07 Menggambar dan Menghitung Sudut

GEOMETRI RUANG

D. Menggambar dan Menghitung Sudut dalam Ruang
Sudut dalam dimensi tiga mengambil dasar pada sudut antara dua garis yang
berpotongan.
g
Yang dimaksud dengan sudut antara
dua garis yang berpotongan adalah
α
sudut terkecil yang dibentuk oleh
kedua garis tersebut.
h
Sebagai contoh
01. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm terdapat titik P perpotongan
diagonal EG dan HF. Tentukanlah besar sudut antara AP dan AC
Jawab
PQ = 8 cm
P

1
1

AQ = AC = ( 8 2 ) = 4 2 cm
2
2
Maka
PQ
Tan α =
AQ
Tan α =

8

x

8 2
8 2
Tan α =
x
16
1
2

Tan α =
2
Jadi α =

2
2

α

Q

Sedangkan sudut-sudut yang lain adalah sudut antara dua garis yang bersilangan,
sudu antara garis dan bidang serta sudut antara dua bidang yang berpotongan,
Uraian selengkapnya akan dijelaskan sebagai berikut :

Geometri Ruang

1

(1) Sudut antara dua garis yang bersilangan

Sudut antara garis g dan h yang
bersilangan adalah sudut antara
garis g’ dan h, dimana g’ adalah
proyeksi g pada bidang W dan
garis h terletak pada bidang W

g

h

α

g'

W

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini
02. Pada kubusABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, tentukanlah sudut antara AH dan FC

Jawab

AH digeser menjadi BG
Sehingga α = 450

α

03. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukanlah sudut antara AC dan FD
Jawab
AC digeser menjadi MN
H
Sehingga α = 900
P
F
E

α

G

N

M
C

D
A

Geometri Ruang

Q

B

2

04. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukanlah sudut antara AH dan DB
Jawab
AH digeser menjadi BG sehingga
terbentuk segitiga sam sisi BDG.
Jadi α = 60

α

(2) Sudut antara garis dan bidang

g

Jika garis g tidak tegak lurus pada
bidang V maka sudut antara garis
g dan bidang V adalah sudut
lancip yang dibentuk oleh garis g
dengan proyeksi garis g pada
bidang V

V

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini
05. Pada kubus ABCD.EFGH tentukanlah besar sudut antara AH dan bidang BDHF !
Jawab
Misalkan panjang rusuk 6 cm, maka
H

G
Pada segitiga APH berlaku :
AP =

1
1
AC = ( 6 2 ) = 3 2 cm
2
2

E

F

α

AH = 6 2 cm
Jadi
AP
sin α =

AH
sin α =

3 2

6 2
1
sin α =
Sehingga α = 300
2

Geometri Ruang

C

D
A

P
B

3

06. Pada kubus ABCD.EFGH, misalkan α adalah sudut antara EC dan BDHF,
tentukanlah nilai sin α
Jawab
Misalkan panjang rusuk 6 cm, maka
H
G
Pada segitiga EPQ berlaku :
P
F
1
1
E
EP = EG = ( 6 2 ) = 3 2 cm
2
2
1
1

α
EQ = EC = ( 6 3 ) = 3 3 cm
2
2
Q
EP
Jadi sin α =
EQ
C
D
3 2
3
sin α =
x
3 3
3
A
B
1
6

sin α =
3

(3) Sudut antara dua Bidang

Sudut antara dua bidang V dan W
yang berpotongan menurut garis s
adalah sudut antara garis a dan b
yang berpotongan di P pada garis
s dimana a pada V dan a tegak
lurus pada s, sedangkan b pada W
dan b tegak lurus pula s

W
s
V

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini
07. Pada kubus ABCD.EFGH, misalkan α adalah sudut antara bidang ACF dan
ABCD, tentukanlah nilai cos α
Jawab
Misalkan panjang rusuk 6 cm, maka
Pada segitiga BPF berlaku
BF = 6 cm
1
1
BP = BD = ( 6 2 ) = 3 2 cm
2
2
Maka
PF =
PF =
PF =
Jadi

Geometri Ruang

PB2  BF 2

(6)  (3 2 )
2

α
P
2

36  18 = 54 = 3 6
BP
cos α =
PF
4

cos α =
cos α =

3 2
3 6

x

6
6

12
2 3
1
3
=
=
3
6
6

08. Pada kubus ABCD.EFGH, misalkan α adalah sudut antara bidang BDE dan
BDG, tentukanlah nilai cos α
Jawab
H
G
Misalkan panjang rusuk 6 cm, maka
Pada segitiga EPG berlaku
F
E
EG = 6 2 cm
EP =
EP =

AP 2  AE 2

(3 2 ) 2  6 2

EP =

(3 2 ) 2  6 2

EP =

54 = 3 6 cm

GP = EP = 3 6 cm
Maka menurut aturan cosinus :
EG2 = EP2 + GP2 – 2.EP.GP.cos α

α
P

A

( 6 2 )2 = ( 3 6 )2 + ( 3 6 )2 – 2.( 3 6 )( 3 6 )cos α
72 = 54 + 54 – 108.cos α
72 = 108 – 108.cos α
108.cos α = 108 – 72
36
cos α =
108
36
cos α =
108
1
cos α =
3

Geometri Ruang

C

D
B
6 2

E

3 6

G

3 6

α
P

5