DIMENSI TIGA dimensi gua potro (1)
-1-
DIMENSI TIGA
1. MENGGAMBAR BANGUN RUANG
1. UNSUR-UNSUR DALAM BANGUN RUANG
a. Titik
Sesuatu yang abstrak yang hanya dapat dibayangkan keberadaannya. Titik tidak
berbentuk dan tidak mempunyai ukuran. Notasi sebuah titik dengan menggunakan
huruf besar, misalnya : A, B, C dan sebagainya. Titik tidak mempunyai dimensi.
b. Garis
Himpunan titik-titik yang mempunyai panjang, tetapi tidak mempunyai luas atau
volume. Yang dimaksud garis yaitu garis lurus. Notasi sebuah garis dengan huruf
kecil. Misalnya : g, k, l dan sebagainya. Garis berdimensi satu.
c. Bidang
Himpunan titik-titik yang mempunyai panjang dan luas, tetapi tidak mempunyai
volume. Yang dimaksud bidang adalah bidang datar. Notasi bidang biasanya dengan
huruf Yunani. Misalnya : , , dan sebagainya. Bidang berdimensi dua.
d. Bangun Ruang
Himpunan titik-titik yang mempunyai panjang, luas dan volume. Notasi bangun ruang
dengan menggunakan huruf besar dan titik. Misalnya : T.ABCD, ABCD.EFGH dan
sebagainya.
2. BANGUN-BANGUN RUANG
2.1 KUBUS DAN BALOK
Pada kubus dan balok terdapat :
- Bidang Frontal
: bidang yang sejajar dengan bidang proyeksi (bidang gambar)
- Bidang Orthogonal
: bidang yang tegak lurus terhadap bidang frontal
- Sudut Surut
: sudut yang dibentuk oleh garis orthogonal dan horizontal
- Perbandingan Proyeksi : perbandingan antara panjang garis orthogonal hasil proyeksi
dengan panjang garis orthogonal sebenarnya.
H
E
A
G
F
D
B
C
Kubus di samping disebut kubus ABCD.EFGH atau
EFGH
ABCD
ABFE dan DCGH disebut bidang Frontal
ADHE dan BCGF disebut bidang Orthogonal
AB, DC, HG, EF disebut garis Horisontal
AD, BC, FG, EH disebut garis Orthogonal
DAB HEF disebut sudut surut
Perbandingan proyeksi :
panjang proyeksi AD
panjang AD sebenarnya
Pada gambar di bawah ini :
H
Bidang frontal : ACGF
Dimensi Tiga
-2-
E
T
F
A
G
Bidang Orthogonal : BDHF
DSC HTG sudut surut
C
Perbandingan proyeksi :
D
S
panjang proyeksi ED
panjang SD sebenarnya
B
H
E
F
D
A
G
C
EBCH disebut bidang diagonal
AF disebut diagonal bidang
EC disebut diagonal ruang
A, B, C, D disebut titik sudut
B
Cara melukis kubus atau balok:
1. Lukis bidang frontal
2. Lukis sudut surut
3. Tentukan panjang garis orthogonal
4. Selesaikan rusuk-rusuk yang lain dengan menarik garis-garis yang sejajar
Contoh 1: Lukis kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 3 cm dengan ABFE sebagai
bidang frontal, AB garis horizontal, sudut surutnya 60 dan perbandingan proyeksi
2/3.
Jawab
:
LATIHAN SOAL
1. Pada kubus atau balok, berapa jumlah :
a. Titik sudut (T)
b. Bidang/sisi (S)
c. Rusuk (R)
d. Selidiki apakah berlaku rumus Euler : S + T = R + 2
e.
2. Pada kubus ABCD.EFGH, sebutkan :
a. Diagonal bidang
b. Diagonal ruang
c. Bidang diagonal
3. Gambarlah kubus ABCD.EFGH yang rusuknya 4 cm. Bidang ABFE frontal, AB horizontal,
sudut surut 60 dan perbandingan proyeksi 1/2.
4. Pada soal no. 3, gambarlah jika sudut surutnya 120 dan perbandingan proyeksi 1/4
5. Gambarlah kubus ABCD.EFGH yang rusuknya 3 cm, ACGE frontal, AC horizontal, sudut
surut 45 dan perbandingan proyeksi 1/2
6. Pada kubus dan balok, berapa banyak simetri cermin dan simetri putarnya ?
2.2 LUAS PERMUKAAN DAN VOLUME KUBUS DAN BALOK
1. Diagonal bidang dan diagonal ruang pada kubus
Suatu kubus yang rusuknya s, maka :
Diagonal Bidang (DB) = s 2
Dimensi Tiga
-3-
Diagonal Ruang (DR) = s 3
2. Luas Permukaan dan Volume Kubus
Suatu kubus yang rusuknya s, maka :
Luas Permukaan (LP) = 6s 2
V o l u m e (V)
= s3
3. Diagonal Ruang, Luas Permukaan dan Volume Balok
Suatu balok yang berukuran p x l x t, maka :
Diagonal Ruang (DR) = p 2 l 2 t 2
Luas Permukaan (LP) = 2(pl + pt + lt)
V o l u m e (V)
= p.l.t
Contoh 1: Suatu kubus rusuknya 6 cm. Tentukan :
a. Diagonal Bidang
b. Diagonal Ruang
c. Luas Permukaan
d. Volume
Jawab
:
a. Diagonal Bidang = …
b. Diagonal Ruang = …
c. Luas Permukaan = …
d. Volume = …
Contoh 2: Suatu balok ABCD.EFGH diketahui p = 5 cm, l = 4 cm dan t = 3 cm. Tentukan :
a. Diagonal Ruang
b. Luas Permukaan
c. Volume
Jawab
:
a. Diagonal Ruang = …
b. Luas Permukaan = …
c. Volume = …
Contoh 3: Suatu balok diketahui p : l : t = 4 : 3 : 2. Jika volumenya 192 cm 3 dan luas
permukaannya 208 cm 2 maka tentukan p, l dan t
Jawab
: Misal p = 4x , l = 3x dan t = 2x
Volume = p.l.t
192 = …
=…
x=…
Jadi p = …
l=…
t= …
LATIHAN SOAL
1. Suatu kubus diketahui rusuknya 10 cm. Tentukan :
a. DB
b. DR
c. LP
d. V
2. Suatu kubus diketahui panjang diagonal bidangnya 8 cm. Tentukan :
a. DR
b. LP
c. V
3. Suatu kubus luas permukaannya 150 cm 2 . Tentukan :
a. DB
b. DR
c. V
Dimensi Tiga
-4-
4. Suatu balok berukuran p = 8, l = 6 dan t = 5. Tentukan :
a. DR
b. LP
c. V
5. Suatu balok diketahui p : l : t = 3 : 2 : 1. Jika luas permukaannya 352 cm 2 , maka
tentukan volumenya !
6. Suatu balok diketahui p : l : t = 5 : 4 : 2. Jika volumenya 320 cm 3 , maka tentukan luas
permukaannya !
7. Pada suatu tempat berbentuk balok berukuran p = 12 cm, l = 10 cm dan t = 4 cm berisi
penuh dengan air. Jika dimasukkan benda padat berbentuk kubus yang berusuk 6 cm,
maka tentukan volume sisa air di bak !
2.3 PRISMA
Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua buah bidang datar yang sejajar dan
oleh lebih dari dua buah bidang datar yang berpotongan menurut garis-garis yang
sejajar.
Suatu prisma disebut prisma tegak jika rusuk tegaknya berdiri tegak lurus pada bidang
alas/ bidang atas. Jika tidak tegak lurus maka disebut prisma miring/condong.
Nama sebuah prisma tergantung pada bentuk alasnya. Jadi ada prisma segi tiga, prisma
segi empat dan seterusnya.
Prisma beraturan yaitu prisma tegak yang bidang alasnya berbentuk segi n beraturan.
Misal prisma segi-3 berikut :
F
Bidang atas
D
E
C
Bidang tegak
Rusuk tegak
Bidang alas
A
B
Luas Permukaan Prisma = Luas alas + Luas atas + Luas selubung
= 2 Luas alas + Luas selubung
Luas selubung Prisma
= rusuk tegak x keliling alas
Volume Prisma
= Luas alas x tinggi
Contoh 1: Suatu prisma segi 4 beraturan dengan rusuk alas 4 cm dan tingginya 5 cm.
Tentukan :
a. Luas selubung
b. Luas Permukaan
c. Volume
d.
Jawab
: a. Luas selubung = …
b. Luas Permukaan = …
c. Volume = ….
Contoh 2: Suatu prisma condong segi empat rusuk alasnya 10 cm. Rusuk tegaknya 12 cm
dan bersudut 60 dengan bidang alas. Tentukan volume prisma !
Jawab
:
H
G
E
D
F
C
EE’ = …. sin 60
= ….
= … cm.
V = L alas x tinggi
Dimensi Tiga
-5-
=…
= … cm 3
60
A
E’
B
LATIHAN SOAL
1. Suatu prisma tegak ABC.DEF diketahui AB = 13, BC = 14 , AC = 15 dan rusuk tegak AD =
10. Hitung :
a. Luas selubung
b. Luas permukaan
c. Volume
2. Suatu prisma segi 6 beraturan dengan rusuk alas 10 cm dan tingginya 8 cm. Tentukan :
a. Luas selubung
b. Luas selubung
c. Volume
3. Suatu prisma condong segitiga beraturan dengan rusuk alasnya 6 cm dan rusuk
tegaknya 4 cm. Jika sudut condongnya 45 , maka tentukan volume dan luas
permukaannya.
4. Luas bidang alas sebuah prisma tegak segitiga adalah 6 dm 2 dan luas masing-masing
sisi tegaknya adalah 3 dm 2 , 4 dm 2 dan 5 dm 2 . Hitung panjang rusuk-rusuk prisma
tersebut
5. Tinggi ruangan yang berbentuk kotak adalah 2 m kurangnya dari lebarnya dan 4 m
kurangnya dari panjangnya. Jumlah luas langit-langit dinding dan lantai adalah 856 m 2 .
Tentukan ukuran ruangan itu.
2.4 LIMAS
Limas adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh segi-n dan beberapa segitiga yang
melalui sebuah titik di luar segi-n tersebut. Titik ini disebut titik puncak , bidang-bidang
segitiga yang merupakan bidang sisi tegak dan segi-nnya merupakan alas.
Nama limas tergantung pada bentuk bidang alasnya.
Limas beraturan yaitu jika bidang alasnya berbentuk segi-n beraturan dan proyeksi titik
puncak pada alas akan berimpit dengan pusat bidang alas.
Misal limas segi-4 berikut ini :
T
Puncak limas
Sisi Tegak
D
C
T’
A
Tinggi limas
Apotema
Bidang alas
B
Luas Permukaan Limas = Luas alas + Luas selubung
Luas Selubung
Volume Limas
= 1/2 Keliling alas x apotema
= 1/3 Luas alas x tinggi
Dimensi Tiga
-6-
Contoh 1: Diketahui limas T.ABCD beraturan. Alasnya berbentuk bujursangkar dengan
panjang sisinya 10 cm dan rusuk tegaknya 13 cm. Hitung volume dan luas
permukaan limas !
T
Jawab
:
D
E
T’
A
C
B
TE = ...... ...... ....
TT ’ = ...... ...... ....
V = 1/3 Luas alas x tinggi
=…
LP = L alas + Luas selubung
=…
=…
LATIHAN SOAL
1. Diketahui limas tegak M.PQRS, alas PQRS berbentuk persegipanjang dengan PQ = 8 dan
QR = 6, MM’ tegak lurus bidang alas, M’ pusat bidang alas dan MP = 13. Hitung :
a. Volume
b. Luas permukaan
2. Pada limas beraturan T.ABCD diketahui rusuk alasnya 4 cm dan apotemanya 6
cm.Tentukan:
a. Luas selubung
b. Luas permukaan
c. Volume
3. Sebuah limas segi-5 beraturan, panjang rusuk alasnya 4 cm dan sudut puncak pada sisi
tegaknya 30 . Hitung luas permukaannya.
4. Pada limas segi-4 beraturan, panjang rusuk alas sama dengan apotemanya. Jika luas
permukaannya 48 cm 2 . Hitung panjang masing-masing rusuknya
5. Pada bidang empat beraturan (tetrahedron) diketahui rusuk-rusuknya 9 cm. Tentukan
luas permukaan dan volumenya.
3. KEDUDUKAN TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM BANGUN RUANG
3.1 Titik dan Garis
1. Titik di luar garis
2. Titik pada garis
.A g
Titik A di luar garis g
A g
Titik A pada garis g
3.2 Titik dan Bidang
1. Titik di luar bidang
2. Titik pada bidang
Dimensi Tiga
-7-
.A
Titik A di luar bidang
Titik A pada bidang
.A
3.3 Dua Garis
1. Berpotongan
2. Sejajar
3. Bersilangan
k pada dan g pada
Garis k bersilangan dengan g
Garis g berpotongan
dengan garis k
g
k
Garis m sejajar
dengan garis n
m
g
n
3.4 Garis dan Bidang
1. Garis pada bidang
2. Garis sejajar bidang
3. Garis menembus (memotong) bidang
garis g pada bidang
bidang
k
garis k sejajar bidang
garis m menembus
k
g
m
3.5Dua Bidang
1. Berimpit
2. Sejajar
3. Berpotongan
Bidang berimpit
dengan
Bidang sejajar
dengan
Bidang
berpotongan dengan
garis potong
dan
dinyatakan
dengan
( , )
Aksioma-aksioma:
1. Melalui dua garis yang berpotongan atau melalui dua garis yang sejajar hanya dapat
dibuat sebuah bidang, sedangkan melalui dua garis yang bersilangan tidak dapat
dibuat sebuah bidang.
2. Jika suatu garis terletak pada sebuah bidang, maka setiap titik pada garis itu terletak
pula pada bidang tersebut.
3. Melalui tiga buah titik yang tidak segaris hanya dapat dibuat satu bidang
4. Melalui sebuah garis dan sebuah titik yang terletak di luar garis itu, hanya dapat
dibuat sebuah bidang
5. Jika sebuah garis tegak lurus pada dua buah garis yang berpotongan, maka garis
tersebut tegak lurus pada bidang yang melalui kedua garis yang berpotongan
tersebut
6. Jika sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang, maka garis itu akan tegak lurus
pada semua garis yang terletak pada bidang itu.
l
g
Dimensi Tiga
-8-
a
k
l
m
g
maka g k, g
a dan b pada
l a dan l b
maka l
l, g m
4. PROYEKSI GARIS KE BIDANG
Proyeksi garis k ke bidang
B
berupa garis k’.
k
k’ merupakan proyeksi k pada bidang
A
Jika k tegak lurus bidang
proyeksinya
, maka
berupa titik.
k’
A’
B’
5. SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG
Yaitu sudut yang dibentuk oleh garis dengan proyeksi garis tersebut ke bidang yang
bersangkutan.
k
A
A’ proyeksi A pada
BA’ proyeksi k pada
= ABA'
B
= sudut antara garis k dan bidang
A’ k’
6. SUDUT ANTARA DUA BIDANG
Yaitu sudut yang dibentuk oleh garis k pada dan garis l pada , dengan k dan l tegak
lurus pada garis potong kedua bidang tersebut di satu titik.
k ( , ) di titik A
l ( , ) di titik A
k pada dan l pada
Titik A pada ( , )
: sudut antara dan
k
A
l
LATIHAN SOAL
1. Pada balok ABCD.EFGH, tentukan hubungan antara :
a. AD dan FG
e. EG dan ABCD
b. BD da GE
f. DE dan ABFE
Dimensi Tiga
-9-
c. AG dan CE
d. AC dan DF
g. AG dan BDHF
2. Pada balok ABCD.EFGH tentukan proyeksi :
a. AH pada DCGH
c. AG pada ABCD
b. DF pada BCGF
d. HB pada ACGE
3. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan sudut antara :
a. DF dan ABCD
b. AG dan BDHF
c. CE dan CDHG
g
4.
A
k
B
D
,
g dan k berpotongan di A
dan berpotongan di ,
B titik potong k pada
C titik potong k pada
D titik potong g pada
C
Lukislah titik potong g pada
5.
P
R
Q
P
Q
g
P
(a)
R
(b)
(c)
Lukis garis-garis potong antara bidang da setap sisi limas jika :
a. bidang melalui titik P dan garis g yang terletak pada perluasan bidang alas
(gambar a)
b. bidang melalui titik-titik P, Q dan R (gambar b)
c. bidang melalui titik-titik P, Q dan R (gambar c)
7. BIDANG IRISAN ANTARA SUATU BIDANG DAN SUATU BANGUN RUANG
Aksioma-aksioma :
1. Melalui dua titik dapat dilukis sebuah garis
2. Melalui tiga titik yang tidak segaris dapat dilukis sebuah bidang
Akibat dari aksioma 1 dan 2, sebuah bidang dapat dilukis dari :
sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu
dua buah garis yang berpotongan
dua buah garis yang sejajar
Untuk melukis penampang bidang irisan suatu bidang yang melalui tiga titik yang tidak
segaris dan sebuah bangun ruang digunakan bantuan sumbu Afinitas (garis potong
antara bidang irisan dan bidang alas)
Cara melukis bidang irisan antara sebuah bidang dan sebuah bangun ruang yang melalui
tiga titik P, Q dan R, yaitu :
1. Tentukan titik potong antara garis yang melalui dua titik, misalnya P dan Q dengan
garis alas pada bidang yang sama
2. Tentukan titik potong antara garis yang melalui dua titik yang lain, misalnya P dan R
atau Q dan R dengan garis alas pada bidang yang sama
3. Hubungkan kedua titik potong tersebut (sumbu Afinitas) sepanjang mungkin
4. Hubungkan dua titik pada bangun ruang yang sudah sebidang
Dimensi Tiga
-10-
5. Jika belum ada yang sebidang, perpajang bidang alas yang terdapat titik itu ke sumbu
Afinitas dan memotong di suatu titik. Dari titik itu tarik garis melalui titik yang
diketahui dan akan memotong garis/sisi tegak bidang tersebut.
Begitu dan seterusnya sampai semua titik tersambung.
Contoh 1: Lukislah bidang irisa yang melalui titik-titik P, Q dan R pada gambar di bawah ini !
H
G
P
E
Q
F
R
D
C
A
Jawab
B
: Langkah-langkah sebagai berikut :
1. Perpanjang PQ dan DA berpotongan di titik X
2. Perpanjang RQ dan BA berpotongan di titik Y
3. Hubungkan titik X dan Y sebagai sumbu Afinitas sepanjang mungkin
4. Perpanjang CB dan memotong sumbu afinitas di titik K
5. Perpanjang KR hingga memotong FG di titik S
6. Hubungkan P, Q, R, dan S
Gambarnya :
H
G
P
E
Q
F
R
D
C
A
B
LATIHAN SOAL
1. Lukislah penampang irisan berikut yang melalui titik P, Q dan R pada masing-masing
bangun ruang !
a)
H
G
b)
H P
G
E
R
F
D
P
E
C
R
Q
A
c)
Q
B
H
E
F
D
A
P
G
d)
C
B
H
E
G
F
F
Dimensi Tiga
-11-
D
C
Q
C
Q
R
A
P
D
B
A
R
B
A
A
e)
P
P
f)
D
Q
B
B
Q
R
E
R
C
C
J
g)
D
P
F
I
E
Q
A
G
H
D
R
B
C
Dimensi Tiga
DIMENSI TIGA
1. MENGGAMBAR BANGUN RUANG
1. UNSUR-UNSUR DALAM BANGUN RUANG
a. Titik
Sesuatu yang abstrak yang hanya dapat dibayangkan keberadaannya. Titik tidak
berbentuk dan tidak mempunyai ukuran. Notasi sebuah titik dengan menggunakan
huruf besar, misalnya : A, B, C dan sebagainya. Titik tidak mempunyai dimensi.
b. Garis
Himpunan titik-titik yang mempunyai panjang, tetapi tidak mempunyai luas atau
volume. Yang dimaksud garis yaitu garis lurus. Notasi sebuah garis dengan huruf
kecil. Misalnya : g, k, l dan sebagainya. Garis berdimensi satu.
c. Bidang
Himpunan titik-titik yang mempunyai panjang dan luas, tetapi tidak mempunyai
volume. Yang dimaksud bidang adalah bidang datar. Notasi bidang biasanya dengan
huruf Yunani. Misalnya : , , dan sebagainya. Bidang berdimensi dua.
d. Bangun Ruang
Himpunan titik-titik yang mempunyai panjang, luas dan volume. Notasi bangun ruang
dengan menggunakan huruf besar dan titik. Misalnya : T.ABCD, ABCD.EFGH dan
sebagainya.
2. BANGUN-BANGUN RUANG
2.1 KUBUS DAN BALOK
Pada kubus dan balok terdapat :
- Bidang Frontal
: bidang yang sejajar dengan bidang proyeksi (bidang gambar)
- Bidang Orthogonal
: bidang yang tegak lurus terhadap bidang frontal
- Sudut Surut
: sudut yang dibentuk oleh garis orthogonal dan horizontal
- Perbandingan Proyeksi : perbandingan antara panjang garis orthogonal hasil proyeksi
dengan panjang garis orthogonal sebenarnya.
H
E
A
G
F
D
B
C
Kubus di samping disebut kubus ABCD.EFGH atau
EFGH
ABCD
ABFE dan DCGH disebut bidang Frontal
ADHE dan BCGF disebut bidang Orthogonal
AB, DC, HG, EF disebut garis Horisontal
AD, BC, FG, EH disebut garis Orthogonal
DAB HEF disebut sudut surut
Perbandingan proyeksi :
panjang proyeksi AD
panjang AD sebenarnya
Pada gambar di bawah ini :
H
Bidang frontal : ACGF
Dimensi Tiga
-2-
E
T
F
A
G
Bidang Orthogonal : BDHF
DSC HTG sudut surut
C
Perbandingan proyeksi :
D
S
panjang proyeksi ED
panjang SD sebenarnya
B
H
E
F
D
A
G
C
EBCH disebut bidang diagonal
AF disebut diagonal bidang
EC disebut diagonal ruang
A, B, C, D disebut titik sudut
B
Cara melukis kubus atau balok:
1. Lukis bidang frontal
2. Lukis sudut surut
3. Tentukan panjang garis orthogonal
4. Selesaikan rusuk-rusuk yang lain dengan menarik garis-garis yang sejajar
Contoh 1: Lukis kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 3 cm dengan ABFE sebagai
bidang frontal, AB garis horizontal, sudut surutnya 60 dan perbandingan proyeksi
2/3.
Jawab
:
LATIHAN SOAL
1. Pada kubus atau balok, berapa jumlah :
a. Titik sudut (T)
b. Bidang/sisi (S)
c. Rusuk (R)
d. Selidiki apakah berlaku rumus Euler : S + T = R + 2
e.
2. Pada kubus ABCD.EFGH, sebutkan :
a. Diagonal bidang
b. Diagonal ruang
c. Bidang diagonal
3. Gambarlah kubus ABCD.EFGH yang rusuknya 4 cm. Bidang ABFE frontal, AB horizontal,
sudut surut 60 dan perbandingan proyeksi 1/2.
4. Pada soal no. 3, gambarlah jika sudut surutnya 120 dan perbandingan proyeksi 1/4
5. Gambarlah kubus ABCD.EFGH yang rusuknya 3 cm, ACGE frontal, AC horizontal, sudut
surut 45 dan perbandingan proyeksi 1/2
6. Pada kubus dan balok, berapa banyak simetri cermin dan simetri putarnya ?
2.2 LUAS PERMUKAAN DAN VOLUME KUBUS DAN BALOK
1. Diagonal bidang dan diagonal ruang pada kubus
Suatu kubus yang rusuknya s, maka :
Diagonal Bidang (DB) = s 2
Dimensi Tiga
-3-
Diagonal Ruang (DR) = s 3
2. Luas Permukaan dan Volume Kubus
Suatu kubus yang rusuknya s, maka :
Luas Permukaan (LP) = 6s 2
V o l u m e (V)
= s3
3. Diagonal Ruang, Luas Permukaan dan Volume Balok
Suatu balok yang berukuran p x l x t, maka :
Diagonal Ruang (DR) = p 2 l 2 t 2
Luas Permukaan (LP) = 2(pl + pt + lt)
V o l u m e (V)
= p.l.t
Contoh 1: Suatu kubus rusuknya 6 cm. Tentukan :
a. Diagonal Bidang
b. Diagonal Ruang
c. Luas Permukaan
d. Volume
Jawab
:
a. Diagonal Bidang = …
b. Diagonal Ruang = …
c. Luas Permukaan = …
d. Volume = …
Contoh 2: Suatu balok ABCD.EFGH diketahui p = 5 cm, l = 4 cm dan t = 3 cm. Tentukan :
a. Diagonal Ruang
b. Luas Permukaan
c. Volume
Jawab
:
a. Diagonal Ruang = …
b. Luas Permukaan = …
c. Volume = …
Contoh 3: Suatu balok diketahui p : l : t = 4 : 3 : 2. Jika volumenya 192 cm 3 dan luas
permukaannya 208 cm 2 maka tentukan p, l dan t
Jawab
: Misal p = 4x , l = 3x dan t = 2x
Volume = p.l.t
192 = …
=…
x=…
Jadi p = …
l=…
t= …
LATIHAN SOAL
1. Suatu kubus diketahui rusuknya 10 cm. Tentukan :
a. DB
b. DR
c. LP
d. V
2. Suatu kubus diketahui panjang diagonal bidangnya 8 cm. Tentukan :
a. DR
b. LP
c. V
3. Suatu kubus luas permukaannya 150 cm 2 . Tentukan :
a. DB
b. DR
c. V
Dimensi Tiga
-4-
4. Suatu balok berukuran p = 8, l = 6 dan t = 5. Tentukan :
a. DR
b. LP
c. V
5. Suatu balok diketahui p : l : t = 3 : 2 : 1. Jika luas permukaannya 352 cm 2 , maka
tentukan volumenya !
6. Suatu balok diketahui p : l : t = 5 : 4 : 2. Jika volumenya 320 cm 3 , maka tentukan luas
permukaannya !
7. Pada suatu tempat berbentuk balok berukuran p = 12 cm, l = 10 cm dan t = 4 cm berisi
penuh dengan air. Jika dimasukkan benda padat berbentuk kubus yang berusuk 6 cm,
maka tentukan volume sisa air di bak !
2.3 PRISMA
Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua buah bidang datar yang sejajar dan
oleh lebih dari dua buah bidang datar yang berpotongan menurut garis-garis yang
sejajar.
Suatu prisma disebut prisma tegak jika rusuk tegaknya berdiri tegak lurus pada bidang
alas/ bidang atas. Jika tidak tegak lurus maka disebut prisma miring/condong.
Nama sebuah prisma tergantung pada bentuk alasnya. Jadi ada prisma segi tiga, prisma
segi empat dan seterusnya.
Prisma beraturan yaitu prisma tegak yang bidang alasnya berbentuk segi n beraturan.
Misal prisma segi-3 berikut :
F
Bidang atas
D
E
C
Bidang tegak
Rusuk tegak
Bidang alas
A
B
Luas Permukaan Prisma = Luas alas + Luas atas + Luas selubung
= 2 Luas alas + Luas selubung
Luas selubung Prisma
= rusuk tegak x keliling alas
Volume Prisma
= Luas alas x tinggi
Contoh 1: Suatu prisma segi 4 beraturan dengan rusuk alas 4 cm dan tingginya 5 cm.
Tentukan :
a. Luas selubung
b. Luas Permukaan
c. Volume
d.
Jawab
: a. Luas selubung = …
b. Luas Permukaan = …
c. Volume = ….
Contoh 2: Suatu prisma condong segi empat rusuk alasnya 10 cm. Rusuk tegaknya 12 cm
dan bersudut 60 dengan bidang alas. Tentukan volume prisma !
Jawab
:
H
G
E
D
F
C
EE’ = …. sin 60
= ….
= … cm.
V = L alas x tinggi
Dimensi Tiga
-5-
=…
= … cm 3
60
A
E’
B
LATIHAN SOAL
1. Suatu prisma tegak ABC.DEF diketahui AB = 13, BC = 14 , AC = 15 dan rusuk tegak AD =
10. Hitung :
a. Luas selubung
b. Luas permukaan
c. Volume
2. Suatu prisma segi 6 beraturan dengan rusuk alas 10 cm dan tingginya 8 cm. Tentukan :
a. Luas selubung
b. Luas selubung
c. Volume
3. Suatu prisma condong segitiga beraturan dengan rusuk alasnya 6 cm dan rusuk
tegaknya 4 cm. Jika sudut condongnya 45 , maka tentukan volume dan luas
permukaannya.
4. Luas bidang alas sebuah prisma tegak segitiga adalah 6 dm 2 dan luas masing-masing
sisi tegaknya adalah 3 dm 2 , 4 dm 2 dan 5 dm 2 . Hitung panjang rusuk-rusuk prisma
tersebut
5. Tinggi ruangan yang berbentuk kotak adalah 2 m kurangnya dari lebarnya dan 4 m
kurangnya dari panjangnya. Jumlah luas langit-langit dinding dan lantai adalah 856 m 2 .
Tentukan ukuran ruangan itu.
2.4 LIMAS
Limas adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh segi-n dan beberapa segitiga yang
melalui sebuah titik di luar segi-n tersebut. Titik ini disebut titik puncak , bidang-bidang
segitiga yang merupakan bidang sisi tegak dan segi-nnya merupakan alas.
Nama limas tergantung pada bentuk bidang alasnya.
Limas beraturan yaitu jika bidang alasnya berbentuk segi-n beraturan dan proyeksi titik
puncak pada alas akan berimpit dengan pusat bidang alas.
Misal limas segi-4 berikut ini :
T
Puncak limas
Sisi Tegak
D
C
T’
A
Tinggi limas
Apotema
Bidang alas
B
Luas Permukaan Limas = Luas alas + Luas selubung
Luas Selubung
Volume Limas
= 1/2 Keliling alas x apotema
= 1/3 Luas alas x tinggi
Dimensi Tiga
-6-
Contoh 1: Diketahui limas T.ABCD beraturan. Alasnya berbentuk bujursangkar dengan
panjang sisinya 10 cm dan rusuk tegaknya 13 cm. Hitung volume dan luas
permukaan limas !
T
Jawab
:
D
E
T’
A
C
B
TE = ...... ...... ....
TT ’ = ...... ...... ....
V = 1/3 Luas alas x tinggi
=…
LP = L alas + Luas selubung
=…
=…
LATIHAN SOAL
1. Diketahui limas tegak M.PQRS, alas PQRS berbentuk persegipanjang dengan PQ = 8 dan
QR = 6, MM’ tegak lurus bidang alas, M’ pusat bidang alas dan MP = 13. Hitung :
a. Volume
b. Luas permukaan
2. Pada limas beraturan T.ABCD diketahui rusuk alasnya 4 cm dan apotemanya 6
cm.Tentukan:
a. Luas selubung
b. Luas permukaan
c. Volume
3. Sebuah limas segi-5 beraturan, panjang rusuk alasnya 4 cm dan sudut puncak pada sisi
tegaknya 30 . Hitung luas permukaannya.
4. Pada limas segi-4 beraturan, panjang rusuk alas sama dengan apotemanya. Jika luas
permukaannya 48 cm 2 . Hitung panjang masing-masing rusuknya
5. Pada bidang empat beraturan (tetrahedron) diketahui rusuk-rusuknya 9 cm. Tentukan
luas permukaan dan volumenya.
3. KEDUDUKAN TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM BANGUN RUANG
3.1 Titik dan Garis
1. Titik di luar garis
2. Titik pada garis
.A g
Titik A di luar garis g
A g
Titik A pada garis g
3.2 Titik dan Bidang
1. Titik di luar bidang
2. Titik pada bidang
Dimensi Tiga
-7-
.A
Titik A di luar bidang
Titik A pada bidang
.A
3.3 Dua Garis
1. Berpotongan
2. Sejajar
3. Bersilangan
k pada dan g pada
Garis k bersilangan dengan g
Garis g berpotongan
dengan garis k
g
k
Garis m sejajar
dengan garis n
m
g
n
3.4 Garis dan Bidang
1. Garis pada bidang
2. Garis sejajar bidang
3. Garis menembus (memotong) bidang
garis g pada bidang
bidang
k
garis k sejajar bidang
garis m menembus
k
g
m
3.5Dua Bidang
1. Berimpit
2. Sejajar
3. Berpotongan
Bidang berimpit
dengan
Bidang sejajar
dengan
Bidang
berpotongan dengan
garis potong
dan
dinyatakan
dengan
( , )
Aksioma-aksioma:
1. Melalui dua garis yang berpotongan atau melalui dua garis yang sejajar hanya dapat
dibuat sebuah bidang, sedangkan melalui dua garis yang bersilangan tidak dapat
dibuat sebuah bidang.
2. Jika suatu garis terletak pada sebuah bidang, maka setiap titik pada garis itu terletak
pula pada bidang tersebut.
3. Melalui tiga buah titik yang tidak segaris hanya dapat dibuat satu bidang
4. Melalui sebuah garis dan sebuah titik yang terletak di luar garis itu, hanya dapat
dibuat sebuah bidang
5. Jika sebuah garis tegak lurus pada dua buah garis yang berpotongan, maka garis
tersebut tegak lurus pada bidang yang melalui kedua garis yang berpotongan
tersebut
6. Jika sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang, maka garis itu akan tegak lurus
pada semua garis yang terletak pada bidang itu.
l
g
Dimensi Tiga
-8-
a
k
l
m
g
maka g k, g
a dan b pada
l a dan l b
maka l
l, g m
4. PROYEKSI GARIS KE BIDANG
Proyeksi garis k ke bidang
B
berupa garis k’.
k
k’ merupakan proyeksi k pada bidang
A
Jika k tegak lurus bidang
proyeksinya
, maka
berupa titik.
k’
A’
B’
5. SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG
Yaitu sudut yang dibentuk oleh garis dengan proyeksi garis tersebut ke bidang yang
bersangkutan.
k
A
A’ proyeksi A pada
BA’ proyeksi k pada
= ABA'
B
= sudut antara garis k dan bidang
A’ k’
6. SUDUT ANTARA DUA BIDANG
Yaitu sudut yang dibentuk oleh garis k pada dan garis l pada , dengan k dan l tegak
lurus pada garis potong kedua bidang tersebut di satu titik.
k ( , ) di titik A
l ( , ) di titik A
k pada dan l pada
Titik A pada ( , )
: sudut antara dan
k
A
l
LATIHAN SOAL
1. Pada balok ABCD.EFGH, tentukan hubungan antara :
a. AD dan FG
e. EG dan ABCD
b. BD da GE
f. DE dan ABFE
Dimensi Tiga
-9-
c. AG dan CE
d. AC dan DF
g. AG dan BDHF
2. Pada balok ABCD.EFGH tentukan proyeksi :
a. AH pada DCGH
c. AG pada ABCD
b. DF pada BCGF
d. HB pada ACGE
3. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan sudut antara :
a. DF dan ABCD
b. AG dan BDHF
c. CE dan CDHG
g
4.
A
k
B
D
,
g dan k berpotongan di A
dan berpotongan di ,
B titik potong k pada
C titik potong k pada
D titik potong g pada
C
Lukislah titik potong g pada
5.
P
R
Q
P
Q
g
P
(a)
R
(b)
(c)
Lukis garis-garis potong antara bidang da setap sisi limas jika :
a. bidang melalui titik P dan garis g yang terletak pada perluasan bidang alas
(gambar a)
b. bidang melalui titik-titik P, Q dan R (gambar b)
c. bidang melalui titik-titik P, Q dan R (gambar c)
7. BIDANG IRISAN ANTARA SUATU BIDANG DAN SUATU BANGUN RUANG
Aksioma-aksioma :
1. Melalui dua titik dapat dilukis sebuah garis
2. Melalui tiga titik yang tidak segaris dapat dilukis sebuah bidang
Akibat dari aksioma 1 dan 2, sebuah bidang dapat dilukis dari :
sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu
dua buah garis yang berpotongan
dua buah garis yang sejajar
Untuk melukis penampang bidang irisan suatu bidang yang melalui tiga titik yang tidak
segaris dan sebuah bangun ruang digunakan bantuan sumbu Afinitas (garis potong
antara bidang irisan dan bidang alas)
Cara melukis bidang irisan antara sebuah bidang dan sebuah bangun ruang yang melalui
tiga titik P, Q dan R, yaitu :
1. Tentukan titik potong antara garis yang melalui dua titik, misalnya P dan Q dengan
garis alas pada bidang yang sama
2. Tentukan titik potong antara garis yang melalui dua titik yang lain, misalnya P dan R
atau Q dan R dengan garis alas pada bidang yang sama
3. Hubungkan kedua titik potong tersebut (sumbu Afinitas) sepanjang mungkin
4. Hubungkan dua titik pada bangun ruang yang sudah sebidang
Dimensi Tiga
-10-
5. Jika belum ada yang sebidang, perpajang bidang alas yang terdapat titik itu ke sumbu
Afinitas dan memotong di suatu titik. Dari titik itu tarik garis melalui titik yang
diketahui dan akan memotong garis/sisi tegak bidang tersebut.
Begitu dan seterusnya sampai semua titik tersambung.
Contoh 1: Lukislah bidang irisa yang melalui titik-titik P, Q dan R pada gambar di bawah ini !
H
G
P
E
Q
F
R
D
C
A
Jawab
B
: Langkah-langkah sebagai berikut :
1. Perpanjang PQ dan DA berpotongan di titik X
2. Perpanjang RQ dan BA berpotongan di titik Y
3. Hubungkan titik X dan Y sebagai sumbu Afinitas sepanjang mungkin
4. Perpanjang CB dan memotong sumbu afinitas di titik K
5. Perpanjang KR hingga memotong FG di titik S
6. Hubungkan P, Q, R, dan S
Gambarnya :
H
G
P
E
Q
F
R
D
C
A
B
LATIHAN SOAL
1. Lukislah penampang irisan berikut yang melalui titik P, Q dan R pada masing-masing
bangun ruang !
a)
H
G
b)
H P
G
E
R
F
D
P
E
C
R
Q
A
c)
Q
B
H
E
F
D
A
P
G
d)
C
B
H
E
G
F
F
Dimensi Tiga
-11-
D
C
Q
C
Q
R
A
P
D
B
A
R
B
A
A
e)
P
P
f)
D
Q
B
B
Q
R
E
R
C
C
J
g)
D
P
F
I
E
Q
A
G
H
D
R
B
C
Dimensi Tiga