor
r
1 = (a 11 , a 12 , ....... a 1n )
r = (a , a , ....... a )
2
21 22 1n .
. .
r m = (a m1 , a m2 , ....... a mn ) yang dibentuk dari baris-baris matriks A dinamakan vektor-vektor baris dari A.
Vektor-vektor 21 11 21 11 1 2 . . . c
1 = , c 2 = , ........ c 3 = . . .
. . .
1
2 yang dibentuk dari kolom-kolom matriks A dinamakan vektor-vektor dari kolom A. n
Ruang bagian dari R yang dibangun oleh vektor-vektor baris dinamakan ruang baris dari
m
A, dan ruang bagian dari R yang dibangun oleh vektor-vektor kolom dinamakan ruang kolom dari A. Contoh 1:
4
3 misalkan A =
2 −5 6 vektor-vektor baris dari A r
1 = (4, 3, 0) dan r 2 = (2, -5, 6). Vektor-vektor kolom dari A adalah
4
3 c
1 = 2 = 3 =
, c , c
2
6 −5
Teorema 1: Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nul suatu matriks. Bukti:
Misalkan vektor-vektor baris dari matriks A adalah r
1 , r 2 ,...... r m, dan misalkan matriks B
di dapat dari A dengan melakukan operasi baris elementer. Kita akan memperlihatkan bahwa tiap-tiap vektor di dalam ruang baris dari B juga berada dalam ruang baris dari A dan
sebaliknya. Tiap-tiap vektor di dalam ruang baris dari A berada di dalam ruang baris dari B. Jika terjadi demikian, maka kita dapat menyimpulkan bahwa A dan B mempunyai ruang baris yang sama.
Jika operasi baris tersebut adalah pertukaran baris, maka B dan A mempunyai vektor- vektor yang sama. Akibatnya A dan B mempunyai ruang baris yang sama. Jika operasi baris tersebut adalah perkalian sebuah baris dengan sebuah skalar atau penambahan kelipatan suatu baris pada baris yang lainnya, maka vektor-vektor r
1 , r 2 ,...... rm dari B adalah kombinasi linear
dari r , r ,...... r . Jadi vektor-vektor tersebut terletak di dalam ruang baris dari A. dengan
1 2 m demikian maka setiap vektor dalam ruang baris dari B berada di dalam ruang baris dari A.
B didapat dari A dengan melakukan operasi baris, maka dapat diperoleh dari B dengan melakukan operasi yang sebaliknya. Jadi tiap vektor dalam ruang baris dari A berada di dalam ruang baris dari B. Teorema 2:
Vektor-vektor baris yang tak nol di dalam sebuah bentuk echelon baris dari sebuah matriks A membentuk sebuah basis untuk ruang baris dari A. Bukti:
Menurut teorema 1, ruang baris sebuah matriks tidak berubah jika matriks tersebut direduksi menjadi matriks echelon baris. Vektor-vektor baris tak nol dari matriks echelon baris selalu bebas linear, maka vektor-vektor baris yang tak nol ini membentuk sebuah basis untuk ruang baris tersebut.
Contoh 2: carilah sebuah basis untuk ruang yang dibangun oleh vektor-vektor: v
1 = (1, -2, 0, 0, 3), v 2 = (2, -5, -3, -2, 6)
v
3 = (0, 5, 15, 10, 0) dan v 4 = (2, 6, 18, 8, 6)
Jawab: Ruang yang dibangun oleh vektor-vektor v
1 , v 2 , v 3 dan v 4 adalah ruang baris dari matriks:
1
3 −2
2 −5 −3 −2 6
A =
5
15
10
2
6
18
8
6 Dengan melakukan operasi-operasi baris elementer, maka di dapat matriks-matriks berikut:
1
3 −2
2 −1 −3 −2 0
5
15
10
10
18
8
1
3 −2
10
18
8 −1 −3 −2 0
5
15
10
1 −2 0 0 3
3
9
4
3
1
3
2
1 −2 0 0 3
1
3
2
5
9
4
1
3 −2
1
3
2 −6 −6 0
Matriks terakhir berbentuk matriks echelon baris. Vektor-vektor baris yang tak nol di dalam matriks ini adalah w
1 = (1, -2, 0, 0, 3), w 2 = (0, 1, 3, 2, 0) dan w 3 = (0, 0, 1, 1, 0).
Vektor-vektor w w , dan w membentuk sebuah basis untuk ruang matrikas . Akibatnya
1,
2
3
vektor-vektor w 1, w
2 , w 3 membentuk sebuah basis untuk ruang yang dibangun oleh vektor-
vektor v
1 , v 2 , v 3 dan v 4.
Teorema 3 Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari A mempunyai dimensi yang sama.
Bukti: 11 12 . . 1 21 22 . . 2 . . .
A = . . .
. . .
. .
1
2 Vektor-vektor baris dari A adalah:
r = (a , a , ....... a )
1
11 12 1n
r
2 = (a 21 , a 22 , ....... a 1n ) .
. .
r m = (a m1 , a m2 , ....... a mn ) misalkan ruang baris dari A mempunyai dimensi k, dan S = (b
1 , b 2 , ...... b k ) adalah sebuah
basis untuk ruang baris matriks A, di mana b j = (b i1 , b i2, ......... b in ). Karena S adalah sebuah basis untuk ruang baris, maka setiap vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari b
1 , b 2 , ...... b k .
maka r = (c b + c b ... + c b )
1
11
1
12 2 1k k
r
2 = (c 21 b 1 + c 22 b 2 ... + c 2k b k ) .
. .
sehingga di dapat a 1j = c
11 b 1j + c 11 b 2j +... + c 1k b kj
a 2j = c
21 b 1j + c 12 b 2j +... + c 1k b kj .
. .
a mj = c m1 b 1j + c m2 b 2j +... + c mk b kj atau 2 1 21 11 22 12 1 2 . . . .
= b 1j + b 2j + ......+ b kj = . . . . .
. . .
1
2 Ruas kiri persamaan tadi adalah vektor kolom ke j dari matriks A, maka tiap vektor
kolom dari A terletak di dalam ruang yang dibangun oleh k vektor pada ruas kanan. Jadi ruang kolom A mempunyai dimensi ≤ k. Karena k = dimensi (ruang baris dari A), maka dimensi (ruang kolom dari A)
≤ dimensi (ruang baris dari A). Karena matriks A sebarang,
t t
maka berlaku pula untuk A , yaitu dimensi (ruang kolom dari A ) ≤ dimensi (ruang baris dari
t
A ). Dengan demikian didapat dimensi (ruang baris dari A) ≤ dimensi (ruang kolom dari A). Jadi dimensi (ruang baris dari A) = dimensi (ruang kolom dari A).
Definisi 2: Dimensi ruang baris dan ruang kolom dari sebuah matriks A dinamakan rank dari A.
Teorema 4: Jika A adalah sebuah matriks yang berordo m x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu sama lain.
a. A invertible.
b. A x = 0 hanya mempunyai satu pemecahan trivial.
c. A ekivalen baris dengan I n .
d. A x = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berordo n x 1. e . Determinan (A) ≠ 0.
f. A mempunyai rank n.
g. Vektor-vektor baris dari A bebas linear.
h. Vektor-vektor kolom dari A bebas linear. Bukti: Disini hanya akan diperlihatkan bahwa f ⇒ g. f
⇒ g. Karena A mempunyai rank n maka ruang baris dari matriks A berdimensi n. Karena ke n vektor baris dari A membangun ruang baris dari A, maka vektor-vektor baris dari A bebas linear. Teorema 5: Sebuah sistem persamaan linear Ax = b konsisten jika dan hanya jika b dalam ruang dari A.
Bukti: Ax = b 11 12 . . 1 1 1 21 22 . . 2 2 2 . . . . .
= . . . . .
. . . . .
. .
1
2
sehingga 11 1 + + 12 2 1 1 … … + 21 1 + + 22 2 2 2
… … + . . . .
= . . . . . . . . 1 2 + +
… … +
1
2
atau 11 21 22 12 1 2 2 1 . . .
. x
1 + x 2 + ......+ x n = = . . .
. . . .
.
1
2 ternyata vektor b merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor kolom dari matriks A.
Jadi sistem A x = b konsisten jika dan hanya jika b dalam ruang kolom matriks A. Contoh Soal:
1. Tuliskan vektor baris dan vektor kolom dari matriks
4
5
6 −1 0
2
5
1
7 −4
3
1
8 −4
1
2 −1
2
4
6
2. A = −8 Carilah: a. Sebuah basis untuk ruang baris dari A.
b. Sebuah basis untuk ruang kolom dari A.
c. Rank dari A.
4
3. Carilah sebuah basis untuk ruang bagian dari R yang dibangun oleh vektor-vektor (1, -2, 5, -3), (2, 3, 1, -4) dan (3, 8, -3, -5)
4. apakah b terletak di dalam ruang kolom dari A?
1
3 −2
A = , b =
4
10 −6
Kesimpulan Hasil Presentasi
4
4. Jika A dalah sebarang matriks, maka ruang baris dari ruang kolom dari A mempunyai dimensi yang sama.
3. Vektor-vektor yang tidak nol didalam bentuk echelon baris dari sebuah matriks A membentuk sebuah basis untuk ruang baris dari A, dengan melakukan operasi baris elementer didapat matriks yang berbentuk echelon baris.
2. Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks.
1 .
9
5 ,
2 −3
6 ,
1
1. A =
3 ,
2
1
Vektor-vektor kolom dari A adalah
6 −5 0 Vektor-vektor baris dari A adalah (1,1,2,9), (2,4,-3,1) dan (3,6,-5,0).
3
4 −3 1
2
1 1 2 9
5. Dimensi ruang baris dan ruang kolom dari sebuah matriks A dinamakan rank dari A.