makalah program linier tentang metode si
MAKALAH
PROGRAM LINIER
Kelompok I
Ivan Sada Regi
M. Nanda Putra Pratama
Rapy Haryani
Aryati Aprilia
Radha Tania Dewi
Harumi Citra Pertiwi
Elisa Susanti
Elsa Octaviani
4013002
4013026
4013027
4013039
4013019
4013057
4013016
4013015
Dosen Pengampuh :
Donna Ningrum, M.Pd
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
(STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAU
2014/2015
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT. Yang telah
melimpahkan taufik dan hidaya Nya, sehingga kami dapat menyelesaikan
makalah ini. Tujuan utama dibuatnya makalah ini adalah untuk mamenuhi tugas
pada mata kuliah program linear.
Dalam penulisan makalah ini, kami membahas tentang metode simpleks
dengan rujukan buku bahan ajar program linear karya yetri ningsih ,M.Pd. tahun
2013.
Mudah-mudahan makalah ini dapat memenuhi syarat. Besar harapan kami
kepada pembaca, sekurangnya dapat memberikan kritik dan saran yang
membangun kearah perbaikan makalah ini, sehingga makalah ini menjadi lebih
sempurna.
Lubuklinggau,
Maret 2015
Penyusun
2
DAFTAR ISI
Kata pengantar.............................................................................................2
Daftar isi.......................................................................................................3
BAB I: PENDAHULUAN...........................................................................4
A. Latar Belakang.................................................................................4
B. Rumusan masalah............................................................................4
C. Tujuan..............................................................................................5
BAB II: PEMBAHASAN............................................................................6
A. Pengertian metode simpleks.............................................................6
B. Penentuan maksimum......................................................................6
C. Penentuan minimum........................................................................18
D. Variabel slack tiruan........................................................................20
E. Merancang program awal.................................................................20
F. Prosedur penentuan struktur persyaratan.........................................23
BAB III: PENUTUP....................................................................................27
A. Kesimpulan......................................................................................27
B. Saran.................................................................................................28
DAFTAR PUSTAKA...................................................................................29
3
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam matematika terdapat metode untuk mengalokasikan sumber daya
yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan yang optimal. Metode ini adalah
pemrograman linier. Pemograman linier banyak diterapkan dalam masalah
ekonomi, industri, militer, sosial, dan lain-lain.
Pemrograman linear berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia
nyata sebagai suatu model matematika yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier
dengan beberapa kendala linier. Pemrograman linier meliputi perencanaan
aktivitas untuk mendapatkan hasil optimal, yaitu sebuah hasil yang mencapai
tujuan terbaik (menurut model matematika) diantara semua kemungkinan
alternatif yang ada.
Karateristik-karakteristik pada pemrograman linier adalah: fungsi tujuan
(untuk memaksimumkan atau meminimumkan sesuatu), fungsi pembatas yang
membatasi tingkatan pencapaian tujuan, adanya beberapa alternatif tindakan yang
bisa dipilih, fungsi tujuan dan kendala dalam permasalahan diekspresikan dalam
bentuk persamaan atau pertidaksamaan linier.
Metode simpleks adalah suatu metode yang secara sistematis dimulai dari
suatu pemecahan dasar yang dimungkinkan ke pemecahan dasar yang lainnya dan
ini dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi (dengan jumlah iterasi
yang terbatas) sehingga pada akhirnya akan tercapai suatu pemecahan dasar yang
optimum dan setiap langkah menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan yang
selalu lebih optimal atau sama dari langkah-langkah sebelumnya.
B. Rumusan Masalah
Adapun rumusan permasalahan yang dibahas didalam makalah ini, sebagai
berikut:
1. Bagaimana menyelesaikan permasalahan program linier dengan
metode simpleks?
4
2. Bagaimana menentukan kerangka dasar perhitungan nilai maksimum
dari tabel simpleks?
3. Bagaimana merancang program awal yang memuat atas variabel
“slack”?
4. Bagaimana siswa memperbaiki program awal dan program-program
berikutnya hingga tercapai program maksimum?
5. Bagaimana menentukan kerangka dasar perhitungan nilai minimum
dari tabel simpleks?
6. Bagaimana merancang program awal yang hanya terdiri atas variabel
“slack tiruan”?
7. Bagaimana siswa memperbaiki program awal dan program-program
berikutnya hingga tercapai program minimum?
C. Tujuan Penulisan
Dalam setiap penulisan makalah pastilah ada tujuan yang ingin dicapai
oleh penulis, adapun tujuan dari penulisan makalah ini:
1.
Memenuhi tugas mata kuliah Program Linear.
2.
Dapat menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode
simpleks.
3.
Dapat menentukan kerangka dasar dari tabel simpleks.
4.
Dapat merancang program awal yang memuat atas variabel “slack”
atau “slack tiruan”.
5.
Dapat memperbaiki program awal dan program-program berikutnya
hingga tercapai program maksimum.
6.
Dapat memperbaiki program awal dan program-program berikutnya
hingga tercapai program minimum.
5
BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian
Metode simpleks merupakan salah satu teknik penyelesaian dalam
program linier yang digunakan sebagai teknik pengambilan keputusan dalam
permasalahan yang berhubungan dengan pengalokasian sumber daya secara
optimal. Metode simpleks digunakan untuk mencari nilai optimal dari program
linier yang melibatkan banyak constraint (pembatas) dan banyak variabel (lebih
dari dua variable). Penemuan metode ini merupakan lompatan besar dalam riset
operasi dan digunakan sebagai prosedur penyelesaian dari setiap program
komputer.
Program Linier merupakan metode matematik dalam mengalokasikan
sumber
daya
yang
memaksimumkan
langka
keuntungan
untuk
atau
mencapai
tujuan
meminimumkan
tunggal
biaya.
LP
seperti
(linear
programming) banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan masalah
ekonomi, indutri, militer, sosial dan lain-lain.
Dari berbagai metode penyelesaian program linier, metode simpleks
merupakan metode yang paling ampuh dan terkenal. Metode simpleks didasarkan
atas pengertian bahwa solusi optimal dari masalah program linier, jika ada, selalu
dapat ditemukan disalah satu dari “solusi dasar yang berlaku”. Oleh sebab itu
dalam metode simpleks, langkah pertama adalah untuk memperoleh solusi dasar
yang berlaku.
B. Penentuan Maksimum
Suatu masalah dalam pabrik memiliki data sebagai berikut:
Ukuran waktu pemprosesan oleh departemen
Departemen
Pemotongan
Pelipatan
Pengepakan
6
Ukuran
Kapasitas per-
A
B
C
periode waktu
10,7
5,4
0,7
5,0
10,0
1,0
2,0
4,0
2,0
2705
2210
445
Keuntungan/unit
$10
$15
$20
Langkah pertama adalah menentukan model matematika untuk data-data yang
tertera dalam tabel.
Misalnya bahwa diproduksi sejumlah x unit dari produksi A, sejumlah y
unit dari produksi B dan sejumlah z unit dari produksi C.
Fungsi objektif:
Maksimumkan
Syarat
: f=10x + 15y + 20z
: 10,7x + 5y + 2z ≤ 2705
5,4x + 10y + 2z ≤ 2210
0,7x + 1y + 2z ≤ 445
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
Dengan penambahan variabel “slack” S1, S2, S3, pertidaksamaan tersebut
dapat diubah menjadi persamaan. Pembuatan produksi imaginer S1, S2, S3,
melibatkan keuntungan nol perunitnya. Sehingga Model matematikanya dapat
ditulis kembali sebagai berikut :
Maksimumkan
Syarat
: fo = 10x + 15y + 20z + 0S1 + 0S2+ 0S3
: 10,7x + 5y + 2z + 1 S1 + 0 S2 + 0 S3 ≤ 2705
5,4x + 10y + 2z + 0S1 + 1S2 + 0S3 ≤ 2210
0,7x + 1y + 2z + 0S1+ 0S2+ 1S3 ≤ 445
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, S3 ≥ 0
Metode simpleks melangkah dengan mengadakan perbaikan-perbaikan
terhadap solusi dasar yang memenuhi syarat sehingga dicapai suatu solusi
optimal. Setiap program yang akan dibuat berikut, diberikan dalam bentuk matrik
atau tabel.
7
Kerangka dalam simpleks ditampilkan sebagai berikut:
Kolom objektif menunjukan koefisien obyektif dari variabel dalam
program
Baris objektif, diatas setiap variabel, koefisien obyektif bersangkutan
Baris Variabel, menunjukan semua variabel dalam program
Variabel
dalam
solusi
Koefisien
fungsi
objektif
Besarnya
variabel
S1
S2
S3
0
0
0
2705
2210
445
Kolom ini
menunjukan
variabel
program,
variabel lain
bernilai nol
10
15
20
0
0
0
X
Y
Z
S1
S2
S3
10,7
5,4
0,7
5
10
1
2
4
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Kolom ini
menunjukan
besarnya variabel
dalam program.
Badan utama terdiri
atas koeeefisien
kerangka atau
subtitusi rasio
Identitas setiap solusi
dalam metode simpleks
harus menunjukan
suatu matriks
identitas
Net evaluation row
10
15
20
0
0
0
Bilangan di “Net evaluation row”, dibawah setiap kolom dari “badan utama” dan “identitas”
mewakili “opportunity cost” dari tidak memiliki satu unit dari variabel kolom bersangkutan dalam
solusi. Bilangan tersebut mewakili kemampuan peningkatan dalam fungsi obyektif yang dihasilkan
jika memasukan satu unit dari variabel kolom bersangkutan dalam program.
1. Merancang Program Awal
Program pertama dalam metode simpleks adalah program yang hanya
melibatkan variabel slack. Arti dari data-data yang tertera pada tabel
simpleks diatas harus dimengerti sepenuhnya agar dapat menghayati
metode simpleks. Oleh sebab itu marilah kita bahas tabel berikut ini:
Progra
m
Keuntunga
n Perunit
Kuantita
s
S1
S2
S3
0
0
0
2705
2210
445
8
$10
$15
$20
$0
$0
$0
x
10,7
5,4
0,7
y
5
10
1
z
2
4
2
S1
1
0
0
S2
0
1
0
S3
0
0
1
Keterangan:
a) Dalam kolom “program” terdaftar variabel-variabel khusus dalam
solusi (produksi yang dihasilkan). Maka dalam program awal kita
produksi S1, S2, dan S3.
b) Dalam kolom “Keuntungan per unit” terdaftar koefisien (dalam
fungsi objektif) dari variabel-variabel yang tercakup dalam program
tersebut. Dapat dipastikan dari fungsi objektif, koefisien dari S 1, S2,
dan S3 adalah nol
c) Dalam kolom “Kuantitas” terdaftar besarnya variabel yang tercakup
dalam solusi. Program awal mencakup produksi 2705 unit S1, 2210
unit S2, dan 445 unit S3.
d) Kontribusi keuntungan total yang dihasilkan dari program yang
dimiliki dapat dihitung dengan mengalikan angka-angka dalam
kolom “keuntungan per unit” dan kolom “kuantita” bersangkutan
dan kemudian menjumlahkan hasil perkaliannya. Dalam program
pertama kontribusi keuntungan total adalah : 0(2705) + 0(2210) +
0(445) = 0
e) Bilangan-bilangan dalam bagian utama (bilangan-bilangan dibawah
kolom x, y dan z) dapat dijelaskan memiliki arti fisik. Misalnya,
bilangan 10,7 menunjukan perbandingan pertukaran antara x dan S1,
berarti memproduksi 1 unit x harus mengorbankan 10.7 unit S1 .
Pada kolom dibawah y berarti memproduksi 1 unit y harus
mengorbankan 5 unit S1 , 10 unit S2 ,dan 1 unit S3 .
2. Menguji Keoptimalan Program yang sedang Berlangsung
Program awal memberikan keuntungan nol , karena melibatkan x = 0 , y =
0 , z = 0 , S1= 2705 , S2= 2210 , S3= 445 dengan keuntungan :
f0 = 10(0) + 15(0) + 20(0) + 0(2705) + 0(2210) + 0(445) = 0
Perbaikan terhadap program awal dilakukan dengan mengikutsertakan z
dalam program. Dipilih z karena 1 unit z memberikan keuntungan $20,
9
yang lebih tinggi dari keuntungan yang diberikan oleh 1 unit x atau 1 unit
y.
Pemasukan unit dalam program mengubah fungsi keuntungan menjadi +
1(20) – 2(0) – 4(0) – 2(0) = + 20
Tabel 4.1
Tabel Program 1
Prog
Profit
Kuant
$10
$15
$20
$0
$0
$0
ram
S1
Perunit
0
itas
2705
x
10.7
y
5
z
2
S1
1
S2
0
S3
0
S2
0
2210
5.4
10
4
0
1
0
S3
0
445
0.7
1
2
0
0
1
Net Evaluation Row
10
15
20
0
0
0
Kolom kunci
( variabel masuk )
Bilangan
kunci
Baris Kunci
( variabel keluar )
Jika dalam “net evaluation row “masih terdapat bilangan positif, berarti
solusi belum optimal; dan program masih memerlukan perbaikan.
3. Perbaikan Program yang Sedang Berlangsung
3.1 Mengeneli kolom kunci
Tiga bilangan positif (10, 15, 20 ) dalam “baris penilaian” menunjukkan
besarnya keuntungan jika mengikutsertakan 1 unit x, 1 unit y, dan 1 unit z.
Nilai terbesar 20 terletak dibawah kolom z, maka variabel (produk) z
adalah variabel yang pertama-tama harus diikutsertakan. Kolom inin
disebut kolom kunci.
3.2 Mengenal baris kunci dan bilangan kunci
Setelah ditentukan bahwa variabel (produk) z akan diikutsertakan dalam
program untuk menggantikan salah satu dari variabel (produk) S 1, S2, atau
10
2705
=1352,5
2
2210
=552,5
4
445
=222,5
2
S3 ; tibul pertanyaan berapa z dapat diikutsertakan tanpa melanggar
persyaratan-persyaratan yang teleh ditetapkan.
Dari tabel terlihat bahwa memasukkan 1 unit z berarti harus mengeluarkan
2 unit S1, 4 unit S2, dan 2 unit S3. Program yang sedang berlaangsung
memproduksi 2705 unit S1, 2210 unit S2, dan 445 unit S3. Bagilah bilangan
dalam kolom “kuantitas” dengan bilangan “bukan negatif” bersangkutan
dari kolom kunci, kemudian bandingkan hasil bagi yang terkecil menjadi
“barisan kunci”.
Perhitungan untuk menentukan barisan kunci adalah:
Barisan S1
:
2705
2 = 1352,5 unit
Barisan S2
:
2210
4 = 552,5 unit
Barisan S3
445
: 2 = 222,5 unit
Barisan S3 merupakan barisan kunci
Setelah kolom kunci dan barisan kunci ditemukan, selanjutnya
menentukan bilangan kunci. Bilangan yang terletak pada perpotongan
kolom kunci dan barisan kunci disebut “bilangan kunci”. Dalam contoh
diatas, bilangan kunci adalah 2.
3.3 Menurunkan Tabel
Penentuan kolom kunci dan barisan kunci menunjukkan bahwa variabel
(produk) z akan menggantikan variabel (produk) S3 dan tidak lebih dari
222,5 unit z dapat diproduksi tanpa melenggar kapasitas. Tugas kita
selanjutnya adalah menentukan penurunan S1 dan S2 karena 222,5 unit z
dimasukkan dalam perbaikan program. Kapasitas yang tersisa untuk S 1
adalah 2705 – ( 222,5 x 2 ) = 2260 dan untuk S 2 adalah 2210 – ( 222,5 x
4 ) = 1320 unit.
11
Program kedua melibatkan x = 0, y = 0, z = 222,5 , S1 = 2260, S2 = 1320,
dan S3 = 0, sehingga program II akan memiliki tabel baru yang
ditransformasikan dari tabel program I. Transformasi dari tabel lama ke
tabel baru mengikuti aturan-aturan yang telah ditetapkan.
Aturan
: Bagilah semua bilangan dalam baris kunci dengan
bilangan kunci
Maka, barisan ketiga dalam tabel (barisan
z) diturunkan dari barisan
ketiga dari tabel 4.1 (barisan S3) dengan membagi setiap bilangan dengan
2. Barisan baru dari z (tabel program II) adalah:
222,5
0,35
0,5
1
0
0
0,5
3.5 Transformasi Bukan Baris Kunci
Aturan :
Bilanganberkaitan rasiotertentu
Bil.barisbaru = bil.barislama – dalambariskuncibersangkutan
X
Dimana : rasio tertentu =
bilanganbaris lama dalam kolom kunci
bilangankunci
Berdasarkan aturan tersebut , maka barisan S1 baru dalam tabel program II
diturunkan sebagai berikut :
2
Rasio tertentu = 2 = 1
Bilangan baris lama – Bil. berkaitan
Rasio tertentu
X
dalam baris
kunci
Baris baru
bersangkutan
2705
-
( 445 x
1
)
= 2260
10,7
-
( 0,7
1
)
= 10
12
x
= Bil.
5
-
(1
x
1
)
= 4
2
-
(2
x
1
)
= 0
1
-
(0
x
1
)
= 1
0
-
(0
x
1
)
= 0
0
-
(1
x
1
)
= -1
Sesuai perhitungan di atas, baris baru S2 dapat diturunkan sebagai
berikut:
Rasio tertentu = 4/2 = 2
Bilangan berkaitan
rasio tertentu
Bil.baris lama -
x
= Bil. baris baru
dalam baris kunci
bersangkutan
2210
-
( 445 x
2
)
= 1320
5,4
-
( 0,7
x
2
)
= 4
10
-
(1
x
2
)
= 8
4
-
(2
x
2
)
= 0
0
-
(0
x
2
)
= 0
1
-
(0
x
2
)
= 1
0
-
(1
x
2
)
= -2
Dari hasil perhitungan transformasi baris kunci dan transformasi baris
bukan kunci, diperoleh tabel program 11,secara lengkap dapat dilihat
pada tabel 4.2
Tabel 4.2
Tabel Program II
Pro
Profit
Kuan
$ 10
$ 15
$ 20
$0
$0
$0
gra
perunit
titas
X
Y
Z
S1
S2
S3
0
0
2260
1320
10
4
4
8
0
0
1
0
0
1
-1
-2
2260/4 = 565
1320/8 =165
20
222,5
0,35
0,5
1
0
0
0,5
222,5 = 445
3,0
5,0
m
S1
S13
2
Z
Net Evaluation Row
0
0
0
-10
Produk akan keluar
Produk akan masuk
Program 11 melibatkan produksi dari S 1 = 2260, S2 =1320 , dan Z = 222,5 Unit.
Variabel S3 , X dan Y tidak ada dalam program.Keuntungan total dari program 11
adalah : 2260 (0) + 1320 (0) + 222,5 (0) = $ 4450
4. Perbaikan Program II
Dalam program II, baris penilaian masih mempunyai dua bilangan
positif, maka program ini belum optimal dan masih memerlukan
perbaikan.Penurunan program III dari program II menggunakan langkahlangkah seperti yang telah dilakukan pada trans- formasi dari program 1
ke program II.
Perhitungan pada tabel 11 menunjukkan bahwa baris S2 merupakan baris
kunci dan variabel (produk) y harus masuk dalam program,karena
memberikan keuntungan tertinggi.Jadi kolom y menjadi kolom kunci
dengan bilangan kunci = 8.
Baris y dalam tabel program 111 menjadi :
165
0,5
1
0
0
0,125
-0,25
Untuk baris S1 baru dalam tabel program 111 diturunkan sebagai berikut:
Rasio tertentu = 4/8 = 0,5
Bilangan berkaitan
Billangan baris lama
rasiao tertentu
X
= bilangan baru
Dalam baris kunci
bersangakutan
2260
- ( 1320
x
0,5
)
=
1600
10
- (
4
x
0,5
)
=
8
4
- (
8
x
0,5
)
=
0
0
- (
0
x
0’5
)
=
0
14
1
- (
0
- (
-1
- (
0
x
0’5
)
=
1
1
x
0’5
)
=
-0,5
-2
x
0’5
)
=
0
Perhitungan untuk garis z pada program ke llldapat diturun kan sebagai berikut ;
Rasio tertentu =0,5/8 = 0,0065
Bilangan berkaitan
Bilangan baris lama
rasio tertentu
x
= Bil. Baris baru
Dalam baris kunci
bersangkutan
222,5
-( 1320
x
0’0625)
=
140
0,35
-(4
x
0,0625)
=
0,1
0,5
-(8
x
0,0625)
=
0
1
-(0
x
0,0625)
=
1
0
-(0
x
0,0625)
=
0
0
-(1
x
0,0625)
=
-0;0625
0,5
-(-2
x
=
0,0625
0,0625)
Dari hasil perhitungan di atas diperoleh tabel program ke lll yang secara lengkap
dapat di lihat pada tabel 4.3.
Tabel 4.3
Tabel Program III
Pro
Profit
Kuan
gra
perunit
titas
m
S1
y
z
0
15
20
15
1600
165
140
$10
$15
$20
x
8
0,5
0,1
y
0
1
0
Z
0
0
1
$0
$0
$0
S1
S2
S3
1
0
0
-0,5
0,125
-0,062
0
-0,25
0,625
1600/8=200
165/0,5=330
140/0,1 =1400
Net evolution row
0,5
0
Produk akan keluar
0
0
-0,062
-8,75
produk akan masuk
Program ke tiga memproduksi s1 = 1600, y =165 , dan z =140 unit .
Keuntungan total yang dihasilkan dari program ke tiga adalah ;
1600 (0) + 165 (15) + (20) = $ 5275
5. Perbaikan Program lll
Dalam program ke lll, baris penilaian mempunyai satu bilangan pasitif
yaitu didalam kolom x . berarti program ini belum optimal dan masih
memerlukan perbaikan . penurunan tabel program lV dari tabel program
lll menggunakan langkah -langkah seperti yang telah di lakukan pada
tranformasi dari program ll ke program III .
Perhitungan pada tabel program menunjukan bahwa baris S1 merupakan
baris kunci dan variabel (produk) x menjadi kolom kunci = 8
Baris x dalam tabel program 1V menjadi ;
200
1
0
0
0,125
-0,0625
0
Untuk baris y baru dalam tabel program 1V diturun kan sebagai berikut ;
Rasio tertentu = 0,5/8 = 0,0625
bilanganberkaitan
rasio tertentu
Bil. baris lama – dalam baris kunci × bersangkutan =¿ Bil. baris baru
[(
165
− ( 1600× 0,0625 ) =65
0,5
−( 8 ×0,0625 )=0
1
−( 0 ×0,0625 )=1
0
−( 0 ×0,0625 )=0
0
−( 1× 0,0625 ) =¿-0,062
0,125 −( −0,5 ×0,0625 )=156
16
) (
)]
-0,25 − ( 0 ×0,0625 )=¿
-0,25
Perhitungan untuk baris z pada tabel program IV dapat diturunkan sebagai
berikut :
0,1
Rasio tertentu ¿ 8 =0,0125
bilangan berkaitan
rasio tertentu
Bil. Baris lama − dalambaris kunci × bersangkutan =¿ Bil. baris baru
[(
)]
) (
140
− ( 1600× 0,0125 ) =120
0,1
− ( 8 ×0,0125 )=0
0
− ( 0 ×0,0125 )=0
1
− ( 0 ×0,0125 )=1
0
− ( 1× 0,0125 ) =¿-0,012
-0,062 − ( −0,5 ×0,0125 )=¿-0,056
0,625 − ( 0 ×0,0125 )=¿ -0,625
Dari hasil perhitungan di atas diperoleh tabel program IV yang secara
lengkap dapat dilihat pada tabel 4.4.
Tabel 4.4.
Tabel program IV
Pro
Profit
Kuan
$10 $15
$20 $0
$0
$0
gram
x
perunit
10
titas
200
x
1
y
0
z
0
S1
0,125
S2
-0,062
S3
0
y
15
65
0
1
0
-0,062
156
z
20
120
0
0
1
-0,012
-0,056
0
0
0
Net Evaluation Row
17
0
-0,625
1600
=200
8
-0,25
165
=330
0,625 0,5
140
=140
0,1
-8,75
Program IV melibatkan produksi x = 200, y = 65, dan z = 120 unit,
dengan keuntungan total sebesar :
200 (10) + 65 (15) + 120 (20) = $ 5375
Program IV ini telah optimal, karena pada baris penilaian dalam tabel IV
tersebut tidak mempunyai bilangan positif lagi.
6. Program Optimal
Bars penilaian (net evaluation row) mempunyai bilangan-bilangan yang
bernilai nol atau negatif. Kenyataan ini menunjukkan bahwa program
optimal teah diproleh.
C. Penemtuan Minimum
Kasus mencari nilai minimum akan dijelaskan dengan sebuah masalah
serupa dengan masalah diet yang sangat terkenal. Marilah kita merumuskan
masalah dimana seseorang memerlukaan sejumlah tertentu dari masing-masing
vitamin setiap harinya.
Vtamin A dan B terdapat dalam dua makanan yang berbeda M 1 dan M2.
Jumlah vitamin disetiap makanan dan vitamin yang diperlukan setiap harinya
dapat dilihat pada tabel berikut.
Tabel Persiapan Penyusunan Model Matematika
Makanan
Vitamin
M1
M2
A
B
Harga
2
3
4
2
Keperluan
Sehari
40
50
3
2.5
Makanan/Unit
Dalam menunjukkan bahwa 1 M1 mengandung 2 unit vitamin A dan 3
unit vitamin B, serta 1 unit M2 mengandung 4 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B.
Keperluan sehari akan vitamin A paling sedikit 40 unit dan vitamin B sejumlah
540 unit. Tujuan kita adalah menentukan jumlah optimal dari makanan M 1 dan
M2 sehingga keperluan vitamin seharinya dipenuhi dengan biaya serendah
mungkin.
18
Misalkan bahwa untuk memenuhi tujuan ini dibeli x makanan M 1 dan
sejumlah y dari makanan M2. Secara aljabar masalah inni dapat ditulis sebagi
berikut:
Minimumkan: f = 3x + 2.5y
Syarat
: 2x + 4y ≥ 40
3x + 2y ≥ 50
x≥0,y≥0
Metode simpleks II menangani persyaratan “lebih besar atau sama”
dengan suatu nilai. Untuk merubah pertidaksamaan menjadi persamaan
memerlukan “pengurangan” dengan variabel “slack”. Misalkan sejumlah x dan y
dari vitamin A dan B diperlukan seharinya,maka model matematikanya dapat
ditulis kembali sebagai berikut:
Minimumkan: f = 3x + 2.5y + 0S1 + 0S2
Syarat
: 2x + 4y - S1 = 40
3x + 2y – S2 = 50
x ≥ 0 , y ≥ 0 , S1 ≥ 0 , S2 ≥ 0
D. Variabel Slact Tiruan (Artificial)
Jika variabel kerangka (struktual) x dan y dimisalkan nol seperti pada
program awal metode simpleks, maka diperoleh nilai-nilai negatif dari S1 dan S2
yang tidak memenuhi persyaratan. Untuk tidak melanggar persyarataanpersyaratan yang telah ditetapkan dalam program-program metode simpleks maka
diciptakan variabel slack tiruan.
Model matematika dilengkapi dengan variabel slack tiruan A1 dan A 2
sampai An, sehingga jika x dan y bernilai nol, persamaan-persamaan persyaratan
masih memiliki variabel slack yang bernilai positif. Maka model matematika
secara lengkap ditulis:
Minimumkan: f = 3x + 2.5y + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2
19
Syarat
: 2x + 4y - S1 + A1 = 40
3x + 2y – S2 + A2 = 50
x ≥ 0 , y ≥ 0 , S1 ≥ 0 , S2 ≥ 0 , A1 ≥ 0 , A2 ≥ 0
Perlu diperhatikan bahwa variabel “slack” S memiliki koefisien biaya
sebesar nol, sedangkan variabel “slack tiruan” A memiliki koefisien biaya M yang
tak terhingga besarnya. Dengan mengaitkan nilai M yang tak terhingga besarnya
pada koefisien slack tiruan A, kita yakin bahwa variabel ini tidak akan pernah
masuk dalam penyelesaian optimal.
E. Merancang Program Awal
Dalam metode simpleks, program awl hanya melibatkan S 1 dan S2,
sedangkan x dan y sebagai variabel kerangka benilai nol. Untuk suatu masalah
berdimensi dua, ini berarti menyatakan vektor persyaratan P 0 dalam vektor basis
1
0
0 dan 1 .
40
Dalam contoh yang ditampikan diatas, vektor persyaratan P0 = 50 dapat
1
0
dinyatakan dengan vektor-vektor basis 0 dan 1 .
Untuk memudahkan penyusunan program awal dari metode simpleks II,
maka dengan menggunakan variabel slack A1 dan A2, model matematika perlu
dituliskan kembali selengkapnya.
Minimumkan: f = 3x + 2.5y + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2
Syarat
: 2x + 4y - 1.S1 + 0.S2 + 1. A1 + 0.A2 = 40
3x + 2y + 0.S1 – 1.S2 + 0. A1 + 1.A2 = 50
x ≥ 0 , y ≥ 0 , S1 ≥ 0 , S2 ≥ 0 , A1 ≥ 0 , A2 ≥ 0
Program awal dengan memilih x, y, S1, S2 bernilai nol. Dari persamaan
diatas, mudah dipahami bahwa ini berkaitan dengan nilai-nilai A 1 = 40 dan A2 =
50. Oleh sebab itu tabel yang digunakan untuk perhitungan simpleks II pada
program awal dapat dilihat pada tabel dibawah ini.
20
Tabel Program I
Progra
Biaya
Kuan
3
2,5
0
0
M
M
m
A1
/ Unit
titas
S2
A1
A2
40
Y
4
S1
M
X
2
-1
0
1
0
40/4=10
A2
M
50
3
2
0
-1
0
1
5
M
0
2 -6 M M
50/2=25
Baris Penilaian:
3-5 M
Variabel keluar
0
Variabel masuk
Program awal ini melibatkan biaya 90 M yang jelas besar sekali, sehingga
program harus diperbaiki.
1. Perhitungan dari baris penilaian.
2. mengenali kolom kunci
3. mengenali bariskunci dan bilangan kunci
4. Transformasi dari baris kunci dan baris bukan kunci untuk memperoleh
program yang diperbaiki
Adapun perbedaan yang perlu diperhatikan dalam simpleks II, bahwa
dalam kasus mencari minimum, nilai “negatif terbesar” dalam baris penilaian
menentukan kolom kunci dan bukan positif terbesar seperti dalam kasus mencari
nilai minimum.
Dalam kasus mencari nilai minimum, jika bilangan dari baris penilaian
dibawah suatu kolom variabel adalah negatif, maka jelas bahwa keikutsertaan
variabel ini dalam baris baru akan menurunkan nilai dari fungsi objektifnya.
Penghitungan dari baris penilaian sudah dijelaskan dalam kegiatan belajar
1. Memasukan satu unit y akan menurunkan biaya total dengan 2,5M – 6M yang
diperoleh dari [+1(2,5) – 4M – 2M]
Nilai 2,5M – 6M jelas lebih negatif dari pada 3 – 5M, maka y adalah variabel
yang harus masuk dengan mengeluarkan variabel A1. Hasil perbaikan tabel
program I dapat dilihat pada tabel 5.3
Tabel 5.3
21
Tabel program II
2,5
Y
0
S1
0
S2
M
A1
M
A2
10
3
X
0,5
1
-0,25
0
0,25
0
30
2
0
0,5
5 1
− M
8 2
-1
Pro
gram
Biaya
per unit
Kuan
titas
Y
2,5
A2
M
Baris penilaian:
7
−2 M 0
4
-0,5
1
−5 3
+ M 0
8 2
M
10
=20
0,5
30
=13
2
Variabel
Variabel
Masuk
Tabel
program II jelas belum optimal
karena
masih memiliki nilai negatif
Keluar
dalam baris penilaian. Perbaikan program akan melibatkan pergantian variabel A2
oleh x. Dalam transformasi baris lama ke baris baru dalam program yang telah
diperbaiki kita berpedoman kepada aturan – aturan yang telah berlaku, yaitu:
1. Baris kunci dibagi dengan bilangan kunci menghasilkan baris baru.
2. Bil. baris lama – (bilang berkaitan dalam baris kunci x rasio
tertentu bersangkutan) ¿ Bilangan baris baru
bilanganbaris lama dalam kolom kunci
3. Rasio tertentu =
bilangankunci
Tabel 5.4
Tabel program III
Pro
gram
Biaya
Kua
peruni
n
t
Y
2,5
titas
5
2
X
3
15
Baris penilaian
3
2,5
0
0
M
M
0
1
S1
S2
A1
A2
0
1
1
0
−1
4
1
2
0
1
4
−1
2
7
8
3
8
−1
4
0
−3
8
1
4
3
16
M−
3
7
M−
16
8
Tabel program III sudah merupakan program optimal, karena baris penilaian
tidak memiliki nilai negatif lagi.
22
5
Program optimal ini berkaitan dengan pembelian 15 unit makan M 1 dan 2
unit makanan M2 seharinya, dengan biaya 51,25 dollar sen.
F. Prosedur Penentuan Struktur Persyaratan
Karakteristik dari masalah program linier dapat dicakup dalam 3 jenis yang
berbeda.
1. persyaratan yang dalam bentuk aslinya dinyatakan oleh pertidaksamaan
dari jenis “kurang dari atau sama dengan”, jenis ≤.
2. persyaratan yang dalam bentuk aslinya dinyatakan oleh pertidaksamaan
dari jenis “lebih besar atau sama dengan”, jenis ≥.
3. persyaratan yang dalam bentuk aslinya merupakan campuran dari
persamaan dan pertidaksamaan.
Penyusunan kembali model matematika diperlukan untuk siap dan dapat
digunakan dalam perancangan program awal dari metode simpleks.
Kasus 1:
Jenis ( ≤. ) “lebih kecil dari atau sama dengan”
Setiap pertidaksamaan “kurang dari atau sama dengan” diubah menjadi
persamaan dengan menambah “variable slack” yang tidak negatif dan
memiliki koefesien 0 dalam fungsi objektif.
Contoh:
Maksimumkan: f = 10x + 15y
Syarat
: 4x + 60y ≤. 60
3x + 4y ≤. 80
X ≥ 0, y ≥ 0
Persamaan yang diperlukan untuk table simpleks adalah:
4x + 6y + 1S1 + 0S2 = 60
23
3x + 4y + 0S1 + 1S2 = 80
Fungsi Objektif:
f = 10x + 15y + 0S1 + 0S2
kasus 2:
Jenis ( ≥ ) “lebih besar atau sama dengan”
Setiap pertidaksamaan dari jenis “lebih besar atau sama dengan” diubah
menjadi persamaan dengan mula-mula mengurangi dengan variabel slack
yang tidak negative dan memiliki koefesien onkos 0, kemudian
menambahkan dengan variabel slack tiruan yang tidak negative dan
memiliki koefesien onlos M yang bernilai tak hingga.
Contoh:
Minimunkan: f = 300x + 180y
Syarat
:
8x + 5y ≥ 80
4x + 2y ≥ 70
x ≥ 0, y ≥ 0
Persamaan-persamaan yang diperlukan untuk tabel simpleks adalah:
8x + 5y +1S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 80
4x + 2y +0S1 + 1S2 + 0A1 + 1A2 = 70
Fungsi Objektif:
f: 300x + 180y +0S1 + 0S2 + MA1 + MA2
Kasus 3:
Kasus campuran
Masalah yang digolongkan kedala kasus 3 adalah masalah yang memiliki
persamaan disamping pertidaksamaan. Persamaan ditangani dengan
24
melengkapinya dengan menambahkan variabel slack tiruan yang tidak
negative.
Contoh:
Minimumkan: f = 7x + 15y
Syarat
: 2x + 4y ≥ 20
5x + 8y = 30
x ≥0,y≥0
Persamaan-persamaan yang diperlukan untuk tabel simpleks adalah:
2x + 4y +1S1 + 1A1 + 0A2 = 20
5x + 8y +0S1 + 0A1 + 1A2 = 30
Fungsi Objektif:
f: 7x + 15y +0S1 + MA1 + MA2
25
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Langkah-langkah yang dapat di tempuh dalam menentukan solusi
optimal permasahan program linear dengan metode simpleks adalah :
1. Menentukan medel matematika untuk data-data yang terdapat pada
permasalahan program linier
2. Menambahkan dan melakukan pengurangan dengan variabel ”slack”
(S1,S2,S3), sehingga
model
matematika
dapat
diubah
menjadi
persamaan linear
3. Membuat kerangka tabel simpleks, merancang program awal, menguji
ke optimalan yang sedang berlangsung
4. Supaya tidak melanggar syarat yang telah ditetapkan, maka di
tambahkan variabel “slack tiruan” (A1,A2,A3)
5. Melakukan perbaikan-perbaikan terhadap program yang berlangsung
sampai diperoleh program optimal.
Langkah- langakah yang dilakukan dalam perbaikan program tersebut
adalah:
a. Menetukan kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai “negatif
terbesar” pada baris penilaian.
b. Menentukan baris kunci yaitu baris yang mempunyai bilangan
hasil bagi terkecil (bilangan pada kolom kuantitas dibagi dengan
bilangan negatif pada kolom kunci)
c. Menentukanbilangan kunci, yaitu bialangan yang terdapat pada
persilangan antar kolom kunci dan baris kunci
d. Menurunkan tabel dari tabel program awal ketabel program berikut
nya hasil perbaikan dengan cara:
Melakukan transpormasi baris kunci, yaitu membagi semua
bilangan dalam baris kunci dan bilangan kunci
Melakukan transpormasi bukan baris kunci, dengan rumus
“bilangan baris baru”
26
Program sudah optimal jika baris penilaian tidak memiliki
bilangan nol atau negatif.
B. Kritik dan Saran
Kami sebagai penyusun menyadari bahwa masih terdapat kekurangan
di dalam makalah kami, maka dari itu kritik dan saran yang membangun
dari pembaca sangat kami harapkan.
27
DAFTAR PUSTAKA
Ningsih,Yetri.2013.Bahan Ajar Program Linier.Lubuklinggau
28
PROGRAM LINIER
Kelompok I
Ivan Sada Regi
M. Nanda Putra Pratama
Rapy Haryani
Aryati Aprilia
Radha Tania Dewi
Harumi Citra Pertiwi
Elisa Susanti
Elsa Octaviani
4013002
4013026
4013027
4013039
4013019
4013057
4013016
4013015
Dosen Pengampuh :
Donna Ningrum, M.Pd
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
(STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAU
2014/2015
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT. Yang telah
melimpahkan taufik dan hidaya Nya, sehingga kami dapat menyelesaikan
makalah ini. Tujuan utama dibuatnya makalah ini adalah untuk mamenuhi tugas
pada mata kuliah program linear.
Dalam penulisan makalah ini, kami membahas tentang metode simpleks
dengan rujukan buku bahan ajar program linear karya yetri ningsih ,M.Pd. tahun
2013.
Mudah-mudahan makalah ini dapat memenuhi syarat. Besar harapan kami
kepada pembaca, sekurangnya dapat memberikan kritik dan saran yang
membangun kearah perbaikan makalah ini, sehingga makalah ini menjadi lebih
sempurna.
Lubuklinggau,
Maret 2015
Penyusun
2
DAFTAR ISI
Kata pengantar.............................................................................................2
Daftar isi.......................................................................................................3
BAB I: PENDAHULUAN...........................................................................4
A. Latar Belakang.................................................................................4
B. Rumusan masalah............................................................................4
C. Tujuan..............................................................................................5
BAB II: PEMBAHASAN............................................................................6
A. Pengertian metode simpleks.............................................................6
B. Penentuan maksimum......................................................................6
C. Penentuan minimum........................................................................18
D. Variabel slack tiruan........................................................................20
E. Merancang program awal.................................................................20
F. Prosedur penentuan struktur persyaratan.........................................23
BAB III: PENUTUP....................................................................................27
A. Kesimpulan......................................................................................27
B. Saran.................................................................................................28
DAFTAR PUSTAKA...................................................................................29
3
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam matematika terdapat metode untuk mengalokasikan sumber daya
yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan yang optimal. Metode ini adalah
pemrograman linier. Pemograman linier banyak diterapkan dalam masalah
ekonomi, industri, militer, sosial, dan lain-lain.
Pemrograman linear berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia
nyata sebagai suatu model matematika yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier
dengan beberapa kendala linier. Pemrograman linier meliputi perencanaan
aktivitas untuk mendapatkan hasil optimal, yaitu sebuah hasil yang mencapai
tujuan terbaik (menurut model matematika) diantara semua kemungkinan
alternatif yang ada.
Karateristik-karakteristik pada pemrograman linier adalah: fungsi tujuan
(untuk memaksimumkan atau meminimumkan sesuatu), fungsi pembatas yang
membatasi tingkatan pencapaian tujuan, adanya beberapa alternatif tindakan yang
bisa dipilih, fungsi tujuan dan kendala dalam permasalahan diekspresikan dalam
bentuk persamaan atau pertidaksamaan linier.
Metode simpleks adalah suatu metode yang secara sistematis dimulai dari
suatu pemecahan dasar yang dimungkinkan ke pemecahan dasar yang lainnya dan
ini dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi (dengan jumlah iterasi
yang terbatas) sehingga pada akhirnya akan tercapai suatu pemecahan dasar yang
optimum dan setiap langkah menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan yang
selalu lebih optimal atau sama dari langkah-langkah sebelumnya.
B. Rumusan Masalah
Adapun rumusan permasalahan yang dibahas didalam makalah ini, sebagai
berikut:
1. Bagaimana menyelesaikan permasalahan program linier dengan
metode simpleks?
4
2. Bagaimana menentukan kerangka dasar perhitungan nilai maksimum
dari tabel simpleks?
3. Bagaimana merancang program awal yang memuat atas variabel
“slack”?
4. Bagaimana siswa memperbaiki program awal dan program-program
berikutnya hingga tercapai program maksimum?
5. Bagaimana menentukan kerangka dasar perhitungan nilai minimum
dari tabel simpleks?
6. Bagaimana merancang program awal yang hanya terdiri atas variabel
“slack tiruan”?
7. Bagaimana siswa memperbaiki program awal dan program-program
berikutnya hingga tercapai program minimum?
C. Tujuan Penulisan
Dalam setiap penulisan makalah pastilah ada tujuan yang ingin dicapai
oleh penulis, adapun tujuan dari penulisan makalah ini:
1.
Memenuhi tugas mata kuliah Program Linear.
2.
Dapat menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode
simpleks.
3.
Dapat menentukan kerangka dasar dari tabel simpleks.
4.
Dapat merancang program awal yang memuat atas variabel “slack”
atau “slack tiruan”.
5.
Dapat memperbaiki program awal dan program-program berikutnya
hingga tercapai program maksimum.
6.
Dapat memperbaiki program awal dan program-program berikutnya
hingga tercapai program minimum.
5
BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian
Metode simpleks merupakan salah satu teknik penyelesaian dalam
program linier yang digunakan sebagai teknik pengambilan keputusan dalam
permasalahan yang berhubungan dengan pengalokasian sumber daya secara
optimal. Metode simpleks digunakan untuk mencari nilai optimal dari program
linier yang melibatkan banyak constraint (pembatas) dan banyak variabel (lebih
dari dua variable). Penemuan metode ini merupakan lompatan besar dalam riset
operasi dan digunakan sebagai prosedur penyelesaian dari setiap program
komputer.
Program Linier merupakan metode matematik dalam mengalokasikan
sumber
daya
yang
memaksimumkan
langka
keuntungan
untuk
atau
mencapai
tujuan
meminimumkan
tunggal
biaya.
LP
seperti
(linear
programming) banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan masalah
ekonomi, indutri, militer, sosial dan lain-lain.
Dari berbagai metode penyelesaian program linier, metode simpleks
merupakan metode yang paling ampuh dan terkenal. Metode simpleks didasarkan
atas pengertian bahwa solusi optimal dari masalah program linier, jika ada, selalu
dapat ditemukan disalah satu dari “solusi dasar yang berlaku”. Oleh sebab itu
dalam metode simpleks, langkah pertama adalah untuk memperoleh solusi dasar
yang berlaku.
B. Penentuan Maksimum
Suatu masalah dalam pabrik memiliki data sebagai berikut:
Ukuran waktu pemprosesan oleh departemen
Departemen
Pemotongan
Pelipatan
Pengepakan
6
Ukuran
Kapasitas per-
A
B
C
periode waktu
10,7
5,4
0,7
5,0
10,0
1,0
2,0
4,0
2,0
2705
2210
445
Keuntungan/unit
$10
$15
$20
Langkah pertama adalah menentukan model matematika untuk data-data yang
tertera dalam tabel.
Misalnya bahwa diproduksi sejumlah x unit dari produksi A, sejumlah y
unit dari produksi B dan sejumlah z unit dari produksi C.
Fungsi objektif:
Maksimumkan
Syarat
: f=10x + 15y + 20z
: 10,7x + 5y + 2z ≤ 2705
5,4x + 10y + 2z ≤ 2210
0,7x + 1y + 2z ≤ 445
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
Dengan penambahan variabel “slack” S1, S2, S3, pertidaksamaan tersebut
dapat diubah menjadi persamaan. Pembuatan produksi imaginer S1, S2, S3,
melibatkan keuntungan nol perunitnya. Sehingga Model matematikanya dapat
ditulis kembali sebagai berikut :
Maksimumkan
Syarat
: fo = 10x + 15y + 20z + 0S1 + 0S2+ 0S3
: 10,7x + 5y + 2z + 1 S1 + 0 S2 + 0 S3 ≤ 2705
5,4x + 10y + 2z + 0S1 + 1S2 + 0S3 ≤ 2210
0,7x + 1y + 2z + 0S1+ 0S2+ 1S3 ≤ 445
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, S3 ≥ 0
Metode simpleks melangkah dengan mengadakan perbaikan-perbaikan
terhadap solusi dasar yang memenuhi syarat sehingga dicapai suatu solusi
optimal. Setiap program yang akan dibuat berikut, diberikan dalam bentuk matrik
atau tabel.
7
Kerangka dalam simpleks ditampilkan sebagai berikut:
Kolom objektif menunjukan koefisien obyektif dari variabel dalam
program
Baris objektif, diatas setiap variabel, koefisien obyektif bersangkutan
Baris Variabel, menunjukan semua variabel dalam program
Variabel
dalam
solusi
Koefisien
fungsi
objektif
Besarnya
variabel
S1
S2
S3
0
0
0
2705
2210
445
Kolom ini
menunjukan
variabel
program,
variabel lain
bernilai nol
10
15
20
0
0
0
X
Y
Z
S1
S2
S3
10,7
5,4
0,7
5
10
1
2
4
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Kolom ini
menunjukan
besarnya variabel
dalam program.
Badan utama terdiri
atas koeeefisien
kerangka atau
subtitusi rasio
Identitas setiap solusi
dalam metode simpleks
harus menunjukan
suatu matriks
identitas
Net evaluation row
10
15
20
0
0
0
Bilangan di “Net evaluation row”, dibawah setiap kolom dari “badan utama” dan “identitas”
mewakili “opportunity cost” dari tidak memiliki satu unit dari variabel kolom bersangkutan dalam
solusi. Bilangan tersebut mewakili kemampuan peningkatan dalam fungsi obyektif yang dihasilkan
jika memasukan satu unit dari variabel kolom bersangkutan dalam program.
1. Merancang Program Awal
Program pertama dalam metode simpleks adalah program yang hanya
melibatkan variabel slack. Arti dari data-data yang tertera pada tabel
simpleks diatas harus dimengerti sepenuhnya agar dapat menghayati
metode simpleks. Oleh sebab itu marilah kita bahas tabel berikut ini:
Progra
m
Keuntunga
n Perunit
Kuantita
s
S1
S2
S3
0
0
0
2705
2210
445
8
$10
$15
$20
$0
$0
$0
x
10,7
5,4
0,7
y
5
10
1
z
2
4
2
S1
1
0
0
S2
0
1
0
S3
0
0
1
Keterangan:
a) Dalam kolom “program” terdaftar variabel-variabel khusus dalam
solusi (produksi yang dihasilkan). Maka dalam program awal kita
produksi S1, S2, dan S3.
b) Dalam kolom “Keuntungan per unit” terdaftar koefisien (dalam
fungsi objektif) dari variabel-variabel yang tercakup dalam program
tersebut. Dapat dipastikan dari fungsi objektif, koefisien dari S 1, S2,
dan S3 adalah nol
c) Dalam kolom “Kuantitas” terdaftar besarnya variabel yang tercakup
dalam solusi. Program awal mencakup produksi 2705 unit S1, 2210
unit S2, dan 445 unit S3.
d) Kontribusi keuntungan total yang dihasilkan dari program yang
dimiliki dapat dihitung dengan mengalikan angka-angka dalam
kolom “keuntungan per unit” dan kolom “kuantita” bersangkutan
dan kemudian menjumlahkan hasil perkaliannya. Dalam program
pertama kontribusi keuntungan total adalah : 0(2705) + 0(2210) +
0(445) = 0
e) Bilangan-bilangan dalam bagian utama (bilangan-bilangan dibawah
kolom x, y dan z) dapat dijelaskan memiliki arti fisik. Misalnya,
bilangan 10,7 menunjukan perbandingan pertukaran antara x dan S1,
berarti memproduksi 1 unit x harus mengorbankan 10.7 unit S1 .
Pada kolom dibawah y berarti memproduksi 1 unit y harus
mengorbankan 5 unit S1 , 10 unit S2 ,dan 1 unit S3 .
2. Menguji Keoptimalan Program yang sedang Berlangsung
Program awal memberikan keuntungan nol , karena melibatkan x = 0 , y =
0 , z = 0 , S1= 2705 , S2= 2210 , S3= 445 dengan keuntungan :
f0 = 10(0) + 15(0) + 20(0) + 0(2705) + 0(2210) + 0(445) = 0
Perbaikan terhadap program awal dilakukan dengan mengikutsertakan z
dalam program. Dipilih z karena 1 unit z memberikan keuntungan $20,
9
yang lebih tinggi dari keuntungan yang diberikan oleh 1 unit x atau 1 unit
y.
Pemasukan unit dalam program mengubah fungsi keuntungan menjadi +
1(20) – 2(0) – 4(0) – 2(0) = + 20
Tabel 4.1
Tabel Program 1
Prog
Profit
Kuant
$10
$15
$20
$0
$0
$0
ram
S1
Perunit
0
itas
2705
x
10.7
y
5
z
2
S1
1
S2
0
S3
0
S2
0
2210
5.4
10
4
0
1
0
S3
0
445
0.7
1
2
0
0
1
Net Evaluation Row
10
15
20
0
0
0
Kolom kunci
( variabel masuk )
Bilangan
kunci
Baris Kunci
( variabel keluar )
Jika dalam “net evaluation row “masih terdapat bilangan positif, berarti
solusi belum optimal; dan program masih memerlukan perbaikan.
3. Perbaikan Program yang Sedang Berlangsung
3.1 Mengeneli kolom kunci
Tiga bilangan positif (10, 15, 20 ) dalam “baris penilaian” menunjukkan
besarnya keuntungan jika mengikutsertakan 1 unit x, 1 unit y, dan 1 unit z.
Nilai terbesar 20 terletak dibawah kolom z, maka variabel (produk) z
adalah variabel yang pertama-tama harus diikutsertakan. Kolom inin
disebut kolom kunci.
3.2 Mengenal baris kunci dan bilangan kunci
Setelah ditentukan bahwa variabel (produk) z akan diikutsertakan dalam
program untuk menggantikan salah satu dari variabel (produk) S 1, S2, atau
10
2705
=1352,5
2
2210
=552,5
4
445
=222,5
2
S3 ; tibul pertanyaan berapa z dapat diikutsertakan tanpa melanggar
persyaratan-persyaratan yang teleh ditetapkan.
Dari tabel terlihat bahwa memasukkan 1 unit z berarti harus mengeluarkan
2 unit S1, 4 unit S2, dan 2 unit S3. Program yang sedang berlaangsung
memproduksi 2705 unit S1, 2210 unit S2, dan 445 unit S3. Bagilah bilangan
dalam kolom “kuantitas” dengan bilangan “bukan negatif” bersangkutan
dari kolom kunci, kemudian bandingkan hasil bagi yang terkecil menjadi
“barisan kunci”.
Perhitungan untuk menentukan barisan kunci adalah:
Barisan S1
:
2705
2 = 1352,5 unit
Barisan S2
:
2210
4 = 552,5 unit
Barisan S3
445
: 2 = 222,5 unit
Barisan S3 merupakan barisan kunci
Setelah kolom kunci dan barisan kunci ditemukan, selanjutnya
menentukan bilangan kunci. Bilangan yang terletak pada perpotongan
kolom kunci dan barisan kunci disebut “bilangan kunci”. Dalam contoh
diatas, bilangan kunci adalah 2.
3.3 Menurunkan Tabel
Penentuan kolom kunci dan barisan kunci menunjukkan bahwa variabel
(produk) z akan menggantikan variabel (produk) S3 dan tidak lebih dari
222,5 unit z dapat diproduksi tanpa melenggar kapasitas. Tugas kita
selanjutnya adalah menentukan penurunan S1 dan S2 karena 222,5 unit z
dimasukkan dalam perbaikan program. Kapasitas yang tersisa untuk S 1
adalah 2705 – ( 222,5 x 2 ) = 2260 dan untuk S 2 adalah 2210 – ( 222,5 x
4 ) = 1320 unit.
11
Program kedua melibatkan x = 0, y = 0, z = 222,5 , S1 = 2260, S2 = 1320,
dan S3 = 0, sehingga program II akan memiliki tabel baru yang
ditransformasikan dari tabel program I. Transformasi dari tabel lama ke
tabel baru mengikuti aturan-aturan yang telah ditetapkan.
Aturan
: Bagilah semua bilangan dalam baris kunci dengan
bilangan kunci
Maka, barisan ketiga dalam tabel (barisan
z) diturunkan dari barisan
ketiga dari tabel 4.1 (barisan S3) dengan membagi setiap bilangan dengan
2. Barisan baru dari z (tabel program II) adalah:
222,5
0,35
0,5
1
0
0
0,5
3.5 Transformasi Bukan Baris Kunci
Aturan :
Bilanganberkaitan rasiotertentu
Bil.barisbaru = bil.barislama – dalambariskuncibersangkutan
X
Dimana : rasio tertentu =
bilanganbaris lama dalam kolom kunci
bilangankunci
Berdasarkan aturan tersebut , maka barisan S1 baru dalam tabel program II
diturunkan sebagai berikut :
2
Rasio tertentu = 2 = 1
Bilangan baris lama – Bil. berkaitan
Rasio tertentu
X
dalam baris
kunci
Baris baru
bersangkutan
2705
-
( 445 x
1
)
= 2260
10,7
-
( 0,7
1
)
= 10
12
x
= Bil.
5
-
(1
x
1
)
= 4
2
-
(2
x
1
)
= 0
1
-
(0
x
1
)
= 1
0
-
(0
x
1
)
= 0
0
-
(1
x
1
)
= -1
Sesuai perhitungan di atas, baris baru S2 dapat diturunkan sebagai
berikut:
Rasio tertentu = 4/2 = 2
Bilangan berkaitan
rasio tertentu
Bil.baris lama -
x
= Bil. baris baru
dalam baris kunci
bersangkutan
2210
-
( 445 x
2
)
= 1320
5,4
-
( 0,7
x
2
)
= 4
10
-
(1
x
2
)
= 8
4
-
(2
x
2
)
= 0
0
-
(0
x
2
)
= 0
1
-
(0
x
2
)
= 1
0
-
(1
x
2
)
= -2
Dari hasil perhitungan transformasi baris kunci dan transformasi baris
bukan kunci, diperoleh tabel program 11,secara lengkap dapat dilihat
pada tabel 4.2
Tabel 4.2
Tabel Program II
Pro
Profit
Kuan
$ 10
$ 15
$ 20
$0
$0
$0
gra
perunit
titas
X
Y
Z
S1
S2
S3
0
0
2260
1320
10
4
4
8
0
0
1
0
0
1
-1
-2
2260/4 = 565
1320/8 =165
20
222,5
0,35
0,5
1
0
0
0,5
222,5 = 445
3,0
5,0
m
S1
S13
2
Z
Net Evaluation Row
0
0
0
-10
Produk akan keluar
Produk akan masuk
Program 11 melibatkan produksi dari S 1 = 2260, S2 =1320 , dan Z = 222,5 Unit.
Variabel S3 , X dan Y tidak ada dalam program.Keuntungan total dari program 11
adalah : 2260 (0) + 1320 (0) + 222,5 (0) = $ 4450
4. Perbaikan Program II
Dalam program II, baris penilaian masih mempunyai dua bilangan
positif, maka program ini belum optimal dan masih memerlukan
perbaikan.Penurunan program III dari program II menggunakan langkahlangkah seperti yang telah dilakukan pada trans- formasi dari program 1
ke program II.
Perhitungan pada tabel 11 menunjukkan bahwa baris S2 merupakan baris
kunci dan variabel (produk) y harus masuk dalam program,karena
memberikan keuntungan tertinggi.Jadi kolom y menjadi kolom kunci
dengan bilangan kunci = 8.
Baris y dalam tabel program 111 menjadi :
165
0,5
1
0
0
0,125
-0,25
Untuk baris S1 baru dalam tabel program 111 diturunkan sebagai berikut:
Rasio tertentu = 4/8 = 0,5
Bilangan berkaitan
Billangan baris lama
rasiao tertentu
X
= bilangan baru
Dalam baris kunci
bersangakutan
2260
- ( 1320
x
0,5
)
=
1600
10
- (
4
x
0,5
)
=
8
4
- (
8
x
0,5
)
=
0
0
- (
0
x
0’5
)
=
0
14
1
- (
0
- (
-1
- (
0
x
0’5
)
=
1
1
x
0’5
)
=
-0,5
-2
x
0’5
)
=
0
Perhitungan untuk garis z pada program ke llldapat diturun kan sebagai berikut ;
Rasio tertentu =0,5/8 = 0,0065
Bilangan berkaitan
Bilangan baris lama
rasio tertentu
x
= Bil. Baris baru
Dalam baris kunci
bersangkutan
222,5
-( 1320
x
0’0625)
=
140
0,35
-(4
x
0,0625)
=
0,1
0,5
-(8
x
0,0625)
=
0
1
-(0
x
0,0625)
=
1
0
-(0
x
0,0625)
=
0
0
-(1
x
0,0625)
=
-0;0625
0,5
-(-2
x
=
0,0625
0,0625)
Dari hasil perhitungan di atas diperoleh tabel program ke lll yang secara lengkap
dapat di lihat pada tabel 4.3.
Tabel 4.3
Tabel Program III
Pro
Profit
Kuan
gra
perunit
titas
m
S1
y
z
0
15
20
15
1600
165
140
$10
$15
$20
x
8
0,5
0,1
y
0
1
0
Z
0
0
1
$0
$0
$0
S1
S2
S3
1
0
0
-0,5
0,125
-0,062
0
-0,25
0,625
1600/8=200
165/0,5=330
140/0,1 =1400
Net evolution row
0,5
0
Produk akan keluar
0
0
-0,062
-8,75
produk akan masuk
Program ke tiga memproduksi s1 = 1600, y =165 , dan z =140 unit .
Keuntungan total yang dihasilkan dari program ke tiga adalah ;
1600 (0) + 165 (15) + (20) = $ 5275
5. Perbaikan Program lll
Dalam program ke lll, baris penilaian mempunyai satu bilangan pasitif
yaitu didalam kolom x . berarti program ini belum optimal dan masih
memerlukan perbaikan . penurunan tabel program lV dari tabel program
lll menggunakan langkah -langkah seperti yang telah di lakukan pada
tranformasi dari program ll ke program III .
Perhitungan pada tabel program menunjukan bahwa baris S1 merupakan
baris kunci dan variabel (produk) x menjadi kolom kunci = 8
Baris x dalam tabel program 1V menjadi ;
200
1
0
0
0,125
-0,0625
0
Untuk baris y baru dalam tabel program 1V diturun kan sebagai berikut ;
Rasio tertentu = 0,5/8 = 0,0625
bilanganberkaitan
rasio tertentu
Bil. baris lama – dalam baris kunci × bersangkutan =¿ Bil. baris baru
[(
165
− ( 1600× 0,0625 ) =65
0,5
−( 8 ×0,0625 )=0
1
−( 0 ×0,0625 )=1
0
−( 0 ×0,0625 )=0
0
−( 1× 0,0625 ) =¿-0,062
0,125 −( −0,5 ×0,0625 )=156
16
) (
)]
-0,25 − ( 0 ×0,0625 )=¿
-0,25
Perhitungan untuk baris z pada tabel program IV dapat diturunkan sebagai
berikut :
0,1
Rasio tertentu ¿ 8 =0,0125
bilangan berkaitan
rasio tertentu
Bil. Baris lama − dalambaris kunci × bersangkutan =¿ Bil. baris baru
[(
)]
) (
140
− ( 1600× 0,0125 ) =120
0,1
− ( 8 ×0,0125 )=0
0
− ( 0 ×0,0125 )=0
1
− ( 0 ×0,0125 )=1
0
− ( 1× 0,0125 ) =¿-0,012
-0,062 − ( −0,5 ×0,0125 )=¿-0,056
0,625 − ( 0 ×0,0125 )=¿ -0,625
Dari hasil perhitungan di atas diperoleh tabel program IV yang secara
lengkap dapat dilihat pada tabel 4.4.
Tabel 4.4.
Tabel program IV
Pro
Profit
Kuan
$10 $15
$20 $0
$0
$0
gram
x
perunit
10
titas
200
x
1
y
0
z
0
S1
0,125
S2
-0,062
S3
0
y
15
65
0
1
0
-0,062
156
z
20
120
0
0
1
-0,012
-0,056
0
0
0
Net Evaluation Row
17
0
-0,625
1600
=200
8
-0,25
165
=330
0,625 0,5
140
=140
0,1
-8,75
Program IV melibatkan produksi x = 200, y = 65, dan z = 120 unit,
dengan keuntungan total sebesar :
200 (10) + 65 (15) + 120 (20) = $ 5375
Program IV ini telah optimal, karena pada baris penilaian dalam tabel IV
tersebut tidak mempunyai bilangan positif lagi.
6. Program Optimal
Bars penilaian (net evaluation row) mempunyai bilangan-bilangan yang
bernilai nol atau negatif. Kenyataan ini menunjukkan bahwa program
optimal teah diproleh.
C. Penemtuan Minimum
Kasus mencari nilai minimum akan dijelaskan dengan sebuah masalah
serupa dengan masalah diet yang sangat terkenal. Marilah kita merumuskan
masalah dimana seseorang memerlukaan sejumlah tertentu dari masing-masing
vitamin setiap harinya.
Vtamin A dan B terdapat dalam dua makanan yang berbeda M 1 dan M2.
Jumlah vitamin disetiap makanan dan vitamin yang diperlukan setiap harinya
dapat dilihat pada tabel berikut.
Tabel Persiapan Penyusunan Model Matematika
Makanan
Vitamin
M1
M2
A
B
Harga
2
3
4
2
Keperluan
Sehari
40
50
3
2.5
Makanan/Unit
Dalam menunjukkan bahwa 1 M1 mengandung 2 unit vitamin A dan 3
unit vitamin B, serta 1 unit M2 mengandung 4 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B.
Keperluan sehari akan vitamin A paling sedikit 40 unit dan vitamin B sejumlah
540 unit. Tujuan kita adalah menentukan jumlah optimal dari makanan M 1 dan
M2 sehingga keperluan vitamin seharinya dipenuhi dengan biaya serendah
mungkin.
18
Misalkan bahwa untuk memenuhi tujuan ini dibeli x makanan M 1 dan
sejumlah y dari makanan M2. Secara aljabar masalah inni dapat ditulis sebagi
berikut:
Minimumkan: f = 3x + 2.5y
Syarat
: 2x + 4y ≥ 40
3x + 2y ≥ 50
x≥0,y≥0
Metode simpleks II menangani persyaratan “lebih besar atau sama”
dengan suatu nilai. Untuk merubah pertidaksamaan menjadi persamaan
memerlukan “pengurangan” dengan variabel “slack”. Misalkan sejumlah x dan y
dari vitamin A dan B diperlukan seharinya,maka model matematikanya dapat
ditulis kembali sebagai berikut:
Minimumkan: f = 3x + 2.5y + 0S1 + 0S2
Syarat
: 2x + 4y - S1 = 40
3x + 2y – S2 = 50
x ≥ 0 , y ≥ 0 , S1 ≥ 0 , S2 ≥ 0
D. Variabel Slact Tiruan (Artificial)
Jika variabel kerangka (struktual) x dan y dimisalkan nol seperti pada
program awal metode simpleks, maka diperoleh nilai-nilai negatif dari S1 dan S2
yang tidak memenuhi persyaratan. Untuk tidak melanggar persyarataanpersyaratan yang telah ditetapkan dalam program-program metode simpleks maka
diciptakan variabel slack tiruan.
Model matematika dilengkapi dengan variabel slack tiruan A1 dan A 2
sampai An, sehingga jika x dan y bernilai nol, persamaan-persamaan persyaratan
masih memiliki variabel slack yang bernilai positif. Maka model matematika
secara lengkap ditulis:
Minimumkan: f = 3x + 2.5y + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2
19
Syarat
: 2x + 4y - S1 + A1 = 40
3x + 2y – S2 + A2 = 50
x ≥ 0 , y ≥ 0 , S1 ≥ 0 , S2 ≥ 0 , A1 ≥ 0 , A2 ≥ 0
Perlu diperhatikan bahwa variabel “slack” S memiliki koefisien biaya
sebesar nol, sedangkan variabel “slack tiruan” A memiliki koefisien biaya M yang
tak terhingga besarnya. Dengan mengaitkan nilai M yang tak terhingga besarnya
pada koefisien slack tiruan A, kita yakin bahwa variabel ini tidak akan pernah
masuk dalam penyelesaian optimal.
E. Merancang Program Awal
Dalam metode simpleks, program awl hanya melibatkan S 1 dan S2,
sedangkan x dan y sebagai variabel kerangka benilai nol. Untuk suatu masalah
berdimensi dua, ini berarti menyatakan vektor persyaratan P 0 dalam vektor basis
1
0
0 dan 1 .
40
Dalam contoh yang ditampikan diatas, vektor persyaratan P0 = 50 dapat
1
0
dinyatakan dengan vektor-vektor basis 0 dan 1 .
Untuk memudahkan penyusunan program awal dari metode simpleks II,
maka dengan menggunakan variabel slack A1 dan A2, model matematika perlu
dituliskan kembali selengkapnya.
Minimumkan: f = 3x + 2.5y + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2
Syarat
: 2x + 4y - 1.S1 + 0.S2 + 1. A1 + 0.A2 = 40
3x + 2y + 0.S1 – 1.S2 + 0. A1 + 1.A2 = 50
x ≥ 0 , y ≥ 0 , S1 ≥ 0 , S2 ≥ 0 , A1 ≥ 0 , A2 ≥ 0
Program awal dengan memilih x, y, S1, S2 bernilai nol. Dari persamaan
diatas, mudah dipahami bahwa ini berkaitan dengan nilai-nilai A 1 = 40 dan A2 =
50. Oleh sebab itu tabel yang digunakan untuk perhitungan simpleks II pada
program awal dapat dilihat pada tabel dibawah ini.
20
Tabel Program I
Progra
Biaya
Kuan
3
2,5
0
0
M
M
m
A1
/ Unit
titas
S2
A1
A2
40
Y
4
S1
M
X
2
-1
0
1
0
40/4=10
A2
M
50
3
2
0
-1
0
1
5
M
0
2 -6 M M
50/2=25
Baris Penilaian:
3-5 M
Variabel keluar
0
Variabel masuk
Program awal ini melibatkan biaya 90 M yang jelas besar sekali, sehingga
program harus diperbaiki.
1. Perhitungan dari baris penilaian.
2. mengenali kolom kunci
3. mengenali bariskunci dan bilangan kunci
4. Transformasi dari baris kunci dan baris bukan kunci untuk memperoleh
program yang diperbaiki
Adapun perbedaan yang perlu diperhatikan dalam simpleks II, bahwa
dalam kasus mencari minimum, nilai “negatif terbesar” dalam baris penilaian
menentukan kolom kunci dan bukan positif terbesar seperti dalam kasus mencari
nilai minimum.
Dalam kasus mencari nilai minimum, jika bilangan dari baris penilaian
dibawah suatu kolom variabel adalah negatif, maka jelas bahwa keikutsertaan
variabel ini dalam baris baru akan menurunkan nilai dari fungsi objektifnya.
Penghitungan dari baris penilaian sudah dijelaskan dalam kegiatan belajar
1. Memasukan satu unit y akan menurunkan biaya total dengan 2,5M – 6M yang
diperoleh dari [+1(2,5) – 4M – 2M]
Nilai 2,5M – 6M jelas lebih negatif dari pada 3 – 5M, maka y adalah variabel
yang harus masuk dengan mengeluarkan variabel A1. Hasil perbaikan tabel
program I dapat dilihat pada tabel 5.3
Tabel 5.3
21
Tabel program II
2,5
Y
0
S1
0
S2
M
A1
M
A2
10
3
X
0,5
1
-0,25
0
0,25
0
30
2
0
0,5
5 1
− M
8 2
-1
Pro
gram
Biaya
per unit
Kuan
titas
Y
2,5
A2
M
Baris penilaian:
7
−2 M 0
4
-0,5
1
−5 3
+ M 0
8 2
M
10
=20
0,5
30
=13
2
Variabel
Variabel
Masuk
Tabel
program II jelas belum optimal
karena
masih memiliki nilai negatif
Keluar
dalam baris penilaian. Perbaikan program akan melibatkan pergantian variabel A2
oleh x. Dalam transformasi baris lama ke baris baru dalam program yang telah
diperbaiki kita berpedoman kepada aturan – aturan yang telah berlaku, yaitu:
1. Baris kunci dibagi dengan bilangan kunci menghasilkan baris baru.
2. Bil. baris lama – (bilang berkaitan dalam baris kunci x rasio
tertentu bersangkutan) ¿ Bilangan baris baru
bilanganbaris lama dalam kolom kunci
3. Rasio tertentu =
bilangankunci
Tabel 5.4
Tabel program III
Pro
gram
Biaya
Kua
peruni
n
t
Y
2,5
titas
5
2
X
3
15
Baris penilaian
3
2,5
0
0
M
M
0
1
S1
S2
A1
A2
0
1
1
0
−1
4
1
2
0
1
4
−1
2
7
8
3
8
−1
4
0
−3
8
1
4
3
16
M−
3
7
M−
16
8
Tabel program III sudah merupakan program optimal, karena baris penilaian
tidak memiliki nilai negatif lagi.
22
5
Program optimal ini berkaitan dengan pembelian 15 unit makan M 1 dan 2
unit makanan M2 seharinya, dengan biaya 51,25 dollar sen.
F. Prosedur Penentuan Struktur Persyaratan
Karakteristik dari masalah program linier dapat dicakup dalam 3 jenis yang
berbeda.
1. persyaratan yang dalam bentuk aslinya dinyatakan oleh pertidaksamaan
dari jenis “kurang dari atau sama dengan”, jenis ≤.
2. persyaratan yang dalam bentuk aslinya dinyatakan oleh pertidaksamaan
dari jenis “lebih besar atau sama dengan”, jenis ≥.
3. persyaratan yang dalam bentuk aslinya merupakan campuran dari
persamaan dan pertidaksamaan.
Penyusunan kembali model matematika diperlukan untuk siap dan dapat
digunakan dalam perancangan program awal dari metode simpleks.
Kasus 1:
Jenis ( ≤. ) “lebih kecil dari atau sama dengan”
Setiap pertidaksamaan “kurang dari atau sama dengan” diubah menjadi
persamaan dengan menambah “variable slack” yang tidak negatif dan
memiliki koefesien 0 dalam fungsi objektif.
Contoh:
Maksimumkan: f = 10x + 15y
Syarat
: 4x + 60y ≤. 60
3x + 4y ≤. 80
X ≥ 0, y ≥ 0
Persamaan yang diperlukan untuk table simpleks adalah:
4x + 6y + 1S1 + 0S2 = 60
23
3x + 4y + 0S1 + 1S2 = 80
Fungsi Objektif:
f = 10x + 15y + 0S1 + 0S2
kasus 2:
Jenis ( ≥ ) “lebih besar atau sama dengan”
Setiap pertidaksamaan dari jenis “lebih besar atau sama dengan” diubah
menjadi persamaan dengan mula-mula mengurangi dengan variabel slack
yang tidak negative dan memiliki koefesien onkos 0, kemudian
menambahkan dengan variabel slack tiruan yang tidak negative dan
memiliki koefesien onlos M yang bernilai tak hingga.
Contoh:
Minimunkan: f = 300x + 180y
Syarat
:
8x + 5y ≥ 80
4x + 2y ≥ 70
x ≥ 0, y ≥ 0
Persamaan-persamaan yang diperlukan untuk tabel simpleks adalah:
8x + 5y +1S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 80
4x + 2y +0S1 + 1S2 + 0A1 + 1A2 = 70
Fungsi Objektif:
f: 300x + 180y +0S1 + 0S2 + MA1 + MA2
Kasus 3:
Kasus campuran
Masalah yang digolongkan kedala kasus 3 adalah masalah yang memiliki
persamaan disamping pertidaksamaan. Persamaan ditangani dengan
24
melengkapinya dengan menambahkan variabel slack tiruan yang tidak
negative.
Contoh:
Minimumkan: f = 7x + 15y
Syarat
: 2x + 4y ≥ 20
5x + 8y = 30
x ≥0,y≥0
Persamaan-persamaan yang diperlukan untuk tabel simpleks adalah:
2x + 4y +1S1 + 1A1 + 0A2 = 20
5x + 8y +0S1 + 0A1 + 1A2 = 30
Fungsi Objektif:
f: 7x + 15y +0S1 + MA1 + MA2
25
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Langkah-langkah yang dapat di tempuh dalam menentukan solusi
optimal permasahan program linear dengan metode simpleks adalah :
1. Menentukan medel matematika untuk data-data yang terdapat pada
permasalahan program linier
2. Menambahkan dan melakukan pengurangan dengan variabel ”slack”
(S1,S2,S3), sehingga
model
matematika
dapat
diubah
menjadi
persamaan linear
3. Membuat kerangka tabel simpleks, merancang program awal, menguji
ke optimalan yang sedang berlangsung
4. Supaya tidak melanggar syarat yang telah ditetapkan, maka di
tambahkan variabel “slack tiruan” (A1,A2,A3)
5. Melakukan perbaikan-perbaikan terhadap program yang berlangsung
sampai diperoleh program optimal.
Langkah- langakah yang dilakukan dalam perbaikan program tersebut
adalah:
a. Menetukan kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai “negatif
terbesar” pada baris penilaian.
b. Menentukan baris kunci yaitu baris yang mempunyai bilangan
hasil bagi terkecil (bilangan pada kolom kuantitas dibagi dengan
bilangan negatif pada kolom kunci)
c. Menentukanbilangan kunci, yaitu bialangan yang terdapat pada
persilangan antar kolom kunci dan baris kunci
d. Menurunkan tabel dari tabel program awal ketabel program berikut
nya hasil perbaikan dengan cara:
Melakukan transpormasi baris kunci, yaitu membagi semua
bilangan dalam baris kunci dan bilangan kunci
Melakukan transpormasi bukan baris kunci, dengan rumus
“bilangan baris baru”
26
Program sudah optimal jika baris penilaian tidak memiliki
bilangan nol atau negatif.
B. Kritik dan Saran
Kami sebagai penyusun menyadari bahwa masih terdapat kekurangan
di dalam makalah kami, maka dari itu kritik dan saran yang membangun
dari pembaca sangat kami harapkan.
27
DAFTAR PUSTAKA
Ningsih,Yetri.2013.Bahan Ajar Program Linier.Lubuklinggau
28