S1-MATEMATIKA I (MATEMATIKA EKONOMI)
S1- MATEMATIKA I
BAHAN 9
MATRIKS DAN VECTORS (MATRICES AND VESTORS) PERSAMAAN SIMULTAN(SIMULTANEOUS EQUATIONS)
9.1.1. SIMULTANEOUS EQUATIONS DAN MATRICES DAN VECTORS
1. A simultaneous equation m by n dalam matrix (matriks) dan vector
Matrix punya : ► m baris (rows) : i = i, 2, …, m → untuk koefisien a ij
A system of m linear equations in n variables ( x 1 , x 2 , …, x n
) dengn n koefisien a ij
(a i1
, a i2
, …, a in
) : A simultaneous equation a
11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = d
1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = d
2 ….……………………………… a m1 x
Bahan 9.1. MATRIKS DAN VECTORS (MATRICES AND VECTORS)
► n kolom (columns): j= 1, 2, ..., n → untuk variabel x j
- a
- … + a
= d m
1 = column vectors, dengan elemen x j dan d j
1 atau dipe-roleh engan Cramer’s rule
A n x m
= matrix dengan order atau dimensi m by n atau m x n atau A
n x m dengan elemen a ij, dimana : i = baris (row) = 1, 2, ..., m; j = kolom (column) = 1, 2, ..., n
Apabila m = n, maka matrix disebut a square matrix. (A matrix is defined as a
rectangular array of its elements consisting of numbers, parameters, or variables)Pada square matrix, elemen dengan i = j yaitu a 11 , a 22 , …, a nn disebut elemen diagonal (diagonal elements), jumlah elemen diagonal disebut the trace of A x x n
1 dan d x m
'
1 =
1 g n x
= row vector (pakai tanda ’), dengan elemen g i → n
... g g g g
2
1
1
1 A m x n d x m
1 Jadi, x x n
mn x n
2
A simultaneous equation dalam matric dan vectors
A n x m=
m n m n n a a a a a a a a a
32 1 2 2 2 2 1 1 1 2 11
m x n
1 = d x m
m2 x
2 1 1
m x m
d d d d
2 1 1 Simultaneous equation dinya-
takan dalam matrix dan vectors : A n x m x x n
x x x x
_ _ _ ' 1 x
Vectors juga biasanya ditulis dengan tanda bar (-) : dan , serta g x d n x 1 n x
1 1 x m
2. Contoh
6
3
1 6 x + 3 x + x = 22
1
2
3
1 4
2 A 3 x
3 4
1
5 x + 4 x − 2 x = 12
1
2
3 x
22 1
x
12 4 x + 3 x + x = 10
2
1
2 3 x d
3 x
1
3 x1 x
10 3
6
3 1 x 1
1
4
2 x 2
A x = d
4
1
5 x 3
3 x 3 3 x 1 3 x 1
22
1
12
x = d A
10
3 x 1 3 x 1 3 x
3
9.1.2. MATRIX AND VECTOR OPERATIONS
1. Kesamaan matrices (matrices equality)
A = B (kesamaan matrices) syaratnya :
- elemen matrix A = elemen matrix B yaitu ij ij untuk
a = b semua angka i dan j
- dimensi atau ukuran (size) matriks A dan B sama v = w (kesamaan vectors) juga dengan syarat yang sama seperti di atas Contoh 1 :
A B = ≠ C
2 x 2 2 x 2 2 x 2
6
9
6
9
2 8 x
7
= ≠ dan = berarti x
2
8
2
8
6 9 y
4 = 7 dan y = 4
Contoh 2 : A = B ≠
C 3 x 3 3 x 3 3 x 3
- /−
- /−
-
7
1
2
9
4 −
2 =
3
7
1
2
9
2
4 =
3 = C x 3
9
7
2 =
7
1
2
2
B x 3
4 =
8
2
9
6 A x 3
3
8
4
2
9
4 =
2
1
2
1
2
9
2
4
4. Perkalian antar vectors, matrix dengan vector dan antar matrik Perkalian matrik dengan vector dan matrix dengan matrix :
A x 2
3 b x 1
2 = c
x 1
2
2
12
9
2
3. Perkalian matrix dengan suatu angka (scalar multiplication) k A n x m k
22
21
11
a a a a =
22
21
12
11
a k a k a k a k ½
9
3
1
1
3
6
≠
1
2
3
4
2
4
1
5
1
6
4
4
3
4
5
1
4
2
1
1
1
3
6
=
5
2. Tambah atau kurang matrix (addition or substraction matrices) A x 3
B x 3
2
21
12
12
11
11
b a a a b a b a =
22
22
21
12
11
c c c c (untuk ─ tanda + diganti) Catatan : Untuk +/─ dimensi m x n matrix A dan B harus sama
(conformable for addition or subtraction). Contoh :
1
22
22
3
=
11
C x 3
3 ij ij ij c b a
22
21
12
a a a a
22
21
12
11
b b b b =
- /−
a 11 a 12
x
a a 21 22
=
a a y 31 32
a 11 x a 12 y a 21 x a 2 2 y
a 31 x a 32 y A B C
= 3 x 2 2 x 2 3 x 2 a a
11 12
b b
11
12
a a 21 22
=
a a b b 31 32
21
22
a 11 b 11 a 12 b 2 1 a 11 b 12 a 12 b 22 a 21 b 11 a 22 b 21 a 2 1 b 12 a 2 2 b 22
a 31 b 11 a 32 b 21 a 31 b 12 a 32 b 22
Catatan : A b
/ Syarat : Kolom dari vector/matrik dikali yaitu m x 1 m x n
(dimensi m x 1/m x n) = baris dari vector/matrik pengali yaitu '
/ B (dimensi 1 x n / n x m) menghasilkan vector d n x m
1 x n kolom c (dimensi m x 1)/matrik C (dimensi m x n). m x
1 m x n
Jadi, conformable untuk perkalian, jumlah kolom dari matrik/ vector dikali harus sama dengan jumlah baris dari matrik/vector pengali. Perkalian dilakukan antara setiap baris (row) pada matrik dikali
A dengan kolom pada vector pengali b , serta antar elemen
3 x 2 m x
1 masing-masing secara berturut-turut.
Perkalian row vector dengan column vector mengahsilkan matrix, sedangkan sebaliknya row vector kali column vector menghasilkan angka
Contoh perkalian vector dengan vector menghasilkan matrik/angka
' b = C d
2 x 1 2 x 3 1 x
3
6
6 .
1 6 .
4 6 .
2
6 24
12
1
4
2
= =
1
1 .
1 1 .
4 1 .
2
1 4
2 '
b = angka d
3 x 1 1 x
3
6
1
1
4
2 1 .
6 4 .
1 2 .
3
= = 4
3
Contoh perkalian matrix dengan vector menghasilkan vector A b = c
3 x 3 3 x 1 3 x 1
6
3
1
7
1
4
2
4
=
4
1 5 2
6 .
7 3 . 4 ( 1 . 2 )
52
1 .
7 4 . 4 ( 2 . 2 )
19
=
22
4 . 7 ( 1 . 4 ) ( 5 . 2 )
Contoh perkalian matrix dengan matrik menghasilkan matrix
3
1
2
1
3
A B = C =
4 2
3 x 3 3 x 3 3 x 3
1 3
5
10
1
7
1
5
10
=
2
1
5 10
=
1
1
2
3
7 1 3 . ( 1 . 1 ) 2 . ( 3 . ) ( 1 . ) 2 . 3 . ( 1 . ) ( 2 . )
5
5
5
10
10
10
1
1
2
3
7
1
1 . ( . 1 ) 3 . ( 1 . ) . 3 . 1 . . ( 3 . )
5
5
5
10
10 10
1
1
1
3
7
1
4 . ( . 1 ) 2 . ( 4 . ) . ( 2 . ) 2 . 3 . ( 2 . )
5
5
10
10
10 10
=
3
1
4
9
7 7 1
5
5
5
10
10
10
1
6
3
3
5
5
10
10
= =
4
4
12
2
5
5
10 10
1
1 1
Perkalian row vector dengan matrix dengan column vector menghasilkan suatu angka '
A b = angka b
2 x 2 2 x 1 1 x
2 a
2
2 x
11
= a 11 x + a 22 y x y
a y
22
Contoh :
' A b = angka b
2 x 2 2 x 1 1 x
2
2
2
2
2
2
2
=
( ) ( )
Kekecualian perkalian matrices (idiosyncrasies of matrix algebra)
dikemukakan pada 5.1.4. di bawah.5. Commutative, associative, and distributive laws
Laws : a, b, c adalah variabel : a + b = b + a Commutative law of addition Commutative law of multlipication : ab = ba
: (a + b) + c = a + (b + c) Associative law of addition
Associative law of multiplication : (ab)c = a(bc)
Distributive law : a(b + c) = ab + ac
Vector (u,v,w) addition dan matrix (A, B, C) addition Sesuai dengan commutative law u + v = v + u A + B = B + A
Sesuai dengan associative law (u + v) + w = u + (v + w)
(A + B) + C = A + (B + C) Vector multiplication dan matrix multiplication' ' ' b b dan b
Not commutative d ≠ d b ≠ n x 1 m x 1 m x
1 1 x n 1 x n 1 x n
' b b n x
1 1 x n A B ≠ B A Sesuai dengan commutative law, untuk :
k A = A k Matrix A adalah square matrix Matrix B adalah identity matrix
- 1
Matrix A adalah inverse dari matrix B, yaitu A = B
Sesuai dengan associative law Sesuai dengan distributive law9.1.3. DETERMINANT DAN NON SINGULARITY
1. Pengertian dan fungsi determinan (determinant)
Determinan (determinant) hanya berlaku dan diperoleh untuk semua
matrix square yaitu dengan dimensi atau ukuran (size) m = n.
Determinant dari matrix A dengan notasi |A| adalah suatu angka atau scalar. Determinant terkecil dari matrix A adalah |A|= |a 11 | = a 11 . Angka determinant juga berfungsi sebagai : Kriteria untuk uji (testing) independensi antar baris pada suatu matrix (the linear independence of the matrix rows or its nonsingularity).
−1 .
Input dalam kalkulasi the inverse matrix, misal A
2. Formula determinant , dengan notasi |M Minor a ij ij |, adalah a sub determinant (suatu angka atau a scalar) dari matrik A (m x n dan m = n atau square) yang berkaitan dengan a ij elemen dari baris (row) dan kolom (column) yang dihilangkan dari matrix A dengan dimensi m x n. Dengan metode the Laplace expansion, |M ij | diperoleh dengan menghilangkan satu row dan satu kolom bersamaan, kemudian dipilih a ij dan |M ij | terkait. i+j ij , dengan notasi |C ij |=(─ 1) |M ij |, adalah minor
The cofactor a yang telah bertanda (the signed minor) positif (+) atau negative (−). Determinant matrix A = |A| = Atas dasar the Laplace expansion method dengan kolom j yang dihilangkan : m n m n
i j a a ( 1 ) M )
ij ij ij
= |C ij |= = i
1 i
1 m n i j a ( 1 ) ( angka hasil dari M )
ij ij
i
1 Atas dasar the Laplace expansion method dengan baris i yang dihilangkan :
n m
n m i j a a (
1 ) M ) ij ij ij
= |C ij |= =
j
1 j 1 n m i j a ( 1 ) ( angka hasil dari M )
ij ij
j
1
3. Perhitungan determinant urutan ke n (a nth-order determinant)
Determinant dari matrix A dengan dimensi 2 x 2 (m = n atau square) a second-order determinant a a a a
11
12
11
12
A
Matrix = determinant |A| = a a
21 22 a a
2 x 2
21
22
= = (a 11 a 22 − a 21 a 22 ) = angka (a scalar)
Contoh :
4
9
A Matrix = Determinant |A| = 4.1 − 2.9 = −
2
1 2 x 2 12 Determinant dari matrix A dengan dimensi 3 x 3 (m = n atau square)
a second-order determinant a 11 a 12 a 13 a a a 21 22 23
A
Matrix = a 31 a 32 a 33
3 x 3
Determinant : Dengan baris ke 1 dan kolom 1 (atau dapat juga dengan baris dan kolom yang sama lainnya) dari matrix A yang dihilangkan maka determinant |A| :
Atas dasar elemen dari baris ke 1 yang dihilangkan : a a
22 23 a a
21
23
1+1 1+2 1+3 a {(─1) } + a {(─1) }+ a {(─1)
11
12
13 a a
32 33 a 31 a
33
a a
21
22
} = a a
31
32
= a 11 {(+ 1) (a 22 a 33 − a 23 a 32 )} +
- a 12 {(─ 1) (a
21 a 33 − a 23 a 31 )} +
- a {(─ 1) (a a − a a )}=
13
21
33
23
31 = angka (a scalar) Contoh :
2
1
3
4
5
6
A =
7
8 9 |A| dengan elemen dari
baris 1 |A| = 2(+1)(5.9 ─ 8.6) + 1(─1)(4.9─7.6) + 3(+1)(4.8─7.5) = = 2(─3) + (─1)(─6) + 3(─3) = ─ 6 + 6 ─ 9 = ─ 9 Atas dasar elemen dari kolom ke 1 yang dihilangkan : a a
22 23 a a
12
13
1+1 2+1 3+1 a {(─1) } + a {(─1) }+ a {(─1)
11
21
31 a a a a
32
33
32
33
a a
12
13
} = a a
22
23
= a 11 {(+ 1) (a 22 a 33 − a 23 a 32 )} +
- a 21 {(─ 1) (a
12 a 33 − a 13 a 32 )} +
- a {(─ 1) (a a − a a )}=
31
12
23
13
22 = angka (a scalar) Contoh :
2
1
3
4
5
6
A = |A| dengan elemen dari
7
8 9
3 x 3 kolom1 |A| = 2(+1)(5.9 ─ 8.6) + 4(─1)(1.9─8.3) + 7(+1)(1.6─5.3) = = 2(─3) + (─4)(─15) + 7(─9) = ─ 6 + 60 ─ 63 = ─ 9 Determinant dari matrix A m x n (m = n (square) > 3) an nth rd
(>3 )-order determinant A
Matrix m x n a a a
11 12 1 n a a a 2 1 2 2 2 n
a a a
31 32 m n Dengan the Laplace expansion method :
4 , 2 4 ,
1
2
1
3
1
3 3 , 1 2 ,
. ) 1 ( A A
3 , 2 4 ,
1
2
1
2
1
3 2 , 1 2 ,
4 , 3 4 ,
. ) 1 ( A A
3 4 , 1 2 ,
3
1
. ) 1 ( A A
1
2
2
3
2 2 ,
1
1 4 , 3 3 ,
4 ,
. ) 1 ( A A
1
2
1
4
lAl =
2
Determinant lAl = m m j j j i i i p s
2
1
1
2
1
A , , , , , ,
Contoh : A x 4
. n m m n m m j j j i i i
) 1 (
1
2
1
2
A , , , , , ,
4 =
4
4 4 43 4 2 41 3 4 3 3 32 31 2 4 24 2 2 21 1 4 13 1 2 11 a a a a a a a a a a a a a a a a
=
3
2
1
2
3
2 Berdasarkan formula di atas, maka :
3
2
2
4
5
4
-
- 5
- 5
- 4
- (1)(−1)(23) + (−1)(14)(6) + (1)(−8)(16) = −195 + 48 + 96 −23 − 84 − 128 = −286 Dengan metode lain : Theorem : Apabila matrix B diperoleh dari matrix A dengan melakukan
3 4 , 2 2 ,
1
2
8
3 ) 1 (
2
2
3 .
3
.
4
2
8
2 ) 1 (
4
3
3
2
2
.
1
tambahan pada salah satu baris (kolom) sebesar k (a scalar)
= (+1)(−13)(15) + (−1)(8)(−6) + (1)(−8)(−12) +
10
2 ) 1 (
4
2
2
3 .
2
2
9
3 ) 1 (
4
2
3
1
1
. ) 1 ( A A
1
2
3
4
3 2 ,
5
1 4 , 3 4 ,
2 ,
. ) 1 ( A A
1
2
2
4
=
4
4
2 .
7
2 ) 1 (
2
3
1
4
3
.
4
6
2 ) 1 (
3
3
2
3 , 1 4 ,
Jadi : a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23
= a 31 a 32 a 33 a 11 k a 13 a 12 a 13
a 21 k a 23 a 22 a 23
= a 31 k a 33 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a k a a k a a k a 31 21 32 22 33 23
|A| |B| = |A| |B | = |A|
- A
= Contoh, dengan matrik 4 x 4
2 3
2 4
3
2
1
2
3
2
3 4
2
4
5
2
3
2
4 3
2
1
2
3
2
3
4 = Maka, |A| =
2
4
5 dengan mengubah elemen a = 0 dan a = 0, diperoleh :
13
33 |A| = |B| =
2 ( 2 )
3 3 ( 2 )
2 2 ( 2 )
1 4 ( 2 )
2
3
2
1
2 3 ( 3 )
3 2 ( 3 )
2 3 ( 3 )
1 4 ( 3 )
2
2
4
5
=
8
1
8 3
2
1
2
6
8
2 =
=
2
4
5 8
1
8 2+3
6 8
2 1(−1) =
2
4
5 seterusnya, dengan menerapkan the Laplace expansion method terhadap determinant 4 x 4 yang dihasilkan, maka diperoleh determinant matrix 3 x 3, kemudian dilanjutkan penerapan theorem atas untuk menjadikan elemen pada determinant 3 x 3 dimaksud yaitu a 11 = 0 dan a 13 = 0, sehingga : = −1
8 ( 8 ) 1
1 8 (
8 )
1 6 ( 8 )
8 8 2 (
8 )
8 = −1
4
4 5 ( 8 )
4
2 ( 8 )
1
58
8
62 =
30
4
37 selanjutnya, diterapkan lagi the Laplace expansion method pada determinant 3 x 3 yang dihasilkan, sehingga : = −1.−1(−1)
1+2
37
30
62
58 = −1(58.37 − 30.62) =
= −2146 + 1860 = −286 (sama dengan penerapam sepenuhnya the Laplace expansion method, di atas)
9.1.4. JENIS MATRICES
1. Diagonal matrix dan identity matrix
2 =
I 2 =
Diagonal matrix : a square matrix dengan elemen sepanjang diagonal matrix a ij (i = j) angka termasuk 1, sedangkan elemen lainnya di luar diagonal adalah angka 0 (nol).
1
1
1
1 dan I 3 =
1
Contoh :
22
Identity matrix : a square matrix dengan elemen sepanjang diagonal matrix angka 1, sedangkan elemen lainnya di luar diagonal adalah angka 0 (nol), dengan notasi I atau I n .
33 22 11 a a a
Contoh : A x 2
B x 3
a a dan
11
3 =
- n x m
+ A
2
1
4
2
x 2
2
1
4
2
=
Jadi, AB = 0 padahal baik matrix A maupun matrix B bukan null matrix.
2 =
A x 2
Ketentuan untuk identity matrix I A = A dan A I = A A I B = (AI) B = A B A : m x n, I : n x n, B : n x p A I n = (I n )
Contoh : 2 2 x
2 = I n maka (I n ) k
= I n dimana k = 1, 2, …
2. Idempotent matrix
Suatu matrix yang mempunyai ciri atau sifat (property) seperti :
I k
= I dan AA = A
3. Null matrix A null matrix atau a zero matrix berfungsi seperti angka 0 (nol) : A non square matrix atau a square matrix dimana semua elemen adalah 0 (nol), dengan notasi 0.
= dan 3 2 x
4. Kekecualian perkalian matrices (idiosyncrasies of matrix algebra)
Dalam hal scalar ab = 0 berarti a atau b = 0. Tetapi tidak dalam
perkalian matrices := Ketentuan A n x m
= A n x m dan n x m
n x m = A n x m
A n x m p x n
= p x m dan m x p
A n x m
= n x p
2 B
Dalam hal scalar cd = ce (dengan c ≠ 0) berarti d = e. Tapi tidak
dalam perkalian matrices :2
3
1
1
2
1 D E
C = =
6
9
1
2
3
2 2 x 2 2 x 2 2 x 2
5. Transpose matrix dan symmetric matrix Transpose matrik : Matrix yang telah diubah kolom (columns) menjadi baris
(rows) atau sebaliknya dari kolom dan baris pada matrix asal A, dengan notasi A’ (the transpose of A).
Contoh :
3
8
9
3
4 ' ' A
B = = =
A B
1
4
1
7 2 x 3 2 x 2 3 x
2 2 x
2
3
1
3
1
8 =
9
4
4
7 Sifat (properties) dari transpose
’ ’ (A ) = A
’ ’ ’ = A (A + B) + B
’ ’ ’ = B (A B) A
’ = A Symmetric matrix : suatu square matrix dimana A
1
4
1
4 '
3
7
3
A
4
7
2
4
7
2 3 x 3 3 x
3
7 A = = =
6. Singular matrix matrix yang mengandung baris yang merupakan kelipatan dari baris lainnya (a matrix that contains a row which is a multiple of another row), seperti :
2
4
2
4
A B = = C =
1
2
1
2 2 x 2 2 x 2 2 x 2
2
3
6
9
7. Inverse matrix A ─1 adalah A yang hanya diperoleh apabila :
- matrix A adalah square,
─1 ─1
- A A = A A = I not commutative matrix multiplication
Catatan : Square matrix yang mempunyai inverse disebut nonsingular matrix. Tapi tidak semua square matrix mempunyai inverse atau sebagai nonsingular matrix.
─1
.
A adalah inverse dari A ─1
A , maka A juga n x n atau Apabila A adalah n x n atau n x n
1 .
A n x n Inverse matrix adalah unik.
Bukti : AB = BA = I dimana B adalah the inverse matrix A AC = CA = I terdapat matrix C sehingga AC = CA = I Maka, CAB = CI = C Jadi, IB = C Berarti, B = C terbukti bahwa B dan C adalah matrik yang sama, yaitu hanya satu the inverse matrix A, berarti unik
Sifat (properties) the inverse matrix) ─1 ─1
(A ) = A ─1 ─1 ─1
(AB) = B A ’ ─1 ─1 ’
(A ) = (A ) A
Memperoleh the inverse matrix A (square matrix) atau , n x n
1
1 B yaitu dan untuk yaitu
A B n x n n x n n x n a a a
11
12
1 n a a a 2122
2 n A
= atau
a a a n x n
m 1 3 2 m n B n x n
The adjacent of A = adj A atau adj B C ij
Setiap elemen matrix A atau B mempunyai cofactor , sehingga diperoleh matrix dimana elemennya semua cofactor C ij
C yaitu matrix = . n x n
' Transpose matrix C yaitu yang juga disebut the adjoint of
C n x n
A atau B dengan notasi adj A ( atau adj B) =
- 12
- 21
2
2 = I
A x 2
A
x
2
2
1
=
A x
2
2
1
1 Cek : A x 2
Contoh
1
2
3
2
2 =
1
3
1
2
1
1 =
1
6
9
7
5 3 3 1
8
1 2
3 = 3 1 4 2 1 4 2 3 1 1 3 1 4 7 3 1 4 7 1 1 3 3 7 3 2 7 2 3 =
C x 3
4
1
3
3
2
3
7
3 =
3 B x3
B x 3
B x dari
3
2
= A adj A
C n x n
Formula 1
A x 2
A x dari
2
2
1
1 Contoh
= B adj B
1 B n x n
1 atau
= A adj A
A n x n