ANALISIS TAHAN HIDUP DATA BATERAI ABC BE
ANALISIS TAHAN HIDUP DATA BATERAI
ABC BERDISTRIBUSI WEIBULL DENGAN
ESTIMASI PARAMETER METODE
KUADRAT TERKECIL LINIER
Erlan Saputra
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Sriwijaya
e-mail: erlan.saputra44@yahoo.com
Abstract: The use of batteries are widely used in electronic goods, so that consumers
do not know how long the life span of a battery and the mass difference if the battery
life of both types of the same manufacturer with different battery types. One objective
of the analysis was to determine the survival probability of a component will operate
well within a certain period of time that generates the data life time. Looking for life
time data parameter values using the Weibull distribution parameters estimation of
linear least squares method after the transformation of the logarithm. The parameter
values will be used to search for survival functions , a function of hazard, mean and
variance of the Weibull distribution. The data used is the battery life of the brand ABC
type Super-Power and Dry-Cell each totaling 20 batteries, where the data is not
censored. On the results and discussion for the time t = 0, 300, 500 and 700 minutes, the
value of the parameter α = 362.4 and β = 11.25 type batteries Super-Power and α =
334.5 and β = 12.85 for Dry-Cell battery types. ABC brand battery types Super-Power
has a value of S (t), h (t), and mean better than batteries Dry-Cell, while the variance of
types of Dry-Cell is better for battery lifetimes are relatively similar.
Keywords: Linear Least Squares Method, Transformation Logarithms, Weibull
distribution
1. PENDAHULUAN
Penggunaan baterai banyak digunakan dalam barang-barang elektronik, banyak
pabrikan (produksi baterai) menjamin kualitas sebuah produk baterainya tanpa
konsumen mengetahui bagaimana kehandalan suatu produk tersebut. Sehingga
konsumen tidak mengetahui berapa lama masa hidup suatu baterai dan perbedaan massa
hidup kedua jenis baterai jika dari pabrikan yang sama dengan tipe baterai yang berbeda
(Kusumah [5]).
Menggunakan model-model yang ada dalam analisis tahan hidup, akan diketahui
peluang daya tahan hidup suatu baterai pada jangka waktu yang tertentu yang
menghasilkan data waktu hidup. Salah satu sampel analisis data waktu hidup adalah
data tidak tersensor (data lengkap), dimana jika semua komponen yang diamati selama
waktu tertentu mengalami kejadian yang diinginkan (kegagalan). Diakhir penelitian,
status dari semua komponen pengamatan adalah gagal, sehingga waktu bertahan yang
sebenarnya diketahui (Adel [4]). Hal ini berlaku pada data masa hidup baterai merk
ABC jenis Super-Power dan Dry-Cell.
Untuk mencari reliabilitas dapat menggunakan salah satu dari berbagai distribusi.
Menurut Adel [4] distribusi Weibull sering digunakan dalam model distribusi tahan
hidup, karena dapat memodelkan laju kegagalan dalam berbagai keadaan dan dapat
menghasilkan sebuah pendekatan yang baik untuk hukum peluang dari beberapa peubah
acak.
Model distribusi weibull dalam analisis hidup melibatkan fungsi distribusi
kumulatif, fungsi survival (keandalan), fungsi hazard (laju kerusakan), rata-rata waktu
hidup (Mean) dan tingkat keragaman (variansi) yang merupakan fungsi parameter. Oleh
karena itu, estimasi parameter merupakan hal yang berguna dalam mengkaji suatu
distribusi. Dalam regresi linier sederhana, metode kuadrat terkecil linier adalah metode
yang biasa digunakan dalam mengestimasi parameter, dimana mencari nilai parameter
dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat dari residualnya (A. Musdalifa et al. [6]).
Metode ini dapat dipakai untuk mengestimasi parameter distribusi Weibull. Adapun
tujuan penulisan tugas akhir ini adalah (1) Mengestimasi parameter distribusi Weibull
dengan metode kuadrat terkecil linier, (2) Membandingkan masa hidup baterai merk
ABC dengan jenis berbeda (Super-Power dan Dry-Cell), (3) Menguji masa hidup dan
menganalisi realibilitas baterai merk ABC jenis Super-Power dan Dry-Cell.
2. TINJAUAN PUSTAKA
Analisis Ketahanan Hidup
Tujuan dari analisis ketahanan hidup adalah untuk dapat memodelkan distribusi,
dimana mengetahui peluang suatu komponen akan beroperasi dengan baik dalam jangka
waktu yang tertentu (reliabilitas).Waktu analisis tahan hidup memiliki tipe data waktu
dari kejadian pertama sampai terjadinya kejadian muncul gagal. Misalkan T adalah
variabel acak tunggal nonnegatif kontinu pada interval [0,∞ , untuk f(t) adalah fungsi
kepadatan peluang yang didefinisikan sebagai limit peluang waktu tahan hidup dan
waktu pengamatan t
dari T dalam interval periodik t sampai t + ∆t yang dituliskan
sebagai
= �
�� �< 0 sehingga dapat dibentuk sebagai
=∫
�
(2)
Fungsi survival (keandalan) dapat didefinisikan sebagai peluang suatu komponen
akan tetap bertahan hidup sampai waktu t > 0 yang dituliskan sebagai
∞
S t = Pr T > t = ∫t f u du
(3)
Dari fungsi distribusi kumulatif dapat diperoleh hubungan dengan fungsi survival
dapat dibentuk sebagai
S(t) = 1 – F(t)
(4)
Fungsi hazard (laju kerusakan), didefinisikan sebagai limit dari tingkat kerusakan
dimana � mendekati 0 dituliskan sebagai
ℎ
= �
�� →
� �+ �� −� �
�� . �
=
�′ �
=
�
� �
�
(5)
Rata-rata waktu hidup (Mean) suatu komponen dapat berfungsi dengan baik tanpa
ada kerusakan, dapat dirumuskan sebagai
[ ]=∫
∞
=∫
∞
(6)
Selanjutnya, fungsi penting lainnya dalam analisis ketahanan hidup adalah melihat
tingkat keragaman (variansi) , dapat dirumuskan sebagai
���[ ] = [
]−{
[ ] }
(7)
(Effendie [1])
Fungsi Analisis Tahan Hidup Berdistribusi Weibull
Distribusi Weibull merupakan distribusi yang memiliki laju kerusakan yang
meningkat maupun laju kerusakan yang menurun (F. Laua dan Handamari[3]).
Fungsi kepadatan peluang dari distribusi Weibull dengan parameter
dan
dapat dituliskan sebagai
={
−
�
−
�
,
,t >
��
(8)
��
Menggunakan persamaan (2) maka dapat diperoleh fungsi distribusi kumulatif
dari distribusi Weibull yang dituliskan sebagai
={
dimana paramete
bentuk.
−
−
,
�
,t
, <
> 0 , untuk
(9)
adalah parameter skala dan
adalah parameter
Menggunakan persamaan (4) maka dapat diperoleh fungsi survival (keandalan)
dari distribusi Weibull, dapat dituliskan sebagai
=
�
−
,t
(10)
sehingga fungsi hazard (laju kerusakan) dari distribusi Weibull, dapat dituliskan sebagai
ℎ
−
�
=
,t
(11)
Dengan persamaan (6) maka dapat diperoleh rata-rata waktu hidup (Mean) dari
distribusi Weibull, dapat dituliskan sebagai
E(t) =
Γ
+
(12)
Dari rata-rata waktu hidup distribusi Weibull pesamaan (12) dapat diperoleh
tingkat keragaman (variansi) dari distribusi Weibull dengan persamaan (7), dapat
dituliskan sebagai
�
=
{Γ
− [Γ
+
+
] }
(13)
Tranformasi Model Regresi Distribusi Weibull
Transformasi yang digunakan pada distribusi Weibull adalah transformasi
logaritma. Pada fungsi distribusi kumulatif Weibull merupakan fungsi non-linier
ditranformasikan ke fungsi linier menggunakan transformasi logaritma kemudian
dibentuk model regresi linier, diperoleh dalam bentuk
−� �
=
�
≈
−� �
=
ln −
ln
(15)
sehingga pada persamaan (15) dapat di bentuk dalam model regresi sederhana,
dapat dituliskan sebagai
�� = − ln
+
ln
�
+
�
(16)
(Musdalifa et al. [6])
Penaksir Parameter Metode Kuadrat Terkecil Linier
Metode kuadrat terkecil digunakan untuk mendapatkan estimasi dari parameter
dari regresi linier sederhana, dimana regresi sederhana dapat dituliskan sebagai sebagai
�� =
+
�
+
�
+
�
(17)
�
(18)
sehingga diperoleh model dalam bentuk penduga regresi sederhana,
�̂� = ̂ + ̂
Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil linier dengan cara mencari deviasi
(S) pada persamaan (19) kemudian menentukan jumlah kuadrat deviasi (JKS) pada
persamaan (20).
�
= �� − �̂�
(19)
∑��=
�
= ∑��= �� −�̂� )2
Dimana nilai ̂
(20)
dan ̂ dapat ditentukan dengan mendiferensialkan persamaan
(19) dan (20) terhadap β dan β menggunakan aturan Cramer , diperoleh sebagai
berikut
̂
=
�
�
�
∑�
�= �� ∑�= �� − ∑�= �� ∑�= �� ��
�
(21)
�
� ∑�
�= �� −(∑�= �� )
�
∑�
�= ��
� ∑�= �� −(∑�= �� )
̂ = � ∑�= �� �� − ∑�= ��
�
�
(22)
(Roflin & Cahyawati [7])
2. METODE PENELITIAN
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder mengenai
data masa hidup baterai merk ABC jenis Super-Power dan Dry-Cell masing-masing
berjumlah 20 baterai, dimana merupakan data tidak tersensor.
Pengujian data yang berdistribusi Weibull diperoleh dengan metode simulasi
pembangkitan data dengan software Minitab-14 dengan uji Anderson darling dimana
dibangkitkan 2 data yang masing-masing berjumlah 20. Kemudian mencari nilai
estimasi parameter yang berdistribusi Weibull menggunakan metode kuadrat terkecil
linier setelah dilakukan transformasi logaritma dari fungsi distribusi kumulatif distribusi
Weibull. Setelah diketahui nilai dugaan parameternya, langkah berikutnya menghitung
nilai fungsi survival (keandalan), fungsi hazard (laju kerusakan), rata-rata waktu hidup
(Mean) dan tingkat keragaman (variansi) dari distribusi Weibull. Data diolah dan
dianalisis menggunakan software Excel 2007.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Deskripsi Data
Dalam penelitian ini, data masa hidup baterai merk ABC jenis Super-Power dan
Dry-Cell masing-masing berjumlah 20 baterai. Pengujian dilakukan pada baterai saat
dibuka dari kemasan sampai tidak dapat menghidupkan atau menyalakan lampu
(bohlam), hal ini data tersebut dikategorikan sebagai data tidak tersensor (Tabel 1).
Tabel 1. Hasil pengujian masa hidup baterai merk ABC
Waktu Hidup (Menit)
Waktu Hidup (Menit)
Baterai ABC jenis Super-Power
Baterai ABC jenis Dry-Cell
339,85
354,03
311,4
345,8
354,35
343,72
328,2
311,98
349,93
355,18
368,8
256,9
342,87
330,25
311,4
363,77
400,27
363,02
324,1
345
279,75
344,7
312,2
330,02
372,72
345,73
412,8
311
299,7
326,85
216,2
349,27
344,03
395,38
305,7
340,2
325,32
360,77
243,7
330,25
Uji Anderson darling
Uji anderson darling digunakan untuk menguji apakah data mengikuti suatu
distribusi tertentu (distribusi Weibull) dengan hipotesis alternatif dan hipotesis awal,
dapat dituliskan sebagai
Hipotesis � : data mengikuti distribusi Weibull.
� : data tidak mengikuti distribusi Weibull.
Dari hasil uji Anderson darling pada waktu hidup baterai dapat diambil
keputusan dengan membandingkan nilai signifikan (p-value) berdasarkan anderson
darling test dengan taraf signifikan 5% atau 10%. Jika nilai p-value lebih besar dari
pada taraf signifikansi maka � diterima, artinya data tersebut mengikuti distribusi
Weibull.
Statistik uji dari anderson darling, dapat dituliskan sebagai
dimana
A = −n − S
= ∑��=
�−
�
(23)
[ln
�� +
( −
untuk n adalah banyak data, i =1,2,..,n dan
��+
−�
)]
(24)
�� adalah fungsi distribusi kumulatif dari
�� (Faruk [3]). Perhitungan tersebut dilakukan dengan memanfaatkan software Minitab-
14 untuk mengolah data masa hidup baterai merk ABC jenis Super-Power dan Dry-Cell
dengan uji anderson darling.
Probability Plot of Lifetime_Baterai_ABC_superpower
Weibull - 95% CI
99
Shape
Scale
N
AD
P-Value
Percent
90
80
70
60
50
40
30
11,25
362,4
20
0,492
0,213
20
10
5
3
2
1
200
250
300
350
Lifetime_Baterai_ABC_superpower
400
450
Gambar 1. Pengujian distribusi Weibull untuk data baterai jenis Super-Power
Probability Plot of Lifetime_Baterai_ABC_drycell
Weibull - 95% CI
99
Shape
Scale
N
AD
P-Value
Percent
90
80
70
60
50
40
30
12,85
334,5
20
0,491
0,214
20
10
5
3
2
1
200
250
300
Lifetime_Baterai_ABC_drycell
350
400
Gambar 2. Pengujian distribusi Weibull untuk data baterai jenis Dry-Cell
Berdasarkan gambar 1 dan 2 untuk baterai merk ABC jenis Super-Power nilai pvalue yaitu 0,213 > 0,05 dan jenis Dry-Cell nilai p-value yaitu 0,214> 0,05. Dapat
diambil keputusuan untuk kedua jenis baterai merk ABC terima � , artinya data baterai
merk ABC jenis Super-Power dan Dry-Cell mengikuti distribusi Weibull.
Estimasi Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil
Mengestimasi parameter distribusi Weibull menggunakan metode kuadrat
terkecil linier dengan menggunakan persamaan (21) dan (22). Didapatkan estimasi
dalam bentuk distribusi Weibull yang dituliskan sebagai
̂ =
∑�
�= ln ��
Untuk estimasi
̂ =
∑�
�=
��(��
�
) −∑�
�= ln �� ∑�= �� �� ��(�� −�(� ))
�
−�(�� )
� ∑�
�= ln ��
− ∑�
�= ln ��
(25)
dalam bentuk distribusi Weibull yang dituliskan sebagai
�
�
� ∑�
�= ln �� ��(�� −�(� ))−∑�= ln �� ∑�= ��(�� −�(� ))
�
�
�
� ∑�
�= ln �� − ∑�= ln ��
(26)
Dengan menggunakan persamaan (25) dan (26) maka nilai estimasi parameter
untuk data baterai merek ABC jenis Super-Power yaitu ̂ = −
dan jenis Dry-Cell yaitu ̂ = −
dituliskan
= − ln
=
dan
,
dan ̂ =
,
dan ̂ =
,
,
. Pada persamaan (14) dapat
maka menghasilkan estimasi parameter (tabel 2).
Tabel 2. Hasil Estimasi Parameter dan model persamaan regresi
,
Baterai merek ABC
Jenis Dry-Cell
Jenis Super-Power
Model persamaan regresi
(334,5; 12,85)
(362,4; 11,25)
�̂� = − ,
�̂� = − ,
+
+
,
,
�
�
Dengan menggunakan persamaan (10), (11), (12) dan (13) diperoleh data
reliabilitas baterai merk ABC dengan 2 jenis yaitu Super-Power dan Dry-Cell (tabel 3)
Tabel 3.Estimasi Fungsi Survival, Fungsi Hazard, Mean dan Variansi distribusi Weibull
Baterai merek
ABC
jenis Dry-Cell
jenis Super-Power
t (Menit)
S(t)
h(t)
0
1
0
300
0,781
500
9,06 x
700
0
0
1
300
0,888
500
700
5,88 x
0
Mean
Variansi
321,35
928,57
346,43
1389,9
0,012
−77
4,499
242,563
0
4,47 x
− 7
0,841
26,457
−4
Pada nilai reliabilitas (S(t)) dari baterai merek ABC pada t = 0, 300, 500, dan
700 menit untuk jenis Super-Power lebih besar dibandingkan jenis Dry-Cell, artinya
kehandalan baterai merek ABC jenis Super-Power lebih baik dibandingkan jenis DryCell. Jadi, semakin besar atau semakin lama waktu uji hidup baterai merek ABC maka
peluang hidup pakai baterai merek ABC semakin kecil (mendekati nol).
Berdasarkan dari tingkat kerusakan (h(t)) dari baterai merek ABC pada t = 0,
300, 500, dan 700 menit untuk jenis Super-Power lebih kecil dibandingkan jenis DryCell, artinya tingkat kerusakan baterai merek ABC jenis Super-Power lebih baik pada
saat t = 0, 300, 500, dan 700 menit. Pada laju kerusakan h(t) semakin besar baterai
merek ABC maka laju kerusakannya semakin besar. Jadi, dapat dikatakan untuk nilai t
yang semakin besar maka nilai S(t) semakin kecil (mendekati nol/menurun monoton)
dan h(t) semakin besar (meningkat monoton). Hal ini sesuai dengan ciri dari distribusi
Weibull.
Dilihat dari rata-rata (mean) hidupnya baterai merek ABC jenis Dry-Cell lebih
kecil yaitu 321,35 sedangkan untuk jenis Super-Power 346,43. Artinya baterai jenis
Super-Power dapat hidup dengan rata-rata 346,43 menit dan baterai merek ABC jenis
Dry-Cell dapat hidup dengan rata-rata 321,35 menit. Jadi, waktu hidup baterai jenis
Super-Power lebih baik dibandingkan baterai merek ABC jenis Dry-Cell.
Pada nilai variansi (banyak jumlah data yang berbeda) dapat dilihat nilai variansi
baterai merek ABC jenis Super-Power yaitu 1389,9 dan jenis Dry-Cell 928,57. Artinya
baterai merek ABC jenis Super-Power lebih bervariasi masa hidupnya dibandingkan
jenis Dry-Cell. Jadi, variansi baterai merek ABC jenis Dry-Cell lebih baik karena
memilki 20 jenis baterai masa hidupnya relatif hampir sama dibandingkan dengan jenis
Super-Power .
4. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan, data masa hidup baterai merek ABC dengan
jenis Super-Power dan Dry-Cell menyebar sesuai dengan distribusi Weibull,
menghasilkan nilai parameter dugaan
11,25) dan jenis Dry-Cell (334,5; 12,85).
,
yaitu untuk jenis Super-Power (362,4;
Pada hasil perhitungan data waktu hidup baterai merek ABC jenis Super-Power
dan jenis Dry-Cell, dipilih baterai merek ABC jenis Super-Power karena memiliki S(t)
dan h(t) lebih baik dibanding baterai merek ABC jenis Dry-Cell. Selain itu, mean
baterai merek ABC jenis Super-Power lebih besar dibanding baterai merek ABC jenis
Dry-Cell.
Hasil estimasi dengan menggunakan kuadrat terkecil linier untuk baterai merek
ABC dengan jenis Super-Power adalah �̂� = −
merek ABC dengan jenis Dry-Cell adalah �̂� = −
,
,
+
+
,
,
�
dan untuk baterai
�.
6. SARAN
Penelitian ini menggunakan estimasi parameter distribusi Weibull menggunakan
metode kuadrat terkecil linier. Untuk penelitian selanjutnya dapat menggunakan
estimator lainnya serta menggunakan data berdistribusi selain Weibull.
7. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis berterima kasih kepada Bapak Alfensi Faruk, M.Si dan Ibu DR. Fitri Maya
Puspita, M.SC atas bimbingan, saran, nasihat, motivasi serta kesabaran selama dalam
pembelajaran mata kuliah Metodologi Penelitian hingga dalam penyusunan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1]
Effendie, A. R. (2016). Teori Resiko Aktuaria dengan Software R. Yogyakarta:
Gadjah Mada University Press.
[2]
Faruk, A. (2015). Analisis Survival Parametrik Pada Data Tracer Study
Universitas Sriwijaya. Jurnal Matematika, Vol. 5(No.2), hal. 68-78.
[3]
F.Laua, D. P. L., & Handamari, E. W. (2012). Metode Least Square Estimation
untuk Mencari Parameter Fungsi Reliabilitas dalam Menentukan Persediaan Suku
Cadang Hammer Unigator (Studi Kasus Pabrik Gula Krebet-Baru II,
Bululawang). Jurnal Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya , hal.268-271.
[4]
Adel, A. M. (2014). Inferensi Data Uji Hidup Tersensor Tipe II Berdistribusi
Rayleigh. LEMMA, 1.
[5]
Kusumah, H. (2013). Perancangan Alat Uji Masa Hidup dan Analisa Reliabilitas
Baterai. Teknik Komputer , hal 30-46.
[6]
Musdalifa, A., Raupong, & Islamiyati, A. (2013). Estimasi Parameter Distribusi
Weibull dengan Tranformasi Model Regresi Menggunakan Metode Kuadrat
Terkecil Linier. Matematika, Statistika & Komputasi, hal. 1-10.
[7]
Roflin, E., & Cahyawati, D. (2006). Analisis Regresi Sederhana . Palembang:
FMIPA Universitas Sriwijaya.
ABC BERDISTRIBUSI WEIBULL DENGAN
ESTIMASI PARAMETER METODE
KUADRAT TERKECIL LINIER
Erlan Saputra
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Sriwijaya
e-mail: erlan.saputra44@yahoo.com
Abstract: The use of batteries are widely used in electronic goods, so that consumers
do not know how long the life span of a battery and the mass difference if the battery
life of both types of the same manufacturer with different battery types. One objective
of the analysis was to determine the survival probability of a component will operate
well within a certain period of time that generates the data life time. Looking for life
time data parameter values using the Weibull distribution parameters estimation of
linear least squares method after the transformation of the logarithm. The parameter
values will be used to search for survival functions , a function of hazard, mean and
variance of the Weibull distribution. The data used is the battery life of the brand ABC
type Super-Power and Dry-Cell each totaling 20 batteries, where the data is not
censored. On the results and discussion for the time t = 0, 300, 500 and 700 minutes, the
value of the parameter α = 362.4 and β = 11.25 type batteries Super-Power and α =
334.5 and β = 12.85 for Dry-Cell battery types. ABC brand battery types Super-Power
has a value of S (t), h (t), and mean better than batteries Dry-Cell, while the variance of
types of Dry-Cell is better for battery lifetimes are relatively similar.
Keywords: Linear Least Squares Method, Transformation Logarithms, Weibull
distribution
1. PENDAHULUAN
Penggunaan baterai banyak digunakan dalam barang-barang elektronik, banyak
pabrikan (produksi baterai) menjamin kualitas sebuah produk baterainya tanpa
konsumen mengetahui bagaimana kehandalan suatu produk tersebut. Sehingga
konsumen tidak mengetahui berapa lama masa hidup suatu baterai dan perbedaan massa
hidup kedua jenis baterai jika dari pabrikan yang sama dengan tipe baterai yang berbeda
(Kusumah [5]).
Menggunakan model-model yang ada dalam analisis tahan hidup, akan diketahui
peluang daya tahan hidup suatu baterai pada jangka waktu yang tertentu yang
menghasilkan data waktu hidup. Salah satu sampel analisis data waktu hidup adalah
data tidak tersensor (data lengkap), dimana jika semua komponen yang diamati selama
waktu tertentu mengalami kejadian yang diinginkan (kegagalan). Diakhir penelitian,
status dari semua komponen pengamatan adalah gagal, sehingga waktu bertahan yang
sebenarnya diketahui (Adel [4]). Hal ini berlaku pada data masa hidup baterai merk
ABC jenis Super-Power dan Dry-Cell.
Untuk mencari reliabilitas dapat menggunakan salah satu dari berbagai distribusi.
Menurut Adel [4] distribusi Weibull sering digunakan dalam model distribusi tahan
hidup, karena dapat memodelkan laju kegagalan dalam berbagai keadaan dan dapat
menghasilkan sebuah pendekatan yang baik untuk hukum peluang dari beberapa peubah
acak.
Model distribusi weibull dalam analisis hidup melibatkan fungsi distribusi
kumulatif, fungsi survival (keandalan), fungsi hazard (laju kerusakan), rata-rata waktu
hidup (Mean) dan tingkat keragaman (variansi) yang merupakan fungsi parameter. Oleh
karena itu, estimasi parameter merupakan hal yang berguna dalam mengkaji suatu
distribusi. Dalam regresi linier sederhana, metode kuadrat terkecil linier adalah metode
yang biasa digunakan dalam mengestimasi parameter, dimana mencari nilai parameter
dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat dari residualnya (A. Musdalifa et al. [6]).
Metode ini dapat dipakai untuk mengestimasi parameter distribusi Weibull. Adapun
tujuan penulisan tugas akhir ini adalah (1) Mengestimasi parameter distribusi Weibull
dengan metode kuadrat terkecil linier, (2) Membandingkan masa hidup baterai merk
ABC dengan jenis berbeda (Super-Power dan Dry-Cell), (3) Menguji masa hidup dan
menganalisi realibilitas baterai merk ABC jenis Super-Power dan Dry-Cell.
2. TINJAUAN PUSTAKA
Analisis Ketahanan Hidup
Tujuan dari analisis ketahanan hidup adalah untuk dapat memodelkan distribusi,
dimana mengetahui peluang suatu komponen akan beroperasi dengan baik dalam jangka
waktu yang tertentu (reliabilitas).Waktu analisis tahan hidup memiliki tipe data waktu
dari kejadian pertama sampai terjadinya kejadian muncul gagal. Misalkan T adalah
variabel acak tunggal nonnegatif kontinu pada interval [0,∞ , untuk f(t) adalah fungsi
kepadatan peluang yang didefinisikan sebagai limit peluang waktu tahan hidup dan
waktu pengamatan t
dari T dalam interval periodik t sampai t + ∆t yang dituliskan
sebagai
= �
�� �< 0 sehingga dapat dibentuk sebagai
=∫
�
(2)
Fungsi survival (keandalan) dapat didefinisikan sebagai peluang suatu komponen
akan tetap bertahan hidup sampai waktu t > 0 yang dituliskan sebagai
∞
S t = Pr T > t = ∫t f u du
(3)
Dari fungsi distribusi kumulatif dapat diperoleh hubungan dengan fungsi survival
dapat dibentuk sebagai
S(t) = 1 – F(t)
(4)
Fungsi hazard (laju kerusakan), didefinisikan sebagai limit dari tingkat kerusakan
dimana � mendekati 0 dituliskan sebagai
ℎ
= �
�� →
� �+ �� −� �
�� . �
=
�′ �
=
�
� �
�
(5)
Rata-rata waktu hidup (Mean) suatu komponen dapat berfungsi dengan baik tanpa
ada kerusakan, dapat dirumuskan sebagai
[ ]=∫
∞
=∫
∞
(6)
Selanjutnya, fungsi penting lainnya dalam analisis ketahanan hidup adalah melihat
tingkat keragaman (variansi) , dapat dirumuskan sebagai
���[ ] = [
]−{
[ ] }
(7)
(Effendie [1])
Fungsi Analisis Tahan Hidup Berdistribusi Weibull
Distribusi Weibull merupakan distribusi yang memiliki laju kerusakan yang
meningkat maupun laju kerusakan yang menurun (F. Laua dan Handamari[3]).
Fungsi kepadatan peluang dari distribusi Weibull dengan parameter
dan
dapat dituliskan sebagai
={
−
�
−
�
,
,t >
��
(8)
��
Menggunakan persamaan (2) maka dapat diperoleh fungsi distribusi kumulatif
dari distribusi Weibull yang dituliskan sebagai
={
dimana paramete
bentuk.
−
−
,
�
,t
, <
> 0 , untuk
(9)
adalah parameter skala dan
adalah parameter
Menggunakan persamaan (4) maka dapat diperoleh fungsi survival (keandalan)
dari distribusi Weibull, dapat dituliskan sebagai
=
�
−
,t
(10)
sehingga fungsi hazard (laju kerusakan) dari distribusi Weibull, dapat dituliskan sebagai
ℎ
−
�
=
,t
(11)
Dengan persamaan (6) maka dapat diperoleh rata-rata waktu hidup (Mean) dari
distribusi Weibull, dapat dituliskan sebagai
E(t) =
Γ
+
(12)
Dari rata-rata waktu hidup distribusi Weibull pesamaan (12) dapat diperoleh
tingkat keragaman (variansi) dari distribusi Weibull dengan persamaan (7), dapat
dituliskan sebagai
�
=
{Γ
− [Γ
+
+
] }
(13)
Tranformasi Model Regresi Distribusi Weibull
Transformasi yang digunakan pada distribusi Weibull adalah transformasi
logaritma. Pada fungsi distribusi kumulatif Weibull merupakan fungsi non-linier
ditranformasikan ke fungsi linier menggunakan transformasi logaritma kemudian
dibentuk model regresi linier, diperoleh dalam bentuk
−� �
=
�
≈
−� �
=
ln −
ln
(15)
sehingga pada persamaan (15) dapat di bentuk dalam model regresi sederhana,
dapat dituliskan sebagai
�� = − ln
+
ln
�
+
�
(16)
(Musdalifa et al. [6])
Penaksir Parameter Metode Kuadrat Terkecil Linier
Metode kuadrat terkecil digunakan untuk mendapatkan estimasi dari parameter
dari regresi linier sederhana, dimana regresi sederhana dapat dituliskan sebagai sebagai
�� =
+
�
+
�
+
�
(17)
�
(18)
sehingga diperoleh model dalam bentuk penduga regresi sederhana,
�̂� = ̂ + ̂
Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil linier dengan cara mencari deviasi
(S) pada persamaan (19) kemudian menentukan jumlah kuadrat deviasi (JKS) pada
persamaan (20).
�
= �� − �̂�
(19)
∑��=
�
= ∑��= �� −�̂� )2
Dimana nilai ̂
(20)
dan ̂ dapat ditentukan dengan mendiferensialkan persamaan
(19) dan (20) terhadap β dan β menggunakan aturan Cramer , diperoleh sebagai
berikut
̂
=
�
�
�
∑�
�= �� ∑�= �� − ∑�= �� ∑�= �� ��
�
(21)
�
� ∑�
�= �� −(∑�= �� )
�
∑�
�= ��
� ∑�= �� −(∑�= �� )
̂ = � ∑�= �� �� − ∑�= ��
�
�
(22)
(Roflin & Cahyawati [7])
2. METODE PENELITIAN
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder mengenai
data masa hidup baterai merk ABC jenis Super-Power dan Dry-Cell masing-masing
berjumlah 20 baterai, dimana merupakan data tidak tersensor.
Pengujian data yang berdistribusi Weibull diperoleh dengan metode simulasi
pembangkitan data dengan software Minitab-14 dengan uji Anderson darling dimana
dibangkitkan 2 data yang masing-masing berjumlah 20. Kemudian mencari nilai
estimasi parameter yang berdistribusi Weibull menggunakan metode kuadrat terkecil
linier setelah dilakukan transformasi logaritma dari fungsi distribusi kumulatif distribusi
Weibull. Setelah diketahui nilai dugaan parameternya, langkah berikutnya menghitung
nilai fungsi survival (keandalan), fungsi hazard (laju kerusakan), rata-rata waktu hidup
(Mean) dan tingkat keragaman (variansi) dari distribusi Weibull. Data diolah dan
dianalisis menggunakan software Excel 2007.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Deskripsi Data
Dalam penelitian ini, data masa hidup baterai merk ABC jenis Super-Power dan
Dry-Cell masing-masing berjumlah 20 baterai. Pengujian dilakukan pada baterai saat
dibuka dari kemasan sampai tidak dapat menghidupkan atau menyalakan lampu
(bohlam), hal ini data tersebut dikategorikan sebagai data tidak tersensor (Tabel 1).
Tabel 1. Hasil pengujian masa hidup baterai merk ABC
Waktu Hidup (Menit)
Waktu Hidup (Menit)
Baterai ABC jenis Super-Power
Baterai ABC jenis Dry-Cell
339,85
354,03
311,4
345,8
354,35
343,72
328,2
311,98
349,93
355,18
368,8
256,9
342,87
330,25
311,4
363,77
400,27
363,02
324,1
345
279,75
344,7
312,2
330,02
372,72
345,73
412,8
311
299,7
326,85
216,2
349,27
344,03
395,38
305,7
340,2
325,32
360,77
243,7
330,25
Uji Anderson darling
Uji anderson darling digunakan untuk menguji apakah data mengikuti suatu
distribusi tertentu (distribusi Weibull) dengan hipotesis alternatif dan hipotesis awal,
dapat dituliskan sebagai
Hipotesis � : data mengikuti distribusi Weibull.
� : data tidak mengikuti distribusi Weibull.
Dari hasil uji Anderson darling pada waktu hidup baterai dapat diambil
keputusan dengan membandingkan nilai signifikan (p-value) berdasarkan anderson
darling test dengan taraf signifikan 5% atau 10%. Jika nilai p-value lebih besar dari
pada taraf signifikansi maka � diterima, artinya data tersebut mengikuti distribusi
Weibull.
Statistik uji dari anderson darling, dapat dituliskan sebagai
dimana
A = −n − S
= ∑��=
�−
�
(23)
[ln
�� +
( −
untuk n adalah banyak data, i =1,2,..,n dan
��+
−�
)]
(24)
�� adalah fungsi distribusi kumulatif dari
�� (Faruk [3]). Perhitungan tersebut dilakukan dengan memanfaatkan software Minitab-
14 untuk mengolah data masa hidup baterai merk ABC jenis Super-Power dan Dry-Cell
dengan uji anderson darling.
Probability Plot of Lifetime_Baterai_ABC_superpower
Weibull - 95% CI
99
Shape
Scale
N
AD
P-Value
Percent
90
80
70
60
50
40
30
11,25
362,4
20
0,492
0,213
20
10
5
3
2
1
200
250
300
350
Lifetime_Baterai_ABC_superpower
400
450
Gambar 1. Pengujian distribusi Weibull untuk data baterai jenis Super-Power
Probability Plot of Lifetime_Baterai_ABC_drycell
Weibull - 95% CI
99
Shape
Scale
N
AD
P-Value
Percent
90
80
70
60
50
40
30
12,85
334,5
20
0,491
0,214
20
10
5
3
2
1
200
250
300
Lifetime_Baterai_ABC_drycell
350
400
Gambar 2. Pengujian distribusi Weibull untuk data baterai jenis Dry-Cell
Berdasarkan gambar 1 dan 2 untuk baterai merk ABC jenis Super-Power nilai pvalue yaitu 0,213 > 0,05 dan jenis Dry-Cell nilai p-value yaitu 0,214> 0,05. Dapat
diambil keputusuan untuk kedua jenis baterai merk ABC terima � , artinya data baterai
merk ABC jenis Super-Power dan Dry-Cell mengikuti distribusi Weibull.
Estimasi Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil
Mengestimasi parameter distribusi Weibull menggunakan metode kuadrat
terkecil linier dengan menggunakan persamaan (21) dan (22). Didapatkan estimasi
dalam bentuk distribusi Weibull yang dituliskan sebagai
̂ =
∑�
�= ln ��
Untuk estimasi
̂ =
∑�
�=
��(��
�
) −∑�
�= ln �� ∑�= �� �� ��(�� −�(� ))
�
−�(�� )
� ∑�
�= ln ��
− ∑�
�= ln ��
(25)
dalam bentuk distribusi Weibull yang dituliskan sebagai
�
�
� ∑�
�= ln �� ��(�� −�(� ))−∑�= ln �� ∑�= ��(�� −�(� ))
�
�
�
� ∑�
�= ln �� − ∑�= ln ��
(26)
Dengan menggunakan persamaan (25) dan (26) maka nilai estimasi parameter
untuk data baterai merek ABC jenis Super-Power yaitu ̂ = −
dan jenis Dry-Cell yaitu ̂ = −
dituliskan
= − ln
=
dan
,
dan ̂ =
,
dan ̂ =
,
,
. Pada persamaan (14) dapat
maka menghasilkan estimasi parameter (tabel 2).
Tabel 2. Hasil Estimasi Parameter dan model persamaan regresi
,
Baterai merek ABC
Jenis Dry-Cell
Jenis Super-Power
Model persamaan regresi
(334,5; 12,85)
(362,4; 11,25)
�̂� = − ,
�̂� = − ,
+
+
,
,
�
�
Dengan menggunakan persamaan (10), (11), (12) dan (13) diperoleh data
reliabilitas baterai merk ABC dengan 2 jenis yaitu Super-Power dan Dry-Cell (tabel 3)
Tabel 3.Estimasi Fungsi Survival, Fungsi Hazard, Mean dan Variansi distribusi Weibull
Baterai merek
ABC
jenis Dry-Cell
jenis Super-Power
t (Menit)
S(t)
h(t)
0
1
0
300
0,781
500
9,06 x
700
0
0
1
300
0,888
500
700
5,88 x
0
Mean
Variansi
321,35
928,57
346,43
1389,9
0,012
−77
4,499
242,563
0
4,47 x
− 7
0,841
26,457
−4
Pada nilai reliabilitas (S(t)) dari baterai merek ABC pada t = 0, 300, 500, dan
700 menit untuk jenis Super-Power lebih besar dibandingkan jenis Dry-Cell, artinya
kehandalan baterai merek ABC jenis Super-Power lebih baik dibandingkan jenis DryCell. Jadi, semakin besar atau semakin lama waktu uji hidup baterai merek ABC maka
peluang hidup pakai baterai merek ABC semakin kecil (mendekati nol).
Berdasarkan dari tingkat kerusakan (h(t)) dari baterai merek ABC pada t = 0,
300, 500, dan 700 menit untuk jenis Super-Power lebih kecil dibandingkan jenis DryCell, artinya tingkat kerusakan baterai merek ABC jenis Super-Power lebih baik pada
saat t = 0, 300, 500, dan 700 menit. Pada laju kerusakan h(t) semakin besar baterai
merek ABC maka laju kerusakannya semakin besar. Jadi, dapat dikatakan untuk nilai t
yang semakin besar maka nilai S(t) semakin kecil (mendekati nol/menurun monoton)
dan h(t) semakin besar (meningkat monoton). Hal ini sesuai dengan ciri dari distribusi
Weibull.
Dilihat dari rata-rata (mean) hidupnya baterai merek ABC jenis Dry-Cell lebih
kecil yaitu 321,35 sedangkan untuk jenis Super-Power 346,43. Artinya baterai jenis
Super-Power dapat hidup dengan rata-rata 346,43 menit dan baterai merek ABC jenis
Dry-Cell dapat hidup dengan rata-rata 321,35 menit. Jadi, waktu hidup baterai jenis
Super-Power lebih baik dibandingkan baterai merek ABC jenis Dry-Cell.
Pada nilai variansi (banyak jumlah data yang berbeda) dapat dilihat nilai variansi
baterai merek ABC jenis Super-Power yaitu 1389,9 dan jenis Dry-Cell 928,57. Artinya
baterai merek ABC jenis Super-Power lebih bervariasi masa hidupnya dibandingkan
jenis Dry-Cell. Jadi, variansi baterai merek ABC jenis Dry-Cell lebih baik karena
memilki 20 jenis baterai masa hidupnya relatif hampir sama dibandingkan dengan jenis
Super-Power .
4. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan, data masa hidup baterai merek ABC dengan
jenis Super-Power dan Dry-Cell menyebar sesuai dengan distribusi Weibull,
menghasilkan nilai parameter dugaan
11,25) dan jenis Dry-Cell (334,5; 12,85).
,
yaitu untuk jenis Super-Power (362,4;
Pada hasil perhitungan data waktu hidup baterai merek ABC jenis Super-Power
dan jenis Dry-Cell, dipilih baterai merek ABC jenis Super-Power karena memiliki S(t)
dan h(t) lebih baik dibanding baterai merek ABC jenis Dry-Cell. Selain itu, mean
baterai merek ABC jenis Super-Power lebih besar dibanding baterai merek ABC jenis
Dry-Cell.
Hasil estimasi dengan menggunakan kuadrat terkecil linier untuk baterai merek
ABC dengan jenis Super-Power adalah �̂� = −
merek ABC dengan jenis Dry-Cell adalah �̂� = −
,
,
+
+
,
,
�
dan untuk baterai
�.
6. SARAN
Penelitian ini menggunakan estimasi parameter distribusi Weibull menggunakan
metode kuadrat terkecil linier. Untuk penelitian selanjutnya dapat menggunakan
estimator lainnya serta menggunakan data berdistribusi selain Weibull.
7. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis berterima kasih kepada Bapak Alfensi Faruk, M.Si dan Ibu DR. Fitri Maya
Puspita, M.SC atas bimbingan, saran, nasihat, motivasi serta kesabaran selama dalam
pembelajaran mata kuliah Metodologi Penelitian hingga dalam penyusunan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1]
Effendie, A. R. (2016). Teori Resiko Aktuaria dengan Software R. Yogyakarta:
Gadjah Mada University Press.
[2]
Faruk, A. (2015). Analisis Survival Parametrik Pada Data Tracer Study
Universitas Sriwijaya. Jurnal Matematika, Vol. 5(No.2), hal. 68-78.
[3]
F.Laua, D. P. L., & Handamari, E. W. (2012). Metode Least Square Estimation
untuk Mencari Parameter Fungsi Reliabilitas dalam Menentukan Persediaan Suku
Cadang Hammer Unigator (Studi Kasus Pabrik Gula Krebet-Baru II,
Bululawang). Jurnal Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya , hal.268-271.
[4]
Adel, A. M. (2014). Inferensi Data Uji Hidup Tersensor Tipe II Berdistribusi
Rayleigh. LEMMA, 1.
[5]
Kusumah, H. (2013). Perancangan Alat Uji Masa Hidup dan Analisa Reliabilitas
Baterai. Teknik Komputer , hal 30-46.
[6]
Musdalifa, A., Raupong, & Islamiyati, A. (2013). Estimasi Parameter Distribusi
Weibull dengan Tranformasi Model Regresi Menggunakan Metode Kuadrat
Terkecil Linier. Matematika, Statistika & Komputasi, hal. 1-10.
[7]
Roflin, E., & Cahyawati, D. (2006). Analisis Regresi Sederhana . Palembang:
FMIPA Universitas Sriwijaya.