BAB 7 PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN, DAN FUNGSI KUADRAT

BAB 7 PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN, DAN FUNGSI KUADRAT A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

  ₂ a  bx  c 

  , a  0 B.

   Akar-akar Penyelesaian Persamaan Kuadrat a.

  Metode pemfaktoran ₂

  ax  bx  c 

  ( px  r )( qx  s )  gunakan aturan pemfaktoran persamaan kuadrat

  px  r   qx  s  r s x   x   _{1 2} p q

  b.

  Metode melengkapi kuadrat sempurna Contoh: ₂ 3 x  x ₂ 12  21  kedua ruas dibagi 3

  x  x ₂ 4  7 

  ( x  2 )  ₂ 4  7  ( x  2 )  ₂ 11 

  ( x  2 ) 

  11

  ( x  2 )  

  11 x  _{1 , 2} 2 

  11 Jadi x  ₁ 2  11 atau x  ₂

2 

  11 c.

  Menggunakan rumus persamaan kuadrat (abc) ₂

  a  bx  c 

  Dengan menggunakan metode melengkapi kuadrat sempurna, diperoleh rumus: ₂  b  b  4 ac

  x  _{1 , 2}

  2 a C.

   Diskriminan Persamaan Kuadrat ₂ ax  bx  c  ₂ D  b  ac

  4 a. D  , maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil. Jika b. D  , maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil yang berbeda.

  Jika

  c. D , maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil yang sama

  

  Jika (kembar).

  d. D  , maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar penyelesaian yang riil (tidak Jika nyata/imajiner).

  ₂ ax  bx  c  b x  x   _{1 2} a c x . x  _{1 2} a ₂ E. a  bx  c  Dengan Sifat Akar-Akarnya

D. Hasil Jumlah Dan Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

   Hubungan Antara Koefisien Persamaan Kuadrat a.

  Akar-akar penyelesaiannya sama/kembar ₂

  b 

  4 ac b. Akar-akar penyelesaiannya berlawanan (salah satu akar-akarnya positif dan yang lain negatif)

  b  c.

  Akar-akar penyelesaiannya berkebalikan (salah satu akar-akarnya

  . 6 . ( 2 ) x x x x x x    _{2 1 2 2 2 1} . .

  Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat

  36   = 20 Pembahasan Soal-soal: 1.

  4

  12

  6 ( ²    =

  2 ( 6 ) 2 ( 2 )

   6 x x x x  = )

   6 x x x x  = _{2 1 2 1} ² _{2 1} . .

  3

  2 = 2 _{2 1 2 2 2 1} . .

  1

  =

  a c

  =

  x

  .x

  6  _{2 1}

  5

  2 ²    x x adalah ₁

  1 ) 6 (

  1 ₂ 

  x x

  berdasarkan syarat pada soal _{1 2}

  x

  dan ₂

  x

  , pemilihan ₁

  x

  5 ₁   x

  x dan ₂ x . Jika _{1 2}  , maka x x

  2

  5 2   x  1   x

  5 2 (    x x

  2 ²    x x ) 1 )(

  3

  5

  3 4 x x  adalah .... Pembahasan:

  nilai dari _{2 1}

   =

   =

  q p

  Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya n lebihnya atau ) ( ₁

  n x

   dan ) ( ₂

  n x

  Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya n kurangnya atau ) ( ₁

      ²      c n x b n x a c.

  dari akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat ²    c bx ax adalah

   n x dan ) ( ₂  n x

  ) . ( ) ( _{2 1 2 1} ²     x x x x x x b.

      ²      c n x b n x a d.

  x dan ₂ x adalah

  Persamaan kuadrat yang akar-akar penyelesaiannya ¹

   Persamaan Kuadrat Baru a.

   F.

  a c

  )

  p q

  dan yang lain

   dari akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat ²    c bx ax adalah

  Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya n kali akar-akar persamaan kuadrat ₂    c bx ax adalah ₂

  x dan ₂ x , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah _{2 1}  = x x a b

  6 ²    x x adalah ₁

  Jika akar-akar penyelesaiannya ₁

  2  c .

  1  a , 6  b ,

  6 ²    x x Bentuk umum persamaan kuadrat ²    c bx ax , sehingga

  2

  Pembahasan:

   6 x x x x  adalah ....

  x dan ₂ x . Nilai _{2 1} ² ₂ ² ₁ . .

  2

      

  Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat

      ²    c nx b nx a Contoh:

  1 kali akar-akar persamaan kuadrat ₂    c bx ax adalah

  n

  Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya

    c n x b n x a e.

     

     

   Sehingga: _{2 1}

  3 4 x x  = ) 1 (

  2  a

  x

  dan ₂

  x

  Jika akar-akar penyelesaiannya ₁

   7  c .

  ,

   3  b

  ,

  Bentuk umum persamaan kuadrat ²    c bx ax , sehingga

   = x x a b

  2 ²    x x

  3

  7

  Pembahasan:

  2 ²    x x , maka nilai _{2 1 2 2 1} ( 2 ) x x x x   adalah ....

  3

  7

  x dan ₂ x adalah akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat

  , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah _{2 1}

   =

  5

      

  7

  1

  =

  3 ²

  2

  2

  7

  2

     

  2 ) 3 (

     

  ( 2 ) x x x x   =

  7  _{2 1 2 2 1}

  2

  =

  a c

  3 _{2 1} .x x =

  2

   =

  4 3. Jika ₁

  4 =

  3

  4

  Jika akar-akar penyelesaiannya  dan  , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah

  a , b , c .

  3 ²    x x Bentuk umum persamaan kuadrat ²    c bx ax , sehingga

  4

  5

  1 1  adalah .... Pembahasan:

   

  3 ²    x x , maka nilai

  5

   =

   dan  adalah akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat

  Jika

  7  2.

  =

   3 10 

  =

    

  5 4    

  2

     = a b

  3 ) 4 (

  3

  =

  3 .

  5

  1 1  =

   

  4

  3

  5

  3

  . 

   =

     

  1 1  =

   

  5

  3

  =

   . = a c

  4

  3

  4 9 

  2 ^{1 2 2 1}

  2 ² 

   4  m  2   m

   4 (   m m

  2 ²    m m ) 2 )(

  8

  2 

  2 ²     m m dibagi

  4

  16

  dikalikan silang

  m m

    

  4

  2 ₂   m Jadi,

  16

  9

        m m m m

  2 ^{2 2} 

  1

  3

  6

  3

  18

  9

  m m m m

  4 ₁  m

  4  m 5.

  1 2 ( ^{2 2} 

  , maka setiap x diganti dengan

  11 3 ) 25 10 (

  2 ^{2 2}         x x x

  ). 5 ( 5 .( 2 (

  15 ) 3 )

  4

  2 ²      x x

  5 ( 3 ) 5 (

  2 ²    x x Sehingga: 4 )

  3

  4

  5  x adalah:

  x

  Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat

  5 ₂ 

  dan

  x

  5 ₁ 

  Pembahasan: Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya

  5 ₂  x adalah ....

  5 ₁  x dan

  yang akar-akar penyelesaiannya

  x dan ₂ x . Persamaan kuadrat

  2 ²    x x adalah ₁

  3

  4

        

  1 2 ( 3 )

  ( 2 ) x x x x   =

     =

  3  m 1 

  , maka x dapat diganti dengan

  x m x

  Karena  merupakan salah satu akar-akar penyelesaian 2 ) 1 ( ²    

  3  m 1 

  1   m  =

  3 =

   m 1  

  2 =

  m   

  1 1  

  , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah

  2

  Jika akar-akar penyelesaiannya  dan  serta   2 

  1  a ,  m 1  b , 2  c .

  Bentuk umum persamaan kuadrat ²    c bx ax , sehingga

  x m x

  Pembahasan: 2 ) 1 ( ²    

  m adalah ....

   dan   , maka nilai

  Akar-akar penyelesaian 2 ) 1 ( ²     x m x adalah  dan  . Jika   2

  19  4.

  4

  4 28 9  =

  . Sehingga: 2 ) 1 ( ²     x m x

  3

  9 )

  1

  9 2 .

      m m m m

  









       

  2 ^{2 2}      

  

1

  9

  2

  1

  3

  2

      m m m m m

  1 ) 1 (

  









        

  2 ^{2 2}      

  

1

  9

  1

  3

  2

     

   m

m m

        

  1 ²      

  3

  2 ²      x x x

• 1

  3

  10

  3 ²    x x Pembuat nol:

  8

  10

  3 ²    x x

  ) 4 )( 2 3 (    x x

  4

  2 3     x x

  3

  2   x

  Uji x diganti dengan 0 pada persamaan kuadratnya. Ternyata bernilai negatif, berarti daerah mulai

  3

  2  sampai 4 bernilai negatif, sedangkan daerah lainnya bernilai positif. Karena soal diminta  , berarti daerah penyelesaiannya adalah daerah dengan nilai negatif. Jadi, HP =

   

  4

          R x x x ,

  3

  2 |

  Pembahasan Soal-soal: 1.

  Himpunan penyelesaian dari

  21

  10 ²    x x adalah ....

  Pembahasan:

  21

  10 ²    x x Pembuat nol:

  21

  10 ²    x x

  ) 3 )(  7 (   x x

  3  7   x x

  Karena >, maka daerah penyelesaiannya adalah daerah positif

  8

  3 ²    x x adalah ....

  Pembahasan:

     c bx a , a  0 ₂

  3

  2 

  4

  3

  7

  11

  3

  50

  20

  2 ²      x x x

  61

  23

  2 ²    x x G.

   Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat ₂

     c bx a , a  0 ₂    c bx a

  10

  , a  0 ₂    c bx a , a  0 H.

  Contoh 1: Himpunan penyelesaian dari

  3

  2 ²   x x > 0 adalah ....

  Pembahasan:

  3

  2 ²   x x = 0 ) 1 )(

   3 (  x x = 0

  )  3 (  x

  V )

   1 (  x x = 3 x = -1 Jadi Hp =   R x x x x     , 3 atau

  1 | Contoh 2:

  Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat

  8

  x x x x R

  HP =  |  ₂ 3 atau  7 ,   2.

   2 x  11 x  5  adalah .... Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

  Pembahasan: ₂  2 x  11 x  5 

  Pembuat nol: ₂  2 x  11 x  5 

  (  2 x  1 )( x  5 ) 

   2 x   1  x 

  5

  1

  x 

  1

  5

  2 Karena  , maka daerah penyelesaiannya adalah daerah positif

  1  

  x x x R

  Hp = |   5 ,   

  2   I.

   Bentuk Umum Fungsi Kuadrat ₂ f ( x )  ax  bx  c , a

   J.

   Grafik Fungsi Kuadrat

  Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat adalah: a).

  Menentukan titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x → y = 0 ₂

  f x ax bx c

  ( )    ₂

  y ax bx c

     ₂  ax  bx  c  ( px  r )( qx  s ) gunakan aturan pemfaktoran persamaan kuadrat

  px  r  qx  s 

  

  r s x   x   _{1 2} p q

     

  r s

   ,  , Sehingga titik potong dengan sumbu x adalah dan

     

  p q

      b). Menentukan titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu y → x = 0 ₂

  f ( x )  ax  bx  c ₂ y  ax  bx  c ₂ y  a ( )  b ( )  c y  c

  Sehingga titik potong dengan sumbu y adalah   , c c). Menentukan persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat ₂

  f ( x )  ax  bx  c b x  

  2 a d).

  x , y ) _{p p}

  Menentukan koordinat titik ekstrim/balik/puncak fungsi kuadrat ( ₂

  f x  ax  bx  c

  ( )

  b x   y  f x _{p p p}

( )

  2 a Koordinat titik ekstrim/balik/puncak = ( x , y ) _{p p} e). Menghubungkan titik-titik yang telah ditemukan sehingga terbentuk kurva parabola fungsi kuadrat

  K. Persamaan Fungsi Kuadrat yang Diketahui Beberapa Titik a).

  ( x , ) dan Persamaan fungsi kuadrat yang diketahui dua titik potong dengan sumbu x, yaitu ¹

  ( x , ) dan satu titik lain, yaitu ( y x , ) ₂

  y  a ( x  x )( x  x ) _{1 2} Masukkan semua unsur, kemudian tentukanlah nilai a. f ( x )  a ( x  x )( x  x ) _{1 2} Lalu masukkan a, x , dan x (x dan f(x) dibiarkan tetap). _{1 2} x y ( y x , )

  b).  ,  dan satu titik lain, yaitu Diketahui titik balik/puncak/ekstrim p p ₂

  y  a ( x  x )  y _{p p} Masukkan semua unsur, kemudian tentukanlah nilai a. ₂ f ( x )  a ( x  x )  y _{p p} Lalu masukkan a, x , dan y (x dan f(x) dibiarkan tetap). _{p p} Kemudian sederhanakan persamaan fungsi kuadrat tersebut.

  Contoh:

  Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (1 , 0) dan (– 2 , 0) dan melalui titik (0 , – 6) adalah .... Pembahasan: memotong sumbu x di titik (1 , 0) dan (– 2 , 0) dan melalui titik (0 , – 6)

  x  x   x  y  

  sehingga: ₁ 1 , ₂ 2 , , dan 6 , maka:

   y a x  x x  x

  = ( )( ) _{1 2}

   y = a ( x  x )( x  x ) _{1 2} a ( 

  1 )(  (  2 ))

• – 6 =
• – 6 = a ( 1 )(

  2 )

• – 6 = 

  2 a

  

  6 a = 

  2

   a = 3 f (x )

  Jadi, fungsi kuadratnya = a ( x  x )( x  x ) _{1 2}

  f (x ) =

  3 ( x  x 1 )(  (  2 )) 3 ( x  x 1 )(  2 )

  = ₂ = 3 ( x  ₂ 2 x  x  2 )

  = 3 ( x  x  ₂ 2 )

  f (x ) =

  3 x  x 3 

  6 Pembahasan Soal-soal: ₂ 1.

  y 

  3 x  x  2 dengan sumbu x dan sumbu y berturut- Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat turut adalah ....

  Pembahasan: Titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x ₂ → y = 0

  y  x  x 

  3 ₂

  2  3 x  x 

  2  ( 3 x  2 )( x  1 ) untuk mengecek kebenaran gunakan aturan perkalian aljabar

  x    x 

  3 2 1 

  2

  x   ₁ x  ₂

  1

  3

  2 

  Sehingga titik potong dengan sumbu x adalah  0, dan   1 ,  

  3  

  Titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu y → x = 0 ₂

  y 

  3 x  x  ₂

  2

  y 

  3 ( )  ( ) 

  2

  y  

  2 Sehingga titik potong dengan sumbu y adalah  0  , ₂ 2  2. f ( x )  x  2 x  4 adalah ....

  Koordinat titik balik grafik fungsi Pembahasan: Koordinat titik ekstrim/balik/puncak fungsi kuadrat ( x . y ) _{2 p p}

  f ( x )  ax  bx  c ₂ f ( x )  x 

  2 x 

  4 Sehingga: a 

  1 , b   2 , c 

  4 b ( 

  2 )

  2

  x       _p

  1 2 a ₂ 2 ( 1 )

  2

  f ( x )  x 

  2 x 

  4

  y  f ( x ) _{p p} y  f ( _{p 2} 1 ) y  ( _p 1 )  2 ( 1 ) 

  4 y  _p 1  2 

  4 y   1  _p

  4 y  _p

3 Jadi, koordinat titik ekstrim/balik/puncak = (1 , 3) 3.

  Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya seperti di bawah ini adalah ....

  y

  30

  x

• 3

  5 Pembahasan: Berdasarkan grafik pada soal, diketahui bahwa grafik fungsi kuadrat tersebut memotong sumbu x di titik (– 3 , 0) dan (5 , 0) dan melalui titik (0 , 30) sehingga: x   ₁ 3 , x  ₂ 5 , x  , dan y  30 , maka:

   y = a ( x  x )( x  x ) _{1 2} y a x  x x  x

  = ( )( ) _{1 2}

  a   

  30 = ( ( 3 ))( 5 )

  a (

  3 )(  5 ) 30 = 30 = 

  15 a

  30 a = 

  15

   a = 

  2 f (x )

  Jadi, fungsi kuadratnya = a ( x  x )( x  x ) _{1 2}

  f (x ) 

  2 ( x  (  3 ))( x  5 ) =

  = ) 5 )( 3 (

  1 ₂     x x y

  Himpunan penyelesaian persamaan kuadrat

  LATIHAN UN: 1.

  1 ) ( ²     x x x f

  2

  2

  4

  Jadi, fungsinya

  2

  3

  2

  4

  1 ₂      x x y

  2

  2

  2

  6

  6

  3 ²    x x adalah ....

  2

  A.

  3

  1 D.

  3

  5  C.

  3

  11  B.

  3

  x x x x  adalah ....

  A.    1 , 3 

  3 ²    x x , maka hasil dari ₁ ² ₂ ¹

  2

  4

  x dan ₂ x akar-akar penyelesaian dari

  E.   1 , 2  2. Jika ₁

  D.   1 , 2 

  C.    1 , 2 

  B.   1 , 3 

  1 ₂      x x y

  4 4 (

  2    x x

  =

  (–2 , 6) dan satu titik lain ) , ( y x

    p p , y x , yaitu

  Pembahasan: Persamaan fungsi kuadrat yang diketahui titik balik/puncak/ekstrim

  Persamaan grafik fungsi kuadrat yang titik puncaknya (–2 , 6) dan melalui titik (0 , 4) adalah ....

  2 ²    x x 4.

  4

  30

  2 ²    x x ) (x f

   y x x a y   ² ) (

  15 2 (

  = )

  f

  2 ²     x x x ) (x

  3 5 (

  15

  = )

  , yaitu (0 , 4) _{p p}

  6 )) ( 2 (

  1 _{2 2}      x x y 6 )

  6 )) ( 2 (

  2

  2 . 2 . 2 (

  1 ₂     x y 6 )

  2

  2 (

  1 ₂      x y 6 )

  2

   y x x a y   ² ) (

  4 ²     a 6 ) 2 (

  1   a _{p p}

  2

  4 2   a

   4 2 

  6 4   a

  4

  a

  4 ²   a 6 ) 4 ( 4   a

  5

  11 E.

  3 ₂

  

  5 x  x 6  4  3. dan  merupakan akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat . Nilai

  Diketahui

  1

  1  dari adalah .... _{2 2}

    A.

• –4 B.
• –1

  3  C.

  4 D. 

  4

  1 E.

  4 ₂ 4.  dan  merupakan akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat 2 x  x 5  3  .

  Diketahui (  2 ) (  2 ) Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya  dan  adalah .... ₂ A. 2 x  x ₂ 13  15  2 x  x

  13  15  B. ₂ C. 2 x  x ₂ 13  15 

  x  x

  13  15  D. ₂ E. x  x 13  15  ₂

  x  x

  6  8  5. adalah  dan  . Persamaan kuadrat baru

  Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat yang akar-akar penyelesaiannya  dan  ₂ 3 3 adalah ....

  x  x

  18  72  A. ₂ B. x  x ₂ 18  72 

  x  x

  18  72  C. ₂ D. x  x ₂ 6  8 

  x  x

  6  8  E. ₂ 6.

  2 x  6 x  8  , x  R adalah .... Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

  A.  x |  4  x  1 , x  R 

  x x x R

  B. |  4    1 , 

    x x x x R

  C. |   4 atau  1 , 

    x x x x R

  D. |   4 atau  1 , 

   

  E. x | x   4 atau x   1 , x  R

    ₂ 7. x 

  2 x  15 , x  R adalah .... Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat

  A.  x | x   5 atau x  3 , x  R 

  B. x | x   5 atau x  3 , x  R

    x x x R

  C. |  5   3 , 

    x x x R

  D. |  5   3 , 

    x x x R

  E. |  5    3 , 

    8.

  Fungsi kuadrat dari grafik berikut adalah …. ₂

  f x x x

  A. ( )   2 

  3 ₂ y f x x x B. ( )   ₂ 4 

  3

  f x x x

  C. ( )   2  ₂ 4 

  6

  6

  f x x x

  D. ( )   2  ₂ 4 

  6

  f x x x

  E. ( )  2  8 

  6

  1

  x

• 3

9. Fungsi kuadrat dari grafik berikut adalah ….

  A. ( 4 ) ²   x x f

  B. x x x f ( 4 ) ²   C. ( 4 ) ²    x x f

  D. x x x f ( 4 ) ²   

  E. x x x f ( 4 ) ²   

  x y

  4

• 4
• 2