BAB 3. TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS Turunan Fungsi Kompleks - Microsoft Word ANALISIS KOMPLEKS TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS

BAB 3. TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS Turunan Fungsi Kompleks Turunan dari fungsi kompleks dituliskan

  pada z ( ) dan didefinisikan sebagai :

  ( ) − ( ) ( )

  = lim

  

→

  − Atau dapat juga didefinisikan :

  ( + ∆ ) − ( ) ( ) = lim

  ∆ →

  ∆ Fungsi f(z) disebut differensial di bila limit diatas ada.

  Adapun sifat-sifat turunan antara lain: a.

  → ( ) = ( ) = b.

  → ( ) = ( ) =

• c.

  ( ) = + → ( 眆) = d.

  ( ) = − → ( ) = −

  e. → ( ) = ( ) =

• f.

  ( ) = . → ( ) = g.

  ( ) = → ( ) = Contoh: Tentukan turunan dari fungsi berikut: ₂ 1. f(z) = z

  Penyelesaian:

  ( + ∆ ) − ( ) ( )

  = lim

  ∆ →0

  ∆ ( + ∆ ) −

  = lim

  ∆ →

  ∆

• 2 ∆ + ∆ − = lim

  ∆ →

  ∆ 2 ∆ + ∆ = lim

  ∆ →

  ∆ = lim 2 + ∆

  ∆ →

  = 2 − 0 = 2

  Dapat juga menggunakan rumus turunan yang pertama

  

( ) − ( )

( )

  = lim

  →

  − 가 −

  = lim

  → _{" −}

  ( − )( + ) = lim

  → _{" −}

• = lim

  → _"

• = = 2

Atau gunakan sifat-sifat turunan: ( ) = # $

  2−1 ( )

  = 2 ₂ = 2 2. + 3z f(z) = z

  Penyelesaian:

  

( + ∆ ) − ( )

( ) = lim ∆ →0

  ∆ ( + ∆ ) + 3( + ∆ ) − ( + 3 )

  = lim

  ∆ →

  ∆

• 2 ∆ + ∆ + 3 + 3∆ − − 3 = lim

  ∆ →

  ∆ 2 ∆ + ∆ + 3∆ = lim

  ∆ →

  ∆ (2 + ∆ + 3)∆

  = lim

  ∆ →

  ∆ = lim 2 + ∆ + 3

  ∆ →

  = 2 + 0 + 3 = 2 + 3 Atau dapat juga menggunakan rumus pertama

  ( ) − ( ) ( )

  = lim

  →

  − ( + 3 ) − ( + 3 )

  = lim

  → _"

  − − + 3 − 3

  = lim

  → _{" −}

  ( − )( + ) + 3( − ) = lim

  → _{" −}

  ( − )( + ) + 3 = lim

• = lim + 3

  → _"

• 3 + = = 2 + 3
₃ 3. – 2z f (z) = z

  Penyelesaian:

  ( + ∆ ) − ( ) ( )

  = lim

  ∆ →0

  ∆

  ' '

  ( + ∆ ) − 2( + ∆ ) − ( − 2 ) = lim

  ∆ →

  ∆

  ' '

• 3 ∆ + 3 ∆ + ∆ − 2 − 2∆ − + 2 = lim

  ∆ →

  ∆ 3 ∆ + 3 ∆ + ∆ − 2∆ < = lim

  ∆ →

  ∆ (3 + 3 ∆ + ∆ − 2)∆

  = lim

  ∆ →

  ∆ = lim 3 + 3 ∆ + ∆ − 2

  ∆ →

  = 3 + 3 . 0 + 0 − 2 = 3 − 2

SOAL LATIHAN

  1.

  ( ) = ) 2. ( ) = 3

  3. + 2 ( ) = 4 4.

• 3 ( ) = ) 5.

  ) − ) +3 ( ) = 2

  Penyelesaian: 1.

  ( ) = ) Penyelesaian:

  ( + ∆ ) − ( ) ( ) = lim ∆ →0

  ∆ (( + ∆ ) )) − )

  = lim

  ∆ +→

  ∆ ) + 2 ∆ ) + ∆ ) − )

  = lim

  ∆ →

  ∆ 2 ∆ ) + ∆ ) = lim

  ∆ →

  ∆ = lim 2 ) + ∆ )

  ∆ →

  = 2 ) + 0 = 2 ) 2.

  ( ) = 3 ,- .-/-0 ) :

  ( + ∆ ) − ( ) ( )

  = lim

  ∆ →0

  ∆ 3( + ∆ ) − 3( )

  = lim

  ∆ →

  ∆ 3 + 6 ∆ + ∆ − 3 = lim

  ∆ →

  ∆ 6 ∆ − ∆ = lim

  ∆ →

  ∆ = lim 6 − ∆

  ∆ →

  = 6 − 0

  = 6 3.

• 2 ( ) = 4

  Penyelesaian:

  ( + ∆ ) − ( ) ( ) = lim ∆ →0

  ∆ 4( + ∆ ) + 2( + ∆ ) − (4 + 2 )

  = lim

  ∆ →

  ∆ 4 + 8 ∆ + 4∆ + 2 + 2∆ − 4 − 2 = lim

  ∆ →

  ∆ 8 ∆ + 4∆ + 2∆ = lim

  ∆ →

  ∆ (8 + 4∆ + 2)∆

  = lim

  ∆ →

  ∆ = lim 8 + 4∆ + 2

  ∆ →

  = 8 + 0 + 2 = 8 + 2 4.

• 3 ( ) = )

  Penyelesaian:

  ( + ∆ ) − ( ) ( )

  = lim

  ∆ →0

  ∆ (( + ∆ ) ⌜) + 3( + ∆ ) − () + 3 )

  = lim

  ∆ →

  ∆ (

  ) + 2 ∆ ) + ∆ )) + 3 + 3∆ − ) − 3 = lim

  ∆ →

  ∆ ) + 2 ∆ ) + ∆ ) + 3 + 3∆ − ) − 3

  = lim

  ∆ →

  ∆ 2 ∆ ) + ∆ ) + 3∆ = lim

  ∆ →

  ∆ (2 ) + ∆ ) + 3)∆

  = lim

  ∆ →

  ∆ = lim 2 ) + ∆ ) + 3

  ∆ ∬ →

  = 2 ) + 0. ) + 3

  = 2 ) + 3 5.

  ) − ) + 3 ( ) = 2

  Penyelesaian:

  ( + ∆ ) − ( ) ( ) = lim ∆ →0

  ∆ 2(( + ∆ ) )) − 5( + ∆ )) + 36 − (2 ) − ) + 3)

  = lim

  ∆ →

  ∆ 2 ) + 4 ∆ ) + 2∆ ) − ) − ∆ ) + 3 − 2 ) + ) − 3 = lim

  ∆ →

  ∆ 4 ∆ ) + 2∆ ) − ∆ ) = lim

  ∆ →

  ∆ (4 ) + 2∆ ) − ))∆

  = lim

  ∆ →

  ∆ = lim 4 ) + 2∆ 2) − )

  ∆ →

  = 4 ) + 2.0. ) − ) = 4 ) − )

LAPORAN PERTANYAAN

  Pertanyaan dari kelompok 11

• 2 ∆ + ∆ − 4 − 8 ∆ − 4∆ + + ∆ − + 4 −

  = lim

  = 9

  ( )

  7 8)

  ( )

  Devi Risdianti(2011 121 078): tentukan

  = 2 − 8 + 1 Pertanyaan dari kelompok 8 3.

  =2z +0 − 8 − 4.0 + 1

  2 + ∆ − 8 − 4∆ + 1

  ∆ →

  = lim

  (2 + ∆ − 8 − 4∆ + 1)∆ ∆

  ∆ →

  2 ∆ + ∆ − 8 ∆ − 4∆ + ∆ ∆

  ∆ →

  ∆ = lim

  ∆ →

  = lim

  ( + ∆ ) − 4( + ∆ ) + ( + ∆ ) − ( − 4 晢 + ) ∆

  ∆ →

  ∆ = lim

  ∆ →0 ( + ∆ ) − ( )

  = lim

  ( )

  Jawab: ( ) = − 4 +

  Nendri (2011 121 080) : tentukan turunan fungsi dari ( ) = − 4 +

  1. Tri wahyuni(2011 121 086) : selain rumus kedua apakah bisa menggunakan rumus turunan fungsi kompleks yang pertama? Jawab: bisa, contohnya ada di contoh soal yang pertama. Pertanyaan dari kelompok 4 2.

  2

• 4
Penyelesaian:
• 4 ( ) = 9

  Jawab:

  ( )

• ∆ − ( )

  ( ) = lim ∆ →0

  ∆ (9( + ∆ ) + 4) − (9 + 4)

  = lim

  ∆ →

  ∆ 9 + 18 ∆ + 9∆ + 4 − 9 − 4 = lim

  ∆ →

  ∆ 18 ∆ + 9∆ = lim

  ∆ →

  ∆ (18 + 9∆ )∆

  = lim

  ∆ →

  ∆ = 18 + 9∆ = 18 + 9.0 = 18

  Pertanyaan dari kelompok 3 4.

  Leni wahyuni(2011 121 057): apakah |z| memiliki turunan di titik (0,0) Penyelesaian: F(z) = |z| = |x + iy|, maka

  ( ) − ( )

  ( ) = lim →0

  − |; + ).| − |0,0|

  = lim

  →

  |; + ).| |; + ).|

  = lim

  →

  |; + ).| Anggap x = 0 konstan maka

  |).| |).| = lim = 1 7 lim − = −1

  =→ =→ ). ).

  $ 8- /)#)> . >)7 $ 7 , | |>)7 $ #-#)/)$) > 8 Pertanyaan dari kelompok 11

  5. kontinu di seluruh bidang kompleks

  Wahyuni(2011 121 079): buktikan ( ) = | | tetapi hanya terdifferensial di z = 0 Jawab:

  2

  2

  bearti u(x,y) = dan v(x,y) = 0 〱( ) = | | = ; + . ; + . 7 $? >) 7) @, # $ ( )$? >) 7) @

  ( ) − ( )

  ( )

  = lim

  →0

  − ( ) − (0)

  ( ) = lim →0

  − 0

  2

  | | = lim

  →0

  A = lim

  →

  = 0 B 7) ( )>-87) -8- 0) / 7) = 0

  Pertanyaan dari kelompok 6 6.

  Maryadi (2011 121 070): bagaimana penyelesaian dari soal latihan no 5? Jawab:

  ) − ) + 3 ( ) = 2

  Penyelesaian:

  ( + ∆ ) − ( ) ( )

  = lim

  ∆ →0

  ∆ 2(( + ∆ ) )) − 5( + ∆ )) + 36 − (2 㰀 − ) + 3)

  = lim

  ∆ →

  ∆ 2 ) + 4 ∆ ) + 2∆ ) − ) − ∆ ) + 3 − 2 ) + ) − 3 = lim

  ∆ →

  ∆ 4 ∆ ) + 2∆ ) − ∆ ) = lim

  ∆ →

  ∆ < (4 ) + 2∆ ) − ))∆

  = lim

  ∆ →

  ∆ = lim 4 ) + 2∆ ) − )

  ∆ →

  = 4 ) + 2.0. ) − ) Pertanyaan dari kelompok 7

  ' 7.

• 2 Tika Novita.S (2011 121 064): hitunglah turunan dari fungsi berikut ( ) = 4

  Jawab:

  '

• 2 ( ) = 4

  ( + ∆ ) − ( ) ( ) = lim ∆ →0

  ∆

  '

  4( + ∆ ) + 2( + ∆ ) ( + ∆ ) − (4 + 2 ) = lim

  ∆ →

  ∆

  '

  4 + 8 ∆ + 4∆ + (2 + 4 ∆ + 2∆ + 2 ) )( + ∆ ) − (4

  = lim

  ∆ →

  ∆

  ' ' '

  4 + 8 ∆ + 4∆ + 2 + 2 2 ∆ + 4 ∆ + 4 ∆ + 2∆ + 2∆ − 4 − 2 = lim

  ∆ →

  ∆

  '

  8 ∆ + 4∆ + 6 < ∆ + 4 ∆ + 2∆ + 2∆ = lim

  ∆ →

  ∆ (8 + 4∆ + 6 + 4 ∆ + 2 ∆ + 2∆ )∆

  = lim

  ∆ →

  ∆ = lim 8 + 4∆ + 6 + 4 ∆ + 2 ∆ + 2∆

  ∆ →

  = 8 + 4.0 + 6 + 4 . 0 + 2 . 0 + 2.0 = 8 + 6

  Pertanyaan dari kelompok 10

  2 8. ( ) dengan menggunakan definisi

  = ( + 2) Desi Susanti (2011 121 062): Carilah tersebut

  Jawab:

  2

  2

  ( + 2) = + 4 + 4

• 4 + 4 ( ) =

  ( )

  2 + ∆ − ( )

  ( ) = lim ∆ 攰→0

  ∆ ( + ∆ ) + (4( + ∆ ) + 4) − ( + 4 + 4)

  = lim

  ∆ →

  ∆

• 2 ∆ + ∆ + 4 + 4∆ + 4 − − 4 − 4 = lim

  ∆ →

  ∆

  2 ∆ + ∆ + 4∆ = lim

  ∆ →

  ∆ (2 + ∆ + 4)∆

  = lim

  ∆ →

  ∆ = lim 2 + ∆ + 4

  ∆ →

  = 2 + 0 + 4 = 2 + 4

  Pertanyaan dari kelompok 4 9.

  Puput Nova Oktasari(2011 121 084): hitunglah turunan dari fungsi berikut:

• 2) + 6 ( ) = 10

  Jawab:

  ( )

• ∆ − ( )

  ( ) = lim ∆ →0

  ∆ 10( + ∆ ) + 2) + 6 − (10 + 2 〰 + 6)

  = lim

  ∆ →

  ∆ 10 + 20 ∆ + 10∆ + 2) + 6 − 10 − 2) − 6) = lim

  ∆ →

  ∆ 20 ∆ + 10∆ = lim

  ∆ →

  ∆ < (20 + 10∆ )∆

  = lim

  ∆ →

  ∆ = lim 20 + 10∆

  ∆ →

  = 20 + 10.0 = 20

  Pertanyaan dari kelompok 1 10.

  Anna Heriyanti(2011 121 332): bisa tidak kalau soalnya berakar, kalau bisa berikan contoh? Jawab: Bisa, dengan menggunakan rumus pertama, contoh:

  ( ) − ( ) ( ) = lim _"

  − C − D C + D = lim . _{" −} C + D

  − = lim _"

  ( − )(C + D )

  1 = lim _"

  C + D

  1 =

  D + D

  1 =

  2D Pertanyaan dari kelompok 9

  11. + 6 − andai ada soal seperti diatas. Tentukan Nira Yeni(2011 121 047): ( ) = fungsinya?

  Penyelesaian:

• 6 − ( ) =

  ( )

• ∆ − ( )

  ( ) = lim ∆ →0

  ∆ ( + ∆ 〱) + 6( + ∆ ) − ( + ∆ ) − ( + 6 − )

  = lim

  ∆ →

  ∆

• 2 ∆ + ∆ + 6 + 6∆ − − ∆ − − 6 + ) = lim

  ∆ →

  ∆ 2 ∆ + ∆ + 6∆ − ∆ = lim

  ∆ →

  ∆ (2 + ∆ + 6 − 1)∆

  = lim

  ∆ →

  ∆ = lim 2 + ∆ + 6 − 1

  ∆ →

  = 2 + 6 − 1 Pertanyaan dari kelompok 11

  12. Ayu Putri Widya(2011 121 090): carilah ( ) dengan menggunakan definisi ( ) = 2 − 5 Penyelesaian:

  ( ) = 2 − 5

  ( + ∆ ) − ( ) ( )

  = lim

  ∆ →0

  ∆ 2 ( + ∆ ) − 5 − (2 − 5) = lim

  ∆ →0

  ∆ 2 + 2∆ − 5 − 2 + 5 = lim

  ∆ →

  ∆ = 2

  Pertanyaan dari kelompok 4

  ' 13.

• 2 Enda Agwinata(2011 121 061): Tentukan ( ) dari ( ) = 4 )

  Penyelesaian:

  '

• 2 ( ) = 4 )

  ( )

• ∆ − ( )

  ( ) = lim ∆ →0

  ∆

  ' '

  (4( + ∆ )) ) + 2 − (4 ) + 2) = lim

  ∆ →

  ∆

  ' ' '

  4 ) + 4∆ ) + 2 − 4 ) − 2 = lim

  ∆ →

  ∆

  '

  4∆ ) = lim

  ∆ →

  ∆

  '

  4∆ ) = lim

  ∆ →

  ∆

  '

  = 4) = 4). ) = 4)(−1) = −4)

  Pertanyaan dari kelompok 4

14. Budi Prabowo(2011 121 075): tentukan ( ) dari ( ) = 5 ) + 3

  Penyelesaian: ( ) = 5 ) + 3

  ( + ∆ ) − ( ) ( ) = lim ∆ →0

  ∆

  (

  5 ( + ∆ ) ) ) + 3 − (5 ) + 3) = lim

  ∆ →0

  ∆ 5 ) + 5∆ ) + 3 − 5 ) − 3 = lim

  ∆ →

  ∆ 5∆ )

  = lim

  ∆ →

  ∆ = 5)

  Pertanyaan dari kelompok 3

  ′

  15. ( ) dengan menggunakan definisi ( ) = 3 − )

  Kristina(2011 121 051): carilah Penyelesaian:

  ( ) = 3 − )

  ( + ∆ ) − ( ) ′

  ( )

  = lim

  ∆ →0

  ∆ 3( + ∆ ) − ) − (3 − ))

  = lim

  ∆ →

  ∆ 3 + 3∆ − ) − 3 + ) = lim

  ∆ →

  ∆ 3∆

  = lim = 3

  ∆ →

  ∆ Pertanyaan dari kelompok 1 16.

  Nyayu Melia(2011 121 077): apakah pendekatan limit hanya menggunakan ((+)(-)) saja? Penyelesaian: Menurut kelompok kami tidak, karena tidak hanya itu bisa juga soal dengan menggunakan pembagian, dan akar. Dan untuk soal pembagian kami belum bisa menemukan penyelesaiannya.

  Pertanyaan dari kelompok 2

• ) + 6 Penyelesaian:
• ) + 6
• ) + 6) ∆

  ∆ →

  = lim

  ∆ →

  3∆ )

  '

  ∆ = lim

  ∆ →

  (3)

  '

  ∆ = lim

  3)

  '

  '

  Pertanyaan dari kelompok 8 19.

  Venita Yuriska(2011 121 053): Bagaimana cara menyelesaikan soal seperti ini ( ) =

  ( ) = + + 3

  ′ ( )

  = lim

  ∆ →0 ( + ∆ ) − ( )

  ∆ = lim

  ∆ →

  − ) − 6 ∆

  '

  ( + ∆ ) + ( + ∆ ) + 3 − ( + + 3) ∆

  '

  17. Rio Valentine(2011 121 068): apakah limit harus mendekati nol untuk mencari turunan dalam fungsi kompleks? Penyelesaian: Kalau menurut kelompok kami, itu sudah ditentukan oleh rumusnya sehingga limit yang mendekati nol dapat mencari turunan dengan menggunakan rumus tersebut.

  Pertanyaan dari kelompok 9 18.

  Indri Restiawati(2011 121 058): Carilah

  ′ ( ) dengan menggunakan definisi

  ( ) = 3 )

  '

  ( ) = 3 )

  '

  ′ ( )

  = lim

  ∆ →0 ( + ∆ ) − ( )

  ∆ = lim

  ∆ →

  (3( + ∆ ))

  '

  ) + (( + ∆ ) )) + 6 − (3 )

  '

• 3∆ )
• < ) + 2 ∆ ) + ∆ ) + 6 − 3 )

  = lim

  ∆ →

  3 )

• 2 ∆ ) + ∆ )
• 2 ) + ∆ ))∆
• 2 ) + ∆ ) = 3)(−1) + 2 ) = −3) + 2 )
• 3 Penyelesaian:
• 2 ∆ + ∆ + + ∆ + 3 − − − 3
• ∆

  '

  = lim

  ∆ →

  ((2 + 4 ∆ + 2∆ )( + ∆ )) − 3 − 3∆ − 2

  '

  = lim

  ∆ →

  2

  '

  '

  − 3 − 3∆ − 2

  = lim

  '

  ∆ →

  6 ∆ + 6 ∆ + 2∆

  '

  − 3∆ ∆

  = lim

  ∆ →

  (6 + 6 ∆ + 2∆ − 3)∆ ∆

  = lim

  ∆ →

  6 + 6 ∆ + 2∆ − 3 = 6 − 3

  − 3 ) ∆

  (2( + ∆ ) ( + ∆ )) − 3( + ∆ ) − (2

  Pertanyaan dari kelompok 11 20.

  ∆ →

  ∆ = lim

  ∆ →

  2 ∆ + ∆ + ∆ ∆

  = lim

  ∆ →

  (2 + ∆ + 1)∆ ∆

  = lim

  ∆ →

  2 + ∆ + 1 = 2 + 1

  Eka Susanti(2011 121 074): carilah penyelesaian dari ( ) = 2

  = lim

  '

  − 3 Penyelesaian:

  ( ) = 2

  '

  − 3

  ′ ( ) = lim

  ∆ →0 (

  )

  − ( ) ∆

  = lim

  ∆ →

• 3 ∆
• 2 ∆ + 4 ∆ + 4 ∆ + 2 ∆ + 2∆
• 3 ∆

DAFTAR PUSTAKA

  Yuliants, Bab 5 Fungsi Kompleks-Pdf (online) (http: yuliants.blog.ittelkom.ac.id/blog/flies/2012/02/Bab 5 fungsi-kompleks-pdf.pdf) Roihanah, Analisis Kompleks, Universitas PGRI Palembang, 2013