Soal Jawab Pembahasan SBMPTN MTK IPA Saintek
SOAL-JAWAB MATEMATIKA SAINTEK
PEMBAHASAN SBMPTN Soal 1 Diketahui dua lingkaran berpusat di titik O(0,0) berjari-jari r dan R dengan r < R.
Sebuah garis menyinggung lingkaran dalam di titik E dan memotong lingkaran luar di
titik P. Jika diketahui selisih luas antara lingkaran luar dan lingkaran dalam36 dan
60 EOP , maka persamaan lingkaran luar adalah….
Jawab: Perhatikan gambar berikut! Dari informasi selisih luas =
36 , maka
2
2 R r 36
2
2 R r
36 ………... (1) Karena garis PE menyinggung lingkaran dalam, maka (siku-
OEP 90 siku).
Dari informasi , maka EOP
60 OE cos EOP
OP r
1 r
1 cos
60 r R
Maka ……. (2)
2
2 R R
Substitusi (2) ke (1), kita peroleh:
2
1
2 R R
36
2
1
2
2 R R
36
4
3
4
2
2
R
36 R
36
48 .
4
3 Dengan demikian persaman lingkaran luarnya adalah:
2
2
2
2
2 x y R x y 48 .
Soal 2 Misalkan segitiga ABC adalah segitiga siku-siku pada titik C. Jika panjang sisi di hadapan titik A, B, C berturut-turut adalah a, b, c maka cos 2A =
….
Jawab:
2
2 A A A cos 2 cos sin
2
2
b a
c c
2
2
2
2 b a b a
2
2
2 c c c
Ada juga ya soal SBMPTN yang simpel.. Soal 3
3
2
x x Fungsi f ( x ) sec x tan x sec x untuk , dan x
2
2
2 naik pada interval…..
Jawab: f f Fungsi (x ) x ( ) . naik sa’at Perhatikan bahwa: n n
2
1
Jika y sec x U maka y nU . U
2 2 sec x . tan x . sec x 2 tan x sec x . y u v uv
Jika y tan x . sec x u . v maka ' '
2 x x x x x sec . sec tan . tan . sec
3
2 x x x
sec tan . sec
2 Karena f ( x ) sec x tan x sec x , maka untuk bagian naik,
f x ( )
2
3
2
2 tan x . sec x (sec x tan x sec x )
2
2
sec x ( 2 tan x sec x tan x )
2
2
sec x ( 2 tan x 1 tan x tan x )
2
2 (sebab x x ) sec 1 tan
2
sec x ( 2 tan x 1 2 tan x )
2
sec x ( 2 tan x 2 tan x 1 )
………..(*)
2
Bentuk (
2 tan x 2 tan x 1 ) adalah definit postif karena Diskriminannya:
2
2 D b
4 ac ( 2 ) 4 . 2 . 1 4 8 4 .
Sehingga (*) menjadi:
sec x sec x
1 cos x
3
x
Fungsi cos bernilai negatif pada kuadran II dan III, yakni pada interval .
2
2 3
x
f Jadi, fungsi (x ) naik pada interval .
2
2 Soal 4
Jika titik (a, b) dicerminkan terhadap garis y = x – 1 menjadi titik (c, d), maka 2c + d = …. (nyatakan dalam a dan b !)
Jawab:
Wah… rumus pencerminan terhadap garis y = x – 1 tidaklah terkenal, dan kebanyakan
orang tidak hafal…!! Tapi soal ini bisa kita kerjakan dengan ide sebagai berikut: Geser titik P(a, b) dan garis y = x- – 1, masing-masing digeser satu satuan ke kiri,
sehingga menjadi titik Q dan garis y = x. Lalu titik Q ini dicerminkan terhadap garis
y = x , bayangannya kita namakan Q’. Lalu titik Q’ ini kita geser satu satuan ke kanan,
menjadi P’. Nah, P’ inilah bayangan titik P jika dicerminkan terhadap garis y = x – 1.
Hmmm, ide ini sepertinya cukup menarik ….
Perhatikan koordinatnya: Titik P(a, b) digeser satu satuan ke kiri, menghasilkan titik Q(a
- – 1, b).
Titik Q(a
- – 1, b) dicerminkan terhadap garis y = x menghasilkan titik Q’(b, a – 1)
(Ingat pencerminan terhadap garis y=x memenuhi: (x, y) (y, x)) Lalu titik Q’(b, a – 1) digeser satu satuan ke kanan menjadi P’(b + 1, a – 1).
Titik P’ ini pada soal berkoordinat (c, d) maka: P’ = (c, d) = (b + 1, a – 1).
Sehingga c = b + 1 dan d = a – 1. Jadi, 2c + d = 2(b + 1) + (a
– 1) =2b + 2 + a – 1 = a + 2b + 1.
Soal 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik M berada pada rusuk AD sedemikian sehingga AM :
MD = 1 : 2. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga CN : ND = 1 : 2. Titik Pberada pada rusuk DH sedemikian sehingga DP : PH = 2 : 1. Jika adalah sudut antara
bidang MNP dan bidang ACGE, maka nilai sin Jawab:
Karena pada gambar di atas, bidang MNP “tidak berpotongan langsung” dengan bidang
ACGE, maka untuk menentukan sudut antara bidang MNP dengan bidang ACGE, ganti
saja bidang MNP dengan bidang lain yang sejajar dengannya, dalam kasus ini kita ganti
dengan bidang ACH. Bidang ACH adalah bidang yang sejajar dengan bidang MNP. (Ingat bahwa titik-titik M, N, dan P membagi rusuk-rusuk kubus terkait dengan perbandingan yang sama yaitu 1 : 2).Jadi, sudut antara bidang MNP dengan bidang ACGE = sudut antara bidang ACH dengan bidang ACGE = HOR . (disini O adalah pusat bidang ABCD dan R adalah pusat bidang EFGH) Maka
HR
sin
…….. (1) OH
Misal panjang rusuk kubus = r, maka:
1
1 HR HF r
2
2
2
dan
2
1
2
2
2
2
2
2
OH HR RO r
2 r r r
2
4
6
1
2
6
r r Substitusi nilai-nilai ini ke persamaan (1), maka:
1 r
2
1
1
2
sin 3 .
1
3
r
6
3
2 Soal 6
2 f x g x
Diketahui sisa pembagian suku banyak ( ) ( ) x x oleh 2 adalah x , sisa
2 f x g x
( ) ( ) x x pembagian oleh
3 2 adalah x
1 , maka sisa pembagian
2
2
( f ( x )) ( g ( x )) oleh x
1 adalah….
Jawab:
2 f x g x
Karena sisa pembagian suku banyak ( ) ( ) oleh x x adalah , maka 2 x dapat kita tuliz:
2
f ( x ) g ( x ) ( x x
2 ) h ( x ) x
Masukkan x = 1,
2
f (
1 ) g ( 1 ) (
1
1 2 ) h ( 1 )
1
h . ( 1 )
1
1
2 f ( x ) g ( x ) x x
Di lain pihak, karena sisa pembagian oleh
3 2 adalah x
1 ,
maka dapat kita tuliz:
2
( ) ( ) ( 3 2 ) ( ) ( 1 )
f x g x x x H x x Masukkan x = 1 ,
2 f (
1 ) g ( 1 ) ( 1 3 . 1 2 ) H ( 1 ) ( 1 1 )
H . ( 1 )
2
2
2
2
Sekarang, jika ( f ( x )) ( g ( x )) dibagi oleh x
1 , misalkan sisanya = C. Kita
tuliz:
~
2
2
( f ( x )) ( g ( x )) ( x 1 ) h ( x ) C Masukkan x = 1,
~
2
2
( f ( 1 )) ( g ( 1 )) ( 1 1 ) h ( 1 ) C
~ h C
( 1 )
C
2
2
Jadi untuk mencari C, kita perlu menghitung ( f (
1 )) ( g ( 1 ))
. Caranya…?? Perhatikan yang berikut ini:
2
2
2
( f ( 1 ) g ( 1 )) ( f ( 1 )) 2 f ( 1 ) g ( 1 ) ( g ( 1 ))
2
2
2
( f ( 1 ) g ( 1 )) ( f ( 1 )) 2 f ( 1 ) g ( 1 ) ( g ( 1 ))
- 2
2
2
2
( f ( 1 ) g ( 1 )) ( f ( 1 ) g ( 1 )) 2 ( f ( 1 )) 2 ( g ( 1 ))
2
2
( f ( 1 ) g ( 1 )) ( f ( 1 ) g ( 1 ))
2
2
( f ( 1 )) ( g ( 1 ))
2
2
2
( 2 ) ( 1 )
C
2
5 C
2 Jadi, sisanya = 5/2.
Soal 7 x
1
x
1 x
y
3
Grafik y
3
1 berada di bawah grafik jika….
9
Jawab: x
1
x
1 x
3
y Grafik berada di bawah grafik y
3 1 jika:
9
x
1
x 1 x
3
3
1
9
1
x x
3 .
3
3
1
x
2
3
1
x x
3 .
3
3
1
x
2
3
1
x
3 ( 3 1 ) 1
x
2
3
1
x 3 .
2 1
x
2
3 Samakan penyebut, sehingga menjadi
x x x
2
2
3 . 2 .
3
1
3
x
2
3
x x
3
2 2 .
3 1
3
x
2
3
x
Misalkan p
3 , maka pertidaksamaan menjadi
3
2
2 p 1 p
2 p
3
2
2 p p
1
2 p
3
2
3
2 Karena p = 1 adalah pembuat nol bentuk
2 p p 1 , maka 2 p p 1 habis
dibagi p
- – 1, sehingga dapat difaktorkan. Yuk kita bagi sekarang…!!
Ayuuuuuu kk…. Ayuuuuuukk..
…
2
2 p p
1
3
2 p
1 2 p p
1
3
2
2 p 2 p ( )
2
1
p
2 p p ( ) p
1
p
1 ( ) Dari pembagian di atas, kita dapatkan
3
2
2
2 p p 1 ( p 1 )( 2 p p 1 )
Sehingga pertidaksamaan menjadi:
2
( 1 )( 2 1 )
p p p
2 p
2 Bentuk (
2 p p 1 ) adalah definit positif (selalu bernilai positif, berapapun nilai
2
2 p-nya) karena diskriminannya D b ac dan koefisien
4
1 4 . 2 .
1
7
2 p nya = a = 2 > 0.
Buat garis bilangan: p p atau
1 x x
3 3
1 x
3
3
3
(tidak ada x yang memenuhi) x Jadi, penyelesaiannya adalah x atau cukup dituliz saja x .
Soal 8
1 cos( x 2 )
Nilai dari lim = ….
2 x
2 x
2 x
Jawab: 2 x
2
1 ( 1 2 sin )
1 cos( x 2 )
2
2 x ( x
2 )
x x
2
2 x
2 x
U ar .
2
3
4
1
9
Maka dari
1 n n
Rumus suku ke-n barisan geometri adalah
U U U U U U Jawab:
1
2
3
1
2
9
3 r
9 r
2 r a r ar
) 1 ( 9 ) 1 (
2
3
9
U U U U
ar ar ar a ar a ar ar
2
3
1
9
4
3
) 2 ( sin
) 2 ( sin . sin
2 lim
2
2
2
2
2
1 ) ( .
x x x x
2 lim
2
2
2
2
x x x x x
2 sin
U U U U maka ....
9
1
2
3
4
1
Soal 9 Suatu barisan geometri semua sukunya positif. Jika
2
b b ax x
lim
sin lim dan sin
Wahai kawan, bedakan ya : b a bx ax x
.
1
2
(karena suku-sukunya positif) Dengan demikian,
2
3
U U U U a ar ar ar
1
2
3
4
2 U U
ar ar
2
3
2
3 a r r r
( 1 )
ar r
( 1 )
2
3
r r r ( 1 )
r r
( 1 )
2
3
( 1 3 3 3 )
3 ( 1 3 )
10 40 .
12
3 Soal 10
b f ( x ) a x Misalkan mempunyai titik belok di ( 4 , 13 ) . Nilai a + b = …. x
Jawab:
Fahami bahwa titik belok (4, 13) tentu berada pada grafik y = f (x). Dengan demikian,
b13 f ( 4 ) a 4
4
b
13 2 a
……………………….……… (1)
2
f Titik belok memenuhi persamaan: x ( ) .
Kita cari turunan pertama:
1
1
b2
2
f x a x ax bx( )
x
1
3
1
1
2
2
f ( x ) ax bx
2
2
3
5
1
1
1
3
2
2
f ( x ) ax bx
2
2
2
2
3
5
1
3
2
2
ax bx .
4
4
f ( x ) Maka x
4
3
5
3
1
2
4 b . 4
2
a .4
4
3
5
2
2
1
3
2
2
a b .2 . 2
4
4
3
5
1
3
a . 2 b .
2
4
4
1
1
3
1
a . b .
4
8
4
32 Kalikan kedua ruas dengan 4 x 32, sehingga menjadi:
4 3
a b ……………… (2) Eliminasi persamaan (1) dan (2), kita peroleh:
39
13
a b dan
8
2
39
13 39
52
91
a b Sehingga .
8
2
8
8 Soal 11
2 f x f x ( )
Diketahui ( ) ( 2 ) untuk setiap x Jika f x dx B maka .
7
f ( x 8 ) dx ....
3 Jawab:
f x f x f Karena ( ) ( 2 ) untuk setiap x maka (x ) adalah fungsi periodik
, dengan periode = 2. Dengan demikian, berlaku: f x f x f x f x f x
( ) ( 2 ) ( 4 ) ( 6 ) ( 8 ) .... (1) dan juga: f x f x f x f x f x
( ) ( 2 ) ( 4 ) ( 6 ) ( 8 ) .... (2) Selain itu, jika fungsi f periodik dengan periode p, berlaku:
3
(digunakan persamaan (3))
) ( ) ( ) ( dx x f dx x f dx x f
1
2
2
2
2
2
2
) ( ) ( ) ( dx x f dx x f dx x f
1
2
2
2
3
1
2
) ( ) ( ) ( dx x f dx x f dx x f
2
2B
dx x f .
2
2
) (
(digabung)
) ( ) ( dx x f dx x f
2
1
(pindah tempat aja)
) ( ) ( ) ( dx x f dx x f dx x f
1
1
2
2
) ( ) ( ) ( dx x f dx x f dx x f
(digunakan persamaan (3))
1
(digunakan persamaan (1))
(digunakan persamaan (3))
) ( dx x f
3
2
7
2
) ( ) 8 ( dx x f dx x f
5
3
7
3
7
) dx x f dx x f dx x f ( ) ( ) ( …... (3) Maka:
p b
p a p b p a b a
1
2
2
2
4
2
4
2
5
2
( “dipecah”)
) ( dx x f
) ( ) ( ) ( dx x f dx x f dx x f
1
2
2
4
4
5
CARA LAIN: Buat sembarang grafik dengan periode 2, misalkan seperti pada gambar di bawah.
Maka
7
7 f ( x
8 ) dx f ( x ) dx
3
3 = Luas daerah biru di bawah:
= Luas daerah biru di bawah: = 2 x Luas ini:
2
2 f ( x ) dx
= = 2B.
Soal 12 k
g x x
Diketahui fungsi f ( x ) x dan ( ) . Misalkan D adalah daerah yang dibatasi kurva g , sumbu y dan y = 1. Jika kurva f membagi daerah D sama besar maka k = ….
Jawab:
Perhatikan grafik di bawah! Fungsi f membagi daerah D menjadi dua bagian sama besar, misalkan D1 dan D2
seperti pada gambar. Jelas fungsi f mesti cekung ke bawah agar dapat membagi dearah
D. (Kalau cekung ke atas tidak bisa, coba aja gambar sendiri!) Maka2
1 D Luas D Luas
1
k k
1
1
1
1
2
1
1
k k
1
2
2
3
k
4
3
3
k
3
1 k .
1
1
1
2
1
)) ( ) ( ( )) ( 1 (
dx x x dx x
k k
1
1
) ( ) 1 (
1
2
1
1
1
1
dx x g x f dx x f
1
1
1
1
x x k x k xk k
2
1
1
1
Soal 13 Banyaknya bilangan genap tiga digit sehingga
n abc
3 b c adalah….
Jawab: n adalah bilangan genap tiga digit , berbentu n abc .
Kemungkinan digit untuk a adalah 1, 2, 3, …., 9 ada 9 kemungkinan ! Karena disyaratkan , maka b paling kecil mulai dari 4.
3 b c Untuk b = 4 maka c = 6 atau 8 (karena harus genap) ada 2 kemungkinan.
Untuk b = 5 maka c = 6 atau 8 ada 2 kemungkinan. Untuk b = 6 maka c = 8 ada 1 kemungkinan. Untuk b = 7 maka c = 8 ada 1 kemungkinan. Untuk b = 8 maka tidak ada pilihan digit untuk c. Untuk b = 9 juga tidak ada pilihan digit untuk c. Jadi , banyak kemungkinan susunan (b, c) adalah 2 + 2 + 1 + 1 = 6.
Dengan demikian, banyaknya bilangan genap tiga digit n = abc ada 9 x 6 = 54 bilangan.
Soal 14
2 P a b Q a b
Garis singgung kurva y
3 x di titik ( , ) dan ( , ) memotong sumbu y
di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah….
Jawab:
2
Kurva y
3 x adalah sebuah parabola yang terbuka ke bawah, memotong sumbu Y di ordinat y = 3, seperti diperlihatkan pada gambar.
Gradien garis singgung kurva di titik Q(a,b) adalah m y .
x a
2
2
2 Karena y 3 x , maka m y x a .
x a x a Maka persamaan garis singgung kurva yang melalui titik Q(a,b) adalah: y b m x a
( ) y b a x a
2 ( )
2 y
2 ax 2 a b
………….(1)
Misalkan koordinat titik R adalah ( , ) . Dari gambar jelas . Karena titik
x y xR R R
R terletak juga pada garis persamaan (1), maka titik ( x , y ) memenuhi persamaan
R R (1) . Maka:
2
2
2 y
2 ax 2 a b 2 a b 2 a b .
R R Diketahui segitiga PQR samasisi. Maka berlaku:
PQ QR
2
2
PQ QR
2
2
2
2
( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y )
Q P Q P R Q R Q
2
2
2
2
2
( a ( a )) ( b b ) ( a ) ( 2 a b b )
2
2
2
2
( 2 a ) a ( 2 a )
2
2
4 a a a
4
4
4
2
a a
4
3
2
2
a (
4 a 3 )
2
2 a a
atau 4 3
3
2 a a
4
1 Tidak memenuhi, sebab a = 0
a
3
2
mengakibatkan P berimpit dengan Q, dan tidak terbentuk segitiga PQR
1
3 Jadi, nilai a yang memenuhi adalah .
2
Soal 15 Diketahui tiga bilangan positif a log
3
128 ac
b
7
2 b 2 b
7
3 2 b
7
128
2
b Dengan demikian, suku kedua =
3
7 2 log
3
7
2
abc
Sementara itu, diketahui pula:
2
, b log
2
, c log2 membentuk barisan aritmatika. Jika 128 abc maka suku kedua barisan tersebut adalah….
Jawab:
Barisan aritmatika adalah barisan yang mempunyai beda (selisih antar suku) yang
tetap. Pada barisan ini, beda = b c a b log log log log2
2
2
2
2 b ac
b c a b
log log
2
2 b c a b
.