ARTIKEL ADITYA CANDRA L M0113001
PENENTUAN PROBABILITAS ABSORPSI DAN EKSPEKTASI
DURASI PADA MASALAH KEBANGKRUTAN PENJUDI
Aditya Candra Laksmana, Respatiwulan, dan Ririn Setiyowati
Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret
Abstrak. Masalah kebangkrutan penjudi merupakan kejadian seorang penjudi mengalami kebangkrutan sampai kehilangan seluruh modal yang dimiliki. Pada permainan
judi, perubahan modal yang terjadi merupakan suatu kejadian random yang diamati
berdasarkan waktu. Probabilitas penjudi memperoleh atau kehilangan seluruh modal
disebut probabilitas absorpsi, dan nilai harapan dari banyaknya permainan sampai
penjudi menang total atau bangkrut disebut ekspektasi durasi. Probabilitas absorpsi
dan ekspektasi durasi diperoleh dari penurunan persamaan difference yang menyatakan hubungan kenaikan dan penurunan modal penjudi. Tujuan penelitian ini adalah
menentukan probabilitas absorpsi dan ekpektasi durasi pada masalah kebangkrutan
penjudi dan diterapkan pada contoh kasus. Dari penerapan kasus, dengan probabilitas
menang 0.49 dan probabilitas kalah 0.51 untuk modal awal 50, diperoleh bahwa penjudi mengalami kebangkrutan pada permainan ke-1904 dengan probabilitas absorpsi
bangkrut sebesar 0.880825.
Kata kunci: kebangkrutan penjudi, probabilitas absorpsi, ekspektasi durasi
1. PENDAHULUAN
Menurut Kartini [4], perjudian adalah kegiatan mempertaruhkan sesuatu
yang dianggap bernilai pada permainan atau kejadian yang belum pasti hasilnya. Kejadian seorang penjudi yang mengalami kehilangan semua modal sampai
habis disebut sebagai kejadian kebangkrutan penjudi. Perjudian terus berlanjut
sampai semua modal yang dimiliki penjudi habis atau mendapat seluruhnya dari
yang dipertaruhkan, sehingga salah satu dari penjudi bangkrut (Feller [3]). Perubahan modal yang terjadi pada setiap permainan judi bisa saja bertambah atau
berkurang sampai permainan berhenti. Perubahan modal dapat dipandang sebagai suatu kejadian random yang diamati berdasarkan waktu. Kejadian tersebut
merupakan kejadian khusus dari proses stokastik. Masalah kebangkrutan penjudi
merupakan rantai Markov waktu diskrit pada proses random walk. Hal tersebut
dikarenakan kondisi permainan yang berikutnya dipengaruhi oleh permainan saat
ini (Allen [1]).
El-Shehawey [2] mengembangkan masalah kebangkrutan penjudi pada rantai Markov berhingga dengan probabilitas menang atau kalah bergantung pada
jumlah modal yang dimiliki penjudi saat ini. Katriel [5] mengembangkan penentuan rumus probabilitas kebangkrutan penjudi dengan asumsi bahwa jumlah
1
Penentuan Probabilitas Absorpsi. . .
A. C. Laksmana, Respatiwulan, R. Setiyowati
modal lawan memiliki distribusi probabilitas. Pada masalah kebangkrutan penjudi, probabilitas seorang penjudi memperoleh atau kehilangan seluruh modal
yang dipertaruhkan disebut sebagai probabilitas absorpsi. Nilai harapan dari banyaknya permainan sampai penjudi memperoleh atau kehilangan seluruh modal
yang dipertaruhkan disebut sebagai ekspektasi durasi. Pada penelitian ini, dilakukan penentuan serta penerapan probabilitas absorpsi dan ekspektasi durasi
pada masalah kebangkrutan penjudi.
2. RANTAI MARKOV WAKTU DISKRIT
Menurut Allen [1], proses stokastik adalah kumpulan variabel random {Xn (s) :
n ∈ T, s ∈ S}, dengan T adalah himpunan indeks dan S adalah ruang sampel
dari variabel random. Rantai Markov waktu diskrit adalah proses stokastik dengan kejadian berikutnya hanya bergantung pada kejadian saat ini dengan ruang
sampel berhingga {0, 1, 2, ..., N } dan waktu diskrit T = {0, 1, 2, ...}. Berikut dua
definisi tentang rantai Markov waktu diskrit menurut Allen[1].
Definisi 2.1. Proses stokastik waktu diskrit {Xn } dikatakan rantai Markov waktu
diskrit jika
Prob {Xn = in |X0 = i0 , ..., Xn−1 = in−1 } = Prob {Xn = in |Xn−1 = in−1 }
Definisi 2.2. Probabilitas transisi satu langkah, pji (n), didefinisikan dengan
pji (n) = P rob{Xn+1 = j|Xn = i}
probabilitas bahwa proses berada di state j pada waktu n+1 diberikan oleh proses
di state i pada waktu n, dengan i, j = 1, 2, ... .
Probabilitas transisi berpengaruh terhadap perpindahan state yang menyatakan perubahan modal dari modal semula. Perubahan modal sampai dengan
permainan berhenti dapat dinyatakan sebagai rantai Markov yang diamati berdasarkan waktu, serta bergantung pada probabilitas transisi (Ross [6]).
3. PERSAMAAN DIFFERENCE PADA KEBANGKRUTAN PENJUDI
Pada masalah kebangkrutan penjudi, persamaan difference digunakan untuk
menentukan probabilitas absorpsi dan ekspektasi durasi. Probabilitas absorpsi
dibagi menjadi 2 yaitu ak yang menyatakan probabilitas absorpsi ketika mengalami kebangkrutan dan bk yang menyatakan probabilitas absorpsi ketika menang
total dengan nilai ak + bk =1. Mengacu pada Allen [1], diberikan persamaan
2
2017
Penentuan Probabilitas Absorpsi. . .
A. C. Laksmana, Respatiwulan, R. Setiyowati
difference dari probabilitas kebangkrutan ak , untuk k merupakan modal penjudi
dengan kϵ[0, N ]. Jika penjudi menang, maka modal menjadi k+1 dan probabilitas kebangkrutan adalah ak+1 . Jika penjudi kalah, maka modal menjadi k-1
dan probabilitas kebangkrutan adalah ak−1 . Hubungan antara ak+1 , ak , dan ak−1
diberikan dalam bentuk persamaan difference berikut
ak = pak+1 + qak−1 ,
1≤k ≤N −1
(3.1)
dengan p dan q masing-masing adalah probabilitas penjudi menang dan kalah.
Kondisi batas untuk ak adalah a0 = 1 dan aN = 0.
Seperti pada probabilitas absorpsi, persamaan difference untuk ekspektasi
durasi yang dinotasikan dengan τk dapat diturunkan. Jika penjudi menang, maka
modal menjadi k+1 dengan ekspektasi durasi adalah 1+τk+1 . Jika penjudi kalah,
maka modal menjadi k-1 dengan ekspektasi durasi adalah 1+τk−1 . Persamaan
difference untuk τk adalah
τk = p(1 + τk+1 ) + q(1 + τk−1 ),
1 ≤ k ≤ N − 1,
(3.2)
dengan kondisi batas yang diberikan adalah τ0 =0=τN . Penyelesaian dari persamaan (3.1) dan (3.2) diperoleh dengan memberikan nilai ak = λk ̸= 0 dan
τk = λk ̸= 0. Solusi untuk menyelesaikan persamaan difference dari probabilitas
absorpsi dan ekspektasi durasi dibagi menjadi 2 kasus, yaitu ketika p ̸= q dan
p = q = 1/2.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Persamaan Difference. Penentuan probabilitas absorpsi dan ekspektasi
durasi diperoleh dengan menurunkan persamaan difference (3.1) dan (3.2). Persamaan difference (3.1) untuk probabilitas absorpsi merupakan persamaan linear
orde dua, homogen serta memiliki koefisien konstan. Untuk persamaan difference
dari ekspektasi durasi telah diberikan pada persamaan (3.2). Mengingat bahwa
p + q=1, persamaan (3.2) dapat diubah ke dalam bentuk
pτk+1 − τk + qτk−1 = −1,
(4.1)
yang merupakan persamaan linear orde dua, nonhomogen, dan memiliki koefisien konstan. Penyelesaian persamaan difference nonhomogen (4.1), ditentukan
3
2017
Penentuan Probabilitas Absorpsi. . .
A. C. Laksmana, Respatiwulan, R. Setiyowati
berdasarkan persamaan difference homogen dari persamaan tersebut. Berikut
diberikan persamaan difference homogen untuk ekspektasi durasi adalah
pτk+1 − τk + qτk−1 = 0.
(4.2)
4.2. Nilai Persamaan Karakteristik. Persamaan (3.1) dan (4.2) berturutturut merupakan persamaan difference homogen dari probabilitas absorpsi dan
ekspektasi durasi. Persamaan difference homogen tersebut diselesaikan dengan
menentukan persamaan karakteristik yang diperoleh dari mensubstitusi nilai ak =
λk ̸= 0 dan τk = λk ̸= 0. Berikut adalah persamaan karakteristik untuk menyelesaikan nilai ak dan τk
pλk+1 − λk + qλk−1 = 0,
(4.3)
dengan nilai λ merupakan nilai persamaan karakteristik. Bentuk sederhana persamaan (4.3) yaitu dengan mengambil nilai k = 1, dan diperoleh persamaan
karakteristik sederhana untuk probabilitas absorpsi serta ekspektasi durasi adalah
pλ2 − λ + q = 0.
(4.4)
Penentuan nilai persamaan karakteristik dari persamaan difference homogen untuk
probabilitas absorpsi dan ekspektasi durasi diperoleh dengan mencari nilai λ1 dan
λ2 yang diterapkan pada kasus p ̸= q dan p = q = 1/2. Pada kasus p ̸= q, nilai
persamaan karakteristik (4.4), dengan mengingat p + q = 1 diperoleh nilai untuk
λ1 adalah
λ1 =
1 + (p − q)
(p + q) + (p − q)
2p
=
=
= 1,
2p
2p
2p
sedangkan nilai untuk λ2 adalah
λ2 =
1 − (p − q)
(p + q) − (p − q)
q
=
= .
2p
2p
p
Pada kasus nilai p = q = 1/2, nilai persamaan karakteristik (4.4) yaitu nilai λ1,2
diperoleh
λ1,2 =
1 ± (1/2 − 1/2)
1±0
1 ± (p − q)
=
=
= 1.
2p
2(1/2)
1
4
2017
Penentuan Probabilitas Absorpsi. . .
A. C. Laksmana, Respatiwulan, R. Setiyowati
4.3. Probabilitas Absorpsi. Persamaan difference untuk probabilitas absorpsi
diberikan pada persamaan (3.1) dan diselesaikan pada dua kasus yaitu ketika
p ̸= q dan p = q = 1/2. Ketika p ̸= q, diperoleh nilai persamaan karakteristik
(4.4) adalah λ1 = 1 dan λ2 = pq . Solusi umum untuk persamaan difference ak
adalah ak = c1 + c2 ( pq )k , dengan c1 dan c2 adalah suatu konstanta yang diperoleh
dari menerapkan kondisi batas a0 = 1 = c1 + c2 dan aN = 0 = c1 + c2 ( pq )N .
Diperoleh nilai c1 =
−( pq )N
1−( pq )N
1
,
1−( pq )N
dan c2 =
selanjutnya disubstitusi ke solusi
umum ak dan diperoleh solusi khusus untuk ak dan bk adalah
ak =
( pq )N − ( pq )k
bk =
(4.5)
( pq )N − 1
( pq )k − 1
( pq )N − 1
,
(4.6)
dengan ak + bk = 1.
Ketika p = q = 1/2, diperoleh nilai persamaan karakteristik (4.4) adalah
λ1 = λ2 = 1. Solusi umum untuk persamaan difference ak adalah ak = c1 + c2 k,
dengan c1 dan c2 adalah suatu konstanta yang diperoleh dari menerapkan kondisi
batas a0 = 1 = c1 dan aN = 0 = c1 + c2 N . Diperoleh nilai c1 = 1 dan c2 =
−1
,
N
selanjutnya disubstitusi ke solusi umum ak dan diperoleh solusi khusus untuk ak
dan bk adalah
ak =
N −k
N
(4.7)
k
.
N
(4.8)
bk =
4.4. Ekspektasi Durasi. Persamaan difference untuk ekspektasi durasi diberikan pada persamaan (4.1) dan diselesaikan untuk dua kasus. Untuk p ̸= q,
solusi umum persamaan difference homogen adalah τk = c1 + c2 ( pq )k . Selanjutnya, diberikan nilai τk = ck dengan c merupakan suatu konstanta, untuk mencari solusi umum dari persamaan nonhomogen (4.1). Nilai konstanta c dicari
1
.
q−p
c2 ( pq )k
dengan substitusi τk = ck ke persamaan (4.1), dan diperoleh c =
Solusi
umum nonhomogen untuk persamaan difference adalah τk = c1 +
+
k
.
q−p
Selanjutnya, dengan menerapkan kondisi batas diperoleh τ0 = 0 = c1 + c2 dan
N
τN = 0 = c1 +c2 ( pq )N + q−p
. Nilai dari konstanta c1 dan c2 adalah c1 =
−N
(q−p)(1−( pq )N )
dan c2 = −c1 . Berikut diperoleh solusi khusus persamaan difference nonhomogen
5
2017
Penentuan Probabilitas Absorpsi. . .
A. C. Laksmana, Respatiwulan, R. Setiyowati
untuk τk , dengan substitusi nilai c1 dan c2 ke solusi umum nonhomogen diperoleh
1 − ( pq )k
1
[k − N (
)].
τk =
q−p
1 − ( pq )N
(4.9)
Ketika nilai p = q = 1/2, solusi umum persamaan difference homogen
adalah τk = c1 + c2 k. Untuk mencari solusi umum pada persamaan nonhomogen
(4.1), diberikan nilai τk = ck 2 , dengan c merupakan suatu konstanta dan diperoleh
c = −1. Selanjutnya, nilai c = −1 disubstitusi ke τk = ck 2 dan diperoleh solusi
umum persamaan difference nonhomogen adalah τk = c1 +c2 k −k 2 . Solusi khusus
dari persamaan difference τk (4.1) diselesaikan dengan menerapkan kondisi batas
τ0 = c1 = 0 dan τN = c1 + c2 (N ) − (N )2 = 0, sehingga diperoleh nilai untuk
c1 = 0 dan c2 = N . Selanjutnya, dari substitusi nilai c1 dan c2 ke solusi umum
nonhomogen diperoleh solusi khusus persamaan difference nonhomogen adalah
τk = k(N − k).
(4.10)
4.5. Penerapan Kasus. Pada penerapan ini diberikan parameter yang mengacu pada Allen [1] yaitu modal total N = 100, modal awal yang dimiliki penjudi
k = 50, probabilitas menang p = 0.49 dan probabilitas kalah q = 0.51, untuk
menentukan nilai probabilitas absorpsi serta ekspektasi durasi. Pada permainan
judi ini diasumsikam bahwa pemain hanya 2 orang dengan probabilitas absorpsi
dan ekspektasi durasi ditinjau dari salah satu pemain. Nilai probabilitas absorpsi
terdiri atas probabilitas bangkrut ak dan probabilitas menang total bk sampai permainan berhenti. Diketahui probabilitas menang p = 0.49 dan probabilitas kalah
q = 0.51, karena p ̸= q sehingga probabilitas absorpsi ditentukan dengan persamaan (4.5) dan (4.6). Nilai probabilitas absorpsi untuk probabilitas bangkrut ak
adalah
a50
0.51 100
) − ( 0.51
)50
( 0.49
0.49
=
0.51 100
( 0.49
) −1
= 0.880825.
Dari hasil yang diperoleh, diketahui bahwa probabilitas seorang penjudi mengalami kebangkrutan pada akhir permainan adalah 0.880825. Setelah diperoleh
nilai probablitas absorpsi penjudi mengalami kebangkrutan, selanjutnya ditentukan nilai probabilitas absorpsi penjudi untuk menang total yang dinyatakan bk
6
2017
Penentuan Probabilitas Absorpsi. . .
A. C. Laksmana, Respatiwulan, R. Setiyowati
adalah
b50
( 0.51
)100 − 1
0.49
=
( 0.51
)50 − 1
0.49
= 0.119175.
Diketahui bahwa probabilitas seorang penjudi mengalami menang total pada
akhir permainan adalah 0.119175. Dari nilai probabilitas absorpsi yang telah
diperoleh, dapat disimpulkan bahwa probabilitas penjudi mengalami kebangkrutan lebih besar daripada probabilitas penjudi mengalami menang total pada akhir
permainan. Oleh karena itu, pada kasus ini diketahui bahwa penjudi mengalami
kebangkrutan pada akhir permainan.
Setelah diperoleh probabilitas absorpsi, selanjutnya ditentukan nilai harapan dari banyaknya permainan judi sampai berhenti (ekspektasi durasi). Nilai
ekspektasi durasi ditentukan dengan menerapkan persamaan (4.9) dan diperoleh
τ50 =
0.51 50
1 − ( 0.49
)
1
[50 − 100(
0.51 100 )] = 1904.
0.51 − 0.49
1 − ( 0.49 )
Untuk mengamati perubahan banyaknya modal setiap permainan serta ekspektasi durasi permainan telah diberikan pada Gambar 1.
Gambar 1. Perubahan modal setiap permainan dan ekspektasi durasi
Berdasarkan Gambar 1, menunjukkan perubahan modal untuk setiap permainan, dengan setiap kali menang atau kalah mengakibatkan modal yang berfluktuasi naik atau turun. Ketika penjudi menang, modal yang dimiliki bertambah sebesar 1. Demikian pula ketika penjudi kalah, modal yang dimiliki
berkurang sebesar 1. Ketika modal mencapai titik 0 menyatakan seorang penjudi mengalami suatu kebangkrutan. Hal ini dikarenakan modal yang dimiliki
penjudi telah habis, sehingga permainan berhenti. Perubahan modal yang diperoleh, dipengaruhi oleh probabilitas menang dan kalah untuk setiap permainan.
7
2017
Penentuan Probabilitas Absorpsi. . .
A. C. Laksmana, Respatiwulan, R. Setiyowati
Pada penerapan kasus ini, penjudi mengalami kebangkrutan pada permainan ke1904 dengan modal awal yang dimiliki sebesar k = 50 dan probabilitas absorpsi
bangkrut sebesar a50 = 0.880825.
5. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang dilakukan dapat diambil dua kesimpulan.
(1) Probabilitas absorpsi kebangkrutan (ak ) dan menang total (bk ) untuk p ̸=
q dinyatakan dengan ak =
( pq )N −( pq )k
( pq )N −1
dan bk =
p = q = 1/2 dinyatakan dengan ak =
N −k
N
( pq )k −1
( pq )N −1
, sedangkan untuk
dan bk =
ekspektasi durasi untuk p ̸= q dinyatakan dengan τk =
k
.
N
Selanjutnya,
1−( pq )k
1
[k−N
(
)],
q−p
1−( pq )N
sedangkan untuk p = q = 1/2 dinyatakan dengan τk = k(N − k).
(2) Dari penerapan kasus yang mengacu pada Allen [1], diketahui modal total
N = 100, modal awal penjudi k = 50, probabilitas menang p = 0.49,
dan probabilitas kalah q = 0.51. Probabilitas absorpsi untuk bangkrut
adalah a50 = 0.880825 dan menang total adalah b50 = 0.119175, serta
ekspektasi durasi τ50 = 1904. Pada kasus ini, permainan judi berhenti
pada permainan ke-1904, dan pemain judi mengalami kebangkrutan dari
modal awal yang dimiliki adalah 50 menjadi 0.
DAFTAR PUSTAKA
1. Allen, L.J.S., An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology, Prentice
Hall, Upper Saddle River, N.J., 2003.
2. El-Shehawey, M.A., On the Gamblers Ruin Problem for a Finite Markov Chain, Statistics
and Probability Letters 79 (2009), 1590–1595.
3. Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications, third ed., vol. 1,
Wiley, New York, 1968.
4. Kartini, K., Patologi Sosial, Rajagrafindo Press, Jakarta, 2003.
5. Katriel, G., Gambler’s Ruin- A General Formula, Probability Letters 83 (2013), no. 10,
2205–2210.
6. Ross, S., A First Course in Probability, eighth ed., Pearson Prentice Hall, Upper Saddle
River, N.J., 2010.
8
2017
DURASI PADA MASALAH KEBANGKRUTAN PENJUDI
Aditya Candra Laksmana, Respatiwulan, dan Ririn Setiyowati
Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret
Abstrak. Masalah kebangkrutan penjudi merupakan kejadian seorang penjudi mengalami kebangkrutan sampai kehilangan seluruh modal yang dimiliki. Pada permainan
judi, perubahan modal yang terjadi merupakan suatu kejadian random yang diamati
berdasarkan waktu. Probabilitas penjudi memperoleh atau kehilangan seluruh modal
disebut probabilitas absorpsi, dan nilai harapan dari banyaknya permainan sampai
penjudi menang total atau bangkrut disebut ekspektasi durasi. Probabilitas absorpsi
dan ekspektasi durasi diperoleh dari penurunan persamaan difference yang menyatakan hubungan kenaikan dan penurunan modal penjudi. Tujuan penelitian ini adalah
menentukan probabilitas absorpsi dan ekpektasi durasi pada masalah kebangkrutan
penjudi dan diterapkan pada contoh kasus. Dari penerapan kasus, dengan probabilitas
menang 0.49 dan probabilitas kalah 0.51 untuk modal awal 50, diperoleh bahwa penjudi mengalami kebangkrutan pada permainan ke-1904 dengan probabilitas absorpsi
bangkrut sebesar 0.880825.
Kata kunci: kebangkrutan penjudi, probabilitas absorpsi, ekspektasi durasi
1. PENDAHULUAN
Menurut Kartini [4], perjudian adalah kegiatan mempertaruhkan sesuatu
yang dianggap bernilai pada permainan atau kejadian yang belum pasti hasilnya. Kejadian seorang penjudi yang mengalami kehilangan semua modal sampai
habis disebut sebagai kejadian kebangkrutan penjudi. Perjudian terus berlanjut
sampai semua modal yang dimiliki penjudi habis atau mendapat seluruhnya dari
yang dipertaruhkan, sehingga salah satu dari penjudi bangkrut (Feller [3]). Perubahan modal yang terjadi pada setiap permainan judi bisa saja bertambah atau
berkurang sampai permainan berhenti. Perubahan modal dapat dipandang sebagai suatu kejadian random yang diamati berdasarkan waktu. Kejadian tersebut
merupakan kejadian khusus dari proses stokastik. Masalah kebangkrutan penjudi
merupakan rantai Markov waktu diskrit pada proses random walk. Hal tersebut
dikarenakan kondisi permainan yang berikutnya dipengaruhi oleh permainan saat
ini (Allen [1]).
El-Shehawey [2] mengembangkan masalah kebangkrutan penjudi pada rantai Markov berhingga dengan probabilitas menang atau kalah bergantung pada
jumlah modal yang dimiliki penjudi saat ini. Katriel [5] mengembangkan penentuan rumus probabilitas kebangkrutan penjudi dengan asumsi bahwa jumlah
1
Penentuan Probabilitas Absorpsi. . .
A. C. Laksmana, Respatiwulan, R. Setiyowati
modal lawan memiliki distribusi probabilitas. Pada masalah kebangkrutan penjudi, probabilitas seorang penjudi memperoleh atau kehilangan seluruh modal
yang dipertaruhkan disebut sebagai probabilitas absorpsi. Nilai harapan dari banyaknya permainan sampai penjudi memperoleh atau kehilangan seluruh modal
yang dipertaruhkan disebut sebagai ekspektasi durasi. Pada penelitian ini, dilakukan penentuan serta penerapan probabilitas absorpsi dan ekspektasi durasi
pada masalah kebangkrutan penjudi.
2. RANTAI MARKOV WAKTU DISKRIT
Menurut Allen [1], proses stokastik adalah kumpulan variabel random {Xn (s) :
n ∈ T, s ∈ S}, dengan T adalah himpunan indeks dan S adalah ruang sampel
dari variabel random. Rantai Markov waktu diskrit adalah proses stokastik dengan kejadian berikutnya hanya bergantung pada kejadian saat ini dengan ruang
sampel berhingga {0, 1, 2, ..., N } dan waktu diskrit T = {0, 1, 2, ...}. Berikut dua
definisi tentang rantai Markov waktu diskrit menurut Allen[1].
Definisi 2.1. Proses stokastik waktu diskrit {Xn } dikatakan rantai Markov waktu
diskrit jika
Prob {Xn = in |X0 = i0 , ..., Xn−1 = in−1 } = Prob {Xn = in |Xn−1 = in−1 }
Definisi 2.2. Probabilitas transisi satu langkah, pji (n), didefinisikan dengan
pji (n) = P rob{Xn+1 = j|Xn = i}
probabilitas bahwa proses berada di state j pada waktu n+1 diberikan oleh proses
di state i pada waktu n, dengan i, j = 1, 2, ... .
Probabilitas transisi berpengaruh terhadap perpindahan state yang menyatakan perubahan modal dari modal semula. Perubahan modal sampai dengan
permainan berhenti dapat dinyatakan sebagai rantai Markov yang diamati berdasarkan waktu, serta bergantung pada probabilitas transisi (Ross [6]).
3. PERSAMAAN DIFFERENCE PADA KEBANGKRUTAN PENJUDI
Pada masalah kebangkrutan penjudi, persamaan difference digunakan untuk
menentukan probabilitas absorpsi dan ekspektasi durasi. Probabilitas absorpsi
dibagi menjadi 2 yaitu ak yang menyatakan probabilitas absorpsi ketika mengalami kebangkrutan dan bk yang menyatakan probabilitas absorpsi ketika menang
total dengan nilai ak + bk =1. Mengacu pada Allen [1], diberikan persamaan
2
2017
Penentuan Probabilitas Absorpsi. . .
A. C. Laksmana, Respatiwulan, R. Setiyowati
difference dari probabilitas kebangkrutan ak , untuk k merupakan modal penjudi
dengan kϵ[0, N ]. Jika penjudi menang, maka modal menjadi k+1 dan probabilitas kebangkrutan adalah ak+1 . Jika penjudi kalah, maka modal menjadi k-1
dan probabilitas kebangkrutan adalah ak−1 . Hubungan antara ak+1 , ak , dan ak−1
diberikan dalam bentuk persamaan difference berikut
ak = pak+1 + qak−1 ,
1≤k ≤N −1
(3.1)
dengan p dan q masing-masing adalah probabilitas penjudi menang dan kalah.
Kondisi batas untuk ak adalah a0 = 1 dan aN = 0.
Seperti pada probabilitas absorpsi, persamaan difference untuk ekspektasi
durasi yang dinotasikan dengan τk dapat diturunkan. Jika penjudi menang, maka
modal menjadi k+1 dengan ekspektasi durasi adalah 1+τk+1 . Jika penjudi kalah,
maka modal menjadi k-1 dengan ekspektasi durasi adalah 1+τk−1 . Persamaan
difference untuk τk adalah
τk = p(1 + τk+1 ) + q(1 + τk−1 ),
1 ≤ k ≤ N − 1,
(3.2)
dengan kondisi batas yang diberikan adalah τ0 =0=τN . Penyelesaian dari persamaan (3.1) dan (3.2) diperoleh dengan memberikan nilai ak = λk ̸= 0 dan
τk = λk ̸= 0. Solusi untuk menyelesaikan persamaan difference dari probabilitas
absorpsi dan ekspektasi durasi dibagi menjadi 2 kasus, yaitu ketika p ̸= q dan
p = q = 1/2.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Persamaan Difference. Penentuan probabilitas absorpsi dan ekspektasi
durasi diperoleh dengan menurunkan persamaan difference (3.1) dan (3.2). Persamaan difference (3.1) untuk probabilitas absorpsi merupakan persamaan linear
orde dua, homogen serta memiliki koefisien konstan. Untuk persamaan difference
dari ekspektasi durasi telah diberikan pada persamaan (3.2). Mengingat bahwa
p + q=1, persamaan (3.2) dapat diubah ke dalam bentuk
pτk+1 − τk + qτk−1 = −1,
(4.1)
yang merupakan persamaan linear orde dua, nonhomogen, dan memiliki koefisien konstan. Penyelesaian persamaan difference nonhomogen (4.1), ditentukan
3
2017
Penentuan Probabilitas Absorpsi. . .
A. C. Laksmana, Respatiwulan, R. Setiyowati
berdasarkan persamaan difference homogen dari persamaan tersebut. Berikut
diberikan persamaan difference homogen untuk ekspektasi durasi adalah
pτk+1 − τk + qτk−1 = 0.
(4.2)
4.2. Nilai Persamaan Karakteristik. Persamaan (3.1) dan (4.2) berturutturut merupakan persamaan difference homogen dari probabilitas absorpsi dan
ekspektasi durasi. Persamaan difference homogen tersebut diselesaikan dengan
menentukan persamaan karakteristik yang diperoleh dari mensubstitusi nilai ak =
λk ̸= 0 dan τk = λk ̸= 0. Berikut adalah persamaan karakteristik untuk menyelesaikan nilai ak dan τk
pλk+1 − λk + qλk−1 = 0,
(4.3)
dengan nilai λ merupakan nilai persamaan karakteristik. Bentuk sederhana persamaan (4.3) yaitu dengan mengambil nilai k = 1, dan diperoleh persamaan
karakteristik sederhana untuk probabilitas absorpsi serta ekspektasi durasi adalah
pλ2 − λ + q = 0.
(4.4)
Penentuan nilai persamaan karakteristik dari persamaan difference homogen untuk
probabilitas absorpsi dan ekspektasi durasi diperoleh dengan mencari nilai λ1 dan
λ2 yang diterapkan pada kasus p ̸= q dan p = q = 1/2. Pada kasus p ̸= q, nilai
persamaan karakteristik (4.4), dengan mengingat p + q = 1 diperoleh nilai untuk
λ1 adalah
λ1 =
1 + (p − q)
(p + q) + (p − q)
2p
=
=
= 1,
2p
2p
2p
sedangkan nilai untuk λ2 adalah
λ2 =
1 − (p − q)
(p + q) − (p − q)
q
=
= .
2p
2p
p
Pada kasus nilai p = q = 1/2, nilai persamaan karakteristik (4.4) yaitu nilai λ1,2
diperoleh
λ1,2 =
1 ± (1/2 − 1/2)
1±0
1 ± (p − q)
=
=
= 1.
2p
2(1/2)
1
4
2017
Penentuan Probabilitas Absorpsi. . .
A. C. Laksmana, Respatiwulan, R. Setiyowati
4.3. Probabilitas Absorpsi. Persamaan difference untuk probabilitas absorpsi
diberikan pada persamaan (3.1) dan diselesaikan pada dua kasus yaitu ketika
p ̸= q dan p = q = 1/2. Ketika p ̸= q, diperoleh nilai persamaan karakteristik
(4.4) adalah λ1 = 1 dan λ2 = pq . Solusi umum untuk persamaan difference ak
adalah ak = c1 + c2 ( pq )k , dengan c1 dan c2 adalah suatu konstanta yang diperoleh
dari menerapkan kondisi batas a0 = 1 = c1 + c2 dan aN = 0 = c1 + c2 ( pq )N .
Diperoleh nilai c1 =
−( pq )N
1−( pq )N
1
,
1−( pq )N
dan c2 =
selanjutnya disubstitusi ke solusi
umum ak dan diperoleh solusi khusus untuk ak dan bk adalah
ak =
( pq )N − ( pq )k
bk =
(4.5)
( pq )N − 1
( pq )k − 1
( pq )N − 1
,
(4.6)
dengan ak + bk = 1.
Ketika p = q = 1/2, diperoleh nilai persamaan karakteristik (4.4) adalah
λ1 = λ2 = 1. Solusi umum untuk persamaan difference ak adalah ak = c1 + c2 k,
dengan c1 dan c2 adalah suatu konstanta yang diperoleh dari menerapkan kondisi
batas a0 = 1 = c1 dan aN = 0 = c1 + c2 N . Diperoleh nilai c1 = 1 dan c2 =
−1
,
N
selanjutnya disubstitusi ke solusi umum ak dan diperoleh solusi khusus untuk ak
dan bk adalah
ak =
N −k
N
(4.7)
k
.
N
(4.8)
bk =
4.4. Ekspektasi Durasi. Persamaan difference untuk ekspektasi durasi diberikan pada persamaan (4.1) dan diselesaikan untuk dua kasus. Untuk p ̸= q,
solusi umum persamaan difference homogen adalah τk = c1 + c2 ( pq )k . Selanjutnya, diberikan nilai τk = ck dengan c merupakan suatu konstanta, untuk mencari solusi umum dari persamaan nonhomogen (4.1). Nilai konstanta c dicari
1
.
q−p
c2 ( pq )k
dengan substitusi τk = ck ke persamaan (4.1), dan diperoleh c =
Solusi
umum nonhomogen untuk persamaan difference adalah τk = c1 +
+
k
.
q−p
Selanjutnya, dengan menerapkan kondisi batas diperoleh τ0 = 0 = c1 + c2 dan
N
τN = 0 = c1 +c2 ( pq )N + q−p
. Nilai dari konstanta c1 dan c2 adalah c1 =
−N
(q−p)(1−( pq )N )
dan c2 = −c1 . Berikut diperoleh solusi khusus persamaan difference nonhomogen
5
2017
Penentuan Probabilitas Absorpsi. . .
A. C. Laksmana, Respatiwulan, R. Setiyowati
untuk τk , dengan substitusi nilai c1 dan c2 ke solusi umum nonhomogen diperoleh
1 − ( pq )k
1
[k − N (
)].
τk =
q−p
1 − ( pq )N
(4.9)
Ketika nilai p = q = 1/2, solusi umum persamaan difference homogen
adalah τk = c1 + c2 k. Untuk mencari solusi umum pada persamaan nonhomogen
(4.1), diberikan nilai τk = ck 2 , dengan c merupakan suatu konstanta dan diperoleh
c = −1. Selanjutnya, nilai c = −1 disubstitusi ke τk = ck 2 dan diperoleh solusi
umum persamaan difference nonhomogen adalah τk = c1 +c2 k −k 2 . Solusi khusus
dari persamaan difference τk (4.1) diselesaikan dengan menerapkan kondisi batas
τ0 = c1 = 0 dan τN = c1 + c2 (N ) − (N )2 = 0, sehingga diperoleh nilai untuk
c1 = 0 dan c2 = N . Selanjutnya, dari substitusi nilai c1 dan c2 ke solusi umum
nonhomogen diperoleh solusi khusus persamaan difference nonhomogen adalah
τk = k(N − k).
(4.10)
4.5. Penerapan Kasus. Pada penerapan ini diberikan parameter yang mengacu pada Allen [1] yaitu modal total N = 100, modal awal yang dimiliki penjudi
k = 50, probabilitas menang p = 0.49 dan probabilitas kalah q = 0.51, untuk
menentukan nilai probabilitas absorpsi serta ekspektasi durasi. Pada permainan
judi ini diasumsikam bahwa pemain hanya 2 orang dengan probabilitas absorpsi
dan ekspektasi durasi ditinjau dari salah satu pemain. Nilai probabilitas absorpsi
terdiri atas probabilitas bangkrut ak dan probabilitas menang total bk sampai permainan berhenti. Diketahui probabilitas menang p = 0.49 dan probabilitas kalah
q = 0.51, karena p ̸= q sehingga probabilitas absorpsi ditentukan dengan persamaan (4.5) dan (4.6). Nilai probabilitas absorpsi untuk probabilitas bangkrut ak
adalah
a50
0.51 100
) − ( 0.51
)50
( 0.49
0.49
=
0.51 100
( 0.49
) −1
= 0.880825.
Dari hasil yang diperoleh, diketahui bahwa probabilitas seorang penjudi mengalami kebangkrutan pada akhir permainan adalah 0.880825. Setelah diperoleh
nilai probablitas absorpsi penjudi mengalami kebangkrutan, selanjutnya ditentukan nilai probabilitas absorpsi penjudi untuk menang total yang dinyatakan bk
6
2017
Penentuan Probabilitas Absorpsi. . .
A. C. Laksmana, Respatiwulan, R. Setiyowati
adalah
b50
( 0.51
)100 − 1
0.49
=
( 0.51
)50 − 1
0.49
= 0.119175.
Diketahui bahwa probabilitas seorang penjudi mengalami menang total pada
akhir permainan adalah 0.119175. Dari nilai probabilitas absorpsi yang telah
diperoleh, dapat disimpulkan bahwa probabilitas penjudi mengalami kebangkrutan lebih besar daripada probabilitas penjudi mengalami menang total pada akhir
permainan. Oleh karena itu, pada kasus ini diketahui bahwa penjudi mengalami
kebangkrutan pada akhir permainan.
Setelah diperoleh probabilitas absorpsi, selanjutnya ditentukan nilai harapan dari banyaknya permainan judi sampai berhenti (ekspektasi durasi). Nilai
ekspektasi durasi ditentukan dengan menerapkan persamaan (4.9) dan diperoleh
τ50 =
0.51 50
1 − ( 0.49
)
1
[50 − 100(
0.51 100 )] = 1904.
0.51 − 0.49
1 − ( 0.49 )
Untuk mengamati perubahan banyaknya modal setiap permainan serta ekspektasi durasi permainan telah diberikan pada Gambar 1.
Gambar 1. Perubahan modal setiap permainan dan ekspektasi durasi
Berdasarkan Gambar 1, menunjukkan perubahan modal untuk setiap permainan, dengan setiap kali menang atau kalah mengakibatkan modal yang berfluktuasi naik atau turun. Ketika penjudi menang, modal yang dimiliki bertambah sebesar 1. Demikian pula ketika penjudi kalah, modal yang dimiliki
berkurang sebesar 1. Ketika modal mencapai titik 0 menyatakan seorang penjudi mengalami suatu kebangkrutan. Hal ini dikarenakan modal yang dimiliki
penjudi telah habis, sehingga permainan berhenti. Perubahan modal yang diperoleh, dipengaruhi oleh probabilitas menang dan kalah untuk setiap permainan.
7
2017
Penentuan Probabilitas Absorpsi. . .
A. C. Laksmana, Respatiwulan, R. Setiyowati
Pada penerapan kasus ini, penjudi mengalami kebangkrutan pada permainan ke1904 dengan modal awal yang dimiliki sebesar k = 50 dan probabilitas absorpsi
bangkrut sebesar a50 = 0.880825.
5. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang dilakukan dapat diambil dua kesimpulan.
(1) Probabilitas absorpsi kebangkrutan (ak ) dan menang total (bk ) untuk p ̸=
q dinyatakan dengan ak =
( pq )N −( pq )k
( pq )N −1
dan bk =
p = q = 1/2 dinyatakan dengan ak =
N −k
N
( pq )k −1
( pq )N −1
, sedangkan untuk
dan bk =
ekspektasi durasi untuk p ̸= q dinyatakan dengan τk =
k
.
N
Selanjutnya,
1−( pq )k
1
[k−N
(
)],
q−p
1−( pq )N
sedangkan untuk p = q = 1/2 dinyatakan dengan τk = k(N − k).
(2) Dari penerapan kasus yang mengacu pada Allen [1], diketahui modal total
N = 100, modal awal penjudi k = 50, probabilitas menang p = 0.49,
dan probabilitas kalah q = 0.51. Probabilitas absorpsi untuk bangkrut
adalah a50 = 0.880825 dan menang total adalah b50 = 0.119175, serta
ekspektasi durasi τ50 = 1904. Pada kasus ini, permainan judi berhenti
pada permainan ke-1904, dan pemain judi mengalami kebangkrutan dari
modal awal yang dimiliki adalah 50 menjadi 0.
DAFTAR PUSTAKA
1. Allen, L.J.S., An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology, Prentice
Hall, Upper Saddle River, N.J., 2003.
2. El-Shehawey, M.A., On the Gamblers Ruin Problem for a Finite Markov Chain, Statistics
and Probability Letters 79 (2009), 1590–1595.
3. Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications, third ed., vol. 1,
Wiley, New York, 1968.
4. Kartini, K., Patologi Sosial, Rajagrafindo Press, Jakarta, 2003.
5. Katriel, G., Gambler’s Ruin- A General Formula, Probability Letters 83 (2013), no. 10,
2205–2210.
6. Ross, S., A First Course in Probability, eighth ed., Pearson Prentice Hall, Upper Saddle
River, N.J., 2010.
8
2017