Materi Kuliah Jurusan Teknik Elektro - FORUM STUDI ISLAM AL-BIRUNI
Matematika Dasar
FUNGSI LOGARITMA DAN EKSPONEN
Fungsi logaritma dan fungsi eksponen merupakan dua fungsi yang saling invers
dan dinyatakan sebagai :
y = b log x ⇔ x = b y ; x, b > 0
Sifat-sifat logaritma :
b
1. log 1 = 0
b
2. log b = 1
b
b
b
3. log ac = log a + log c
b
b
b
4. log a/c = log a - log c
b
r
b
5. log a = r log a
6.
b
log a =
c
log a
c
log b
Bilangan Natural
Bilangan natural dinotasikan dengan e dan didefinsikan sebagai :
(
)
x
1
e = lim ( 1 + x) x = lim 1 + 1 x = 2 ,718...
x→ 0
x→∞
Fungsi logaritma natural didefinisikan sebagai :
x1
ln x = ∫
1t
dt , x > 0
e
ln x = log x
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
[ ]
Turunan fungsi logaritma natural : Dx ln x =
[
]
Jadi secara umum : Dx ln u =
1
x
1 du
1
⇔ ∫ du = ln u + C .
u dx
u
Eksponen Natural
Fungsi eksponen natural didefinisikan sebagai inverse dari logaritma natural dan
dinotasikan :
y = ex ⇔ x = ln y
Sifat yang dapat diturunkan langsung dari definisi adalah :
1. eln y = y , ∀y > 0
2. ln ex = x , ∀x ∈ R
Turunan dan integral dari eksponen natural:
( )
du
Dx eu = eu
⇔ ∫ eu du = e u + C
dx
Misal a > 0 dan x ∈ R. Didefinisikan : a x = ex ln a . Maka :
[ ]
(i) Dx a u = (ln a ) a u
(ii) ∫ a u du =
du
dx
1
au + C
ln a
Misal y =a log x =
(
)
ln x
1
. Maka Dx a log x =
.
ln a
x ln a
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
(
)
Jadi secara umum Dx a log u =
1
du
u ln a dx
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 7 ) Tentukan turunan pertama dari :
(
)
2/ 3
x 2 + 3) ( 3x + 2 ) 2
(
5. y =
1. y = ln x 2 − 5x + 6
x+1
2. y = x ln x
3. y =
x
4. y =
6. y = ln (sin x )
ln x
2
7. y + ln ( xy ) = 1
x + 13
( x − 4) 3 2 x + 1
( Nomor 8 sd 13 ) Selesaikan integral berikut :
8. ∫
4
dx
2x + 1
4
3
dx
1
−
2
x
1
12. ∫
4x + 2
9. ∫ 2
dx
x +x+5
10. ∫
2
x (ln x)
4
1
dx
1 x 1+ x
13. ∫
(
16. y =
log x
2 dx
x3
11. ∫ 2
dx
x +1
( Nomor 14 sd 16 ) Carilah y’ dari :
4
14. y = 32 x − 4 x
(
)
15. y =10 log x 2 + 9
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
)
Matematika Dasar
( Nomor 17 sd 22 ) Selesaikan integral tak tentu berikut :
(
)
2
17. ∫ x 2 x dx
20. ∫ e− x sec 2 2 − e− x dx
18. ∫ 105x−1dx
21. ∫ (cos x ) esin x dx
2
19. ∫ ( x + 3) e x + 6x dx
22. ∫ e2 ln x dx
( Nomor 23 sd 29 ) Hitung nilai integral tentu :
ln 2
23. ∫
e − 3x dx
0
e dx
1
28. ∫ e2 x + 3dx
0x+ e
0
(
)
ln 3
ex
25. ∫ 3 − ex dx
1
26.
(
)
27. ∫ ex 3 − 4e x dx
0
24. ∫
2
ln 5
2 e3 x
29. ∫ 2 dx
1 x
dx
∫ x
− ln 3 e + 4
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
FUNGSI LOGARITMA DAN EKSPONEN
Fungsi logaritma dan fungsi eksponen merupakan dua fungsi yang saling invers
dan dinyatakan sebagai :
y = b log x ⇔ x = b y ; x, b > 0
Sifat-sifat logaritma :
b
1. log 1 = 0
b
2. log b = 1
b
b
b
3. log ac = log a + log c
b
b
b
4. log a/c = log a - log c
b
r
b
5. log a = r log a
6.
b
log a =
c
log a
c
log b
Bilangan Natural
Bilangan natural dinotasikan dengan e dan didefinsikan sebagai :
(
)
x
1
e = lim ( 1 + x) x = lim 1 + 1 x = 2 ,718...
x→ 0
x→∞
Fungsi logaritma natural didefinisikan sebagai :
x1
ln x = ∫
1t
dt , x > 0
e
ln x = log x
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
[ ]
Turunan fungsi logaritma natural : Dx ln x =
[
]
Jadi secara umum : Dx ln u =
1
x
1 du
1
⇔ ∫ du = ln u + C .
u dx
u
Eksponen Natural
Fungsi eksponen natural didefinisikan sebagai inverse dari logaritma natural dan
dinotasikan :
y = ex ⇔ x = ln y
Sifat yang dapat diturunkan langsung dari definisi adalah :
1. eln y = y , ∀y > 0
2. ln ex = x , ∀x ∈ R
Turunan dan integral dari eksponen natural:
( )
du
Dx eu = eu
⇔ ∫ eu du = e u + C
dx
Misal a > 0 dan x ∈ R. Didefinisikan : a x = ex ln a . Maka :
[ ]
(i) Dx a u = (ln a ) a u
(ii) ∫ a u du =
du
dx
1
au + C
ln a
Misal y =a log x =
(
)
ln x
1
. Maka Dx a log x =
.
ln a
x ln a
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
(
)
Jadi secara umum Dx a log u =
1
du
u ln a dx
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 7 ) Tentukan turunan pertama dari :
(
)
2/ 3
x 2 + 3) ( 3x + 2 ) 2
(
5. y =
1. y = ln x 2 − 5x + 6
x+1
2. y = x ln x
3. y =
x
4. y =
6. y = ln (sin x )
ln x
2
7. y + ln ( xy ) = 1
x + 13
( x − 4) 3 2 x + 1
( Nomor 8 sd 13 ) Selesaikan integral berikut :
8. ∫
4
dx
2x + 1
4
3
dx
1
−
2
x
1
12. ∫
4x + 2
9. ∫ 2
dx
x +x+5
10. ∫
2
x (ln x)
4
1
dx
1 x 1+ x
13. ∫
(
16. y =
log x
2 dx
x3
11. ∫ 2
dx
x +1
( Nomor 14 sd 16 ) Carilah y’ dari :
4
14. y = 32 x − 4 x
(
)
15. y =10 log x 2 + 9
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
)
Matematika Dasar
( Nomor 17 sd 22 ) Selesaikan integral tak tentu berikut :
(
)
2
17. ∫ x 2 x dx
20. ∫ e− x sec 2 2 − e− x dx
18. ∫ 105x−1dx
21. ∫ (cos x ) esin x dx
2
19. ∫ ( x + 3) e x + 6x dx
22. ∫ e2 ln x dx
( Nomor 23 sd 29 ) Hitung nilai integral tentu :
ln 2
23. ∫
e − 3x dx
0
e dx
1
28. ∫ e2 x + 3dx
0x+ e
0
(
)
ln 3
ex
25. ∫ 3 − ex dx
1
26.
(
)
27. ∫ ex 3 − 4e x dx
0
24. ∫
2
ln 5
2 e3 x
29. ∫ 2 dx
1 x
dx
∫ x
− ln 3 e + 4
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung