Transformasi Fourier Sinyal Waktu Kontinyu
Sinyal dan Sistem
Transformasi
Transformasi Fourier
Fourier Sinyal
Sinyal Waktu
Waktu Kontinyu
Kontinyu
Tujuan:
- Siswa mampu menyelesaikan bentuk representasi
alternatif pada sinyal dan sistem waktu kontinyu.
- Siswa menjelaskan kembali penyusunan sinyal dalam berbagai aplikasi.
Edited by Foxit Reader
Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2009
For Evaluation Only.
oleh
oleh:: Tri
Tri Budi
Budi Santoso
Santoso
DSP
-ITS
DSP Group,
Group, EEPIS
EEPIS-ITS
Sub Ba b :
4.1. Representasi Sinyal-Sinyal dalam Terminology
Komponen Frekuensi
4.2. Representasi Deret Fourier pada Sinyal Periodik
4.3. Trigonometri Deret Fourier
4.3. Fenomena Gibbs
4.5. Transformasi Fourier
4.6. Spektrum amplitudo dan fase sinyal persegi secara umum
4.7. Bentuk Rectangular Transformasi Fourier
4.8. Sinyal-sinyal dengan Simetri Genap dan Simetri Ganjil
4.9. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
4.10. Studi Kasus Sistem Modulasi Amplitudo DSB FC
4.11. Studi Kasus Sistem Modulasi Amplitudo DSB SC
4.1. Re pre se nta si Sinya l- Sinya l
da la m Te rm ino lo g y Ko m po ne n Fre kue nsi
N
Sebuah sinyal waktu kontinyu
x(t ) = ∑ An cos(ω n t + θ n )
dimana:
n =1
N = bilangan integer positif
An = amplitudo sinyal sinusoida
ωn = frekuensi sudut (dalam radiant/detik)
θn = fase sinyal sinusoida
−∞ < t < ∞
Contoh 1:
Berikan gambaran sebuah sinyal sinusoida yang tersusun dari persamaan berikut ini:
0 < t < 20
x(t) = A1 cos t + A2 cos (4t + π/3) + A3 cos (8t + π/2)
Dari kasus ini gambarkan frekuensi penyusun dari sinyal tersebut.
Penyelesaian:
Dari persamaan tersebut di atas kita dapat melihat bahwa tiga parameter sinyal yang utama adalah:
- Amplitudo adalah A1, A2 dan A3.
- Frekuensi adalah 1, 4, dan 8 radiant.
- Fase adalah 0, π/3 dan π/2.
Dengan mencoba nilai-nilai amplitudo seperti berikut ini akan kita dapatkan bentuk sinyal yang berfariasi.
a)
A1 = 0,5
A2 = 1
A3 = 0
b)
A1 = 1
A2 = 0,5
A3 = 0
c)
A1 = 1
A2 = 1
A3 = 0
G a mb a rnya
Gambar.4.1 Gambaran nilai x(t) untuk berbagai nilai amplitudo berbeda
Sp e ktrumnya
Gambar 4.2. Spektral amplitudo sinyal penyusun x(t)
Be ntuk Eksp o ne nsia l Ko mp le k
Definisi:
[
]
An j (ω n +θ n )
e
+ e − j (ω n +θ n )
2
A
A
= n e jθ n e jω nt + n e − jθ n e j ( −ω n )t
2
2
An cos(ω n t + θ n )
=
A
c n = n e jθ
2
n = 1, 2, ...
An cos(ω n t + θ n )
N
[
x(t ) = ∑ c n e
n =1
N
x(t ) = ∑ c n e
n =1
jω n t
jω n t
+ c−n e
N
= cn e
j ( −ω n ) t
+ ∑ c−n e
n =1
]
j ( −ω n ) t
c−n =
An − jθ
e
n = 1, 2, ...
2
jω nt
j ( −ω n ) t
+ c−n e
N
x(t ) = ∑ c n e
jω n t
+
n =1
x(t ) =
N
jω n t
c
e
∑ n
n=− N
−1
j (ω n ) t
c
e
∑ n
n=− N
4.2. Re p re se nta si De re t Fo urie r p a d a Sinya l Pe rio d ik
Sinyal waktu kontinyu x(t) dengan periode T
x(t + T) = x(t)
untuk semua nilai t
x(t)
1
...
...
-2,5 -2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
-2,5
Gambar 4.3 Sinyal persegi periodik dengan T = 2
Bentuk jumlahan eksponensial komplek:
x (t ) =
∞
jnω ot
c
e
∑ n
n = −∞
1 T /2
jnω ot
cn =
x
t
e
dt
(
)
−
∫
T −T / 2
n = 0, ± 1, ± 2
Contoh 2:
Dari sinyal persegi periodik pada Gambar 4.3, coba anda cari nilai cn.
Penyelesaian:
Sinyal ini merupakan periodik dengan periode T =2, dan frekuensi fundamentalnya adalah ωo = 2π/2 = π
radian/detik. Sinyal ini memenuhi kondisi Derichlet, sehingga dapat diberikan representasi Fourier.
Konstanta dapat dicari:
11
11
1
co = ∫ x(t )dt = ∫ (1)dt =
2 −1
2 −1
2
Untuk nilai n secara umum:
cn
11
= ∫ x(t )e − jnπt dt
2 −1
1 0,5 − jnπt
dt
= ∫e
2 − 0, 5
1
e − jnπt
=−
j 2nπ
t = 0,5
t = −0,5
nπ
nπ ⎞
1 ⎛
− j sin
⎜ − j sin
⎟
j 2 nπ ⎝
2
2 ⎠
1
nπ
=
sin
,
n = ±1, ± 2, ...
2
nπ
n = ±2, ± 4,....
⎧0
⎪
=⎨ 1
n = ± 1, ± 3,...
⎪⎩ nπ
=−
4.3. Trigonometri Deret Fourier
∞
1
x(t ) = + ∑ 2 c n cos(nω o t + ∠c n ) −∞ < t < ∞
2 n=1
Deret Fourier dalam bentuk trigonometri
n ganjil
dimana:
|cn| = magnitudo dari cn
∠c n = sudut dari cn
Contoh 3:
Coba anda cari bantuk trigonometri deret Fourier pada Contoh.2.
Penyelesaian:
⎧0
⎪
cn = ⎨ 1
⎪⎩ nπ
⎧0
⎪
∠c n = ⎨
π
(n −1) / 2
(
)
−
−
1
1
⎪⎩
2
untuk n = 2, 4, ...
[
untuk n = 1, 3, ...
Representasi trigonometri dari Deret Fourier
[
]
]
∞
1
2
π⎞
⎛
( )
cos⎜ nπt + (− 1) n−1 / 2 − 1 ⎟
x(t ) = + ∑
2 n=1 nπ
2⎠
⎝
n ganjil
untuk n = 2, 4, ...
untuk n = 1, 3, ...
−∞ < t < ∞
4.3. Fe no me na G ib b s
[
]
N
1
2
π⎞
⎛
(n −1) / 2
cos⎜ nπt + (− 1)
x N (t ) = + ∑
−1 ⎟
2 n=1 nπ
2⎠
⎝
−∞ < t < ∞
n ganjil
Gambar 4.4. Sinyal x(t) pada N=9
Gambar 4.5. Sinyal x(t) pada N=21
4.4. Sp e ktra l G a ris
Komponen-komponen frekuensi disajikan dalam terminologi amplitudo dan fase
Ægambar |c0| dan 2|cn| sebagai fungsi ω = nω0 untuk n = 0, +1, +2,…
Dalam spectral garis hanya frekuensi non negatif.
Contoh 4:
Pertimbangkan suatu pulsa persegi seperti pada Gambar 4.5, dalam hal ini c0=0,5. Berikan koefisienkoefisien cn pada deret Fourier-nya.
Penyelesaian:
Koefisien-koefisien cn deret Fourier diberikan sebagai:
⎧0
cn = ⎨
⎩1 nπ
n = 2, 4,...
n = 1, 2,..
⎧0
⎪
∠c n = ⎨
π
( n −1) / 2
[(
1
)
1
]
−
−
⎪⎩
2
n = 2, 4,...
n = 1, 3,..
Bentuk spektrum amplitudo dan fase
Gambar 4.6 Spektral garis deretan pulsa persegi
4.5. Transformasi Fourier
Deret fourierÆ untuk sinyal periodik saja,
Transformasi FourierÆ sinyal periodik dan non periodik
x(t)
1
t
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Gambar 4.7 Pulsa persegi satu detik
Evaluasi untuk n = 0
1 T /2
1 0,5
1
=
=
c0 =
x
t
dt
dt
(
)
T −T∫/ 2
T −0∫,5
T
Untuk n yang lain:
cn
1
=
T
=−
0 ,5
− jn ω 0 t
e
dt
∫
− 0 ,5
[
jn ω T
]
− jn ω 0 t t = 0 , 5
e
t = −0 ,5
1
0
=−
[
e
jn ω T
1
− jn ω 0 / 2
− e jn ω 0 / 2
]
0
nω 0 ⎞
⎛
=−
⎜ − j 2 sin
⎟
2 ⎠
jn ω 0 T ⎝
nω 0 2
2
sin
=
; n = ± 1, ± 2 ,..
2
nω 0T
1
Gambar 4.8. Spektrum terskala pada xT(t) untuk atas T=2, tengah T=5, bawah T=10
4.6 Sp e ktrum Amp litud o d a n Fa se Sinya l Pe rse g i
Gambar 4.9. Spektrum Amplitudo Sinyal Persegi
Fase X(ω)
180o
−10π −8π −6π −4π −2π
0 2π
-180o
4π
Gambar 4.10. Spektrum Fase Sinyal Persegi
6π
8π
10π
ω
Contoh 5
Berikan gambaran spektrum amplitudo dan spektrum fase dari suatu fungsi x(t) = e-jbt u(t). Dimana b merupakan
konstanta real, u(t) merupakan fungsi step.
Penyelesaian:
Untukb=0, akan didapakan x(t) = u(t). Untuk nilai b yang lain, transformasi Fourier X(ω) pada x(t) diberikan
sebagai:
∞
disini
X (ω ) = ∫ e −bt u (t )e − jωt dt
u(t) = 0 untuk t < 0. −∞
u(t) = 1untuk t > 0
∞
X (ω ) = ∫ e −bt e − jωt dt
0
∞
= ∫ e −(b + jω )t dt
0
Evaluasi integral ini memberikan:
X (ω ) = −
Untuk b > 0, x(t) memiliki transformasi Fourier:
X (ω ) = −
1
1
(0 − 1) =
b + jω
b + jω
[
1
e − ( b + jω ) t
b + jω
]
t =∞
t =0
Spektrum amplitudo: X (ω ) =
1
b2 + ω 2
Spektrum fase: ∠X (ω ) = − tan −1 ⎛⎜ ω ⎞⎟
⎝b⎠
Hasilnya
Gambar 4.11. Gambaran spektrum amplitudo dan fase pada fungsi x(t) = exp(-10t)u(t)
4.7 Bentuk Rectangular Transformasi Fourier
Transformasi Fourier sinyal x(t)
•Bentuk Rectangular adalah:
∞
− jω t
x
t
e
dt
(
)
∫
X (ω ) =
X(ω) = R(ω) + j I(ω)
−∞
Persamaan dasar Euler
X (ω ) =
∞
∫
∞
−∞
x(t ) cos(ωt )dt − j ∫ x(t ) sin(ωt )dt
−∞
Tandai
R(ω ) =
∞
∫ x(t ) cos(ωt )dt
Dimana:
R(ω) = bagian real
I(ω) = bagian imajiner
•Bentuk polar:
X (ω ) = X (ω ) exp[ j∠X (ω )]
−∞
∞
I (ω ) = − ∫ x(t ) sin(ωt )dt
−∞
Polar ÅÆ Rectangular
X (ω ) = R 2 (ω ) + I 2 (ω )
⎛ I (ω ) ⎞
⎟⎟
∠X (ω ) = tan −1 ⎜⎜
(
)
R
ω
⎠
⎝
dimana
|X(ω)| = magnitudo pada X(ω)
∠X (ω ) = magnitudo pada X(ω)
4.8 Sinyal-sinyal dengan Simetri Genap dan Simetri Ganjil
•Fungsi genap jika x(t) = x(-t)
∞
X (ω ) = R (ω ) = 2 ∫ x(t ) cos ωtdt
0
•Fungsi ganjil jika x(t) = - x(-t)
∞
X (ω ) = I (ω ) = − j 2 ∫ x(t ) sin ωtdt
0
Contoh 7:
Suatu nilai positif τ, digunakan untuk pulsa persegi pτ(t) yang memiliki durasi τ detik dan didefinisikan
sebagai:
⎧
⎪1
pτ (t ) = ⎨
⎪⎩0
τ
−τ
≤t ≤
2
2
t yang lain
Berikan penyelesaian bentuk transformasi Fouriernya.
pτ(t)
1
t
-τ/2
0
τ/2
Gambar 4.12 Pulsa persegi dengan durasi τ detik
Penyelesaian
Pulsa rectangular (persegi) pτ(t) dapat diberikan seperti pada Gambar 4.12. Dari gambar tersebut jelas
bahwa sinyal ini merupakan fungsi genap
Transformasi Fouriernya:
τ 2
X (ω ) = 2 ∫ (1) cos ωtdt
0
=
2
ω
⎛ ωτ ⎞
= sin ⎜
⎟
ω ⎝ 2 ⎠
2
Dalam terminology sinc:
X(ω) = τ sinc(τω/2)
[sin ωt ]tt ==τ0 / 2
Gambar 4.13. Transformasi Fourier sinyal persegi τ detik
4.9 Sifat-Sifat Transformasi Fourier
•. Linearitas
Penyelesaian:
Menggunakan sifat linearitas kita dapatkan bahwa tansformasi
Fourier masing-masing adalah seperti berikut:
P4(ω) = 4 sinc 2ω/π
P2(ω) = 2 sinc 2ω/π
Jika x(t) ÅÆ X(ω) dan v(t)ÅÆ V(ω)
maka: ax(t) + bx(t) ÅÆ aX(ω) + bV(ω)
Maka kita dapatkan untuk
Contoh 9:
X(ω) = P4(ω) + P2(ω)
Perhatikan sebuah sinyal pada Gambar 4.14, tampak
= 4 sinc 2ω/π + 2 sinc 2ω/π
bahwa sinyal tersebut merupakan jumlahan dari dua
pulsa persegi seperti berikut ini:
x(t) = p4(t) + p2(t)
Dengan memanfaatkan sifat linearitas coba anda
berikan bentuk transformasi Fouriernya.
p4(t)
x(t)
2
=
1
-2
-1 0
2 p2(t)
2
1
2
t
+
1
-2
-1 0
1
2
t
Gambar 4. 14 Sinyal dalam contoh 9
1
-2
-1 0
1
2
t
• Pergeseran Waktu
Jika x(t) ÅÆX(ω), maka untuk suatu nilai real c positif atau negatif:
x(t-c) ÅÆX(ω)e-jωc
Contoh 10:
Sinyal x(t) yang ditunjukkan pada Gambar 4.15 memiliki ekuivalensi dengan pulsa persegi p2(t) yang
mengalami pergeseran 1 detik. Dalam hal ini : x(t) = p2(t-1). Berikan bentuk transformasi Fouriernya
Penyelesaian:
Transformasi Fourier X(ω) untuk sinyal x(t) hasilnya adalah:
X(ω) = 2(sinc ω/π)e-jω.
x(t)
Sementara kita tahu bahwa:
|e-jω| =1 untuk semua nilai ω
spektrum aplitudo |X(ω)| pada
x(t) = p2(t-1) adalah sesuai dengan
spektrum amplitudo pada p2(t).
1
0
1
2
Gambar 4.15 Sinyal pada contoh 10
3
t
• Penskalaan Waktu
Jika x(t) ÅÆ X(ω), untuk suatu nilai real positif a,
x(at) ÅÆ(1/a)X(ω/a)
p2(t)
-1,0 -0,5
t
0 0,5 1,0
p2(2t)
-1,0 -0,5
0
0,5 1,0
t
Gambar 4.16 Contoh bentuk
kompresi waktu pada suatu sinyal
Gambar 4.17 Transformasi Fourier pada p2(t) dan p2(2t)
• Pembalikan Waktu
Jika x(t) ÅÆX(ω), maka akan kita miliki:
x(-t)ÅÆX(-ω)
Contoh 11:
Suatu bilangan real b>0 diberikan untuk suatu sinyal
sedemikian hingga x(-t) = e-btu(t). Berikan bentuk
transformasi Fouriernya
Penyelesaian:
Transformasi Fourier pada x(-t) adalah 1/(b + jω).
Sehingga transformasi Fourier pada x(t) adalah:
X (ω ) =
1
1
=
b + jω b − jω
Jika sinyal x(t) bernilai real
X (− ω ) = X (ω )
⎧0
x(t ) = ⎨ bt
⎩e
t>0
t≤0
• Perkalian dengan Suatu Bentuk Pangkat
Jika x(t)ÅÆX(ω), untuk suatu nilai positif integer n:
t x(t ) ↔ ( j )
n
n
dn
X (ω )
dω n
Contoh 12:
Tetapkan x(t) = t p2(t) yang diberikan pada Gambar
4.18 Berikan bentuk transformasi Fourier dan
spektrum amplitudonya.
Gambar 4.18 Sinyal x(t) = tp2(t)
Penyelesaian:
Dengan menggunakan sifat persamaan (4-52) dan
pasangan transformasi Fourier (4-44) memberikan
bentuk seperti berikut:
Gambar 4.19. Spektrum amplitudo sinyal
ω⎞
ωcosω−sinω
d⎛
d ⎛ sincω ⎞
X(ω) = j ⎜2sinc ⎟ = j2 ⎜
⎟ = j2
π⎠
dω ⎝
dω ⎝ ω ⎠
ω2
• Perkalian dengan Sinusoida
Jika x(t) ÅÆ X(ω), maka untuk suatu bilangan ω0,
x(t) cos ω0t ÅÆ (j/2) [X(ω + ω0) - X(ω − ω0)]
x(t) sin ω0t ÅÆ (1/2) [X(ω + ω0) - X(ω − ω0)]
Contoh 13:
Pertimbangkan suatu sinyal
x(t) = pτ(t)cosω0t yang diinterpretasikan
sebagai sinyal sinusoida. Untuk nilai τ = 0.5
dan ω0 = 60 radiant/dt bentuknya bisa
dilihat pada Gambar 4.20. Berikan gambaran
transformasi Fouriernya.
Gambar 4.20. Deretan sinusoida
Penyelesaian:
Dengan pasangan transformasi Fourier diatas:
1⎡
⎛ τ (ω + ω 0 ) ⎞
⎛ τ (ω − ω 0 ) ⎞⎤
+
τ
τ
sin
sin
c
c
⎟
⎜
⎟⎥
⎜
⎢
2⎣
2π
2π
⎠
⎝
⎠⎦
⎝
Untuk nilai t = 0,5 dan ω0 = 60 rad/dt, hasilnya
Gambar 4.21. Transformasi Fourier sinyal sinusoida
• Konvolusi dalam Domain Waktu
Jika sinyal x(t) dan v(t) memiliki transformasi Fourier X(ω) dan V(ω).
x(t)*v(t) ÅÆ X(ω)V(ω)
• Perkalian dalam Domain Waktu
Jika x(t)ÅÆX(ω) dan v(t)ÅÆV(ω) maka
1
[X (ω ) * V (ω )] = 1
x(t )v(t ) ↔
2π
2π
∞
∫ X (λ )V (ω − λ )dλ
−∞
4.10 Studi Kasus
Sistem Modulasi Amplitudo DSB-FC
Informasi
Si(t)
Modulasi
Sinyal
AM DSB-FC
Carrier
Sc(t)
Gambar 4.22 Diagram blok sistem DSB-FC
G a mb a ra n Ra ng ka ia n AM DSB-FC
Info
AM
Signal
Carrier
Gambar 4.23 Rangkaian sistem DSB-FC
G a mb a ra n Be ntuk Ma te ma tika
si (t ) = Ai sin (2πf i t )
Sinya l Info rma si:
Sinya l C a rrie r:
sc (t ) = Ac sin (2πf c t )
Sinya l AM DSBSC :
S AM = ( Ac + Ai sin (2πf i t ))sin (2πf c t )
Pe nd e ka ta n Pro g ra m Ma tla b
Disini kita akan membuat simulasi
dimana frekuensi carier sebesar 10 kali
frekuensi informasi.
Contoh Programnya seperti berikut….
%File Name: AM_DSBFC_01.m
clear all;
T=1000;
fi=1;
A=0.5;
fc=10;
t=1/T:1/T:3;
si=0.5*sin(2*pi*fi*t);
AM_DSBFC=(1 + si).*sin(2*pi*fc*t);
G a m b a ra n da la m Do m a in Wa ktu
Gambar 4.24 Perbandingan Bentuk sinyal informasi dan sinyal DSB-FC
G a mb a ra n d a la m Do ma in Fre kue nsi
Spektrum
Carrier
Spektrum
Informasi
Lower
Sideband
Upper
Sideband
Spektrum
AM DSB_FC
Gambar 4.25 Gambaran bentuk spektrum frekuensi sistem DSB-FC
Sistem Modulasi Amplitudo DSB-SC
Product
Modulation
Informasi
Si(t)
Sinyal
AM DSB-FC
Carrier
Sc(t)
Gambar 4.26 Diagram blok sistem DSB-SC
G a mb a ra n Ra ng ka ia n AM DSB-SC
Info
DSBSC
Output
Carrier
Gambar 4.27 Rangkaian sistem DSB-SC
G a mb a ra n Be ntuk Ma te ma tika
Sinya l Info rma si:
Sinya l C a rrie r:
Sinya l AM DSBSC :
si (t ) = Ai cos(2πf i t )
sc (t ) = Ac cos(2πf c t )
S AM = Si (t ) × S c (t )
Dimana:
Ai: amplitudo sinyal informasi
fi: frekuensi sinyal informasi
Ac: amplitudo sinyal carrier
fc: frekuensi sinyal carrier
Pe nd e ka ta n Pro g ra m Ma tla b
Disini kita akan membuat simulasimirip
dengan kasus DSB-FC dimana frekuensi
carier sebesar 10 kali frekuensi
informasi.
Contoh Programnya seperti berikut….
%File Name: AM_DSBSC_01.m
clear all;
T=1000;
f1=1;
f2=10;
t=1/T:1/T:1;
s1=sin(2*pi*f1*t);
s2=sin(2*pi*f2*t);
AM_DSBSC=s1.*s2;
G a m b a ra n da la m Do m a in Wa ktu
Gambar 4.28 Perbandingan Bentuk sinyal informasi dan sinyal carrier
Gambar 4.29 Gambaran bentuk sinyal DSB-FC
G a mb a ra n d a la m Do ma in Fre kue nsi
Spectrum
Informasi
Suppressed
Carrier
Spectrum
Carrier
Spectrum
AM DSB_SC
Gambar 4.30 Gambaran bentuk spektrum frekuensi sistem DSB-FC
Soal Latihan
1. Cari bentuk transfromasi Fourier sinyal berikut ini:
a. 10 sin(2π100t)
b. 10 cos(2π100t)
2. Dapatkan bentuk transformasi Fourier dari gambar berikut
x(t)
1
...
...
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
3. Cari sebuah rangkaian demodulasi amplitudo, sederhanakan dalam diagram
blok dan coba jelaskan prinsip kerja dan gambaran sinyalnya dalam domain
waktu dan domain frekuensi.
Transformasi
Transformasi Fourier
Fourier Sinyal
Sinyal Waktu
Waktu Kontinyu
Kontinyu
Tujuan:
- Siswa mampu menyelesaikan bentuk representasi
alternatif pada sinyal dan sistem waktu kontinyu.
- Siswa menjelaskan kembali penyusunan sinyal dalam berbagai aplikasi.
Edited by Foxit Reader
Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2009
For Evaluation Only.
oleh
oleh:: Tri
Tri Budi
Budi Santoso
Santoso
DSP
-ITS
DSP Group,
Group, EEPIS
EEPIS-ITS
Sub Ba b :
4.1. Representasi Sinyal-Sinyal dalam Terminology
Komponen Frekuensi
4.2. Representasi Deret Fourier pada Sinyal Periodik
4.3. Trigonometri Deret Fourier
4.3. Fenomena Gibbs
4.5. Transformasi Fourier
4.6. Spektrum amplitudo dan fase sinyal persegi secara umum
4.7. Bentuk Rectangular Transformasi Fourier
4.8. Sinyal-sinyal dengan Simetri Genap dan Simetri Ganjil
4.9. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
4.10. Studi Kasus Sistem Modulasi Amplitudo DSB FC
4.11. Studi Kasus Sistem Modulasi Amplitudo DSB SC
4.1. Re pre se nta si Sinya l- Sinya l
da la m Te rm ino lo g y Ko m po ne n Fre kue nsi
N
Sebuah sinyal waktu kontinyu
x(t ) = ∑ An cos(ω n t + θ n )
dimana:
n =1
N = bilangan integer positif
An = amplitudo sinyal sinusoida
ωn = frekuensi sudut (dalam radiant/detik)
θn = fase sinyal sinusoida
−∞ < t < ∞
Contoh 1:
Berikan gambaran sebuah sinyal sinusoida yang tersusun dari persamaan berikut ini:
0 < t < 20
x(t) = A1 cos t + A2 cos (4t + π/3) + A3 cos (8t + π/2)
Dari kasus ini gambarkan frekuensi penyusun dari sinyal tersebut.
Penyelesaian:
Dari persamaan tersebut di atas kita dapat melihat bahwa tiga parameter sinyal yang utama adalah:
- Amplitudo adalah A1, A2 dan A3.
- Frekuensi adalah 1, 4, dan 8 radiant.
- Fase adalah 0, π/3 dan π/2.
Dengan mencoba nilai-nilai amplitudo seperti berikut ini akan kita dapatkan bentuk sinyal yang berfariasi.
a)
A1 = 0,5
A2 = 1
A3 = 0
b)
A1 = 1
A2 = 0,5
A3 = 0
c)
A1 = 1
A2 = 1
A3 = 0
G a mb a rnya
Gambar.4.1 Gambaran nilai x(t) untuk berbagai nilai amplitudo berbeda
Sp e ktrumnya
Gambar 4.2. Spektral amplitudo sinyal penyusun x(t)
Be ntuk Eksp o ne nsia l Ko mp le k
Definisi:
[
]
An j (ω n +θ n )
e
+ e − j (ω n +θ n )
2
A
A
= n e jθ n e jω nt + n e − jθ n e j ( −ω n )t
2
2
An cos(ω n t + θ n )
=
A
c n = n e jθ
2
n = 1, 2, ...
An cos(ω n t + θ n )
N
[
x(t ) = ∑ c n e
n =1
N
x(t ) = ∑ c n e
n =1
jω n t
jω n t
+ c−n e
N
= cn e
j ( −ω n ) t
+ ∑ c−n e
n =1
]
j ( −ω n ) t
c−n =
An − jθ
e
n = 1, 2, ...
2
jω nt
j ( −ω n ) t
+ c−n e
N
x(t ) = ∑ c n e
jω n t
+
n =1
x(t ) =
N
jω n t
c
e
∑ n
n=− N
−1
j (ω n ) t
c
e
∑ n
n=− N
4.2. Re p re se nta si De re t Fo urie r p a d a Sinya l Pe rio d ik
Sinyal waktu kontinyu x(t) dengan periode T
x(t + T) = x(t)
untuk semua nilai t
x(t)
1
...
...
-2,5 -2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
-2,5
Gambar 4.3 Sinyal persegi periodik dengan T = 2
Bentuk jumlahan eksponensial komplek:
x (t ) =
∞
jnω ot
c
e
∑ n
n = −∞
1 T /2
jnω ot
cn =
x
t
e
dt
(
)
−
∫
T −T / 2
n = 0, ± 1, ± 2
Contoh 2:
Dari sinyal persegi periodik pada Gambar 4.3, coba anda cari nilai cn.
Penyelesaian:
Sinyal ini merupakan periodik dengan periode T =2, dan frekuensi fundamentalnya adalah ωo = 2π/2 = π
radian/detik. Sinyal ini memenuhi kondisi Derichlet, sehingga dapat diberikan representasi Fourier.
Konstanta dapat dicari:
11
11
1
co = ∫ x(t )dt = ∫ (1)dt =
2 −1
2 −1
2
Untuk nilai n secara umum:
cn
11
= ∫ x(t )e − jnπt dt
2 −1
1 0,5 − jnπt
dt
= ∫e
2 − 0, 5
1
e − jnπt
=−
j 2nπ
t = 0,5
t = −0,5
nπ
nπ ⎞
1 ⎛
− j sin
⎜ − j sin
⎟
j 2 nπ ⎝
2
2 ⎠
1
nπ
=
sin
,
n = ±1, ± 2, ...
2
nπ
n = ±2, ± 4,....
⎧0
⎪
=⎨ 1
n = ± 1, ± 3,...
⎪⎩ nπ
=−
4.3. Trigonometri Deret Fourier
∞
1
x(t ) = + ∑ 2 c n cos(nω o t + ∠c n ) −∞ < t < ∞
2 n=1
Deret Fourier dalam bentuk trigonometri
n ganjil
dimana:
|cn| = magnitudo dari cn
∠c n = sudut dari cn
Contoh 3:
Coba anda cari bantuk trigonometri deret Fourier pada Contoh.2.
Penyelesaian:
⎧0
⎪
cn = ⎨ 1
⎪⎩ nπ
⎧0
⎪
∠c n = ⎨
π
(n −1) / 2
(
)
−
−
1
1
⎪⎩
2
untuk n = 2, 4, ...
[
untuk n = 1, 3, ...
Representasi trigonometri dari Deret Fourier
[
]
]
∞
1
2
π⎞
⎛
( )
cos⎜ nπt + (− 1) n−1 / 2 − 1 ⎟
x(t ) = + ∑
2 n=1 nπ
2⎠
⎝
n ganjil
untuk n = 2, 4, ...
untuk n = 1, 3, ...
−∞ < t < ∞
4.3. Fe no me na G ib b s
[
]
N
1
2
π⎞
⎛
(n −1) / 2
cos⎜ nπt + (− 1)
x N (t ) = + ∑
−1 ⎟
2 n=1 nπ
2⎠
⎝
−∞ < t < ∞
n ganjil
Gambar 4.4. Sinyal x(t) pada N=9
Gambar 4.5. Sinyal x(t) pada N=21
4.4. Sp e ktra l G a ris
Komponen-komponen frekuensi disajikan dalam terminologi amplitudo dan fase
Ægambar |c0| dan 2|cn| sebagai fungsi ω = nω0 untuk n = 0, +1, +2,…
Dalam spectral garis hanya frekuensi non negatif.
Contoh 4:
Pertimbangkan suatu pulsa persegi seperti pada Gambar 4.5, dalam hal ini c0=0,5. Berikan koefisienkoefisien cn pada deret Fourier-nya.
Penyelesaian:
Koefisien-koefisien cn deret Fourier diberikan sebagai:
⎧0
cn = ⎨
⎩1 nπ
n = 2, 4,...
n = 1, 2,..
⎧0
⎪
∠c n = ⎨
π
( n −1) / 2
[(
1
)
1
]
−
−
⎪⎩
2
n = 2, 4,...
n = 1, 3,..
Bentuk spektrum amplitudo dan fase
Gambar 4.6 Spektral garis deretan pulsa persegi
4.5. Transformasi Fourier
Deret fourierÆ untuk sinyal periodik saja,
Transformasi FourierÆ sinyal periodik dan non periodik
x(t)
1
t
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Gambar 4.7 Pulsa persegi satu detik
Evaluasi untuk n = 0
1 T /2
1 0,5
1
=
=
c0 =
x
t
dt
dt
(
)
T −T∫/ 2
T −0∫,5
T
Untuk n yang lain:
cn
1
=
T
=−
0 ,5
− jn ω 0 t
e
dt
∫
− 0 ,5
[
jn ω T
]
− jn ω 0 t t = 0 , 5
e
t = −0 ,5
1
0
=−
[
e
jn ω T
1
− jn ω 0 / 2
− e jn ω 0 / 2
]
0
nω 0 ⎞
⎛
=−
⎜ − j 2 sin
⎟
2 ⎠
jn ω 0 T ⎝
nω 0 2
2
sin
=
; n = ± 1, ± 2 ,..
2
nω 0T
1
Gambar 4.8. Spektrum terskala pada xT(t) untuk atas T=2, tengah T=5, bawah T=10
4.6 Sp e ktrum Amp litud o d a n Fa se Sinya l Pe rse g i
Gambar 4.9. Spektrum Amplitudo Sinyal Persegi
Fase X(ω)
180o
−10π −8π −6π −4π −2π
0 2π
-180o
4π
Gambar 4.10. Spektrum Fase Sinyal Persegi
6π
8π
10π
ω
Contoh 5
Berikan gambaran spektrum amplitudo dan spektrum fase dari suatu fungsi x(t) = e-jbt u(t). Dimana b merupakan
konstanta real, u(t) merupakan fungsi step.
Penyelesaian:
Untukb=0, akan didapakan x(t) = u(t). Untuk nilai b yang lain, transformasi Fourier X(ω) pada x(t) diberikan
sebagai:
∞
disini
X (ω ) = ∫ e −bt u (t )e − jωt dt
u(t) = 0 untuk t < 0. −∞
u(t) = 1untuk t > 0
∞
X (ω ) = ∫ e −bt e − jωt dt
0
∞
= ∫ e −(b + jω )t dt
0
Evaluasi integral ini memberikan:
X (ω ) = −
Untuk b > 0, x(t) memiliki transformasi Fourier:
X (ω ) = −
1
1
(0 − 1) =
b + jω
b + jω
[
1
e − ( b + jω ) t
b + jω
]
t =∞
t =0
Spektrum amplitudo: X (ω ) =
1
b2 + ω 2
Spektrum fase: ∠X (ω ) = − tan −1 ⎛⎜ ω ⎞⎟
⎝b⎠
Hasilnya
Gambar 4.11. Gambaran spektrum amplitudo dan fase pada fungsi x(t) = exp(-10t)u(t)
4.7 Bentuk Rectangular Transformasi Fourier
Transformasi Fourier sinyal x(t)
•Bentuk Rectangular adalah:
∞
− jω t
x
t
e
dt
(
)
∫
X (ω ) =
X(ω) = R(ω) + j I(ω)
−∞
Persamaan dasar Euler
X (ω ) =
∞
∫
∞
−∞
x(t ) cos(ωt )dt − j ∫ x(t ) sin(ωt )dt
−∞
Tandai
R(ω ) =
∞
∫ x(t ) cos(ωt )dt
Dimana:
R(ω) = bagian real
I(ω) = bagian imajiner
•Bentuk polar:
X (ω ) = X (ω ) exp[ j∠X (ω )]
−∞
∞
I (ω ) = − ∫ x(t ) sin(ωt )dt
−∞
Polar ÅÆ Rectangular
X (ω ) = R 2 (ω ) + I 2 (ω )
⎛ I (ω ) ⎞
⎟⎟
∠X (ω ) = tan −1 ⎜⎜
(
)
R
ω
⎠
⎝
dimana
|X(ω)| = magnitudo pada X(ω)
∠X (ω ) = magnitudo pada X(ω)
4.8 Sinyal-sinyal dengan Simetri Genap dan Simetri Ganjil
•Fungsi genap jika x(t) = x(-t)
∞
X (ω ) = R (ω ) = 2 ∫ x(t ) cos ωtdt
0
•Fungsi ganjil jika x(t) = - x(-t)
∞
X (ω ) = I (ω ) = − j 2 ∫ x(t ) sin ωtdt
0
Contoh 7:
Suatu nilai positif τ, digunakan untuk pulsa persegi pτ(t) yang memiliki durasi τ detik dan didefinisikan
sebagai:
⎧
⎪1
pτ (t ) = ⎨
⎪⎩0
τ
−τ
≤t ≤
2
2
t yang lain
Berikan penyelesaian bentuk transformasi Fouriernya.
pτ(t)
1
t
-τ/2
0
τ/2
Gambar 4.12 Pulsa persegi dengan durasi τ detik
Penyelesaian
Pulsa rectangular (persegi) pτ(t) dapat diberikan seperti pada Gambar 4.12. Dari gambar tersebut jelas
bahwa sinyal ini merupakan fungsi genap
Transformasi Fouriernya:
τ 2
X (ω ) = 2 ∫ (1) cos ωtdt
0
=
2
ω
⎛ ωτ ⎞
= sin ⎜
⎟
ω ⎝ 2 ⎠
2
Dalam terminology sinc:
X(ω) = τ sinc(τω/2)
[sin ωt ]tt ==τ0 / 2
Gambar 4.13. Transformasi Fourier sinyal persegi τ detik
4.9 Sifat-Sifat Transformasi Fourier
•. Linearitas
Penyelesaian:
Menggunakan sifat linearitas kita dapatkan bahwa tansformasi
Fourier masing-masing adalah seperti berikut:
P4(ω) = 4 sinc 2ω/π
P2(ω) = 2 sinc 2ω/π
Jika x(t) ÅÆ X(ω) dan v(t)ÅÆ V(ω)
maka: ax(t) + bx(t) ÅÆ aX(ω) + bV(ω)
Maka kita dapatkan untuk
Contoh 9:
X(ω) = P4(ω) + P2(ω)
Perhatikan sebuah sinyal pada Gambar 4.14, tampak
= 4 sinc 2ω/π + 2 sinc 2ω/π
bahwa sinyal tersebut merupakan jumlahan dari dua
pulsa persegi seperti berikut ini:
x(t) = p4(t) + p2(t)
Dengan memanfaatkan sifat linearitas coba anda
berikan bentuk transformasi Fouriernya.
p4(t)
x(t)
2
=
1
-2
-1 0
2 p2(t)
2
1
2
t
+
1
-2
-1 0
1
2
t
Gambar 4. 14 Sinyal dalam contoh 9
1
-2
-1 0
1
2
t
• Pergeseran Waktu
Jika x(t) ÅÆX(ω), maka untuk suatu nilai real c positif atau negatif:
x(t-c) ÅÆX(ω)e-jωc
Contoh 10:
Sinyal x(t) yang ditunjukkan pada Gambar 4.15 memiliki ekuivalensi dengan pulsa persegi p2(t) yang
mengalami pergeseran 1 detik. Dalam hal ini : x(t) = p2(t-1). Berikan bentuk transformasi Fouriernya
Penyelesaian:
Transformasi Fourier X(ω) untuk sinyal x(t) hasilnya adalah:
X(ω) = 2(sinc ω/π)e-jω.
x(t)
Sementara kita tahu bahwa:
|e-jω| =1 untuk semua nilai ω
spektrum aplitudo |X(ω)| pada
x(t) = p2(t-1) adalah sesuai dengan
spektrum amplitudo pada p2(t).
1
0
1
2
Gambar 4.15 Sinyal pada contoh 10
3
t
• Penskalaan Waktu
Jika x(t) ÅÆ X(ω), untuk suatu nilai real positif a,
x(at) ÅÆ(1/a)X(ω/a)
p2(t)
-1,0 -0,5
t
0 0,5 1,0
p2(2t)
-1,0 -0,5
0
0,5 1,0
t
Gambar 4.16 Contoh bentuk
kompresi waktu pada suatu sinyal
Gambar 4.17 Transformasi Fourier pada p2(t) dan p2(2t)
• Pembalikan Waktu
Jika x(t) ÅÆX(ω), maka akan kita miliki:
x(-t)ÅÆX(-ω)
Contoh 11:
Suatu bilangan real b>0 diberikan untuk suatu sinyal
sedemikian hingga x(-t) = e-btu(t). Berikan bentuk
transformasi Fouriernya
Penyelesaian:
Transformasi Fourier pada x(-t) adalah 1/(b + jω).
Sehingga transformasi Fourier pada x(t) adalah:
X (ω ) =
1
1
=
b + jω b − jω
Jika sinyal x(t) bernilai real
X (− ω ) = X (ω )
⎧0
x(t ) = ⎨ bt
⎩e
t>0
t≤0
• Perkalian dengan Suatu Bentuk Pangkat
Jika x(t)ÅÆX(ω), untuk suatu nilai positif integer n:
t x(t ) ↔ ( j )
n
n
dn
X (ω )
dω n
Contoh 12:
Tetapkan x(t) = t p2(t) yang diberikan pada Gambar
4.18 Berikan bentuk transformasi Fourier dan
spektrum amplitudonya.
Gambar 4.18 Sinyal x(t) = tp2(t)
Penyelesaian:
Dengan menggunakan sifat persamaan (4-52) dan
pasangan transformasi Fourier (4-44) memberikan
bentuk seperti berikut:
Gambar 4.19. Spektrum amplitudo sinyal
ω⎞
ωcosω−sinω
d⎛
d ⎛ sincω ⎞
X(ω) = j ⎜2sinc ⎟ = j2 ⎜
⎟ = j2
π⎠
dω ⎝
dω ⎝ ω ⎠
ω2
• Perkalian dengan Sinusoida
Jika x(t) ÅÆ X(ω), maka untuk suatu bilangan ω0,
x(t) cos ω0t ÅÆ (j/2) [X(ω + ω0) - X(ω − ω0)]
x(t) sin ω0t ÅÆ (1/2) [X(ω + ω0) - X(ω − ω0)]
Contoh 13:
Pertimbangkan suatu sinyal
x(t) = pτ(t)cosω0t yang diinterpretasikan
sebagai sinyal sinusoida. Untuk nilai τ = 0.5
dan ω0 = 60 radiant/dt bentuknya bisa
dilihat pada Gambar 4.20. Berikan gambaran
transformasi Fouriernya.
Gambar 4.20. Deretan sinusoida
Penyelesaian:
Dengan pasangan transformasi Fourier diatas:
1⎡
⎛ τ (ω + ω 0 ) ⎞
⎛ τ (ω − ω 0 ) ⎞⎤
+
τ
τ
sin
sin
c
c
⎟
⎜
⎟⎥
⎜
⎢
2⎣
2π
2π
⎠
⎝
⎠⎦
⎝
Untuk nilai t = 0,5 dan ω0 = 60 rad/dt, hasilnya
Gambar 4.21. Transformasi Fourier sinyal sinusoida
• Konvolusi dalam Domain Waktu
Jika sinyal x(t) dan v(t) memiliki transformasi Fourier X(ω) dan V(ω).
x(t)*v(t) ÅÆ X(ω)V(ω)
• Perkalian dalam Domain Waktu
Jika x(t)ÅÆX(ω) dan v(t)ÅÆV(ω) maka
1
[X (ω ) * V (ω )] = 1
x(t )v(t ) ↔
2π
2π
∞
∫ X (λ )V (ω − λ )dλ
−∞
4.10 Studi Kasus
Sistem Modulasi Amplitudo DSB-FC
Informasi
Si(t)
Modulasi
Sinyal
AM DSB-FC
Carrier
Sc(t)
Gambar 4.22 Diagram blok sistem DSB-FC
G a mb a ra n Ra ng ka ia n AM DSB-FC
Info
AM
Signal
Carrier
Gambar 4.23 Rangkaian sistem DSB-FC
G a mb a ra n Be ntuk Ma te ma tika
si (t ) = Ai sin (2πf i t )
Sinya l Info rma si:
Sinya l C a rrie r:
sc (t ) = Ac sin (2πf c t )
Sinya l AM DSBSC :
S AM = ( Ac + Ai sin (2πf i t ))sin (2πf c t )
Pe nd e ka ta n Pro g ra m Ma tla b
Disini kita akan membuat simulasi
dimana frekuensi carier sebesar 10 kali
frekuensi informasi.
Contoh Programnya seperti berikut….
%File Name: AM_DSBFC_01.m
clear all;
T=1000;
fi=1;
A=0.5;
fc=10;
t=1/T:1/T:3;
si=0.5*sin(2*pi*fi*t);
AM_DSBFC=(1 + si).*sin(2*pi*fc*t);
G a m b a ra n da la m Do m a in Wa ktu
Gambar 4.24 Perbandingan Bentuk sinyal informasi dan sinyal DSB-FC
G a mb a ra n d a la m Do ma in Fre kue nsi
Spektrum
Carrier
Spektrum
Informasi
Lower
Sideband
Upper
Sideband
Spektrum
AM DSB_FC
Gambar 4.25 Gambaran bentuk spektrum frekuensi sistem DSB-FC
Sistem Modulasi Amplitudo DSB-SC
Product
Modulation
Informasi
Si(t)
Sinyal
AM DSB-FC
Carrier
Sc(t)
Gambar 4.26 Diagram blok sistem DSB-SC
G a mb a ra n Ra ng ka ia n AM DSB-SC
Info
DSBSC
Output
Carrier
Gambar 4.27 Rangkaian sistem DSB-SC
G a mb a ra n Be ntuk Ma te ma tika
Sinya l Info rma si:
Sinya l C a rrie r:
Sinya l AM DSBSC :
si (t ) = Ai cos(2πf i t )
sc (t ) = Ac cos(2πf c t )
S AM = Si (t ) × S c (t )
Dimana:
Ai: amplitudo sinyal informasi
fi: frekuensi sinyal informasi
Ac: amplitudo sinyal carrier
fc: frekuensi sinyal carrier
Pe nd e ka ta n Pro g ra m Ma tla b
Disini kita akan membuat simulasimirip
dengan kasus DSB-FC dimana frekuensi
carier sebesar 10 kali frekuensi
informasi.
Contoh Programnya seperti berikut….
%File Name: AM_DSBSC_01.m
clear all;
T=1000;
f1=1;
f2=10;
t=1/T:1/T:1;
s1=sin(2*pi*f1*t);
s2=sin(2*pi*f2*t);
AM_DSBSC=s1.*s2;
G a m b a ra n da la m Do m a in Wa ktu
Gambar 4.28 Perbandingan Bentuk sinyal informasi dan sinyal carrier
Gambar 4.29 Gambaran bentuk sinyal DSB-FC
G a mb a ra n d a la m Do ma in Fre kue nsi
Spectrum
Informasi
Suppressed
Carrier
Spectrum
Carrier
Spectrum
AM DSB_SC
Gambar 4.30 Gambaran bentuk spektrum frekuensi sistem DSB-FC
Soal Latihan
1. Cari bentuk transfromasi Fourier sinyal berikut ini:
a. 10 sin(2π100t)
b. 10 cos(2π100t)
2. Dapatkan bentuk transformasi Fourier dari gambar berikut
x(t)
1
...
...
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
3. Cari sebuah rangkaian demodulasi amplitudo, sederhanakan dalam diagram
blok dan coba jelaskan prinsip kerja dan gambaran sinyalnya dalam domain
waktu dan domain frekuensi.